Matrizes e Sistemas de equações lineares

Matrizes

e

Sistemas de equações lineares

4

1

₅

2

0011 0010

Matrizes

4

1

₅

2

0011 0010

As matrizes são os objectos na base do estudo da álgebra linear.

Têm múltiplas aplicações na matemática e noutras ciências:

- na resolução de sistemas de equações lineares;

- na resolução de sistemas de equações diferenciais; - na resolução de problemas de optimização;

- na teoria da computação gráfica, são usadas para representar a

4

1

₅

2

0011 0010

- na teoria da computação gráfica, são usadas para representar a translação, a rotação e a escala de objectos;

- nas engenharias, para resolver problemas de circuitos eléctricos e de linhas de transmissão de energia eléctrica;

Sejam e números naturais. Uma matriz do tipo ( por ) com elementos reais (complexos) é uma tabela de números reais (complexos) dispostos em linhas e colunas.             = mn m m n n a a a a a a a a a A K M K M M K K 2 1 2 22 21 1 12 11

A

m ×

n

m

m

n

mn

n

m

n

4

1

₅

2

0011 0010

ou, abreviadamente, , onde é o índice de linha e é o índice de coluna.

Se , diz-se que A é uma matriz quadrada de ordem

( )

aij _{m n} A = _{× i∈}

{

_1,...,m

}

{

n

}

j ∈ 1,...,

n

m =

n

.

Dizemos que ou é o elemento ou a entrada de posição (i, j) da matriz A.

i é o índice de linha e j é o índice de coluna.

A i-ésima linha de A é

_



a

i1

a

i2

...

a

in

_



ij

a

[ ]

ij

A

4

1

₅

2

0011 0010 A j-ésima coluna de A é para i =1,…,m e j =1,…,n .





.

2 1





























mj j j

a

a

a

M

Exemplos

(a) é uma matriz do tipo

(b) é uma matriz do tipo











−

=

3

4

0

1

A

_{2 ×2.}       = 1 5 1 9 3 0 B 2 ×3.   1

4

1

₅

2

0011 0010

(c) é uma matriz do tipo

(d) é uma matriz do tipo

(e) é uma matriz do tipo

          − = 2 4 1 C _3×1.

[

0 1 −10

]

= D _1×3.

[ ]

4 = E 1×1.

Uma matriz que só possui uma linha diz-se uma matriz linha. Uma matriz que só possui uma coluna diz-se uma matriz coluna. Matrizes linha e matrizes coluna também se dizem vectores e, neste caso, as suas entradas dizem-se coordenadas.

Duas matrizes

4

1

₅

2

0011 0010

Duas matrizes

e

dizem-se iguais se e só se m=p, n=q e para cada

i=1,…,m e j=1,…,n.

( )

aij _{m n} A = _×

( )

q p ij b B = _× ij ij

b

a =

Seja

uma matriz quadrada de ordem n.

. 2 1 2 22 21 1 12 11             = nn n n n n a a a a a a a a a A K M L M M K K

4

1

₅

2

0011 0010

Os elementos diagonais (ou elementos principais) de A são os n elementos que têm índices de linha e coluna iguais, ou seja,

Ao seu conjunto dá-se o nome de diagonal principal de A. A sua soma constitui o traço de A; denota-se por tr(A).

.

,...,

,

₂₂ 11

a

a

nn

a

. ... ) (A a₁₁ a₂₂ a_nn tr = + + +

Uma matriz diz-se triangular superior se

para todo com

0

=

ij

a

. j i >

( )

aij _{n n} A × =

{

n

}

j i, ∈ 1,..., . 0 _{22 2} 1 12 11       = n n a a a a a A K K

4

1

₅

2

0011 0010 . 0 0 2 22         = nn n a A K M L M M

Uma matriz diz-se triangular inferior se

para todo com

0

=

ij

a

.

j

i <

{

n

}

j

i

, ∈

1

,...,

( )

aij _{n n} A = _× . 0 0 0 22 21 11       = a a a A K K

4

1

₅

2

0011 0010

A diz-se triangular se for triangular superior ou triangular

inferior. . 0 2 1 22 21         = nn n n a a a a a A K M L M M K

Uma matriz diz-se diagonal se

para todo o com .

(todas as entradas não diagonais são nulas).

0

=

ij

a

j

i ≠

{

n

}

j

i

, ∈

1

,...,

( )

aij _{n n} A = _× 0 0 0 0 11     a a K

4

1

₅

2

0011 0010 . 0 0 0 0 ₂₂           = nn a a A K M L M M K

Uma matriz diz-se escalar se, para quando e (c constante).

0

=

ij

a

c a_ii =

{

1,...,

}

, , j n i ∈

j

i ≠

( )

aij _{n n} A = _× 0 0 0 0     c c K K

4

1

₅

2

0011 0010 . 0 0 0 0           = c c A K M L M M K

Uma matriz escalar com todos os elementos diagonais iguais a 1, chama-se matriz identidade de ordem n e denota-se por

. 1 0 0 0 1 0 0 0 1             = K M L M M K K n I

4

1

₅

2

0011 0010 A matriz,

chama-se matriz nula

            = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 K M L M M K K

,

n

m ×

. n m ×

A transposta de uma matriz

é definida pela matriz que se obtém de A pela troca das linhas com as colunas; ou seja,

para cada e

( )

aij _{m n} A = _× ji ij

a

b =

( )

bij n m B = _× m i =1,..., j =1,...,n.

4

1

₅

2

0011 0010 para cada e Escrevemos B = At.             = mn m m n n a a a a a a a a a A K M K M M K K 2 1 2 22 21 1 12 11             = mn n n m m t a a a a a a a a a A K M K M M K K 2 1 2 22 12 1 21 11 m i =1,..., j =1,...,n.

Seja uma matriz quadrada.

A é simétrica se ou seja, para cada

A é anti-simétrica se ou seja, para cada

( )

a

ij _{n n}

A

=

_× ; A At =

;

A

A

t

=

−

ij ji

a

a =

ij ji

a

a

=

−

{

1,...,

}

. , j n i ∈

{

1

,...,

}

.

,

j

n

i

∈

4

1

₅

2

0011 0010

Seja uma matriz complexa.

A matriz conjugada de A, denotada por é a matriz complexa do tipo cujos elementos são os complexos conjugados dos elementos de A.

( )

a_{ij m n} A = _×

,

A

n m ×

( )

. n m ij a A = _×

4

1

₅

2

0011 0010

A matriz transconjugada de A, é a transposta da matriz conjugada de A, que é o mesmo que a conjugada da transposta de

A. , * A

( )

. * t t A A A = =

Seja uma matriz complexa quadrada.

A diz-se hermítica se isto é, se, para cada

Uma matriz hermítica tem elementos diagonais reais e a entrada (j,i) é o conjugado da entrada (i,j) , para cada e .

; * A A =

.

ij ji

a

a =

{

n

}

j i, ∈ 1,...,

{

n

}

j i, ∈ 1,...,

( )

a_{ij n n} A = _× j i ≠

4

1

₅

2

0011 0010

A diz-se hemi-hermítica se ou seja, se, para todo

Uma matriz hemi-hermítica tem elementos diagonais nulos e/ou imaginários puros e as entradas (i,j) e (j,i) têm partes imaginárias

iguais e partes reais simétricas , para cada e ; * A A = − . ij ji a a = −

{

n

}

j

i

, ∈

1

,...,

{

n

}

j i, ∈ 1,..., _{i ≠ j.}

Operações com matrizes

4

1

₅

2

0011 0010

A transposta de uma matriz

é definida pela matriz que se obtém de A pela troca das linhas com as colunas; ou seja,

para cada e

( )

aij _{m n} A × = ji ij a b =

( )

bij n m B = _× m i =1,..., j =1,...,n.

4

1

₅

2

0011 0010 para cada e Escrevemos B = At.             = mn m m n n a a a a a a a a a A K M K M M K K 2 1 2 22 21 1 12 11             = mn n n m m t a a a a a a a a a A K M K M M K K 2 1 2 22 12 1 21 11 m i =1,..., j =1,...,n.

A soma de duas matrizes do mesmo tipo e é a matriz onde para e

( )

aij _{m n} A = _×

( )

n m ij b B = _× n m × B A C = + ij ij ij

a

b

c

=

+

i =1,...,m

j =

1

,...,

n

.

4

1

₅

2

0011 0010 =             +             mn m m n n mn m m n n b b b b b b b b b a a a a a a a a a K M K M M K K K M K M M K K 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11             + + + + + + + + + mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a K M K M M K K 2 2 1 1 2 2 22 22 21 21 1 1 12 12 11 11

A multiplicação de uma matriz por um escalar (número) é a matriz onde

( )

a_{ij m n} A = _× α A B =

α

ij ij a b =

α

4

1

₅

2

0011 0010 para i=1,…,m e j=1,…,n.

Dizemos que a matriz B é múltiplo escalar da matriz A.

            = mn m m n n a a a a a a a a a A K M K M M K K 2 1 2 22 21 1 12 11             = mn m m n n a a a a a a a a a A

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

K M K M M K K 2 1 2 22 21 1 12 11

O produto de duas matrizes e é a matriz

( )

a

_{ij m p}

A

=

_×

( )

n p ij

b

B

=

_× AB C =

4

1

₅

2

0011 0010 onde para i=1,…,m e j=1,…,n. pj ip j i j i ij

a

b

a

b

a

b

c

=

_{1 1}

+

_{2 2}

+

+

...

+

Propriedades da álgebra matricial

Teorema. Sejam A, B e C matrizes reais (complexas) com

tamanhos apropriados, e escalares. São válidas as seguintes propriedades para as operações matriciais:

(a) (comutatividade) A+B=B+A;

(b) (associatividade) A+(B+C)=(A+B)+C;

α β

4

1

₅

2

0011 0010

(c) (elemento neutro) A matriz nula , é tal que

para cada matriz A,

(d) (elemento simétrico) Para cada matriz A, existe uma única matriz –A, definida por tal que

0 m ×n, ; 0 0 A A A+ = + =

[ ]

− A _ij = −a_ij , n m ×

( ) ( )

− = − + = 0; + A A A A , n m × ; n m ×

(e) (f) (g)

(h) (associatividade)

(i) (elemento neutro) As matrizes identidade e são tais que para toda a matriz

(j) (distributividade à esquerda)

( ) ( )

βA αβ A; α =

(

α + β

)

A = αA+ βA;

(

A B

)

α

A

α

B;

α

+ = + ; ) ( ) (BC AB C A = n

I

, A A I AI_n = _m =

( )

. n m ij a A = _× ; ) (B C AB AC A + = + m

I

4

1

₅

2

0011 0010 (j) (distributividade à esquerda) (k)(distributividade à direita) (l) (m) (n) (o) (p) ; ) (B C AB AC A + = +

( )

AB (

α

A)B;

α

= ; ) (At t = A ; ) (A+ B t = At + Bt

;

)

(

α

A

t

=

α

A

t

( )

AB =t Bt At. ; ) (B + C A = BA+ CA

A diferença de duas matrizes do mesmo tamanho e é a matriz

( )

a

ij _{m n}

A

=

_×

( )

n m ij b B × =

( )

B A B A− = + −

4

1

₅

2

0011 0010

Sejam uma matriz e um inteiro positivo.

Definimos a potência de , por

A

A

n

n ×

.

....3

2

1

vezes p p

A

A

A =

p

p

4

1

₅

2

0011 0010 Para definimos vezes p . 0 n I A =

,

0

=

p

Sistemas de equações lineares

4

1

₅

2

0011 0010

Um sistema (linear) de m equações a n incógnitas

x

₁

,...,

x

_n

:

       = + + + = + + + = + + + m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ... ... ... 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 M

4

1

₅

2

0011 0010

são números reais (ou complexos) e chamam-se, respectivamente, os coeficientes e os termos

independentes do sistema.

a_m1x₁ + a_m2x₂ +...+ a_mnx_n = b_m

i ij

b

O sistema pode escrever-se como uma equação matricial :

AX=B,

onde é a matriz dos coeficientes do sistema,             = mn m m n n a a a a a a a a a A L M M M M L L 2 1 2 22 21 1 12 11    b₁

4

1

₅

2

0011 0010

é a matriz coluna dos termos independentes

e é a matriz coluna das incógnitas.             = x x x X M 2 1             = m b b b B M 2 1

Uma solução do sistema é uma matriz coluna

tal que as equações do sistema são simultaneamente satisfeitas quando substituímos             = n s s s S 2 1

4

1

₅

2

0011 0010 substituímos

O conjunto de todas as soluções do sistema chama-se conjunto solução ou solução geral do sistema.

.

,...,

,

_{2 2} 1 1

s

x

s

x

n

s

n

x

=

=

=

Classificação dos sistemas lineares

Um sistema diz-se:

- impossível se não tem nenhuma solução;

- possível se tem pelo menos uma solução;

- possível e determinado se tem uma única solução;

4

1

₅

2

0011 0010

- possível e determinado se tem uma única solução;

- possível e indeterminado se tem mais de uma solução (neste caso, tem infinitas soluções).

Uma forma de resolver um sistema consiste em substituir o sistema inicial por outro que tenha o mesmo conjunto solução e que seja mais fácil de resolver.

O outro sistema obtém-se por aplicações sucessivas de uma série de operações sobre as equações.

4

1

₅

2

0011 0010

Estas operações, que se chamam operações elementares, são:

(E1) Trocar a posição de duas equações do sistema;

(E2) Multiplicar uma equação por um escalar diferente de zero;

(E3) Somar a uma equação outra multiplicada por um escalar qualquer.

Quando aplicamos operações elementares sobre as equações de um sistema linear, somente os coeficientes e os termos independentes do sistema são alterados. Deste modo, podemos aplicar as operações sobre a seguinte matriz, que se chama matriz completa ou matriz aumentada ou ainda matriz ampliada do sistema.

[ ]

     = n n b b a a a a a a L L 2 1 2 22 21 1 12 11

4

1

₅

2

0011 0010

[ ]

          = m mn m m n b b a a a a a a B A M L M M M M L ₂ 2 1 2 22 21

Chamam-se operações elementares sobre as linhas de uma matriz:

(E1) Trocar a posição de duas linhas da matriz;

(E2) Multiplicar uma linha da matriz por um escalar diferente de zero;

(E3) Somar a uma linha da matriz outra multiplicada por um escalar qualquer.

4

1

₅

2

0011 0010

qualquer.

Teorema. Se dois sistemas lineares e são tais que a matriz aumentada é obtida de por aplicação de operações elementares, então os dois sistemas possuem o mesmo conjunto

solução.

[ ]

A B B

AX = _{CX = D}

Dois sistemas que possuem o mesmo conjunto solução dizem-se sistemas equivalentes.

4

1

₅

2

0011 0010

Método de Gauss-Jordan

Pretendemos transformar a matriz aumentada do sistema na forma de Gauss-Jordan, cujo sistema associado é de fácil resolução.

4

1

₅

2

0011 0010

Uma matriz está na forma de Gauss-Jordan quando satisfaz as seguintes condições:

(a) As linhas nulas (caso existam) ocorrem depois das linhas não nulas;

(b) O pivot (primeiro elemento não nulo de cada linha) é igual a 1;

(c) O pivot de cada linha não nula ocorre à direita do pivot da linha

4

1

₅

2

0011 0010

(c) O pivot de cada linha não nula ocorre à direita do pivot da linha anterior;

(d) Se uma coluna contém um pivot, então todos os seus outros elementos são iguais a zero.

Se uma matriz satisfaz as propriedades (a) e (c), mas não

necessáriamente (b) e (d), dizemos que a matriz está na forma de Gauss.

Exemplos. Forma de Gauss-Jordan:       − − =       = 2 1 1 0 0 2 0 1 , 0 1 0 0 0 1 3 A I

4

1

₅

2

0011 0010 Forma de Gauss:       − =       = 0 2 0 1 0 0 0 0 , 1 0 0 0 1 0 3 A I           − − =           − = 0 12 3 0 9 2 0 0 2 0 0 1 , 4 0 0 3 1 0 2 2 2 C B

Uma matriz diz-se equivalente por linhas a uma matriz se B se pode obter de A efectuando uma sequência de

operações elementares sobre as suas linhas.

Teorema. Toda a matriz é equivalente por linhas a uma única matriz

( )

a

ij _{m n}

A

=

_×

( )

bij _{m n} B = _×

4

1

₅

2

0011 0010

Teorema. Toda a matriz é equivalente por linhas a uma única matriz na forma de Gauss-Jordan.

Característica de uma matriz

A característica de uma matriz na forma de Gauss é igual ao número de pivots.

A característica de uma matriz qualquer A, que se denota por

c(A), é igual à característica da matriz na forma de Gauss que se

4

1

₅

2

0011 0010

c(A), é igual à característica da matriz na forma de Gauss que se obtém efectuando operações elementares sobre as suas linhas.

Classificação dos sistemas lineares

Um sistema linear onde A é do tipo è:

• impossível sse c(A) c([A|B];

• possível e determinado sse c(A) = c([A|B] = n ;

• possível e indeterminado sse c(A) = c([A|B] < n .

≠ , n m × , B AX =

4

1

₅

2

0011 0010

• possível e indeterminado sse c(A) = c([A|B] < n .

Observação. Se o sistema linear é possível, o número inteiro não negativo n- c(A) chama-se grau de indeterminação do sistema e indica o número de variáveis livres (variáveis que podem tomar valores arbitrários).

Um sistema linear diz-se homogéneo se são nulos todos os seus termos independentes















=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

0

...

0

...

0

...

2 2 1 1 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 n mn m m n n n n

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

M

4

1

₅

2

0011 0010

isto é, se a sua equação matricial é da forma

A todo o sistema de equações lineares está associado o sistema homogéneo

AX

=

0

.

B

AX =

.

0

=

AX

Um sistema homogéneo é sempre possível pois admite sempre a solução nula. Se é determinado, essa é a sua única solução. Se é indeterminado, para além da solução nula, admite soluções não nulas.

Teorema. Se é tal que m<n (nº de equações < nº de incógnitas), então o sistema homogéneo tem solução não nula.

( )

aij _{m n} A = _×

0

=

AX

4

1

₅

2

0011 0010 nula. Teorema. Seja

(a) Se e são soluções do sistema homogéneo , então também o é

(b) Se é solução do sistema homogéneo, , então também o é, para qualquer escalar

( )

. n m ij a A = _× 1 X α . α

0

=

AX

0

=

AX

. 2 1 X X + 1 X X₂ 1 X

Inversa de uma matriz quadrada

4

1

₅

2

0011 0010

Uma matriz quadrada diz-se invertível ou não singular, se existe uma matriz tal que

A matriz B chama-se inversa de A. Se A não possui inversa, diz-se que a matriz A é não invertível ou singular.

( )

aij _{n n} A = _×

( )

bij _{n n} B = _× . n I BA AB = =

4

1

₅

2

0011 0010

Teorema. Se uma matriz possui inversa, então a inversa é única.

A inversa de uma matriz A, quando existe, denota-se por

( )

aij _{n n} A = _× . 1 − A

Teorema. Sejam A e B matrizes n×n. Se então AB = I_n, BA = I_n.

4

1

₅

2

0011 0010

Assim, para verificar que uma matriz A é invertível, quando temos uma matriz B que é candidata a inversa de A, basta fazer um dos produtos AB ou BA e verificar se é igual a I_n.

Teorema. Seja A uma matriz As seguintes condições são equivalentes:

(a) A é invertível;

(b) c(A)= n;

(c) A é equivalente por linhas à matriz identidade

. n n × . n I

4

1

₅

2

0011 0010

Dada uma matriz A, tal que c(A)= n, (logo invertível), a inversa

de A é a solução da equação matricial . Então, para calcular basta considerar a matriz e efectuar operações elementares

sobre linhas até a transformar na matriz

, n n× , 1 − A

[

I_n A−1

]

. n

I

AX =

[ ]

A In

Propriedades da inversa

Teorema. Sejam A e B matrizes invertíveis do tipo um escalar não nulo e m um inteiro positivo.

(a) é invertível e (b) AB é invertível e (c) é invertível e (d) é invertível e 1 − A

( )

A−1 −1 = A; t

A

( ) ( )

A

t −1

=

A

−1 t

;

, n n× α A

α

( )

α

A −1 =

α

−1A−1; m

( ) ( )

−1 m

( )

AB −1 = B−1A−1;

4

1

₅

2

0011 0010 (e) é invertível e

Nota. Se Se A é invertível, então definimos, para qualquer inteiro positivo m,

( ) ( )

m

A

( ) ( )

m 1 1 m

_.

A

A

−

=

−

( )

1 m. m A A− = −

Teorema. Seja

(a) O sistema associado a possui uma única solução sse

A é invertível. Neste caso, a solução é

(b) O sistema homogéneo tem solução não trivial sse A é singular (não invertível).

( )

. n n ij a A = _× ; 1 B A X = − 0 = AX B AX =

4

1

₅

2

0011 0010