CAPÍTULO XII ANÁLISE DE PILARES EM BALANÇO

(1)

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12. Análise de Pilares em Balanço

12.1. Geração de exemplos de pilares para análise

Para finalizar este trabalho serão gerados exemplos de pilares em balanço e biapoiados para comparação dos métodos de cálculo utilizando “integração numérica com desacoplamento das solicitações de flexão e rigidez secante” e “integração numérica considerando a flexão oblíqua composta sem desacoplamento, com as curvaturas obtidas das superfícies do diagrama momento-curvatura”. Os pilares biapoiados são analisados no capítulo 13.

O objetivo é comprovar a possibilidade de se calcular os efeitos de segunda ordem em pilares solicitados à flexão oblíqua composta como se se tratasse de duas flexões normais compostas independentes, ou seja, considerando os efeitos das duas flexões desacoplados. Depois de encontrados os efeitos de 1ª e 2ª ordem em cada direção independentemente deve-se considerar a ação conjunta de NSd,

MSxd,total e MSyd,total para verificar a condição de segurança de norma no Estado Limite

Último em cada seção do pilar, por exemplo, através de ábacos νd - µxd - µyd.

A finalidade de se fazer assim é que para a flexão normal composta já existem ábacos de iteração que fornecem para determinadas distribuições de armadura em seções retangulares, as rigidezes em função da força normal solicitante e da taxa mecânica de armadura. Para flexão oblíqua não. Ainda, para o cálculo dos efeitos de 2ª ordem com a utilização de computadores o tempo de processamento na flexão normal composta é muito menor. Se esse desacoplamento pode ser feito se ganha em praticidade.

Os milhares de exemplos processados pelo programa de computador desenvolvido ao longo deste trabalho, permitem uma análise e conclusão segura de que se pode proceder ao desacoplamento com segurança e sem prejudicar demasiadamente a economia.

Foram gerados exemplos de pilares em balanço com a sistemática indicada abaixo. Os pilares de seção retangular têm dimensões da seção transversal hx e hy com hx ≥

hy.

À dimensão hy foi atribuído o valor 19 cm.

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hx,mín = 25 cm

hx,máx = 5.hy

e ∆hx = (hx,máx - hx,mín) / 3 (12.1)

O comprimento de flambagem (Le) e o próprio comprimento (L) do pilar são

calculados pelo programa em função do índice de esbeltez (λ), que é fornecido como dado, por: 46 , 3 . _y e h L = λ (12.2) L = 0,5 .Le (12.3)

Foram analisados pilares com o índice de esbeltez assumindo os valores 65, 75, 90 e 115.

A distribuição da armadura dentro da seção transversal foi considerada composta de 4 barras associadas aos vértices, nx barras distribuídas nas faces de comprimento hx

e ny barras distribuídas nas faces de comprimento hy. A quantidade mínima

associada a um lado é definida pelo programa de modo a respeitar um espaçamento máximo de centro a centro de barras de 40 cm. A quantidade máxima é definida pelo programa de modo a respeitar um espaçamento mínimo entre faces de barras de 2,5 cm. Além das quantidades mínima e máxima foi considerada uma quantidade média entre a mínima e a máxima.

Foram considerados cobrimentos da armadura de 2,5 cm e 3,5 cm.

As forças normais consideradas são funções da força normal resistente no Estado Limite Último (E.L.U.) do pilar em compressão centrada, dada por:

NRd = 0,85.fcd.Ac + σs,2%o.As (12.4)

As forças normais consideradas para pilares com índice de esbeltez 65, 75 e 90 são:

NSd,min = 0,4.NRd

NSd,méd = 0,6.NRd

NSd,máx = 0,8.NRd (12.5)

Para pilares com índice de esbeltez igual 115 foram consideradas

NSd,min = 0,1.NRd

NSd,máx = 0,3.NRd (12.6)

Quando o índice de esbeltez é maior que 90, considera-se o fator de fluência ϕeq =

1,5, com o diagrama tensão deformação do concreto deslocado do fator (1+ ϕeq)

(4)

A inclinação do eixo de solicitação θ, é considerada variando de θmín = 15° à θmáx =

75° com incrementos ∆θ = 15°.

Para cada força normal solicitante , NSd, e inclinação, θ, considerados, o programa

calcula os momentos resistentes (MRxd e MRyd) do estado limite último. As

solicitações de flexão são consideradas para a seção da base do pilar em balanço com três níveis de solicitação, NS = 0,2; 0,5 e 0,8, assim, se tem para cada direção principal de inércia

MBd,min = 0,2. MRd

MBd,méd = 0,5. MRd

MBd,máx = 0,8. MRd (12.7)

As cargas no topo do pilar são:

Força normal: NSd

Momentos aplicados: MTxd e MTyd

Forças horizontais: HTxd e HTyd

Os momentos aplicados no topo assumem os valores:

MTd,min = 0

MTd,méd = 0,5.MBd

MTd,máx = 1,0.MBd (12.8)

As forças horizontais no topo são

L M M H Bd Td T − = (12.9) Resumindo, fez-se: λ = 65, 75, 90 e 115 hx = 25 a 5.hy com ∆hx= (5.hy -25) / 3 nx = nx,mín a nx,máx com ∆nx = (nx,máx – nx,mín) / 2

ny = ny,mín a ny,máx com ∆ny = (ny,máx – ny,mín) / 2

c = 2,5 e 3,5 (cobrimento da armadura)

NSd = 0,4.Nud a 0,8.Nud com ∆NSd = 0,2.Nud se λ≤ 90

NSd = 0,1.Nud a 0,3.Nud com ∆NSd = 0,2.Nud se λ > 90

θ = 15° a 75° com ∆θ = 15°

Nível de solicitação: [NS]= 0,2 a 0,8 com ∆[NS] = 0,3 MSBxd = [NS].Muxd

(5)

MSTxd = 0 a +1,0.MSBxd com ∆MSTxd = 0,5. MSBxd

MSTyd = 0 a +1,0.MSByd com ∆MSTyd = 0,5. MSByd

... Novo MSTyd

Novo MSTxd

Novo Nível de solicitação [NS] Novo θ Novo NSd Novo cobrimento Novo ny Novo nx Novo hx Novo λ

Um pilar em balanço é mostrado na figura 12.1, onde estão representadas as cargas, os diagramas de momentos fletores solicitantes de 1ª ordem e a discretização do pilar para a integração numérica.

Figura 12.1 – Pilar em balanço. MBxd e MB y d são as reações momentos na

base. MTxd e MT y d são momentos aplicados no topo. HTxd e

HT y d são forças horizontais aplicadas no topo

X Y MBxd MByd MT yd MT xd L Nd MBxd MByd MT xd MT yd zi X Y HTxd _HTyd X Y L zi Base =1 2 3 4 5 6 Topo =7

(6)

Dada uma força no rmal Nd e a inclinação do eixo de solicitação θ, o programa

calcula os correspondentes momentos resistentes do E.L.U. MRxd e MRyd.

Dado um nível de solicitação (NS) são calculados os momentos de 1ª ordem a serem considerados na base do pilar:

MBxd = NS.MRxd

MByd = NS.MRyd (12.10)

Dadas as relações (MT/MB)x e (MT/MB)y, são calculados os momentos solicitantes de

1ª ordem no topo do pilar:

MTxd = (MT/MB)x.MBxd MTyd = (MT/MB)y.MByd (12.11) e as forças horizontais L M M H Bxd Txd Txd − = L M M

H_Tyd = Byd− Tyd (12.12)

Os momentos solicitantes de 1ª ordem em uma seção qualquer de ordenada zi são

dados por:

MSxd,i = MTxd + HTxd.(L – zi)

MSyd,i = MTyd + HTyd.(L – zi) (12.13)

A inclinação θ dada é valida somente para a seção da base do pilar. Ao longo da altura ela varia com as diferentes relações (MT/MB)x e (MT/MB)y, já que as duas

relações muitas vezes têm valores diferentes.

Dada a força normal Nd, para cada par de momentos solicitantes MSxd,i e MSyd,i são

calculadas as curvaturas, 1/rx e 1/ry, correspondentes.

No processo com rigidez secante essas curvaturas são calculadas por:

xx i Sxd x EI M r sec, , ) ( 1 ₌ yy i Syd y EI M r _sec, , ) ( 1 = (12.14)

No segundo processo, as curvaturas são determinadas para cada seção através das relações momento-curvatura como foi exposto no item 8.2. Esse segundo processo, mais preciso que o primeiro, requer uma quantidade de trabalho muito maior.

(7)

Embora esse trabalho de cálculo seja feito pelo computador, o tempo de processamento é muito maior.

12.2. Processos utilizados para o cálculo dos esforços solicitantes totais

Os resultados que o programa fornece para análise são referentes às solicitações totais (1ª ordem + 2ª ordem) na seção mais solicitada.

Cada pilar é resolvido por dois processos de determinação dos efeitos de 2ª ordem, quais sejam:

a) Processo com desacoplamento (índice d)

O primeiro processo considera a integração numérica como meio de se obter os efeitos de 2ª ordem (deslocamentos e momentos fletores). As curvaturas em cada seção são obtidas com a consideração da rigidez secante, constante para todas as seções e todas as iterações. A rigidez secante é determinada para a flexão normal composta em cada direção independentemente.

( )

( ; ) 3 3 sec, f Rxd f Sd x xx M N f EI γ γ =

( )

( ; ) 3 3 sec, f Ryd f Sd y yy M N f EI γ γ = (12.15)

Essa consideração das rigidezes secantes determinadas independentemente para cada direção principal de inércia foi chamada de “desacoplamento das flexões”. As curvaturas então, são obtidas dividindo-se o momento fletor solicitante minorados pelo fa tor γf3 = 1,1,em cada seção, pela rigidez secante. Ou seja:

xx f i Sxd i x EI M r sec, 3 , , ( ) 1 γ =       yy f i Syd i y EI M r _sec, 3 , , ( ) 1 ₌ γ       _(12.16)

A rotação em cada seção é obtida integrando-se as curvaturas desde a seção da base do pilar até a seção em consideração.

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O deslocamento em cada seção é obtido integrando-se as rotações desde a seção da base do pilar até a seção em consideração.

Para os pilares biapoiados, depois de realizadas as duas integrações, são feitas correções nas rotações e deslocamentos para restabelecer as condições de contorno originais. Ou seja, foi dada uma rotação na linha elástica do pilar de modo a anular o deslocamento da seção do topo.

As integrações das curvaturas e das rotações são feitas independentemente em cada direção principal de inércia (“x” e “y”) como se se tratasse de duas flexões normais compostas. Ao final, se analisa a condição de segurança de norma no Estado Limite Último do pilar para a flexão oblíqua composta considerando atuando simultaneamente as solicitações NSd, MSxd e MSyd.

Os efeitos de segunda ordem são calculados considerando os valores das solicitações divididos por γf3 = 1,1 e a tensão máxima no concreto igual a σc,máx =

1,1.fcd em lugar do tradicional σc,máx = 0,85.fcd. Isto é, os deslocamentos e momentos

de 2ª ordem são calculados para as solicitações de primeira ordem:

3 * f Sd d N N γ = (12.17) e 3 * 1 f Sxd xd M M γ = (12.18)

para a flexão normal composta na direção x e

3 * f Sd d N N γ = (12.19) e 3 * 1 f Syd yd M M γ = (12.20)

para a flexão normal composta na direção y.

Ao final cada seção tem sua segurança analisada no estado limite último para a solicitação de flexão oblíqua composta dada por:

N_d =γ_f₃.N_d* (12.21) * 3 ,final f . xd xd M M =γ (12.22)

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e Myd,final =γf3.Myd* (12.23) A segurança do pilar é analisada pela relação entre o momento total solicitante em determinada seção

(

) (

)

2

, 2

,

,final xd final yd final

Sd M M

M = + (12.24)

pelo momento resistente do estado limite último

(

)

2

(

)

2

Ryd Rxd

Rd M M

M = + (12.25)

este último também determinado para a força normal Nd=NSd.

A condição de segurança do pilar é:

0 , 1 , _≤     d Rd final Sd M M (12.26)

O índice “d” foi colocado na expressão (12.26) para fazer referência ao desacoplamento das flexões

b) Processo com acoplamento das flexões (índice a)

O segundo processo considera também a integração numérica como meio de se obter os efeitos de 2ª ordem (deslocamentos e momentos fletores). As curvaturas em cada seção são obtidas com a consideração simultânea das duas flexões (direções x e y) e portanto, considerando sempre a solicitação de flexão oblíqua composta sem o desacoplamento feito no primeiro processo. Neste caso as curvaturas na direção x foram influenciadas pela solicitação de flexão atuante na direção y e vice-versa. Ou seja:

) , , ( 1 3 3 3 f yd f xd f d x x M M N f r = γ γ γ     _(12.27) ) , , ( 1 3 3 3 f yd f xd f d y y M M N f r = γ γ γ     _(12.28)

A diferença entre os dois processos está justamente na determinação dessas curvaturas em cada seção.

(10)

A rotação em cada seção é obtida integrando-se as curvaturas desde a seção da base do pilar até a seção em consideração, como no processo com desacoplamento.

O deslocamento em cada seção é obtido integrando-se as rotações desde a seção da base do pilar até a seção em consideração, como no processo com desacoplamento.

Para os pilares biapoiados são feitas as mesmas correções citadas no processo com desacoplamento.

As integrações das curvaturas e das rotações são feitas independentemente em cada direção principal de inércia (“x” e “y”) como se se tratasse de duas flexões normais compostas.

Ao final, cada seção tem sua segurança analisada no estado limite último para a solicitação de flexão oblíqua composta dada por:

Sd d f d N N N =γ ₃. * = (12.29) * 3 ,final f . xd xd M M =γ (12.30) e M_yd_,_final =γ_f₃.M_yd* (12.31)

A segurança do pilar foi analisada pela relação entre o momento total solicitante em determinada seção

(

) (

)

2

, 2

,

,final xd final yd final

Sd M M

M = + (12.32)

pelo momento resistente do estado limite último

(

)

2

(

)

2

Ryd Rxd

Rd M M

M = + (12.33)

este último também determinado para a força normal Nd=NSd e mesma inclinação do

eixo de solicitação θ. Essa inclinação θ define a proporção entre as flexões nas direções x e y e é dado por

        = final yd final xd M M tg arc , , . θ (12.34)

(11)

0 , 1 , _≤     a Rd final Sd M M (12.35)

O índice “a” foi colocado na expressão (12.35) para fazer referência ao processo com acoplamento das flexões.

É de se destacar que o processo com acoplamento das flexões, é mais exato. O outro é uma aproximação.

O processo com desacoplamento só merece confiança quanto à segurança se fornecer um coeficiente de segurança maior ou igual ao processo com acoplamento. Para cada processo de cálculo são obtidas as relações:

a processo d Rd Sd total resistente Momento total te solici Momento M M −       − − − − =     tan (12.36) b processo a Rd Sd total resistente Momento total tes solici Momento M M −       − − − − =     tan (12.37) onde 2 2 Syd Sxd Sd M M M = + (12.38) 2 2 Ryd Rxd Rd M M M = + (12.39)

Para o processo com desacoplamento a condição de segurança é dada por:

0 , 1 <     d Rd Sd M M (12.40)

Para o processo com acoplamento a condição de segurança é dada por:

0 , 1 <     a Rd Sd M M (12.41)

O objetivo deste trabalho resultará da análise dos resultados dos milhares de pilares resolvidos e analisados tendo em vista o gráfico da figura 12.3.

Além dos valores de (MSd/MRd)d e (MSd/MRd)a o programa forneceu a região do gráfico

da figura 12.3 onde está o ponto P, de coordenadas:

            ≡ d Rd Sd a Rd Sd M M M M P ; (12.42)

12.3. Argumentação para a análise dos resultados

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Na figura 12.2 está representado esquematicamente um diagrama Nd-Mxd-Myd. Ali

estão indicados os módulos dos momentos: M1d = OA = solicitante de 1ª ordem,

Mtotal,d = OB = solicitante total (1ª ordem + 2ª ordem) e MRd = OC = momento

resistente do estado limite último.

Figura 12.2: Diagrama Nd-Mxd-My d esquemático.

OA = módulo do momento solicitante de 1ª ordem de cálculo. OB = módulo do momento solicitante total de cálculo (1ª

ordem + 2ª ordem).

OC = módulo do momento resistente de cálculo no E.L.U.

A segurança de uma seção solicitada conforme a figura 12.2 é qua lificada pela relação dos segmentos OC e OB. Isto é:

OB OC M M o solicitaçã da Segurança Sd Rd = = . .

Quanto mais o ponto B se aproxima da curva do estado limite último menor é a segurança da seção.

12.3.2 Interpretação do gráfico da figura 12.3:

Os resultados, obtidos para todos os pilares-exemplo através de cada processo, são

analisados por meio de gráficos relacionando as relações 

     Rd total Sd M M _, do

processo com desacoplamento e do processo com acoplamento , conforme a figura

12.3. São determinadas as coordenadas dos pontos

            ≡ d Rd Sd a Rd Sd M M M M P ; Mxd Myd O _MRxx MRyy A B C Curva do Estado Limite Último θ

(13)

para cada pilar. Com essas coordenadas identifica-se em que região do gráfico da figura 12.3 o ponto P se localiza.

Figura 12.3 – Gráfico (MSd/Mud)d – (MSd/Mud)a

Região A1: Nessa região estão os pontos P dos pilares para os quais a segurança indicada pelo processo sem desacoplamento, mais exato, é menor que a indicada pelo processo com desacoplamento. Entretanto, os dois processos indicam que o pilar tem segurança, ou seja

a Rd total Sd d Rd total Sd M M M M     ≤     , , 0 , 1 , _≤     d Rd total Sd M M

→ MSd,total ≤ MRd → segurança maior que a real

0 , 1 , _≤     a Rd total Sd M M

→ MSd,total ≤ MRd → segurança real

Portanto, neste caso, é indiferente a utilização do “processo com desacoplamento” ou do “processo com acoplamento”. Com qualquer um se chega à mesma conclusão quanto à segurança do pilar, ou seja, com ambos de atende as condições de segurança das normas. Entretanto, a segurança indicada pelo processo com desacoplamento é exagerada, maior que a indicada pelo processo com acoplamento das flexões (real). Esta região é desaconselhada mas possível.

1,0 1,0 a ud Sd M M     A1 A2 C D B 0 d ud Sd M M     Reta s

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Região A2: Nessa região estão os pontos P dos pilares para os quais a segurança indicada pelo processo com acoplamento, mais exato, é maior que a indicada pelo processo com desacoplamento. Entretanto, os dois processos indicam que o pilar tem segurança, ou seja

a Rd ftotal Sd d Rd total Sd M M M M     ≥     , , , ≤1,0     d Rd total Sd M M → MSd,total ≤ MRd → segurança , ≤1,0     a Rd total Sd M M → MSd,total ≤ MRd → segurança

Portanto, neste caso também é indiferente a utilização do “processo com desacoplamento” ou do “processo com acoplamento”. Com qualquer um se chega à mesma conclusão quanto ao pilar ter segurança de norma. Esta é a região mais desejada para se obter resultados, já que, aqui existe uma folga de segurança em relação ao processo mais exato. O pilar tem mais segurança que o processo com desacoplamento indica.

Região B: Nessa região estão os pontos P dos pilares para os quais se tem MSd,final

> MRd pelo “processo sem desacoplamento”, mais exato, enquanto que,

pelo “processo com desacoplamento”, menos exato, se tem MSd,final < MRd

d ud total Sd a ud total Sd M M M M     ≥     , , 0 , 1 , _>     a Rd final Sd M M

→ MSd,total > MRd → falta de segurança

0 , 1 , _≤     d Rd final Sd M M

→ MSd,total ≤ MRd → segurança aparente mas não real

Neste caso a utilização do processo com desacoplamento daria uma conclusão errônea de segurança para o pilar, o que seria perigoso.

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Região C: Nessa região estão os pontos P dos pilares para os quais se tem MSd,final >

MRd pelo “processo com desacoplamento”, menos exato, enquanto que,

pelo “processo sem desacoplamento”, mais exato, se tem MSd,final < MRd

d Rd final Sd a Rd final Sd M M M M     <     , , 0 , 1 , _<     a Rd final Sd M M → MSd,final < MRd → segurança 0 , 1 , _>     d Rd final Sd M M → MSd,final > MRd → insegurança

Neste caso a utilização do processo com desacoplamento daria uma falsa conclusão de falta de segurança para o pilar. Levaria a descartar um projeto de pilar que pelo processo mais exato poderia ser aproveitado. Mas isso ficaria a favor da segurança embora contra a economia.

Esta é uma região preferível em relação à região B. Já que aqui o pilar teria mais segurança que a indicada pelo cálculo.

Região D: Nessa região estão os pontos P dos pilares para os quais se tem MSd,total >

MRd pelos dois processos.

d Rd total Sd a Rd total Sd M M M M     <     , , ou d Rd total Sd a Rd total Sd M M M M     >     , , 0 , 1 , _>     a Rd final Sd M M

0 , 1 , _>     d Rd final Sd M M

Neste caso é indiferente a utilização de um ou outro processo, já que, os dois dariam a mesma informação de que o projeto do pilar deve ser rejeitado.

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A região mais desejada para se obter resultados nesta análise é a região A2. Em segundo lugar a região C.

A mais indesejada é a região B.

Os resultados obtidos na região D podem ser descartados para uma análise estatística dos resultados obtidos, já que. é indiferente o emprego de um ou outro processo.

12.4. Resultados obtidos do processamento

Foram resolvidos 215.740 pilares pelos dois processos descritos no item anterior. As quantidades de resultados encontrados em cada região do gráfico da figura 12.3 foram:

Tabela 12.1: Quantidades de resultados encontrados em cada região do gráfico da figura 12.2.

λ = 65 λ = 75 λ = 90 λ = 115 λ = 115b Totais Região A1 --- --- --- --- --- Região A2 66.322 25.232 13.057 11.902 6.112 122.625 (56,84%) Região B --- --- --- --- --- --- Região C 1.740 775 22.044 2.733 1.754 29.046 (13,46%) Região D 3.218 18.948 25.511 15.378 1.014 64.069 (29,70%) Totais 71.280 44.955 60.612 30.013 8.880 215.740

Observa-se o expressivo número de casos na região A2. O excessivo número de resultados encontrados na região D se deve ao fato de se ter considerado em muitos casos a força normal solicitante ou o momento de 1ª ordem, muito altos. Mesmo assim, da análise dos demais resultados, observa-se o expressivo número de casos na região A2, que fornece uma conclusão a favor da segurança. É de se destacar na análise a ausência de resultados nas regiões A1 e B.

12.5. Ilustração de algumas situações envolvidas na análise

São mostrados a seguir alguns exemplos de situações envolvidas na análise feita. Destaca-se que, como foi mostrado acima, o “Nível de Solicitação” se refere à relação MBd/MRd,ELU para a seção da base do pilar, onde MBd é o momento solicitante

de primeira ordem e MRd,ELU é o momento resistente do E.L.U. da seção para

(17)

inclinação θ, do eixo de solicitação, relaciona a proporção entre as flexões nas direções x e y.

O exemplo 1 ilustra a seqüência utilizada para a obtenção dos resultados quantificados na tabela 12.1.

Exemplo 1:

Determinação dos efeitos de segunda ordem de um pilar em balanço conforme a figura 12.1, com a seqüência utilizada no processamento dos milhares de pilares que forneceu os resultados analisados para se chegar à conclusão deste trabalho.

Dados considerados neste exemplo

Seção transversal retangular:

hy = 19 cm hx = 48 cm ?y = 65 ? Le= 356,94 cm ? L = 178,47 cm Armadura: 18 F 10 mm As = 14,13 cm2 (ρ=1,55%) nx = 6 e ny =1 c = 2,5 cm (cobrimento) Solicitações: NSd = 0,6.NRd Nível de solicitação NS = 0,5 (MT/MB)x = 0,5 (MT/MB)y = 0,5 ? = 30 graus Materiais: Concreto: C20 fck = 20 MPa; ?c = 1,4; f = 0 (fluência) Aço: CA 50 A X Y X hx=48 hy=19 MSBxd=0,5.MR xd MST xd=0,5.MSBxd MSByd=0,5.MR yd MST yd=0,5.MSByd

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fyk = 500 MPa; ?s = 1,15

ss,2%o = 420 MPa = 42 kN/cm

2

Solução:

Força normal centrada resistente no E.L.U.

NRd = 0,85.fcd.hx.hy + As.ss,2%o

NRd = 0,85*(2,0/1,4)*48*19 + 14,13*42

NRd = 1.701 kN

Força normal solicitante:

NSd = 0,6*1701 = 1 .021 kN

Do programa se obteve para momentos resistentes do E.L.U., considerando a flexão oblíqua composta, com θ = 30° (ver figura 12.4);

MRxd = 22,58 kN.m

MRyd = 39,20 kN.m

Os momentos solicitantes na base do pilar são:

MBxd = NS.MRxd = 0,5*22,58 = 11,29 kN.m

MByd = NS.MRyd = 0,5*39,20 = 19,60 kN.m

No topo do pilar os momentos solicitantes são:

MTxd = (MT/MB)x.MBxd = 0,5*11,29 = 5,65 kN.m

MTyd = (MT/MB)y.MByd = 0,5*19,60 = 9,80 kN.m

As forças horizontais a serem consideradas no topo são:

47 , 178 565 129 . 1 − = − = L M M HTxd Bxd Txd HTxd = 3,16 kN 47 , 178 980 960 . 1 − = − = L M M

H_Tyd Byd Tyd HTxd = 5,49 kN

Os momentos de 1ª ordem em uma seção genérica i, de ordenada zi (ver figura

12.1), são dados por:

(19)

MSyd,i = MTyd + HTyd.(L – zi) MSxd,I = 11,29 + 3,16.zi MSyd,I = 19,59 + 5,49.zi Diagrama "Nd - Mxd - Myd" -10,0 0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 Mxd (kN.m) Myd (kN.m)

Figura 12.4 – Diagrama Nd-Mxd-My d para Nd = 1.021 kN. Obtenção dos

momentos MRxd e MRy d para θ = 30° e σc = 0,85.fcd.

a) Processo com desacoplamento

Momento resistente do E.L.U. para flexão normal composta na direção x, com NSd =

1.021 kN, do diagrama da figura 12.4:

θ = 90° → MRxx = 101,35 kN.m

Momento último para flexão normal composta na direção y, com NSd = 1.021 kN, do

diagrama da figura 12.4:

θ = 0° → MRyy = 41,47 kN.m

Rigidez secante da seção, para flexão normal composta na direção x:

kN N f Sd ₉₂₈_,₁₈ 1 , 1 1021 3 = = γ cm kN m kN M f Rxx ₉₂_,₁₃₆ _. ₉_.₂₁₃_,₆ _. 1 , 1 35 , 101 3 = = = γ MR xd=22,58 MR yd=39,20 θ=30°

(20)

4 1 3 3 sec, 10 10 04017 , 0 . 6 , 9213 ) / 1 ( . ) ( = = = ₋ ₋ x − cm x cm kN r M tg EI x f Rxx xx γ β (ver figura 12.5) (EI)sec,xx = 22.936,90 kN.m2 M_{x d} - 1/r_x 0 20 40 60 80 100 120 140 160 0,0000 0,0200 0,0400 0,0600 0,0800 0,1000 0,1200 1/rx (%o) M xd (kN.m) GamaF3=1,0 GamaF3=1,1 Reta MRd/GamaF3 Rigidez secante

Figura 12.5 – Diagrama momento-curvatura para a direção x.

Obtenção da rigidez secante.

Rigidez secante da seção, para flexão normal composta na direção y:

kN N f Sd ₉₂₈_,₁₈ 1 , 1 1021 3 = = γ cm kN m kN M f Ryy . 770 . 3 . 700 , 37 1 , 1 47 , 41 3 = = = γ 4 1 3 3 sec, .10 10 10228 , 0 . 3770 ) / 1 ( . ) ( = = = ₋ ₋ − cm x cm kN r M tg EI y f Ryy yy γ β (ver figura 12.6) (EI)sec,yy = 3.686,01 kN.m2

Essas rigidezes são utilizadas para determinação das curvaturas no processo com desacoplamento das flexões. As curvaturas são obtidas dos momentos fletores solicitantes em cada seção por:

xx i Sxd i x EI M r sec, , , ( ) 1 ₌       Muxx/γf3=92,14 β 1/rx=0,04017%o

(21)

yy i Syd i y EI M r _sec, , , ( ) 1 ₌       Myd - 1/ry 0 10 20 30 40 50 60 70 0,0000 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 1/ry (%o) Myd (kN.m) GamaF3=1.0 GamaF3=1.1 Reta MRd/GamaF3 Rigidez Secante

Figura 12.6 – Diagrama momento-curvatura para a direção y.

Obtenção da rigidez secante.

Na tabela 12.1 estão os momentos de 1ª ordem e as curvaturas, rotações e deslocamentos da 1ª iteração.

É de se destacar que nas tabelas 12.2 e 12.3 as rigidezes secantes (EI)sec,xx e

(EI)sec,yy têm sempre o mesmo valor.

Tabela 12.2: Momentos de 1ª ordem divididos por γf 3 = 1,1 e curvaturas, rotações e deslocamentos

da 1ª iteração.

Seção Mxf(I, J) Myf(I, J) (EI)sec,xx (EI)sec,xx CurvX(I, J) CurvY(I, J) RotX(I, J) RotY(I, J) ax(I, J) ay(I, J)

(kN.cm) (kN.cm) (kN.cm2) (kN.cm2) (1/cm) (1/cm) (rad) (rad) (cm) (cm)

Iteração: 1

7 513,27 890,86 2,29E+08 3,69E+07 2,24E-06 2,42E-05 0,00060 0,00646 0,059 0,638 6 598,82 1039,34 2,29E+08 3,69E+07 2,61E-06 2,82E-05 0,00053 0,00568 0,042 0,458 5 684,37 1187,81 2,29E+08 3,69E+07 2,99E-06 3,22E-05 0,00044 0,00479 0,028 0,302 4 769,91 1336,29 2,29E+08 3,69E+07 3,36E-06 3,63E-05 0,00035 0,00377 0,016 0,175 3 855,46 1484,77 2,29E+08 3,69E+07 3,74E-06 4,03E-05 0,00024 0,00263 0,007 0,080 2 941,00 1633,24 2,29E+08 3,69E+07 4,11E-06 4,43E-05 0,00013 0,00138 0,002 0,020 1 1026,55 1781,72 2,29E+08 3,69E+07 4,48E-06 4,83E-05 0,00000 0,00000 0,000 0,000

Tabela 12.3: Momentos divididos por γf 3 = 1,1, curvaturas, rotações e deslocamentos das

iterações seguintes.

Iteração: 2

Muyy/γf3=37,70

β

1/rx=0,10228%o

(22)

Iteração: 3

7 513,27 890,86 2,29E+08 3,69E+07 2,24E-06 2,42E-05 0,00063 0,00890 0,062 0,912 6 615,10 1256,95 2,29E+08 3,69E+07 2,69E-06 3,41E-05 0,00056 0,00804 0,045 0,660 5 714,73 1596,34 2,29E+08 3,69E+07 3,12E-06 4,33E-05 0,00047 0,00689 0,030 0,438 4 811,80 1902,54 2,29E+08 3,69E+07 3,54E-06 5,16E-05 0,00037 0,00548 0,017 0,255 3 905,99 2169,65 2,29E+08 3,69E+07 3,96E-06 5,89E-05 0,00026 0,00384 0,008 0,116 2 996,94 2392,43 2,29E+08 3,69E+07 4,35E-06 6,49E-05 0,00013 0,00200 0,002 0,030 1 1084,34 2566,36 2,29E+08 3,69E+07 4,73E-06 6,96E-05 0,00000 0,00000 0,000 0,000 Seção Mxf(I, J) Myf(I, J) (EI)sec,xx (EI)sec,xx CurvX(I, J) CurvY(I, J) RotX(I, J) RotY(I, J) ax(I, J) ay(I, J)

Iteração: 4

Iteração: 5

Iteração: 6

Iteração: 7

(23)

Linha Elástica 1 2 3 4 5 6 7 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 ay (cm) Seções

Figura 12.7 – Linha elástica do pilar com a consideração do

desacoplamento. Deslocamentos na direção y. A seção com maior deslocamento é a seção do topo.

A seção mais solicitada é a da base, onde os momentos finais (1ª ordem mais 2ª ordem) são MSxd = 1,1 x 1.084,50 = 1.193 kN.cm MSyd = 1,1 x 2.656,27 = 2.922 kN.cm cm kN M_Sd = 1.1932 +2.9222 =3.156 . ° = = 22,21 922 . 2 193 . 1 .tg arc θ

Para esse valor de θ e NSd = 1021 kN, os momentos resistentes no E.L.U.são

MRxd = 1.653 kN.cm MRyd = 4.018 kN.cm cm kN MRd 1.653 4.018 4.345 . 2 2 + = = Portanto

(24)

727 , 0 345 . 4 158 . 3 ₌ =     d Rd Sd M M (com desacoplamento)

b) Processo sem desacoplamento

A determinação das curvaturas é feita considerando a ação simultânea das flexões nas direções x e y. Essas curvaturas são obtidas do gráfico da figura 12.8 (ver item 8.2).

Cada par de momentos solicitantes (MSxd; MSyd) define uma direção do eixo de

solicitação . ( ) Syd Sxd M M tg arc =

θ . Para esse θ encontra-se o ponto D do diagrama da

figura 12.8. As coordenadas desse ponto são os momentos resistente no estado

limite último, divididos por γf3 = 1,1, ou seja, _

      ≡ 3 3 ; f uyd f uxd M M D γ γ . A esses momentos correspondem as curvaturas

( )

θ x ELU r , 1 _e

( )

θ y ELU r , 1 _. 0 10 20 30 40 50 60 0 25 50 75 100 125 150 Mxd (kN.m) Myd (kN.m) E.L.U. Kcurv=0.9 Kcurv=0.8 Kcurv=0.7 Kcurv=0.6 Kcurv=0.5 Kcurv=0.4 Kcurv=0.3 Kcurv=0.2 Kcurv=0.1 Alfa=0 Alfa=10 Alfa=20 Alfa=30 Alfa=40 Alfa=50 Alfa=60 Alfa=70 Alfa=80 Alfa=90 Figura 12.8 – Diagrama “Nd – My d – Mxd – a – Kcurv”, para Nd = NSd/γf 3 = 928,18

kN e σc = 1,1.fcd D θ C Kcurv MSyd MSxd

(25)

As curvaturas para o par de momentos solicitantes são obtidas de

( )

_θ θ x ELU i i Sxd i x r Kcurv M r , , , ( ) . 1 1 ₌      

( )

_θ θ y ELU i i Syd i y r Kcurv M r , , , ( ) . 1 1 ₌      

Na tabela 12.3 estão os resultados obtidos considerando a flexão oblíqua composta. É de se destacar que as rigidezes são variáveis e determinadas para cada par de valores (MSxd, MSyd). Na determinação das curvaturas é onde se tem o maior

trabalho ou o maior tempo de processamento. As rigidezes são obtidas de

( )

_{( )}

i x i xd i x r M EI , , , 1 θ θ =

( )

_{( )}

i y i yd i y r M EI , , , 1 θ θ =

Tabela 12.3: Processo b – Rigidez pontual. Momentos divididos por γf 3 = 1,1. Seção Mxf(I, J) Myf(I, J) (EI)xθ (EI)yθCurvX(I, J) CurvY(I, J) RotX(I, J) RotY(I, J) ax(I, J) ay(I, J)

Iteração: 1

7 513,27 890,86 1,01E+07 2,15E+06 2,03E-06 2,17E-05 0,00054 0,00583 0,054 0,576 6 598,82 1039,34 1,16E+07 2,48E+06 2,37E-06 2,54E-05 0,00048 0,00513 0,039 0,414 5 684,37 1187,81 1,35E+07 2,88E+06 2,71E-06 2,90E-05 0,00040 0,00432 0,025 0,273 4 769,91 1336,29 1,52E+07 3,25E+06 3,05E-06 3,27E-05 0,00032 0,00341 0,015 0,158 3 855,46 1484,77 1,69E+07 3,62E+06 3,40E-06 3,64E-05 0,00022 0,00238 0,007 0,072 2 941,00 1633,24 1,86E+07 3,99E+06 3,74E-06 4,01E-05 0,00012 0,00124 0,002 0,018 1 1026,55 1781,72 2,04E+07 4,36E+06 4,09E-06 4,38E-05 0,00000 0,00000 0,000 0,000 Seção Mxf(I, J) Myf(I, J) (EI)xθ (EI)yθCurvX(I, J) CurvY(I, J) RotX(I, J) RotY(I, J) ax(I, J) ay(I, J)

Iteração: 2

Seção Mxf(I, J) Myf(I, J) (EI)xθ (EI)yθCurvX(I, J) CurvY(I, J) RotX(I, J) RotY(I, J) ax(I, J) ay(I, J)

Iteração: 3

(26)

Seção Mxf(I, J) Myf(I, J) (EI)xθ (EI)yθCurvX(I, J) CurvY(I, J) RotX(I, J) RotY(I, J) ax(I, J) ay(I, J)

Iteração: 4

Iteração: 5

Iteração: 6

Iteração: 7

Linha Elástica 1 2 3 4 5 6 7 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 ay (cm) Seções

Figura 12.9: Linha elástica do pilar sem a consideração do

(27)

A figura 12.9 mostra os deslocamentos na direção y.

Na figura 12.10 é mostrado o diagrama momento-curvatura para a direção y considerando diversos valores do momento na direção x, além da reta que representa a rigidez secante.

Daquela figura observa -se que todas as curvas são superiores à reta da rigidez secante. De modo que se tem sempre as curvaturas obtidas das curvas, menores que as obtidas com a reta da rigidez secante. O que justifica terem resultado menores os deslocamentos e conseqüentemente os momentos fletores com o processo sem desacoplamento que considera as curvaturas obtidas das curvas momento-curvatura.

A seção mais solicitada é a da base do pilar. Os momentos finais (1ª ordem mais 2ª ordem) são MSxd = 1,1 x 1.079,26 = 1.187 kN.cm MSyd = 1,1 x 2.546,50 = 2.801 kN.cm cm kN M_Sd = 1.1872 +2.8012 =3.042 . ° = = 22,966 801 . 2 187 . 1 .tg arc θ

Para esse valor de θ e NSd = 1021 kN, os momentos resistentes do E.L.U. são

MRxd = 1.706 kN.cm MRyd = 4.012 kN.cm cm kN M_Rd = 1.7062 +4.0122 =4.360 . Portanto 698 , 0 360 . 4 042 . 3 ₌ =     a Rd Sd M M (sem desacoplamento)

(28)

Momento Curvatura - Nd=1021 kN

0 10 20 30 40 50 60 70 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 1/ry (1/1000cm) My (kN.m) GamaF3=1,0 Mx=0 Mx=5,50 kN.m Mx=7,15 kN.m Mx=8,80 kN.m Mx=10,45 kN.m Mx=12,1 kN.m MRyd/Gamaf3 Rigidez secante

Figura 12.10 – Diagrama momento curvatura para Nd = 1.021kN.

Na figura 12.11 o ponto P tem as coordenadas:

[

0,698;0,727

]

; =                     ≡ d Rd Sd a Rd Sd M M M M P

que corresponde à região A2.

Figura 12.11 – Gráfico (MSd/MRd)d – (MSd/MRd)a. Localização do

ponto P para o exemplo 1.

Os resultados obtidos estão destacados abaixo. A seção mais solicitada é a seção da base. O processo com desacoplamento fornece resultados pouco maiores, a favor da segurança. 1,0 1,05 1,0 a Rd Sd M M     A1 A2 C D B1 B2 0 Reta s 0,727 0,698 P d Rd Sd M M    

(29)

Processo com desacoplamento Processo sem desacoplamento ax (cm) 0,062 0,057 ay (cm) 0,943 0,824 Mxd,total (kN.m) 10,85*1,1=11,94 10,79*1,1 = 11,87 Myd,total (kN.m) 26,56*1,1=29,22 25,47*1,1 = 28,02

Para os dois processos os momentos fletores da direção x variam entre 5,13kN.m e 10,85 kN.m.

Na figura 12.10 as curvas correspondentes aos valores utilizados de Mxd

praticamente se sobrepõem. Na figura 12.12, esquemática, destaca-se o ponto de intersecção de uma curva com a reta que define a rigidez secante – ponto A.

Figura 12.12 – Diagrama momento-curvatura esquemático.

No trecho OA a rigidez secante é menor que a obtida da curva OAB. No thecho AB a rigidez secante é maior que a obtida da curva OAB.

Exemplo 2:

Seção próxima da quadrada, com armadura somente nos quatro cantos e índice de esbeltez baixo . Concreto: C20, γc = 1,4; ϕ = 0 (fluência) Aço: CA-50; γc = 1,15 Seção retangular: hx = 25 cm e hy = 19 cm Armadura: 4 φ 10 mm; c= 2,5 cm; As = 3,14 cm2; ρ = 0,66%. Pilar: λ = 65 → Le = 356,94 cm L = 0,5.Le = 178,47 cm Força normal centrada resistente do E.L.U.:

NRd = 0,85x(2,0/1,4)x25x19 + 3,14x42 = 708,67 kN

A B Mxd>0 Mxd=0 1/ry My Muyd/γf3 Muyd,A (1/ry)A O

(30)

NSd,mín = 0,4.NRd = 283,466 kN

NSd,méd = 0,6.NRd = 425,200 kN

NSd,máx = 0,8.NRd = 566,933 kN

A inclinação θ, do eixo de solicitação, foi feita variando de 15 a 75 graus com ∆θ = 15 graus.

Níveis de solicitação (flexão): NS = 0,2 – 0,5 – 0,8; Ou seja para a seção da base: MSd,mín = 0,2.MRd

MSd,méd = 0,5.MRd

MSd,máx = 0,8.MRd

Sendo MRd o momento resistente do E.L.U. correspondente à força normal

solicitante e à inclinação θ considerados.

Para a determinação dos momentos solicitantes no topo, considerou-se:

A figura 12.13 mostra os pontos

            ≡ d Rd Sd a Rd Sd M M M M P ; obtidos para as diversas solicitações.

As curvas da figura 12.14 foram obtidas com

Nd = NSd/γf3 = 283,466/1,1 = 257,70 kN

e σc = 1,1.fcd em lugar de σc = 0,85.fcd.

A rigidez secante, para a seção deste exemplo, é (da figura 12.9):

2 4 1 3 sec, .10 1102,52 . 10 1746 , 0 . 1925 ) ( kNm cm x cm kN EI yy = = − − −

A curvatura que corresponde à intersecção da curva para Mxd = 21 kN.m com a reta

da rigidez secante é 1/ry = 0,1052%o cm-1 = 0,01052 m-1 MT = 0 MB MT=0,5.MB MB MT = 1,0.MB MB 0 =     mín B T M M ₌₀_,₅     méd B T M M ₌₁_,₀     máx B T M M Nd MT HT

(31)

Seção 25x19 - 4 fi 10 mm 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 (MSd/MRd)a (MSd/MRd)d

Figura 12.13 – Exemplo 2. Gráfico (MSd/MR d)d – (MS d/MRd)a. Localização

do ponto P. Número de pontos = 405.

Momento-Curvatura - Nd=283,466 kN 0 5 10 15 20 25 30 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 1/ry (1000/cm) MSyd (kN.m) Mx=0,0 Mx=3,5 Mx=7,0 Mx=10,5 Mx=14,0 Mx=17,5 Mx=21,0 MRd/GamaF3 Rig Sec

Figura 12.14 – Exemplo 2. Diagrama momento-curvatura para Nd =

0,4.Nud e γf 3 = 1,1. Para θ = 0° se tem Muy d = 21,27 kN.m. Nível de solicitação = 0,8 135 pontos Nível de solicitação = 0,5 135 pontos Nível de solicitação = 0,2 135 pontos MRyd/Gamaf3=19,25 Mxd/γf3 = 21,00/1,1=19,09 kN.m Myd/γf3 = 11,60 kN.m 11,60 0,1052 _0,1746 A2 A1 B C D

(32)

O momento correspondente vale Myd = (EI)sec,yy.(1/ry)

Myd = 1102,52 x 0,01052 = 11,60 kN.m (ver figura 12.14)

Esse momento deve ser corrigido pelo fator γf3 = 1,1

MSyd = 11,60 x 1,1 = 12,76 kN.m

Para esse par de momentos (MSxd = 21 kN.m; MSyd = 12,76 kN.m) se tem

θ = arc.tg (21,00/12,76) = 58,72°. Para NSd=283,466 kN

e θ = 58,72°

resultam MRxd = 18,68 kN.m

e MRyd = 11,33 kN.m.

Para essa situação se tem um nível de solicitação

124 , 1 33 , 11 76 , 12 ₌ = = Ryd Syd M M NS

Tendo em vista o gráfico da figura 12.13, conclui-se que para esse nível de

solicita-ção o ponto             ≡ d Rd Sd a Rd Sd M M M M

P ; certamente estará na região D.

Raciocínio idêntico se pode fazer para os outros pontos de intersecção das curvas da figura 12.14 com a reta que define a rigidez secante. A tabela 12.4 resume esse cálculo. Desse modo, os trechos úteis das curvas da figura 12.14 são os que estão acima da reta que define a rigidez secante. Curvas superiores implicam em maiores rigidezes. Portanto, a rigidez secante é sempre inferior às rigidezes que se obtém considerando as curvas do diagrama momento-curvatura. E onde isso não acontece os dois processos indicarão falta de segurança do pilar. Assim, fica entendido por que os deslocamentos, e conseqüentemente os momentos fletores, obtidos com o processo da rigidez secante são maiores que os obtidos com as curvas momento-curvatura.

A figura 12.13 mostra que utilizar a rigidez secante da flexão normal composta para o cálculo dos efeitos de 2ª ordem fica a favor da segurança e a figura 12.14 e a tabela 12.4 mostram o porque.

A análise deste exemplo e tendo em vista ainda, os exemplos mostrados a seguir e os milhares de pilares processados, confirmam o objetivo deste trabalho.

(33)

Tabela 12.4: Exemplo 2. Nível de solicitação (NS) para os pontos de cruzamento

das curvas com a reta da rigidez secante da figura 12.14.

Mx = 0,00 3,50 7,00 10,50 14,00 17,50 21,00

1/ry = 1,744E-01 1,726E-01 1,681E-01 1,605E-01 1,488E-01 1,321E-01 1,052E-01

My = 21,14 20,92 20,38 19,46 18,04 16,02 12,75 Teta = 0,00 9,50 18,93 28,35 37,84 47,54 58,79 MRxd = 0,00 3,37 6,43 9,34 12,19 15,13 18,70 MRyd = 21,14 20,15 18,76 17,30 15,69 13,84 11,33 NS = 1,000 1,038 1,087 1,125 1,149 1,157 1,124 Exemplo 3:

Seção com relação hx/hy = 2,54, com uma quantidade média de armadura e índice

de esbeltez baixo. Concreto: C20, γc = 1,4; ϕ = 0 (fluência) Aço: CA-50; γc = 1,15 Seção retangular: hx = 48,33 cm e hy = 19 cm Armadura: 16 φ 10 mm; nx = 6; ny = 0; As = 12,56 cm2 c= 2,5 cm; ρ = 1,368%. Pilar: λ = 65 → Le = 356,94 cm L = 0,5.Le = 178,47 cm Força normal centrada resistente do E.L.U.:

NRd = 0,85x(2,0/1,4)x48,33x19 + 12,56x42 = 1.642,56 kN

NSd,mín = 0,4.NRd = 657,02 kN

NSd,méd = 0,6.NRd = 985,54 kN

NSd,máx = 0,8.NRd = 1.314,05 kN

A inclinação θ, foi feita variando de 15 a 75 graus com ∆θ = 15 graus. Níveis de solicitação (flexão): NS = 0,2 – 0,5 – 0,8;

Ou seja para a seção da base foi feito: MSd,mín = 0,2.MRd

MSd,méd = 0,5.MRd

MSd,máx = 0,8.MRd

(34)

As figuras 12.15 a 12.18 mostram os pontos

            ≡ d Rd Sd a Rd Sd M M M M P ; obtidos

para as diversas solicitações.

Seção 48,33x19 - 16 fi 10 mm 0 0,5 1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 (MSd/MRd)a (MSd/MRd)d

do ponto. Número de pontos = 405.

Nível de solicitação = 0,2 135 pontos Nível de solicitação = 0,5 135 pontos Nível de solicitação = 0,8. 135 pontos MT = 0 MB MT=0,5.MB MB MT = 1,0.MB MB 0 =     mín B T M M 5 , 0 =     méd B T M M ₌₁_,₀     máx B T M M Nd MT HT A2 A1

(35)

Teta = 15 graus 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 (MSd/MRd)a (MSd/MRd)d

do ponto P, com θ = 15 graus.

do ponto P com θ = 45 graus.

A2

A1

A2

(36)

do ponto P com θ = 75 graus.

Momento-Curvatura - Nd=283,466 kN 0 10 20 30 40 50 60 70 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 1/ry (1000/cm) MSyd (kN.m) Mx=0,0 Mx=12,5 Mx=25,0 Mx=37,5 Mx=50,0 Mx=62,5 Mx=75,0 MRd/GamaF3 Rig Sec

Figura 12.19 – Exemplo 3. Diagrama momento-curvatura para Nd = 0,6.Nud

e γf 3 = 1,1.

Tabela 12.5 – Exemplo 3.Nível de solicitação (NS) para os pontos de cruzamento

Mx = 0,00 3,50 7,00 10,50 14,00 17,50 21,00

1/ry = 1,744E-01 1,726E-01 1,681E-01 1,605E-01 1,488E-01 1,321E-01 1,052E-01

My = 21,14 20,92 20,38 19,46 18,04 16,02 12,75 Teta = 0,00 9,50 18,93 28,35 37,84 47,54 58,79 MRxd = 0,00 3,37 6,43 9,34 12,19 15,13 18,70 MRyd = 21,14 20,15 18,76 17,30 15,69 13,84 11,33 NS = 1,000 1,038 1,087 1,125 1,149 1,157 1,124 A1 A2

(37)

Os pontos das curvas momento-curvatura abaixo da reta da rigidez secante correspondem a níveis de solicitação acima de 1,0. Para esses níveis de solicitação

se obtém pontos             ≡ d Rd Sd a Rd Sd M M M M

P ; nas região C ou D como pode ser

observado na figura 12.15. Portanto, de novo se conclui que utilizar a rigidez secante da flexão normal composta para obtenção dos efeitos de 2ª ordem sempre fica a favor da segurança.

Na figura 12.15 se pode observar que quando se aumenta o nível de solicitação (NS=MSd/MRd) os pontos P se deslocam em direção à região D dos gráficos

(MSd/MRd)d-(MSd/MRd)a.

Exemplo 4:

Seção com relação hx/hy = 5, quantidade alta de armadura e índice de esbeltez

baixo. Concreto: C25, γc = 1,4; ϕ = 0 (fluência) Aço: CA-50; γc = 1,15 Seção retangular: hx = 95 cm e hy = 19 cm Armadura: 46 φ 16 mm; nx = 20; ny = 1 c= 3,5 cm; ρ = 5,35%. Pilar: λ = 75 → Le = 411,85 cm L = 205,92 cm Força normal centrada resistente do E.L.U.:

NRd = 0,85x(2,5/1,4)x95x19 + 92x42 = 6.603,73 kN

NSd,mín = 0,4.NRd = 2.641,49 kN

NSd,méd = 0,6.NRd = 3.962,24 kN

NSd,máx = 0,8.NRd = 5.282,99 kN

A inclinação θ foi feita variando de 15 a 75 graus com ∆θ = 15 graus. Níveis de solicitação (flexão): NS = 0,2 – 0,5 – 0,8;

Ou seja para a seção da base foi feito: MSd,mín = 0,2.MRd

(38)

MSd,máx = 0,8.MRd

As figuras 12.20 a 12.23 mostram os pontos

            ≡ d Rd Sd a Rd Sd M M M M P ; obtidos

para as diversas solicitações.

Seção 95x19 - 46 fi 16 mm 0 0,5 1 1,5 2 0 0,5 1 1,5 2 (MSd/MRd)a (MSd/MRd)d

Figura 12.20 – Exemplo 4. Gráfico (MSd/MR d)d – (MS d/MRd)a. Localização dos

pontos P.

Nas figuras 12.21, 12.22 e 12.23 são mostrados os pontos P para força normal solicitante igual a 0,4NRd, 0,6NRd e 0,8NRd respectivamente.

C A2 A B D MT = 0 MB MT=0,5.MB MB MT = 1,0.MB MB 0 =     mín B T M M ₌₀_,₅     méd B T M M ₌₁_,₀     máx B T M M Nd MT HT

(39)

Nd = 0,4.Nud = 2431 kN 0 0,5 1 1,5 2 0 0,5 1 1,5 2 (MSd/MRd)a (MSd/MRd)d

Figura 12.21 – Exemplo 4. Gráfico (MSd/MR d)d – (MS d/MRd)a para Nd = 0,4.Nud.

Nd = 0,6.Nud = 3646 kN 0 0,5 1 1,5 2 0 0,5 1 1,5 2 (MSd/MRd)a (MSd/MRd)a

Figura 12.22 – Exemplo 4. Gráfico (MSd/MR d)d – (MS d/MRd)a para Nd = 0,6.NRd.

A1 B A2 C D Nível de solicitação = 0,2 Nível de solicitação = 0,5 Nível de solicitação = 0,8 Nivel de solicitação = 0,2 Nivel de solicitação = 0,5 Nivel de solicitação = 0,8 A2 A1 C D B

(40)

Nd = 0,8.Nud = 4.861 kN 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 (MSd/MRd)a (MSd/MRd)a

Figura 12.23 – Exemplo 4. Gráfico (MSd/MR d)d – (MS d/MRd)a para Nd = 0,8.NRd.

Para a força normal solicitante NSd = 0,6.Nud = 3646 kN na flexão normal composta

na direção x se tem para momento fletor resistente do E.L.U. MRxd = 694 kN.m. A

figura12.24 apresenta o diagrama momento-curvatura para valores de MSxd

compatíveis com esse limite e a tabela 12.6 mostra os valores dos níveis de solicitação (NS) correspondentes aos pontos de intersecção das curvas para os diversos Mxd com a reta que define a rigidez secante.

Momento-Curvatura - Nd=3646 kN 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 1/ry (1000/cm) MSyd (kN.m) Mx=0,0 Mx=75,0 Mx=150,0 Mx=225,0 Mx=300,0 Mx=375,0 Mx=450,0 MRd/GamaF3 Rig Sec

(41)

Tabela 12.6: Exemplo 4.Nível de solicitação (NS) para os pontos de cruzamento

Mx (kN.m)= 0,00 75,00 150,00 225,00 300,00 375,00 450,00 1/ry = 1,320E-01 1,317E-01 1,278E-01 1,212E-01 1,117E-01 9,912E-02 8,206E-02

My = 134,42 134,16 130,17 123,46 113,76 100,94 83,57

Teta = 0,00 29,24 49,08 61,29 69,28 74,99 79,50

Muxd = 0,00 74,97 146,42 214,91 283,66 355,46 432,80 Muyd = 135,42 133,94 126,92 117,69 107,28 95,31 80,25

NS = 1,000 1,001 1,025 1,047 1,058 1,055 1,040

Todos os níveis de solicitação da tabela 12.6 resultaram acima de 1,0. As figuras 12.20 a 12.23 mostram que para níveis de solicitação acima desse valor os pontos P caem na região D onde, como já foi mostrado, é indiferente o uso dos processo com ou sem desacoplamento. Portanto, o fato das curvas correspondentes a Mxd = 75 a

450 kN.m possuírem um trecho abaixo da reta da rigidez secante não contradiz a tese aqui defendida. Ou seja, este exemplo também confirma a tese de que o desacoplamento das flexões, no cálculo dos efeitos de 2ª ordem com a rigidez secante é possível e a favor da segurança.

Como a parte útil das curvas do diagrama momento-curvatura é superior à reta da rigidez secante os pontos P sempre estarão acima da reta s da figura 12.2 ou na região D.

Exemplo 5:

Seção próxima da quadrada, com armadura somente nos quatro cantos e índice de esbeltez médio. Concreto: C20, γc = 1,4; ϕ = 0 (fluência) Aço: CA-50; γc = 1,15 Seção retangular: hx = 25 cm e hy = 19 cm Armadura: 4 φ 10 mm; c= 2,5 cm; ρ = 0,66%. Pilar: λ = 90 → Le = 494,22 cm L = 247,11 cm Força normal centrata resistente do E.L.U.:

NRd = 0,85x(2/1,4)x25x19 + 3,14x42 = 708,67 kN

NSd,mín = 0,4.NRd = 283,47 kN

(42)

NSd,máx = 0,8.NRd = 566,93 kN

A inclinação θ, do eixo de solicitação, foi feita variando de 15 a 75 graus com ∆θ = 15 graus.

Níveis de solicitação (flexão): NS = 0,2 – 0,5 – 0,8; Ou seja para a seção da base foi feito: MSd,mín = 0,2.MRd

MSd,méd = 0,5.MRd

MSd,máx = 0,8.MRd

Sendo MRd o momento último correspondente à força normal solicitante e à

inclinação θ considerados.

A figura 12.25 mostra os pontos

            ≡ d Rd Sd a Rd Sd M M M M P ; obtidos para as diversas solicitações. Seção 25x19 - 4 fi 10 mm 0 0,5 1 1,5 2 0 0,5 1 1,5 2 (MSd/MRd)a (MSd/MRd)d

Figura 12.25 – Exemplo 5. Gráfico (MSd/MR d)d – (MS d/MRd)a. Localização dos

pontos P. MT = 0 MB MT=0,5.MB MB MT = 1,0.MB MB 0 =     mín B T M M ₌₀_,₅     méd B T M M ₌₁_,₀     máx B T M M Nd MT HT A2 A1 D C B2 NS = 0,5 NS = 0,8 NS = 0,2

(43)

Momento-Curvatura - Nd=3646 kN 0 5 10 15 20 25 30 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 1/ry (1000/cm) MSyd (kN.m) Mx=0,0 Mx=3,5 Mx=7,0 Mx=10,5 Mx=14,0 Mx=17,5 Mx=21,0 MRd/GamaF3 Rig Sec

e γf 3 = 1,1. Para θ = 0° se tem Mu y d = 21,17 kN.m.

Tabela 12.7 – Exemplo 5.Nível de solicitação (NS) para os pontos de cruzamento

Mx (kN.m)= 0,00 3,50 7,00 10,50 14,00 17,50 21,00 1/ry = 1,744E-01 1,726E-01 1,681E-01 1,605E-01 1,488E-01 1,321E-01 1,052E-01

My = 21,14 20,92 20,38 19,46 18,04 16,02 12,75 Teta = 0,00 9,50 18,93 28,35 37,84 47,54 58,79 MRxd = 0,00 3,37 6,43 9,34 12,19 15,13 18,70 MRyd = 21,14 20,15 18,76 17,30 15,69 13,84 11,33 NS = 1,000 1,038 1,087 1,125 1,149 1,157 1,124 Exemplo 6:

Seção com relação hx/hy = 2,54, com uma quantidade média de armadura e índice

de esbeltez alto . Concreto: C25, γc = 1,4; ϕ = 1,5 (fluência) Aço: CA-50; γc = 1,15 Seção retangular: hx = 48,33 cm e hy = 19 cm Armadura: 16 φ 10 mm; nx = 6; ny = 0; As = 12,56 cm2 c= 2,5 cm; ρ = 1,368%. Pilar: λ = 115 → Le = 631,50 cm L = 315,75 cm

A consideração da fluência do concreto foi feita de acordo com o item 3.4.4. deste trabalho e o coeficiente de fluência adotado neste exemplo foi ϕ = 1,5. Assim, a tensão no concreto para deformação de 2%o é

(44)

] ) 0 , 2 ) 5 , 1 1 ( 0 , 2 1 ( 1 [ ) 4 , 1 / 5 , 2 ( 85 , 0 2 x x x c + − − = σ σc = 0,971 kN/cm2

Força normal centrada resistente do E.L.U.:

NRd = hx.hy.σc + As.σs2%o

NRd = 48,33x19x0,971+ 12,56x42

NRd = 1.419,16 kN

NSd,mín = 0,1.NRd = 141,92 kN

NSd,máx = 0,3.NRd = 425,75 kN

A inclinação θ, foi feita variando de 15 a 75 graus com ∆θ = 15 graus. Níveis de solicitação (flexão): NS = 0,1 – 0,3.

Ou seja , para a seção da base foi feito: MSd,mín = 0,1.MRd

MSd,máx = 0,3.MRd

Para esbeltez λ = 115, as ações sobre o pilar têm que ser menores que as consideradas nos exemplos anteriores, já que, com aquelas ações os pilares aqui se mostram sempre instáveis, com os pontos P caindo na região D da figura 12.27. Para se obter pontos nas regiões A1, A2, B ou C foram consideradas ações relativamente menores que nos exemplos anteriores.

MB MT=0,4.MB MB 1 , 0 =     mín B T M M ₌₀_,₄     méd B T M M Nd MT HT MT=0,1.MB

(45)

A figura 12.27 mostra os pontos             ≡ d ud Sd a ud Sd M M M M P ; obtidos para as diversas solicitações. Seção 48,33x19 - 16 fi 10 mm 0 0,5 1 1,5 0 0,5 1 1,5 (MSd/MRd)a (MSd/MRd)d

dos pontos P.

A figura 12.28 mostra o diagrama momento-curvatura para a direção y, para a força normal solicitante Nd = 425,75 kN e diversos valores para Mxd.

Momento-Curvatura - Nd=425,75 kN 0 10 20 30 40 50 60 70 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 1/ry (1000/cm) MSyd (kN.m) Mx=0,0 Mx=15,0 Mx=30,0 Mx=45,0 Mx=60,0 Mx=75,0

Mx=90,0 MRd/GamaF3 Rig Sec

Figura 12.28 – Exemplo 6. Diagrama momento-curvatura para Nd = 0,4.NRd

e γf 3 = 1,1. A1 A2 C 1 B D