Os problemas mostrados nas verificações dos termos da difusão, capilaridade e gravi- dade, não apresentavam complexidade significativa para a resolução numérica, tanto com o MEF quanto com IMEX, mesmo havendo discrepância nas curvas devido aos esquemas utilizados para a modelagem.
Quando os problemas se tornam mais complexos (geometria irregular), a resolução é mais complicada utilizando diferenças finitas, contudo, é relativamente simples de modelar com o MEF devido ao uso de diferentes topologias para representar da melhor forma possível o caso em análise, sendo essa uma das principais vantagens dos elementos finitos. Considera-se um reservatório com as características apresentadas na Figura (46). Na Figura (46c) pode-se observar a geometria do reservatório no qual cada camada tem uma permeabilidade diferente como mostra a Tabela (11).
Camada Permeabilidade Unidades 1 2· 10−13 m2
2 3· 10−13 m2
3 4· 10−13 m2
4 5· 10−13 m2
Tabela 11: Permeabilidades para cada camada caso não homogêneo.
Espera-se que nas camadas com maior permeabilidade (camada 4) a magnitude do fluxo seja maior em relação as outras. Uma vez que o reservatório é axissimétrico, a solução da pressão e do fluxo é logarítmica. O fluxo nas regiões próximas ao poço tem uma velocidade muito alta em comparação com o fluxo no raio do reservatório, porém, nesta região o efeito gravitacional é muito pequeno devido ao alto gradiente de pressão.
(a) Visualização 3D
(b) Corte 45graus. Visualização 3D
(c) Visualização 2D.
Figura 46: Reservatório não homogêneo com uma falha normal.
Solução do problema não homogêneo com IMEX
O problema é resolvido utilizando IMEX para comparar com o MEF, e assim, mos- trar as vantagens e a flexibilidade do método para resolver problemas com geometrias complexas.
Na Figura (47) pode-se observar a malha utilizada para a simulação no IMEX, as cores da escala representam os valores de permeabilidade das camadas (em md). A malha tem 100 elementos na direção r os quais interceptam as 4 camadas.
Figura 47: Malha utilizada em IMEX.
A Figura (48) mostra a distribuição da saturação no tempo de 100 dias e a Figura (49) no tempo de 300 dias . Nota-se que a parte inferior do reservatório se encontra completamente saturada, isto ocorre devido ao efeito da gravidade, o qual é maior nesta região pelos baixos gradientes de pressão.
Figura 49: Distribuição da saturação em 300 dias.
O problema resolvido apresenta uma geometria complexa. Observa-se que pela forma das camadas 3 e 4 se faz elementos quadriláteros muito pequenos para tentar representar o problema. A representação de um problema como esse seria muito mais simples se fossem utilizados elementos triangulares para descrever tais regiões. Uma análise ainda mais detalhada poderia ser feita se são utilizados elementos quadriláteros para representar as regiões uniformes (camadas 1 e 2) e elementos triangulares próximo à região entre as camada 3 e 4. Esse tipo de modelagem não é possível simular com IMEX. Essa é a principal vantagem do método dos elementos finitos, uma vez que ele permite essas diferentes topologias.
Solução do problema não homogêneo com o MEF
Como já foi dito, o método dos elementos finitos é altamente flexível para representar geometrias complexas. O problema não homogêneo pode ser representado com uma malha de triângulos, Figura (50a) , de elementos quadriláteros, Figura (50b) ou uma malha mista, Figura (50c). Pode-se realizar refinamentos principalmente na interface das camadas 3 e 4 para descrever corretamente as regiões próximas às interfaces entre as camadas 2 e 4, e 3 e 4, como pode se observar na Figura (51). Nesse problema são considerados os efeitos da gravidade e da pressão capilar.
(a) Malha de elementos triangulares (com 246 elementos).
(b) Malha de elementos quadriláteros (com 187 elementos).
(c) Malha de elementos quadriláteros e triangulares (com 184 elementos).
(a) Malha de elementos triangulares com (1480 elementos).
(b) Malha de elementos quadriláteros (com 902 elementos).
(c) Malha de elementos quadriláteros e triangulares (com 1098 elementos).
Aproximação para a saturação
As Figuras (53) e (54) mostram a distribuição da saturação 280 dias após o início da produção de óleo. Pode-se observar que nas malhas da Figura (53) não se têm uma boa resolução da saturação. No entanto, as malhas da Figura (54), as quais contêm o refinamento descrito na Figura (51) , mostram uma melhor resolução.
A Figura (52) mostra a produção de óleo obtida com IMEX e com o MEF. Nota-se que a curva de produção obtida com o MEF, é neste caso, menos difusiva do que com IMEX (o breakthrough ocorre depois). Isto é devido ao refinamento da malha. Observa-se que a parte linear do gráfico corresponde à produção de óleo antes do início da produção de água, verificando que em ambos os casos têm-se a mesma injeção de água e volume poroso.
(a) Malha de elementos quadriláteros.
(b) Malha de elementos triangulares.
(c) Malha mista
(a) Malha de elementos quadriláteros.
(b) Malha de elementos triangulares.
(c) Malha mista
Figura 54: Distribuição da saturação no tempo 280 dias, malhas refinadas.
Aproximação de alta ordem para a pressão e fluxo
A Figura (55) mostra a pressão e o fluxo para uma aproximação de primeira or- dem (a magnitude do fluxo é representado pelos vetores na imagem). Diferentemente de muitos simuladores comerciais, o MEF permite simular problemas de alta ordem para a
pressão, fluxo e saturação. Uma vez que a solução da pressão e do fluxo é logarítmica, se for utilizado uma ordem de aproximação k = 1 (funções lineares) precisa-se de muitos elementos para obter uma boa aproximação e mesmo assim não se tem informação da solução no interior do elemento (devido a solução ser constante por partes). No entanto, com o uso de alta ordem na pressão e fluxo (k > 1, não é necessário ter a mesma ordem para a pressão e fluxo) é possível obter melhores resultados com um menor número de elementos (e tem-se informação da solução no interior do elemento).
Figura 55: Pressão e fluxo no reservatório.
Na Figura (56) pode-se observar os gráficos de contorno da pressão (ampliação da região próxima ao poço), e na Figura (57) os contornos da magnitude do fluxo, para ordens de aproximação k = 1, 2, e 4. Nota-se que a forma da magnitude da pressão varia pouco (desde k = 2) aumentando a ordem de aproximação neste caso, diferente do fluxo que pode observar que variando a ordem de aproximação desde para k = 1 até k = 4 tem-se variações nos contornos da magnitude do fluxo, fazendo uma melhora significativa na solução.
(a) k=1
(b) k=2
(c) k=3
(d) k=4
(a) k = 1
(b) k = 2
(c) k = 3
(d) k = 4
7 Conclusões
Através do trabalho apresentado e da formulação escolhida é possível ressaltar os seguintes embasamentos:
• Diferentemente de muitos simuladores comerciais que usam a pressão como variá- vel única e primal, este trabalho utiliza uma formulação mista que usa a pressão e fluxo como variáveis de estado, com o objetivo de ter um campo de velocidades con- servativo. Em contraste com os simuladores de uso comercial, esta implementação permite a utilização de malhas distrorcidas.
• Devido a axissimétria do problema foi necessário o uso de transformações de Piola sobre cada elemento computacional para definir o espço de fluxo axissimétrico. Foi introduzido um fator de escala inversamente proporcional ao raio para modelar a transformação do sistema de coordenadas cartesiano para o axissimétrico.
• No caso da aproximação constante por partes para a saturação, o efeito da pressão capilar é introduzido como uma aproximação do gradiente da saturação.
• As taxas de convergência ótimas para um problema elíptico validaram os espaços de fluxo e pressão.
• A introdução da capilaridade causo um efeito difusivo nos perfis de saturação con- forme previsto teóricamente.
• A comparação dos efeitos da gravidade entre as simulações desenvolvidas e a simula- ção utilizando IMEX demonstra que o efeito de gravidade é modelado corretamente. • No código acoplou-se as equações de saturação, pressão e fluxo. Esta abordagem
8 Trabalhos futuros
Como extensões para trabalhos futuros sugere-se estudos em três áreas: extensão de funcionalidades, análise de parâmetros e otimização do código.
• Extensão de funcionalidades
– Implementação de outras formulações e comparação entre eles; – Incorporação da fase gasosa para obter um sistema trifásico.
– Validações do modelo com outros simuladores e experimentos laboratoriais. • Análise de parâmetros:
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APÊNDICES
A O fluxo fracional de água com o efeito da gravidade
e pressão capilar
Considerando o fluxo fracional como uma fração de massa, têm-se:
fw =
mw
m (135)
com m = mw + mo, onde mw = ρwuw e mo = ρouo, aplica-se a lei de Darcy para cada
fase:
mw =−kλw(∇pw− ρwgz) (136)
mo =−kλo(∇po− ρogz) (137)
pode-se expressar a pressão do óleo em função da pressão capilar e pressão da água (pcwo = po− pw):
mo=−kλo(∇pcwo+∇pw− ρogz) (138)
dado que o problema é unidimensional as variáveis vetoriais são iguais à sua magnitude (mw = mw, mo= mo e m = m). Então o fluxo total é:
m =−kλw(∇pw− ρwgz)− kλo(∇pcwo+∇pw − ρogz) (139)
m =−kλo(∇pcwo− ρogz) + kλwρwgz− ∇pw(kλo+ kλw) (140)
deixando em evidência o gradiente da pressão da água:
∇pw = −m − kλo∇pcwo
+ k (λwρw+ λoρo) gz
reescrevendo a equação do fluxo da água em função da expressão para o gradiente da pressão têm-se: mw =−kλw � −m − kλo∇pcwo+ k (λwρw+ λoρo) gz (kλo+ kλw) − ρw gz � (142)
a mesma pode ser escrita como:
mw =−λw � −m − kλo∇pcwo+ kλo(ρo− ρw) gz (λo+ λw) � (143)
Agora, pode-se escrever a expressão geral do fluxo fracional:
fw = mw m =− λw m � −m − kλo∇pcwo+ kλo(ρo− ρw) gz (λo+ λw) � (144) ou seja: fw = λw λo+ λw + k λoλw m (λo+ λw) (∇pcwo− (ρo− ρw) gz) (145)
onde o gradiente da pressão capilar é ∇pcwo = ∂p∂Scwow ∇Sw, Nessa expressão o gradiente da
saturação pode ser aproximado como ∇Sw = ΔSΔlw onde l é a distância entre os centróides
B Dedução das pressões das fases para a formulação de
fluido ponderado
Da definição da pressão global na formulação de fluido ponderado tem-se:
p =�
α
Sαpα (146)
para o caso bifásico pode se escrever a pressão global como:
p = Sopo+ Swpw (147)
lembrando da restrição na saturação So = 1− Sw, obtêm-se:
p = Sopo+ (1− So) pw (148)
manipulando a expressão anterior chega-se a:
p = Sopo+ pw − Sopw (149)
p = pw− So(pw− po) (150)
p = pw+ (1− Sw) (po− pw) (151)
ou seja, a pressão da água pode ser escrita em função da pressão capilar, como:
pw = p + (po− pw) (1− Sw) (152)
pw = p− Sopcwo (153)
porém a pressão do óleo é escrita como:
C Deduções para os fluxos das fases da formulação de
fluido ponderado
Pode-se escrever o fluxo do óleo e da água a partir da lei de Darcy:
mo =−Kλo(∇po− ρogz) (155)
mw =−Kλw(∇pw− ρwgz) (156)
sendo o fluxo total m, a somatória dos fluxos das fases, tem-se:
m =−Kλo(∇po− ρogz)− Kλw(∇pw− ρwgz) (157)
ou seja,
m = −Kλ (fo∇po− foρogz + fw∇pw− fwρwgz) (158)
as pressões das fases podem ser escritas em função da pressão global e pressão capilar:
m = −Kλ (fo∇ (p + Swpcwo) + fw∇ (p − Sopcwo)− (foρo+ fwρw) gz) (159)
dado que fo+ fw = 1 têm-se:
m =−Kλ (∇p + fo∇ (Swpcwo)− fw∇ (Sopcwo)− (foρo+ fwρw) gz) (160)
expressando So como 1 − Sw:
m = −Kλ (∇p + fo∇ (Swpcwo)− fw∇pcwo+ fw∇ (Swpcwo)− (foρo+ fwρw) gz) (161)
finalmente chega-se a:
m =−Kλ (∇p − fw∇pcwo+∇ (Swpcwo)− (foρo+ fwρw) gz) (162)
m = mo+ mw (163)
para determinar o fluxo de óleo:
fom = fomo+ fomw (164)
expressando o fluxo fracional de óleo como 1 − fw:
fom− mo =−fwmo+ fomw (165)
escrevendo os fluxos das fases conforme a lei de Darcy:
fom− mo = Kλofw(∇po− ρogz)− Kλwfo(∇pw− ρwgz) (166)
multiplicando e dividindo por λ, tem-se:
fom− mo = Kλfofw(∇po− ρogz)− Kλfofw(∇pw− ρwgz) (167)
ou seja:
fom− mo =−Kfofw(∇pcwo− (ρw− ρo) gz) (168)
o fluxo do óleo pode ser expressado como:
mo = fom + Kfofw(∇pcwo− (ρw− ρo) gz) (169)
fazendo o mesmo procedimento para o fluxo da água, chega-se a:
D Linearização da função f
of
wpara a modelagem do
efeito da gravidade e pressão capilar
O uso da função modificada da Figura (58) poderia apresentar problemas de con- vergência, como, por exemplo, no caso quando a tentativa inicial está longe da solução. Supondo dois elementos, como é apresentado na Figura (59), o elemento de cima está completamente saturado de água e o elemento de baixo completamente saturado de óleo. Espera-se que depois de determinado tempo o sistema chegue ao estado de equilíbrio. Uti- lizando as equações para a saturação da água descrita na equação (73), foi realizado um teste com funções quadráticas e com a versão linearizada da equação (111) apresentada com linhas tracejadas na Figura (23).
Figura 58: Função f∗
ofw∗ modificada com extremos não nulos.
Caso não linear
Para um caso onde o passo de tempo é relativamente grande e.g. 100 dias, a solucão do método de newton converge desde o ponto vermelho {Sw1, Sw2} = {0, 1} para a solução
(ver Figura 60a) que coincide com a interseção das linhas amarela e azul da Figura (60b). Na Figura (62a) mostra-se as iterações do método de Newton até convergir, é observado que o método converge sem problemas, mas no caso quando o dt = 10000 dias partindo da mesma tentativa não converge para a interseção apresentada na Figura (61b). Os problemas na convergência é uma motivação de usar uma versao linearizada da equação (111).
(a) Estimativa inicial e resultado final (b) Grafico de contorno com valor nulo.
Figura 60: Forma de cada equação no caso não linear como funcão da saturação para dt = 100 dias.
(a) Tentativa inicial e resultado final (b) Gráfico de contorno com valor nulo.
Figura 61: Forma de cada equação no caso não linear como funcão da saturação para dt = 1000 dias.
(a) Caso com dt = 100 dias. (b) Caso não linear com dt = 1000 dias.
Figura 62: Convergência para cada iteração da saturação no caso não linear.
Caso linear
Nas Figuras (65a) e (65b) é observado que o método converge rapidamente para a solucão, inclusive se o dt for maior, devido a forma linear que apresenta cada equação.
(a) Tentativa inicial e resultado final (b) Gráfico de contorno com valor nulo.
Figura 63: Forma de cada equação no caso linear como função da saturação para dt = 100 dias.
(a) Tentativa inicial e resultado final (b) Gráfico de contorno com valor nulo.
Figura 64: Forma de cada equação no caso linear como função da saturação para dt = 1000 dias.
(a) Caso linear com dt = 100 dias. (b) Caso linear com dt = 1000 dias.
Figura 65: Convergência para cada iteração da saturação no caso linear.
Como foi mostrado existem problemas de convergência ao utilizar a função (fofw)∗
por essa razão nesse trabalho propõe-se linearizações da função para modelar os efeitos da gravidade e pressão capilar.