O FAZER MATEMÁTICA: ANALISE DA ORGANIZAÇÃO DIDÁTICA NA ARTICULAÇÃO DE CONTEÚDOS A PARTIR DA MOVIMENTAÇÃO DE OBJETOS OSTENSIVOS E NÃO OSTENSIVOS

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Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica

1 O FAZER MATEMÁTICA: ANALISE DA ORGANIZAÇÃO DIDÁTICA NA

ARTICULAÇÃO DE CONTEÚDOS A PARTIR DA MOVIMENTAÇÃO DE OBJETOS OSTENSIVOS E NÃO OSTENSIVOS

Renato Borges Guerra Universidade Federal do Pará - UFPA

rguerra@ufpa.br

Reginaldo da Silva Universidade Federal do Pará - UFPA

rjamacaru@yahoo.com.br

Roberto Carlos Dantas Andrade Universidade Federal do Pará - UFPA

dantasprof@ig.com.br

Resumo: Este trabalho é parte de pesquisa realizada pelo Grupo de Estudos e Pesquisas da Didática da Matemática do IEMCI/UFPA1, neste estudo realizamos análise da organização didática proposta por Elon Lages Lima no livro Medidas e Formas em Geometria, nesta análise objetivamos destacar a importância do Fazer Matemática nos termos propostos pela Teoria Antropológica do Didático e sua influência no processo de estudo, bem como refletir sobre o Fazer Matemática das organizações didáticas propostas por professores para a consequente organização matemática construída pelos alunos em sala de aula. Também se evidencia a manipulação dos objetos ostensivos e não-ostensivos em uma prática escolar. O fazer matemática evidenciado na organização de Lima manipula os objetos ostensivos resgatando conhecimentos matemáticos de forma articulada e integrada o que possibilita a assimilação de novos conhecimentos matemáticos.

Palavras-chave: Fazer Matemática; Ostensivos; Não-ostensivos; Geometria Espacial.

Introdução

O advento da educação matemática permitiu o surgimento de teorias que buscam discutir para compreender os fenômenos que ocorrem no processo de ensino aprendizagem da matemática. Dentre as teorias advindas da educação matemática destacamos a Teoria

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2 Antropológica do Didático (TAD) proposta por Yves Chevallard, que aborda entre outros temas, o fazer matemática.

Este fazer matemática é caracterizado por um fazer articulado e compreensivo que movimenta o maior número possível de objetos matemáticos, onde no processo de ensino aprendizagem da matemática a construção do conhecimento ocupa posição de destaque em relação ao produto final deste conhecimento.

No que se refere ao processo de ensino aprendizagem as instituições de ensino geralmente adotam manuais didáticos como referência para o ensino, este fato evidenciou a necessidade desta pesquisa, na qual nos propomos analisar a organização didática proposta por Elon Lages Lima, no livro Medidas e Formas em Geometria, objetivando destacar a importância do fazer matemática nos termos propostos pela TAD e sua influência no processo de estudo, bem como refletir sobre este fazer nas organizações didáticas propostas por professores para a consequente organização matemática construída pelos alunos em sala de aula.

Fazer Matemática

Historicamente não a como negar a imbricação existente entre o desenvolvimento da raça Humana e da Matemática, este fato nos permite compreender a matemática como uma atividade humana, logo pode ser modelada a partir de Práxis, que são chamadas pela TAD de praxeologias matemáticas ou organizações matemáticas. Esta permite descrever e analisar práticas institucionalizadas, como também estudar as condições das mesmas. Chevallard et. al. (2001, p. 251), descrevem as Praxeologias como a relação entre práxis e

logos, e afirmam “[...] não há práxis sem logos, mas que também não há logos sem práxis.

As duas estão unidas como dois lados de uma folha de papel. Quando juntamos as palavras gregas práxis e logos encontramos a palavra praxeologia”.

Ao refletirmos sobre as práticas sociais na perspectiva da TAD, podemos entender as práticas escolares como praxeologias, em particular as que se referem ao processo de estudo da matemática como praxeologias matemáticas ou organizações matemáticas, as quais devem propiciar aos alunos eficácia em suas atuações, no que diz respeito a resoluções de situações problemas e, ao mesmo tempo, os levem a um fazer e compreender. Em suma, podemos dizer que um sistema didático - processo de ensino

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3 aprendizagem – que ocorre em uma instituição educacional é composto entre outras de praxeologias matemáticas.

Nestes termos, na elaboração de praxeologias matemáticas na perspectiva da TAD, está implícito que tanto o professor de Matemática como os alunos, cada qual em seu nível, utilizam técnicas didáticas como instrumentos para construir praxeologias matemáticas. Contudo, o professor as utiliza com objetivo de reorganizar obras matemáticas para o ensino, e ao reconstruir as organizações matemáticas para o ensino, está construindo uma organização didática.

A TAD nos subsidia a inferir sobre a atividade matemática como uma atividade social, isto nos leva investigar como é possível a assimilação das idéias, intuições e conceitos existentes nos contextos da matemática e, além disso, como fazê-las emergir de forma contextualizada no cotidiano escolar. Uma atividade matemática é formada por objetos tais como: formalismo; gráficos; gestos; palavras etc. classificados como objetos particulares sensíveis que podem intervir na atividade matemática, como representações de outros objetos, com a função de produzir conceitos, entretanto, não se pode considerar apenas a função instrumental desses elementos na análise didática do desenvolvimento do saber matemático.

Ao se tratar da natureza dos objetos didáticos e de seu funcionamento na atividade matemática, Bosch e Chevallard (1999) os classificam em objetos ostensivos e não-ostensivos. Os objetos ostensivos têm certa materialidade e, por isso, são perceptíveis aos sentidos humanos e podem ser manipulados, ou seja, se manifestam como signos. Já os objetos não-ostensivos são: idéias; intuições; conceitos etc. que existem institucionalmente, estes só podem ser evocados (interpretados) pela manipulação dos objetos ostensivos associados a uma palavra, uma frase, um gráfico, uma escrita, um gesto, ou todo um discurso, por exemplo, reta, ponto e plano.

Assim o fazer matemática pode ser entendido a partir da manipulação dos objetos ostensivos e não-ostensivos em uma organização matemática, a co-ativação desses objetos no desenvolvimento de uma técnica para o enfrentamento de uma tarefa pressupõe a manipulação de objetos ostensivos regulados pelos não-ostensivos.

O fazer matemática concebido pela TAD se caracteriza por três aspectos: o primeiro está na perspectiva de aplicação, quando alguém utiliza conhecimentos

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4 matemáticos construídos dentro ou fora do contexto escolar para solucionar problemas que surgem no seu cotidiano; o segundo refere-se ao processo de estudo, um ser humano que se vê frente a um problema que, para ser resolvido, necessita de conhecimentos matemáticos já existentes, porém, esta pessoa ainda não se apropriou desses conhecimentos, logo, precisa estudar para aprendê-los com o objetivo de solucionar o problema; o terceiro refere-se a criação e/ou re-significação de modelos, este caso consiste em criar uma matemática nova ou re-significar modelos já existentes, atividade realizada, por exemplo, por pesquisadores da matemática pura e aplicada.

Quando buscamos caracterizar o fazer matemática de uma pessoa ou de um grupo, não devemos limitar este fazer somente ao âmbito de sala de aula. Pois o mesmo pode ocorrer perfeitamente em outros contextos. Alguns aspectos evidenciam que os seres humanos em muitos casos precisam ter conhecimentos matemáticos suficientes para resolver situações matemáticas cotidianas, ou pelo menos identificar que a problemática necessita de um tratamento matemático para ser resolvida. Tendo em vista aimbricação da matemática na vida do homem, vemos a necessidade da alfabetização matemática nos termos explicitados a seguir:

O fato de que se ensine matemática na escola responde a uma necessidade ao mesmo tempo individual e social: cada um de nós deve saber um pouco de matemática para poder resolver, ou quando muito reconhecer, os problemas com os quais se depara na convivência com os demais. Todos juntos haveremos de manter o combustível matemático que faz a sociedade funcionar e devemos ser capazes de recorrer aos matemáticos quando for necessário (CHEVALLARD, 2001, p.45). Reduzir o fazer matemática somente à sala de aula pode induzir as pessoas a não valorizarem a matemática produzida na escola, pois se a matemática só existir dentro dos muros da escola, apenas no contexto de ensino e aprendizagem, deixa oculta sua real importância social. Este pensamento equivocado do fazer matemática pode ter sérias consequências no processo de ensino aprendizagem, motivando os alunos a não se responsabilizarem pelas respostas dadas em suas práxis matemáticas. Dessa forma, deixando a cargo do professor toda a responsabilidade do processo de estudo.

Quando nos referimos à responsabilidade do aluno no processo de construção do conhecimento, temos o objetivo de enfatizar a sua co-responsabilidade em sua aprendizagem. Para tanto, é através da utilização de competências didáticas que o professor

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5 contribui com o processo de estudo do aluno, construindo organizações didáticas capazes de colocar o aluno na condição de co-responsável pela aprendizagem matemática.

Fazer matemática nos termos propostos consiste em articular saberes matemáticos de forma integrada para a construção de modelos que também se articulem com outros modelos, que possibilitem resolver problemáticas a partir da entrada num processo de estudo de determinado objeto matemático. Fazer matemática também significa a utilização com regularidade de modelos matemáticos em situações distintas encontradas no cotidiano, e a partir destes interpretar os resultados obtidos.

Por exemplo, um aluno que foi orientado por um professor ou que toma a iniciativa de estudar determinada obra matemática, e a partir da articulação dos saberes matemáticos envolvidos, se apropria do modelo do cálculo de área de uma figura plana regular usando o fracionamento dessa figura em quadrados unitários como unidade de medida e em outra situação, este aluno consegue calcular a área de uma figura irregular qualquer usando o modelo adquirido na situação anterior, este aluno estará fazendo matemática, através da utilização do modelo.

Outro exemplo, um aluno que teve a oportunidade de estudar determinada obra matemática, semelhança entre retângulos, e constrói o modelo matemático do conceito de semelhança pela forma, pela proporcionalidade entre os lados homólogos e pela congruência entre os ângulos correspondentes da figura. Se este aluno consegue, usando este modelo, construir figuras semelhantes quaisquer a partir desses conceitos, demonstrando uma utilização do modelo e na articulação de modelos outros, ele estará fazendo matemática. Esta nossa interpretação de fazer matemática é apoiada nas palavras de Chevallard, quando diz:

Um aspecto essencial da atividade matemática consiste em construir um modelo (matemático) da realidade que queremos estudar, trabalhar com tal modelo e interpretar os resultados obtidos neste trabalho, para responder as questões inicialmente apresentadas (CHEVALLARD,2001, p.50).

Nestes termos, a investigação sobre o objeto de estudo torna-se fator preponderante para o ensino e a aprendizagem e não somente o uso de estratégias de ensino, condicionando em plano secundário o objeto de estudo. Assim, são pertinentes as palavras de Chevallard ao afirmar que:

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6 No discurso psicopedagógico que domina nossa cultura escolar, considera-se a aprendizagem escolar como objetivo último da ação educativa. A análise está centrada no que o professor deve fazer para favorecer a aprendizagem dos alunos, uma aprendizagem que se traduza em aquisições significativas e em interesse pela matéria. Em compensação, nunca se considera necessário uma análise detalhada do processo de estudo do aluno, isto é, do trabalho matemático que ele realiza, considerado como um objeto em si mesmo. [...] A tendência é considerar o ensino como um instrumento para potencializar o

desenvolvimento das estruturas cognitivas dos alunos, e nesse sentido, o

estudo que estes devem realizar (entendido como um meio auxiliar no ensino) não depende muito da matéria específica estudada (CHEVALLARD, 2001, p. 80, grifos do autor).

Enfatizamos que a TAD não se opõe às teorias de aprendizagem cognitiva. No entanto, não as considera suficiente para abarcar as complexidades que surgem no processo de ensino e aprendizagem. O professor, ao trabalhar um objeto matemático em sala de aula, deve se preocupar não somente em como se dá a aprendizagem na mente do estudante, mas também analisar o estudo do aluno a respeito do objeto matemático que está sendo trabalhado, uma vez que o processo de ensino aprendizagem deve ser visto segundo um ponto de vista sistêmico e não como o estudo separado de cada um de seus elementos. Dessa forma, professor e aluno ficam no contexto escolar ligados pelo conhecimento, surgindo, assim, um sistema didático formado por três elementos: professor-conhecimento-aluno.

Fazer matemática na organização proposta por Elon Lages Lima

Analisando a organização matemática proposta por Lima (1991), identificamos a determinação de modelos algébricos para o cálculo do volume de sólidos, nesta perspectiva o autor propõe uma seqüência de estudo que inicia pela noção intuitiva de volume, a qual é descrita como a quantidade de espaço ocupada pelo sólido, que é calculada de duas maneiras: através da imersão de um sólido em um recipiente contendo líquido, onde o volume de líquido deslocado é o volume do sólido e através da utilização do cubo unitário onde o volume de um sólido é calculado pelo número de vezes que este contém o cubo unitário.

Entretanto este fazer matemática em algumas situações não se mostra viável, por exemplo, para sólidos muito grandes ou muito pequenos. Este fato leva o autor a utilizar o cubo unitário para calcular o volume de um cubo C cuja aresta mede n unidades de

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7 comprimento, n um número inteiro, ficando assim o volume do cubo C determinado pela quantidade de cubos unitários contidos em C, ou seja, basta contar quantos cubos unitários cabem no cubo C. Neste caso, o fazer matemática evidencia a articulação da relação de semelhança entre sólidos com o cálculo de volume, através da proporcionalidade entre a aresta do cubo C e a aresta do cubo unitário.

Esta praxeologia permite calcular o volume de um cubo de aresta n qualquer de forma prática ao estabelecer a relação de proporcionalidade entre as arestas, haja vista, que dois cubos são sempre semelhantes, existe uma razão de proporcionalidade K entre suas arestas, logo seus volumes têm razão de proporcionalidade K3, possibilitando assim o cálculo do volume de um cubo qualquer através do registro algébrico V K3v (vé o volume do cubo unitário), como a razão de semelhança entre a aresta do cubo C e do cubo unitário é

1 n

K o que torna K = n, ou seja, a razão K é a própria aresta do cubo C, o que permite estabelecer um novo registro algébrico para o cálculo do volume do cubo C,

3

n

V , como n é a medida da aresta do cubo C, conclui-se então que o cálculo do volume de um cubo qualquer pode ser feito simplesmente elevando à medida da aresta a terceira potência.

Nesta praxeologia matemática é possível perceber de forma explicita a articulação dos objetos ostensivos como os registros geométricos, aritméticos e algébricos, também se verifica que a relação de semelhança estabelece a conexão entre os objetos matemáticos dentro do mesmo registro e entre os registros.

A partir da modelação deste registro o autor calcula o volume de um sólido retangular qualquer utilizando o cubo unitário como unidade de medida, tendo este sólido retangular, arestas cujas medidas são números racionais, este cálculo é possível apesar dos sólidos não serem semelhantes, haja vista, não haver uma razão de proporcionalidade entre suas arestas correspondentes.

Contudo, ao contarmos a quantidade de cubos unitários que cabem no sólido retangular conclui-se que cada aresta do sólido pode ser dividida pela aresta do cubo, ou seja, em cada aresta cabe um deter minado número de arestas do cubo unitário, assim sendo, o volume do sólido retangular fica determinado pela multiplicação do número de arestas do cubo unitário que cabem no comprimento, na largura e na altura de maneira

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8 análoga ao cálculo do volume do cubo V n.n.n, assim o volume do bloco retangular qualquer fica determinado através do registro algébrico V a.b.c, sendo a, b e c as medidas das arestas do sólido retangular.

Lima (1991) em sua organização matemática ao generalizar o cálculo do volume de sólidos retangulares cujas arestas têm como medida números racionais, movimenta objetos matemáticos ostensivos, que possibilitam compreender a noção de capacidade, objeto matemáticos não-ostensivos, caracterizando assim um fazer matemática, nos termos propostos por Chevallard (2001).

Partindo da generalização do cálculo de volume de sólidos retangulares quaisquer a

c b a

V . . . O autor faz uma articulação, para o cálculo do volume de sólidos irregulares (S) utilizando poliedros retangulares, (sólido formado pela reunião de um número finito de blocos retangulares justapostos) contido no sólido irregular ou que contém este sólido irregular, ou seja, a noção intuitiva de justaposição de blocos retangulares permite calcular o volume aproximado por falta ou por excesso aumentando o número de blocos retangulares que formam o poliedro retangular, de tal forma que o volume do sólido irregular seja tomado a partir do volume do poliedro inscrito (P) ou circunscrito (P’), assim V(P) V(S) V(P’).

Apesar deste fazer matemática justificar de forma geral o cálculo do volume de um sólido qualquer, a técnica utilizada torna-se exaustiva dependendo da irregularidade do sólido, o que de certa forma impossibilita a utilização de um modelo algébrico capaz de realizar o cálculo do volume de um sólido irregular qualquer de forma imediata. Esta impossibilidade evidencia a necessidade de outra técnica que permita certa praticidade no cálculo do volume.

Nesta perspectiva, Lima (1991) assume em sua organização matemática o princípio de Cavaliere como axioma, o que significa admitir que dados dois sólidos sobre um plano, e se um outro plano horizontal seccionar estes sólidos determinando figuras planas com áreas iguais, estes sólidos terão volumes iguais, desta forma, o cálculo de volume reduz-se ao cálculo de área.

Assim sendo, conhecido o volume de um sólido, como por exemplo, o volume de um paralelepípedo reto que é um bloco retangular, pode-se encontrar o volume de um sólido qualquer, desde que admita o princípio de Cavaliere.

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9 Lima (1991) admite por definição o prisma como caso particular de cilindro, e pelo princípio de Cavaliere o volume de um cilindro é igual a área da base multiplicado pelo número de áreas contidas na altura deste, as quais se obtém através das secções horizontais, desta forma se estabelece o modelo algébrico V A. , onde A é a área da base e h é a h

altura do sólido.

No que se refere ao cálculo do volume do cone, o autor recorre ao cilindro de base triangular, visto que seu volume está determinado pelo modelo algébrico V A. . Este h

sólido de base triangular ao ser seccionado em três sólidos de mesma altura e mesmo volume de tal forma a resultar em três pirâmides, determina o volume da pirâmide em

3 1

do volume do cilindro e como Lima (1991) admite por definição que a pirâmide é um caso particular do cone, então o volume de um cone pode ser calculado pelo modelo algébrico . . 3 1 h A V

Nesta praxeologia matemática, na intenção de evidenciar modelos algébricos que permitam de forma genérica calcular o volume de determinados sólidos, o autor propõe o estudo através de famílias de sólidos, as do cilindro e do cone, este fazer matemática promove a movimentação de objetos matemáticos ostensivos e não-ostensivos, na articulação entre os registros geométricos e algébricos.

No que diz respeito ao cálculo do volume da esfera, o autor propõe uma seqüência de estudo que articula através do princípio de Cavaliere a esfera, o cilindro eqüilátero e dois cones circulares de altura R (clépsidra) extraídos do cilindro eqüilátero gerando um novo sólido denominado anticlépsidra, sendo R o raio da esfera e o raio do cone.

Para o cálculo da esfera o autor considera a anticlépsidra sobre um plano α o qual tangencia a esfera e ambos no mesmo semi-espaço determinado por α, ao verificar que as secções produzidas por planos paralelos a α, na esfera e na anticlépsidra têm áreas numericamente iguais, pelo princípio de Cavaliere fica determinado que o valor numérico do volume da esfera é aproximadamente igual ao da anticlépsidra que é calculado pelo modelo algébrico 3

3 4

R

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10 A praxeologia matemática proposta pelo autor para o cálculo da esfera apresenta um fazer matemática justificado pela utilização do princípio de Cavaliere e a movimentação dos objetos ostensivos V R2h e V R2h

3 1

. Neste fazer matemática observamos a movimentação simultânea de registros geométricos e algébricos, caracterizado pela extração da clépsidra gerando um sólido que se relaciona com a esfera, esta movimentação de registros no campo geométrico ocorre concomitante a movimentação de registros no campo algébrico, visto que o registro algébrico da anticlépsidra 3

3 4

R

V resulta de operações estabelecidas entre os registros algébricos que calculam o volume do cilindro e o volume do cone. A relação estabelecida pelo princípio de Cavaliere entre anticlépsidra e a esfera permite a compreensão do objeto não-ostensivo volume da esfera, bem como considerar o objeto ostensivo 3

3 4

R

V como registro algébrico que calcula o volume da esfera.

Considerações

Podemos verificar que na organização matemática proposta por Lima (1991) o fazer matemática concebido pela TAD, se mostra presente e indica a relevância deste fazer para o processo de ensino aprendizagem, apontando para o professor possíveis caminhos que propiciem a busca de estratégias que permitam aos alunos a prática de um fazer matemática, mas um fazer para compreender a ponto de ser argumentado e justificado pelos alunos, possibilitando-lhes interpretarem situações que permeiam seu contexto sócio-cultural, levando-os a perceberem que a matemática não se limita à sala de aula, o que a nosso ver pode funcionar como um agente motivador para que os alunos se conscientizem da importância da matemática para a sociedade tecnológica baseada na informação.

A opção por esta teoria para a condução de organizações matemáticas para as práticas docentes oportuniza ao professor o compartilhamento com o aluno da responsabilidade no processo de aprendizagem da matemática no contexto escolar, permitindo ao aluno exercer também a condição de protagonista e não de coadjuvante na construção do conhecimento no sistema didático.

Nossas reflexões a respeito da aprendizagem escolar fundamentadas na TAD nos permitem enfatizar a relevância da entrada em um processo de estudo para um fazer

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11 matemático que propicie investigações sobre o objeto de estudo afim de que o professor possa cada vez mais enfatizar as articulações existentes entre os vários objetos matemáticos, como na organização matemática aqui analisada e em destaque os objetos ostensivos e não-ostensivos.

Referências

BOSCH, M.; CHEVALLARD, Yves. La sensibilité de l’ativité mathématique aux ostensifs Objectd’etude et problematique. Recherches en Didactique des Mathématiques, Paris, v. 19, n. 1, p.77-124, 1999.

CHEVALLARD, Yves et al. Estudar matemáticas: o elo entre o ensino e a aprendizagem. Tradução: Daisy Vaz de Moraes. Porto Alegre: Artmed, 2001.

LIMA, Elon Lages. Medidas e formas em geometria: comprimento, área, volume e semelhança. Rio de janeiro: sociedade brasileira de matemática, 1991.