AL aula5

Álgebra Linear

Cleide Martins

DMat - UFPE - 2020.1

Objetivos

Denir

Combinação Linear de Vetores

Subespaço Gerado por um conjunto de vetores Dependência e Independência Linear de Vetores

Combinação Linear

Já sabemos o que é uma Combinação Linear de vetores no plano R2 _{ou no espaço R}3

Em um Espaço Vetorial qualquer a idéia é exatamente a mesma

Denição

Uma Combinação Linear dos vetores v1, v2, v3, . . . , vn de um espaço vetorial V é um vetor v

obtido como soma de múltiplos desses vetores, ou seja

v = k1v1+ k2v2+ k3v3+ · · · + knvn

Subespaço Gerado

Dados os vetores v1, v2, v3, . . . , vn em um espaço vetorial V denimos

Denição

O Subespaço Gerado por v1, v2, v3, . . . , vn, denotado por

W = [v1, v2, v3, . . . , vn]

é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores Em outras palavras

Denição

O Subespaço Gerado por v1, v2, v3, . . . , vn, é

Exemplos de Subespaços Gerados

( Subespaço gerado pelo vetor nulo)

Para qualquer espaço vetorial V

Exemplos de Subespaços Gerados

( Subespaço gerado pelo vetor nulo)

Para qualquer espaço vetorial V

W = [0] = {0}

(Subespaço gerado por um vetor não nulo em V = R2 ou V = R3) Se v 6= 0 então

W = [v] = {λv : λ ∈ R} W é uma reta que passa pela origem

Exemplos de Subespaços Gerados

( Subespaço gerado pelo vetor nulo)

Para qualquer espaço vetorial V

W = [0] = {0}

(Subespaço gerado por um vetor não nulo em V = R2 _{ou V = R}3₎ Se v 6= 0 então

W = [v] = {λv : λ ∈ R} W é uma reta que passa pela origem

(Subespaço gerado por dois vetores paralelos em V = R3₎ Se u 6= 0 e v = au então

Exemplos de Subespaços Gerados

(Subespaço gerado por dois vetores não paralelos de V = R3₎ Se u e v não são paralelos então

W = [u, v] = {tv + λu : t, λ ∈ R} W é um plano que passa pela origem

Exemplos de Subespaços Gerados

(Subespaço gerado por dois vetores não paralelos de V = R3₎ Se u e v não são paralelos então

W = [u, v] = {tv + λu : t, λ ∈ R} W é um plano que passa pela origem

Nesse exemplo, observe que, se w pertence ao plano gerado por u e v então [u, v, w] = [u, v]

Exemplos de Subespaços Gerados

( V = M(2, 2)) Se u =  1 0 0 0  e v =  0 0 0 1  , então W = [u, v] =  a  1 0 0 0  + b  0 0 0 1  : a, b ∈ R  =  a 0 0 b  : a, b ∈ R 

Exemplos de Subespaços Gerados

( V = M(2, 2)) Se u =  1 0 0 0  e v =  0 0 0 1  , então W = [u, v] =  a  1 0 0 0  + b  0 0 0 1  : a, b ∈ R  =  a 0 0 b  : a, b ∈ R 

W é conjunto das matrizes diagonais 2 × 2 Que matrizes 2 × 2 geram o M(2, 2)?

Exercícios 1

1 Se V = M(3, 2) e W =     0 0 1 1 0 0  ,   0 1 0 −1 0 0       0 2 3 4 5 0  ∈ W ? Veja a solução

2 Que vetores geram o plano 3x − y + 2z = 0? Veja a solução

3 Que vetores geram o conjunto solução do sistema

   x − y + z − w = 0 3x + y − 2z − w = 0 x − y − z + 3w = 0 ? Veja a solução

Dependência e Independência Linear

Denição (Vetores LI)

Dizemos que um conjunto de vetores {v1, v2, . . . , vm} é Linearmente Independente (LI) se a

equação

a1v1+ a2v2+ · · · + amvm = 0

Dependência e Independência Linear

Denição (Vetores LI)

Dizemos que um conjunto de vetores {v1, v2, . . . , vm} é Linearmente Independente (LI) se a

equação

a1v1+ a2v2+ · · · + amvm = 0

implica que, necessariamente, a1 = a2 = · · · = am = 0

(Vetores LD)

Se algum dos coecientes na equação

a1v1+ a2v2+ · · · + amvm = 0

não é zero, dizemos que os vetores v1, v2, . . . , vm são Linearmente Dependentes (LD). Note

Dependência e Independência Linear

Denição (Vetores LI)

Dizemos que um conjunto de vetores {v1, v2, . . . , vm} é Linearmente Independente (LI) se a

equação

a1v1+ a2v2+ · · · + amvm = 0

implica que, necessariamente, a1 = a2 = · · · = am = 0

(Vetores LD)

Se algum dos coecientes na equação

a1v1+ a2v2+ · · · + amvm = 0

Um Exemplo em V = P

4

Verique se os seguintes vetores em P4 são LI ou LD

Um Exemplo em V = P

4

Verique se os seguintes vetores em P4 são LI ou LD

v1 = 2, v2= 1+2x, v3= 1+2x2, v4 = 1+2x3, v5 = 1+2x4, v6 = 1+x+x2+x3+x4

Solução: Precisamos determinar se a equação

2a + (1 + 2x)b + (1 + 2x2)c + (1 + 2x3)d + (1 + 2x4)e + (1 + x + x2+ x3+ x4)f = 0 tem somente a solução trivial ou, equivalentemente, se o sistema abaixo tem solução única

           2a + b + c + d + e + f = 0 2b + f = 0 2c + f = 0 2d + f = 0 2e + f = 0

Base de um Espaço Vetorial

Denição

Um conjunto de vetores {v1, v2, . . . , vn}de um espaço vetorial V é uma base de V se

{v₁, v2, . . . , vn} é LI

Base de um Espaço Vetorial

Denição

Um conjunto de vetores {v1, v2, . . . , vn}de um espaço vetorial V é uma base de V se

{v1, v2, . . . , vn} é LI

[v1, v2, . . . , vn] = V

Dê exemplos de bases para R2_{, R}3_{, R}4_{, M(2, 2), M(2, 3) e P} 3

Sobre Bases

Teorema (1)

Se

V = [v1, v2, . . . , vn]

Sobre Bases

Teorema (1)

Se

V = [v1, v2, . . . , vn]

então algum subconjunto de {v1, v2, . . . , vn}é uma base de V

Teorema (2)

Se

V = [v1, v2, . . . , vn]

Sobre Bases

Teorema (1)

Se

V = [v1, v2, . . . , vn]

então algum subconjunto de {v1, v2, . . . , vn}é uma base de V

Teorema (2)

Se

V = [v1, v2, . . . , vn]

então qualquer conjunto com mais que n vetores em V é LD

Teorema (3)

Qualquer base de um espaço vetorial V tem o mesmo número de vetores. Esse número é a dimensão de V , dim V .

Sobre Bases

Teorema (4)

Se um espaço vetorial V tem dimensão nita n e os r < n vetores u1, u2, . . . , ur são LI então

existem n − r vetores v1, v2, . . . , vn−r em V tais que

{u1, u2, . . . , ur, v1, v2, . . . , vn−r}

é uma base de V

Esse Teorema garante que qualquer conjunto com r < dim(V ) vetores LI pode ser completado para uma base de V

Exercícios 2

1 Complete o conjunto {(1, 2, 1, 2), (1, 0, 0, 1), (0, 1, 2, 3)} para uma base de R4. solução 2 Complete o conjunto  0 1 2 3  ,  0 1 1 0 

para uma base de M(2, 2) solução

3 Em R4, considere os subespaços gerados U₁ = [(1, 2, 1, 2), (1, 0, 0, 1)],

U2 = [(1, 0, 1, 0), (0, 2, 1, 1)]e U3 = [(0, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 1)]e determine uma base para

a) U1∩ U2 solução

b) U1+ U2 solução

c) U2∩ U3 solução

Solução do exercício 1.1

A pergunta é se   0 2 3 4 5 0   é combinação linear de   0 0 1 1 0 0  e   0 1 0 −1 0 0  . Vejamos   0 2 3 4 5 0  = a   0 0 1 1 0 0  + b   0 1 0 −1 0 0   ⇐⇒                0 = 0 2 = b 3 = a 4 = a − b 5 = 0 0 = 0

Certamente esse sistema é impossível. Portanto   0 2 3 4  6∈     0 0 1 1  ,   0 1 0 −1    .

Solução do exercício 1.2

Quaisquer dois vetores LI que satisfaçam a equação 3x − y + 2z = 0, por exemplo (1, 3, 0) e

Solução do exercício 1.3

Como o sistema é homogêneo, escalonamos sua matriz dos coecientes   1 −1 1 −1 3 1 −2 −1 1 −1 −1 3  ∼   1 −1 1 −1 0 4 −5 2 0 0 −2 4  ∼   1 −1 1 −1 0 1 −5/4 1/2 0 0 1 −2  ∼   1 0 −1/4 −1/2 0 1 −5/4 1/2 0 0 1 −2  ∼   1 0 0 −1 0 1 0 −2 0 0 1 −2  ↔    x − w = 0 y − 2w = 0 z − 2w = 0

A solução do sistema é o conjunto

Solução do exercício 2.1

Primeiro vericamos se os três vetores dados são LI ou LD: a(1, 2, 1, 2)+b(1, 0, 0, 1)+c(0, 1, 2, 3) = (0, 0, 0, 0) ⇐⇒        a + b = 0 ⇒ b = −a 2a + c = 0 ⇒ c = −2a a + 2c = 0 ⇒ a = 0 ⇒ b = c = 0 2a + b + 3c = 0

Portanto W = [(1, 2, 1, 2), (1, 0, 0, 1), (0, 1, 2, 3)] tem dimensão 3 e precisamos de um vetor u 6∈ W para completar o conjunto dado de modo a obter uma base de R4. Para isso vamos determinar a "cara" dos vetores em W : (x, y, , z, t) ∈ W ⇐⇒

(x, y, z, t) = a(1, 2, 1, 2)+b(1, 0, 0, 1)+c(0, 1, 2, 3) ⇐⇒        a + b = x ⇒ b = x − a 2a + c = y ⇒ c = y − 2a a + 2c = z ⇒ a = 1₃(2y − z) 2a + b + 3c = t

Solução do exercício 2.1

Substituindo o valor de a em b e c e todos na quarta equação, obtemos 2

3(2y − z) + x − 1

3(2y − z) + 3y − 2(2y − z) = t ⇐⇒ 3x − y + 5z − 3t = 0

Para que um vetor u não esteja em W , basta não satisfazer essa última equaçao. Por exemplo,

Solução do exercício 2.2

Certamente o conjunto  0 1 2 3  ,  0 1 1 0  é LI.

Como antes vamos determinar a "cara" dos vetores no subespaço gerado por eles: 

x y

z t



está nesse subepaço se  x y z t  = a  0 1 2 3  +b  0 1 1 0  ⇐⇒        x = 0 y = a + b z = 2a + b ⇒ z − y = a t = 3a ⇒ t = 3(z − y) ⇒  x = 0 t = 3(z − y)

Escolhemos para completar a base, dois vetores LI que não tenham essa "cara". Por exemplo  1 0 0 0  e  0 1 0 0   0 1  ,  0 1  ,  1 0  ,  0 1 

Solução do exercício 2.3(a)

Vamos determinar a "lei de formação"dos vetores de U1 e de U2

(x, y, z, t) ∈ U1 ⇐⇒ (x, y, z, t) = a(1, 2, 1, 2) + b(1, 0, 0, 1) ⇐⇒        x = a + b y = 2a z = a t = 2a + b (x, y, z, t) ∈ U1 ⇐⇒ y = 2z e t − x = z (x, y, z, t) ∈ U2 ⇐⇒ (x, y, z, t) = k(1, 0, 0, 1) + λ(0, 2, 1, 1) ⇐⇒        x = k y = 2λ z = λ t = k + λ (x, y, z, t) ∈ U2 ⇐⇒ y = 2z e t = x + z

Solução do exercício 2.3(b)

Pelo item (a) U1 e U2 são o mesmo subespaço. Portanto

U1+ U2 = U1

Solução do exercício 2.3(c)

Do item (a) temos

(x, y, z, t) ∈ U2 ⇐⇒ y = 2z e t = x + z (x, y, z, t) ∈ U3 ⇐⇒ (x, y, z, t) = a(0, 1, 0, 1) + b(1, 1, 1, 1) ⇐⇒        x = b y = a + b z = b t = a + b (x, y, z, t) ∈ U3 ⇐⇒ x = z e y = t (x, y, z, t) ∈ U2∩ U3 ⇐⇒ x = z; y = 2z e t = 2z Logo U2∩ U3 = [(1, 2, 1, 2)]

Solução do exercício 2.3(d)

Como U1 = U2 e U2∩ U3 = [(1, 2, 1, 2)]

U1+ U2+ U3 = U1+ U3 = [(1, 2, 1, 2), (1, 0, 0, 1), (0, 10, 1), (1, 1, 1, 1)]

Mas como (1, 2, 1, 2) ∈ U3 esse vetor é gerado pelos dois que que geram U3 e pode ser

descartado. Portanto

U1+ U2+ U3 = [(1, 0, 0, 1), (0, 10, 1), (1, 1, 1, 1)]