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Modelagem em elementos finitos de escoamento axissimétrico bifásico compressível

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Academic year: 2021

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA

E INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS

JOSE BALLARDO VILLEGAS SALABARRÍA

Modelagem Em Elementos Finitos de

Escoamento Axissimétrico Bifásico

Compressível

CAMPINAS

2016

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AGRADECIMENTOS

Gostaria de agradecer à minha família, pelo suporte e confiança. Ao meu orientador Professor Philippe pela orientação, conselhos e conhecimentos transmitidos nesses dois anos de mestrado. Ao meu amigo Omar, pela valiosa direção, ajuda e interesse em trocar conhecimentos e me motivar ainda mais na pesquisa.

Agradeço ao Chistian e Felix pela amizade e pelos importantes conselhos dados neste importante período. À Nathalia pela ajuda com o idioma. E aos meus colegas do LABMEC pelo suporte, amizade e colaboração.

Por fim, gostaria de agradecer à todos que colaboraram direta ou indiretamente no desenvolvimento e na conclusão deste projeto.

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RESUMO

Conhecer o comportamento de um reservatório durante o processo de deslocamento do óleo pela injeção de água é muito importante na engenharia de reservatórios. Para isso, utiliza-se um modelo de fluxo a fim de predizer e avaliar os possíveis cenários de recuperação de óleo. O modelo de fluxo tem como objetivo representar o deslocamento dos fluidos e a interação com o meio poroso, resultando em equações não-lineares impossíveis de resolver analiticamente. Entretanto, com suposições que simplificam o modelo, alguns autores têm desenvolvido modelos analíticos e semi-analíticos para descrever o processo de deslocamento.

Este trabalho apresenta uma implementação em C++ de um modelo de fluxo com-pressível utilizando o método dos elementos finitos. O código implementado permite realizar simulações para fluxo monofásico e bifásico. No caso monofásico (óleo ou água), os resultados do código são comparados com as soluções analíticas para a pressão e fluxo. O cálculo do plano de saturação constante, com base na teoria de Buckley-Levertt, foi implementado para verificar os resultados do código no caso de fluxo bifásico. O código foi implementado para o fluxo em coordenadas cartesianas e radiais, sendo o caso radial, axissimétrico. Nesse trabalho, são considerados tanto o efeito da gravidade como o da pressão capilar, ja que o uso de simplificações nos modelos de fluxo (como negligenciar os efeitos da gravidade e pressão capilar), podem, em alguns casos, representar o fluxo no meio poroso de uma forma inadequada.

Palavras chave: Método dos elementos finitos mistos , fluxo bifásico, fluxo axissimétrico, meio poroso.

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ABSTRACT

The knowledge of reservoir’s behavior during oil displacement by water injection is very important in reservoir engineering. A flux model is used to predict and analyze possible oil recovery scenarios. This flux model tries to represent fluids’ displacement, and its interaction with the porous medium, giving non-linear equations that are analytically impossible to solve. However, some authors using assumptions to simplify the model, developed analytical and semi-analytical models to describe the displacement process.

This work shows an implementation in C++ of a compressible flux model using the finite elements method. The implemented code allows simulations of single phase and two phase flow. On the monophasic case (oil, water), the code results are compared with the analytical solutions for pressure and flux. Buckley-Levertt’s theory was implemented to verify code’s calculations of constant saturation level on the biphasic flux case. The code was implemented for cartesians and polar coordinates, being axisymmetric in the case of polar coordinates. This work has considered gravity effect and capillary pressure, since the simplified flow models (without gravity or capillary pressure) can lead to poor representation of the fluid flow and mass transportation.

Key Words: Mixed finite element method , biphasic flow, axisymmetric flow, porous media.

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Lista de Figuras

1 Diagrama típico de fase para black oil. McCain (1993). . . 9

2 Malha cartesiana . . . 9

3 Geometria típica de um reservatório com simetria axial. . . 10

4 Esquema de um meio poroso saturado por um ou dois fluidos. Bastian (1999) 11 5 Diferentes escalas em um meio poroso. Bastian (1999) . . . 12

6 Curva na superfície de contato fluido-fluido. Em um tubo capilar (a) e em um meio poroso (b) . . . 16

7 Curva típica da pressão capilar em um meio uniforme (esquerda) e pouco unifome (direita),Turgay Ertekin (2001). . . 18

8 Variação das densidades do óleo e da água, modelo não linear e linear. . . 21

9 Esquema da distribuição da saturação de óleo em um reservatório com injeção de água. . . 23

10 Esquema da produção instantânea e acumulativa de óleo em um reser-vatório com injeção de água. . . 24

11 Distribuição da saturação no sistema axissimétrico. . . 27

12 Método de Welge para o cálculo da saturação média e na frente. . . 30

13 Tipos de deslocamentos . . . 31

14 Frente de saturação antes e depois do breakthrough. . . 32

15 Divisão do domínio em elementos finitos. . . 40

16 Mapeamento do elemento no plano x, y para ξ, η mediante a transformação Te. . . 45

17 Funções de base p=2. . . 46

18 Vetores associados ao espaço hdiv . . . 47

19 Esquema Upwind de primeira ordem. . . 48

20 Convenção da normal. . . 48

21 Esquema da segregação gravitacional. . . 49

22 Função fofw com extremos nulos. . . 49

23 Função f∗ ofw∗ modificada com extremos não nulos. . . 50

(9)

24 Solução exata da pressão no problema modelo. . . 58

25 Solução exata do fluxo no problema modelo. . . 58

26 Exemplo de aproximação para a pressão com elementos quadriláteros e triangulares com h = 1/32 . . . 59

27 Exemplo de aproximação para o fluxo com elementos quadriláteros e tri-angulares com h = 1/32. . . 59

28 Erro da norma L2(Ω) e taxa de aproximação para a pressão com malha de quadriláteros e triângulos. . . 62

29 Erro da norma L2(Ω) e taxa de aproximação para o fluxo com malha de quadriláteros e triângulos. . . 62

30 Esquema de um reservatório com fluxo radial e condições de contorno. . . . 64

31 Posição do poço no reservatório. . . 65

32 Solução analítica e aproximada para a pressão em diferentes tempos. . . 65

33 Esquema dos efeitos difusivo, gravitacional e capilar. . . 66

34 Condições de contorno para um reservatório axissimétrico com injeção de água. . . 67

35 Fluxos fracionais com variação das propriedades dos fluidos. . . 69

36 Perfis de saturação para os casos instável, intermediário e estável. . . 70

37 Produção de óleo para os casos instável, intermediário e estável. . . 71

38 Perfis de saturação com o MEF e IMEX para fluxo com pressão capilar: pcmax= 10 , 5 , 2.5 e 0 psi . . . 73

39 Perfis de saturação variando o efeito da pressão capilar em t = 120dias. . . 74

40 Produção de óleo. . . 75

41 Comparação do perfil de saturação com o IMEX e com MEF (com e sem reconstrução do gradiente da saturação). . . 76

42 Comparação do efeito bidimensional da gravidade com o código de MEF e com IMEX. . . 78 43 Perfis de saturação em várias camadas para fluxo com efeito gravitacional

com o MEF e IMEX em t = 120dias. (ρo = 800Kg/m3 e ρo = 1000Kg/m3). 79

(10)

45 Produção acumulada de óleo com o código de MEF e IMEX. . . 81

46 Reservatório não homogêneo com uma falha normal. . . 83

47 Malha utilizada em IMEX. . . 84

48 Distribuição da saturação em 100 dias. . . 84

49 Distribuição da saturação em 300 dias. . . 85

50 Diferentes tipos de malhas. . . 86

51 Diferentes tipos de malhas com refinamento. . . 87

52 Produção de óleo no caso não homogêneo com IMEX e o MEF. . . 88

53 Distribuição da saturação no tempo de 280 dias. . . 89

54 Distribuição da saturação no tempo 280 dias, malhas refinadas. . . 90

55 Pressão e fluxo no reservatório. . . 91

56 Aproximação de alta ordem para a pressão (k = 1, 2, 3, 4). . . 92

57 Aproximação de alta ordem para o fluxo (k = 1, 2, 3, 4). . . 93

58 Função f∗ ofw∗ modificada com extremos não nulos. . . 105

59 Equilíbrio gravitacional para dois blocos saturados com óleo e água. . . 105

60 Forma de cada equação no caso não linear como funcão da saturação para dt = 100 dias. . . 106

61 Forma de cada equação no caso não linear como funcão da saturação para dt = 1000 dias. . . 107

62 Convergência para cada iteração da saturação no caso não linear. . . 107

63 Forma de cada equação no caso linear como função da saturação para dt = 100 dias. . . 108

64 Forma de cada equação no caso linear como função da saturação para dt = 1000 dias. . . 108

(11)

Lista de Tabelas

1 Correlações para um sistema compressível e levemente compressível . . . . 21

2 Relação das pressões das fases. . . 34

3 Variáveis dependentes da formulação de fluido ponderado. . . 35

4 Variáveis de estado da formulação de fase com o fluxo total. . . 37

5 Variáveis de referência para a adimensionalização do problema. . . 38

6 Variáveis adimensionais. . . 38

7 Erro da norma L2(Ω) e taxas de aproximação para a pressão e fluxo com uma malha de quadriláteros para ordem de aproximação 1,2,3 e 4. . . 60

8 Erro da norma L2(Ω) e taxas de aproximação para a pressão e fluxo com uma malha de triângulos para ordem de aproximação 1,2,3 e 4. . . 61

9 Dados do problema . . . 65

10 Dados do caso de estudo: efeitos viscosos no deslocamento de óleo por água. 69 11 Permeabilidades para cada camada caso não homogêneo. . . 82

(12)

Nomenclatura

Γ Contorno do dominio [−]

ΓD Contorno no qual é imposta a condicao Dirichlet [−]

ΓN Contorno no qual é imposta a condicao neumann [−]

g Gravidade [m s−2]

K Permeabilidade absoluta [m2]

m Fluxo total [kg m−2s−1]

mα Fluxo da fase α [kg m−2s−1]

u Velocidade do fluido [m s−1]

µ Viscosidade da fase α [Pa s]

µ∗α Viscosidade de referência da fase α [Pa s] φ Porosidade da rocha [−]

ρα Densidade do fluido da fase α, [kg m−3]

ρ∗

α Densidade de referência da fase α [kg m−3]

cα Compressibilidade da fase α [1/Pa]

cr Compresibilidade da formação [1/Pa]

fα Fluxo fracional da fase α [−]

fwbt Fluxo fracional da água no tempo de breakthrough [−]

fwe Fluxo fracional da água no poço [−]

fwf Fluxo fracional da água no frente de saturação [−]

krα Permeabilidade relativa da fase α [−]

MiD Massa adimensional de água injetada α [−]

NpD Volume adimensional de óleo produzido [[−]

(13)

pα Pressão da fase α [Pa]

pcαβ Pressão capilar entre a fase α e β [Pa]

q Termo fonte [1/s] Sα Saturação da fase α [−]

Sin Saturação de entrada imposta [−]

SSaida Saturação de sáida imposta [− ]

Swe Saturação da água no poço após do inicio da produção de água [−]

Swf Saturação da água no frente de saturação [−]

(14)

Sumário

1 Introdução 1

1.1 Motivação . . . 1

1.2 Objetivos . . . 2

2 Revisão bibliográfica 3 2.0.1 A importância da simulação de reservatórios . . . 5

2.0.2 Abordagens dos modelos tradicionais . . . 6

2.0.3 Enfoque da simulação de reservatórios . . . 7

2.0.4 O modelo black oil . . . 8

2.0.5 Fluxo axissimétrico . . . 9

2.1 O meio poroso . . . 10

2.1.1 Abordagem do meio contínuo . . . 11

2.2 A lei de Darcy . . . 12

2.3 Fluxo monofásico . . . 13

2.3.1 Conservação da massa do fluido . . . 13

2.3.2 A lei de Darcy para fluxo monofásico . . . 14

2.4 Fluxo multifásico . . . 15

2.4.1 Forma geral das equações de fluxo multifásico . . . 17

2.4.2 Modelo de fluxo bifásico . . . 19

2.5 Efeito da compressibilidade . . . 20

2.5.1 Coeficiente de compressibilidade isotérmico do óleo. . . 20

2.5.2 Coeficiente de viscosidade do óleo. . . 20

2.5.3 Correlações das propriedades dos fluidos e da rocha para um sistema compressível. . . 21

2.6 Deslocamento de fluidos imiscíveis . . . 22

2.7 O fluxo fracional . . . 25

2.7.1 Equação de Buckley-Leverett em coordenadas cilíndricas . . . 26

2.7.2 O método de Welge . . . 29

(15)

3 Formulação forte 34

3.1 Desenvolvimento da formulação de fluido ponderado . . . 34

3.1.1 Lei constitutiva . . . 34

3.1.2 Lei de conservação da massa . . . 36

3.1.3 Equação de transporte. . . 36

3.2 O sistema completo . . . 36

3.3 Adimensionalização da formulação . . . 38

3.3.1 Formulação adimensional . . . 39

4 O Método dos Elementos Finitos. 40 4.1 Geometria do problema a ser resolvido . . . 40

4.2 Formulação fraca . . . 41

4.2.1 Lei de conservação da massa . . . 41

4.2.2 Lei constitutiva . . . 41

4.2.3 Equação de transporte . . . 43

4.3 Espaços de aproximação . . . 44

4.4 Método de Galerkin . . . 44

4.5 Mapeamento dos elementos finitos. . . 45

4.5.1 O elemento mestre . . . 45

4.6 Funções de base de elementos finitos. . . 46

4.7 Modelagem da axissimetria e o esquema de transporte . . . 47

4.7.1 Axissimetria . . . 47

4.7.2 O esquema Upwind . . . 47

4.7.3 Efeito gravitacional . . . 48

4.7.4 Efeito da pressão capilar . . . 51

4.7.5 Reconstrução linear do gradiente da saturação . . . 51

4.8 Resolução do sistema não linear acoplado . . . 52

4.8.1 Cálculo do resíduo . . . 53

(16)

5 Implementação computacional 54

5.1 Classes implementadas . . . 56

6 Verificações e Resultados 58 6.1 Teste numérico para a verificação do problema de Darcy . . . 58

6.2 Verificação: Fluxo monofásico transiente . . . 63

6.3 Verificação do problema de transporte . . . 66

6.3.1 Efeito das viscosidades no deslocamento de óleo por água . . . 68

6.3.2 Efeito da pressão capilar no deslocamento de óleo por água . . . 72

6.3.3 Efeito da gravidade no deslocamento de óleo por água . . . 77

6.4 Produção de óleo em um reservatório não homogêneo . . . 82

7 Conclusões 94

8 Trabalhos futuros 95

Referências 96

A O fluxo fracional de água com o efeito da gravidade e pressão capilar 100

B Dedução das pressões das fases para a formulação de fluido ponderado102

C Deduções para os fluxos das fases da formulação de fluido ponderado 103

D Linearização da função fofw para a modelagem do efeito da gravidade e

(17)

1 Introdução

1.1 Motivação

A simulação numérica do processo de escoamento imiscível de vários fluidos compres-síveis, obteve avanços significativos nos últimos anos e representa uma ferramenta útil em diversas áreas relevantes. Em particular, na indústria do petróleo a utilização da simula-ção numérica permite obter dados quantitativos e qualitativos que podem proporcionar um melhor entendimento dos processos físicos, químicos e dos padrões de escoamento que ocorrem em um reservatório de petróleo (Moussavizadegan 2010).

Matematicamente, o escoamento em meios porosos é modelado por um sistema desa-coplado ou fortemente adesa-coplado de equações diferenciais parciais, sujeito a condições inici-ais e de contorno. Este sistema de equações diferenciinici-ais é constituído por um sub-sistema elíptico ou parabólico (Guy Chavent (1978)), que determina a pressão e a velocidade da mistura, e uma equação linear de transporte que determina, em cada instante de tempo, o valor da concentração do fluido injetado ou produzido. As equações efetivas do modelo matemático são complexas para serem resolvidas analiticamente. Então, aproximações devem ser aplicadas de forma a serem resolvidas por algum método numérico, livre de oscilações, preciso e computacionalmente eficiente. O desenvolvimento de algoritmos nu-méricos, partindo de modelos matemáticos, é uma das etapas mais críticas das atividades computacionais da engenharia do petróleo. A simulação numérica vem evoluindo rapida-mente com avanços de hardware, técnicas de paralelização, algoritmos otimizados, além de geradores automáticos de malhas e visualizadores de dados mais eficientes. O problema de conservação de massa local é um dos principais desafios científicos no desenvolvimento de técnicas numéricas voltadas para a simulação de escoamento multifásico em reservató-rios de petróleo. No contexto de elementos finitos, existem várias propostas e estratégias de aproximação de equações diferenciais que modelam o transporte de massa de uma ou diferentes fases ao longo do meio poroso. Nesse trabalho é analisado uma simplificação do modelo black oil (sistema óleo-água), o qual é comumente utilizado na simulação de reservatórios. Esse modelo é uma simplificação do modelo composicional para descrever o fluxo multifásico com intercâmbio de massa entre as fases em um meio poroso.

A principal motivação deste trabalho é realizar um estudo baseado nas aproximações de elementos finitos, para identificar melhores estratégias de modelagem no âmbito de transporte múltiplo de fases.

(18)

1.2 Objetivos

O foco científico deste projeto é desenvolver, implementar e testar uma aproximação mista baseada no método dos elementos finitos (MEF) a fim de modelar o escoamento bifásico bidimensional axissimétrico em um meio poroso, considerando os efeitos da pres-são capilar e gravidade. Procura-se obter soluções de alta qualidade verificadas através de distintos exemplos.

(19)

2 Revisão bibliográfica

O fluxo de fluidos em meios porosos foi muito estudado durante o século XX. Muskat (1937b), Bear (1972) e DeWiest (1969) são trabalhos clássicos nesta área. Os métodos numéricos utilizados para resolver as equações que governam o fluxo de fluidos no meio poroso são geralmente, diferenças finitas, volumes finitos ou elementos finitos. Um dos trabalhos mais importantes em diferenças finitas é o de Peaceman (1977), trabalho que teve um impacto significativo na engenharia de petróleo e tem sido referenciado inúmeras vezes.

Aziz (1979), Guy Chavent (1978) e Ewing (1983) apresentam métodos numéricos para resolver as equações que descrevem o fluxo em um meio poroso. Baseando-se nestes trabalhos, têm-se realizado análises dos métodos propostos, Arbogast and Wheeler (1995); Chou and Li (1991); Douglas et al. (1983); Douglas and Roberts (1983). No entanto, muitos dos modelos analisados nesses artigos modelam o fluxo incompressível. Fluxo de fluidos ligeramente compressíveis são tratados em Ewing et al. (1989); Potempa and Wheeler (1983), mas não são analisados os efeitos da gravidade e pressão capilar. No final do século XX, foi analisado o fluxo bifásico água-ar utilizando o método dos elementos finitos, Chen and Espedal (1995). Nesses trabalhos, foram considerados os efeitos da gravidade, mas não é analisada a transferência de massa entre as fases.

Chen (2000) analisa o modelo black oil, o qual é muito utilizado na simulação de reservatórios. Nesse trabalho, se define o modelo black oil como uma simplificação do modelo composicional para descrever o fluxo multifásico no meio poroso com transferência de massa entre as fases. No modelo black oil descrito em Chen (2000), o transporte é determinado pela pressão e fluxo. Esse é um motivo para obter boas aproximações para essas variáveis. No entanto, métodos mais eficientes podem ser usados para resolver as equações de saturação, Chen and Ewing (1997c); Douglas and Roberts (1983). Nos esquemas numéricos, as equações podem ser tratadas de várias formas em função da discretização: totalmente implícito, implícito na pressão e explícito na saturação (IMPES), e o método adaptativo implícito (AIM). Teoricamente, o método totalmente implícito gera melhores resultados, Kamyabi (2014).

Métodos variacionais para problemas de deformação em placas e cascas, foram es-tudados durante os séculos IXX e XX por Rayleigh (1888), Galerkin e outros. Muitos investigadores na área de engenharia civil têm trabalhado com elementos finitos por ser um método que permite modelar uma grande quantidade de problemas. No entanto, so-mente nos últimos 20 anos que o método dos elementos finitos tem se convertido em um dos principais tópicos de investigação na engenharia de reservatórios, onde a abordagem

(20)

De acordo com Calle (2002), o nome de método de elementos finitos está associado ao método de Galerkin com funções de aproximação polinomiais por partes. O método dos elementos finitos tornou-se o método de aproximação de maior sucesso na engenharia. O grande sucesso do método de elementos finitos se deve às propriedades de convergên-cia para problemas elípticos, de continuidade e diferenconvergên-ciabilidade e à definição simples das funções polinomiais por partes, (Babuska (1973)). Oden et al. (1981) introduzem o método de elementos finitos como uma técnica geral para construção de soluções apro-ximadas para problemas de valor de contorno, o método foi originalmente desenvolvido para análise estrutural de aviões na década de 1950. Seus fundamentos teóricos foram estabelecidos nas décadas de 1960 e 1970. Posteriormente, foi aplicado, também com sucesso, em problemas não estruturais, como em aproximação de escoamento de fluidos. O método de resíduo ponderado combinado com espaços de funções descontínuas gera esquemas numéricos muito eficientes para resolução de problemas de fluidos. No caso em que as funções de aproximação e peso (função teste) são constantes sobre os elementos da discretização, o método é conhecido como método de volumes finitos ou volumes de controle, Devloo (2005).

Ao aplicar o método dos Elementos Finitos clássico para resolver o problema de Darcy, encontra-se uma aproximação para a variável de pressão e utilizam-se técnicas de pós processamentos para se obter uma estimativa para o fluxo, Aarnes (2007). Sabe-se que, com esta técnica, a taxa de convergência para o fluxo é inferior quando comparada com a da pressão. Uma metodologia desenvolvida para tentar melhorar a aproximação de problemas deste tipo é conhecida como Método Misto de Elementos Finitos, cujo princípio consiste na aproximação simultânea das variáveis de fluxo e da pressão.

Nos métodos clássicos de diferenças finitas, as equações diferençais parciais são apro-ximadas pela divisão de diferenças entre pontos discretos no domínio. O método dos vo-lumes finitos têm uma motivação física, pois é derivado da conservação das quantidades físicas no volume. Tanto as diferenças finitas como os volumes finitos são fundamental-mente diferentes na interpretação e derivação.

O método de Galerkin descontínuo é uma classe de método de elementos finitos que utiliza funções de espaços polinomiais completamente descontínuas para a solução numérica e para as funções testes. Pelo método de Galerkin descontínuo têm-se mais graus de liberdade devido às descontinuidades nos limites dos elementos, isso facilita a realização de um tratamento adequado nos extremos dos elementos (dos saltos) para obter métodos altamente precisos em diversas situações complexas, Ern et al. (2009).

Para aproximação de problemas elípticos, é de uso corrente utilizar o método de elementos finitos. Entretanto, para os problemas hiperbólicos, como a convecção, o

(21)

mé-todo de elementos finitos clássico apresenta deficiências que motivam o uso do mémé-todo de Galerkin descontínuo. Assim, para problemas de convecção-difusão, faz-se necessá-ria a busca de métodos que sejam consistentes com as duas formulações (hiperbólicas e elípticas). Para tal, adota-se o método de Galerkin descontínuo para toda a formulação, Devloo (2005).

Até pouco tempo o método de Galerkin descontínuo era usado principalmente para solucionar problemas hiperbólicos de primeira ordem como a equação (1).

ut+ f (u)x+ g (u)y = 0 (1)

O primeiro método de Galerkin descontínuo foi apresentado em 1973 por Reed and Hill em termos de transporte de nêutrons, como a equação (1), mas sem o termo que depende do tempo ut com a linearidade f (u) = au e g (u) = bu, onde a e b são termos

que não dependem de u. Um desenvolvimento do método de Galerkin descontínuo é realizado por Cockburn, Shu e seus colaboradores, no qual estabeleceram um marco para resolver facilmente problemas não lineares dependentes do tempo utilizando discretização no tempo de forma explícita para o método de Runge-Kutta de alta ordem, Shu (2001).

Os métodos de Galerkin descontínuo para a equação (1), têm apresentado aplica-ções rápidas em diversas áreas como: aeroacústica, eletromagnetismo, dinâmica de gases, fluxos granulares, meteorologia, oceanografia, simulação de reservatórios, transporte de contaminantes em meios porosos, fluxos turbulentos, entre muitos outros.

O método de Galerkin descontínuo têm as seguintes características:

• Pode ser facilmente usado para qualquer ordem de aproximação no espaço e no tempo.

• É eficiente na resolução de problemas hiperbólicos (pode ser implícito ou explícito). • O método é altamente compacto, a informação de cada elemento depende somente

deles e de seus vizinhos imediatos.

2.0.1 A importância da simulação de reservatórios

A importância da simulação de reservatórios deriva-se da necessidade dos engenheiros de petróleo em obter predições de rendimento precisas de um reservatório de hidrocarbo-netos em diferentes condições de operação. Essa necessidade surge do fato que um projeto de recuperação de hidrocarbonetos, que pode implicar um investimento de centenas de milhões de dólares, possui um risco associado ao plano do desenvolvimento escolhido, o

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2.0.2 Abordagens dos modelos tradicionais

Métodos tradicionais de previsão do comportamento de reservatórios podem ser di-vididos em três categorias: métodos analógos, métodos experimentais e métodos ma-temáticos. Os métodos análogos usam propriedades de reservatórios maduros que têm propriedades geofísicas e petrofísicas similares para predizer o comportamento da zona ou reservatório. Os métodos experimentais medem propriedades físicas (como a vazão, pressões ou saturações) em laboratórios, e os resultados são escalados para a acumulação de hidrocarbonetos. Finalmente, os métodos matemáticos usam equações para predizer o comportamento do reservatório.

Métodos Análogos

Após a perfuração, quando se têm limitações ou não há dados disponíveis, esse método de engenharia de reservatórios pode ser usado para realizar uma análise do com-portamento do reservatório como uma analogia com outros reservatórios. Esse método é usado para estimar o fator de recuperação, vazão inicial de produção, predição de de-clínio da pressão e mecanismos de recuperação. O método pode proporcionar resultados confiáveis quando os reservatórios similares são comparados às mesmas condições e são usadas estratégias de desenvolvimento. Esse método é raramente usado na atualidade, Guy Chavent (1978).

Métodos experimentais

Os métodos experimentais têm um papel importante na compreensão dos reser-vatórios de óleo. Nos métodos experimentais há uma extrapolação dos dados medidos no laboratório, porém, muitas vezes têm mais fundamento que os métodos analógicos, Guy Chavent (1978).

Modelos analíticos

Os modelos analíticos são provavelmente os modelos mais utilizados. Esses modelos incluem balanço de massa, curvas de declínio e métodos de testes de poços. Cálculos manuais ou procedimentos gráficos são generalmente suficientes quando esse método é usado. Esses métodos são geralmente feitos com uma série de simplificações devido à complexidade dos cálculos.

(23)

Modelos numéricos

Os modelos numéricos são usados geralmente em computadores de alta velocidade para resolver as equações matemáticas que descrevem o comportamento físico dos pro-cessos em um reservatório. O objetivo é obter uma aproximação numérica. O resultado do processo de formulação é um conjunto de EDP’s não lineares acopladas que descreve o fluxo de fluidos no meio poroso.

As equações derivadas no processo de formulação, se resolvidas analiticamente (exa-tamente), proporcionariam a pressão, fluxo, e saturações como funções de tempo e espaço. Devido à natureza não linear das equações, técnicas analíticas não podem ser usadas e as soluções são então obtidas por métodos numéricos (solução aproximada).

Em contraste com as soluções analíticas, as soluções numéricas proporcionam os valores da pressão, fluxo e saturação em pontos discretos do reservatório. Em geral, os métodos analíticos proporcionam soluções exatas para problemas simples, enquanto os métodos numéricos são usados para obter soluções aproximadas de problemas mais complexos.

2.0.3 Enfoque da simulação de reservatórios

A simulação é uma ferramenta de predição padrão na indústria do petróleo. Essa aceitação generalizada pode ser atribuída: aos avanços na tecnologia da computação, par-ticularmente à velocidade e o incremento da memória, avanços em técnicas numéricas para resolver equações diferençais parciais (EDP’s); à generalidade construída nos simu-ladores de reservatórios que permitiram usá-los em muitos casos, avanços em técnicas de caracterização de reservatórios e o desenvolvimento cada vez mais complicado de técnicas de recuperação de óleo que analiticamente seria impossível analisar.

Um conjunto de equações matemáticas desenvolvidas a partir de um conjunto de EDP’s, com condições de contorno apropriadas, aproximam o comportamento do reserva-tório pela simulação numérica do mesmo. Essas equações incorporam os processos físicos mais importantes que ocorrem no reservatório, incluindo, entre outras coisas, o fluxo dos fluidos em três fases, a transferência de massa entre as fases, os efeitos da viscosidade, a pressão capilar e a força gravitacional sobre o fluido. Esses processos são considerados através do uso da forma generalizada da lei de Darcy.

A vantagem dessa abordagem está no fato de que considera um menor número de simplificações, podendo ser usado para reservatórios heterogêneos com transferência de massa entre as fases.

(24)

2.0.4 O modelo black oil

O modelo black-oil é uma simplificação do modelo composicional para descrever o fluxo através de um meio poroso de hidrocarbonetos pesados ("o óleo"), um componente de hidrocarbonetos leves ("o gás") e a água. Dependendo das condições de pressão e temperatura, o componente leve pode eventualmente estar completamente dissolvido no componente pesado (então nesse caso teremos somente uma fase de hidrocarbonetos). Ou de modo contrário, poderia ocorrer que o componente pesado se evaporasse completa-mente (nesse caso teríamos socompleta-mente uma fase de hidrocarbonetos gasosa). Para condições intermediárias temos duas fases de hidrocarbonetos, uma líquida e uma gasosa, onde cada uma contém os dois componentes em proporções variáveis. Será estudado neste trabalho um modelo isotérmico (temperatura constante no espaço e tempo) com pressões abaixo da pressão crítica.

McCain (1993), classificou o óleo em função da forma de seus diagramas de fases e a posição do ponto crítico. Ele propôs 5 tipos de petróleo:

• Black Oil • Volatile Oil • Retrograde Gas • Wet Gas

• Dry Gas

O modelo Black Oil consiste de vários compostos químicos de hidrocarbonetos, incluindo moléculas grandes, pesadas e não voláteis. A principal vantagem do modelo Black Oil é possibilitar a descrição de certo tipo de fluidos com o mínimo de parâmetros necessários. Nesse modelo, o diagrama de fases cobre uma escala ampla de temperaturas e o ponto crítico é bem elevado, isto ajuda na descrição de óleos que contêm pouca quantidade relativa de gás.

Um diagrama de fase é apresentado na Figura (1), onde as linhas dentro da envolvente representam o volume de líquido constante, como uma porcentagem do volume total. As linhas são chamadas de linhas de qualidade. Para o Black Oil essas mesmas linhas apresentam um espaçamento regular.

A linha vertical representa a diminuição de pressão que o fluido experimenta a tem-peratura constante. Qualquer ponto do segmento 1-2 representa o estado onde não há

(25)

liberação de gás. Qualquer outro ponto do segmento 2-3 e 3-separator envolvem liberação de gás. 90 80 70 60 50 40 30 20 10 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ponto cr´ıtico press˜ao do reservat´orio

linha dos p ontos debol ha separ ador separador Black Oil % de liquido press˜ao tempe ratur a

Figura 1: Diagrama típico de fase para black oil. McCain (1993).

2.0.5 Fluxo axissimétrico

Esse trabalho implementa uma aproximação numérica de fluxo em um meio poroso (Lei de Darcy) em um domínio axissimétrico. Muitas geometrias, na natureza ou fabrica-das, são axisimétricas, seja por evolução ou por desenho. O problema cilíndrico é reduzido de um problema computacional tridimensional (3D) em um problema bidimensional (2D), essa redução diminui consideravelmente a necessidade de esforço computacional para apro-ximar a solução, Ervin (2013). Geralmente, os modelos computacionais axissimétricos são usados para validar modelos computacionais mais complexos em três dimensões. A Fi-gura (2) representa um modelo cartesiano o qual pode ser modificado com as cosiderações adequadas, em coordenadas radiais no caso axissimétrico, como é mostrado na Figura (3) na qual cada cor representa uma variação de uma propriedade qualquer.

(26)

Figura 3: Geometria típica de um reservatório com simetria axial.

2.1 O meio poroso

Um meio poroso é um corpo composto por uma parcela sólida, chamada matriz sólida, e um espaço vazio, chamado espaço poroso. O espaço poroso pode estar saturado de um ou mais fluidos (e.g. água, óleo, gás).

Uma fase é definida por J. Bear (1991) como uma porção quimicamente homogênea de um sistema, considerando que está separada de outras fases por um limite físico de-finido. No caso de um sistema monofásico, o espaço poroso está saturado por somente um fluido ou vários fluidos completamente miscíveis (e.g. água e água salgada). Em um sistema multifásico, o espaço poroso é saturado por dois ou mais fluidos imiscíveis uns com outros os quais mantêm uma fronteira entre eles (e.g. água com óleo), e pode existir somente uma fase gasosa já que os gases são sempre miscíveis. Formalmente, a matriz sólida pode ser considerada como a fase sólida. A Figura (4) representa a seção transversal de um meio poroso bidimensional, a figura da esquerda representa um meio saturado por água e a figura da direita representa um meio saturado por duas fases.

(27)

Figura 4: Esquema de um meio poroso saturado por um ou dois fluidos. Bastian (1999)

A fim de obter modelos matemáticos para o fluxo de fluidos em meios porosos, algumas restrições são consideradas na geometria do meio poroso, Corey (1994):

1. O espaço vazio do meio poroso está interconectado.

2. A dimensão do espaço poroso é infinitamente grande em comparação ao tamanho das partículas do fluido e dos poros.

3. As dimensões do espaço vazio devem ser suficientemente pequenas de modo que o fluxo do fluido é controlado por forças adesivas na interface fluido-sólido (sistema monofásico) e forças de coesão nas interfaces líquido-líquido (sistemas multifásico).

O primeiro pressuposto é óbvio, já que nenhum fluxo pode ter lugar em um espaço vazio não interconetado. A segunda consideração nos permitirá substituir as moléculas de líquido no espaço vazio por um contínuo hipotético e a terceira consideração exclui os casos como uma rede de tubos da definição de um meio poroso.

2.1.1 Abordagem do meio contínuo

Uma característica importante na modelagem de fluxo em meios porosos é a consi-deração de diferentes escalas, a Figura (5) mostra uma seção transversal através de um meio poroso. Pode-se observar diferentes tipos de areias em três escalas de comprimento.

(28)

Figura 5: Diferentes escalas em um meio poroso. Bastian (1999)

Na Figura (5) vemos a zona de transição a partir de uma areia fina para uma areia mais grossa, o espaço vazio é suposto estar saturado com água. Em mecânica dos contí-nuos clássica, as moléculas individuais em escala molecular são substituídas por um meio contínuo hipotético na escala microscópica. Quantidades como a densidade ou velocidade são agora consideradas contínuas no espaço e no tempo. A abordagem do meio contínuo é uma abordagem válida se o comprimento do meio poroso é muito grande e as molécu-las de fluido são muito menores que o domínio físico de interesse, isto é garantido pela consideração 2.

2.2 A lei de Darcy

A fim de desenvolver uma representação quantitativa do comportamento dos fluidos que escoam através de um meio poroso, é necessário primeiro estabelecer os princípios físicos que determinam esse comportamento.

Esses princípios são fundamentalmente os mesmos que regem o movimento de fluidos viscosos expressos nas equações de Navier-Stokes da hidrodinâmica clássica, que impõem sobre a distribuição de velocidade em cada sistema de fluxo a exigência do equilíbrio dinâmico entre as forças de inércia e viscosas, e forças externas do corpo e da distribuição interna das pressões de fluidos, Muskat (1937a).

Infelizmente, apesar da simplificação justificada de desprezar as forças inerciais (de-vido as baixas velocidades caraterísticas do fluxo em um meio poroso), as dificuldades matemáticas de aplicar essas equações ao meio poroso são, para fins práticos, inaplicá-veis. Isso levou a Darcy, em 1856 se interessar nas caraterísticas do fluido em filtros de areias. Darcy teve que recorrer a um estudo experimental do problema, e foi assim que

(29)

levou a fundação da teoria quantitativa do fluxo de fluidos em meios porosos. Essas expe-riências clássicas deram como resultado, que a vazão de fluxo de água Q através do filtro é diretamente proporcional a área A da areia, a diferença Δh entre a coluna de fluido e inversamente proporcional ao comprimento L. É expressa analiticamente por:

Q∝ AΔh

L (2)

Onde a constante de proporcionalidade é uma caraterística da areia.

Em vista do caráter fundamental deste resultado, é natural que o estudo de sua vali-dade foi objeto de inúmeras investigações. As investigações foram essencialmente de dois tipos: das que tinham por objetivo a verificação da equação (2) e as que queriam esta-belecer modificações apropriadas na equação, e as investigações que tinham por objetivo o estudo da natureza da constante c e como determiná-la em função das propriedade da areia ou meio poroso.

2.3 Fluxo monofásico

Vamos considerar as equações macroscópicas para o fluxo e transporte no meio poroso quando o espaço vazio é saturado por somente uma fase (e. g. água ou vários fluidos completamente miscíveis).

2.3.1 Conservação da massa do fluido

Supondo que o meio poroso tem um domínio Ω ⊆ R3, a conservação de massa do

fluido é expressa pela equação diferençal parcial:

∂ (φρ)

∂t +∇ · (ρu) = ρq em Ω (3) A forma integral dessa equação afirma que a taxa de variação da massa de fluido em um volume de controle arbitrário V ⊆ Ω é igual ao fluxo do fluido sobre a superfície ∂V e da contribuição das fontes ou sumidouros dentro de V . As quantidades da equação 3 têm os seguintes significados:

φ (x, p) É a porosidade do meio, sendo função da posição no caso do meio heterogêneo. Em geral depende da pressão do fluido.

ρ (p) É a densidade do fluido �Kgm3

(30)

u (x, t) É a velocidade macroscópica aparente [m/s]. Essa velocidade é percebida por um observador macroscópico. No nível microscópico o fluxo ocorre somente através dos canais dos poros onde a velocidade média observada é u

φ.

q (x, t) Termo fonte s−1.

2.3.2 A lei de Darcy para fluxo monofásico

Utilizando técnicas de médias locais, Whitaker (1986), ou homogeneização, Hornung (1997), pode-se demonstrar que sobre as hipóteses adequadas, a conservação do momento da equação de Navier-Stokes reduz-se à lei de Darcy no nível macroscópico, dada por:

u = K

µ (∇p − ρgz) (4)

Essa relação foi descoberta experimentalmente para o caso unidimensional por Darcy em 1856. Se trata basicamente de uma conseqüência da consideração 3 do meio poroso. As quantidades na equação (4) têm o seguinte significado:

p (x, t) Pressão do fluido [P a], é uma função desconhecida a ser determinada pelo modelo de fluxo.

g Aceleração gravitacional �sm2

g = 9.8 m/s2.

K (x) Tensor de permeabilidade absoluta [m2]. É um parâmetro da matriz sólida e

pode depender da posição no caso de um meio heterogêneo. Além disso, a rocha pode ser anisotrópica se o meio poroso tiver uma direção de fluxo preferencial.

µ (x, t) Viscosidade dinâmica do fluido [P a · s] , é constante para o caso incompres-sível e função da pressão para o caso compresincompres-sível.

Os métodos numéricos para resolver o problema são baseados em duas diferentes abordagens: Uma envolve uma formulação primal para a pressão (é resolvida somente a equação da pressão e o fluxo é obtido mediante pós-processamento); e a outra, a dual, envolve uma formulação mista na qual a pressão e o fluxo são variáveis de estado.

Para resolver o problema com a formulação primal pode-se inserir a equação (4) na equação (3) o que produz a seguinte equação para a pressão, p.

(31)

∂ (φρ) ∂t − ∇ · � ρK µ (∇p − ρgz) � = ρq em Ω (5) com as condições iniciais e de contorno:

p (x, 0) = p0(x) em Ω (6)

p (x, 0) = pD(x, t) em ΓD e ρu· n = γ (x, t) em ΓN (7)

Para a formulação dual é resolvido o sistema composto pelas equações (3) e (4).

2.4 Fluxo multifásico

Nesta seção é apresentado o modelo matemático macroscópico que descreve o fluxo multifásico em meios porosos. Cada fase descontínua a partir do nível microscópico é substituída por uma fase contínua no nível macroscópico.

Considerações microscópicas para sistemas multifásicos

O fluxo monofásico é governado por forças geradas pelas diferenças de pressão dentro do reservatório e pela força gravitacional no exterior. No fluxo multifásico, as interfaces entre os fluidos no nível microscópico dão origem a uma força capilar que desempenha um papel importante nesses fluxos, Bastian (1999).

Capilaridade

A Figura (6) mostra a interface entre duas fases. A parte (a) mostra em um tubo capilar a interface no contato ar, a parte (b) amostra a interface de contato água-NAPL (Non-aqueous phase liquid) em um canal poroso. No nível molecular as forças adesivas estão atraindo as moléculas do fluido à matriz sólida e as forças coesivas estão atraindo as moléculas de um fluido ao outro. Na interface fluido-fluido essas forças não são equilibradas, produzindo uma curvatura na interface.

(32)

Figura 6: Curva na superfície de contato fluido-fluido. Em um tubo capilar (a) e em um meio poroso (b)

A magnitude das forças adesivas diminui rapidamente com a distância à parede. A interação com as forças coesivas leva a um ângulo de contato específico θ entre a superfície sólida e a interface fluido-fluido que depende das propriedades dos fluidos. Os fluidos para os quais θ < 90o é chamado fluido molhante, e a outra fase é chamada de fase não

molhante.

Pressão capilar

A interface curva entre uma fase molhante β, e uma fase não molhante α é mantida por uma descontinuidade na pressão microscópica de cada fase. A magnitude do salto na pressão é chamada pressão capilar pcβα:

pcαβ = pα− pβ (8)

O tratamento das pressões capilares em simuladores numéricos tem sido estudado há cerca de duas décadas, no contexto de uma ampla variedade de esquemas numéricos e ainda é um campo de investigação ativo, Bastian (2013)

Saturação

A saturação de uma fase α é definida como o volume da fase α no espaço dividido pelo volume poroso, assim:

Sα(x, t) =

volume da f ase α em (x, t)

(33)

Da definição de saturação, tem-se que: �

α

Sα(x, t) = 1, 0.0 ≤ Sα(x, t)≤ 1.0 (10)

2.4.1 Forma geral das equações de fluxo multifásico Conservação da massa

Supondo que o meio poroso tem um domínio Ω ⊆ R3. A conservação de massa de

cada fase α é dada por:

∂ (φραSα)

∂t +∇ · (ραuα) = ραqα (11) Cada fase tem sua própria densidade ρα, saturação Sα, velocidade uα e termo fonte

qα. Da restrição algébrica da saturação, equação (10), se tem m fases, então irá existir

somente m − 1 variáveis de saturação independentes.

Generalização da lei de Darcy

Do mesmo modo que para o caso monofásico, o caso multifásico pode ser demonstrado por meio de técnicas de volume médio ou homogeneização, e a velocidade macroscópica de cada fase pode ser expressa em termos da pressão macroscópica:

uα =−

µα

(∇pα− ραgˆz) (12)

onde Kα depende da saturação da fase, ou seja:

Kα = krα(Sα) K (13)

A permeabilidade relativa da fase (krα) é um fator adimensional, e K é a

perme-abilidade absoluta, a qual é independente da fase. A relação (13) foi dada por Muskat (1937b) e verificada com dados experimentais por Scheidegger (1974). Derivações teóricas sugerem que a relação (13) pode ser, em geral, mais complicada, Whitaker (1986).

O modelo de permeabilidade relativa krα modela o fato que parte do fluido α esta

bloqueando a presença das outras fases. A permeabilidade relativa pode ser considerada como um fator de escala no fluxo. Esse fator obedece que:

(34)

0.0 ≤ krα ≤ 1.0 (14)

inserindo a equação (13) em (12) temos finalmente a lei de Darcy para sistemas multifá-sicos:

uα =−

krα

µα

K (∇pα− ραgz) (15)

Pressão capilar macroscópica

Na subsecção (2.4) foi estudada a pressão capilar no nível microscópico como uma descontinuidade na pressão nas interfaces dos fluidos, esse fato é refletido na pressão capilar no nível macroscópico:

pcαβ(x, t) = pα(x, t)− pβ(x, t) α�= β (16)

Curvas de pressão capilar

Em geral, a pressão capilar macroscópica é função da temperatura do fluido, da saturação e da tensão superficial, mas para efeitos práticos considera-se que a pressão capilar depende somente da saturação, ou seja pcwo = pcwo(Sw). Nota-se na Figura (7)

que a pressão capilar é sempre zero quando a saturação de água é maxima.

Figura 7: Curva típica da pressão capilar em um meio uniforme (esquerda) e pouco unifome (direita),Turgay Ertekin (2001).

(35)

para um meio poroso uniforme (esquerda) e pouco uniforme (direita), em ambos os casos se trata de um ciclo de drenagem.

2.4.2 Modelo de fluxo bifásico

Supondo o domínio Ω ⊆ R3 e o intervalo de tempo T = (0, t), o problema bifásico

para as fases α e β em Ω × T é dado por:

• Lei de conservação da massa de cada fase α, com α = w, o: ∂ (φραSα)

∂t +∇ · (ραuα) = ραqα (17) • Lei generalizada de Darcy:

uα =−K krα µα (∇pα− ραgz) (18) com a restrição: So+ Sw = 1.0 (19)

Considerando a pressão capilar, pcwo, como função da saturação:

po− pw = pcwo(Sw) (20)

com as condições iniciais e de contorno:

Sα(x, 0) = Sα0(x) , pα(x, 0) = pα0(x) x∈ Ω (21)

Sα(x, t) = SαD(x, t) em ΓSαD (22)

pα(x, t) = pαD(x, t) em ΓpαD (23)

(36)

2.5 Efeito da compressibilidade

2.5.1 Coeficiente de compressibilidade isotérmico do óleo.

À pressões abaixo da pressão de bolha, deve-se considerar um termo devido ao vo-lume do gás que está sendo liberado. Como nos gases o coeficiente de compressibilidade isotérmico do óleo é normalmente chamado "compressibilidade" ou neste caso, compres-sibilidade do óleo.

Pressões acima do ponto de bolha.

A definição do coeficiente de compressibilidade isotérmico em pressões acima do ponto de bolha é: co =− 1 V � ∂V ∂p � T (25)

Esta equação proporciona a variação no volume de líquido produzido por uma mu-dança na pressão à uma temperatura constante. O subíndice T indica que a temperatura é constante.

A equação (25) pode ser integrada se assumirmos co constante, o que resulta:

co ˆ p2 p1 ∂p =− ˆ v2 v1 ∂v v (26) co(p2− p1) = −Ln � V2 V1 � (27) sendo finalmente, V2 = V1eco[p1−p2] (28)

A equação (28) pode ser escrita também em termos da densidade do óleo. Para pressões abaixo do ponto de bolha tem-se liberação do gás dissolvido no óleo, o estudo desse fenômeno não é estudado neste trabalho.

2.5.2 Coeficiente de viscosidade do óleo.

O coeficiente de viscosidade é uma medida de resistência que um fluido possui para fluir. A viscosidade aparece como um coeficiente em todas as equações que descrevem

(37)

o fluxo de fluidos. Assim como outras propriedades físicas dos líquidos, a viscosidade é afetada pela pressão e temperatura. Um incremento na temperatura causa um decremento na viscosidade, um aumento na pressão causa um decremento na viscosidade. No caso dos reservatórios de líquidos, têm-se um terceiro parâmetro que afeta a viscosidade, o gás em solução. Um decremento na quantidade de gás em solução no líquido causa um incremento na viscosidade. A quantidade de gás em solução é função direta da pressão.

2.5.3 Correlações das propriedades dos fluidos e da rocha para um sistema compressível.

Variável Não linear Linear ρα ρ∗αecα(p−p

)

ρ∗α(1 + cα(p− p∗))

φ φ∗ecr(p−p∗) φ(1 + c

r(p− p∗))

Tabela 1: Correlações para um sistema compressível e levemente compressível

A Tabela (1) apresenta a variação dos parâmetros para um sistema compressível e levemente compressível.

A Figura (8) apresenta a variação na densidade para o caso não linear e linear conforme descrito na Tabela (1). Nota-se que se os fluidos forem apenas levemente com-pressíveis, é possível linearizar os termos, como é descrito pelas funções lineares da Tabela (1).

(38)

2.6 Deslocamento de fluidos imiscíveis

A miscibilidade para os reservatórios de petróleo, define-se como a condição física entre dois ou mais fluidos, a qual os permite se misturar, ou seja, sem a existência de uma interface entre os fluidos. Por outro lado, se uma quantidade de fluido é adicionada a outro, e se formam duas fases separadas (existe uma interface entre os fluidos), os fluidos são considerados imiscíveis.

O óleo pesado não tem habilidade para sair por si mesmo dos poros da rocha do reservatório no qual se encontra, geralmente neste caso, o óleo sai pela acumulação de um fluido imiscível, como a água ou o gas. Este processo é chamado de deslocamento de fluidos imiscíveis. Em um reservatório com injeção de água, existe um deslocamento gradual de óleo pelo avanço da água, o qual é imiscível com o óleo. A produção de fluidos do reservatório origina um gradiente de presão através do contato água-óleo, cautilizando a invasão do aquífero no reservatório. Para o estudo deste tipo de deslocamento, neste trabalho é considerada a injeção de água em um reservatório inicialmente saturado por óleo So, com presença de àgua conata, Swr, como se mostra na Figura (9a).

A Figura (9) mostra o esquema de um reservatório com injeção de água como mecan-ismo de produção. No tempo inicial o reservatório encontra-se saturado por óleo com presença da saturação de água conata (So = 1− Swr). Com o início da injeção de água,

começa a produção de óleo, como é visto na Figura (9b), nesta etapa, o cálculo da pro-dução de óleo é relativamente simples dado que, para o caso incompressível, a vazão de óleo produzido é igual à da água injetada, como pode-se observar na produção instantânea, Figura (10a), do mesmo modo que no esquema da produção acumulativa de óleo, Figura (10b), nesse gráfico a inclinação da curva representa é igual a vazão de água injetada.

Após de certo tempo á água chega até o proço produtor, como pode-se observar na Figura (9c), esse momento é conhecido como "breakthrough" (tbt), é somente até

esse momento tem-se uma produção de óleo sem água, como se observa na produção instantânea e acumulativa das Figuras (10c) e (10d). Logo, têm-se produção de óleo e água como se mostra na Figura (9d). A produção instantânea de óleo diminui gradualmente devido a produção de água injetada, como pode-se observar na Figura (10e), na produção acumulativa de óleo, tem-se uma curva que vai assintoticamente até o volume poroso do reservatório, Figura (10f).

Para modelar este problema é necessario introduzir o conceito do fluxo fracional, o qual permite descrever a forma do perfil da saturação, e desenvolver a solução da equação de Buckley-Leverett em coordenadas cilíndricas, que permite calcular a posição da frente de saturação.

(39)

�����

������������ ��������� ������������ ����� ����� ���������

(a) Condição inicial.

������������ ����� ������������ �����

�����

�����

(b) Antes do "breakthrough". ������������ ����� ������������ �����

�����

�����

(c) No "breakthrough". ������������ ����� ������������ ������������

�����

�����

(d) Depois do "breakthrough".

Figure 9: Esquema da distribuição da saturação de óleo em um reservatório com injeção de água.

(40)

������������������������������ �� ���� ������ ��� ��� ����

(a) Produção instantânea antes do tbt.

������ ����������������������������� �� �� ��� ��� ����

(b) Produção acumulada antes do tbt.

��� ��� ��� ������ ����� ������������������������������ �� ���� (c) Produção instantânea no tbt. ��� ��� ��� ������ ���� ��� ������������������������������ �� ��

(d) Produção acumulada até o tbt.

�� ��� ��� ������ ��� ����� ������������������������������ �� ����

(e) Produção instantânea depois do tbt.

��� ��� ��� ������ ��� ���� ���� ���� ������������������������������ �� ��

(f) Produção acumulada depois do tbt.

Figure 10: Esquema da produção instantânea e acumulativa de óleo em um reservatório com injeção de água.

(41)

2.7 O fluxo fracional

O fluxo de cada fase é dado pela lei de Darcy (mα = ραuα), definindo a mobilidade

de cada fase como λα(Sw, pα) = λα = kµαρα, pode-se escrever que:

mo = Kλo(∇po) (29)

mw = Kλw(∇pw) (30)

o fluxo total, m, é dado pela somatória dos fluxos das fases:

m = mo+ mw (31)

se não há pressão capilar, a pressão das fases são iguais a pressão do reservatório, po =

pw = p. Definindo a mobilidade total λ = λo+ λw, obtêm-se:

m = Kλo(∇p) + Kλw(∇p) (32)

ou seja:

m = K(λo+ λw)∇p = Kλ∇p (33)

definindo o fluxo fracional de cada fase como fα = mmα, onde mα e m são as magnitudes

do fluxo da fase e do fluxo total respectivamente, têm-se:

fw = λλw; fo = λλo

As expressões obtidas para o fluxo fracional são válidas unicamente se não são consi-derados os efeitos da gravidade nem a pressão capilar. No Apêndice A, são consiconsi-derados esses efeitos no fluxo fracional para o caso unidimensional.

(42)

2.7.1 Equação de Buckley-Leverett em coordenadas cilíndricas

Em 1942, Buckley e Leverett apresentaram a equação básica para descrever o fluxo imiscível em uma direção. Para o caso do deslocamento de óleo por água, a equação determina a velocidade de um plano de saturação constante viajando atráves do meio poroso. Com a finalidade de introduzir uma solução analítica que descreva o deslocamento de fluidos em coordenadas cilíndricas, deve-se considerar as seguintes simplificações:

• Fluxo bifásico.

• Não existem termos fontes no meio poroso.

• Fluxo incompressível: A vazão de água injetada é igual à soma da vazão de água e óleo produzidos.

• Fluxo unidimensional radial.

• Meio poroso homogêneo: Porosidade e permeabilidade constantes.

A teoria de deslocamento de fluidos imiscíveis de Buckley e Leverett foi introduzida inicialmente para modelar o fluxo unidimensional linear (coordenadas cartesianas), nesse caso o fluxo, m, permanece constante no espaço dado que a área transversal é constante. No caso axissimétrico, o fluxo pela área transversal (mA) é constante.

Buckley e Leverett admitiram a existência de um plano de saturação constante, ou seja, de uma onda de choque, com uma saturação maior do que a saturação de água conata, Swf. Isso implica uma descontinuidade no perfil, que esta se deslocando no reservatório

com uma velocidade constante.

A superfície na qual á agua é injetada possui a saturação maxima, e vai gradual-mente diminuindo até atingir a saturação na frente. A propagação da onda depende das propriedades dos fluidos como será mostrado nas seções seguintes. A Figura (11a) mostra a distribuição da saturação no reservatório visto no plano r, θ e a Figura (11b) no plano r, z. Nota-se nas figuras que Sw1> Sw2> Sw3> Sw4 , onde Sw1= Sinjetado e Sw4 = Swf,

onde o subíndice f nas seguintes expressões se refere à frente de saturação e re e rw são

(43)

re rw rf ����� ������ ������������ ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� (a) Plano r, θ. re rf ������������ �����

�����

������������� ����� ����� ��������� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ������ ������������ (b) Plano r, z.

Figura 11: Distribuição da saturação no sistema axissimétrico.

O objetivo é obter uma solução para a distribuição da saturação em função do raio, r(Sw). Para isto utiliza-se a lei de conservação de massa da água no meio poroso:

∇ · (mw) +

∂t(ρwφSw) = 0 (34) onde mw = ρwuw considerando o fluxo e o meio poroso incompressíveis têm-se:

∇ · (mw) + ρwφ

∂Sw

∂t = 0 (35)

o fluxo da água pode ser escrito em função do fluxo total através do fluxo fracional:

∇ · (fwm) + ρwφ

∂Sw

∂t = 0 (36)

sendo que o fluxo mássico de água constante e igual a M = mA , onde A = 2πrh (área lateral do cilindro), obtêm-se:

∇ · � fwM A � + ρwφ ∂Sw ∂t = 0 (37) ou seja: M 2πhφρw∇ · � fw r � +∂Sw ∂t = 0 (38)

(44)

escrevendo o operador divergente em coordenadas cilíndricas: M 2πhφρw 1 r ∂ ∂r � rfw r � +∂Sw ∂t = 0 (39)

o qual pode se escrever como:

M Aφρw ∂fw ∂r + ∂Sw ∂t = 0 (40)

a derivada do fluxo fracional pode ser obtida utilizando a regra da cadeia:

∂fw ∂r = ∂fw ∂Sw ∂Sw ∂r (41)

denotando a velocidade do fluxo de água como:

v = M Aρwφ (42) a equação (40) torna-se: v∂fw ∂Sw ∂Sw ∂r + ∂Sw ∂t = 0 (43) ou seja: v∂fw ∂Sw =−∂Sw ∂t / ∂Sw ∂r (44)

a saturação de água é função do espaço e do tempo, Sw = Sw(r, t), sendo o diferençal

total: ∂Sw = ∂Sw ∂r ∂r + ∂Sw ∂t ∂t (45)

para o plano de saturação constante (frente de saturação) ∂Sw = 0. A equação (45) pode

ser manipulada para calcular a velocidade da frente de saturação. � ∂r ∂t � f =− � ∂Sw ∂t � f / � ∂Sw ∂r � f (46)

(45)

vf = v ∂fw ∂Sw = M Aρwφ ∂fw ∂Sw (47)

É possível determinar a posição da frente de saturação (rf) no tempo integrando a equação

(47) com respeito ao tempo e raio:

ˆ re rf r∂r = M 2πhφρw ∂fw ∂Sw ˆ t 0 ∂t (48)

onde o subíndice f corresponde à frente de saturação. Denotando Mi(t) = M t à massa

de água injetada no tempo, obtem-se:

rf = � r2 e − 1 πhφρw � ∂fw ∂Sw � f M (t) (49)

para qualquer ponto (Sw > Swf) corresponde o raio:

r = � r2 e− 1 πhφρw � ∂fw ∂Sw � M (t) < rf (50)

a expressão 50 foi dada por Machado (2011).

O tempo no qual a frente de saturação chega ao poço produtor, chamado de "breakth-rough" (tbt) pode ser calculado pela equação (49) considerando que ao tempo tbt , rf = rw

ou seja: tbt = (r2 e − rw2) M∂fw ∂Sw πhφρw (51)

Assumindo como condição inicial que, M (t = 0) = 0 , em um determinado momento após o início da injeção, a posição dos diferentes planos de saturação de água pode ser traçada utilizando a equação (50).

2.7.2 O método de Welge

Para o cálculo da saturação na frente (Swf) é usado o método de Welge (1952), o

qual é um método gráfico, como é mostrado na Figura (12a). A secante entre a saturação de água conata e a curva de fluxo fracional corresponde à saturação na frente (ponto vermelho).

(46)

fw= 1

fwf

Swr Sw Swf Sw 1− Sor

fw

(a) Esquema do método de Welge.

fw= 1 fwf Swf Sw 1− Sor                                 1− fwf Sw− Swf (b) Ampliação emtre Swf e 1 − Sor.

Figura 12: Método de Welge para o cálculo da saturação média e na frente.

O método de Welge permite também calcular a saturação média de água injetada no reservatório ( ¯Sw) para realizar cálculos de produção. Gráficamente pode-se observar a

saturação média como a correspondente ao ponto no qual se intersecta o fluxo fracional maximo (fw = 1) e a extensão da reta secante utilizada para o cálculo da frente de

saturação.

A Figura (12b) mostra uma aplicação do gráfico para saturações entre Swf e 1 − Sor,

neste gráfico pode-se observar que: � ∂fw ∂Sw � Sw=Swf = ¯1− fwf Sw− Swf (52)

ou seja, a saturação média pode ser obtida através da seguinte expressão:

¯ Sw = Swf + (1− fwf) 1 � ∂fw ∂Sw � Sw=Swf (53)

2.8 Cálculo da produção de óleo

Para o cálculo da produção de óleo é necessário definir as seguintes variáveis: Vres Volume do reservatório (m3).

Referências

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