Guia Curricular. Bibliografia. Mecânica Geral 1 Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 1

1

Ementa

Sistemas de forças aplicadas equivalentes. Equilíbrio da partícula. Equilíbrio de corpos rígidos. Centróide e centro de gravidade. Carregamento distribuído.

Guia Curricular

1 Introdução

1.1. VETORES – DEFINIÇÃO E OPERAÇÕES. 1.2. VERSORES. NORMALIZAÇÃO.

1.3. DECOMPOSIÇÃO DE VETORES. 1.4. SISTEMAS DE UNIDADES

2 EQUILÍBRIO DA PARTÍCULA

2.1. CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO. 2.2. DIAGRAMA DE CORPO LIVRE 2.3. SISTEMAS DE FORÇAS COPLANARES.

2.4. SISTEMAS DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS.

3RESULTANTES DE UM SISTEMA DE FORÇAS.

3.1. MOMENTO DE UMA FORÇA. FORMULAÇÕES ESCALAR E VETORIAL. 3.2. O PRINCÍPIO DOS MOMENTOS. 3.3. BINÁRIOS.

3.4. REDUÇÃO DE UM CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO SIMPLES.

4.EQUILÍBRIO DOS CORPOS RÍGIDOS

4.1. CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO. 4.2. DIAGRAMAS DE CORPO LIVRE. 4.3. EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO.



Bibliografia

 BIBLIOGRAFIA Básica

1. BEER, F. P.; JOHNSTON JUNIOR, E. R.

Mecânica vetorial para engenheiros:

cinemática e dinâmica 5ª ed. 2v. São Paulo: Makron, 1994.

2. HIBBELER, R. C. Dinâmica: Mecânica para

Engenharia. 8.ed. Rio de Janeiro Prentice Hall

Brasil, 2004.

3. KRAIGE,L.G.;MERIAN,J.L. Mecânica:

dinâmica. Rio de Janeiro: LTC,2004.

4. FRANÇA, L.N.F.;MATSUMURA,A.Z. Mecânica

Geral.Edgar Blucher, 2005.

5. GERE, J. Mecânica dos materiais. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003

6. KAMINSKI, P.C. Mecânica geral para engenheiros. Edgar Blucher, 2000.

7. SEARS,F.;YOUNG H. D. Física. vol.1, Mecânica. Addison Wesley, 2008.

2

1 Introdução 1.1. VETORES – DEFINIÇÃO E OPERAÇÕES. 1.2. VERSORES. NORMALIZAÇÃO. 1.3. DECOMPOSIÇÃO DE VETORES. 1.4. SISTEMAS DE UNIDADES

Norma ou módulo de um vetor

A norma ou módulo de um vetor

v



( , , )

x y z

, denotado por

v

ou

v

é definida por:

2 2 2

v



x



y



z

z z v

v



( , , )

x y z

y y 0 x x  Normalização de um vetor:

Dado um vetor

u



qualquer, o vetor de módulo 1 que aponta na mesma direção e sentido de

u



é dado por:

u

u

n

_





ˆ

u



nˆ

Ou: 2 2 2

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

u u u u u u

x i

y j

z k

n

x

y

z











ˆ

ˆ

ˆ

ˆ cos

cos

cos

n





 

i



 

j





k

Dessa relação, obtém-se:

2 2 2

cos





cos





cos





1

 Importante:



v



é um vetor, por tanto possui módulo

direção e sentido.



v



é o módulo do vetor

v



, sendo portanto

um número.

Determinação de forças

Para determinar uma força no espaço R3 devemos:

1. Localizar o ponto de aplicação A. 2. Encontrar o vetor na direção da

força.

AB

 

B

A

3. Normalizar o vetor.

ˆ

_AB

AB

n

AB



4. Encontrar a força:

ˆ

AB AB ÂB

F



F



n

Vetor Unitário e Versores.

Um vetor unitário é aquele que possui norma ou módulo 1:

1

v



Dado um vetor

v



( , , )

x y z

, para encontrarmos o vetor unitário de mesma direção de

v

, denomina-se versor de

v

. Representaremos o versor de

v

por

ˆv

:

ˆ

v

v

v



O versor é um vetor unitário, pois:

1

ˆ

v

1

v

v

v

v









Chamamos de base no espaço R3 um conjunto de três vetores linearmente independente (LI), ou seja, nenhum deles pode ser obtido por uma combinação linear dos outros dois.



v v v

1

,

2

,

3







Um caso particular e de interesse na Geometria são as bases em que os vetores são unitários e perpendiculares entre si. Essas bases denominam-se bases canônicas. Dizemos que tais vetores são ortonormais.

No espaço R3, a base canônica é representada por:

 

_{i j k}

ˆ ˆ

_{, ,}

ˆ





Onde:



1

,

0

,

0



ˆ

_

i

3



0

,

1

,

0



ˆ

_

j



0

,

0

,

1



ˆ

_

k

Definido os versores, podemos escrever um vetor

v



( , , )

x y z

como sendo:

k

v

j

v

i

v

v



x



ˆ



y



ˆ



z



ˆ



 Produto Escalar entre dois vetores: Definição: O produto escalar dos vetores

ˆ

ˆ

ˆ

u u u

u

     

x i

y

j

z k

ˆ

ˆ

ˆ

v v v

v

     

x i

y

j

z k

representado por

u v



e é dado por:

u v u v u v

u v

 

x

 

x

y

  

y

z

z

Propriedades do produto escalar: i.

u v

  

v u

ii.

u

 



v

w



   

u v

u w

iii.





u v



  





u

  

v

u

 



v

iv.

u u

   

0

u

0 e

u u

   

0

u

0

v.

u u

 

u

2 Observações:

1.

u u



é chamado de quadrado escalar do vetor

u



2.



u



v



2



u

2



2

u v

 

v

2 3.



u v

   

 

u v



u

2



v

2

Definição Geométrica do produto escalar: Dados dois vetores

u

e

v

e o ângulo  entre eles definimos o produto escalar como sendo:

cos

u v

 

u v



Aplicando a Lei dos cossenos:

2 2 2

cos

2

v

u

v

u

v u







 

2 2 2

2

cos

v



u



v



u

 

v u





Utilizando a propriedade 2:





2 2 2

2

u v





u



u v

 

v

2 2 2 2

2

2

cos

u



u v

 

v



v



u

 

v u





2

u v

2

v u

cos



    



cos

u v

 

v u





Ângulos diretores e cossenos diretores de

um vetor.

Dado um vetor

u

     

x i

_u

ˆ

y

_u

ˆ

j

z k

_u

ˆ

não nulo chama-se ângulo diretor aos ângulos que o vetor

u

forma com os versores

i j k

ˆ ˆ

, ,

ˆ

.



v



u

y

x

z

4

 Determinação dos ângulos α, , :

cos

x

u

arccos

x

u

u

u





 







_





_





cos

y

u

arccos

y

u

u

u





 





_

_



_

_





cos

z

u

arccos

z

u

u

u





 







_





_





 Ângulo entre dois vetores. Dados dois vetores:

ˆ

ˆ

ˆ

u u u

u

     

x i

y

j

z k

ˆ

ˆ

ˆ

v v v

v

     

x i

y

j

z k

Podemos encontrar o ângulo entre os vetores por meio da equação:

cos

u v

x x

u v

y y

u v

z z

u v









arccos

u v

x x

u v

y y

u v

z z

u v









_









_





Projeção de um vetor sobre outro. Dados dois vetores:

ˆ

ˆ

ˆ

u u u

u

     

x i

y

j

z k

ˆ

ˆ

ˆ

v v v

v

     

x i

y

j

z k

e o ângulo  entre eles, chama-se de projeção do vetor

u

sobre a direção do vetor

v

o vetor dado por:

2 v

u v

proj u

v

v





z y x

u



z y x



u

x y z



zu

u

yu xu

v

5

Interpretação Geométrica do produto escalar de dois vetores.

Considerando o vetor

v

um vetor unitário (com norma 1,

v



1

), podemos fazer:

2 ˆ 1

1

v v

u v

v

proj u

v

u v

v

v

v





 







ˆ

v

proj u



u v v



Portanto, se tomarmos agora o módulo do vetor projeção, teremos:

ˆ

v v

proj u

  

u v

v



proj u

 

u v

Ou seja, o comprimento do vetor projeção de

u

sobre a direção do vetor

v

sendo o vetor

v

unitário, é igual ao módulo do produto escalar de

u

com o vetor

v

.

Aplicações do Produto escalar na

Física:

Um conceito importante utilizado na Física envolvendo a análise vetorial é o produto escalar de dois vetores.

Considere um corpo que se desloca a uma distância r ao longo de uma trajetória descrita pela curva C. Em cada instante deste deslocamento há uma força

F

atuando sobre o corpo de massa m. Definimos o trabalho da força

F

ao longo da curva C pela integral de linha:

C

W





F dl



Aqui

dl

aponta no sentido da orientação da curva, tem direção tangente à ela e representa um deslocamento infinitesimal do corpo de massa m.

No caso da força ser constante:

cos

W

  

F r

W

  

F r



Onde

r

é o vetor que possui origem em O e termina no ponto de aplicação de

F

e  o ângulo entre a força

F

e o vetor

r

.

cos

W

  

F d

W

  

F d



Outro conceito importante que envolve a o produto escalar de dois vetores é a potência instantânea de uma força. Como a potência é dada por: 0 0

lim

lim

t t

W

F d

P

P

t

t

   







 





0

lim

t v

d

P

F

t

 

 



P

 

F v

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES DE MEDIDA (SI);

1971 – 14a conferência geral de pesos e medidas – Sistema Internacional de unidades (SI).

Quantidade Fundamentais Nome da unidade Símbolo Comprimento metro m Massa kilograma kg Tempo segundo s

Prefixos para o sistema SI:

Fator Prefix Símbolo Fator Prefix Símbolo

1024 yotta Y 10-24 yocto y 1021 zetta Z 10-21 zepto z 1018 exa  10-18 Atto a 1015 peta P 10-15 femto f 1012 tera T 10-12 Pico p 109 giga G 10-9 Nano n 106 mega M 10-6 micro  103 kilo k 10-3 Milli m 102 hecto h 10-2 centi c 101 deka da 10-1 Deci d

 Prefixos mais usados:

Fator Prefix Símbolo

106 mega M 103 kilo k 10-2 centi c 10-3 Milli m 10-6 micro  10-9 Nano n

6

Massa Comprimento Volume

1kg=1000g=6.02.1023 u 1m=100cm=39.4in =3.28ft 1m3_{=1000l=35,3ft}3₌ 264gal 1slug=14,6kg 1mi=1.61km=5280 ft Tempo 1u=1,66.10-27kg 1 in=2.54cm 1d=86400s Densidade 1nm=10-9_m=10 0

A

1year= 4 1

365

d=3,16.107_s 1kg/m3₌₁₀-3_g/cm3 ₁

light-year=9,46.1015_m Medida Angular

1rad=57,30_=0,159rev

rad=1800_{=1/2 rev}

Velocidade Pressão Energia

1m/s=3,27ft/s=2. 24mi/h 1Pa= 1N/m2 _1J=107_{erg=0,239cal=0.73} 8ft-lb 1km/h=0.278m/s 1Pa=1dyne/cm2 _1kWh=3,6.106_J 1km/h=0.621mi/ h 1Pa=1,45.10 -4 lb/in2 1cal=4,19J

Força 1atm=1,01.105_{Pa 1eV=1,60.10}-19_J

1N=105_{dyne 1atm=14,7lb/pol}2 _Potência

1lb=4,45N 1atm=76cm-Hg=760mm-Hg 1 horsepower=746W=550 ft.lb/s Observações: inch: polegada feet: pé

light-year: ano-luz, distância que a luz percorre em um ano.

horsepower: hp cavalovapor:cv

1

cv



735

W



1

HP



1.014

CV

 Notação Científica:

Resultados obtidos em calculadoras ou computadores , possuem formatos do tipo dos exemplos abaixo:

Exemplo 1- Visor:

126,096E+06=126,096.106 Escrito em notação científica: 1,26096.108

Exemplo 2- Visor:

0,0108E-08=0,0108.10-8 Escrito em notação científica: 1,08.10-10

O SI também é conhecido como sistema

métrico.

As grandezas derivadas do SI são dadas em termos das fundamentais.

As grandezas fundamentais são:  Metro: (m)

O metro foi definido, em 1792 na França, como 1 décimo de milionésimo da distância do pólo norte para o equador. Atualmente é definido como a distância entre duas linhas finas gravadas em uma barra de platina-irídio, mantida no International Bureau of Weights and Measures próximo à Paris.

Em 1960 foi adotado um novo padrão para o metro, baseado no comprimento de onda da luz. Especificamente, o metro foi redefinido como 1650763,73 comprimentos de onda de uma particular luz vermelho-alaranjada emitida por átomos de Kriptônio-86.

COMPRIMENTOS TÍPICOS m

Distância ao mais afastado quasar (1990) 2.1026

Distância à galáxia de Andrômeda 2.1022

Distância à mais próxima estrela (Próxima Centauri)

4.1016 Distância ao mais afastado planeta (Plutão) 6.1012

Raio da Terra 6.106

Altura do monte Everest 9.102

Espessura dessa página 1.10-4

Comprimento de onda da luz 5.10-7

Comprimento de um vírus típico 1.10-8

Raio do átomo de hidrogênio 5.10-11

Raio de um próton 10-15

 Tempo: (s)

Para medir tempo-padrão, os relógios atômicos foram desenvolvidos em diversos países.

A 13a conferência geral de pesos e medidas adotou o segundo padrão baseado no relógio atômico de césio. (NIST- Colorado USA)

Em princípio, dois relógios de Césio funcionando por 6000 anos não atrasariam 1s em relação ao outro.

Intervalo de Tempo (s) Tempo de vida de um próton 1039

Idade do universo 5.1017

Idade da pirâmide de Quéops 1.1011

Expectativa de vida humana (EUA) 2.109

Duração de um dia 9.104

Tempo entre duas batidas do coração humano

8.10-1

Tempo de vida de um múon 2.10-6

Menor pulso luminoso no laboratório (1989)

6.10-15 Tempo de vida da mais instável partícula 10-23

Constante de tempo de Planck 10-43

 Massa: (kg)

A unidade padrão para a massa é um cilindro de platina-irídio guardada no International Bureau of Weights and Measures , próximo à Paris,

7

abaixo:corresponde a uma massa de 1kg, de acordo

internacional.

Algumas massas típicas:

Massa kg Universo conhecido 1053 Nossa galáxia 2.1041 Sol 2.1030 Lua 7.1022 Asteróide Eros 5.1015 Pequena Montanha 1.1012 Periferia do Oceano 7.107 Elefante 5.103 Grampo 3.10-3 Grão de Areia 7.10-10 Molécula de Penicilina 5.10-17 Próton 2.10-27 Elétron 9.10-31

2 EQUILÍBRIO DA

PARTÍCULA

2.1. CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO.

2.2. DIAGRAMA DE CORPO LIVRE

2.3. SISTEMAS DE FORÇAS

COPLANARES.

2.4. SISTEMAS DE FORÇAS

TRIDIMENSIONAIS.

 Exemplos

Exemplo 1 – Encontre a decomposição de cada força indicada, escrevendo na forma

ˆ

ˆ

x y

F



F i



F j

: (a) 1

300 ( )

ˆ

F



i lb

2

173.2 ( )

ˆ

F

 

j lb





3

200

30

ˆ

200cos 30

ˆ

( )

F

 

sen

 

i



j lb





4

400

30

ˆ

400cos 30

ˆ

( )

F



sen

 

i



j lb

(b) Encontre as tensões nos fios AB e AC.

ˆ

ˆ

cos 50

50

AB AB AB

T

 

T

 

i

T sen



j

ˆ

ˆ

cos 30

30

AC AC AC

T



T

 

i

T sen



j

ˆ

736

P

 

j

0

cos50

cos30

0

x AB AC

R

  

T

 

T

 

0

50

30

0

y AB AC

R

 

T sen

 

T sen

  

P

cos 30

1.3473

cos 50

AB AC AB AC

T





T



T



T







0.766 736 0.5

1.3473

T

_AC

sen

50

 

T

_AC

sen

30

 

P

1.532

T

_AC



736



T

_AC



480.4

N





1.3473 480.4

647.25

AB AB

T







T



N

O mesmo problema pode ser resolvido pela Lei dos senos.

8

 Lei dos Senos:

sen

sen

sen

F

_

F

_

F

_



_



_



0 0 0

60

80

40

736

AB AC

sen

sen

sen

T





T

0 0

60

736

647.2

80

AB AB

sen

T

T

N

sen







0 0

40

736

480.4

80

AC AC

sen

T

T

N

sen







(c) Um marinheiro está sendo resgatado usando uma cadeira que está suspensa a partir de uma roldana, que pode rolar livremente sobre o cabo de suporte ACB e é puxada a uma velocidade constante pelo cabo CD. Sabendo-se que  = 300 e  = 100 e o peso da cadeira e do marinheiro juntos, vale 900N, determine a tensão que suporta os cabos:

(c1) ACB.

(c2) CD.

Resolvendo o problema pela Lei dos seno:



0









0



90

90

CD CB

sen

sen

sen

T

P

T



 













0 0 0

80

40

60

900

CD CB

sen

sen

sen

T





T

0 0

80

900

1378.88

40

CD CD

sen

T

T

N

sen







0 0

60

900

1212.57

40

CB CB

sen

T

T

N

sen







A resolução pelo método da decomposição fica a cargo do leitor.

Exemplo 2 – Encontre cada uma das forças

indicadas na estrutura:







P

CD

T

CB

T





 



0 90  0 90 

9

 

1

491

ˆ

344

ˆ

F



 

i



j N

 

2

400

ˆ

300

ˆ

F

 

 

i



j N

 

3

358

ˆ

716

ˆ

F



 

i



j N

Exemplo 3 - Encontre a resultante das

forças que atua na estrutura abaixo:

 Solução Geométrica: 6 60 6 6 cos 60

40.9

sen

BD

tg

AC

CD





   



 





Lei dos Cossenos:

2 2 2

600

800

2 600 800 cos 40.9

R





 







524

R



lb

Usando a Lei dos Senos:

600

524

48.6

40.9

sen





sen



 





 Solução algébrica:

800 600 cos 40.9

i x x x i

R





F



R









346

x

R



lb

600

40.9

i y y y i

R





F



R

 



sen



393

y

R

 

lb

ˆ

ˆ

x y

R



R i

 

R



j

 

ˆ

ˆ

346

393

R



 

i



j lb

2 2 x y

R



R



R





2 2

346

393

524

R



 



R



lb

y x

R

arctg

R





393

48.6

346

arctg







_



_

 









Exemplo 4 - Encontre as componentes da

10

 

ˆ

ˆ

250

433

F



 

i



j N

Exemplo 5 – Encontre a resultante das

forças no ponto C da estrutura.

 2 cos 20 1 cos30 ˆ  1 30 2 cos 20  ˆ

R F  F   F   i F sen  F  j N 1 2 2 1 30 cos 20 cos 20 cos 30 F sen F tg F F           

Exemplo 6 –

Seja a estrutura abaixo:

C

(a)

Encontre os pontos A, B, C.

(b) Ache os vetores:

AB

B

A



 

CB

B C



 

(c) Normalize os vetores:

ˆ

AB

AB

n

AB

  



;

ˆ

BC

BC

n

BC

  



(d) Encontre as forças que atuam na

direção AB, sabendo que seus módulos são

2500

AB

F





N

e

ˆ

AB AB AB

F





F





n



(e) Encontre os ângulos que essa força

faz com os eixos.

 Solução:

(a) Pontos:

A(40, 0, -30); B(0, 80, 0); C(0, 0, 0)

(b)

AB

B

A



40,80,30





   



0,80, 0



CB

B C



  

(c)

ˆ

AB

AB

n

AB

  



2 2 2 x y z

AB

AB

AB

AB



_



_

_



_

_



_



_

_



_

_



_

_

















2 _{2 2}

40

80

30

AB











;

8900

AB





40 _ˆ 80 _ˆ 30 _ˆ ˆ 8900 8900 8900 AB AB n i j k AB        

ˆ

CB

CB

n

CB

  



2 2 2 x y z

CB

CB

CB

CB



_



_

_



_

_



_



_

_



_

_



_

_













 

2 2 2

0

80

0

CB









80

CB





ˆ

ˆ

ˆ

0

80

0

_ˆ

ˆ

80

CB

CB

i

j

k

n

j

CB

  











11

(d)

2500

AB

F





N

ˆ

AB AB AB

F





F





n



40

_ˆ

80

_ˆ

30

_ˆ

2500

8900

8900

8900

AB

F



i

j

k







 

_





_





40

_ˆ

80

_ˆ

30

_ˆ

2500

8900

8900

8900

AB

F



i

j

k







 

_





_





 

ˆ

ˆ

ˆ

1059.99

2119.99

794.99

AB

F



 

i



j



k N

40 40 cos arccos 8900 8900 x x



  



 _ _   115,1 2, 00 x x rad



  



 80 80 cos arccos 8900 8900 y y



 



 _ _   32 0,558 y y rad



  



 30 30 cos arccos 8900 8900 z z



 



 _ _  

`

71, 45 1, 247 z y rad



  





Exemplo 7 – Nos exemplos abaixo,

encontre os vetores indicados:

(a) ED e EC

12

(c) P

(d)

CA e FC

(e) AB e AC.

(f) CD e AB.

(g) AO e OB.

13

 Exercícios

1. Determine a força resultante no ponto B

da figura.

2. Determine a força resultante no pino da

figura.

3. Sabendo que a tensão no cabo BA é

250N, determine a tensão no cabo AD.

4. Na figura, a força F2 vale 150N. Encontre

a tensão F1 para que a articulação AB fique em

repouso.

5. Decomponha os vetores força indicados, sabendo que:

F



F i

_x

ˆ



F j

_y

ˆ

(a)

(b)

(c)

6. Para o pino A, encontre a resultante das

forças, utilizando:

(a) A decomposição dos vetores. (b) A Lei dos senos.

14

1 i N x x i

R

F







; 1 i N y y i

R

F







ˆ

ˆ

x y

R



R i



R j

y x

R

arctg

R





7. São dados os vetores:

j

i

u





3

ˆ



ˆ

j

i

v





2

ˆ



5

ˆ

k

j

i

r





2

ˆ



3

ˆ



ˆ

k

j

i

s







4

ˆ



2

ˆ



8

ˆ

Determine: (a)

u





3

v



_(b)

u





3

v



(c)

r





s



(d)

u

v

r







3

2





(e)

u





2

v





3

r



(f)

s





v





5

r



(g)

s





v





5

r



8. Dados os vetores:

j

i

u





2

ˆ



3

ˆ

j

i

v





4

ˆ



6

ˆ

k

j

i

r







ˆ



6

ˆ



3

ˆ

(a) Encontre os módulos desses vetores e os ângulos que eles formam com os eixos coordenados.

(b) Determine os ângulos formado pelo vetor

u





v





r



com os eixos coordenados.

9. Dados os vetores:

k

j

i

u





4

ˆ



3

ˆ



6

ˆ

j

i

v





2

ˆ



ˆ

k

j

i

r







4

ˆ



2

ˆ



8

ˆ

(a) Encontre os módulos desses vetores e os ângulos que eles formam com os eixos coordenados.

(b) Determine os ângulos formado pelo vetor

2

u





4

v





6

r



com os eixos coordenados.

10. O ângulo formado por um vetor de

módulo 5 e o eixo Ox é de 450. Escreva esse vetor.

11. O ângulo formado por um vetor de

módulo 10 e o eixo Ox é de 1350. Escreva esse vetor.

12. Os ângulos formado por um vetor de

módulo 10 e os eixos Ox, Oz são, respectivamente, 300, 1200. Encontre:

(a) A componente y desse vetor. (b) Seu ângulo com o eixo Oy.

13. Os ângulos formados por um vetor de

módulo 20 e os eixos Oy, Oz são, respectivamente, 600, 1450. Encontre:

(a)A componente y desse vetor. (b) Seu ângulo com o eixo Oy.

14. Dois vetores

u



e

v



possuem módulos 3 e 4, respectivamente. Encontre os vetores

v

u

S











e

D





u





v



quando o ângulo  entre eles for de:

(a)  = 450(b)  = 00 (c)  = 900. (d)  = 1450 (e)  = 1800 (e)  = 2250

(f)  = 3000

Faça a representação gráfica.

S





u





v



u



v

u

D













v



15. Dois vetores

u



e

v



possuem módulos 8 e 12, respectivamente. Encontre os vetores

v

u

S











e

D





u





v



quando o ângulo  entre eles for de:

(a)  = 1 rad (b)  = 00 (c)  = 900 (d)  =  (e)  = 1800 (f)  = 2250 (g)  = 3000

15

 Apêndice I

 Regra do Paralelogramo: Demonstração:

y

u





v



u



u





v



 uy u v

v



vy x ux vx Observe que:



















u y u x

u

u

u

u

cos

cos





e



















v y v x

v

v

v

v

cos

cos





j

sen

u

i

u

u





cos



u

ˆ







u

ˆ







j

sen

v

i

v

v





cos



v

ˆ







v

ˆ









u v

 

i u sen v sen



j v u  cosu cosv ˆ  u  v ˆ      



 

2



2 cos

cos u v v u sen u v sen v

u v u           ) cos (cos 2 ) (cos ) (cos2 2 2 2 2 2 v u v u u u u

u sen v sen uv sen sen

u v u               Como: v u v u v u     sen sen  

 cos( ) cos cos cos Teremos:



cos

2

2 2















v

u

v

u

v

u













Analogamente, podemos provar que:



cos

2

2 2















v

u

v

u

v

u













 Relações trigonométricas

a

senb

b

sena

b

a

sen

(



)





cos





cos

sena

senb

b

a

b

a



)



cos



cos





cos(

1

cos

2





sen

2











sen

sen

sen

(

2



)



2











2 2

cos

)

2

cos(







sen

 Lei dos Cosenos:















a

2

b

2

2

a

b

cos

c















a

2

c

2

2

a

c

cos

b















_c

2

_b

2

2

_c

_b

cos

a

 a c  b

Lei dos Senos:











sen

c

sen

b

sen

a

Prova: Observe que:  1 2 a h c  m n b













h

a

sen

a

h

sen

{1}













h

c

sen

c

h

sen

{2} 1 1

cos

cos







h



a





a

h

1 1

cos

cos







h



a





a

h

16

2 2

cos

cos







h



c





c

h

1 1





m

a

sen

a

m

sen









2 2





n

c

sen

c

n

sen









1 2 2 1 2 1

)

cos

cos

(















sen

sen

sen

sen









ac bh ac h n m a h c n c h a m sen   (  )  1 1  Portanto: _sen b ac h {3}; Reunindo {1}, {2} e {3}:    sen b ac sen c sen a h    

Dividindo os membros por a.c:

b sen a sen c sen     Ou:











sen

c

sen

b

sen

a

 Lei dos Cosenos:















a

2

b

2

2

a

b

cos

c















a

2

c

2

2

a

c

cos

b















c

2

b

2

2

c

b

cos

a

 a c  b

17

 Apêndice 2:

 Modo Estatístico das calculadoras.  Casio fx-82MS

Comando Função

on Liga

Mode 2 Entra no modo sd

(statistical data)

Shift CLR 1 = Limpa memórias

Dado 1 M+ Inseri dado 1

Shift 2 Entra no s-var

Shift 2 1 = Dá a média

Shift 2 2 = Dá o DPP

Shift 2 3 = Dá o DPA

Shift CLR 3 = Limpa tudo

Mode 3 Entra no modo

reg 1 (regressão linear) x1,y1 M+ Inseri ponto (x1,y1) Exemplo: 1.879EXP(-)5,2.456EXP4 M+ Insere o ponto (1.879.10-5, 2.46.104) Shift 2 1 = Dá a média de x Shift 2 2 = Dá o DPP de x Shift 2 3 = Dá o DPA de x Shift 2 1 = Dá a média de x Shift 2 2 = Dá o DPP de x Shift 2 3 = Dá o DPA de x Shift 2 1 = Dá o coeficiente linear A Shift 2 2 = Dá o coeficiente angular B Shift 2 3 = Dá a correlação r  Série HP  Recursos estatísticos:

 Σx, Σx2_{, Σy, Σy}2_{, Σxy}

 Desvio padrão de amostra, média

 Desvio padrão de população

 Regressão linear

 Combinações, permutações

 Média ponderada

 Editar, gravar, nomear, listar

 Ajuste de curva ( LIN, LOG, EXP, POW )

 Plotagem de dados estatísticos

 Testes de hipóteses

 Intervalos de confiança

Comando Função

Single-var

Entra no modo estatístico

Edit Entra no modo de edição.

Escolha a coluna que inserirá os dados

population Dpp

sample Dpa

chk Marque para mostrar o

valor

Fit data

Entra no modo de ajuste de curvas

Edit Insira os dados (x,y) nas colunas 1 e 2, por exemplo

Valeu, carinha ?

18

Problemas

1.Determinar a força para que o corpo se

mantenha em equilíbrio.

2. A caixa da figura possui peso de 735 N.

Determinar as tensões nos cabos de sustentações.

3. Uma torre está ancorada pelo cabo AB

como mostra a figura. A tensão no cabo vale 2500 N. Encontre as componentes Fx, Fy e Fz da força de

tensão no cabo e os ângulos x, y e z que essa força

faz com os eixos coordenados.

4. Um muro está sustentado por estacas e

cabos como mostra a figura. Se as tensões nos cabos AB e AC valem, respectivamente, 840 lb e 1200 lb, determine o vetor força resultante (módulo, direção e sentido) que atua na estaca A

19

Pontos

x(ft)

y(ft)

z(ft)

A

16

0

-11

B

0

8

0

C

0

8

-27

Vetores

AB

 

B

A

-16

8

11

AC

 

C

A

-16

8

-16

 

ˆ

ˆ

ˆ

16

8

11

AB

  

B

A

AB

      

i

j

k ft





2 _{2 2}

16

8

11

21

AB





 



AB



ft

16

_ˆ

8

_ˆ

_{11 ˆ}

ˆ

ˆ

21

21

21

AB AB

AB

n

n

i

j

k

AB





 

 

 



ˆ

AB AB AB

T



T



n



16

_ˆ

8

_ˆ

_{11 ˆ}

840

21

21

21

AB

T



 



_

 

i

 

j



k



_





ˆ

ˆ

ˆ

640

320

440

AB

T

 

 

i

 

j



k

 

ˆ

ˆ

ˆ

16

8

16

AC

  

C

A

AC

      

i

j

k ft





2 ₂





2

16

8

16

24

AC





  



AC



ft

16

_ˆ

8

_ˆ

_{16 ˆ}

ˆ

ˆ

24

24

24

AC AC

AC

n

n

i

j

k

AC





 

 

 



ˆ

AC AC AC

T



T



n



16

_ˆ

8

_ˆ

_{16 ˆ}

1200

24

24

24

AC

T



 



_

 

i

 

j



k



_





ˆ

ˆ

ˆ

800

400

800

AC

T

 

 

i

 

j



k

A AB AC

R



T



T

 

ˆ

ˆ

ˆ

1440

720

360

A

R

 

 

i

 

j



k lb

1650

A

R



lb

0

arccos

Ax

150.8

x x A

R

R







_



_











0

arccos

Ay

64.1

y y A

R

R









_





_











0

arccos

Az

102.6

z z A

R

R







_



_











5. Determine a força resultante que atua no

ponto O da figura.

6. Um

balde A e um bloco C estão

ligados por um cabo que passa ao longo

da roldana B. Sabendo que a roldana B gira

para a esquerda lentamente e que os

coeficientes de atrito entre as superfícies são



E

= 0.35 e



c

= 0.25, determinar a menor

massa

m

do

balde e seu conteúdo para o qual bloco C

estará:

(a) em repouso,

(b) começando a subir a ladeira,

(c) subindo a ladeira a uma velocidade

constante.

7. Na figura, o plano inclinado possui ajuste

variável no ângulo . Os coeficientes de atrito estático e dinâmico entre o bloco e o plano inclinado valem, respectivamente s = 0.40 e C = 0.35. A

massa do bloco vale m = 25 kg. Adote g = 10 m/s². (a) Determine a aceleração do bloco para  = 300.

20

(c) Encontre o ângulo onde ocorrerá a iminência

de movimento.

8. Na figura, os coeficientes de atrito

estático e dinâmico entre o bloco e o plano inclinado valem, respectivamente s = 0.30 e C = 0.25. A

massa do bloco vale é 100 kg. Adote g = 10 m/s². Determine o valor de m0 para o qual haverá

iminência de movimento.

9. Na figura, os coeficientes de atrito

estático e dinâmico entre o bloco e o plano inclinado valem, respectivamente s = 0.20 e C = 0.17. A

massa do bloco vale é 100 kg. Adote g = 10 m/s². Determine o valor da força de atrito e da aceleração do bloco.

10. Nas figuras, os coeficientes de atrito

estático e dinâmico entre o bloco e o plano estão indicados. Adote g = 10 m/s². Determine o valor da força de atrito e da aceleração do bloco.

(a)

(b) P = 600 N

(c)

11. Determine o módulo, a direção e o

sentido e escreva o vetor força resultante que atua no pino na figura: (1 lb = 0.455N).

21

(b)

12. A tensão no cabo AB é 525 lb e no cabo

AD 315 lb. Encontre a força resultante no ponto A da estrutura.

13. Determine o momento da força de

200N aplicada no ponto C da dobradiça em relação ao ponto A.

14. Determine o ângulo formado pelos

cabos de sustentação da rede:

(a) AC e AD (b) AC e AB. Use:

cos