Descrevendo Circuitos Lógicos

Introdução

• Proposições podem ser classificadas como verdadeiras ou falsas. Muitas situações e processos que encontramos em nossas vidas

diariamente podem ser expressos na forma de funções proposicionais ou lógicas.

• A lógica é o campo do raciocínio humano que nos diz que uma certa proposição (declaração) é

Introdução

• O termo lógica é aplicado a circuitos digitais usados para implementar funções lógicas.

• Diversos tipos de circuitos lógicos digitais são os elementos básicos

que formam os blocos construtivos de sistemas digitais complexos como o computador.

Álgebra Booleana

Em 1854, Georg Boole publicou um trabalho intitulado “Uma Investigação das leis do Pensamento, sobre

as quais são fundadas as teorias Matemáticas de Lógica e Probabilidades” (Investigation of the Laws of

Thought, on Which Are Founded the Mathematical Theories of Logic AND Probabilities).

Foi nessa publicação que uma “álgebra lógica”, conhecida hoje em dia como álgebra Booleana, foi formulada.

A álgebra Booleana é uma forma conveniente e sistemática de expressar e analisar a operação de circuitos lógicos.

Constantes e Variáveis Booleanas

 A álgebra booleana permite apenas dois valores: 0 e 1.

• Lógica 0 pode ser: falso, desligado, baixo, não, interruptor aberto. • Lógica 1 pode ser: verdadeira, ligado, alto, sim, interruptor fechado.  Três operações básicas:

• OR, AND e NOT.

• A principal diferença entre a álgebra booleana e convencional é que as constantes e variáveis podem ter apenas dois valores possíveis, 0 ou 1.

Tabela Verdade

 A tabela-verdade descreve a relação entre as entradas e as saídas de um circuito lógico.

 O número de colunas corresponde ao número de entradas. Uma tabela de duas entradas teria 22 _{= quatro linhas.}

Tabela Verdade

Operação OR (‘OU’) e a porta OR

• A expressão booleana para a operação OR é:

• A operação OR é semelhante á adição , exceto quando A =1 e B=1, produz:

X = A + B — Leia “X equivale a A ou B”

O sinal + não se aplica para soma, mas sim para operações OR.

1 + 1 = 1 não 1 + 1 = 2

Operação OR (‘OU’) e a porta OR

• Uma porta OR é um circuito com uma ou mais entradas, cuja saída é igual à combinação OR das entradas.

Operação OR (‘OU’) e a porta OR

• A porta OR é um circuito com duas ou mais entradas, cuja saída é igual a combinação OR das entradas.

Operação OR (‘OU’) e a porta OR

Operação AND (‘E’) e a Porta AND

• A operação AND é similar a multiplicação convencional.

X = A • B • C — Leia“X é igual a A e B e C”.

X é verdadeiro (1) quando A e B e C são verdadeiros (1).

O sinal não se aplica para produto, mas sim para operações AND.

Operação AND (‘E’) e a Porta AND

AND OR

O símbolo AND em um diagrama de circuito lógico diz que a saída será

ALTO apenas quando todas as

entradas forem altas.

O símbolo OR será alto quando alguma entrada for alta.

Operação NOT (‘NÃO’) ou Inversora

 A expressão booleana para a operação NOT:

“X equivale a NOT A”.

“X equivale ao inverso de A”. “X equivale ao complemento de A”. — Leia:

X = A

A

'

= A

Operação NOT (‘NÃO’) ou Inversora

Um circuito NOT é comumente chamado de inversor.

Operação NOT (‘NÃO’) ou Inversora

O INVERSOR inverte (complementa) o sinal da entrada, em todos os pontos, na forma de onda.

Operações Booleanas

Regras resumidas para OR, AND e NOT

Essas três operações booleanas básicas podem descrever qualquer circuito lógico.

Exercício

A expressão a abaixo descreve como um circuito lógico precisa operar a fim de acionar um indicador de alerta de cinto de segurança em um carro.

• Se o motorista estiver presente E Não estiver usando cinto, E a ignição estiver acionada, ENTÃO, acenda a luz de advertência.

Descreva o circuito usando álgebra booleana, diagramas de símbolos e tabela verdade.

Descrevendo Circuitos Lógicos Algebricamente

 Se uma expressão contém ambas as portas – AND e OR – a operação AND irá acontecer anteriormente.

Descrevendo Circuitos Lógicos Algebricamente

 Sempre que um INVERSOR estiver presente, a saída é equivalente a entrada, com uma barra sobre ele.

Avaliando as saídas dos Circuitos Lógicos

Regras para avaliação de uma expressão booleana:

• Executar todas as inversões de termos individuais. • Realizar todas as operações dentro de parêntesis.

• Realizar a operação AND antes de uma operação OR, a menos que os parêntesis indiquem o contrário.

• Sempre que uma expressão tiver uma barra sobre ela, realizar as operações no interior da expressão e depois inverter o resultado.

A melhor maneira de analisar um circuito composto por várias portas lógicas é usar uma tabela-verdade.

• Ela permite analisar uma porta ou uma combinação lógica de uma só vez. • Ela também permite verificar novamente seu trabalho.

• O primeiro passo, após listar todas as combinações de entradas, é criar uma coluna na tabela-verdade para cada sinal intermediário (nó)

• O próximo passo é preencher os valores para a coluna v.

v =AB — O nó v deve ser ALTO

 Logicamente, a etapa final é a combinação das colunas V e W para prever a saída x.

Avaliando as saídas dos Circuitos Lógicos

 Níveis lógicos de saída podem ser determinados diretamente a partir de um diagrama de circuito.

 As saídas de cada porta são percebidas até que a saída final seja encontrada.

Avaliando as saídas dos Circuitos Lógicos

Tabela de estado lógico em cada nó do circuito mostrado.

Implementando Circuitos a partir de Expressões

Booleanas

 É importante saber desenhar um circuito lógico de uma expressão booleana.

A expressão X = A . B . C poderia ser desenhada como três entradas de uma porta AND.

Um circuito definido por 𝑋 = 𝐴 + 𝐵 usaria duas entradas de uma porta OR com um INVERSOR em uma das entradas.

Um circuito com saída 𝑌 = 𝐴𝐶 + 𝐵 𝐶 + 𝐴𝐵𝐶 contém três termos sobre os quais é aplicada a operação OR ...

 Cada entrada da porta OR é um termo do produto AND.

 Uma porta AND com entradas adequadas pode ser usada para gerar cada um desses termos

Implementando Circuitos a partir de Expressões

Booleanas

Porta NOR (‘NÃO-OU’) e Porta NAND (‘NAND’)

Combine operações básicas AND, OR e NOT simplificando a escrita de expressões booleanas.

As saídas das portas NAND e NOR podem ser encontradas ao determinar a saída de uma porta AND ou OR e invertê-la.

As tabelas-verdade para portas NOR e NAND mostram o complemento das tabelas-verdade para portas OR e AND.

Portas NOR (‘NÃO-OU’)

• A porta NOR é uma porta OR invertida.

Uma bolha de inversão é colocado na saída

da porta OR, tornando a saída da expressão booleana 𝑥 = 𝐴 + 𝐵

Portas NOR (‘NÃO-OU’)

Portas NAND (‘NÃO-E’)

• A porta NAND é uma porta AND invertida.

Uma bolha de inversão é colocado na saída

da porta AND, tornando a saída da expressão booleana 𝑥 = 𝐴. 𝐵

Portas NAND (‘NÃO-E’)

Exercício

1- Construa o circuito logico da expressão 𝑋 = 𝐴𝐵. 𝐶 + 𝐷 , usando apenas NOR e NAND. Determine o nível de saída para A=B=1 e C=D=0

2 - Qual é a única condição de entrada que produz nível ALTO na saída de uma porta NOR de três entradas?

3 - Que porta é equivalente a uma NAND seguida de uma NOT?

4 - Troque a porta NOR do circuito do exercício 1 por uma NAND e a NAND por uma NOR. Qual é a nova equação de saída do circuito.

Teoremas Booleanos – Teoremas Multivariáveis

Leis comutativas

Leis distributivas Leis associativas

Teoremas Booleanos – Teoremas Multivariáveis

Os teoremas (14) e (15) não possuem equivalentes na álgebra comum. Cada um deles pode ser provado ao tentar todos os casos possíveis para x e y.

Tabela de análise e fatoração para teorema (14)

Teoremas DeMorgan

 Teoremas de DeMorgan são extremamente úteis na simplificação de expressões em que um produto ou a soma das variáveis é invertida.

O teorema (17) diz que INVERSOR o produto E de duas variáveis é o mesmo que INVERSOR cada variável individualmente e, em seguida, operar com OR.

O teorema (16) diz que INVERSOR a soma OR de duas variáveis é o mesmo que INVERSOR cada variável individualmente. Com isso, operar com AND as variáveis invertidas.

Cada um dos teoremas de DeMorgan pode ser facilmente comprovado por meio da verificação de todas as combinações possíveis de x e y.

Teoremas DeMorgan

Circuitos equivalentes decorrentes do teorema (16)

Símbolo alternativo para a função NOR.

Teoremas DeMorgan

Símbolo alternativo para a função NAND.

Exercício:

Simplifique as expressões booleanas:

𝐻 = 𝐴𝐵 𝐶 + 𝐴𝐵 𝐶 + 𝐵 𝐶𝐷 𝐹 = 𝐴𝐵𝐶 + 𝐴𝐵𝐶 + 𝐴𝐵𝐶 𝑍 = 𝐷 + 𝐵𝐶 𝐷 𝑆 = 𝐴𝐶 + 𝐷 + 𝐵 + 𝐶 𝐴𝐶𝐷 𝑉 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶𝐷 𝐷 𝑋 = 𝐴𝐵. 𝐵𝐶. 𝐵 + 𝐷

Universalidade das Portas NAND e NOR

 Portas NAND ou NOR podem ser usadas para criar as três expressões lógicas básicas:

OR, AND e NOT.

Exemplo:

Um circuito lógico gera um sinal x, que será ALTO sempre que as condições

A e B existirem simultaneamente, ou sempre que as condições C e D

existirem simultaneamente.

A expressão lógica será x = AB + CD.

Cada um dos CI mostrados aqui vai cumprir a função. Cada CI possui quatro portas idênticas em um único chip

Exercícios:

1 - Mostre como uma porta NAND de duas entradas pode ser construída a partir de portas NOR de duas entradas.

2 - Mostre como uma porta NOR de duas entradas pode ser construída a partir de portas NAND de duas entradas.

Exercício:

Converta o circuito da figura para um circuito que use apenas portas NAND. Em seguida, escreva a expressão de saída para o novo circuito, simplifique-a ussimplifique-ando os teoremsimplifique-as de DeMorgsimplifique-an e compsimplifique-are-simplifique-a com simplifique-a expressão originsimplifique-al.

Exercício:

Converta o circuito da figura para um circuito que use apenas portas NOR. Em seguida, escreva a expressão de saída para o novo circuito, simplifique-a ussimplifique-ando os teoremsimplifique-as de DeMorgsimplifique-an e compsimplifique-are-simplifique-a com simplifique-a expressão originsimplifique-al.

Aspectos sobre as equivalências de símbolos

lógicos:

• As equivalências podem ser estendidas para portas com qualquer número de entradas.

• Nenhum dos símbolos-padrão tem bolhas em suas entradas, e todos os símbolos alternativos os têm.

• Os símbolos padrão e suplente para cada porta representam o mesmo circuito físico.

NAND e NOR são portas inversoras.

O padrão e os símbolos alternativos para cada um terão uma bolha sobre a entrada ou a saída.

Alternar Representações para Portas Lógicas

 Ativa-em-ALTO – entrada ou saída não tem uma bolha de inversão.  Ativa-em-BAIXO – entrada ou saída tem uma bolha de inversão.

Alternar Representações para Portas Lógicas

 Ativa-em-ALTO – entrada ou saída não tem uma bolha de inversão.  Ativa-em-BAIXO – entrada ou saída tem uma bolha de inversão.

Qual representação de Porta Usar?

O uso adequado dos símbolos de porta alternativos no diagrama de circuito pode fazer a operação do circuito muito mais clara.

Circuitos originais usando símbolo NAND padrão.

Qual representação de Porta Usar?

Qual representação de Porta Usar?

 Quando um sinal de lógica está no estado ativa (ALTO ou BAIXO), diz-se que está ativa.

 Quando um sinal de lógica está no estado inativa (ALTO ou BAIXO) é dito ser inativa.

A barra sobre um sinal significa ativa

em BAIXO.

RD

RD

A ausência de uma barra significa ativa

Qual representação de Porta Usar?

Um sinal de saída pode ter dois estados ativos, com uma função importante no estado ALTO e outra no estado BAIXO.

É costume rotular esses sinais para que ambos os estados ativos estejam aparentes.

RD/WR

Quando esse sinal está ALTO, realiza-se a operação ler (RD); Quando é BAIXO, realiza-se a operação escrever (WR).

Qual representação de Porta Usar?

O circuito lógico mostrado ativa um alarme quando a saída Z for ALTO.

O circuito agora tem saídas não bolha ligados às entradas não bolha da porta 2.

O símbolo de porta NOR deve ser alterado para o símbolo alternativo com uma saída não bolha (ativa-em-ALTO) para coincidir com o entrada de porta AND não bolha 2.

Modifique o diagrama do circuito de modo que esse represente a operação do circuito mais eficazmente.

Atraso de Propagação

 O atraso de propagação é o tempo que um sistema leva para produzir uma saída após receber uma entrada.

 A velocidade de um circuito lógico está relacionada ao atraso da propagação.

 Na implementação de circuitos lógicos existe uma folha de dados que indica o valor do atraso da propagação. Usada para assegurar que o circuito possa operar com rapidez suficiente para a aplicação

Circuitos para Habilitar / Desabilitar

Situações que exigem habilitar/ desabilitar os circuitos ocorrem com frequência em projeto de circuitos digitais.

• Um circuito é habilitado quando se permite a passagem de um sinal de entrada para saída.

• Um circuito é desabilitado quando se impede a passagem de um sinal de entrada para saída.

Circuitos para Habilitar / Desabilitar

Um circuito lógico que permite a passagem de um sinal para a saída somente quando entradas de controle B e C forem ambas nível ALTO. Caso contrário, a saída permanecerá em nível BAIXO

Circuitos para Habilitar / Desabilitar

Um circuito lógico com sinal de entrada A, controle de entrada B e saídas X e Y, que atuam como:

• Quando B = 1, a saída X vai seguir a entrada A, e a saída Y será 0. • Quando B = 0, a saída X vai ser 0, e a saída Y vai seguir a entrada A.