Transformada de Laplace. Transformada de Laplace (CP1) DEQ/UFSCar 1 / 76

(1)

(2)

Roteiro I

1 _Introdução

Definição da Transformada

Transformada de Laplace de Algumas Funções Transformada de Derivadas

Solução de Equações Diferenciais Lineares 2 _{Inversão por Frações Parciais}

Raízes Distintas, Reais ou Complexas Raízes Múltiplas

3 _{Solução de Equações Diferenciais Lineares com a Transformada}

de Laplace

4 _{Natureza Qualitativa das Soluções}

5 _{Propriedades Adicionais das Transformadas de Laplace} 6 _Exemplos

Equação Diferencial de Primeira Ordem (Geral) Equação Diferencial de Primeira Ordem

(3)

Roteiro II

Equação Diferencial de Segunda Ordem (Raízes Reais Diferentes)

Equação Diferencial de Segunda Ordem (Raízes Complexas) Equação Diferencial de Segunda Ordem (Raízes Múltiplas) Sistema com Interação

(4)

Introdução à Transformada de Laplace

O método daTransformada de Laplace é uma ferramenta que propor-ciona a solução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, de maneira sistemática e relativamente simples.

Uma classe importante do controle se restringe à resolução desses tipos de equações. Portanto, destaca-se a importância da Transfor-mada de Laplace no controle de processos.

A transformação de uma equação diferencial resulta em umaequação algébrica, onde a variável s substitui a variável independente (como o tempo, t).

(5)

Introdução à Transformada de Laplace

continuação E s p a ç o O r i g i n a l E q u a ç ã o D i f e r e n c i a l + C o n d i ç õ e s I n i c i a i s e d e C o n t o r n o S o l u ç ã o d o P r o b l e m a O r i g i n a l E s p a ç o d a T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e E q u a ç ã o A l g é b r i c a S o l u ç ã o T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e T r a n s f o r m a d aI n v e r s a d e L a p l a c e

L

- 1

(6)

Definição da Transformada de Laplace

A Transformada de Laplace de uma função f (t) é

F (s) = L{f (t)} = Z ∞

0

f (t)e−stdt

A Transformada de Laplace é linear

(7)

Transformada de Laplace de Algumas Funções

Item F (s) f (t) 1 1 δ(t), impulso unitário 2 1 s u ?_{(t), degrau unitário} 3 1 s2 t, rampa 4 1 sn (n = 3, 4, . . .) t n−1 (n−1)! 5 _s+a1 e−at 6 1 τs+1 1 τe−t/τ 7 _(s+a)1 n (n = 2, 3, . . .) t n−1_e−at (n−1)! 8 1 (τs+1)n (n = 2, 3, . . .) t n−1_e−t/τ τn_(n−1)! 9 s

(s+a)2 e−at(1 − at)

10 1 s(s+a) 1 a(1 − e−at) 11 1 s(τ s+1) 1 − e −t/τ 12 1 s(τ s+1)n 1 − e−t/τ Pn−1 i=0 (t/τ )i i!

(8)

Transformada de Laplace de Algumas Funções

continuação

Item F (s) f (t)

13 _(s+a)(s+b)1 _(b−a)1 (e−at− e−bt)

14 1 (τ1s+1)(τ2s+1) 1 (τ2−τ1)(e −t/τ1_{− e}−t/τ2₎ 15 s (s+a)(s+b) 1

(a−b)(ae−at− be−bt)

16 s+c (s+a)(s+b) (c−a) (b−a)e −at₊ (c−b) (a−b)e −bt 17 τ3s+1 (τ1s+1)(τ2s+1) 1 τ1 (τ1−τ3) (τ1−τ2)e −t/τ1₊ 1 τ2 (τ2−τ3) (τ2−τ1)e −t/τ2 18 _s(s+a)(s+b)1 _ab1 h

1 + _(a−b)1 (be−at− ae−bt) i 19 1 (s+a)(s+b)(s+c) e−at (b−a)(c−a)+ e−bt (a−b)(c−b) + e−ct (a−c)(b−c) 20 (s+d ) (s+a)(s+b)(s+c) (d −a)e−at (b−a)(c−a)+ (d −b)e−bt (a−b)(c−b) + (d −c)e−ct (a−c)(b−c) 21 1 s2_+a2 1 a sen(at) 22 1 s(s2_+a2₎ 1 a2[1 − cos(at)]

(9)

Transformada de Laplace de Algumas Funções

continuação Item F (s) f (t) 23 s s2_+a2 cos(at) 24 a cos(φ)+s sen(φ) s2_+a2 sen(at + φ) 25 1 (s+a)2_+b2 1 be−at sen(bt) 26 s+a

(s+a)2_+b2 e−atcos(bt)

27 e−as δ(t − a), impulso unitário em t = a

28 e

−as

s u?(t − a), degrau unitário em t = a

29 w (τs+1)(s2_+w2₎ w τ τ2_w2₊₁ e−t/τ +√ 1 τ2_w2₊₁ sen(wt + θ) ondeθ = arctg(−w τ ) 30 1 s2_(τs+1) τ (e−t/τ +t/τ − 1) 31 1 s(τ1s+1)(τ2s+1) 1 + 1 (τ2−τ1)(τ1e −t/τ1_{− τ} 2e−t/τ2) 32 τ3s+1 s(τ1s+1)(τ2s+1) 1 + (τ3−τ1) (τ1−τ2)e −t/τ1₊(τ3−τ2) (τ2−τ1)e −t/τ2 33 f (s)e−as f (t − a)

(10)

Transformada de Laplace de Algumas Funções

continuação

Inversões que Apresentam Respostas com Decaimento Oscilatório ξ <1; A =p(1 − ξ2_{); B =}p (1 − ξ2_{)/τ; C = ξ/τ} Item F (s) f (t) 34 1 τ2_s2_{+2ξτ s+1} 1 Aτe−ct sen(Bt) 35 1 s(τ2_s2_{+2ξτ s+1)} 1 − _A1e−ct sen(Bt + φ) ondeφ = arctg B_C 36 τ1s+1 τ2_s2_{+2ξτ s+1} 1 Aτ h 1 − 2τ1C + τ_τ1 2i1/2 e−ct sen(Bt + φ) ondeφ = arctg τ1B 1−τ1C

(11)

Transformada de Derivadas

A Transformada de Laplace tem a propriedade singular de transformar a operação de diferenciação em relação a t em uma multiplicação por s: L df (t) dt = sF (s) − f (0), f (0) = f (t = 0) L d 2_{f (t)} dt2 = s2F (s) − sf (0) − f0(0), f0(0) = f0(t = 0) L d n_{f (t)} dtn = snF (s) − sn−1f (0) − sn−2f0(0) − · · · − sfn−2(0) − fn−1(0), f(i)(0) = f(i)(t = 0)

(12)

Solução de Equações Diferenciais Lineares

Na resolução de equações diferenciais por Transformada de Laplace, as funções fi(t) são convertidas em suas transformadas e as equações algébricas resultantes são resolvidas para as funções Fi(s) desconhe-cidas. Segue-se o seguinte procedimento:

1 _{obter a Transformada de Laplace de ambos os membros da}

equação (as condições iniciais são incorporadas neste passo nas transformadas das derivadas)

2 _{resolver algebricamente a equação resultante para a}

Transformada de Laplace da função desconhecida

3 _{achar a função de t que possui a Transformada de Laplace obtida}

no passo 2. Esta função satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais e, conseqüentemente, é a função desejada (obter aTransformada Inversa de Laplace, L−1)

(13)

Inversão por Frações Parciais

As equações diferenciais a serem resolvidas são todas da forma geral

and n_y dtn +an−1 dn−1_y dtn−1 + · · · +a1 dy dt +a0y = bmd m_u dtm +bm−1 dm−1u dtm−1 + · · · +b1 du dt +b0u (1)

onde y(i)(0) = y(i)(t = 0) e u(i)(0) = u(i)(t = 0).

A função desconhecida é y (t) (resposta do sistema). A fun-ção u(t) é chamada de função perturbação (entrada do sistema). an,an−1, · · · ,a1,a0,bm,bm−1, · · · ,b1,b0são coeficientes constantes.

(14)

Inversão por Frações Parciais

continuação

Quando a Transformada de Laplace é aplicada em ambos os lados da equação (1), as condições iniciais são introduzidas e, então

Y (s) = cms m₊_c m−1sm−1+ · · · +c1s + c0 sn₊_d n−1sn−1+ · · · +d1s + d0 U(s) = N(s) D(s)

onde N(s) e D(s) são polinômios em s que representam o numerador e o denominador, com graus m e n, respectivamente.

(15)

Inversão por Frações Parciais

continuação

Sendo o grau de D(s) maior do que o de N(s), Y (s) pode ser expandida emfrações parciais, após fatorar o polinômio D(s), tal que

Y (s) = N(s)

(s − p1)(s − p2) · · · (s − pn) U(s)

onde p1,p2, · · · ,pn são as raízes reais ou complexas do polinômio D(s). D(s) é conhecido como a equação característica ou polinômio característico e [p1,p2, · · · ,pn]são os pólos do sistemarepresentado por Y (s)/U(s).

Determinadas essas raízes, o próximo passo depende da natureza de seus valores e da frequência em que elas aparecem.

(16)

Inversão por Frações Parciais

Raízes Distintas, Reais ou Complexas

Quando as raízes sãoreais ou complexas, masdistintas, pode-se es-crever Y (s) como a soma de frações parciais, com um termo para cada raiz pi: Y (s) = N(s) D(s) = N(s) (s − p1)(s − p2) · · · (s − pn) U(s)

para U(s) = 1 (impulso unitário) (2)

Y (s) = A1 s − p1 + A2 s − p2 + · · · + An s − pn (3)

Para calcular o coeficiente Ai, multiplique ambos os lados da equação (3) por (s − pi). Após substituir s por pi, todos os termos do lado direito da equação (3) desaparecem, com exceção de Ai. Portanto,

Ai = (s − pi) N(s) D(s) s=pi = N(pi) (pi− p1)(pi− p2) · · · (pi− pn)

(17)

coeficien-Inversão por Frações Parciais

Raízes Distintas, Reais ou Complexas (continuação)

Cada termo da expansão em frações parciais com uma raiz real resul-tará em um termo no domínio do tempo, tal que a Transformada Inversa de Laplace será

Ai s − pi

L−1

=⇒Aiepit

Existindo uma raiz complexa, necessariamente uma outra raiz é complexa conjugada da primeira: pj =aj+ ıbj e pk = ak − ıbk, onde aj =ak e bj =bk.

A Transformada Inversa de Laplace dos pares complexos forma a ex-pressão Aj s − (aj+ ıbj) + Ak s − (ak − ıbk) L−1 =⇒Aje(aj+ıbj)t +Ake(ak−ıbk)t

(18)

Inversão por Frações Parciais

Raízes Distintas, Reais ou Complexas (continuação)

Aplicando a identidade trigonométrica ex +ıy ₌ _ex_{(cos y + ı seny ) no} resultado da transformada inversa, esta resulta em

(Aj+Ak)eajtcos(bjt) + (Aj− Ak)eajtısen(bjt)

Utilizando uma outra identidade trigonométrica a1cos b + a2senb = a3sen(b + φ), onde a3 e φ são calculados de a3 =

q a2₁+a2₂ e φ = tan−1(a1/a2), obtém-se 2eajt q Aj· Ak sen(bjt + φ), com φ =tan−1 _A j+Ak (Aj− Ak)ı

(19)

Inversão por Frações Parciais

Raízes Múltiplas

Se o polinômio D(s) apresentar raízes múltiplas, o fator (s − pi)n do denominador de Y (s) dará origem a n termos na expansão em frações parciais, tal que

Y (s) = N(s) D(s) = Ai,1 (s − pi)n + Ai,2 (s − pi)n−1 + · · · + Ai,n (s − pi) + · · · (4)

A constante Ai,1 pode ser determinada da forma usual, pela multi-plicação por (s − pi)n e fazendo s = pi. As outras constantes são determinadas por sucessivas multiplicações do resultado da diferenci-ação da equdiferenci-ação (4), após substituir s por pi.

Os termos apresentados na equação (4) conduzem à seguinte expres-são como transformada inversa:

_A i,1 (n − 1)!t n−1₊ Ai,2 (n − 2)!t n−2_{+ · · · +}_A i,n−1t + Ai,n epit

(20)

Solução de Equações Diferenciais Lineares com a

Transformada de Laplace

Resumindo: as seguintes etapas são executadas

1 _{obter a Transformada de Laplace de ambos os membros da}

equação

2 _{resolver algebricamente a equação resultante}

3 _{inversão da transformada — técnica da expansão em frações}

(21)

Solução de Equações Diferenciais Lineares com a

Transformada de Laplace

continuação

Forma Geral: modelo LTI Em notação vetorial

˙x = Ax + Bu, x0=0

y = Cx + Du

Aplica-se a Transformada de Laplace em ambos os lados das duas equações do modelo LTI, substituindoX(s) obtido da resolução da

pri-meira equação na equação da saídaY(s). Ao final obtém-se uma

rela-ção entre a saída e a entrada,Y(s)/U(s), conhecida como Função de Transferência (ou Matriz Função de Transferência), denominada de G(s):

Y(s) = [C(s − A)−1B + D

| {z }

G(s)

(22)

Solução de Equações Diferenciais Lineares com a

Transformada de Laplace

continuação

Essa equação permite a conversão entre a representação do sistema da forma em Espaço de Estado (LTI: domínio do t) para o da forma Função de Transferência(domínio s).

(23)

Natureza Qualitativa das Soluções

A informação sobre a forma da solução y (t) pode ser diretamente ob-tida dasraízes (pólos) do denominador de Y (s)chamado deequação característica.

A natureza qualitativa da solução de y (t) está relacionada à localização das raízes (pólos) da equação característica no plano complexo:

p 1 p 2 p 3 _p 4 p 5 p 6 p 2* p ₃* p 4* ( - a1, 0 ) ( - a2, b2) ( - a2, - b2) ( 0 , b3) ( 0 , - b3) ( a4, b 4) ( a4, - b4) ( a5, 0 ) ( 0 , 0 ) e i x o i m a g i n á r i o e i x o r e a l e s t á v e l i n s t á v e l

Pólos Termos em y (t) para t > 0

p1 A1e−a1t p2,p₂∗ e−a2t_[A 1cos(b2t) + A2sen(b2t)] p3,p3∗ A1cos(b3t) + A2sen(b3t) p4,p4∗ ea4t[A1cos(b4t) + A2sen(b4t)] p5 A1ea5t p6 A1

(24)

Natureza Qualitativa das Soluções

continuação

Observa-se, então, que:

pólos à esquerda do eixo imaginágio (semi-plano esquerdo) correspondem a respostas que decrescem exponencialmente com o tempo: sistemasestáveis

pólos à direita do eixo imaginágio (semi-plano direito)

correspondem a respostas que crescem exponencialmente com o tempo: sistemasinstáveis

pólos complexos conjugados fazem a resposta oscilar com o tempo

com amplitudes decrescentes (sistemasestáveis) quando localizados no semi-plano esquerdo

com amplitudes crescentes (sistemasinstáveis) quando localizados no semi-plano direito

com amplitudes constantes (nolimite de estabilidade) quando localizados sobre o eixo imaginário

(25)

Natureza Qualitativa das Soluções

continuação

pólos sobre a origem indicam uma resposta constante no tempo é óbvio que para uma dada entrada, u(t), deve-se considerar as raízes adicionais introduzidas pelo denominador de U(s) para se ter um quadro completo da resposta qualitativa do sistema

(26)

Conversão Entre LTI e Função de Transferência

estudo de caso

Tanque de Aquecimento com Agitação

O modelo LTI (espaço de estado)

_˙h ˙ T | {z } ˙x =−0, 10 0 0 −1, 30 | {z } A h T | {z } x + 1, 00 0 1, 00 0 0 0 −86, 52 0, 10 −84, 52 0, 10 190, 04 1, 10 | {z } B         Fi1 Ti1 Fi2 Ti2 Fst Tst         | {z } u , x0=0 h T | {z } y =1 0 0 1 | {z } C h T | {z } x

(27)

Conversão Entre LTI e Função de Transferência

estudo de caso (continuação)

pode ser transformado em modelo na forma função de transferência, utilizando

Y(s) = [C(s − A)−1B + D

| {z }

G(s)

]U(s)

cuja Matriz Função de Transferência, G(s), é calculada utilizando as instruções noMATLAB

sysss=ss(A,B,C,D) % cria modelo em espaço de estado systf=tf(sysss) % cria modelo em função de transferência ou instruções equivalentes noSCILAB

sysss=syslin(’c’,A,B,C) // cria modelo contínuo (c) em espaço de estado com D = 0

(28)

Conversão Entre LTI e Função de Transferência

h(s) T (s) | {z } Y(s) = 1 s+0,10 0 1 s+0,10 0 0 0 −86,52 s+1,30 0,10 s+1,30 −84,52 s+1,30 0,10 s+1,30 190,04 s+1,30 1,10 s+1,30 ! | {z } G(s)         Fi1(s) Ti1(s) Fi2(s) Ti2(s) Fst(s) Tst(s)         | {z } U(s)

(29)

Conversão Entre LTI e Função de Transferência

mostrando as 2 × 6 funções de transferências entre as 2 saídas [h(s)T (s)]T e as 6 entradas [Fi1(s)Ti1(s)Fi2(s)Ti2(s) Fst(s)Tst(s)]T, Yi(s) Uj(s): h(s) Fi1(s)= 1 s + 0, 10 h(s) Ti1(s)=0 h(s) Fi2(s)= 1 s + 0, 10 h(s) Ti2(s)=0 h(s) Fst(s)=0 h(s) Tst(s)=0 T (s) Fi1(s) = −86, 52 s + 1, 30 T (s) Ti1(s) = 0, 10 s + 1, 30 T (s) Fi2(s) = −84, 52 s + 1, 30 T (s) Ti2(s) = 0, 10 s + 1, 30 T (s) Fst(s) = 190, 04 s + 1, 30 T (s) Tst(s) = 1, 10 s + 1, 30

(30)

Propriedades Adicionais das Transformadas de

Laplace

Propriedades selecionadas de acordo com sua aplicabilidade em teoria de controle, lembrando que F (s) = L{f (t)}:

Teorema do Valor Final

lim

t→∞[f (t)] = lims→0[sF (s)]

desde que sF (s) seja finita. Caso contrário, f (t) não apresenta limite quando t → ∞.

Teorema do Valor Inicial

lim

t→0[f (t)] = lims→∞[sF (s)]

Translação da Transformada

(31)

Propriedades Adicionais das Transformadas de

Laplace

continuação

Transformada de uma Integral

L Z t 0 f (t)dt = F (s) s Translação da Função L{f (t − t0)} =e−t0s_{F (s)} 0 t₀

f

t

f ( t ) f ( t - t0)

(32)

Equação Diferencial de Primeira Ordem

Exemplo

Obtenha a solução da seguinte equação diferencial linear de primeira ordem

a1 dy

dt +a0y = b0u, y (t = 0) = y (0)

(33)

Equação Diferencial de Primeira Ordem

Solução

a1 dy

dt +a0y = b0u, y (0) = 0

Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação:

L a1 dy dt +a0y = L{b0u} a1    sY (s) − y (0) | {z } =0    +a0Y (s) = b0U(s)

(34)

Equação Diferencial de Primeira Ordem

continuação

Resolvendo a equação no domínio da Transformada: a1sY (s) + a0Y (s) = b0U(s) (a1s + a0)Y (s) = b0U(s) Y (s) = b0 a1s + a0 U(s) ⇒ Y (s) U(s) = b0 a1s + a0 ou Y (s) U(s) = b0 a0 a1 a0s + 1 (a₀6= 0 e pólo p = −a0/a1)

Substituindo u pelo degrau de amplitude A: Y (s) U(s) = b0 a0 a1 a0s + 1 ⇒ Y (s) = b0 a0 a1 a0s + 1 A s Y (s) = b0 a0A s(a1 a0s + 1)

(35)

Equação Diferencial de Primeira Ordem

continuação Costuma-se chamar b0 a0 =Kpe a1 a0 = τp.

Calculando a transformada inversa de Y (s) utilizando uma tabela de Transformada de Laplace: Y (s) = KpA s(τps + 1) L−1 =⇒ y (t) = KpA 1 − e−t/τp

(36)

Equação Diferencial de Primeira Ordem

Exemplo

Obtenha a solução da seguinte equação diferencial linear de primeira ordem

a1 dy

dt +a0y = b0u, y (t = 0) = y (0)

(37)

Equação Diferencial de Primeira Ordem

Solução

a1 dy

dt +a0y = b0u, y (0) = 0

L a1 dy dt +a0y = L{b0u} a1    sY (s) − y (0) | {z } =0    +a0Y (s) = b0U(s)

(38)

Equação Diferencial de Primeira Ordem

continuação

Resolvendo a equação no domínio da Transformada: a1sY (s) + a0Y (s) = b0U(s) (a1s + a0)Y (s) = b0U(s) Y (s) = b0 a1s + a0 U(s) ⇒ Y (s) U(s) = b0 a1s + a0 ou Y (s) U(s) = b0 a0 a1 a0s + 1 (a06= 0 e pólo p = −a0/a1)

Substituindo os coeficientes a1=a0=b0=1 e u pelo degrau unitário: Y (s) U(s) = b0 a0 a1 a0s + 1 ⇒ Y (s) = 1 s + 1 1 s Y (s) = 1 s(s + 1)

(39)

Equação Diferencial de Primeira Ordem

continuação

Calculando a transformada inversa de Y (s) utilizando uma tabela de Transformada de Laplace:

Y (s) = 1

s(s + 1) L−1

(40)

Equação Diferencial de Segunda Ordem

Exemplo

Obtenha a solução da seguinte equação diferencial linear de segunda ordem a2 d2y dt2 +a1 dy dt +a0y = b0u, y (t = 0) = y (0) e y 0_{(t = 0) = y}0₍₀₎ com a2,a1,a0,b06= 0 e y (0) = y0(0) = 0 e u é um degrau de amplitude A.

(41)

Equação Diferencial de Segunda Ordem

Solução a2 d2y dt2 +a1 dy dt +a0y = b0u, y (0) = y 0_{(0) = 0}

L a2 d2y dt2 +a1 dy dt +a0y = L {b0u} a2    s2Y (s) − s y (0) | {z } =0 − y0(0) | {z } =0    +a1    sY (s) − y (0) | {z } =0    +a0Y (s) = b0U(s)

(42)

Equação Diferencial de Segunda Ordem

continuação

Resolvendo a equação no domínio da Transformada:

a2s2Y (s) + a1sY (s) + a0Y (s) = b0U(s) a2s2+a1s + a0 Y (s) = b0U(s) Y (s) = b0 a2s2+a1s + a0 U(s) ⇒ Y (s) U(s) = b0 a2s2+a1s + a0 ou Y (s) U(s) = b0 a0 a2 a0s 2₊ a1 a0s + 1 com a06= 0 e pólos p1= −a1+ q a2₁− 4a2a0 /a1e p2= −a1− q a2 1− 4a2a0 /a1

(43)

Equação Diferencial de Segunda Ordem

continuação

Substituindo u pelo degrau de amplitude A:

Y (s) U(s) = b0 a0 a2 a0s 2₊ a1 a0s + 1 ⇒ Y (s) = b0 a0 a2 a0s 2₊a1 a0s + 1 A s Y (s) = b0 a0A s(a2 a0s 2₊ a1 a0s + 1) Costuma-se chamar b0 a0 =Kp, a2 a0 = τ 2 p e aa10 =2ζτp.

Neste caso, os pólos são descritos como p1 =

−ζ +pζ2_{− 1}_/τp _e p2=

(44)

Equação Diferencial de Segunda Ordem

continuação

Quandoζ =1, os pólos são reais e iguais a p1=p2= −1/τp.

Calculando a transformada inversa de Y (s) utilizando uma tabela de Transformada de Laplace: Y (s) = KpA s(τ2 ps2+2ζτps + 1) = KpA s(τps + 1)(τps + 1) Y (s) = KpA s(τps + 1)2 L−1 =⇒ y (t) = KpAh1 −1 + _τt p e−t/τp i

(45)

Equação Diferencial de Segunda Ordem

continuação

Quandoζ >1, os pólos são reais e distintos: p1=

−ζ +pζ2_{− 1}_/τp e p2=

−ζ −pζ2_{− 1}_/τp.

Calculando a transformada inversa de Y (s) utilizando uma tabela de Transformada de Laplace: Y (s) = KpA s(τ2 ps2+2ζτps + 1) = KpA s(τp1s + 1)(τp2s + 1) Y (s)=⇒L−1 y (t) = KpA h 1 − _τ 1 p1−τp2 τp1e −t/τp1− τ p2e−t/τp2 i onde τp1= ζ +pζ2_{− 1}_τp _{e τ} p2= ζ −pζ2_{− 1}_τp

(46)

Equação Diferencial de Segunda Ordem

continuação

Quando ζ < 1, os pólos são complexos conjugados: p1 =

−ζ +pζ2_{− 1}_/τp _{e p} 2=

−ζ −pζ2_{− 1}_/τp.

Calculando a transformada inversa de Y (s) utilizando uma tabela de Transformada de Laplace: Y (s) = KpA s(τp2s2+2ζτps + 1) Y (s)=⇒L−1 y (t) = KpA 1 − √1 1−ζ2e −ζt/τp _{sen(wt + φ)} , onde w = p 1 − ζ2 τp φ = arctg p 1 − ζ2 ζ !

(47)

Inversão por Frações Parciais: raízes reais diferentes

Exemplo

Obtenha a solução da seguinte equação diferencial linear de segunda ordem a2 d2x dt2 +a1 dx dt +a0x = b0u, x (t = 0) = x (0) e x 0_{(t = 0) = x}0₍₀₎ com a2=1, a1=5, a0=4, b0= −1 e x (0) = x0(0) = 1 e u é um impulso unitário.

(48)

Inversão por Frações Parciais: raízes reais diferentes

Solução d2x dt2 +5 dx dt +4x = −u, x (0) = x 0_{(0) = 1}

L d 2_x dt2 +5 dx dt +4x = −L{δ(t)}    s2X (s) − s x (0) | {z } =1 − x0(0) | {z } =1    +5    sX (s) − x (0) | {z } =1    +4X (s) = −1

(49)

Inversão por Frações Parciais: raízes reais diferentes

continuação

s2X (s) + 5sX (s) + 4X (s) = s + 1 + 5 − 1 (s2+5s + 4)X (s) = s + 5

X (s) = s + 5

s2₊_{5s + 4}

Após fatorar o denominador de X (s), pode-se expandir X (s) em duas frações parciais s2+5s + 4 = (s + 4)(s + 1) X (s) = s + 5 (s + 4)(s + 1) = A1 s + 4+ A2 s + 1

(50)

Inversão por Frações Parciais: raízes reais diferentes

continuação

Os coeficientes A1e A2podem ser determinados da seguinte maneira:

A1: multiplicam-se ambos os lados da expansão em frações parciais

por s + 4, simplificam-se os termos semelhantes e faz-se s = −4 (uma das raízes do denominador de X (s))

s + 5 (s + 4)(s + 1)(s + 4) = A1 s + 4(s + 4) + A2 s + 1(s + 4) s + 5 s + 1 = A1+ A2 s + 1(s + 4) s = −4 ⇒ A1 = −4 + 5 −4 + 1 = − 1 3

(51)

Inversão por Frações Parciais: raízes reais diferentes

continuação

A2: de maneira análoga, multiplicam-se ambos os lados da expansão

em frações parciais por s + 1, simplificam-se os termos

semelhantes e faz-se s = −1 (uma das raízes do denominador de X (s)) s + 5 (s + 4)(s + 1)(s + 1) = A1 s + 4(s + 1) + A2 s + 1(s + 1) s + 5 s + 4 = A1 s + 4(s + 1) + A2 s = −1 ⇒ A2 = −1 + 5 −1 + 4 = 4 3

(52)

Inversão por Frações Parciais: raízes reais diferentes

continuação

Calculando a transformada inversa de cada termo de X (s) utilizando uma tabela de Transformada de Laplace:

−1/3 s + 4 L−1 =⇒ −1 3e −4t 4/3 s + 1 L−1 =⇒ 4 3e −t Desta forma, x (t) = 1 3e −th_{4 − e}−3ti

(53)

Inversão por Frações Parciais: raízes complexas

Exemplo

Obtenha a solução da seguinte equação diferencial linear de segunda ordem a2 d2x dt2 +a1 dx dt +a0x = b0u, x (t = 0) = x (0) e x 0_{(t = 0) = x}0₍₀₎ com a2=1, a1= −2, a0=5, b0=2 e x (0) = x0(0) = 1 e u é um impulso unitário.

(54)

Inversão por Frações Parciais: raízes complexas

Solução d2x dt2 − 2 dx dt +5x = 2u, x (0) = x 0_{(0) = 1}

L d 2_x dt2 − 2 dx dt +5x = 2L{δ(t)}    s2X (s) − s x (0) | {z } =1 − x0(0) | {z } =1    − 2    [sX (s) − x (0) | {z } =1    +5X (s) = 2

(55)

Inversão por Frações Parciais: raízes complexas

continuação

s2X (s) − 2sX (s) + 5X (s) = s + 1 − 2 + 2 (s2− 2s + 5)X (s) = s + 1

X (s) = s + 1

s2_{− 2s + 5}

Após fatorar o denominador de X (s), pode-se expandir X (s) em duas frações parciais s2− 2s + 5 = [s − (1 + ı2)][s − (1 − ı2)] X (s) = s + 1 [s − (1 + ı2)][s − (1 − ı2)] = A1 s − (1 + ı2)+ A2 s − (1 − ı2)

(56)

Inversão por Frações Parciais: raízes complexas

continuação

por s − (1 + ı2), simplificam-se os termos semelhantes e faz-se s = 1 + ı2 (uma das raízes do denominador de X (s))

s + 1 [s − (1 + ı2)][s − (1 − ı2)][s − (1 + ı2)] = A1 s − (1 + ı2)[s − (1 + ı2)] + A2 s − (1 − ı2)[s − (1 + ı2)] s + 1 s − (1 − ı2) =A1+ A2 s − (1 − ı2)[s − (1 + ı2)] s = 1 + ı2 ⇒ A1= 1 + ı2 + 1 1 + ı2 − (1 − ı2) = 2 + ı2 2ı2 = 1 − ı 2

(57)

Inversão por Frações Parciais: raízes complexas

continuação

A2: de maneira análoga, multiplicam-se ambos os lados da expansão

em frações parciais por s − (1 − ı2), simplificam-se os termos semelhantes e faz-se s = 1 − ı2 (uma das raízes do denominador de X (s)) s + 1 [s − (1 + ı2)][s − (1 − ı2)][s − (1 − ı2)] = A1 s − (1 + ı2)[s − (1 − ı2)] + A2 s − (1 − ı2)[s − (1 − ı2)] s + 1 s − (1 + ı2) = A1 s − (1 + ı2)[s − (1 − ı2)] + A2 s = 1 − ı2 ⇒ A2= 1 − ı2 + 1 1 − ı2 − (1 + ı2) = 2 − ı2 −2ı2 = 1 + ı 2

(58)

Inversão por Frações Parciais: raízes complexas

continuação

(1 − ı)/2 s − (1 + ı2) L−1 =⇒ 1 − ı 2 e (1+ı2)t (1 + ı)/2 s − (1 − ı2) L−1 =⇒ 1 + ı 2 e (1−ı2)t Assim, x (t) = 1 − ı 2 e (1+ı2)t₊1 + ı 2 e (1−ı2)t

(59)

Inversão por Frações Parciais: raízes complexas

continuação

Utilizando a identidade trigonométrica ex +ıy ₌_ex_{(cos y + ı seny ):}

x (t) = 1 − ı 2 e t_{[cos(2t) + ı sen(2t)] +} 1 + ı 2      et   cos(−2t) | {z } =cos(2t) +ı sen(−2t) | {z } =−sen(2t)         x (t) = e t

2 {(1 − ı)[cos(2t) + ı sen(2t)] + (1 + ı)[cos(2t) − ı sen(2t)]}

(60)

Inversão por Frações Parciais: raízes complexas

continuação

Utilizando a identidade trigonométrica a1cos b + a2senb = a3sen(b + φ), onde a3e φ são calculados de a3=

q a2₁+a2₂e φ = tan−1(a1/a2): x (t) = et √ 2 sen(2t + φ) φ = arctg 1 1 =45o

(61)

Inversão por Frações Parciais: raízes múltiplas

Exemplo

Obtenha a transformada inversa de

X (s) = 1

(62)

Inversão por Frações Parciais: raízes múltiplas

Solução

Pode-se expandir X (s) em suas frações parciais:

X (s) = 1 (s + 2)(s + 1)3 = A1 s + 2+ A2 (s + 1)3 + A3 (s + 1)2 + A4 s + 1

por s + 2, simplificam-se os termos semelhantes e faz-se s = −2 (uma das raízes do denominador de X (s))

1 (s + 2)(s + 1)3(s + 2) = A1 s + 2(s + 2) + A2 (s + 1)3(s + 2) A3 (s + 1)2(s + 2) + A4 s + 1(s + 2) 1 (s + 1)3 =A1+ A2 (s + 1)3(s + 2) + A3 (s + 1)2(s + 2) + A4 s + 1(s + 2) s = −2 ⇒ A1= 1 (−2 + 1)3 = −1

(63)

Inversão por Frações Parciais: raízes múltiplas

continuação

por (s + 1)3, simplificam-se os termos semelhantes e faz-se s = −1 (uma das raízes do denominador de X (s))

1 (s + 2)(s + 1)3(s + 1) 3₌ A1 s + 2(s + 1) 3₊ A2 (s + 1)3(s + 1) 3₊ A3 (s + 1)2(s + 1) 3₊ A4 s + 1(s + 1) 3 1 s + 2 = A1 s + 2(s + 1) 3₊_A 2+A3(s + 1) + A4(s + 1)2 (5) s = −1 ⇒ A2= 1 −1 + 2 =1

(64)

Inversão por Frações Parciais: raízes múltiplas

continuação

A3: derivam-se ambos os lados da equação (5) com relação a s e

faz-se s = −1 (uma das raízes do denominador de X (s)) na equação resultante − 1 (s + 2)2 = A1(s + 1)2(2s + 5) (s + 2)2 +A3+2A4(s + 1) (6) s = −1 ⇒ A3 = − 1 (−1 + 2)2 = −1

A4: derivam-se ambos os lados da equação (6) com relação a s e

faz-se s = −1 (uma das raízes do denominador de X (s)) na equação resultante 2 (s + 2)3 = A12(s + 1) s2+5s + 7 (s + 2)3 +2A4 s = −1 ⇒ A4 = 2 2(−1 + 2)3 =1

(65)

Inversão por Frações Parciais: raízes múltiplas

continuação

−1 s + 2 L−1 =⇒ −e−2t 1 (s + 1)3 L−1 =⇒ t 2_e−t 2 −1 (s + 1)2 L−1 =⇒ −te−t 1 s + 1 L−1 =⇒ e−t Desta forma, x (t) = e−t 1 − t + t 2 2 − e −t

(66)

Sistema com Interação

Exemplo

Obtenha a solução do conjunto de equações diferenciais lineares dx1 dt = 2x1+3x2+1, x1(0) = 0 dx2 dt = 2x1+x2+e t_, _x 2(0) = 0

(67)

Sistema com Interação

Solução

Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados das equações: ( dx1 dt =2x1+3x2+1, x1(0) = 0 dx2 dt =2x1+x2+e t_, _x_{2(0) = 0}    Lndx1 dt o = L{2x1+3x2+1} Lndx2 dt o = L{2x1+x2+et}          sX1(s) − x1(0) | {z } =0 =2X1(s) + 3X2(s) + 1_s sX2(s) − x2(0) | {z } =0 =2X1(s) + X2(s) + _s−11

(68)

Sistema com Interação

continuação

Resolvendo o sistema de equações no domínio da Transformada:

sX1(s) − 2X1(s) − 3X2(s) = 1_s sX2(s) − 2X1(s) − X2(s) = _s−11 (s − 2)X1(s) − 3X2(s) = 1s −2X1(s) + (s − 1)X2(s) = s−11 (s − 2) −3 −2 (s − 1) X1(s) X2(s) = 1 s 1 s−1 X1(s) X2(s) = (s − 2) −3 −2 (s − 1) −1 1 s 1 s−1

(69)

Sistema com Interação

continuação A matriz inversa de (s − 2) −3 −2 (s − 1) −1 = 1 (s − 2)(s − 1) − 6 (s − 1) 3 2 (s − 2) Portanto, X₁(s) X2(s) = 1 (s − 2)(s − 1) − 6 (s − 1) 3 2 (s − 2) 1 s 1 s−1    X1(s) = s−1 s + 3 s−1 (s−2)(s−1)−6 = (s−1)2_+3s (s2_{−3s−4)s(s−1)} = s2_+s+1 s(s−1)(s−4)(s+1) X₂(s) = 2 s+ s−2 s−1 (s−2)(s−1)−6 = 2(s−1)+s(s−2) (s2_{−3s−4)s(s−1)} = s2₋₂ s(s−1)(s−4)(s+1)

(70)

Sistema com Interação

continuação

Pode-se expandir X1(s) e X2(s) em suas frações parciais

( X1(s) = _{s(s−1)(s−4)(s+1)}s2+s+1 = A1 s + A2 s−1 + A3 s−4+ A4 s+1 X2(s) = s 2₋₂ s(s−1)(s−4)(s+1) = B1 s + B2 s−1 + B3 s−4+ B4 s+1

Os coeficientes A1a A4e B1a B4podem ser determinados da seguinte maneira:

(71)

Sistema com Interação

continuação

A1 e B1: multiplicam-se ambos os lados das expansões em frações

parciais por s, simplificam-se os termos semelhantes e faz-se s = 0 (uma das raízes do denominador de X1(s) e X2(s)):

( _s2_+s+1 s(s−1)(s−4)(s+1)s = A1 s s + A2 s−1s + A3 s−4s + A4 s+1s s2₋₂ s(s−1)(s−4)(s+1)s = B1 s s + B2 s−1s + B3 s−4s + B4 s+1s ( _s2_+s+1 (s−1)(s−4)(s+1) =A1+ A2 s−1s + A3 s−4s + A4 s+1s s2₋₂ (s−1)(s−4)(s+1) =B1+ B2 s−1s + B3 s−4s + B4 s+1s s = 0 ⇒ ( A1= _{(−1)(−4)(1)}1 = 1₄ B1= _{(−1)(−4)(1)}−2 = −12

(72)

Sistema com Interação

continuação

parciais por s − 1, simplificam-se os termos semelhantes e faz-se s = 1 (uma das raízes do denominador de X1(s) e X2(s)):

           s2_+s+1 s(s−1)(s−4)(s+1)(s − 1) = A1 s (s − 1) + A2 s−1(s − 1) + A3 s−4(s − 1)+ A4 s+1(s − 1) s2₋₂ s(s−1)(s−4)(s+1)(s − 1) = B1 s (s − 1) + B2 s−1(s − 1) + B3 s−4(s − 1)+ B4 s+1(s − 1) ( _s2_+s+1 s(s−4)(s+1) = A1 s (s − 1) + A2+s−4A3 (s − 1) + A4 s+1(s − 1) s2₋₂ s(s−4)(s+1) = B1 s (s − 1) + B2+ B3 s−4(s − 1) + B4 s+1(s − 1) s = 1 ⇒ ( A2= _{(1)(1−4)(1+1)}1+1+1 = −12 B2= _{(1)(1−4)(1+1)}1−2 = 16

(73)

Sistema com Interação

continuação

parciais por s − 4, simplificam-se os termos semelhantes e faz-se s = 4 (uma das raízes do denominador de X1(s) e X2(s)):

           s2_+s+1 s(s−1)(s−4)(s+1)(s − 4) = A1 s (s − 4) + A2 s−1(s − 4) + A3 s−4(s − 4)+ A4 s+1(s − 4) s2₋₂ s(s−1)(s−4)(s+1)(s − 4) = B1 s (s − 4) + B2 s−1(s − 4) + B3 s−4(s − 4)+ B4 s+1(s − 4) ( _s2_+s+1 s(s−1)(s+1) = A1 s (s − 4) + A2 s−1(s − 4) + A3+s+1A4 (s − 4) s2₋₂ s(s−1)(s+1) = B1 s (s − 4) + B2 s−1(s − 4) + B3+ B4 s+1(s − 4) s = 4 ⇒ ( A3= _{(4)(4−1)(4+1)}16+4+1 = 207 B3= _{(4)(4−1)(4+1)}16−2 = 307

(74)

Sistema com Interação

continuação

parciais por s + 1, simplificam-se os termos semelhantes e faz-se s = −1 (uma das raízes do denominador de X1(s) e X2(s)):

           s2_+s+1 s(s−1)(s−4)(s+1)(s + 1) = A1 s (s + 1) + A2 s−1(s + 1) + A3 s−4(s + 1)+ A4 s+1(s + 1) s2₋₂ s(s−1)(s−4)(s+1)(s + 1) = B1 s (s + 1) + B2 s−1(s + 1) + B3 s−4(s + 1)+ B4 s+1(s + 1) ( _s2_+s+1 s(s−1)(s−4) = A1 s (s + 1) + A2 s−1(s + 1) + A3 s−4(s + 1) + A4 s2₋₂ s(s−1)(s−4) = B1 s (s + 1) + B2 s−1(s + 1) + B3 s−4(s + 1) + B4 s = −1 ⇒ ( A4= _{(−1)(−1−1)(−1−4)}1+(−1)+1 = −₁₀1 B4= _{(−1)(−1−1)(−1−4)}1−2 = 101

(75)

Sistema com Interação

continuação

Calculando a transformada inversa de cada termo de X1(s) e X2(s) utilizando uma tabela de Transformada de Laplace:

X1(s)              1/4 s L−1 =⇒ 1₄ −1/2 s−1 L−1 =⇒ −e₂t 7/20 s−4 L−1 =⇒ 7e₂₀4t −1/10 s+1 L−1 =⇒ −e₁₀−t X2(s)              −1/2 s L−1 =⇒ −1 2 1/6 s−1 L−1 =⇒ e₆t 7/30 s−4 L−1 =⇒ 7e₃₀4t 1/10 s+1 L−1 =⇒ e₁₀−t Desta forma, x1(t) = 1 4− et 2 + 7e4t 20 − e−t 10 x2(t) = − 1 2 + et 6 + 7e4t 30 + e−t 10

(76)

Leitura I

Leitura Complementar

Próxima aula:

apostila do Prof. Wua, capítulo 10 (volume I). livro do Stephanopoulosb, capítulo 10. livro do Seborg et al.c, capítulo 5.

a

Kwong, W. H., Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB. Volumes I e II, EdUFSCar, São Carlos, Brasil, 2002.

b_{Stephanopoulos, G., Chemical Process Control.} _{An Introduction to Theory and}

Practice. Prentice Hall, Englewood Cliffs, USA, 1984.

c

Seborg, D. E., Edgar, T. F., Mellichamp, D. A., Process Dynamics and Control. 1st