ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

(1)

Ana Paula Santana Jo˜ao Filipe Queir´o

´

ALGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANAL´ITICA

(vers˜ao de 2003)

(2)

Indice

0. Os n´umeros complexos . . . 3

Apêndice: História dos números complexos . . . 7

1. Matrizes 1.1 Generalidades . . . 10

1.2 Opera¸c˜oes com matrizes . . . 12

1.3 Inversa de uma matriz quadrada . . . 16

1.4 Transposi¸c˜ao de matrizes . . . 17

1.5 Matrizes elementares . . . 21

2. Sistemas de equa¸c˜oes lineares 2.1 Generalidades . . . 24

2.2 O algoritmo de elimina¸c˜ao de Gauss . . . 26

2.3 O algoritmo de Gauss-Jordan para invers˜ao de matrizes . . . 37

3. Determinantes . . . 41

4. O espa¸co Rn_{, subespa¸cos, dimens˜}_ao 4.1 Subespa¸cos . . . 58

4.2 Dependˆencia e independˆencia linear . . . 64

4.3 Base e dimens˜ao . . . 67

4.4 Mudan¸ca de base . . . 73

4.5 Caracter´ıstica e nulidade de uma matriz . . . 74

4.6 Soma e soma directa de subespa¸cos . . . 80

5. ˆAngulos e distˆancias em Rn 5.1 Produto interno em Rn _{. . . 82}

5.2 Projec¸c˜ao ortogonal sobre um subespa¸co . . . 86

5.3 M´ınimos quadrados . . . 93

5.4 Complemento ortogonal de um subespa¸co . . . 99

5.5 Determinantes e volumes de paralelip´ıpedos . . . 100

5.6 Produto externo em R3 _{. . . 101}

(3)

7. Espa¸cos vectoriais

7.1 Corpos . . . 111

7.2 Espa¸cos vectoriais . . . 112

7.3 Subespa¸cos . . . 115

7.4 Dependˆencia e independˆencia linear . . . 119

7.5 Base e dimens˜ao . . . 121

7.6 Mudan¸ca de base . . . 127

8. Transforma¸c˜oes lineares 8.1 Generalidades . . . 129

8.2 Representa¸c˜ao matricial de transforma¸c˜oes lineares . . . 135

8.3 Equa¸c˜oes com transforma¸c˜oes lineares . . . 143

9. Valores próprios e vectores próprios 9.1 Valores próprios e vectores próprios de transforma¸cões lineares . . . 144

9.2 Valores pr´oprios e vectores pr´oprios de matrizes . . . 145

9.3 Matrizes diagonaliz´aveis . . . 148

9.4 O caso das matrizes sim´etricas reais . . . 154

9.5 Curvas e superf´ıcies do 2o grau . . . 156

10. Espa¸cos vectoriais com produto interno . . . 167

(4)

0 Os n´

umeros complexos

Os conjuntos de n´umeros mais conhecidos e habituais s˜ao os seguintes: o conjunto dos

n´umeros naturais

N = {1, 2, 3, . . .}, o conjunto dos n´umeros inteiros

Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}, o conjunto dos n´umeros racionais

Q =nm

n : m, n ∈ Z, n 6= 0

o

e o conjunto dos n´umeros reais, para o qual usaremos o s´ımbolo R. Tem-se a seguinte cadeia de inclus˜oes:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R .

Exemplos de números reais que não são racionais são √2 , √3 , e e π . A melhor maneira de “visualizar” o conjunto R é pensar nos pontos de uma recta, o “eixo real”. Marcando no eixo dois pontos para representar os números 0 e 1, obtém-se uma corres-pondência perfeita entre R e o conjunto dos pontos do eixo.

0 1 α

R

Supor-se-ão conhecidas as propriedades básicas destes números.

No século XVI, a propósito da descoberta da fórmula resolvente das equa¸cões do 3o grau, “descobriu-se” um novo conjunto de números contendo R. Essa história é recordada em apêndice.

O novo conjunto de números é o conjunto dos números complexos C = {a + ib : a, b ∈ R}

onde i satisfaz i2 _{= −1. As opera¸c˜oes com n´umeros complexos realizam-se tratando-os}

como n´umeros como os outros e usando as propriedades habituais das opera¸c˜oes, bem como a igualdade i2 _{= −1. Assim, por exemplo,}

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d) (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc) .

(5)

Estas opera¸cões gozam das mesmas propriedades algébricas que as correspondentes no conjunto dos números reais: comutatividade, associatividade, distributividade da mul-tiplica¸cão relativamente à adi¸cão.1 _{Os números complexos 0 = 0 + i0 e 1 = 1 + i0 são}

elementos neutros para, respectivamente, a adi¸cão e a multiplica¸cão. O inverso do número complexo a + ib 6= 0 é

a

a2_{+ b}2 + i

−b a2_{+ b}2 .

Note-se que todos os números reais são também números complexos (são aqueles em que b = 0), pelo que a cadeia de inclusões acima referida pode ser completada:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C .

A melhor maneira de “visualizar” o conjunto C é pensar nos pontos de um plano, o “plano complexo”. Tra¸cando no plano um sistema de dois eixos perpendiculares, e identificando o número complexo a + ib com o ponto de coordenadas (a, b), obtém-se uma correspondência entre C e o conjunto dos pontos do plano.

C

.a + ib

0 a

ib

Se pensarmos na fórmula resolvente para equa¸cões do 2o grau, vemos que, com a introdu¸cão dos números complexos, qualquer equa¸cão do 2o grau com coeficientes reais tem solu¸cão em C: o aparecimento de ra´ızes quadradas de números negativos deixa de ser problema. Por exemplo, a equa¸cão x2_{− 2x + 5 = 0 tem as solu¸cões 1 + 2i e 1 − 2i.}

Mas pode dizer-se muito mais: com a introdu¸cão dos números complexos, qualquer equa¸cão de qualquer grau, com coeficientes reais ou mesmo complexos, tem solu¸cão em

1 _{Uma diferen¸ca básica entre R e C é que no conjunto dos n´}_{umeros complexos não existe uma rela¸cão}

de ordem < compat´ıvel com as opera¸cões, isto é, satisfazendo, para quaisquer z1, z2, w ∈ C, as implica¸cões

(6)

C. Este é o conteúdo do chamado Teorema Fundamental da Álgebra, demonstrado pela

primeira vez de forma completa por Gauss em 1799.2

Do Teorema Fundamental da Álgebra tira-se uma importante conclusão: um polinómio com coeficientes reais ou complexos pode sempre escrever-se como produto de factores de grau 1:

anxn+ an−1xn−1+ · · · + a1x + a0 = an(x − α1)(x − α2) . . . (x − αn)

(α1, α2, . . . , αn s˜ao as ra´ızes do polin´omio).

O conjunto C é portanto muito rico do ponto de vista algébrico. Vamos ilustrar essa riqueza mostrando que, dado n ∈ N, qualquer número complexo não nulo tem n ra´ızes de ´ındice n em C. Antes disso, introduzimos mais alguma terminologia.

Seja z = x+ iy ∈ C. Chamamos a x parte real de z e escrevemos x = Re z. Chamamos a y parte imaginária de z e escrevemos y = Im z. Se x = 0 dizemos que z é imaginário

puro. O conjugado de z é z = x − iy. O módulo de z é o número real não negativo |z| = px2_{+ y}2_{. (A fun¸cão módulo em C estende a fun¸cão módulo conhecida em R.)}

Geometricamente, |z| é a distância do ponto z do plano complexo à origem (isto é, ao ponto 0).3

Seja z um número complexo não nulo, identificado com um ponto do plano. `A medida do ângulo que a semi-recta que vai de 0 para z faz com a parte positiva do eixo real chamamos argumento de z (nota¸cão: arg z). Cada número complexo z 6= 0 tem uma infinidade de argumentos, diferindo uns dos outros por múltiplos inteiros de 2π.

©©©© ©©©© ©©©* z 0 θ

Ponhamos |z| = r. Seja θ um argumento de z. Ent˜ao Re z = r cos θ e Im z = r sen θ e podemos escrever

z = r(cos θ + i sen θ).

2 _{Para provar este teorema, são necessários conhecimentos de Análise que estão para além do 1o ano}

da Universidade. Note-se que o teorema apenas afirma a existência de solu¸cões. A determina¸cão delas para cada equa¸cão é um problema diferente.

(7)

Esta é a chamada forma polar ou trigonométrica de z, por oposi¸cão à forma algébrica

z = x + iy. Para cos θ + i sen θ usa-se por vezes a abreviatura cis θ.4

Calculando o produto de dois n´umeros complexos escritos na forma trigonom´etrica tem-se

(r1cis θ1)(r2cis θ2) = r1r2cis(θ1+ θ2)

(verifique). Segue-se a seguinte fórmula para as potências de um número complexo: (r cis θ)n _{= r}n_{cis(nθ) , n ∈ N}

(“f´ormula de De Moivre”).

Daqui tira-se que, sendo z = r cis θ e n ∈ N, z tem n ra´ızes de ´ındice n. O racioc´ınio ´e o seguinte. Vamos procurar os n´umeros complexos w que satisfazem wn _{= z.}

Escreva--se w na forma trigonométrica, w = ρ cis φ. Então, pela fórmula de De Moivre, temEscreva--se

ρn_{cis(nφ) = r cis θ donde}

ρn _{= r} _e _{nφ − θ = 2kπ, k ∈ Z}

o que ´e equivalente a

ρ = r1/n _e _{φ =} θ + 2kπ

n , k ∈ Z .

Ent˜ao w pode tomar exactamente os seguintes valores:

r1/n_cis µ θ + 2kπ n ¶ , k = 0, 1, . . . , n − 1.

(Em princ´ıpio dever´ıamos escrever k ∈ Z mas facilmente se vê que as ra´ızes só têm n valores distintos, que se obtêm dando a k os valores indicados.)

4 _{Note-se que, se se tiver r cis θ = r}0_{cis θ}0_{, ent˜ao r = r}0 _{mas, quanto aos argumentos, s´o se pode}

(8)

Apˆ

endice: Hist´

oria dos n´

umeros complexos

Como se disse, foi no século XVI, a propósito da descoberta da fórmula resolvente das equa¸cões do 3o grau, que se “descobriram” os números complexos. Recorda-se aqui essa história.

A equa¸c˜ao a resolver ´e a seguinte:5

x3+ bx + c = 0.

Os matemáticos italianos do século XVI que trataram deste assunto tiveram a ideia de escrever a incógnita x na forma x = u + v, com u e v números a determinar. Ora, como

(u + v)3 _{= u}3_{+ 3u}2_{v + 3uv}2_{+ v}3_,

tem-se, passando tudo para o primeiro membro,

(u + v)3_{− 3uv(u + v) − (u}3_{+ v}3_{) = 0.}

Comparando com a equa¸cão proposta, vê-se que, se se encontrarem números u e v satis-fazendo as condi¸cões

−3uv = b e − (u3+ v3) = c , então x = u + v será uma solu¸cão da equa¸cão.

Da primeira condi¸c˜ao tira-se v = − b

3u. Substituindo v por este valor na segunda condi¸c˜ao obt´em-se

−u3+ b

3

27u3 = c ,

o que ´e o mesmo que

u6_{+ cu}3₋ b3

27 = 0 .

Ora isto, que é uma equa¸cão do 6o grau em u, é de facto uma equa¸cão do 2o grau em u3_,

que se sabe resolver:

u3 ₌ −c ± r c2 _{+ 4} b3 27 2 = − c 2 ± r c2 4 + b3 27. Escolhendo para u3 _{por exemplo o valor}

u3 _{= −}c 2 + r c2 4 + b3 27,

5 _{Se se conseguir resolver uma equa¸c˜ao desta forma consegue-se resolver qualquer equa¸c˜ao do 3o grau:}

primeiro, se o coeficiente de x3 _{n˜ao for 1, podemos dividir ambos os membros por esse coeficiente o que}

não altera as solu¸cões da equa¸cão; segundo, se o coeficiente de x2_{, chamemos-lhe a, não for 0, procede-se}

a uma mudan¸ca de inc´ognita substituindo x por y − a

3. Não é dif´ıcil ver que na nova equa¸cão assim

obtida, em que a incógnita é y, e que continua a ser de grau 3, o coeficiente de y3_{é 1 e o coeficiente de}

y2_{é 0. As solu¸cões da primeira equa¸cão podem obter-se das da segunda simplesmente subtraindo-lhes} a

(9)

de −(u3_{+ v}3_{) = c tira-se} v3 _{= −}c 2 − r c2 4 + b3 27. E vem, finalmente, x = 3 s −c 2 + r c2 4 + b3 27 + 3 s −c 2 − r c2 4 + b3 27 o que ´e o mesmo que

x = 3 v u u t₋c 2 + s ³ c 2 ´₂ + µ b 3 ¶₃ + 3 v u u t₋c 2 − s ³ c 2 ´₂ + µ b 3 ¶₃ .

Esta é a fórmula resolvente encontrada no século XVI por del Ferro, Cardano e Tartaglia.

Algum tempo depois da descoberta da fórmula, outro italiano, Bombelli, aplicou-a à equa¸cão

x3− 15x − 4 = 0.

Note-se que esta equa¸cão tem a solu¸cão x = 4, como se vê imediatamente. Mas a fórmula resolvente dá x = 3 q 2 +√−121 + 3 q 2 −√−121 .

Aparece aqui a raiz quadrada de um número negativo, o que torna a expressão sem sentido. Mas Bombelli teve um “pensamento louco” (nas suas próprias palavras) e fez contas com essas ra´ızes como se elas existissem, e usando as propriedades habituais das opera¸cões com números.

Como 121 = 112_{, dever´a ser} √_{−121 = 11}√_{−1, pelo que} 3 q 2 +√−121 = 3 q 2 + 11√−1 e 3 q 2 −√−121 = 3 q 2 − 11√−1 .

Como entre os radicandos das ra´ızes c´ubicas p3

2 + 11√−1 e p3

2 − 11√−1 s´o h´a uma

diferen¸ca de sinal, ocorreu a Bombelli que essas ra´ızes c´ubicas se possam tamb´em escrever na forma 3 q 2 + 11√−1 = a + b√−1 e 3 q 2 − 11√−1 = a − b√−1

com a e b n´umeros reais. E, de facto, das condi¸c˜oes ¡

a + b√−1¢3 = 2 + 11√−1 e ¡a − b√−1¢3 = 2 − 11√−1

tira-se, fazendo os cálculos usando as propriedades habituais das opera¸cões com números (e também (√−1)2 _{= −1), que a = 2 e b = 1 são solu¸cões poss´ıveis, isto é,}

¡

(10)

(Exerc´ıcio: fa¸ca os c´alculos que comprovam isto.) Ent˜ao 3 q 2 + 11√−1 = 2 +√−1 e 3 q 2 − 11√−1 = 2 −√−1

e vem, para a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao,

x = 2 +√−1 + 2 −√−1 = 4 .

Portanto, trabalhando com estas quantidades imagin´arias — as ra´ızes quadradas de n´umeros negativos — Bombelli chegou a um resultado real correcto.

A partir deste epis´odio, os n´umeros da forma a + b√−1, com a e b reais — designados

por números imaginários, nome que continuou até hoje, embora seja mais vulgar chamar--lhes números complexos — passaram a ser usados nas mais variadas questões e aplica¸cões da Matemática, e foram-se impondo pela sua utilidade.

Durante mais de dois séculos, a questão da natureza dos números complexos — que números são estes ao certo? — permaneceu um pouco misteriosa. (A partir do século XVIII, com Euler, tornou-se habitual usar a letra i para designar √−1.) Só durante o

século XIX foram apresentadas respostas satisfatórias para essa questão e foram justifi-cadas as propriedades destes números. Como? Definindo os números complexos à custa de entidades conhecidas — por exemplo, como pontos num plano ou, o que é quase a mesma coisa, como pares ordenados de números reais — sendo as opera¸cões definidas da maneira conveniente. Depois mostra-se que as opera¸cões gozam das propriedades desejadas e que no conjunto há um subconjunto que é uma “cópia” dos números reais.

(11)

1 Matrizes

1.1 Generalidades

Ao longo dos primeiros cap´ıtulos deste texto, trabalharemos com números reais. Prati-camente tudo o que veremos é também válido, sem altera¸cão, para números complexos, mas em geral só faremos referência ao caso dos números reais. Por vezes, em vez da palavra “números”, também se usa “escalares”.

Defini¸c˜ao 1.1 Chama-se matriz do tipo m × n sobre R (ou C) a todo o quadro

que se obt´em dispondo mn n´umeros segundo m linhas e n colunas

A =      a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... ... am1 am2 . . . amn     .

Os n´umeros aij dizem-se os elementos da matriz.

Para cada i e j, aij ´e o elemento de A situado na linha i e coluna j. Tal elemento

é também referido como o elemento de A na posi¸cão (i, j), ou apenas por elemento

(i, j) de A.

Uma matriz diz-se real ou complexa consoante os seus elementos forem n´umeros reais ou complexos.

O conjunto de todas as matrizes do tipo m × n sobre R representa-se por Mm×n(R).

Usamos a nota¸c˜ao Rm _{para M}

m×1(R).

´

E costume usarem-se letras maiúsculas para designar matrizes. Exceptua-se o caso das matrizes-coluna, isto é, matrizes só com uma coluna, para as quais, frequentemente, se utilizam letras minúsculas.

A matriz A da defini¸c˜ao pode tamb´em ser apresentada na forma A = [aij]_m×n, ou

simplesmente A = [aij] se o tipo for conhecido do contexto ou n˜ao for importante na

quest˜ao que esteja em estudo. Exemplo 1.1 Sejam A = · 1 2 7 −5 3 8 ¸ ; B =   0 −2 7₁ _{2 3} 12 5 8   e u =   2₄ 9   .

A matriz A ´e uma matriz real do tipo 2 × 3. Dizemos, portanto, que A ∈ M2×3(R).

O elemento de A na posi¸cão (2, 1) é −5 . B é uma matriz real 3 × 3 e u é uma matriz-coluna pertencente a R3_.

(12)

Na defini¸cão seguinte registamos terminologia e nota¸cões básicas relativas a matrizes.

Defini¸c˜ao 1.2 1. Duas matrizes A = [aij] e B = [bij] ∈ Mm×n(R) s˜ao iguais se

aij = bij, para i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.

2. A ∈ Mm×n(R) diz-se quadrada de ordem n se m = n, e rectangular se

m 6= n.

3. Os elementos diagonais de A = [aij] ∈ Mn×n(R) s˜ao a11, a22, . . . , ann.

A sequˆencia ordenada (ou n-uplo) constitu´ıda por estes elementos diz-se diagonal principal de A. O n-uplo constitu´ıdo pelos elementos da outra diagonal recebe o nome de diagonal secund´aria.

4. Seja A = [aij] quadrada. A diz-se triangular superior se aij = 0 quando

i > j, triangular inferior se aij = 0 quando i < j, e diagonal se aij = 0

quando i 6= j.

5. A matriz identidade de ordem n, In, ´e a matriz diagonal, de ordem n, com

os elementos diagonais iguais a 1.

In=      1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 ... ... ... ... 0 0 . . . 1     . ´

E usual denotar-se o elemento (i, j) de In por δij. Assim, δij toma o valor 1

se i = j, e 0 se i 6= j. Chamaremos “s´ımbolo de Kronecker” a δij.

6. A matriz nula m × n ´e a matriz m × n cujos elementos s˜ao todos iguais a zero. Representa-se por 0m×n, ou simplesmente por 0 se o tipo estiver claro

do contexto.

7. Sendo A = [aij]_m×n, define-se −A = [− aij]_m×n.

8. Sendo A uma matriz, uma submatriz de A é uma matriz que se obtém por supressão de linhas e/ou colunas de A.

(13)

Exemplo 1.2 As matrizes · 1 2 7 −5 3 8 ¸ e · a 2 7 −5 b 8 ¸ s˜ao iguais se a = 1 e b = 3.

Estas duas matrizes s˜ao rectangulares, enquanto a matriz A = 

 10 5 −7_{8 2} ₃

15 6 5



 é quadrada de ordem 3. Os elementos diagonais de A são 10, 2 e 5, a sua diagonal principal é (10, 2, 5) e a sua diagonal secundária é (−7, 2, 15) .

As matrizes   1 2 −7_{0 2} ₁ 0 0 −2   ,   1 0 0_{7 3 0} 5 0 5   e   2 0 0_{0 2 0} 0 0 7  

s˜ao, respectivamente, triangular superior, triangular inferior e diagonal. As matrizes · 10 −7 15 5 ¸ e   5 −7₂ ₃ 6 5 

 s˜ao exemplos de submatrizes de A= 

 10 5 −7_{8 2} ₃

15 6 5

 .

1.2 Opera¸c˜

oes com matrizes

Defini¸c˜ao 1.3 Sendo A = [aij] , B = [bij] ∈ Mm×n(R) e α ∈ R, define-se:

1. A + B como sendo a matriz do tipo m × n cujo elemento (i, j) ´e aij + bij.

Assim A + B = [aij + bij]_m×n.

2. αA como sendo a matriz do tipo m × n cujo elemento (i, j) ´e α aij. Tem-se

ent˜ao αA = [α aij]_m×n. Exemplo 1.3 Sendo A = · 1 0 −6 −2 1 8 ¸ e B = · 10 3 8 1 6 4 ¸ , tem-se A + B = · 11 3 2 −1 7 12 ¸ e 1 2A = · ₁ 2 0 −3 −1 1 2 4 ¸ .

Teorema 1.1 Sejam A, B e C matrizes em Mm×n(R). Ent˜ao verifica-se:

1. (A + B) + C = A + (B + C) (associatividade da adi¸c˜ao). 2. A + B = B + A (comutatividade da adi¸c˜ao).

3. A + 0 = 0 + A = A (0 ´e elemento neutro da adi¸c˜ao).

(14)

Demonstra¸c˜ao. Apenas demonstramos a primeira destas propriedades, deixando as restantes como exerc´ıcio.

Sejam A = [aij] , B = [bij] , C = [cij] ∈ Mm×n(R) . Sejam D = (A + B) + C = [dij]

e E = A + (B + C) = [eij] . Note-se que D e E s˜ao matrizes m × n. Por outro lado, da

defini¸c˜ao de adi¸c˜ao de matrizes, tem-se dij = (aij+ bij) + cij e eij = aij+ (bij+ cij). Mas

a associatividade da adi¸c˜ao em R diz-nos que estas duas somas s˜ao iguais. Logo, dij = eij

para i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n, e portanto D = E.

Teorema 1.2 Sejam A e B matrizes em Mm×n(R) e α, β ∈ R. Ent˜ao verifica-se:

1. α(A + B) = αA + αB. 2. (α + β)A = αA + βA. 3. (αβ)A = α(βA). 4. 1A = A.

Demonstra¸cão. Demonstremos a propriedade 3, sendo as restantes deixadas como exerc´ıcio. Seja A = [aij] ∈ Mm×n(R) e α, β ∈ R. Então (αβ)A e α(βA) são matrizes

do mesmo tipo e o elemento (i, j) de (αβ)A ´e (αβ)aij. Como α, β e aij s˜ao elementos

de R, da associatividade da multiplica¸c˜ao em R, sabemos que (αβ)aij = α(βaij). Mas o

segundo membro desta igualdade não é mais que o elemento (i, j) de α(βA). Como i e j são quaisquer, obtemos a igualdade das matrizes consideradas.

Defini¸c˜ao 1.4 Sendo A = [aij] ∈ Mm×n(R) e B = [bij] ∈ Mn×p(R), define-se AB

como sendo a matriz do tipo m×p cujo elemento (i, j) ´e ai1b1j+ai2b2j+· · ·+ainbnj.

Assim AB = " _n X k=1 aikbkj # m×p .

Como se pode ver pela defini¸cão, o produto AB da matriz A pela matriz B apenas está definido se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. Neste caso o número de linhas da matriz AB é igual ao número de linhas de A e o número de colunas é igual ao de B. O elemento de AB situado na linha i e coluna j obtém-se a partir da linha i de A e da coluna j de B:   . . . ._a_i1 _a_i2 _{. . . a}_in . . . .        . . . b1j . . . . . . b2j . . . ... ... ... . . . bnj . . .     =   . . ._{. . . a}_i1_b_1j _{+ a}_i2_b_2j. . ._{+ . . . + a}_in_b_nj . . ._{. . .} . . . . . . . . .   .

(15)

Vemos assim que:

1. a linha i de AB se obt´em multiplicando a linha i de A pela matriz B; 2. a coluna j de AB se obt´em multiplicando a matriz A pela coluna j de B;

3. AB obt´em-se multiplicando a matriz A pelas colunas de B, ou multiplicando as linhas de A pela matriz B.

Exemplo 1.4 1. Sejam A = · 1 2 7 9 3 8 ¸ e B =   5 4 3_{8 0 6} 1 2 9   . Ent˜ao AB = · 1 × 5 + 2 × 8 + 7 × 1 1 × 4 + 2 × 0 + 7 × 2 1 × 3 + 2 × 6 + 7 × 9 9 × 5 + 3 × 8 + 8 × 1 9 × 4 + 3 × 0 + 8 × 2 9 × 3 + 3 × 6 + 8 × 9 ¸ = · 28 18 78 77 52 117 ¸

Note-se que neste caso o produto BA não está definido, visto o número de colunas de B ser diferente do número de linhas de A.

2. Sejam A = £ 3 1 5 ¤ e B =   2₇ 4   . Ent˜ao AB =£ 3 × 2 + 1 × 7 + 5 × 4 ¤ =£ 33 ¤; e BA =   2 × 3 2 × 1 2 × 5_{7 × 3 7 × 1 7 × 5} 4 × 3 4 × 1 4 × 5   =   _{21 7 35}6 2 10 12 4 20   . 3. Sendo A = · 1 2 −1 −2 ¸ e B = · 4 −6 −2 3 ¸ , tem-se AB = · 0 0 0 0 ¸ ; BA = · 10 20 −5 −10 ¸ .

Exerc´ıcio 1.1 Designe-se por cj a coluna j de Am×n, j = 1, . . . , n. Dada a matriz-coluna

x =      x1 x2 .. . xn     ,

verifique que Ax = x1c1+ x2c2+ . . . + xncn. Dizemos que Ax ´e uma combina¸c˜ao linear

das colunas de A.

Note-se que, uma vez que AB se obtém multiplicando A pelas colunas de B, podemos concluir que as colunas de AB são combina¸cões lineares das colunas de A.

(16)

Teorema 1.3 Sejam A,A0_∈M

m×n(R), B,B0∈Mn×p(R), C∈Mp×q(R) e α∈R. Ent˜ao tem-se:

1. A0 = 0, 0A = 0 , AIn = ImA = A.

2. (AB)C = A(BC) (associatividade da multiplica¸c˜ao).

3. A(B + B0_{) = AB + AB}0_, _{(A + A}0_{)B = AB + A}0_{B (distributividades do produto}

em rela¸cão à adi¸cão). 4. α(AB) = (αA)B = A(αB). 5. AB = 0 6⇒ (A = 0 ou B = 0).

6. (AB = AB0 _{e A 6= 0) 6⇒ B = B}0_{, e tamb´em (AB = A}0_{B e B 6= 0) 6⇒ A = A}0_.

7. A multiplica¸cão de matrizes não é comutativa.

Demonstra¸c˜ao. Demonstremos a propriedade 2. As outras ficam como exerc´ıcio (note que as propriedades 5 e 7 seguem do exemplo 1.4).

Sejam A = [aij] ∈ Mm×n(R), B = [bij] ∈ Mn×p(R) e C = [cij] ∈ Mp×q(R). Ent˜ao

(AB)C e A(BC) são ambas matrizes do tipo m × q. Da defini¸cão de produto sabemos que o elemento (i, j) de AB é

n

X

k=1

aikbkj. Assim, o elemento (i, l) de (AB)C ser´a p X t=1 Ã _n X k=1 aikbkt ! ctl.

De modo an´alogo, o elemento (i, l) de A(BC) ´e

n X k=1 aik Ã _p X t=1 bktctl ! .

Utilizando as propriedades distributiva da multiplica¸cão em rela¸cão à adi¸cão, associativa da multiplica¸cão e da adi¸cão e comutativa da adi¸cão em R, tem-se

n X k=1 aik Ã _p X t=1 bktctl ! = n X k=1 p X t=1 aik(bktctl) = p X t=1 n X k=1 (aikbkt)ctl = p X t=1 Ã _n X k=1 aikbkt ! ctl.

Observa¸cão. Da associatividade do produto de matrizes conclu´ımos que não temos que nos preocupar com parênteses quando lidarmos com mais de dois factores. Em particular, fica bem definido o significado da expressão Ak_{, onde A é uma matriz quadrada e k ∈ N.}

Exerc´ıcio 1.2 Prove que o produto de duas matrizes triangulares superiores (resp. infe-riores) da mesma ordem ´e ainda uma matriz triangular superior (resp. inferior). A que s˜ao iguais os elementos diagonais do produto neste caso?

(17)

Exerc´ıcio 1.3 Sejam A e B matrizes m × n. Prove que, se Av = Bv para todo o vector coluna n × 1 v, ent˜ao A = B.

(Sugest˜ao: O que conclui se v for uma das colunas da matriz In?)

Exerc´ıcio 1.4 (Produto por blocos.) Sejam A m × n e B n × p duas matrizes. Suponhamos que as particionamos em “blocos” (ou submatrizes) assim

A =      A11 A12 . . . A1s A21 A22 . . . A2s .. . ... . .. ... Ar1 Ar2 . . . Ars     , B =      B11 B12 . . . B1t B21 B22 . . . B2t .. . ... . .. ... Bs1 Bs2 . . . Bst     ,

de forma que, para todos os poss´ıveis valores de i, j, e k, o n´umero de colunas de Aik seja

igual ao n´umero de linhas de Bkj. Mostre que, ent˜ao, o produto AB se pode calcular do

seguinte modo (note-se que o n´umero de colunas de blocos de A ´e igual ao n´umero de linhas de blocos de B): AB =      Ps k=1A1kBk1 Ps k=1A1kBk2 . . . Ps k=1A1kBkt Ps k=1A2kBk1 Ps k=1A2kBk2 . . . Ps k=1A2kBkt .. . ... . .. ... P_s k=1ArkBk1 P_s k=1ArkBk2 . . . P_s k=1ArkBkt     .

( Sugest˜ao: Talvez ajude come¸car por considerar o caso s = 2, r = t = 1.)

1.3 Inversa de uma matriz quadrada

Dado um número não nulo, real ou complexo, podemos falar do seu inverso multiplica-tivo. O que se passará com matrizes?

Defini¸c˜ao 1.5 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A ´e invert´ıvel

se existir uma matriz X, quadrada de ordem n, tal que AX = XA = In.

Teorema 1.4 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Ent˜ao existe no m´aximo uma

matriz X quadrada de ordem n tal que AX = XA = In. (Nestas condi¸c˜oes X diz-se a

inversa de A e representa-se por A−1_.)

Demonstra¸c˜ao. Sejam X e Y matrizes quadradas de ordem n tais que AX = XA = In

e AY = Y A = In. Ent˜ao Y = Y In = Y (AX) = (Y A)X = InX = X. Logo, existe no

(18)

Exemplo 1.5 A matriz ·

1 2 1 1

¸

´e invert´ıvel, sendo a sua inversa a matriz · −1 2 1 −1 ¸ . De facto tem-se · 1 2 1 1 ¸ · −1 2 1 −1 ¸ = I2 e · −1 2 1 −1 ¸ · 1 2 1 1 ¸ = I2.

Teorema 1.5 Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n invert´ıveis. Ent˜ao AB ´e

invert´ıvel e (AB)−1 _{= B}−1_A−1_.

Demonstra¸c˜ao. (AB)(B−1_A−1_{) = A(BB}−1_)A−1 _{= AI}

nA−1 = AA−1 = In. De modo

an´alogo, (B−1_A−1_{)(AB) = B}−1_(A−1_{A)B = B}−1_I

nB = B−1B = In. Podemos assim

concluir que AB ´e invert´ıvel e a sua inversa ´e B−1_A−1_.

Exerc´ıcio 1.5 Generalize o resultado do teorema anterior para mais do que duas matrizes.

Adiante estudaremos métodos para determinar se uma matriz quadrada é ou não invert´ıvel, e, no caso afirmativo, calcular a sua inversa.

1.4 Transposi¸c˜

ao de matrizes

Defini¸c˜ao 1.6 Dada uma matriz A = [aij] do tipo m × n, define-se a

trans-posta de A como sendo a matriz AT _{= [b}

ij], do tipo n × m, onde bij = aji, para

i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m. A matriz A diz-se sim´etrica se A = AT_.

Observa¸c˜oes. 1. Os elementos da coluna i de AT _{s˜ao precisamente os da linha i de A,}

para i = 1, . . . , m.

2. Uma matriz é simétrica se e só se for quadrada e forem iguais os elementos situados em posi¸cões simétricas relativamente à diagonal principal.

(19)

Exemplo 1.6 A transposta da matriz A = · 1 2 0 1 5 3 ¸ ´e a matriz AT ₌   1 1_{2 5} 0 3   . A matriz _  3 2 5_{2 1 7} 5 7 9  

´e sim´etrica, mas a matriz _

 3 1 5_{2 1 7} 5 7 9

 

já o não é, uma vez que os elementos nas posi¸cões (1, 2) e (2, 1) não são iguais.

Proposi¸c˜ao 1.1 A transposi¸c˜ao de matrizes goza das seguintes propriedades:

1. (AT₎T _{= A;}

2. (A + B)T _{= A}T _{+ B}T_;

3. (αA)T _{= αA}T_{, sendo α um n´umero;}

4. (AB)T _{= B}T_AT_;

5. (Ak₎T _{= (A}T₎k_{, sendo k um n´umero natural;}

6. Se A for invert´ıvel, AT _{tamb´em ´e, tendo-se (A}T₎−1 _{= (A}−1₎T_.

Demonstra¸c˜ao. As propriedades 1, 2, 3 e 5 ficam como exerc´ıcio. Provemos 4 e 6. Sejam

A = [aij] e B = [bij] , dos tipos m × n e n × p , respectivamente. Ent˜ao BTAT e (AB)T

s˜ao do tipo p × m. Sendo bki e ajk os elementos (i, k) e (k, j) de BT e AT, respectivamente,

tem-se que o elemento (i, j) de BT_AT _´e n X k=1 bkiajk = n X k=1

ajkbki, que ´e o elemento

(i, j) de (AB)T_{, para i = 1, . . . , p, j = 1, . . . , m.}

Seja agora A = [aij] invert´ıvel de ordem n. Ent˜ao, usando a propriedade 4, tem-se

AT_(A−1₎T _{= (A}−1_A)T _{= I}T

n = In e (A−1)TAT = (AA−1)T = InT = In.

Logo (AT₎−1 _{= (A}−1₎T_.

Exerc´ıcio 1.6 Seja A uma matriz m×n. Prove que as matrizes AT_{A e AA}T _{s˜ao sim´etricas.}

Dˆe um exemplo que mostre que estes dois produtos podem ser diferentes, mesmo que A seja quadrada.

(20)

Exerc´ıcio 1.7 Prove o seguinte:

1. A soma de duas matrizes simétricas da mesma ordem é ainda uma matriz simétrica. 2. O produto de duas matrizes simétricas da mesma ordem é uma matriz simétrica se e

s´o se as duas matrizes comutarem.

3. A inversa de uma matriz simétrica invert´ıvel é também simétrica.

Exerc´ıcio 1.8 Seja M = ·

A B C D

¸

uma matriz particionada em blocos. Mostre que

MT ₌ · AT _CT BT _DT ¸ .

Defini¸c˜ao 1.7 Uma matriz quadrada diz-se ortogonal se for invert´ıvel e a sua

inversa coincidir com a sua transposta.

Exemplo 1.7 A matriz AT ₌ " √ 2 2 − √ 2 2 √ 2 2 √ 2 2 # ´e ortogonal.

Exerc´ıcio 1.9 Mostre que:

1. O produto de duas matrizes ortogonais é ainda uma matriz ortogonal. 2. A inversa de uma matriz ortogonal é também uma matriz ortogonal.

3. Uma matriz real 2 × 2 ´e ortogonal se e s´o se for de uma das duas seguintes formas: · cos θ −sen θ sen θ cos θ ¸ , · cos θ sen θ sen θ − cos θ ¸ , θ ∈ R.

Exerc´ıcio 1.10 Seja A n × n e designemos por v1, . . . , vn as suas colunas. Prove que A ´e

ortogonal se e s´o se, para i, j = 1, . . . , n, se tiver vT

ivj= δij.

Defini¸c˜ao 1.8 Uma matriz n × n diz-se uma matriz de permuta¸c˜ao se tiver as

mesmas linhas que a matriz identidade In mas n˜ao necessariamente pela mesma

(21)

Exemplo 1.8 As matrizes   0 1 0_{0 0 1} 1 0 0   e   0 1 0_{1 0 0} 0 0 1 

 s˜ao matrizes de permuta¸c˜ao. Que trocas se efectuaram sobre as linhas de I3 para as obter?

Exerc´ıcio 1.11 Mostre que toda a matriz de permuta¸c˜ao ´e ortogonal.

Exerc´ıcio 1.12 Seja A = ·

B C

0 D

¸

uma matriz particionada em blocos com B e D quadradas. Mostre que, se A for ortogonal, então B e D também são ortogonais e C = 0.

Defini¸c˜ao 1.9 Sendo A = [aij]_m×n uma matriz complexa, define-se a conjugada

de A como sendo A = [aij]_m×n. Escrevemos A∗ = AT. A matriz A diz-se herm´ıtica

se A = A∗_.

Observa¸c˜oes. 1. Os elementos da coluna i de A∗ _{s˜ao precisamente os conjugados dos da}

linha i de A, para i = 1, . . . , m.

2. Uma matriz é herm´ıtica se e só se for quadrada e forem conjugados os elementos situados em posi¸cões simétricas relativamente à diagonal principal.

Exemplo 1.9 A conjugada de A = · 1 2 + i 5 + 3i 4i ¸ ´e a matriz A = · 1 2 − i 5 − 3i −4i ¸ . Tem-se A∗₌ · 1 5 − 3i 2 − i −4i ¸

. Esta matriz n˜ao ´e herm´ıtica, mas a matriz

·

1 3−i 3+i 7

¸

j´a o ´e.

Proposi¸c˜ao 1.2 As matrizes complexas gozam das seguintes propriedades:

1. (A∗₎∗ _{= A;}

2. (A + B)∗ _{= A}∗_{+ B}∗_;

3. (αA)∗ _{= αA}∗_{, sendo α um n´umero complexo;}

4. (AB)∗ _{= B}∗_A∗_;

5. (Ak₎∗ _{= (A}∗₎k_{, sendo k um n´umero natural;}

6. Se A for invert´ıvel, A∗ _{tamb´em ´e, tendo-se (A}∗₎−1 _{= (A}−1₎∗_.

(22)

1.5 Matrizes elementares

Dedicamos agora a nossa aten¸cão a uma classe especial de matrizes, as matrizes ele-mentares, que aparecerão no estudo dos sistemas de equa¸cões lineares. Para estudarmos esta classe de matrizes é útil conhecer certo tipo de opera¸cões sobre as linhas de uma matriz, ditas opera¸cões elementares, que passamos a definir:

1. Substitui¸c˜ao de uma linha da matriz pela sua soma com um m´ultiplo de outra. 2. Troca entre si de duas linhas da matriz.

3. Multiplica¸c˜ao de uma linha da matriz por um n´umero diferente de zero.

Defini¸c˜ao 1.10 Chama-se matriz elementar de ordem n a toda a matriz que se

obtém de In por aplica¸cão de uma opera¸cão elementar às suas linhas.

Obtemos assim trˆes tipos de matrizes elementares de ordem n: 1. Para i 6= j e α ∈ R temos a matriz

Eij(α) =               1 0 . . . 0 . . . 0 . . . 0 0 1 . . . 0 . . . 0 . . . 0 ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 . . . 1 . . . α . . . 0 ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1               .

Eij(α) obt´em-se de In adicionando `a linha i a linha j previamente multiplicada por

α. Assim Eij(α) difere da matriz identidade apenas pelo elemento (i, j), que ´e α

(se α = 0, tem-se Eij(α) = In).

2. Para i 6= j, temos a matriz

Pij =               1 0 . . . 0 . . . 0 . . . 0 0 1 . . . 0 . . . 0 . . . 0 ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1               .

(23)

3. Finalmente, para α ∈ R n˜ao nulo e 1 ≤ i ≤ n, temos a matriz Di(α) =          1 0 . . . 0 . . . 0 0 1 . . . 0 . . . 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 . . . α . . . 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 . . . 0 . . . 1          .

Di(α) obt´em-se de In multiplicando a linha i por α.

As matrizes Pij s˜ao matrizes de permuta¸c˜ao especiais (obtidas de In pela troca de

duas linhas).

Exemplo 1.10 As matrizes seguintes s˜ao exemplos de matrizes elementares de ordem 3 :

E21(5) =   1 0 0_{5 1 0} 0 0 1   ; P13=   0 0 1_{0 1 0} 1 0 0   ; D2(8) =   1 0 0_{0 8 0} 0 0 1   .

Exerc´ıcio 1.13 Seja A ∈ Mm×n(R), i 6= j e α ∈ R. Mostre que:

1. Eij(α)A é a matriz que se obtém de A adicionando à linha i a linha j previamente

multiplicada por α.

2. Pij(α)A ´e a matriz que se obt´em de A trocando a linha i com a linha j.

3. Di(α)A ´e a matriz que se obt´em de A multiplicando a linha i por α.

Em resumo, se E for uma matriz elementar, EA é a matriz que se obtém de A aplicando-lhe às linhas as mesmas opera¸cões elementares que foram aplicadas às linhas de Impara obter E. Mostre ainda que um resultado análogo é válido para o produto

AE, reflectindo-se agora o efeito da multiplica¸c˜ao nas colunas de A: AE ´e a matriz

obtida de A aplicando-lhe às colunas as mesmas opera¸cões elementares que foram aplicadas às colunas de In para obter E.

Exerc´ıcio 1.14 Generalize 2. e 3. do exerc´ıcio anterior provando que, se A for uma matriz

m × n, se tem o seguinte:

1. Multiplicar A à esquerda por uma matriz de permuta¸cão P equivale a efectuar em A as mesmas trocas de linhas feitas em Impara obter P . Qual será o efeito de multiplicar

A `a direita por uma matriz de permuta¸c˜ao?

2. Multiplicar A `a esquerda por uma matriz diagonal de elementos diagonais µ1, . . . , µm

equivale a multiplicar a primeira linha de A por µ1, a segunda linha por µ2, etc.

Multiplicar A `a direita por uma matriz diagonal de elementos diagonais µ1, . . . , µn

(24)

Exerc´ıcio 1.15 Seja 1 ≤ j ≤ n − 1, e defina-se Ej como sendo o seguinte produto de

matrizes elementares Ej+1,j(αj+1,j)Ej+2,j(αj+2,j) · · · En,j(αn,j).

1. Mostre que se tem

Ej =                1 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 1 . . . 0 0 0 . . . 0 .. . ... . .. ... ... . .. ... 0 0 . . . 1 0 0 . . . 0 0 0 . . . αj+1,j 1 0 . . . 0 0 0 . . . αj+2,j 0 1 . . . 0 .. . ... . .. ... ... ... . .. ... 0 0 . . . αnj ... ... . . . 1                .

2. Mostre que se tem

E1E2· · · En−1=        1 0 0 . . . 0 α21 1 0 . . . 0 α31 α32 1 . . . 0 .. . ... ... . .. ... αn1 αn2 αn3 . . . 1        .

3. Como pode observar, a matriz E1E2· · · En−1 obt´em-se imediatamente das matrizes

E1, E2, · · · , En−1, sem necessidade de c´alculos. Verifique que o mesmo n˜ao se passa

com En−1· · · E2E1, matriz para cujos elementos n˜ao existe uma express˜ao simples a

partir dos elementos das matrizes Ej.

Exerc´ıcio 1.16 Prove que as matrizes elementares Eij(α), Pij e Di(β), onde β 6= 0, s˜ao

invert´ıveis e tem-se

(25)

2 Sistemas de equa¸c˜

oes lineares

2.1 Generalidades

Os sistemas de equa¸cões lineares constituem hoje um relevante tema de estudo devido à sua importância em Matemática Aplicada. Muitos problemas, por exemplo, nas áreas de Engenharia conduzem à necessidade de resolver sistemas de equa¸cões lineares.

Os sistemas de equa¸cões lineares ligados a questões de Matemática Aplicada podem ter um elevado número de equa¸cões e incógnitas. Não se pode portanto pensar em resolvê-los “à mão”. O que se faz é usar computadores para esse efeito, não aplicando “fórmulas” mas sim utilizando algoritmos, isto é, sequências organizadas de passos que conduzem à solu¸cão ou solu¸cões.

Neste cap´ıtulo estudaremos o mais importante algoritmo geral para resolver sistemas de equa¸cões lineares, o algoritmo de elimina¸cão de Gauss, e veremos como a linguagem das matrizes permite descrevê-lo de forma muito simples e abreviada.

Para sistemas muito grandes e de tipos especiais há outros algoritmos mais económicos do que o algoritmo de elimina¸cão de Gauss. Esses algoritmos têm em geral um número infinito de passos e são estudados em disciplinas mais avan¸cadas.

Defini¸c˜ao 2.1 Uma equa¸cão linear nas incógnitas x1, . . . , xn é uma equa¸cão do

tipo

a1x1+ . . . + anxn= b

onde a1, . . . , an e b s˜ao n´umeros. A b costuma chamar-se segundo membro ou

termo independente da equa¸c˜ao.

Um sistema de equa¸cões lineares é uma coleçcão finita de equa¸cões lineares

(todas nas mesmas incógnitas) consideradas em conjunto. Um sistema genérico com m equa¸cões e n incógnitas

       a11x1+ . . . + a1nxn= b1 a21x1+ . . . + a2nxn= b2 . . . am1x1+ . . . + amnxn = bm

apresenta-se abreviadamente na forma Ax = b onde A =     a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... ... am1 am2 . . . amn     , x =     x1 x2 ... xn     , b =     b1 b2 ... bm     .

A é a matriz do sistema, x é a matriz-coluna das incógnitas e b é a matriz-coluna dos segundos membros ou, abreviadamente, o segundo membro do sistema.

(26)

Defini¸c˜ao 2.2 Uma solu¸cão de um sistema de equa¸cões lineares nas incógnitas

x1, . . . , xn é uma sequência ordenada (α1, . . . , αn) de números tais que as

substi-tui¸c˜oes xi = αi, i = 1, ..., n, transformam todas as equa¸c˜oes do sistema em

iden-tidades verdadeiras. Uma solu¸c˜ao tamb´em se pode apresentar na forma de uma matriz-coluna n × 1: _    α1 α2 ... αn     .

Resolver um sistema de equa¸cões lineares é determinar todas as suas solu¸cões ou

provar que n˜ao existe nenhuma.

Um sistema de equa¸cões lineares que tenha pelo menos uma solu¸cão diz-se poss´ıvel (determinado se só tiver uma, indeterminado se tiver mais do que uma). Um sistema de equa¸cões lineares que não tenha nenhuma solu¸cão diz-se imposs´ıvel.

Exemplo 2.1 Considere o sistema de equa¸c˜oes lineares ½

2x1+ 5x2 = 3

4x1+ 9x2 = 7 .

A matriz do sistema ´e

· 2 5 4 9 ¸ , enquanto que x = · x1 x2 ¸ e b = · 3 7 ¸ são, respec-tivamente, as matrizes-coluna das incógnitas e dos segundos membros. Este sistema é poss´ıvel determinado, sendo a sua solu¸cão

· 4

−1

¸

.

O exemplo seguinte ´e de novo de um sistema poss´ıvel determinado. Qual a sua solu¸c˜ao?

   x1+ 2x2 = 1 4x1 + 3x2 = 3 5x1 + 5x2 = 4 . O sistema ½ 2x1+ 4x2 = 12 4x1+ 8x2 = 24

´e poss´ıvel indeterminado, com solu¸c˜ao

·

6 − 2α

α

¸

, para qualquer α ∈ R ; mas

½

2x1+ 4x2 = 5

4x1+ 8x2 = 7

j´a ´e um sistema imposs´ıvel.

(27)

Defini¸c˜ao 2.3 Um sistema em que os segundos membros das equa¸c˜oes s˜ao todos

iguais a 0 diz-se homogéneo. Note-se que um sistema homogéneo é sempre poss´ıvel

(possui sempre, pelo menos, a chamada solu¸c˜ao nula).

Defini¸c˜ao 2.4 Dois sistemas com o mesmo número de equa¸cões e de incógnitas

dizem-se equivalentes se tiverem exactamente as mesmas solu¸c˜oes.

Teorema 2.1 Seja Ax = b um sistema de equa¸c˜oes lineares, com A m × n. Seja E uma

matriz m × m invert´ıvel. Ent˜ao, o sistema EAx = Eb ´e equivalente ao sistema Ax = b.

Demonstra¸c˜ao. Claramente, qualquer solu¸cão do sistema Ax = b é também solu¸cão do sistema EAx = Eb. Reciprocamente, seja u uma solu¸cão do sistema EAx = Eb. Tem-se EAu = Eb. Multiplicando à esquerda ambos os membros desta igualdade por E−1_,

obtemos Au = b, isto é, u é solu¸cão do sistema Ax = b.

2.2 O algoritmo de elimina¸c˜

ao de Gauss

Um método geral de resolver sistemas de equa¸cões lineares é o chamado algoritmo de

elimina¸c˜ao de Gauss. Este algoritmo consiste numa sequˆencia de passos “elementares”

que transformam o sistema dado num sistema muito f´acil de resolver.

Um passo elementar do método de elimina¸cão de Gauss consiste na adi¸cão membro a

membro a uma equa¸cão de um múltiplo de outra, de forma que, na equa¸cão obtida, seja

nulo o coeficiente de certa incógnita. Com isto dizemos que se “eliminou” essa incógnita da equa¸cão.

Para exemplificar, consideremos o sistema Ax = b com A = [aij] m × n. Ent˜ao,

supondo a116= 0, a adi¸cão à segunda equa¸cão da primeira multiplicada por −

a21

a11

elimina a inc´ognita x1 da segunda equa¸c˜ao (verifique).

Os passos elementares s˜ao conduzidos de maneira a eliminar a inc´ognita x1 de todas

as equa¸cões a partir da segunda — para o que é necessário ter-se a11 não nulo —, depois

eliminar a incógnita x2 de todas as equa¸cões a partir da terceira — para o que é necessário

ter-se a0

22 (o novo coeficiente de x2 na segunda equa¸c˜ao) n˜ao nulo —, etc. Este processo

repete-se até não ser poss´ıvel continuá-lo mais. Os números a11, a022, ... chamam-se os

pivots da elimina¸c˜ao.

Teorema 2.2 Cada um destes passos elementares do m´etodo de elimina¸c˜ao de Gauss

transforma um sistema noutro equivalente.

Demonstra¸c˜ao. Basta observar que cada passo elementar do tipo descrito corresponde a multiplicar ambos os membros do sistema (escrito na forma matricial) por uma matriz elementar do tipo Eij(α) e que estas matrizes s˜ao invert´ıveis.

(28)

Sempre que surja um zero na posi¸cão em que devia estar um pivot, procura-se resolver o problema mediante a troca dessa equa¸cão com a que se lhe segue. Se também essa tiver um zero na posi¸cão em causa tenta-se a seguinte, etc. Se nenhuma troca resolver o problema, o pivot passa a ser procurado entre os coeficientes da incógnita seguinte.

´

E óbvio que uma troca na ordem das equa¸cões transforma um sistema noutro equiva-lente. Isso também se pode concluir observando que uma troca de duas equa¸cões entre si corresponde a multiplicar ambos os membros do sistema (escrito na forma matricial) por uma matriz elementar do tipo Pij e que estas matrizes são invert´ıveis.

Deste processo resulta um novo sistema, digamos Ux = c, equivalente ao sistema original, e cuja matriz U, que ´e ainda m × n, tem uma forma especial, a que se costuma chamar matriz em escada:

Defini¸c˜ao 2.5 Uma matriz diz-se uma matriz em escada se satisfizer as seguintes

condi¸c˜oes:

i) Se o primeiro elemento não nulo numa linha está na coluna j, então a linha seguinte come¸ca com pelo menos j elementos nulos.

ii) Se houver linhas totalmente constitu´ıdas por zeros, elas aparecem depois das outras.

Exemplo 2.2 Exemplos do aspecto de uma matriz em escada (os s´ımbolos • representam

os pivots):  • ∗ ∗_{0 • ∗} 0 0 •   ,       • ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 • ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 0 • ∗ ∗ ∗ 0 0 0 0 0 0 • 0 0 0 0 0 0 0       ,     • ∗ ∗ 0 • ∗ 0 0 0 0 0 0     . As matrizes A = · 2 5 0 0 0 6 ¸ , B =   1 5_{0 2} 0 0   e C =       3 7 0 4 0 1 5 2 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0      

são matrizes em escada. A matriz A tem pivots 2 e 6, os pivots de B são 1 e 2 e os de C são 3, 1 e 6. As matrizes _  1 5 0_{0 0 6} 0 0 2   ,   1 0 5 7_{0 0 6 2} 0 0 2 4   e   2 3 0_{0 0 0} 0 0 1  

(29)

Com a obten¸cão de uma matriz em escada U termina a parte “descendente” do método de elimina¸cão de Gauss. Neste momento verifica-se se o sistema obtido, Ux = c, é poss´ıvel, isto é, se não há equa¸cões com o primeiro membro nulo e o segundo não nulo.

Se o sistema for poss´ıvel, resolve-se “de baixo para cima” (parte “ascendente” do algoritmo), se necessário obtendo algumas incógnitas — aquelas que estão a multiplicar por pivots — em fun¸cão das outras.

`

As primeiras incógnitas chamamos incógnitas básicas, e às outras, que podem tomar qualquer valor em R, chamamos incógnitas livres. Se houver incógnitas livres, o sistema é indeterminado. Se só houver incógnitas básicas, o sistema é determinado.

O que governa o método de elimina¸cão é a matriz A do sistema, e podemos olhar para os sucessivos passos do algoritmo como respeitando apenas à matriz: o primeiro passo consiste em adicionar à segunda linha a primeira multiplicada por −a21

a11

, etc.

Defini¸c˜ao 2.6 A caracter´ıstica de A — abreviadamente, car(A) — ´e o n´umero de

pivots que aparecem quando se aplica a A o método de elimina¸cão. Equivalente-mente, car(A) é o número de linhas não nulas da matriz em escada U produzida pelo algoritmo de elimina¸cão aplicado a A. Uma matriz quadrada A n × n diz-se

n˜ao-singular se tiver caracter´ıstica n. Se car(A) < n, a matriz A diz-se singular.

Exemplo 2.3 Considere as matrizes A, B e C do exemplo anterior. Tem-se car(A) = 2,

car(B) = 2 e car(C) = 3.

Exemplo 2.4 Considere a matriz A = 

 1 1_{1 3} 2₃ 2 8 12



 . Apliquemos a A o m´etodo de

elimina¸cão de Gauss. Come¸camos por adicionar à segunda e terceira linhas de A a primeira linha multiplicada por −1 e −2, respectivamente. A matriz resultante será A0 ₌



 1 1 2_{0 2 1} 0 6 8



. Esta matriz n˜ao ´e ainda uma matriz em escada. Prosseguimos

adicio-nando `a terceira linha de A0 _{a segunda linha multiplicada por −3. A matriz que obtemos}

´e a matriz em escada U =



 1 1 2_{0 2 1} 0 0 5



 . Tem-se car(A) = 3 (pois há três pivots : 1, 2 e 5) e A é não-singular. Considere-se agora B =   1 1 2_{2 6 6} 2 2 4 

 . Adicionando `a segunda e terceira linhas de B

a primeira linha multiplicada por −2 obtemos a matriz em escada U =



 1 1 2_{0 4 2} 0 0 0

  . H´a

(30)

O algoritmo de elimina¸c˜ao de Gauss pode ser descrito de forma muito abreviada usando a linguagem das matrizes:

Consideremos o sistema Ax = b, e denotemos por Ux = c o sistema obtido ap´os a parte descendente do algoritmo. Suponhamos primeiro que n˜ao houve necessidade de trocas de linhas.

O efeito das sucessivas opera¸cões elementares aplicadas a A pode ser descrito pela multiplica¸cão sucessiva de A, à esquerda, por matrizes elementares do tipo Eij(α), onde os

números α são os “multiplicadores” usados na elimina¸cão. Designemos por M o produto de todas essas matrizes elementares. Então M é uma matriz triangular inferior com elementos diagonais iguais a 1 (ex. 1.2), e tem-se MA = U. Como as opera¸cões levadas a cabo com o segundo membro do sistema foram precisamente as mesmas, tem-se Mb = c. Designemos M−1 _{por L (donde A = LU e b = Lc). Sendo a inversa de M, a matriz}

L ´e igual ao produto das matrizes Eij(−α) pela ordem inversa `aquela em que as matrizes

Eij(α) figuram em M. Ent˜ao, dos exerc´ıcios 1.15 e 1.16 (primeira igualdade), sabe-se que

L ´e uma matriz triangular inferior com elementos diagonais iguais a 1 e os elementos sob a

diagonal de L são precisamente os simétricos dos “multiplicadores” usados na elimina¸cão, cada um na posi¸cão em que figura na respectiva matriz elementar. (E, portanto, a matriz

L ´e muito f´acil de escrever.)

Exemplo 2.5 Considere-se o sistema Ax = b, onde A =   1 1_{1 3} 2₃ 2 8 12   ´e a matriz considerada no Exemplo 2.4, e b =   ₋₂1 −12 

 . J´a vimos como obter uma matriz triangular

superior U por aplica¸cão do método de elimina¸cão de Gauss a A. Utilizando matrizes elementares, este processo pode ser descrito do seguinte modo:

U = E32(−3)E31(−2)E21(−1)A =



 1 1 2_{0 2 1} 0 0 5

  .

Efectuando as mesmas opera¸c˜oes ao segundo membro do sistema, obtemos c = E32(−3)E31(−2)E21(−1)b =   ₋₃1 −5   . A matriz L ser´a

L = [E32(−3)E31(−2)E21(−1)]−1 = E21(1)E31(2)E32(3) =

  1 0 0_{1 1 0} 2 3 1   , e tem-se A = LU e b = Lc.

(31)

Se houver necessidade de trocas de linhas, a única diferen¸ca é que o algoritmo deve ser visto como aplicado, não a A, mas a P A, onde P é uma matriz de permuta¸cão (P é o produto das matrizes de permuta¸cão correspondentes às várias trocas de linhas feitas na matriz durante o algoritmo), e ao segundo membro P b.

Exemplo 2.6 Aplique-se o algoritmo de elimina¸c˜ao de Gauss ao sistema Ax = b, onde

A =   2₄ ₁₂6 ₋₂2 −6 −12 −10   .

Ao adicionarmos `a segunda e terceira linhas de A a primeira multiplicada por −2 e 3, respectivamente, obtemos a matriz

E31(3)E21(−2)A =   2 6_{0 0 −6}2 0 6 −4   .

O passo seguinte seria utilizar o elemento (2, 2) como pivot, mas este elemento é zero. Temos que trocar entre si as linhas 2 e 3 desta matriz. Este passo é equivalente a trocar estas linhas em A antes de termos iniciado o processo de elimina¸cão, isto é, a fazer a elimina¸cão não em A mas na matriz P2,3A. Teremos então (aten¸cão às novas matrizes

Eij(α) ) E31(−2)E21(3)P2,3A =   2 6_{0 6 −4}2 0 0 −6   .

Esta j´a ´e uma matriz em escada, a matriz U desejada. Tomando L = [E31(−2)E21(3)]−1=

E21(−3)E31(2), temos P2,3A = LU.

Regressando ao sistema Ax = b, teremos que efectuar no segundo membro as mesmas trocas de linhas que foram efectuadas em A, ou seja, iremos trabalhar n˜ao com Ax = b mas com o sistema equivalente P2,3Ax = P2,3b.

Note que não é necessário iniciar o processo de elimina¸cão de cada vez que precisar de efectuar uma troca de linhas. Pense quais serão as altera¸cões que tais trocas implicam na matriz L que está a ser constru´ıda.

Resumindo, temos:

Teorema 2.3 (Factoriza¸c˜ao LU.) Sendo A m × n arbitr´aria, existe uma matriz de

per-muta¸cão P tal que P A se pode factorizar na forma LU, onde L é triangular inferior com elementos diagonais iguais a 1 e U é uma matriz em escada. Os elementos sob a diagonal de L são os simétricos dos “multiplicadores” usados no método de elimina¸cão aplicado a A, e U é a matriz produzida pelo algoritmo (e portanto o primeiro elemento não nulo em cada linha não nula de U é um pivot).

(32)

No caso quadrado n × n não-singular, U é triangular superior, com os elementos diagonais não nulos (são os n pivots).6

Podemos agora apresentar a descri¸c˜ao matricial do algoritmo de elimina¸c˜ao de Gauss.

Comecemos pelo caso de sistemas com matrizes quadradas n˜ao-singulares.

Algoritmo. Resolu¸cão do sistema Ax = b com A n × n não singular: 1o passo) Factoriza¸cão P A = LU.

2o passo) Resolu¸c˜ao do sistema Lc = P b (para achar o novo segundo membro c). 3o passo) Resolu¸c˜ao do sistema Ux = c.

Exemplo 2.7 Retomemos o sistema Ax = b considerado no Exemplo 2.5. Temos A =   1 1_{1 3} 2₃ 2 8 12   e b =   ₋₂1 −12 

 . J´a conhecemos a decomposi¸c˜ao LU de A:

A =   1 0 0_{1 1 0} 2 3 1     1 1 2_{0 2 1} 0 0 5   .

Passemos ent˜ao ao segundo passo do algoritmo: resolu¸c˜ao do sistema triangular inferior

Lc = b.    c1 = 1 c1 + c2 = −2 2c1 + 3c2 + c3 = −12

Este ´e um sistema poss´ıvel determinado com solu¸c˜ao c =

  ₋₃1

−5

  .

6_{No caso não-singular, uma variante desta factoriza¸cão LU é a chamada factoriza¸cão LDU , que se}

obt´em da outra escrevendo U como produto de uma matriz diagonal — onde os elementos diagonais s˜ao os pivots — e uma matriz triangular superior com os elementos diagonais iguais a 1. Exemplo:

· 2 3 4 11 ¸ = · 1 0 2 1 ¸ · 2 3 0 5 ¸ = · 1 0 2 1 ¸ · 2 0 0 5 ¸ · 1 3 2 0 1 ¸ .

(33)

Resta-nos agora resolver, por substitui¸c˜ao ascendente, o sistema triangular superior Ux = c:    x1 + x2 + 2x3 = 1 2x2 + x3 = −3 5x3 = −5 ⇐⇒    x1 = 4 x2 = −1 x3 = −1

A solu¸cão do sistema inicial Ax = b é então x =

  ₋₁4

−1

  .

Exemplo 2.8 Seja agora A = 

 2₄ ₁₂6 ₋₂2

−6 −12 −10



 , a matriz da matriz considerada no

Exemplo 2.6. Pretendemos resolver o sistema Ax = b, onde b =

  −10₂₂

58   .

Sabemos que P2,3A tem a decomposi¸c˜ao LU

P2,3A =   _{−3 1 0}1 0 0 2 0 1     2 6_{0 6 −4}2 0 0 −6   .

Para calcular o novo segundo membro c temos de resolver o sistema Lc = P2,3b. Ora

P2,3b =   −10₅₈ 22   , logo Lc = P2,3b ⇐⇒    c1 = −10 −3c1 + c2 = 58 2c1 + c3 = 22 ⇐⇒ c =   −10₂₈ 42   . Agora Ux = c ⇐⇒    2x1 + 6x2 + 2x3 = −10 6x2 − 4x3 = 28 − 6x3 = 42 ⇐⇒ x =   2₀ −7   .

A solu¸cão de Ax = b é então x =

  2₀

−7

  .

(34)

Exerc´ıcio 2.1 O objectivo deste exerc´ıcio é avaliar o custo computacional do método de elimina¸cão de Gauss. Seja dada uma matriz A n × n não-singular. Vai-se aplicar a A o método de elimina¸cão de Gauss com o objectivo de resolver o sistema Ax = b mediante a sua transforma¸cão num sistema triangular U x = c.

1. Quantas adi¸cões, multiplica¸cões e divisões é necessário efectuar para passar de A para

U ? (R.: n(n2₃−1),n(n2₃−1),n(n−1)₂ .)

2. E para passar de b para c? (R.: n(n−1)₂ ,n(n−1)₂ , 0.)

3. E para resolver o sistema U x = c? (R.: n(n−1)₂ ,n(n−1)₂ , n.)

Exerc´ıcio 2.2 Suponha que dispõe de um computador cujo processador consegue fazer, num segundo, 100000 opera¸cões (uma “opera¸cão” = uma adi¸cão + uma multiplica¸cão + uma divisão). Quanto tempo de cálculo do processador exigiria a resolu¸cão, pelo método de elimina¸cão de Gauss, de um sistema 100 × 100? E de um 1000 × 1000?

Passemos agora a sistemas com matrizes quaisquer. Vale a pena estudar separada-mente o caso dos sistemas homog´eneos, que, recorde-se, s˜ao sempre poss´ıveis.

Defini¸c˜ao 2.7 Sendo A ∈ Mm×n(R), o conjunto das solu¸c˜oes do sistema Ax = 0,

designado por N(A), diz-se o n´ucleo ou espa¸co nulo de A.

Algoritmo. Resolu¸c˜ao do sistema Ax = 0 com A m × n:

1o passo) Determina¸c˜ao da matriz em escada U. Seja car(A) = r.

2o passo) No sistema Ux = 0, que ´e equivalente ao primeiro, separam-se as inc´ognitas

em básicas (correspondentes às colunas com pivots, que são em número de r) e livres. Se não houver incógnitas livres, o sistema é determinado: só tem a solu¸cão nula.

3o passo) Para cada incógnita livre, dá-se o valor 1 a essa incógnita livre e 0 às restantes,

e resolve-se o sistema (com r equa¸cões) resultante. As n − r colunas n × 1 assim obtidas geram o conjunto N(A) das solu¸cões (isto é, qualquer solu¸cão é combina¸cão linear dessas n − r).

(35)

Teorema 2.4 Um sistema homogéneo com mais incógnitas do que equa¸cões é

indetermi-nado.

Demonstra¸c˜ao. Seja o sistema Ax = 0, onde A é m × n e m < n. Seja car(A) = r. Como r ≤ m (porque o número de pivots não pode exceder o número de linhas), tem-se

r < n e portanto há necessariamente incógnitas livres (em número de n − r).

Exemplo 2.9 Apliquemos este algoritmo à resolu¸cão do sistema homogéneo

A =   _{−2 −2 −4 −6}2 4 6 8 4 8 12 8       x1 x2 x3 x4     =   0₀ 0   .

Adicionando `a segunda e terceira linhas de A a primeira linha multiplicada por 1 e −2, respectivamente, obtemos a matriz em escada

U =   2 4 6_{0 2 2} 8₂ 0 0 0 −8   .

Tem-se car(A) = 3. As colunas de U com pivot correspondem `as inc´ognitas x1, x2 e x4.

Serão portanto estas as incógnitas básicas, ficando x3 como incógnita livre.

Dá-se o valor 1 à incógnita x3 e resolve-se, por substitui¸cão ascendente, o sistema

3 × 3 resultante:    2x1 + 4x2 + 8x4 = −6 2x2 + 2x4 = −2 − 8x4 = 0 ⇐⇒    x1 = −1 x2 = −1 x4 = 0 . Assim     −1 −1 1 0   

 será uma solu¸cão de Ax = 0 . As restantes solu¸cões serão combina¸cões

lineares desta, isto ´e,

N(A) =            −α −α α 0     : α ∈ R        .

Para o estudo de sistemas quaisquer, interessa o seguinte resultado, que diz que o conjunto completo das solu¸cões de um sistema poss´ıvel Ax = b se pode obter a partir de uma solu¸cão particular e do conjunto N(A) das solu¸cões do sistema homogéneo Ax = 0: