Informá(ca para as Ciências e Engenharias Versão : C (Engenharia Civil) Aula 6. Pedro Barahona 2016 / 17

Informá(ca para as Ciências e Engenharias

Versão : C

(Engenharia Civil)

Aula 6

Pedro Barahona 2016 / 17

Sumário

•  Representação de imagens num ecrã. §  Píxeis. Sistema RGB. •  Gráficos em Matlab. §  Gráficos de pontos e de linhas. §  Gráficos de barras. §  Gráficos de imagens. •  Cálculo de áreas pelo método de Monte Carlo. §  Números pseudo-aleatórios. •  Simulação de Modelos Discretos Exemplo: Incêndio numa floresta.

Cons(tuição do ecrã

•  Ecrã cons(tuído por uma matriz

de píxeis (picture elements).

•  Organizado em L linhas (por

exemplo, 768).

•  Cada linha tem C colunas (por

exemplo, 1024). Píxel(1,1) _Píxel(1,C) C colunas L lin has

Imagem é composta por píxeis

Píxeis formam letras e números [2]

Representação da cor [1]

l  Cor: cada píxel formado por 3

componentes primários.

l  RGB:

l  Red – vermelho;

l  Green – verde;

Representação da cor [2]

•  Cor de cada píxel codificada,

usualmente, em 3 bytes (24 bits); 1 byte por componente.

§  (red, green, blue)

•  Os três números representam a

contribuição de cada uma das cores primárias.

Exemplo:

•  O terno (255, 255, 0) resulta num

brilhante amarelo. http://en.wikipedia.org/wiki/RGB_color_model

R

G

B

(255,255,0)

Representação da cor – Exemplos

Cor representada

por 3 valores de 8

bits (True Color)

Controlador do

ecrã

Manipulação do ecrã (simplificado)

Píxel(1,1) _Píxel(1,C) Píxel(L,1) Píxel(L, C)

CPU

RAM vídeo (3 bytes cada píxel) CPU escreve bits na memória de vídeo Eletrónica atualiza os píxeis do ecrã 50/60 vezes por segundo

Sumário

•  Representação de imagens num ecrã. §  Píxeis. Sistema RGB. •  Gráficos em Matlab. §  Gráficos de pontos e de linhas. §  Gráficos de barras. §  Gráficos de imagens. •  Cálculo de áreas pelo método de Monte Carlo. §  Números pseudo-aleatórios. •  Simulação de Modelos Discretos Exemplo: Incêndio numa floresta.

Gráficos de linhas

1.  Preencher um vetor x com os valores das abcissas.

2.  Preencher um vetor y com os valores das ordenadas.

3.  Usar a função plot(x, y, cor) para traçar o gráfico, onde cor especifica a

cor a usar (por exemplo, ´r’, ‘b’, ‘g’, ‘c’, ‘y’, …)

§  Pode não usar o 3º argumento, usando a cor “por omissão” (ver

help plot).

>> X = [0, 1, 2, 3, 4, 5];

>> Y = [0, 0.5, 1, 0.5, 0, 0.5]; >> plot(X, Y, ’-b’)

Gráficos de Pontos

1.  Preencher um vetor x com os valores das abcissas.

2.  Preencher um vetor y com os valores das ordenadas.

3.  Usar a função plot(x, y, sym) para traçar o gráfico, em que sym

especifica o símbolo e a cor a usar (se não quiser a cor por omissão). •  Exemplos: ‘+’, ’*’, ’o’, ’+r’, ’*g’, etc. (ver help plot).

•  Nota: O símbolo ‘-’ corresponde à linha

>> X = [0, 1, 2, 3, 4, 5];

>> Y = [0, 0.5, 1, 0.5, 0, 0.5]; >> plot(X, Y, ’*’)

Gráficos de linhas / funções [1]

•  Nota: Relembrar que em Matlab os

dados são tratados como matrizes.

§  A função sin, chamada com uma matriz retorna o seno de cada elemento da matriz

§  A função sin, chamada com um vetor retorna o seno de cada elemento do vetor. >> X = 0: pi/4:2pi; >> Y = sin(X) 0.00 0.71 1.00 0.71 0.00 -0.71 -1.00 -0.71 -0.00 >> plot(X,Y)

Gráficos de linhas / funções [1]

•  Para melhorar a qualidade do gráfico usar mais pontos. >> X = 0: pi/16:2pi; >> Y = sin(X); >> plot(X,Y)

Gráficos de linhas / funções [1]

•  Pode fazer-se o gráfico de várias funções se se usar a instrução hold on •  Pode acrescentar-se uma legenda ao gráfico com o comando legend('sin', 'cos’); >> X = 0: pi/16:2pi; >> Y = sin(X); >> Z = cos(X); >> plot(X,Y,’r’); >> hold on; >> plot(X,Z,’g’); >> legend('sin', 'cos’);

Sumário

•  Representação de imagens num ecrã. §  Píxeis. Sistema RGB. •  Gráficos em Matlab. §  Gráficos de pontos e de linhas. §  Gráficos de barras. §  Gráficos de imagens. •  Cálculo de áreas pelo método de Monte Carlo. §  Números pseudo-aleatórios. •  Simulação de Modelos Discretos Exemplo: Incêndio numa floresta.

Gráficos de barras [1]

1.  Preencher um vetor x com os valores de cada barra.

2.  Usar a função bar(x) para traçar o gráfico.

§  Por omissão as categorias são enumeradas no eixo dos x

>> V = [10, 20, 15, 35, 5]; >> bar(V);

Gráficos de barras [2]

•  Pode-se melhorar o gráfico §  Alterarando o nome das categorias; e /ou §  Adicionando o ytulo e os nomes dos eixos. >> V = [10, 20, 15, 35, 5]; >> bar(V); >> set(gca, 'XTickLabel', {’’,’A’,’B’,’C’,’D’,’E’}); >> title(’Estatística’); >> ylabel(’Reprovação’); >> xlabel(’Disciplinas’);

Gráficos de barras [3]

•  Pode-se traçar mais do que uma barra em cada categoria usando uma matriz,

em que

§  cada linha tem os pontos de cada categoria.

§  Nota: Ver mais detalhes no manual ou com help bar

V = [10, 90 ; 20, 80 ; 15, 85 ; 35, 65 ; 5, 95]; >> bar(V); >> set(gca, 'XTickLabel', {’’,’A’,’B’,’C’,’D’,’E’}); >> xlabel(’Disciplinas’);

Sumário

•  Representação de imagens num ecrã. §  Píxeis. Sistema RGB. •  Gráficos em Matlab. §  Gráficos de pontos e de linhas. §  Gráficos de barras. §  Gráficos de imagens. •  Cálculo de áreas pelo método de Monte Carlo. §  Números pseudo-aleatórios. •  Simulação de Modelos Discretos Exemplo: Incêndio numa floresta.

Gráficos de imagens [1]

Para produzir um gráfico de uma imagem usar o seguinte procedimento:

1.  Preencher uma matriz M com um valor de 1 a n para cada ponto.

2.  Definir o mapa de cores usando a função

colormap( [cor₁ ; … ; cor_n] )

em que cor_i = R G B, são 3 reais entre 0 e 1, definindo a cor para o

valor i da matriz

•  Exemplo: A matriz [ 0 1 0; 1 0 0; 1 1 0 ] especifica que

cor₁ = verde; cor₂ = vermelho; cor₃ = amarelo

§  Para testar outras cores usar, por exemplo:

hjp://www.rapidtables.com/web/color/RGB_Color.htm

Gráficos de imagens [2]

>> V = [10, 20, 15, 35, 5];

>> imagem = [1 1 2 2 2 ; 1 3 3 2 2 ; 1 3 3 2 2 ; 1 1 2 2 2];

>> cores = [0 1 0 ; 1 0 0 ; 1 1 0]; % [1-green; 2-red; 3-yellow] >> colormap(cores); >> image(imagem); [ 1 1 2 2 2 ; 1 3 3 2 2 ; 1 3 3 2 2 ; 1 1 2 2 2 ];

Sumário

•  Representação de imagens num ecrã. §  Píxeis. Sistema RGB. •  Gráficos em Matlab. §  Gráficos de pontos e de linhas. §  Gráficos de barras. §  Gráficos de imagens. •  Cálculo de áreas pelo método de Monte Carlo. §  Números pseudo-aleatórios. •  Simulação de Modelos Discretos §  Exemplo: Incêndio numa floresta.

Métodos de Monte Carlo

•  Métodos de Monte Carlo:

§  Métodos usados para conceber algoritmos que recorrem a

números (pseudo-)aleatórios.

•  Números pseudo-aleatórios:

§  Uma sequência de números pseudo-aleatórios tem uma aparência

aleatória (aparentemente, sem padrão), mas é previsível e reproduyvel.

•  Algumas aplicações:

§  Simulações de fenómenos zsicos, químicos, biológicos,

Monte Carlo – aplicações

Algumas aplicações do cálculo de áreas: •  Es(mar o valor de um número irracional (p.e.

π

). •  Es(mar a área de uma região definida por várias funções ou por funções com muitas variáveis. •  Es(mar o valor de um integral. Exemplo:

e

−x

3

0

1

∫

dx

R

0 0.5 1 1.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 10 Abril 2017 6: Imagens e Gráficos em Matlab; Método Monte-Carlo 27

Monte Carlo – Cálculo de áreas

Método para calcular a área A_R da região R: 1.  Definir uma região S tal que:

a)  S contém R;

b)  a área de S (A_S) é conhecida (e fácil de calcular).

2.  Gerar n pontos pseudo-aleatórios de S e contar o número k de

pontos que quantos pertencem a R. 3.  O valor es(mado para A_R é proporcional ao número de pontos que pertemcem a R, pelo que se pode es(mar: A_R = ( k / n ) × A_S. •  Nota: Os resultados são melhores quando: §  S é uma região contendo R, tão “estritamente ” quanto possível; e

Números pseudo-aleatórios

•  A função rand retorna números pseudo-aleatórios uniformemente

distribuídos no intervalo ]0, 1[.

•  Para obter um número entre:

§  ]0, 1[ rand ou rand( )

§  ]0, b[ (com 0 < b) b * rand

§  ]a, b[ (com a < b) a + (b − a) * rand

•  Para obter uma matriz de L×C com elementos entre:

Problema da fa(a de um círculo

•  Faça um programa que, dado o raio de um círculo e duas abcissas,

es0ma a área da respe(va fa(a ver(cal do círculo e representa

graficamente a es(ma(va.

Resolução – Problema [1]

1.  Compreender totalmente o problema.

•  Pretende-se es(mar a área da fa(a ver(cal do círculo usando o

método de Monte Carlo.

Monte Carlo – Es(ma(va da área

Algoritmo:

•  A região S é [0, 2r] × [0, 2r].

•  A área de S é (2r)2.

•  Geram-se n pontos uniformemente

distribuídos em S.

•  Contam-se os k pontos pertencendo a R.

•  O valor es(mado para a área de R é

(k / n) × (2r)2_.

•  Para usar este algoritmo, como se

contam os pontos? §  Geram-se n pontos x, y tais que

x:

x ≥ A e x ≤ B

y:

y ≥ 0 e y ≤ 2r

2r

2r

r

r

0

0

R

S

Resolução – Problema [2]

2.  Caracterizar o problema. • Problema: Es(ma(va da área de uma fa(a ver(cal de um círculo com representação gráfica. • Entrada: (real) raio, (real) xEsq, (real) xDir, (inteiro) número de pontos a gerar. • Saída: (real) es(ma(va da área da fa(a do círculo eé gerado um gráfico. 3.  Generalizar o problema (sempre que for possível). •  Não vamos generalizar este problema.

Representação gráfica

2r

2r

r

r

0

0

R

S

Resolução – Algoritmo [1]

4.  Desenhar o algoritmo para resolver o problema. a)  Conceber o algoritmo, decompondo o problema em sub-problemas. •  Como es(mar a área e representar a es(ma(va? §  Aplicar o método de Monte Carlo, «  computando uma es(ma(va da área; e «  devolvendo os pontos gerados que ficam dentro e fora da fa(a. §  Desenhar o gráfico com os pontos gerados dentro e fora da fa(a.

Resolução – Algoritmo [2]

b)  Iden(ficar, caracterizar e generalizar cada sub-problema. • Problema: Es(ma(va da área de uma fa(a ver(cal de um círculo. • Entrada: (real) raio, (real) xEsq, (real) xDir, (inteiro) número de pontos a gerar. • Saída: (real) es(ma(va da área da fa(a do círculo, (matriz) pontos gerados dentro da fa(a, (matriz) pontos gerados fora da fa(a. Nota: Temos aqui uma situação em que a função não retorna um só valor

Resolução – Algoritmo [3]

b)  Iden(ficar, caracterizar e generalizar cada sub-problema. • Problema: Desenho de dois conjuntos de pontos. • Entrada: (matriz) pontos do conjunto 1, (matriz) pontos do conjunto 2. • Saída: nenhuma. É gerado um gráfico.

Nota: Temos aqui uma situação em que a função não retorna nenhum

valor. Neste caso a assinatura da função não contem nenhuma variável de retorno.

Valores retornados por funções

•  Em Matlab, as assinaturas das funções permitem especificar funções que

retornam um número variado de resultados :

•  function res = nomeFunção( parâmetros )

§  Retorno de um valor de qualquer (po (escalar, vetor, matriz, etc.)

•  function [r₁, r₂, ..., r_n] = nomeFunção( parâmetros )

§  Retorno dos valores r₁, r₂, ..., r_n, possivelmente de (pos diferentes. Nota: [r₁, r₂, ..., r_n] não é um vetor; é uma “lista” de valores.

Resolução – Algoritmo [4]

c)  Conceber o algoritmo, assumindo que os sub-problemas estão

resolvidos.

•  Es(ma(va da área com representação gráfica (raio, xEsq, xDir,

numPts):

§  Sub-problema 1:

§  [area, ptsDentro, ptsFora] ç areaFa(aCirc(raio, xEsq, xDir, numPts)

§  Sub-problema 2:

Resolução – Algoritmo [5]

5.  Para cada sub-problema, desenhar o algoritmo para o resolver.

Sub-problema 2: desenha2ConjPts( conj1, conj2 ): desenha os pontos na matriz conj1 na mesma figura, desenha os pontos na matriz conj2,

Resolução – Algoritmo [6]

5.  Para cada sub-problema, desenhar o algoritmo para o resolver. Sub-problema 1: areaFa(aCirc( raio, xEsq, xDir, numPts ): numPtsDentro ç 0 ; ptsDentro ç [] ; ptsFora ç []; Para i de 1 a numPts Gerar ponto aleatório (x,y) em [0, 2*raio]×[0, 2*raio] Se (x,y) entre as retas e dentro do círculo então

numPtsDentro ç numPtsDentro + 1 Acrescentar (x,y) à matriz ptsDentro senão Acrescentar (x,y) à matriz ptsFora retornar: numPtsDentro / numPts * (2*raio)^2, ptsDentro, ptsFora

Resolução – Programa [1]

6.  Para cada sub-problema (começando pelos mais simples), implementar o respec(vo algoritmo e testar o “sub-programa”.

• Problema: Desenho de dois conjuntos de pontos.

• Entrada: (matriz) pontos do conjunto 1, (matriz) pontos do

conjunto 2.

Função desenha2ConjPts

function desenha2ConjPts(conj1, conj2)!

% desenha2ConjPts(conj1, conj2)!

% Desenha dois conjuntos de pontos com cores diferentes.
 % As matrizes conj1 e conj2 tem: 


% na primeira coluna, as abcissas dos pontos; 
 % na segunda coluna, as ordenadas dos pontos.! clf; % apaga graficos das janelas abertas!

plot(conj1(:,1),conj1(:,2),’.r’)! hold on;!

plot(conj2(:, 1), conj2(:, 2), ’.b');!

end!

•  O 2º sub-problema (mais simples) usa os comandos e funções gráficas

Resolução – Programa [2]

6.  Para cada sub-problema (começando pelos mais simples), implementar o respec(vo algoritmo e testar o “sub-programa”.

• Problema: Es(ma(va da área de uma fa(a ver(cal de um círculo. • Entrada: (real) raio, (real) xEsq, (real) xDir, (inteiro) número de pontos a gerar. • Saída: (real) es(ma(va da área da fa(a do círculo, (matriz) pontos gerados dentro da fa(a, (matriz) pontos gerados fora da fa(a.

Função areaFa(aCirc [1]

function [area, ptsDentro, ptsFora] = !

areaFatiaCirc(raio, xEsq, xDir, numPts)!

% [area, ptsDentro, ptsFora] = !

% areaFatiaCirc(raio, xEsq, xDir, numPts)! % Desenha dois conjuntos de pontos com cores diferentes.!

% Estima a area de uma fatia vertical de um circulo (com o raio dado)! % usando o metodo de Monte Carlo.!

% O circulo tem centro no ponto (raio, raio). !

% A fatia e' definida pelos pontos do circulo cujas abcissas ! % estao entre xEsq e xDir (com xEsq < xDir).!

% O inteiro numPts e’ o numero de pontos gerados.!

% As matrizes ptsDentro e ptsFora, com duas colunas, !

% tem os pontos gerados que ficam dentro e fora da fatia.!

...!

•  Para o 1º sub-problema (mais complexo ) começamos pela sua

Função areaFa(aCirc [2]

function [area, ptsDentro, ptsFora] = ...!

areaFatiaCirc(raio, xEsq, xDir, numPts)!

% ...!

numPtsDentro = 0;! ptsDentro = [ ]; ! ptsFora = [ ]; !

areaFora = (2 * raio) * (xDir – xEsq);!

for i = 1 : numPts % conta os pontos e atualiza as matrizes!

... !

end!

area = (numPtsDentro / numPts) * areaFora;!

•  E agora o código

Função areaFa(aCirc [3]

function [area, ptsDentro, ptsFora] =

areaFatiaCirc(raio, xEsq, xDir, numPts)!

...

for i = 1 : numPts % conta os pontos e atualiza as matrizes

x = xEsq + (xDir - xEsq) * rand;

y = 2 * raio * rand;

if (x − raio)^2 + (y − raio)^2 <= raio^2 % conta

numPtsDentro = numPtsDentro + 1;

ptsDentro = [ptsDentro ; x, y];

else

ptsFora = [ptsFora ; x, y];

end end ... end •  E agora o ciclo FOR 2r 2r r 0 R S xEsq xDir

Resolução – Programa [3]

7.  Implementar o algoritmo que resolve o problema e testar o

programa pedido. • Problema: Es(ma(va da área de uma fa(a ver(cal de um círculo com representação gráfica. • Entrada: (real) raio, (real) xEsq, (real) xDir, (inteiro) número de pontos a gerar. • Saída: (real) es(ma(va da área da fa(a do círculo. É gerado um gráfico.

Função es(maEDesenhaFa(aCirc

function area = estimaEDesenhaFatiaCirc(raio, xEsq, xDir, numPts)

% area = estimaEDesenhaFatiaCirc(raio, xEsq, xDir, numPts) % Estima a area de uma fatia vertical de um circulo

% (com o raio dado), usando o metodo de Monte Carlo, e % apresenta a estimativa graficamente.

% O centro do circulo e' (raio, raio). A fatia e' definida pelos % pontos do circulo cujas abcissas estao entre xEsq e xDir

% (com xEsq < xDir).

% O inteiro numPts e’ o numero de pontos gerados.

[area, ptsDentro, ptsFora] = areaFatiaCirc(raio, ...

xEsq, xDir, numPts); % ... permite a mudança de linha

desenha2ConjPts(ptsDentro, ptsFora);

Alguns Testes [1]

>> estimaEDesenhaFatiaCirc(3, 2, 5, 5000)

Alguns Testes [1]

>> estimaEDesenhaFatiaCirc(3, 2, 5, 5000)

Alguns Testes [1]

>> estimaEDesenhaFatiaCirc(3, 2, 5, 100000)

Figura com (3, 0, 6, 100000)

>> pi9 = estimaEDesenhaFatiaCirc(3, 0, 6, 100000) pi9 = 28.281

>> pi9/ 9 ans = 3.1423

Problema da es(ma(va de pi

•  Faça um programa que es0me o valor de

π

(pi) •  Sugestão: use o método de Monte Carlo para efetuar a es(ma(va da área de um círculo: § 

π

= A/r

2

§ 

para r=1 temos: π = A

Resolução – Problema [1]

1.  Compreender totalmente o problema. •  Pretende-se es(mar o valor de π (pi) •  Sugestão: recorre-se à es(ma(va da área de um círculo de raio 1 pelo método de Monte Carlo. 2.  Caracterizar o problema. • Problema: Es(ma(va de π . • Entrada: (inteiro) número de pontos a gerar. • Saída: (real) es(ma(va de π. 2.  Generalizar o problema (sempre que for possível). §  Não é possível generalizar este problema.

Resolução – Problema[2]

4.  Desenhar o algoritmo para resolver o problema.

a)  Conceber o algoritmo, decompondo o problema em sub-problemas.

•  Como es(mar o valor da área do círculo?

§  Já resolvido anteriormente, por exemplo:

[area, ptsDentro, ptsFora] = areaFatiaCirc(1, 0, 1, numPts)

§  Es(ma(va de PI = area

5.  Para cada sub-problema, desenhar o algoritmo para o resolver. §  Já resolvido

6.  Para cada sub-problema , implementar o respec(vo algoritmo ...

•  A função é basicamente uma chamada à função que calcula a área de

um círculo de raio 1, centrado no ponto (1,1), entre as abcissas 0 e 2.

Função es(maPi

function estPi = estimaPi(numPts)

% area = estimaPi(numPts)

% % Calcula uma estimativa de pi recorrendo ao metodo % de Monte Carlo. O inteiro numPts e’ o numero de pontos % gerados aleatoriamente para estimar a area do circulo

[area, ptsDentro, ptsFora] = areaFatiaCirc(1,0,2,numPts);

estPi = area;

Função es(maPi

•

 

Como visto anteriormente, a qualidade da es(ma(va do valor de

π

depende do número de pontos u(lizado.

3.05 3.10 3.15 3.20 3.25 3.30 3.35 3.40 1 2 3 4 5 6 7

Sumário

•  Representação de imagens num ecrã. §  Píxeis. Sistema RGB. •  Gráficos em Matlab. §  Gráficos de pontos e de linhas. §  Gráficos de barras. §  Gráficos de imagens. •  Cálculo de áreas pelo método de Monte Carlo. §  Números pseudo-aleatórios. •  Simulação de Modelos Discretos §  Exemplo: Incêndio numa floresta.

Problema Incêndio em Floresta [1]

•  Pretende-se simular um incêndio numa floresta, segundo o modelo de

simulação a seguir apresentado:

•  A floresta é composta por um conjunto de árvores dispostas numa grelha

retangular.

•  Em cada instante, cada árvore está num de três estados:

§  Viva, representado por 1 (e desenhado a verde);

§  A arder, representado por 2 (e desenhado a vermelho);

Problema Incêndio em Floresta [2]

•  Simula-se o incêndio em passos discretos, onde as árvores transitam

de estado simultaneamente a cada passo.

•  O novo estado de cada árvore depende do seu estado atual, do

estado das quatro árvores vizinhas (nas direções Norte, Sul, Este e Oeste) e de uma probabilidade...

•  As árvores da fronteira (da primeira / úl(ma linha / coluna da grelha

Problema Incêndio em Floresta [3]

Regras de propagação do incêndio (para o estado seguinte): 1.  Se uma árvore está viva e: a)  alguma árvore vizinha está a arder, a árvore fica a arder; b)  nenhuma árvore vizinha está a arder, então: •  a árvore fica a arder com probabilidade pbbArder §  (ex. devido a faúlhas); •  a árvore con(nua viva com probabilidade 1. 2.  Se a árvore está a arder, morre.

3.  Se a árvore está morta, permanece morta (já não volta a mudar de

estado).

Resolução – Problema [1]

1.  Compreender totalmente o problema. 2.  Caracterizar o problema. • Problema: Incêndio em floresta.. • Entrada: (matriz) estadoInicial, (real) pbbArder, (inteiro) numPassos. • Saída: nenhuma. São gerados numPassos + 1 gráficos. 3.  Generalizar o problema (sempre que for possível). §  Não vamos generalizar mais este problema.

Resolução – Algoritmo [1]

1.  Desenhar o estado inicial da floresta.

desenhaFloresta(estado)

2.  Em cada um dos numPassos passos:

a)  Calcular o novo estado da floresta.

novoEstado = estadoFloresta(estado, pbbArder)

b)  Desenhar o novo estado da floresta.

Resolução – Problema [2]

b)  Iden(ficar, caracterizar e generalizar cada sub-problema. • Problema: Desenho da floresta. • Entrada: (matriz) estado da floresta. • Saída: nenhuma. É gerado um gráfico.

Resolução – Problema [3]

b)  Iden(ficar, caracterizar e generalizar cada sub-problema. • Problema: Cálculo do próximo estado da floresta. • Entrada: (matriz) estado atual, (real) pbbArder. • Saída: (matriz) novoEstado da floresta.

Resolução – Algoritmo [2]

novoEstado = estadoFloresta( estado, pbbArder )

1.  Criar a matriz novoEstado.

Como o tamanho de novoEstado é o tamanho de estado e as árvores da fronteira não mudam de estado: novoEstado ç estado. 2.  Para todas as árvores do interior de novoEstado: a)  Calcular o novo estado de cada árvore: Criamos a função estadoArvore que, dado o estado da árvore (arv), o estado das 4 vizinhas (v1, v2, v3, v4) e a probabilidade de arder, calcula o novo estado: res = estadoArvore(arv, v1, v2, v3, v4, pbbArder) b)  Guardar o novo estado da árvore na matriz novoEstado.

Resolução – Problema [4]

b)  Iden(ficar, caracterizar e generalizar cada sub-problema. • Problema: Cálculo do próximo estado da árvore. • Entrada: (inteiro) arvore, (inteiro) viz1, (inteiro) viz2, (inteiro) viz3, (inteiro) viz4, (real) pbbArder. • Saída: (inteiro) novoEstado da árvore.

Resolução – Algoritmo [3]

novoEstado = estadoArvore( arv, v1, v2, v3, v4, pbbArder)

1.  Testar em que estado está a árvore (arv pode valer 1, 2 ou 3) e aplicar

as regras de transição desse estado.

Problema: Como é que se programa a seguinte funcionalidade? As instruçõesA são executadas com probabilidade p e

as instruçõesB são executadas com probabilidade 1 − p.

Solução: a)  Gera-se um número pseudo-aleatório entre 0 e 1. b)  Se esse número for inferior ou igual a p, executam-se as instruçõesA senão,

Resolução – Programa [1]

6.  Para cada sub-problema (começando pelos mais simples), implementar o respec(vo algoritmo e testar o “sub-programa”.

Sub-problemas a implementar:

•  func(on desenhaFloresta( floresta )

•  func(on novoEstado = estadoArvore(arv, viz1, viz2, viz3, viz4, pbbArder)

Função desenhaFloresta

6.  Para cada sub-problema (começando pelos mais simples),

implementar o respe(vo algoritmo e testar o “sub-programa”.

• Problema: Desenho da floresta.

• Entrada: (matriz) estado da floresta.

• Saída: nenhuma. É gerado um gráfico.

function desenhaFloresta(floresta)

% desenhaFloresta(floresta)

% Produz um grafico retangular com a representacao da % matriz floresta.

% Cada celula da grelha corresponde a um elemento da % matriz. A cor da celula e’:

% − (0 1 0) verde: se o elemento e’ 1 (a arvore esta’ viva); % − (1 0 0) vermelha se o elemento e’ 2 (a arvore a arder); % − 80 0 0) preta se o elemento e’ 3 (a arvore esta’ morta).

mapaCores = [ 0 1 0; 1 0 0; 0 0 0 ]; colormap(mapaCores);

Função estadoArvore [1]

6.  Para cada sub-problema (começando pelos mais simples), implementar o respec(vo algoritmo e testar o “sub-programa”.

• Problema: Cálculo do próximo estado da árvore. • Entrada: (inteiro) arvore, (inteiro) viz1, (inteiro) viz2, (inteiro) viz3, (inteiro) viz4, (real) pbbArder. • Saída: (inteiro) novoEstado da árvore. •  Documentação da função

function novoEstado = estadoArvore(arv,viz1,viz2,viz3,viz4,pbbArder)

% novoEstado = estadoArvore(arv, viz1, viz2, viz3, viz4, pbbArder) % Calcula o novo estado da arvore com base:

% − no valor arv, que tem o estado atual da arvore % (1 significa “viva”, 2 “a arder” e 3 “morta”);

% − nos valores viz1, viz2, viz3 e viz4, que sao os estados das % arvores vizinhas;

Função estadoArvore [2]

• Problema: Cálculo do próximo estado da árvore.

•  Documentação da função (cont.)

function novoEstado = estadoArvore(arv,viz1,viz2,viz3,viz4,pbbArder)

% ...

% Se a arvore esta' viva e:

% − alguma arvore vizinha esta' a arder, a arvore fica a arder; % − nenhuma arvore vizinha esta' a arder,

% a probabilidade da arvore ficar a arder e' pbbArder e

% a probabilidade da arvore continuar viva e' 1 − pbbArder. % Se a arvore esta' a arder, morre.

% Se a arvore esta' morta, mantem-se nesse estado. ...

Função estadoArvore [3]

• Problema: Cálculo do próximo estado da árvore. •  Caso em que a árvore não está viva

function novoEstado = estadoArvore(arv,viz1,viz2,viz3,viz4,pbbArder)

% ...

if arv == 1 % se a arvore estiver viva

...

else % A arvore esta' a arder ou está morta.

% Em qualquer caso, fica morta.

novoEstado = 3;

end

Números pseudo-aleatórios

Para o caso em que a árvore está viva relembrar

•  A função rand retorna números pseudo-aleatórios uniformemente

distribuídos no intervalo ]0, 1[.

•  Para obter um número entre:

§  ]0, 1[ rand ou rand( )

§  ]0, b[ (com 0 < b) b * rand

§  ]a, b[ (com a < b) a + (b − a) * rand

•  Para obter uma matriz de L×C com elementos entre:

Função estadoArvore [4]

• Problema: Cálculo do próximo estado da árvore.

•  Caso em que a árvore está viva

function novoEstado = estadoArvore(arv,viz1,viz2,viz3,viz4,pbbArder)

...

if arv == 1 % se a arvore estiver viva

if viz1 == 2 || viz2 == 2 || viz3 == 2 || viz4 == 2

% Com alguma arvore vizinha a arder, a arvore fica a arder.

novoEstado = 2;

elseif rand <= pbbArder

% A arvore fica a arder com probabilidade pbbArder.

novoEstado = 2;

else

% A arvore fica viva com probabilidade 1 – pbbArder.

Função estadoFloresta [1]

6.  Para cada sub-problema (começando pelos mais simples),

implementar o respe(vo algoritmo e testar o “sub-programa”.

• Problema: Cálculo do próximo estado da floresta. • Entrada: (matriz) estado, (real) pbbArder. • Saída: (matriz) novoEstado da floresta. •  Documentação da função (cont.)

function novoEstado = estadoFloresta( estado, pbbArder)

% novoEstado = estadoFloresta(estado, pbbArder) % Calcula o novo estado da floresta com base:

% − na matriz estado, que tem o estado atual da floresta; % − no valor pbbArder, que e’ a probabilidade de uma arvore % viva sem vizinhas a arder ficar a arder.

% As arvores da fronteira (da primeira/ultima linha/coluna da % matriz estado) nao mudam de estado.

Função estadoFloresta [2]

•  E o código para obter o novo estado •  Tendo em atenção que a fronteira não é alterada

function novoEstado = estadoFloresta( estado, pbbArder)

% ...

numLinhas = size(estado, 1); numColunas = size(estado, 2); novoEstado = estado;

% A fronteira nao e' alterada.

for i = 2 : numLinhas − 1

for j = 2 : numColunas – 1

% Calcula o novo estado da arvore em (i, j)

... end end

Função estadoFloresta [3]

•  E o código para obter o novo estado

•  Actualizando o estado de cada árvore do “interior”

function novoEstado = estadoFloresta( estado, pbbArder)

% ...

for i = 2 : numLinhas − 1

for j = 2 : numColunas – 1

% Calcula o novo estado da arvore em (i, j)

aArvore = estado(i, j);

vizinha1 = estado(i−1, j);

vizinha2 = estado(i+1, j);

vizinha3 = estado(i, j−1);

vizinha4 = estado(i, j+1);

novoEstado(i,j) = estadoArvore(aArvore, vizinha1, …

vizinha2, vizinha3, vizinha4, pbbArder);

end end

... significa :

Função incendioFloresta [1]

7.  Implementar o algoritmo que resolve o problema e testar o programa pedido.

• Problema: Incêndio em floresta.

• Entrada: (matriz) estadoInicial, (real) pbbArder, (inteiro) numPassos. • Saída: nenhuma. São gerados numPassos + 1 gráficos.

function incendioFloresta( estadoInicial, pbbArder, numPassos )

% % incendioFloresta(estadoInicial, pbbArder, numPassos) % Simula o estado de um conjunto de arvores dispostas numa % grelha rectangular.

% Em cada instante, cada arvore esta' num de tres estados: % 1 − viva (desenhado a verde);

% 2 − a arder (desenhado a vermelho); % 3 − morta (desenhado a preto).

% A simulacao desenha o estado da floresta no estadoInicial e % no fim de cada passo. O numero de passos e' numPassos.

Função incendioFloresta [2]

• Problema: Incêndio em floresta. • Entrada: (matriz) estadoInicial, (real) pbbArder, (inteiro) numPassos. • Saída: nenhuma. São gerados numPassos + 1 gráficos. •  Documentação da função (cont.)

function incendioFloresta( estadoInicial, pbbArder, numPassos )

% As arvores transitam de estado simultaneamente.

% O novo estado depende do estado da arvore, do estado das % quatro arvores vizinhas (direcoes Norte, Sul, Este e Oeste) % e do valor de pbbArder.

% Se a arvore esta' viva e:

% − alguma arvore vizinha esta' a arder, a arvore fica a arder; % − nenhuma arvore vizinha esta' a arder,

% a probabilidade da arvore ficar a arder e' pbbArder e % Se a arvore esta' a arder, morre.

% Se a arvore esta' morta, mantem-se nesse estado.

Função incendioFloresta [3]

• Entrada: (matriz) estadoInicial, (real) pbbArder, (inteiro) numPassos. • Saída: nenhuma. São gerados numPassos + 1 gráficos. •  E agora o código •  Nota: A função não retorna qualquer valor. Apenas produz várias figuras.

function incendioFloresta( estadoInicial, pbbArder, numPassos )

% ...

estado = estadoInicial;

figure(1); % criação da figura nº 1

desenhaFloresta(estado); for i = 1 : numPassos

estado = estadoFloresta(estado, pbbArder);

figure(i+1); % criação da figura nº i+1

Execução de incendioFloresta [1]

>> floresta = ones(20, 20);

>> floresta(10, 10) = 2; % início do incêndio

>> incendioFloresta(floresta, 0.001, 9)

Execução de incendioFloresta [2]

F 4

F 6

F 5

Execução de incendioFloresta [3]

F 7

F 8

F 9

Para Estudar esta Aula

•  Manual Octave §  Capítulo 15, plo‡ng •  MATLAB plo‡ng func(ons §  hjp://www.mathworks.com/help/matlab/crea(ng_plots/using-high-level-plo‡ng-func(ons.html •  Método Monte Carlo (informal): §  hjp://en.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo_method