Modelagem da axissimetria e o esquema de transporte

4.7.1 Axissimetria

Em elementos ﬁnitos os cálculos são feitos, por simplicidade, no espaço paramétrico com coordenadas ξ, η, sendo as integrais ponderadas pelo determinante do jacobiano da transformação do elemento mestre para o elemento deformado. Para o caso cartesiano, o diferençal dΩ é igual a dxdydz. No caso axissimétrico, dΩ = rdrdθdz, e pelo fato de ter simetria axial torna-se dΩ = 2πrdrdz .

Para o mapeamento dos vetores do espaço Hdiv (Ω) é usada a transformação de Piola onde o determinante do mapeamento do espaço do ﬂuxo tem que ser ponderado por 2πr (para o caso axissimétrico), como é mostrado na equação (106).

vdeformado =

2πr det (T )∇T vmestre (106)

4.7.2 O esquema Upwind

Os esquemas upwind são utilizados para modelar a transferência de massa das fases nas interfaces dos elementos. Nesse esquema precisa-se das informações das vizinhan- ças das interfaces. Pode-se utilizar informações de determinado número de elementos vizinhos, sendo esse número a ordem do esquema upwind. Estes esquemas se baseiam na informação upwind que é determinada segundo a geometria da malha, como consequência, é introduzida uma difusão na solução a qual dependente da malha.

Na formulação fraca da equação de transporte descrita na seção (4.2.3) ao somar os elementos aparece naturalmente o termo ´f+

w é o ﬂuxo fracional upwind correspondente à entrada ou saída do ﬂuxo imposto. E

nas interfaces entre os elementos aparece o termo ´

w [[w]] m· n dΓ onde a informação é

tomada pelo upwind (segundo o sinal da normal):

f_w+=    fwEsquerda se m· n > 0 fwDireita se m· n < 0 (107)

Neste trabalho é considerado um esquema upwind de primeira ordem como se mostra na Figura (19). Por convenção, o elemento upwind é chamado de elemento da esquerda como pode-se observar na Figura (20).

��

Figura 19: Esquema Upwind de primeira ordem.

Esquerda

Direita Esquerda Direita Figura 20: Convenção da normal.

4.7.3 Efeito gravitacional

Ao considerar a gravidade, na lei constitutiva tem-se o termo ´

(foρo+ fwρw) gz· v dΩ,

o qual permite considerar o peso do ﬂuido na solução da pressão e o ﬂuxo. Na equação de transporte tem-se o termo ´

[[Kλ (fofw)∗(ρw− ρo) wgz· n]] dΓ, o qual permite modelar

a transferência de massa na direção vertical através de um esquema upwind. Nota-se que nas interfaces horizontais o produto z · n é zero, como pode se ver na Figura (21).

gz ·n = ±1 gz · n = ± 1 gz_{· n = 0} · n n · n · n gz· gz ·n = ± 1 gz· n = ±1 gz· n = ±1 gz· n = 0 gz_{· n = 0} gz· n = ±1 interf ace

elemento

vizinho vizinho vizinho vizinho

Figura 21: Esquema da segregação gravitacional.

A função (fofw)∗ , que aparece nas interfaces entre os elementos, apresenta uma

característica nos extremos. A Figura (22) representa a forma da função. Como pode- se observar, os extremos da função fwfo(Sw) valem 0 (para Sw = 0 e Sw = 1). No

caso crítico, quando se encontra um volume completamente saturado com água sobre um volume completamente saturado com óleo, gera-se uma segregação gravitacional nula (��Kλ�✟✟✟✯ 0 fofw � (ρw− ρo) wgz· n ��

= 0), aunque, devido às diferenças de densidades dos ﬂuidos, existe um potencial de massa de água tentando descer e de massa de óleo tentando subir, isto é, uma fonte de instabilidade na simulação de processos que envolve gravidade. Para resolver esse problema propõe-se duas funções para modelar a troca de óleo e água, respectivamente.

A construção da função modiﬁcada se baseia no máximo da função:

Smax= max (fwfo) (108)

a partir deste máximo, a função modiﬁcada é separada em dois casos:

A função que determina o caso onde o óleo é expulso de um elemento qualquer (ver Figura (23) curva sólida cor preta) :

f_o∗(Sw)    fwfo(Smax) Sw < Smax fwfo(Sw) Sw > Smax (109)

A função que determina o caso onde a água é expulsa de um elemento qualquer (ver Figura (23) curva sólida cor azul) :

f_w∗ (Sw)    fwfo(Smax) Sw > Smax fwfo(Sw) Sw < Smax (110)

A função que representa simultanemante os dois casos, deve considerar o sinal do vetor gravidade pela normal exterior no contorno do elemento, i.e. sign (g · n).

(fofw)∗    f∗ o (Sw) sign (g· n) = −1 f_w∗(Sw) sign (g· n) = +1 (111)

A função dada por (111) é representada pela junção das curvas sólidas preta e azul da Figura (23).

Figura 23: Função f∗

Quando, na simulação de reservatórios, são usados �t muito grandes (por exemplo na inicialização do problema), até mesmo a função modificada pode apresentar instabilidades numéricas, mas pode-se utilizar uma versão linearizada para a função modificada, como se observa na Figura (23) (curvas tracejadas preta e azul). Um exemplo utilizando as funções modificadas é mostrado no Apêndice D.

4.7.4 Efeito da pressão capilar

Dada a formulação de ﬂuido ponderado, com as variáveis de estado escolhidas (p, m, Sw),

na lei constitutiva a pressão capilar é introduzida pelos seguintes termos: ´ Γ [[Swpcwo]] v· n dΓ , ´ Ω Swpcwo∇ · v dΩ e ´ Ω fw∇pcwo· v dΩ.

Os dois primeIros termos são relativamente simples de implementar, o último termo contêm o gradiente da pressão capilar, ∇pcwo, sabendo que a pressão capilar é função

unicamente da saturação, pode-se escrever que:

∇pcwo =

dpcwo

dSw ∇Sw (112)

mas como o espaço da saturação é constante por partes ∇Sw = 0, para modelar o efeito

da pressão capilar, o gradiente da saturação é aproximado como:

∇Sw = �Sw

�l (113)

onde �Sw é a diferença de saturações e �l é a distância entre os centróides dos elementos

da esquerda e direita da interface. No transporte tem-se o termo ´

(λfofw)∗[[wK∇pcwo· n]] dΓ, neste caso ao igual

que para modelar o efeito da gravidade é utilizada a modiﬁcação da fofw . Os saltos de

wK∇pcwo· n nas interface são tomados como a média entre os elementos, para garantir a

estabilidade do código.

4.7.5 Reconstrução linear do gradiente da saturação

O processo consiste em reconstruir a solução constante por partes como uma função linear em cada elemento K, de modo a obter um esquema de segunda ordem de precisão. Seja S (x) = SK, x = (r, z) ∈ K, uma função constante por partes. Sendo SK, a

SL(x) = SK+∇K· (x − �x)

em que �x é um ponto arbitrário contido em K, e ∇K é um vetor gradiente (a ser

estimado) de SL _{em K.}

Para o esquema de elementos ﬁnitos com espaços de funções constantes (ou volumes ﬁnitos), uma condição necessária ao proceso de linearização é que a média celular da função linearizada SL _{e da função original sejam iguais, isto é,}

SK = 1 vol (K) ˆ K S (x) dV = 1 vol (K) ˆ K SL(x) dV (114)

sendo vol (K) o volume de K (ou área, no caso bidimensional). Para qualquer função aﬁm, sabe-se que sua média celular corresponde ao seu valor no centróide do elemento. Sendo assim, independente do valor do gradiente ∇K, a condição (114) é satisfeita quando

�x = x0, em que x0é o centróide do elemento K, cujas coordenadas x0 = (x0, y0)são dadas

por x0 = 1 vol (K) ˆ K x dV e y0 = 1 vol (K) ˆ K y dV

O procedimento utilizado neste trabalho é o descrito por Farias (2014)

No documento Modelagem em elementos finitos de escoamento axissimétrico bifásico compressível (páginas 63-68)