Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática

(1)

Instituto de Ciˆencias Exatas

Departamento de Matem´atica

Aproxima¸c˜ao Por Fun¸c˜oes Polinomiais

(Polinˆomios de Taylor)

Wiliam Geraldo Moreira dos Santos

(2)

(3)

`

A Deus, por iluminar-me sempre, a José e Geralda, meus pais, aos meus irmãos, à Fernanda, aos meus amigos. De forma especial Ao Professor Alberto Sarmiento, o ”Grande Mestre!”

(4)

Sum´

ario

1 Conceitos Fundamentais 2 1.1 Introdu¸cão . . . 2 1.2 Fun¸cões Cont´ınuas . . . 2 1.3 Fun¸cões Deriváveis . . . 4 1.3.1 Interpreta¸cão Geométrica . . . 5 1.3.2 Pontos Cr´ıticos . . . 6

1.4 Alguns Teoremas da An´alise . . . 8

1.4.1 Teorema de Rolle . . . 8

1.4.2 Teorema do Valor M´edio . . . 9

1.4.3 Teorema do Valor M´edio de Cauchy . . . 10

1.4.4 Regra de L’Hˆopital . . . 11

1.5 A integral . . . 12

1.5.1 O Conceito de integral . . . 12

1.5.2 Teorema Fundamental do C´alculo . . . 15

2 Aproxima¸cão Por Fun¸cões Polinomiais 18 2.1 Introdu¸cão . . . 18

2.2 Polinˆomio de Taylor . . . 18

2.3 Teorema de Taylor . . . 28

2.3.1 Teorema de Taylor com Resto Integral . . . 30

2.3.2 Teorema de Taylor com Resto Cauchy . . . 31

2.3.3 Teorema de Taylor com Resto Lagrange . . . 32

2.4 Outros Exemplos . . . 33

3 Aplica¸cões 38 3.1 Critérios de Máximo e M´ınimo Locais para Pontos Cr´ıticos De-generados . . . 38

3.2 “e”´e irracional . . . 41

(5)

INTRODUC

¸ ˜

AO

Esta monografia trata do estudo de aproxima¸cões de fun¸cões por polinômios. Vamos mostrar que muitas fun¸cões podem ser aproximadas por polinômios e que os polinômios, em vez da fun¸cão original, podem ser usados para cálculos, quando a diferen¸ca entre o valor da fun¸cão em um ponto e o da aproxima¸cão polinomial for suficientemente pequena. Existem vários métodos para aproxi-mar uma fun¸cão dada por polinômios. Um dos mais usados, e também o que utilizamos neste trabalho é o que envolve a Fórmula de Taylor, assim chamada em homenagem ao seu criador, o inglês Brook Taylor (1685-1731).

No primeiro cap´ıtulo trataremos de conceitos fundamentais do Cálculo. Es-tes conceitos nos fornecerão uma base para melhor entendimento dos cap´ıtulos seguintes. Falaremos de fun¸cões cont´ınuas, fun¸cões deriváveis, onde interpre-tamos geometricamente a derivada de uma fun¸cão e faremos ainda um estudo sobre pontos cr´ıticos. A seguir mostraremos alguns teoremas da Análise, como o Teorema de Rolle, Teorema do Valor Médio, Teorema do Valor Médio de Cauchy e ainda a Regra de L’Hôpital. No fim deste cap´ıtulo trataremos do conceito de Integral, onde apresentamos o Teorema Fundamental do Cálculo.

No segundo cap´ıtulo, iniciamos nosso estudo sobre aproxima¸cão de fun¸cões. Iniciamos apresentando o Polinômio de Taylor centrado em um certo ponto e damos exemplos de Polinômios de Taylor para algumas fun¸cões. Veremos alguns teoremas sobre aproxima¸cão de fun¸cões onde trataremos da diferen¸ca entre o va-lor de uma fun¸cão e seu respectivo Polinômio de Tayva-lor. A esta diferen¸ca damos o nome de Resto. Mostramos este resto de três formas diferentes: através do Teorema de Taylor com Resto Integral, Teorema de Taylor com Resto Cauchy e Teorema de Taylor com Resto Lagrange. Finalizamos este cap´ıtulo com mais exemplos onde também calculamos o valor numérico de certas fun¸cões em um ponto, com uma determinada precisão.

No último cap´ıtulo, denominado “Aplica¸cões”, estabelecemos critérios para decidir se um determinado ponto cr´ıtico é máximo ou m´ınimo local, ou ainda ponto de inflexão. Este estudo é feito a partir de um teorema sobre os Po-linômios de Taylor. Enfim, conclu´ımos mostrando que o número “e”é irracional.

(6)

Cap´ıtulo 1

Conceitos Fundamentais

1.1 Introdu¸c˜

ao

Iniciamos nosso trabalho com alguns conceitos fundamentais do Cálculo Di-ferencial e Integral. Continuidade de uma certa fun¸cão, fun¸cões deriváveis, integral e ainda Teoremas da Análise é o que veremos a seguir. É importante frisar que este cap´ıtulo é de suma importância para um melhor entendimento dos cap´ıtulos seguintes.

1.2 Fun¸c˜

oes Cont´ınuas

Intuitivamente, uma fun¸cão f é cont´ınua se seu gráfico não contém inter-rup¸cões, saltos ou ocasiões indefinidas. Mas, pensando desta maneira, podere-mos nos equivocar e dizer que uma certa fun¸cão é cont´ınua, quando, porém, não é. Assim definiremos fun¸cão cont´ınua da seguinte maneira:

Defini¸c˜ao 1. Uma fun¸c˜ao f : D → R ´e cont´ınua no ponto a se lim

x→af (x) = f (a)

Defini¸c˜ao 2. Dizemos que um determinado conjunto A, de n´umeros reais, ´e

limitado superiormente se existe um n´umero x tal que x ≥ a ∀ a de A.

Um n´umero x com esta propriedade ´e uma cota superior de A.

Defini¸c˜ao 3. Dizemos que um n´umero x ´e uma cota superior m´ınima de A se

(1) x ´e cota superior de A, e

(2) se y ´e uma cota superior de A, ent˜ao x ≤ y.

Uma vez dada a defini¸cão precisa, vemos que se x e y são ambos cotas superiores m´ınimas de A, então x = y. Neste caso:

(7)

x ≤ y, visto que y é uma cota superior, e x é uma cota superior m´ınima e, y ≤ x, visto que x é uma cota superior, e y é uma cota superior m´ınima;

segue que x = y. Por isto falamos da cota superior m´ınima de A que chamaremos daqui em diante de supremo e sua nota¸c˜ao ´e

sup A

Defini¸c˜ao 4. Um conjunto A de n´umeros reais est´a limitado inferiormente se

existe um n´umero x tal que

x ≤ a ∀ a de A.

Assim, um n´umero x recebe o nome de cota inferior de A.

Defini¸c˜ao 5. Um número x é a cota inferior máxima de A se

(1) x ´e uma cota superior de A e,

(2) se y ´e uma cota superior de A, ent˜ao x ≥ y.

A cota inferior máxima de A é também chamada de ´ınfimo de A e sua nota¸cão é

inf A

Teorema 1. Se f é cont´ınua em a, então existe um número δ > 0 tal que f

est´a limitada superiormente no intervalo (a − δ, a + δ)

FIGURA 1

Prova: Como f ´e cont´ınua, ent˜ao lim

x→af (x) = f (a), existe, para todo ² > 0,

(8)

Escolhendo ² = 1, deduzimos que existe um δ > 0 tal que, para todo x, se

|x − a| < δ, ent˜ao |f (x) − f (a)| < 1.

Segue que se |x − a| < δ, ent˜ao f (x) − f (a) < 1.

Então, no intervalo (a − δ, a + δ), a fun¸cão f está limitada superiormente por

f (a) + 1.

Teorema 2. Se f é cont´ınua no intervalo [a, b], então existe um número y no

intervalo [a, b] tal que f (y) ≥ f (x) para todo x de [a, b].

Prova:

Sabemos que f est´a limitada no intervalo [a, b], o que significa que o conjunto

{f (x) : x ∈ [a, b]}

está limitado. Evidentemente este conjunto não é vazio, de modo que se tenha uma cota superior m´ınima α. Visto que α ≥ f (x) para todo x ∈ [a, b], basta demonstrar que α = f (y) para algum y no intervalo [a, b].

Faremos uma contradi¸cão e supondo que α 6= f (y) para todo y de [a, b], então a fun¸cão g definida por

g(x) = 1

α − f (x), x ∈ [a, b]

é cont´ınua no intervalo [a, b], visto que o denominador do segundo membro não é nunca 0. Por outro lado, α é a cota superior m´ınima de {f (x) : x ∈ [a, b]}; isto significa que

para todo ² > 0 existe um x no intervalo [a, b] com α − f (x) < ².

Isto significa, por sua vez que

para todo ² > 0 existe um x no intervalo [a, b] com g(x) > 1 ².

Mas, isto é uma contradi¸cão, pois g(x) não está limitada no intervalo [a, b].

1.3 Fun¸c˜

oes Deriv´

aveis

O conceito de derivada é o conceito fundamental no cálculo, pois fornece o instrumento mais poderoso para o estudo do comportamento de fun¸cões reais. Sua formula¸cão foi feita independentemente por Newton e Leibniz no século XVII e, podemos dizer, de uma forma mais simples, que o conceito de derivada nasceu da necessidade de se quantificar a varia¸cão de uma fun¸cão, ou seja, a forma como a fun¸cão varia.

(9)

Se uma fun¸cão é cont´ınua, então pequenas varia¸cões da variável x geram pe-quenas varia¸cões dos valores da fun¸cão mas, até comparando fun¸cões cont´ınuas bastante simples, podemos ver que uma mesma pequena varia¸cão de x pode gerar varia¸cões muito diferentes dos valores das fun¸cões. O conceito de derivada nos permite quantificar essas diferen¸cas de varia¸cões, sendo, portanto, um in-strumento muito importante para o estudo do comportamento de fun¸cões reais. Defini¸c˜ao 6. Dizemos que uma fun¸cão f : R → R é derivável (ou diferenciável)

num ponto x0 de seu dom´ınio, se f est´a definida em algum intervalo aberto

contendo x0 e existe o limite abaixo:

lim

x→x0

f (x) − f (x0)

x − x0

Neste caso, esse limite ser´a chamado a derivada de f no ponto x0.

Se f é uma fun¸cão derivável em x0, a derivada de f no ponto x0é denotada por

f0_(x 0), isto ´e, f0_(x 0) = lim x→x0 f (x) − f (x0) x − x0 .

1.3.1 Interpreta¸c˜

ao Geom´

etrica

Seja f : R → R uma fun¸cão diferenciável no ponto x0, isto é,

∃ lim x→x0 f (x) − f (x0) x − x0 = f 0_(x). Fixando x1> x0, o quociente f (x1) − f (x0)

x1− x0 ´e o coeficiente angular da reta

que passa pelos pontos (x0, f (x0)) e (x1, f (x1)), logo esta reta ´e secante ao

gr´afico de f . (ver figura 1)

Se fixamos x0< x2 < x1, novamente f (x1) − f (x0)

x1− x0 ´e o coeficiente angular

da reta que passa pelos pontos (x0, f (x0)) e (x1, f (x1)).

Assim, vemos que f0_(x

0) ´e o limite dos coeficientes angulares das retas

se-cantes que passam por (x0, f (x0)) quando x tende a x0. Como este limite

existe, representa o coeficiente angular da reta tangente ao gr´afico de f no ponto (x0, f (x0)).

Defini¸c˜ao 7. Se uma fun¸cão f : D → R é derivável em todos os pontos de seu

dom´ınio D, dizemos simplesmente que f é derivável e a fun¸cão f0_{: D → R que}

a cada número x ∈ D associa o número f0_{(x) é chamada a primeira derivada}

(10)

Figura 2

a derivada (f0₎0 _{= f}00 _{: D → R, que ´e chamada de segunda derivada de f .}

Caso f00_{for diferenci´avel, denotaremos a derivada (f}00₎0 _{= f}000 _{: D → R. Assim}

sucessivamente podemos falar de uma fun¸cão vezes diferenciável onde a k-ésima derivada denotamos por f(k)_{: D → R}

1.3.2 Pontos Cr´ıticos

A partir de certas informa¸cões sobre a derivada podemos obter informa¸cões sobre o comportamento de uma fun¸cão. Mais especificamente, podemos deter-minar os intervalos onde a fun¸cão é crescente e aqueles onde ela é decrescente, encontrando os pontos onde a fun¸cão muda de comportamento (de crescente para decrescente ou vice-versa).

Se f : (a, b) → R, tal que f não é constante, nem crescente e nem decre-scente em (a, b), dizemos que f apresenta mudan¸ca de comportamento quanto ao crescimento em (a, b). Assim, no estudo de uma fun¸cão f , mostraremos os intervalos de seu dom´ınio onde não há mudan¸cas de comportamento quanto ao crescimento ou decrescimento e qual é o ´unico comportamento de f em cada um desses intervalos.

Comecemos por analisar algumas situa¸cões onde ocorrem mudan¸cas de com-portamento de uma fun¸cão quanto ao crescimento, buscando caracterizar pontos de seu dom´ınio que indiquem a possibilidade de ocorrência dessas mudan¸cas.

(11)

Por exemplo, a situa¸c˜ao em que um n´umero x0pertence a um intervalo (a, b) do

dom´ınio de f , ´e tal que f ´e crescente em (a, x0] e decrescente em [x0, b). Neste

caso teremos f (x) ≤ f (x0) para qualquer valor de x ∈ (a, b), ou seja, f (x0) ´e o

maior valor que f assume no intervalo (a, b). Da´ı definirmos:

Defini¸c˜ao 8. Dizemos que x0´e um ponto de m´aximo local de f : (a, b) → R,

se existe um intervalo aberto (c,d) contido no dom´ınio de f tal que x0 ∈ (c, d)

e f (x) ≤ f (x0), qualquer que seja x ∈ (a, b). O n´umero f (x0) ´e chamado valor

m´aximo local de f.

Defini¸c˜ao 9. Dizemos que x0´e um ponto de m´ınimo local de f : (a, b) → R,

se existe um intervalo aberto (c,d) contido no dom´ınio de f tal que x0 ∈ (c, d)

e f (x0) ≤ f (x), qualquer que seja x ∈ (a, b). O n´umero f (x0) ´e chamado valor

m´ınimo local de f.

Com essa defini¸c˜ao temos que se x0 ∈ (a, b) e f ´e decrescente em (a, x0] e

crecente no intervalo [x0, b), ent˜ao x0´e um ponto de m´ınimo local de f .

Teorema 3. Seja f : (a, b) → R deriv´avel em cada ponto do intervalo (a,b). Se

x é um máximo local (ou um m´ınimo local) para f em (a,b) e f é derivável em x, então f’(x) = 0.

Figura 3

Prova: Consideremos o caso em que f tem um máximo local em x. Observe que as retas secantes tra¸cadas à esquerda de (x, f (x)) tem inclina¸cão

≥ 0 e as secantes tra¸cadas por pontos a direita de (x, f (x)) tem inclina¸c˜ao ≤ 0.

Se h é um número qualquer tal que (x + h) está em (a, b), então

f (x) ≥ f (x + h)

Logo,

(12)

Se h > 0 podemos escrever

f (x + h) − f (x)

h ≤ 0

e, em conseq¨uˆencia disto lim h→0+ f (x + h) − f (x) h ≤ 0. Se h < 0 teremos f (x + h) − f (x) h ≥ 0 de modo que lim h→0− f (x + h) − f (x) h ≥ 0.

Como, por hipótese, f é derivável em x, então estes dois limites devem ser iguais e iguais a f0_{(x), ou seja, f}0_{(x) ≤ 0 e f}0_{(x) ≥ 0.}

Logo, f0_{(x) = 0} e f0_{(x) = lim} h→0 f (x + h) − f (x) h .

O caso em que f tem um m´ınimo local em x0 ´e an´alogo.

Defini¸c˜ao 10. Seja f : [a, b] → R uma fun¸c˜ao diferenci´avel. Chamamos ponto

cr´ıtico de uma fun¸c˜ao f a todo n´umero x ∈ (a, b) tal que f0(x) = 0.

1.4 Alguns Teoremas da An´

alise

1.4.1 Teorema de Rolle

Teorema 4. Se f : [a, b] → R é uma fun¸cão cont´ınua em [a,b] e derivável em

(a,b), e f(a) = f(b), ent˜ao existe um n´umero x em (a,b) tal que f’(x) = 0.

Prova: Observe as figuras 4.1, 4.2 e 4.3.

1. Vamos supor, em primeiro lugar, que os valores de m´aximo e m´ınimo locais sejam iguais, ou seja, f ´e constante.

(13)

Figura 4.1 Figura 4.2 Figura 4.3

Como f (a)=f (b), se os valores máximos e m´ınimo de f são iguais, então f é uma fun¸cão constante, e para uma fun¸cão constante podemos escolher qualquer

x de (a, b). Se f (x)=c, ent˜ao f0_(x)=0.

2. Supondo, agora, que o valor m´aximo se apresenta num ponto de x per-tencente a (a, b):

Ent˜ao, segundo o teorema anterior, f0_(x)=0.

3. Supondo agora que o valor m´ınimo est´a num ponto x pertencente a (a, b): Ent˜ao, segundo o teorema anterior, f0_(x)=0.

1.4.2 Teorema do Valor M´

edio

Teorema 5. Se f : (a, b) → R é uma fun¸cão cont´ınua em [a,b] e derivável em

(a,b), ent˜ao existe um n´umero x em (a,b) tal que f0_{(x) =} f (b) − f (a) b − a Prova: Seja h(x) = f (x) − · f (b) − f (a) b − a ¸ (x − a).

Por hipótese, f é cont´ınua em [a, b] e derivável em (a, b), então h também é. Assim, h(a) = f (a) − · f (b) − f (a) b − a ¸ (a − a) = f (a) − · f (b) − f (a) b − a ¸ (0) = f (a) h(b) = f (b) − · f (b) − f (a) b − a ¸ (b − a) = f (b) − f (b) + f (a) = f (a)

Como h(a) = h(b) = f (a), podemos aplicar o Teorema de Rolle e deduzir que existe algum x em (a, b) tal que

0 = h0_{(x) = f}0_{(x) −} f (b) − f (a)

(14)

Ent˜ao 0 = f0_{(x) −}f (b) − f (a) b − a Logo, f0_{(x) =} f (b) − f (a) b − a .

1.4.3 Teorema do Valor M´

edio de Cauchy

Teorema 6. Se f : (a, b) → R e g : (a, b) → R s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas em [a,b]

e deriváveis em (a,b), então existe um número x em (a,b) tal que

[f (b) − f (a)]g0(x) = [g(b) − g(a)]f0(x) Prova: Seja

h(x) = f (x)[g(b) − g(a)] − g(x)[f (b) − f (a)]

Como f e g são cont´ınuas em [a, b] e deriváveis em (a, b), então h também é cont´ınua em [a, b] e derivável em (a, b) e,

h(a) = f (a)[g(b) − g(a)] − g(a)[f (a) − f (a)]

h(a) = f (a)g(b) − f (a)g(a) − g(a)f (b) + g(a)f (a) h(a) = f (a)g(b) − g(a)f (b)

e tamb´em

h(b) = f (b)[g(b) − g(a)] − g(b)[f (b) − f (a)]

h(b) = f (b)g(b) − f (b)g(a) − g(b)g(a) − g(b)f (b) + g(b)f (a) h(b) = g(b)f (a) − f (b)g(a)

Logo, h(a) = h(b). Do Teorema de Rolle, segue que h0_{(x) = 0 para algum x}

pertencente a (a, b). Ent˜ao:

h0_{(x) = f}0_{(x)[g(b) − g(a)] − g}0_{(x)[f (b) − f (a)] = 0}

f0_{(x)[g(b) − g(a)] − g}0_{(x)[f (b) − f (a)] = 0}

(15)

Logo, f0_(x) g0_(x) = f (b) − f (a) g(b) − g(a) Se g(b) 6= g(a) e g0_{(x) 6= 0.}

OBS: Se g(b) 6= g(a) e g0_{(x) 6= 0, podemos escrever a equa¸c˜ao acima da}

seguinte forma:

f (b) − f (a) g(b) − g(a) =

f0_(x)

g0_(x)

Se g(x) = x, ∀ x, ent˜ao g0_{(x) = 1 e obteremos o Teorema do Valor M´edio:}

f0(x) = f (b) − f (a)

g(b) − g(a)

Aplicando-se o Teorema do Valor M´edio a f e a g separadamente encontra-remos x e y em (a, b) com

f (b) − f (a) g(b) − g(a) = f0_(x) g0_(y); f0(x) = f (b) − f (a) b − a e g 0_{(y) =} g(b) − g(a) b − a

Dividindo f0_{(x) por g}0_{(x) teremos:}

f0_(x) g0_(y) = f (b) − f (a) b − a g(b) − g(a) b − a

Por´em, nada nos garante que x e y escolhidos sejam iguais.

1.4.4 Regra de L’Hˆ

opital

Teorema 7. Supondo que lim

x→af (x) = 0 e limx→ag(x) = 0, e supondo tamb´em que

existe lim

x→a

f0_(x)

g0_(x), ent˜ao existe lim_x→a

f (x) g(x), e limx→a f (x) g(x) = limx→a f0_(x) g0_(x).

(16)

Prova:

A hip´otese de que lim

x→a

f0_(x)

g0_(x) existe cont´em implicitamente duas suposic˜oes:

1. Existe um intervalo (a − δ, a + δ) tal que f0_{(x) e g}0_{(x) existem em todo x}

pertencente a (a − δ, a + δ) exceto possivelmente para x = a; 2. Neste intervalo g0_{(x) 6= 0 com a poss´ıvel exce¸c˜ao de x = a.}

Por outro lado, n˜ao se sup˜oe que f e g estejam definidas em a. Se definimos

f (a) = g(a) = 0 ent˜ao f e g s˜ao cont´ınuas em a.

Se a < x < a + δ, então o Teorema do Valor Médio e o Teorema do Valor Médio de Cauchy são aplicáveis a f e g no intervalo [a, x] (igualmente válido para

a − δ < x < a). Aplicando primeiro o Teorema do Valor M´edio em g, vemos que g(x) 6= 0, pois se fosse g(x) = 0 ent˜ao existiria algum x1 no intervalo (a, x) com

g0_{(x) = 0, contradizendo (2). Aplicando o Teorema do Valor M´edio de Cauchy}

a f e a g, vemos que existe um n´umero αxno intervalo (a, x) tal que

[f (x) − 0]g0_(α x) = [g(x) − 0]f0(αx) ou f (x) g(x) = f0_(α x) g0_(α_x₎.

αx aproxima-se de a quando x se aproxima de a, visto que αx est´a no intervalo

(a, x). Da existˆencia de lim

y→a

f0_(y)

g0_(y), segue que

lim x→a f (x) g(x) = limx→a f0_(α x) g0_(α x) = lim y→a f0_(α y) g0_(α y) .

1.5 A integral

1.5.1 O Conceito de integral

Se a e b são números reais com a < b, uma parti¸cão P para o intervalo [a, b] é um conjunto finito de pontos do intervalo, P = {t0, t1, t2, ..., tk}, satisfazendo

t0= a < t1< t2, ..., tk−1, b = tk

Logo, se [a, b] ´e um intervalo contido no dom´ınio de uma fun¸c˜ao f , P =

{t0, t1, t2, ..., tk} ´e uma parti¸c˜ao contida em [a, b].

Defini¸c˜ao 11. O tamanho de uma parti¸c˜ao P, denotado por |P |, ´e o

com-primento do maior subintervalo determinado por dois números consecutivos da parti¸cão, isto é, intervalos da forma [ti−1, ti], ou seja,

(17)

Com esta defini¸c˜ao, o comprimento de qualquer subintervalo [ti−1, ti] ´e

sem-pre menor ou igual ao tamanho da parti¸c˜ao, isto ´e,

|ti−1, ti| ≤ |P |, para 1 ≤ i ≤ k.

Defini¸c˜ao 12. Suponha que f : [a, b] → R ´e limitada no intervalo [a, b] e

P = {t0, t1, ..., tn−1, tn} ´e uma parti¸c˜ao de [a, b]. Seja

mi = inf {f (x) : ti−1≤ x ≤ ti},

Mi= sup{f (x) : ti−1≤ x ≤ ti}.

A soma inferior de f para P , designada por L(f, P ), ´e definida por: L(f (x), P ) =

n

X

i=1

mi(ti− ti−1).

A soma superior de f para P , designada por U (f, P ), ´e definida por: U (f (x), P ) =

n

X

i=1

Mi(ti− ti−1).

Se P é uma parti¸cão qualquer, então

L(f (x), P ) ≤ U (f (x), P ), pois, L(f (x), P ) = n X i=1 mi(ti− ti−1), U (f (x), P ) = n X i=1 Mi(ti− ti−1),

e, para cada i teremos

mi(ti− ti−1) ≤ Mi(ti− ti−1).

Defini¸c˜ao 13. Suponha que f : [a, b] → R ´e limitada no intervalo [a, b].

Chamamos de Integral Superior e denotamos por

Z ¯_b

a

f (x)dx = inf {U(f(x),P): P ´e uma parti¸c˜ao de [a,b]}. Chamamos de Integral Inferior e denotamos por

Z b

¯

a

(18)

Defini¸c˜ao 14. Uma fun¸cão f : [a, b] → R limitada no intervalo [a, b] é in-tegrável em [a, b] se Z ¯_b a f (x)dx = Z b ¯ a f (x)dx.

Neste caso, o n´umero I, comum a ambos, recebe o nome de integral de f e ´e escrito da seguinte maneira:

I = Z _b a f (x)dx. Se f (x) ≥ 0, a integral Z b a

f (x)dx é a área da região abaixo do gráfico de f entre a e b e acima do eixo x.

Então, se f é integrável, L(f (x), P ) ≤

Z b a

f (x)dx ≤ U (f (x), P ) para todas as parti¸c˜oes P do intervalo [a, b].

Teorema 8. Suponha que f : [a, b] → R seja integr´avel em [a, b] e que m ≤

f (x) ≤ M para todo x de [a, b]. Ent˜ao m(b − a) ≤ Z b a f (x)dx ≤ M (b − a). Prova: Seja _Z b a f (x)dx = sup{L(f, P )} = inf {U (f, P )}.

(19)

Ent˜ao, percebemos que

m(b − a) ≤ L(f, P ) e U (f, P ) ≤ M (b − a)

para toda parti¸c˜ao P do intervalo.

1.5.2 Teorema Fundamental do C´

alculo

Teorema 9. Primeiro Teorema Fundamental do C´alculo

Seja f : [a, b] → R uma fun¸c˜ao integr´avel sobre o intervalo [a, b] e F (x) =

R_x

a f (t)dt.

Se f é cont´ınua em c, onde c está contido no intervalo [a, b], então F é derivável em c e

F0_{(c) = f (c).}

Prova:

Como c est´a contido no intervalo [a, b], teremos, por defini¸c˜ao,

F0(c) = lim

h→0

F (c + h) − F (c)

h .

Supondo primeiro que h > 0, ent˜ao

F (c + h) − F (c) = Z _c+h c f (t)dt. Sejam: mh= inf {f (x) : c ≤ x ≤ c + h}, Mh= sup{f (x) : c ≤ x ≤ c + h}.

Do teorema anterior segue que

mh.h ≤ Z _c+h c f (t)dt ≤ Mh.h. Logo, mh≤F (c + h) − F (c) h ≤ Mh. Se h ≤ 0, teremos: mh= inf {f (x) : c + h ≤ x ≤ c}, Mh= sup{f (x) : c + h ≤ x ≤ c}. Ent˜ao, mh.(−h) ≤ Z c+h c f (t)dt ≤ Mh.(−h)

(20)

Figura 6

−mh.h ≤ −

Z c+h c

f (t)dt ≤ −Mh.h

Como h ≤ 0 obteremos o mesmo resultado para h > 0, que ´e

mh≤

F (c + h) − F (c) h ≤ Mh.

Esta igualdade se faz para qualquer fun¸cão integrável. Como f é cont´ınua em

c, teremos

lim

h→0 mn= limh→0 Mn= f (c),

e isto significa que

F0_{(c) = lim} h→0

F (c + h) − F (c)

h = f (c)

Defini¸c˜ao 15. Se f e g são fun¸cões tais que f é a derivada de g, isto é,

g0_{(x) = f (x), dizemos que a fun¸c˜ao g ´e uma primitiva para f .}

Teorema 10. Segundo Teorema Fundamental do C´alculo

Se f : (a, b) → R é integrável sobre [a, b] e f = g0 _{para alguma fun¸cão g, então}

Z _b

a

(21)

Prova:

Seja P = {t0, t1, ..., tn−1, tn} uma parti¸c˜ao qualquer de [a, b]. Pelo teorema

do valor m´edio, existe um ponto xi em [ti−1, ti] tal que

g(ti) − g(ti−1) = g0(xi)(ti− ti−1) g(ti) − g(ti−1) = f (xi)(ti− ti−1). Se mi = inf {f (x) : ti−1≤ x ≤ ti}, Mi= sup{f (x) : ti−1≤ x ≤ ti}, Ent˜ao

mi(ti− ti−1) ≤ f (xi)(ti− ti−1) ≤ Mi(ti− ti−1),

´e o mesmo que

mi(ti− ti−1) ≤ g(xi) − g(ti−1) ≤ Mi(ti− ti−1).

Somando estas equa¸c˜oes para i = 1, ..., n obteremos,

n X i=1 mi(ti− ti−1) ≤ g(b) − g(a) ≤ n X i=1 Mi(ti− ti−1) de maneira que L(f, P ) ≤ g(b) − g(a) ≤ U (f, P )

para toda parti¸c˜ao de P . Por´em, isto sigfica que

g(b) − g(a) =

Z _b

a

(22)

Cap´ıtulo 2

Aproxima¸c˜

ao Por Fun¸c˜

oes

Polinomiais

2.1 Introdu¸c˜

ao

Um polinômio p de grau n ∈ N, com coeficientes reais na variável x é dado por

p(x) = a0+ a1x + a2x2+ ... + anxn

onde os coeficintes ai∈ R ∀ i = 0, 1, 2, 3, ..., n.

Como efetuando apenas as operara¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão podemos sempre calcular o valor de p em x, então p como fun¸cão real está definida para todo x ∈ R. No Cálculo, as fun¸cões polinomiais são consideradas as mais simples. Já as fun¸cões logar´ıtmo, seno, cosseno, exponencial, etc., não têm tal simplicidade.

Dada uma fun¸cão qualquer, f : R → R, faremos aqui uma aproxima¸cão desta por polinômios, de modo que possamos usar valores dos polinômios ao invés dos valores de tais fun¸cões, cometendo com isto um erro tão pequeno quanto quei-ramos.

2.2 Polinˆ

omio de Taylor

Dizemos que um polinômio está na forma (x − a) ou que está centrado em

x = a se for da forma:

p(x) = a0+ a1(x − a) + a2(x − a)2+ ... + an(x − a)n

(23)

p0_{(x) = a} 1+ 2a2(x − a) + 3a3(x − a)2+ ... + nan(x − a)n−1 p0_{(a) = p}(1)_{(a) = a} 1=⇒ a1= p (1)_(a) 1! ; p00(x) = 2a2+ 3.2a3(x − a) + ... + n(n − 1)an(n − a)n−2 p00_{(a) = p}(2)_{(a) = 2a} 2=⇒ a2=p (2)_(a) 2! Assim pode-se mostrar por indu¸c˜ao que

p(k)_{(x) = k!a} k+ ... + (n − a)x(n−k) p(k)_{(x) = k!a} k+ ... + n(n − 1) + ... + [n − (k − 1)].an(x − a)n−k p(k)_{(x) =} n X j=k j! (j − k)!aj(x − a) j−k Ent˜ao p(k)(a) = k!ak =⇒ ak= p (k)_(a) k! . (2.1)

Defini¸c˜ao 16. Dada f : R → R uma fun¸c˜ao que tenha derivadas at´e ordem n

no ponto x = a, associamos a f o polinˆomio Pn,a(x) de grau ≤ n dado por

Pn,a(x) = a0+ a1(x − a) + a2(x − a)2+ ... + an(x − a)n,

onde os coeficientes ak =f

(k)_(a)

k! , k = 0, 1, 2, 3, ..., n. Logo, Pn,a(x) = f (a) + f(1)(a)(x − a) +f

(2)_(a)

2! (x − a)

2_{+ ... +}f(n)(a)

n! (x − a)

n_{. (2.2)}

O polinˆomio Pn,a(x) recebe o nome de Polinˆomio de Taylor de grau n

(24)

Escrevendo com a nota¸c˜ao de somat´orio, temos que P(n,a)(x) = n X k=0 f(k)_(a) k! (x − a) k

Em particular, se a = 0, o Polinˆomio de Taylor de grau n para f , centrado em x = 0 ´e:

p(x) = P(n,0)(x) = a0+ a1x + a2x2+ ... + anxn.

Exemplo 1. Dada a fun¸c˜ao f (x) = sen(x), encontrar o Polinˆomio de Taylor

de f de grau (2n + 1) centrado em a = 0.

Como a fun¸cão sen(x) é infinitamente diferenciável, então sen(0) = 0

sen(1)_{(0) = cos(0) = 1}

sen(2)_{(0) = −sen(0) = 0}

sen(3)_{(0) = −cos(0) = −1}

sen(4)_{(0) = sen(0) = 0}

Daqui em diante as derivadas se repetem em ciclo de 4. Logo os n´umeros ak= sen (k)₍₀₎ k! s˜ao da forma: ak=    −1, se k=3,7,11...; 0, se k for par; 1, se k=1,5,9.... Logo a0= 0, a1= 1, a2= 0, a3= −1 3!, a4= 0, a5= 1 5!, a6= 0, a7= − 1 7!, ...

Então, o Polinômio de Taylor P2n+1,0 para a fun¸cão sen(x) centrado em

a = 0 ´e P2n+1,0= 0 + 1.(x − 0) + 0.(x − 0) 2 2! − 1. (x − 0)3 3! + 0. (x − 4)4 4! + 1. (x − 0)5 5! + 0.(x − 0) 6 6! − 1. (x − 0)7 7! + ... + (−1) n_. · x2n+1 (2n + 1)! ¸ . Ent˜ao teremos, P2n+1,0(x) = x −x 3 3! + x5 5! − x7 7! + ... + (−1) n_. · x2n+1 2n + 1! ¸ .

(25)

Exemplo 2. Dada a fun¸c˜ao h(x) = ex_{, encontrar o Polinˆomio de Taylor de h}

de grau n centrado em a = 0. h(0) = h(1)_{(0) = ... = h}(n)_{(0) = 1}

Ent˜ao,

a0= a1= a2= ... = an= 1

Logo, o Polinômio de Taylor Pn,0 para a fun¸cão ex no ponto a = 0 é:

Pn,0(x) = 1 + x + 1.(x − 0) 2 2! + 1. (x − 0)3 3! + 1. (x − 0)4 4! + ... + 1. (x − 0)n n! Pn,0(x) = 1 + x + x 2 2! + x3 3! + x4 4! + ... + xn n!.

Consideremos para a fun¸c˜ao h(x) = ex _{os Polinˆomios de Taylor de grau 1 e}

2, que s˜ao: P1,0(x) = 1 + x e P2,0(x) = 1 + x +x 2 2 . 3 2 1 0 -1 x 2 1 0 -1 -2 y 4 Exponencial Polinomio Grau 1 Polinomio Grau 2

Notemos que numa pequena vizinhan¸ca centrada em x = 0, a medida que o grau do Polinômio de Taylor aumenta, o gráfico respectivo fica mais próximo do gráfico de h(x).(veja figura anterior).

(26)

Analiticamente, verificaremos que P2,0(x) est´a mais mais pr´oximo de h(x)

do que P1,0(x), ou seja, a ordem de convergência é mais próxima se a ordem de

proximidade for maior.

Para isto calculamos os seguintes limites: 1. lim x→0 f (x) − P1,0(x) x − 0 = limx→0 ex_{− 1 − x} x = 0 0. Aplicando a Regra de L’Hˆopital, teremos

lim x→0 h(x) − P1,0(x) x = 0. (2.3) 2. lim x→0 f (x) − P2,0(x) (x − 0)2 = lim_x→0 ex_{− 1 − x −}x2 2 x2 = 0 0. Aplicando a Regra de L’Hˆopital 2 vezes temos que

lim

x→0

h(x) − P2,0(x)

x2 = 0 (2.4)

O primeiro limite (2.3) nos diz que a diferen¸ca h(x) e P1,0(x) tende a zero

mais r´apido que a fun¸c˜ao linear “x”.

O segundo limite (2.4) nos diz que a diferen¸ca de h(x) e P2,0(x) tende a zero

ainda mais rápido que uma fun¸cão quadrática “x2_”.

´

E isto que o Teorema a seguir mostra para uma fun¸c˜ao qualquer.

Teorema 11. Seja f : R → R uma fun¸c˜ao n-vezes diferenci´avel no ponto x = a.

Ent˜ao, lim x→a f (x) − Pn,a(x) (x − a)n = 0. Prova:

Consideremos o Polinˆomio de Taylor de f de grau n centrado em x = a:

Pn,a(x) = f (a) + f0(a)(x − a) + ... +f

(n−1)_(a)

(n − 1)! (x − a)

n−1₊fn(a)

n! (x − a)

n

(27)

Pn,a(x) = n−1 X k=0 f(k)_(a) k! (x − a) k₊fn(a)(x − a)n n! . Ent˜ao, f (x) − Pn,a(x) (x − a)n = f (x) − n−1_X k=0 f(k)_{(x − a)}k k! − f(n)_{(a)(x − a)}n n! (x − a)n . f (x) − Pn,a(x) (x − a)n = f (x) − n−1_X k=0 f(k)_{(a)(x − a)}k k! (x − a)n − f(n)_(a) n! . Chamemos de g(x) = n−1_X k=0 f(k)_{(a)(x − a)}k k! e h(x) = (x − a) n_.

Devemos mostrar que

lim x→a · f (x) − g(x) h(x) − f(n)_(a) n! ¸ = 0.

Como o segundo termo do limite acima n˜ao depende de x, basta mostrar que lim x→a f (x) − g(x) h(x) = f(n)_(a) n! . (2.5)

Sendo que g(x) = f (a) + f0_{(a)(x − a) + ... +}fn−1(a)

(n − 1)!(x − a)

n−1_{, ent˜ao temos}

que, derivando sucessivamente como em (2.1)

g(i)_{(a) = f}(i)_{(a) ∀ 0 ≤ i ≤ n − 1.}

Como f é n − vezes diferenciável no ponto a, então f, f0_{, f}(2)_{, ..., f}(n−1)_são

cont´ınuas em x = a e sendo g polinˆomio, ent˜ao temos: lim

x→a[f

(i)_{(x) − g}(i)_{(x)] = f}(i)_{(a) − g}(i)_{(a); ∀0 ≤ i ≤ n − 1.}

Assim, para mostrar (2.5), podemos aplicar a Regra de L’Hôpital (n − 1) vezes à primeira parte da equa¸cão e obtemos:

(28)

lim x→a f (x) − g(x) h(x) = limx→a f(n−1)_{(x) − g}(n−1)_(x) h(n−1)_(x) = lim_x→a fn_(x) n! = fn_(a) n!

Uma aplica¸cão importante deste Teorema que deixamos para o Cap´ıtulo 3 é dar um critério para decidir quando um ponto cr´ıtico degenerado (isto é,

f0_{(a) = f}00_{(a) = ... = f}(k)_{(a) = 0 e f}(k+1)_{(a) 6= 0) ´e ponto de m´aximo ou}

m´ınimo local.

Defini¸c˜ao 17. Dizemos que duas fun¸cões f e g : R → R são iguais até ordem n em x=a se

lim

x→a

f (x) − g(x)

(x − a)n = 0.

Teorema 12. Sejam P e Q dois polinˆomios em (x − a), de grau ≤ n e seja

a ∈ R qualquer. Suponha que P e Q sejam iguais at´e ordem n em a, ent˜ao, P = Q

Prova:

Como P e Q são iguais até ordem n em a, por defini¸cão, temos que: lim

x→a

P (x) − Q(x)

(x − a)n = 0.

Chamemos de R(x) = P (x) − Q(x). Substituindo temos:

lim

x→a

R(x)

(x − a)n = 0. (2.6)

Devemos mostrar que R(x) = 0 para todo x ∈ R. De (2.6), Seja 0 6 i 6 n, lim x→a R(x) (x − a)i = lim_x→a · R(x) (x − a)n(x − a) n−i ¸ = 0. (2.7)

Em particular para i = 0, resulta simplesmente que lim

x→aR(x) = 0.

Seja R(x) = b0+ b1(x − a) + b2(x − a)2+ ... + bn(x − a)n.

lim

x→aR(x) = limx→a[b0+ b1(x − a) + b2(x − a)

2_{+ ... + b}

n(x − a)n]

lim

(29)

Logo, R(x) x − a = b1+ b2(x − a) + ... + bn(x − a) n−1_. De (2.7), para i = 1, temos lim x→a R(x) x − a = limx→a[b1+ b2(x − a) + ... + bn(x − a) n−1_{] = 0} Ent˜ao, lim x→a R(x) x − a= b1= 0.

Seguindo este processo e usando (2.7), temos que

b0= b1= b2= ... = bn= 0

Então, R(x) = 0 ∀ x ∈ R. Conseqüentemente, P (x) = Q(x) ∀ x ∈ R. Isto é

P = Q.

Corol´ario 1. Sejam f : R → R uma fun¸c˜ao deriv´avel n vezes no ponto x = a e

P um polinômio em (x-a), de grau ≤ n. Suponha que P é igual a f até ordem n em x = 0. Então P é o Polinômio de Taylor de f de ordem n centrado em x = a. Isto é,

P (x) = Pn,a(x), ∀ x ∈ R.

Prova:

Como f ´e igual a P at´e a ordem n em x = a, temos que: lim

x→a

f (x) − P (x)

(x − a)n = 0 (2.8)

Por outro lado, do teorema 11 lim

x→a

f (x) − Pn,a(x)

(x − a)n = 0. (2.9)

Ent˜ao devemos mostrar que lim

x→a

P (x) − P(n,a)(x)

(x − a)n = 0

Com efeito, acrescentando e subtraindo f (x) ao limite acima, temos: lim x→a P (x) − P(n,a)(x) (x − a)n = lim_x→a P (x) − P(n,a)(x) + f (x) − f (x) (x − a)n =

(30)

= lim x→a · [f (x) − P(n,a)(x)] − [f (x) − P (x)] (x − a)n ¸ = = lim x→a · f (x) − P(n,a)(x) (x − a)n − f (x) − P (x) (x − a)n ¸ = = lim x→a · f (x) − P(n,a)(x) (x − a)n ¸ − lim x→a · f (x) − P (x) (x − a)n ¸

ent˜ao, de (2.8) e (2.9) temos que lim

x→a

P (x) − P(n,a)(x)

(x − a)n = 0.

Assim os polinômios P e Pn,a são iguais até a ordem n em x = a, então, do

teorema 13

P = Pn,a.

Quando uma fun¸cão for n vezes diferenciável no ponto x = a, o corolário acima oferece um método útil para encontrar seu Polinômio de Taylor centrado em x = a.

Exemplo 3. Dada a fun¸c˜ao t(x) = arctg(x), encontrar o Polinˆomio de Taylor

de t de grau 2n + 1 centrado em a = 0.

Note que, para determinarmos cada valor de ak = t

(k)_(a)

k! , devemos deter-minar t0_{(a), t}00_{(a), t}000_{(a), ..., t}k_{(a). Assim}

arctg0_{(x) =} 1 1 + x2 −→ arctg(0) = 1; arctg00_{(x) =} −2x (1 + x2₎ −→ arctg(0) = 0 arctg000_{(x) =} (1 + x2)2.(−2) + 2x.2(1 + x2).2x (1 + x2₎4 −→ arctg(0) = −2

Se continuar-mos derivando, teremos uma express˜ao cada vez maior, uma conta cada vez mais complicada e, para evitar isto, o Corol´ario 1 simplifica ba-stante o nosso trabalho.

Seja a equa¸c˜ao arctg(x) = Z _x 0 1 1 + t2dt

Dividindo o integrando (isto ´e 1 entre 1 + t2_{, at´e obter um quociente de}

ordem 2n, o resto ´e (−1)n+1_t2n+1_{, ent˜ao}

1

1 + t2 = 1 − t2+ t4− t6+ ... + (−1)nt2n+

(−1)n+1_t2n+2

1 + t2

(31)

arctg(x) = Z _x 0 · 1 − t2+ t4− t6+ ... + (−1)nt2n+(−1) n+1_t2n+2 1 + t2 ¸ dt arctg(x) = x −x3 3 + x5 5 − ... + (−1)n_x2n+1 2n + 1 + (−1) n+1 Z _x 0 t2n+2 1 + t2dt arctg(x) = x −x 3 3 + x5 5 − ... + (−1)n_x2n+1 2n + 1 + (−1) n+1 Z x 0 t2n+2 1 + t2dt (2.10) Denotemos por P (x) = x −x3 3 + x5 5 − ... + (−1)n_x2n+1 2n + 1 , ent˜ao de (2.10) arctg(x) = P (x) + (−1)n+1 Z x 0 t2n+2 1 + t2dt arctg(x) − P (x) (x − a)2n+1 = (−1)n+1 Z _x 0 t2n+2 1 + t2dt (x − a)2n+1 (2.11)

Agora mostraremos que:

lim x→a Z _x 0 t2n+2 1 + t2dt (x − a)2n+1 = 0 De fato, ¯ ¯ ¯ ¯ Z _x 0 t2n+2 1 + t2dt ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ ¯ ¯ ¯ ¯ Z _x 0 t2n+2_dt ¯ ¯ ¯ ¯ =|x| 2n+3 2n + 3 (2.12) Ent˜ao lim x→a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Z x 0 t2n+2 1 + t2dt (x − a)2n+1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 6 lim x→a |x|2n+3 x2n+1 = lim_x→a |x|2 2n + 3 = 0.

Da afirma¸c˜ao anterior e de (2.11) temos

lim

x→a

arctg(x) − P (x)

(x − a)2n+1 = 0.

Então as fun¸cões arctg e P são iguais até ordem 2n + 1 no ponto x = a. Logo, do Corolário 1, P é o Polinômio de Taylor de grau 2n + 1 centrado em

(32)

x = a.

Deste modo, o Polinômio de Taylor para a fun¸cão arctg(x), de grau 2n + 1, centrado em x=0 é: P2n+1,0(x) = x −x 3 3 + x5 5 − ... + (−1)n_x2n+1 2n + 1 .

Voltemos agora a equa¸c˜ao (2.10):

arctg(x) = x −x 3 3 + x5 5 − ... + (−1)n_x2n+1 2n + 1 + (−1) n+1 Z x 0 t2n+2 1 + t2dt.

Da estimativa (2.11), se |x| 6 1, temos que o resto ´e: ¯ ¯ ¯ ¯ Z _x 0 t2n+2 1 + t2dt ¯ ¯ ¯ ¯ ≤|x| 2n+3 2n + 3 < 1 2n + 3.

Isto significa que podemos utilizar os Polinˆomios de Taylor para a fun¸c˜ao

arctg(x) com a aproxima¸c˜ao que quisermos, basta eleger n t˜ao grande quanto

queiramos para obter um resto arbitrariamente pequeno.

Os teoremas sobre Polinômios de Taylor estendem este resultado, como veremos no cap´ıtulo de “Aplica¸cões”. Os teoremas até aqui demonstrados têm examinado sempre o comportamento do Polinômio de Taylor Pn,a para n fixo,

quando x tende a a. Mais a frente iremos comparar os Polinˆomios de Taylor

Pn,a para x fixo e n distintos.

2.3 Teorema de Taylor

Defini¸c˜ao 18. Sejam f : [a, x] → R uma fun¸c˜ao e Pn,a o seu Polinˆomio de

Taylor at´e a ordem n em x = a. Chamamos de Resto e denotamos por Rn,a(x)

a seguinte fun¸c˜ao: Rn,a(x) = f (x) − Pn,a(x). Ent˜ao, f (x) = Pn,a(x) + Rn,a(x) = = f (a) + f0(a)(x − a) + ... +f (n)_(a) n! (x − a) n_{+ R} n,a(x) (2.13)

(33)

Seria desej´avel dispor de uma express˜ao para Rn,a(x) que nos permita

facil-mente estimar uma boa aproxima¸cão para uma determinada fun¸cão. Do exemplo 3, para a fun¸cão arctg(x), encontramos que

R2n+1,0(x) = (−1)n+1 Z x 0 t2n+2 1 + t2dt e mostramos que |R2n+1,0(x)| ≤ |x| 2n+3 2n + 3.

Lema 1. Seja f : [a, x] → R fun¸c˜ao n-vezes diferenci´avel em [a, x]. Para

t ∈ [a, x] denotemos por

Rn,t(x) = S(t) = f (x) − f (t) − f0(t)(x − t) − ... −f (n)_(t) n! (x − t) n_. Ent˜ao S0(t) = −f (n+1)_(t) n! (x − t) n_. Prova:

Fixado x e para cada t ∈ [a, x], podemos escrever a equa¸c˜ao (2.13) em termos do Polinˆomio de Taylor centrado em t, e denotamos o resto por S(t) = Rn,t(x).

Assim temos

f (x) = f (t) + f0(t)(x − t) + ... +f

n_(t)

n! (x − t)

n_{+ S(t).} _(2.14)

Derivando ambos os membros de (2.14) em rela¸c˜ao a t temos que ∂f

∂t(x) = 0. Ent˜ao, 0 = f0_{(t) +} · −f0_{(t) +}f00(t) 1! (x − t) ¸ + · −f 00_(t) 1! (x − t) + f000_(t) 2! (x − t) 2 ¸ + ... ... + · −f (n)_(t) (n − 1)!(x − t) n−1₊f(n+1)(t) n! (x − t) n ¸ + S0_(t) Simplificando temos 0 = f (n+1)_(t) n! (x − t) n_{+ S}0_{(t). Ent˜ao} S0_{(t) = −}f(n+1)(t) n! (x − t) n_. _(2.15)

(34)

2.3.1 Teorema de Taylor com Resto Integral

Consideremos a seguinte equa¸c˜ao:

f (x) = f (a) + R0,a(x)

Pelo Teorema Fundamental do C´alculo, temos que

f (x) = f (a) +

Z x a

f0_(t)dt

de maneira que R0,a(x) =

Z x a

f0_(t)dt.

De forma an´aloga, obtemos uma express˜ao para R1,a(x). Para isto,

inte-gramos Z _x

a

f0(t)dt, utilizando o m´etodo de integra¸c˜ao por partes. Veja que f (x) = f (a) +

Z x a f0_{(t)dt = f (a) −} Z x a f0_(t)(−dt).

Resolvendo somente a integral Z _x a f0(t)(−dt), temos que, u(t) = f0_{(t), du(t) = f}00_{(t)dt e dv(t) = −dt, v(t) = x − t.} Logo teremos Z x a f0_{(t)(−dt) = u(t)v(t)|}b a− Z x a (x−t)f00_{(t)dt = f}0_{(t)(x−t)−} Z x a f00_{(t)(x−t)dt =} = f0_{(x)(x−x)−f}0_{(a)(x−a)−} Z x a f00_{(t)(x−t)dt = 0−f}0_{(a)(x−a)−} Z x a f00_{(t)(x−t)dt =} = −f0_{(a)(x − a) −} Z x a f00_{(t)(x − t)dt.} Como f (x) = f (a) − Z x a

f0_{(t)(−dt), temos ent˜ao que}

f (x) = f (a) − · −f0(a)(x − a) − Z _x a f00(t)(x − t)dt ¸ f (x) = f (a) + f0_{(a)(x − a) +} Z x a f00_{(t)(x − t)dt.} Assim ent˜ao, R1,a(x) = Z x a f00_{(t)(x − t)dt.}

Uma generaliza¸c˜ao desta forma de escrever o resto ´e dado no seguinte teo-rema:

(35)

Teorema 13. Seja f : [a, x] → R uma fun¸c˜ao n+1 vezes diferenci´avel com

fn+1_{integr´avel em [a, x]. Ent˜ao}

f (x) = f (a) + f0_{(a)(x − a) + ... +}fn(a)

n! (x − a)

n_{+ R} n,a(x),

onde o resto ´e da forma: Rn,a(x) = Z _x a fx+1 n! (x − t) n_dt. Prova:

Escrevendo f (x) em fun¸cão dos Polinômios de Taylor centrados em t ∈ [a, x], como no Lema 1, e da equa¸cão (2.15), temos que a fun¸cão resto S(t) = Rn,t(x)

satisfaz

S0_{(t) = −}f(n+1)(t)

n! (x − t)

n_.

Aplicando o Teorema Fundamental do C´alculo, temos

S(x) − S(a) = Z x a S0_{(t)dt = −} Z x a f(n+1)_(t) n! (x − t) n_dt.

Como S(t) = Rn,t(x), temos que S(x) = Rn,x(x) = 0 (pois f (x) = f (x) +

f0_{(x)(x − x) + ... + R}

n,x(x)) e S(a) = Rn,a(x).

Ent˜ao temos que

0 − Rn,a(x) = − Z x a f(n+1)_(t) n! (x − t) n_dt. Logo, Rn,a(x) = Z x a f(n+1)_(t) n! (x − t) n_dt.

2.3.2 Teorema de Taylor com Resto Cauchy

Teorema 14. Seja f : [a, x] → R uma fun¸cão n+1 vezes diferenciável. Então

f (x) = f (a) + f0_{(a)(x − a) + ... +}fn(a)

n! (x − a)

n_{+ R} n,a(x),

e a fun¸c˜ao resto ´e da forma: Rn,a(x) =

f(n+1)_(t)

n! (x − t)

(36)

Prova:

satisfaz

S0_{(t) = −}f(n+1)(t)

n! (x − t)

n

Aplicando o teorema do valor m´edio na fun¸c˜ao S em [a, x], temos que existe um t em (a, x) tal que

S(x) − S(a) x − a = S 0_{(t) = −}f(n+1)(t) n! (x − t) n Como S(t) = Rn,t(x) = f (x) − f (t) − f0(t)(x − t) − ... − f (n)_(t) n! (x − t) n_,

temos que S(x) = Rn,x(x) = 0 e S(a) = Rn,a(x).

Assim ent˜ao, 0 − Rn,a(x) x − a = − f(n+1_(t) n! (x − t) n

ou seja, como quer´ıamos demonstrar:

Rn,a(x) = f

(n+1)_(t)

n! (x − t)

n_{(x − a)}

2.3.3 Teorema de Taylor com Resto Lagrange

Teorema 15. Seja f : [a, x] → R uma fun¸cão n+1 vezes diferenciável. Então

f (x) = f (a) + f0(a)(x − a) + ... +f

n_(a)

n! (x − a)

n_{+ R} n,a(x),

e a fun¸c˜ao resto ´e da forma: Rn,a(x) =

f(n+1)_(t)

(n + 1)! (x − a)

n+1_{, para algum t ∈ (a, x).}

Prova:

satisfaz

S0_{(t) = −}f(n+1)(t)

n! (x − t)

(37)

Para deduzir o resto na forma de Lagrange, basta aplicar o teorema do valor m´edio de Cauchy nas fun¸c˜oes S(t) e g(t) = (x − t)n+1_{. Assim, existe t ∈ (a, x)}

tal que S(x) − S(a) g(x) − g(a) = S0_(t) g0_(t) = −f(n+1)(t) n! (x − t)n −(n + 1)(x − t)n = f(n+1)_(t) n! (x − t) n (n + 1)(x − t)n

Vejamos que S(x) = Rn,x(x) = 0, S(a) = Rn,a(x), g(x) = 0 e g(a) =

(x − a)n+1_.

Substituindo na equa¸c˜ao anterior 0 − Rn,a(x) 0 − (x − a)n+1 = f(n+1)_(t) n! (x − t) n (n + 1)(x − t)n Rn,a(x) (x − a)n+1 = f(n+1)_(t) n! (x − t) n (n + 1)(x − t)n Rn,a(x) (x − a)n+1 = f(n+1)_{(t)(x − t)}n n! . 1 (x + 1)(x − t)n Rn,a(x) (x − a)n+1 = f(n+1)_(t) n!(n + 1) = f(n+1)_(t) (n + 1)! Ent˜ao, Rn,a(x) = f (n+1)_(t) (n + 1)! (x − a) n+1_.

2.4 Outros Exemplos

Exemplo 4. Dada a fun¸c˜ao g(x) = log(x), com x > 0, encontrar o Polinˆomio

de Taylor de g de grau n centrado em a = 1. f (1) = 0 f(1)_{(x) =} 1 x−→ f (1)_{(1) = 1} f(2)_{(x) = −}1 x2 −→ f (2)_{(1) = −1} f(3)_{(x) =} 2 x3 −→ f(3)(1) = 2

(38)

f(4)_{(x) = −}6 x4 −→ f(4)(1) = −6 Logo, f(k)(x) = (−1) n−1_{.(n − 1)!} xn , ∀ n ≥ 1

O Polinômio de Taylor Pn,1 para a fun¸cão log(x) no ponto a = 1 é

Pn,1(x) = (x − 1) −(x − 1) 2 2 + (x − 1)3 3 + ... + (−1)n−1_{(x − 1)}n n .

Exemplo 5. Para a fun¸c˜ao sen(x), com a = 0, sabemos que seu Polinˆomio de

Taylor de grau P2n+1,0 ´e:

P2n+1,0(x) = x−x 3 3!+ x5 5!−...+(−1) n · x2n+1 2n + 1! ¸ + Z _x 0 sen(2n+2)_(t) (2n + 1)! (x−t) 2n+1_dt

Iremos estimar o valor da integral acima, uma vez que é bastante compli-cado resolvê-la. Estimar este valor é fácil e ao mesmo tempo teremos uma boa aproxima¸cão para o valor desta fun¸cão.

Por ser |sen(2n+2)_{(t)| ≤ 1, ∀ t, teremos}

¯ ¯ ¯ ¯ Z x 0 sen(2n+2)_(t) (2n + 1)! (x − t) 2n+1_dt ¯ ¯ ¯ ¯ ≤_{(2n + 1)!}1 ¯ ¯ ¯ ¯ Z x 0 (x − t)2n+1_dt ¯ ¯ ¯ ¯ Ent˜ao, Z _x 0 (x − t)2n+1_{dt = −}(x − t)2n+2 2n + 2 = − (x − x)2n+2 2n + 2 − · −(x − 0)2n+2 2n + 2 ¸ = Z _x 0 (x − t)2n+1_{dt =} x2n+2 2n + 2 Logo, ¯ ¯ ¯ ¯ Z x 0 sen(2n+2)_(t) (2n + 1)! (x − t) 2n+1_dt ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ _{(2n + 1)!}1 |x| 2n+2 2n + 2 = |x|2n+2 (2n + 2)!

Se quisermos calcular sen2 com um erro menor que 10−4_{, temos que}

sen2 = P2n+1,0(2) + R,

onde |R| ≤ 2

2n+2

(2n + 2)!. Assim, utilizamos P2n+1,0(2) como solu¸c˜ao sempre que 22n+2

(2n + 2)! < 10

(39)

Logo, quando n = 5, obtemos o resultado procurado, pois sen2 = P11,0(2) + R = 2 −2 3 3! + 25 5! − 27 7! + 29 9! − 211 11! + R onde |R| < 10 −4_. Veja que |R| = 2 11 11! < 10 −4_{, ou 0, 00004 < 0, 0001.}

Logo, com esta tolerˆancia temos que sen2 = 0, 909296136.

A figura a seguir mostra o gráfico da fun¸cão sen(x) bem como o gráfico de seu Polinômio de Taylor de grau 11.

y x 8 8 4 0 4 -4 -8 0 -4 -8 Seno Polinomio de Taylor

Exemplo 6. Seja a fun¸c˜ao f (x) = cox(x). Iremos encontrar o Polinˆomio de

Taylor Pn,a(x) de grau 2n no ponto a = 0.

cos(0) = 1

cos(1)_{(0) = −sen(0) = 0}

cos(2)_{(0) = −cos(0) = −1}

cos(3)_{(0) = sen(0) = 0}

cos(4)_{(0) = cos(0) = 1}

As derivadas se repetem em ciclo de 4. Ent˜ao os n´umeros ak= cos

(k)₍₀₎

k! ser˜ao

(40)

a0= 1, a1= 0 a2= −1 2!, a3= 0, a4= 1 4!, a5= 0, a6= − 1 6!, a7= 0, ...

O Polinˆomio de Taylor P2n,0de grau 2n para a fun¸c˜ao cos(x) no ponto a = 0

´e: P2n,0 = 1 + 0(x − 0) − 1(x − 0) 2 2! + 0. (x − 0)3 3! + 1 (x − 0)4 4! + 0 (x − 0)5 5! − 1(x − 0) 6 6! + 0 (x − 0)7 7! + ... + (−1) n(x)2n 2n! + Z _x 0 cos(2n+1)_(t) (2n)! (x − t) 2n_dt P2n,0(x) = 1 − x2 2! + x4 4! − x6 6! + ... + (−1) nx2n 2n!+ Z _x 0 cos(2n+1)_(t) (2n)! (x − t) 2n_dt

Iremos estimar o valor da integral acima, uma vez que é bastante compli-cado resolvê-la. Estimar este valor é fácil e teremos uma boa aproxima¸cão para o valor da fun¸cão cox(x).

Por ser |cos(2n+1)_{(t)| ≤ 1, ∀ t, teremos}

¯ ¯ ¯ ¯ Z x 0 cos(2n+1)_(t) (2n)! (x − t) 2n_dt ¯ ¯ ¯ ¯ ≤_(2n)!1 ¯ ¯ ¯ ¯ Z x 0 (x − t)2n_dt ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ x 2n+1 (2n + 1)!.

Se quisermos calcular cos1 com um erro menor que 10−5_{, temos que cos1 =}

P2n,0(1) + R, onde |R| ≤ 1 2n+2

(2n + 2)!. Assim, utilizamos P2n,0(2) como solu¸c˜ao

sempre que

1 (2n)! < 10

−5_.

Logo, quando n = 5, obtemos o resultado procurado, pois 1

10! < 10 −5_. cos1 = P10,0(1) + R = 1 −1 2 2! + 14 4! − 16 6! + 18 8! − 110 10!+ R onde |R| < 10 −5_.

Assim, com esta tolerˆancia temos que cos1 = 0, 540302304.

A próxima figura mostra o gráfico da fun¸cão cos(x) bem como o gráfico de seu respectivo Polinômio de Taylor de Grau 11.

(41)

y x 8 8 4 0 4 -4 -8 0 -4 -8 Cosseno Polinomio de Taylor

(42)

Cap´ıtulo 3

Aplica¸c˜

oes

3.1 Crit´

erios de M´

aximo e M´ınimo Locais para

Pontos Cr´ıticos Degenerados

Defini¸c˜ao 19. Seja f : [a, x] → R uma fun¸c˜ao n−vezes diferenci´avel. x ∈ (a, b)

´e ponto cr´ıtico degenerado de ordem k se f0_{(x) = f}00_{(x) = ... = f}(k)_{(x) = 0 e}

f(k+1)_{(x) 6= 0}

Como aplica¸cão do Teorema 11, daremos um critério para decidir se um certo ponto cr´ıtico degenerado é máximo ou m´ınimo local, ou ponto de inflexão. Teorema 16. Seja f : R → R uma fun¸cão n-vezes diferenciável no ponto x = a,

e este é um ponto cr´ıtico degenerado de ordem n. Então uma das seguintes propriedades é válida:

1. Se n ´e par e f(n)_{(a) > 0, ent˜ao f tem um ponto de m´ınimo local em a.}

2. Se n é par e f(n)_{(a) < 0, então f tem um ponto de máximo local em a.}

3. Se n é ´ımpar, então f não é ponto de máximo nem de m´ınimo local em x = a. Neste caso, x = a é chamado de ponto de inflexão.

Prova:

Se consideramos a fun¸c˜ao g(x) = f (x) − f (a), notamos que g(a) = 0 e

gk_{(a) = f}k_{(a) ∀ k. Sendo g uma transla¸c˜ao vertical de f , a natureza de ser}

m´aximo local ou m´ınimo local de um implica o mesmo para o outro. Assim, sem perda de generalidade, podemos supor que f (a) = 0.

Como as primeiras (n−1) derivadas de f no ponto x = a valem 0, o Polinˆomio de Taylor Pn,a(x) de f ´e:

Pn,a(x) =

f(n)_(a)

n! (x − a)

(43)

Do Teorema 11 temos que 0 = lim x→a f (x) − Pn,a(x) (x − a)n = lim_x→a f (x) − f (n)_(a) n! (x − a) n (x − a)n .

Simplificando, temos que

lim x→a · f (x) (x − a)n − f(n)_(a) n! ¸ = 0. Logo, lim x→a f (x) (x − a)n = f(n)_(a) n! . (3.1)

Caso 1: Se n ´e par e fn_{(a) > 0.}

De (3.1) e da defini¸cão de limite, dado ² = 1 2 µ f(n)_(a) n! ¶ > 0, ∃ δ > 0 tal que se 0 < |x − a| < δ, então −² < f (x) (x − a)n − f(n)_(a) n! < ² =⇒ f(n)_(a) n! − ² < f (x) (x − a)n < ² + f(n)_(a) n! . Como ² = 1 2 µ f(n)_(a) n! ¶ , então 0 < 1 2 µ f(n)_(a) n! ¶ < f (x) (x − a)n < 3 2 µ f(n)_(a) n! ¶ . (3.2)

Sendo n par, (x − a)n _{> 0 ∀ x 6= a, ent˜ao de (3.2) temos ∀ x 6= a com}

a − δ < x < a + δ implica que

f (x) > 0 = f (a).

Em conseq¨uˆencia, f tem um m´ınimo local no ponto x = a. Veja a figura 10. Caso 2: Se n ´e par e fn_{(a) < 0.}

De modo semelhante ao caso 1, basta tomar ² = −1 2 µ f(n)_(a) n! ¶ > 0 para obter

(44)

Figura 10 3 2 µ f(n)_(a) n! ¶ < f (x) (x − a)n < 1 2 µ f(n)_(a) n! ¶ < 0. (3.3)

Como n ´e par, (x − a)n _{> 0 ∀ x ∈ (a − δ, a + δ), com x 6= a. Logo, isto}

implica que

f (x) < 0 = f (a).

Em conseq¨uˆencia, f tem um m´aximo local no ponto x = a, veja figura a seguir.

Figura 11

(45)

3.1) Se f(n)_{(a) > 0, usamos (3.2):} 0 < 1 2 µ f(n)_(a) n! ¶ < f (x) (x − a)n < 3 2 µ f(n)_(a) n! ¶ .

Se x > a, temos que (x − a)n _{> 0, ent˜ao f (x) > 0. Se x < a, temos que}

(x − a)n _{< 0, ent˜ao f (x) < 0. Logo, f tem um ponto de inflex˜ao em x = a (ver}

figura 12). Figura 12 3.2) Se f(n)_{(a) < 0, usamos (3.3):} 3 2 µ f(n)_(a) n! ¶ < f (x) (x − a)n < 1 2 µ f(n)_(a) n! ¶ < 0.

Se x > a, temos que (x − a)n_{> 0, ent˜ao f (x) < 0. Se x < a, (x − a)}n_{< 0,}

ent˜ao f (x) < 0. Novamente f tem um ponto de inflex˜ao em x = a (ver figura 13).

3.2 “e”´

e irracional

Para a fun¸c˜ao ex _{centrado em a = 0, sabemos do exemplo 2 que seu}

Po-linˆomio de Taylor Pn,0 com resto integral ´e:

Pn,0(x) = 1 + x + x 2 2! + x3 3! + x4 4! + ... + xn n! + Z _x 0 et n!(x − t) n_dt

Para um resultado melhor, iremos supor que x ≥ 0 (estimar para x ≤ 0 é análogo). Sobre o intervalo [a, x], o valor máximo de et _{é e}x_{, pois a fun¸cão}

(46)

Figura 13

exponencial ´e crecente, de modo que

R = Z x 0 et n!(x − t) n_{dt ≤} ex n! Z x 0 (x − t)n_{dt =} exxn+1 (n + 1)!.

Como e ´e aproximadamente 2, 718..., temos ent˜ao que

ex_xn+1 (n + 1)! < 3x_xn+1 (n + 1)! Temos que ex_{< 3}x ex< exln3 x < xln3 1 < ln3 Se x > 0, e < 3. Se 0 ≤ x ≤ 1, ent˜ao ex_{= 1 + x +} x2 2! + ... + xn n! + R, onde 0 < R < 3 (n + 1)!.

Se quisermos estimar o valor de e com um erro menor que 10−5_{, temos que}

e = e1= 1 + 1 + 1 2!+ ... +

1

(47)

onde |R| ≤ 3 (n + 1)!. Assim, basta exigir que:

3

(n + 1)! < 10

−5_.

Notemos que quando n = 7 temos 3

(n + 1)! > 10

−5_{, o que n˜ao nos atender´a.}

Por´em quando n = 8 temos 3

(n + 1)! < 10

−5_{. Assim ent˜ao, temos que}

e = 1 + 1 + 1 2!+ 1 3!+ 1 4!+ 1 5!+ 1 6!+ 1 7!+ 1 8!+ R, onde |R| ≤ 10−5_.

Logo, com esta tolerˆancia temos que e = 2, 718278770.

A figura abaixo mostra o gráfico da fun¸cão ex _{bem como o gráfico de seu}

Polinˆomio de Taylor de grau 8.

x 10 8 6 4 2 0 -2 -4 y 20 15 10 5 0 Exponencial Polinomio de Taylor

Teorema 17. e ´e irracional Prova:

(48)

e = e1= 1 + 1 1!+ 1 2!+ ... + 1 n!+ Rn onde 0 < Rn < 3 (n + 1)! Suponha que e seja racional, isto ´e, e = a

b, onde a e b s˜ao n´umeros inteiros

positivos. Seja n inteiro tal que n > b ≥ 2.

a b = 1 + 1 + 1 2!+ ... + 1 n! + Rn.

Se multiplicarmos ambos os lados por n!, temos

n!a b = n! + n! + n! 2!+ ... + n! n!+ n!Rn.

Veja que todos os termos diferentes de n!Rn s˜ao inteiros (o primeiro termo

´e inteiro pois n > b). Assim n!Rn ´e inteiro. Mas

0 < Rn< 3

(n + 1)!, de modo que para n > 3,

0 < n!Rn< 3

n + 1 <

3 4 < 1 Isto é uma contradi¸cão, logo e é irracional.

(49)

Referˆ

encias Bibliogr´

aficas

[1] M. Spivak. Calculus. Calculo Infinitesimal, (1977).

[2] W. Maurer. Curso de Cálculo Diferencial e Integral., (1967). [3] C. Boyer. História da Matemática., (1974).

[4] A. Santos, W. Bianchini. Aprendendo C´alculo com o MAPLE:

C´alculo de uma vari´avel., (2002).