SEL 404 ELETRICIDADE II. Aula 08 Circuitos Magnéticos Parte IV

SEL 404 – ELETRICIDADE II

Aula 08

Revisão da Aula Passada

• Formas de se obter uma tensão induzida segundo a lei de Faraday:

 Utilizar uma

corrente variável

para produzir um campo

magnético variável.

 Provocar um

movimento relativo

entre o campo magnético e o

Tópicos desta Aula

• Excitação por corrente alternada • Indutância

Campo magnético variável no tempo – tensão induzida

Para 1 espira, temos:

( )

( )

dt

t

d

t

e

=

−

φ

Para N espiras, temos:

( )

( )

( )

( )

dt

t

d

dt

t

dN

dt

t

d

N

t

e

=

−

φ

=

−

φ

=

−

λ

em que λ₂(t) é o fluxo total enlaçado pela bobina 2, o qual é chamado de fluxo concatenado pela bobina 2 [Wb.esp].

• Se uma carga for conectada ao lado do secundário haverá uma corrente elétrica variável no tempo i₂(t).

Excitação em corrente alternada

Admitindo fluxo magnético senoidal → φ = φ_max sen(ωt)

i_ϕ é a corrente de excitação necessária para produzir o campo magnético no núcleo (esta corrente também é denominada corrente de magnetização). Temos:

) cos( ) sen( max max _{N t} dt t Nd dt Nd dt dN dt d e = λ = φ = φ = φ ω = φ ω ω

ω é a freqüência da fonte CA em rad/s (ω = 2πf)

) cos(

max t

E

e = ω

onde E_max = ωNφ_max = 2πfNφ_max é o valor de pico da tensão induzida nos terminais da

Excitação em corrente alternada

A operação em corrente alternada em regime permanente é usualmente descrita com valores eficazes de tensão e corrente. Assim:

max max max max _{4,44 4,44} 2 2 2 fN fNA B fN E E_rms = = π φ = φ = _n

se a resistência da bobina (fio) for desprezível (R = 0), temos:

v = e e V = E

Indica que quando uma diferença de potencial senoidal é aplicada a um bobina, um fluxo senoidal é estabelecido no núcleo, induzindo uma fem igual à tensão aplicada. (R = 0)

φmax φ (Wb)

Excitação em corrente alternada

R diferente de 0:

Nesse caso a tensão aplicada e a tensão induzida nos terminais das bobinas são diferentes

Indutância

Enrolamentos com núcleo ferromagnético são frequentemente utilizados em circuitos elétricos. Este dispositivo pode ser representado por um elemento ideal no circuito

chamado indutância, a qual é definida pela razão entre o fluxo concatenado pelo

enrolamento e a corrente que o percorre.

L = λ/i = Nφ/i → indutância [H] sendo:

Indutância

Portanto, a indutância só depende da geometria do circuito e do material do núcleo, não dependendo do valor da corrente que a percorre.

ℜ = = 2 2 N A l N L µ Considerando o circuito abaixo, temos:

Indutância na presença de entreferro

O fluxo magnético é dado por:

g c c c g c T A g A l Ni Ni Ni 0 µ µ φ + = ℜ + ℜ = ℜ =

desprezando o espraiamento (A_c = A_g = A), temos:

i g l NA c c 0 µ µ φ + = Considere o sistema:

Indutância na presença de entreferro

para um circuito magnético em que a relação B-H é linear, devido a uma permeabilidade constante do material, pode-se definir a indutância L, como sendo:

i L = λ Assim: 0 2 µ µ g l A N L c c ₊ =

(fluxo concatenado por unidade de corrente da bobina)

Indutância na presença de entreferro

Obs: para µ_c >> µ₀ → g >> (µ₀/ µ_c)l_c

Portanto:

(A indutância, neste caso, é determinada pelas dimensões do entreferro)

A utilização da indutância como parâmetro (não como variável) depende da

suposição de que a relação entre fluxo e fmm (B-H) seja linear. Neste caso, a fem pode ser escrita por:

g

l

A

N

L

+

=

µ

µ

µ

Indutância mútua

- i₁ e i₂ produzem fluxo na mesma direção - a fmm total é:

φ

φ

µ

µ

φ

A

g

A

l

i

N

i

N

F

_



≈

ℜ













+

=

ℜ

=

+

=

Indutância mútua

O fluxo concatenado pela bobina 1 (λ₁) é dado por:

2 0 2 1 1 0 2 1 1 1 i g A N N i g A N N φ µ g µ g λ = = +

como: λ = Li, temos: λ₁= L₁₁i₁ + L₁₂i₂

onde: L₁₁ = N₁2_µ

0Ag/g → indutância própria da bobina 1

L₁₂ = N₁ N₂ µ₀A_g/g → indutância mútua entre as bobinas 1 e 2 L₁₁i₁ → fluxo concatenando a bobina 1 devido à corrente i₁ que circula na própria

bobina.

L₁₂i₂ → fluxo concatenando a bobina 1 devido à corrente i₂ que circula na outra bobina.

De forma similar, para a bobina 2, temos:

λ₂= L₂₁i₁ + L₂₂i₂

onde: L₂₂ → indutância própria da bobina 2

L₂₁ = L₁₂ → indutância mútua entre as bobinas 1 e 2

2 0 2 2 1 0 2 1 2 2 i g A N i g A N N N φ µ g µ g λ = = +

Indutância mútua

            =       2 1 22 21 12 11 2 1 i i L L L L λ λ

Obs: é importante salientar que o desenvolvimento do fluxo concatenado resultante

nas componentes produzidas por i₁ e i₂ é baseado na superposição de efeitos individuais e , desta forma, admite-se uma característica fluxo-fmm (B-H) linear (i.e., permeabilidade constante).

Energia armazenada

A potência nos terminais do enrolamento do circuito magnético é a medida da taxa do fluxo de energia que entra no circuito:

p = ei = i dλ/dt [W]

A variação da energia armazenada ∆W no circuito magnético em um intervalo de tempo t₁ a t₂ será:







para L = cte (linearidade magnética) → L = λ /i → i = λ/L

(

)

L

2

1

L

2

1

d

L

id

W

λ

λ

λ

λ

λ

λ

∆

−

=

=

=

=





Energia armazenada

A energia total armazenada para um dado valor de λ pode ser determinada fazendo-se λ₁= 0.

Em termos de B e H, temos:

O fluxo de energia que se armazena no campo magnético da bobina é:

dt dB NAi p_B =

( )

Energia armazenada

p_B > 0 → o campo magnético está absorvendo energia da fonte.

p_B < 0 → a energia está sendo liberada pelo campo magnético. - Seja W_B a energia no campo magnético (B = 0  W_B = 0) - Conforme B aumenta, W_B pode ser expressa como:

dt dB AlH p_B = 2 0 0 0 0 2 B Al dB B Al dB AlH dt p W B B B B µ µ = = = =







Al é o volume do espaço englobado pela bobina. Então

] J/m [ 2 1 2 1 volume 3 2 0 0 2 H B W_B µ µ = =

Energia armazenada

é a densidade de energia armazenada no campo magnético interno à bobina

incluindo um núcleo ferromagnético, a densidade de energia é dada por:

] J/m [ 2 1 2 1 volume 3 2 0 0 2 H B W_B µ µ = = ] J/m [ 2 1 2 1 volume 3 2 0 2 H H W r B _{= µ = µ µ}

Ou seja, podemos armazenar a mesma energia em um volume muito menor do núcleo.

inclinação µ₀ B= µ₀H B’/µ₀ B’ Área = (1/2) B’2_{/ µ} 0

Energia armazenada: campo elétrico x campo magnético

] J/m [ 2 1 volume 3 2 0E W_E ε = onde ε₀ é a permissividade do ar = 8,85 × 10-12 [F/m]. Assim:

]

J/m

[

B

2

1

volume

W

]

J/m

[

E

2

1

volume

W

µ

ε

=

=

E_max = 3 × 106 V/m (máximo campo elétrico que o ar pode suportar à pressão

Energia armazenada: campo elétrico x campo magnético

Assim, a densidade de energia máxima que pode ser armazenada no campo elétrico é: ] J/m [ 82 , 39 volume 3 = E W Campo magnético:

Com correntes elevadas consegue-se B de até 0,2 Wb/m2 _{para uma bobina com núcleo}

não magnético. Com núcleo de material magnético, pode-se chegar até a 2,0 Wb/m2_.

Considerando:

B = 1,0 Wb/m2 (valor usual no entreferro das máquinas elétricas)

µ₀= 4π × 10-7 Temos: ] J/m [ 890 . 397 volume 3 = B W

Isto demonstra que os dispositivos magnéticos exigem um volume muito menor para armazenar a mesma quantidade de energia

Exercício

No eletroímã da figura ao lado, tem-se: N = 400 espiras l_c = 50 cm g = 1 mm A_c = A_g = 15 cm2 µ_r = 3000 i = 1 A. Pede-se:

(a) O fluxo e a densidade de fluxo magnético no entreferro (0,6463×10-3 _{Wb e 0,4309 T)}

(b) A indutância da bobina (0,259 H)

(c) Deduza a fórmula da energia armazenada para o eletroímã (despreze o espraiamento e a dispersão do fluxo magnético).

Próxima Aula

• Perdas em circuitos magnéticos:  perdas por histerese