Notas de Aula de Um Curso de Modelagem de Sólidos

(1)

Notas de Aula de

Um Curso de Modelagem de S´

olidos

em Computac

¸ ˜

ao Gr´

afica

Humberto Jos´

e Bortolossi

Universidade Federal Fluminense

VERS ˜AO 1.1 2 de fevereiro de 2017

Essas são anota¸cões que fiz durante a disciplina de Modelagem de Sólidos no programa de Doutorado em Matemática da PUC-Rio em 1994.

(2)

Sum´

ario

1 Modelos de decomposi¸c˜ao 6

1.1 N´ıveis de abstra¸c˜ao em modelagem . . . 6

1.2 S´olidos construt´ıveis e n˜ao-construt´ıveis . . . 6

1.3 Propriedades de modelos de representa¸c˜ao . . . 7

1.4 Classifica¸cão de modelos de sólidos . . . 8

1.4.1 Modelos de decomposi¸c˜ao . . . 8

1.4.2 Modelos construtivos . . . 8

1.4.3 Modelos de contorno (boundary models) . . . . 8

1.5 Modelos de decomposi¸c˜ao . . . 8 1.5.1 Enumera¸c˜ao exaustiva . . . 8 1.5.2 Cell decompositions . . . 9 1.5.3 Octree representation . . . 10 2 Modelos construtivos 15 2.1 Modelos half-spaces . . . 15 2.1.1 Half-spaces . . . 15

2.1.2 Opera¸c˜oes booleanas . . . 16

2.1.3 Representa¸c˜ao de modelos half-spaces . . . 16

2.1.4 Propriedades dos modelos half-spaces . . . 17

2.2 Constructive Solid Geometry . . . 18

2.2.1 Representa¸c˜ao de modelos CSG . . . 18

2.2.2 Algoritmos para modelos CSG . . . 21

2.2.3 Propriedades de modelos CSG . . . 21

2.3 Classifica¸cões de pertinência . . . 22

2.3.1 Propaga¸c˜ao para baixo . . . 22

2.3.2 Propaga¸c˜ao para cima . . . 23

2.3.3 Vizinhan¸cas . . . 23

3 Modelos baseados em superf´ıcies 25 3.1 Variedades bidimensionais . . . 25

3.2 Limita¸c˜oes de modelos em variedades . . . 25

3.3 Modelos planos de variedades bidimensionais . . . 26

3.4 Deﬁni¸c˜ao formal de modelos planos . . . 28

3.5 Modelos planos realiz´aveis . . . 30

(3)

3.5.2 Orientabilidade . . . 31

3.6 A caracter´ıstica de Euler . . . 32

3.6.1 Os n´umeros de Betti . . . 32

3.7 Superf´ıcies com bordo . . . 34

3.8 Dualidade . . . 35

3.9 Resumo . . . 36

4 Modelos de Contorno 37 4.1 Conceitos b´asicos . . . 37

4.2 Estrutura de dados em modelos de contorno . . . 38

4.2.1 Modelos de contorno baseados em pol´ıgonos . . . 40

4.2.2 Modelos de contorno baseados em v´ertices . . . 40

4.2.3 Modelos de contorno baseados em arestas . . . 41

4.2.4 Faces com v´arias curvas de bordo . . . 42

4.3 Validade de modelos de contorno . . . 45

4.4 Descri¸c˜ao de modelos de contorno . . . 46

4.4.1 Convers˜ao de modelos CSG . . . 47

4.4.2 Desenhos em dimens˜ao dois e meio . . . 48

4.4.3 Modiﬁca¸c˜oes locais . . . 48

4.5 Algoritmos para modelos de contorno . . . 50

4.5.1 Visualiza¸c˜ao . . . 50

4.5.2 Propriedades integrais . . . 52

4.6 Propriedades de modelos de contorno . . . 53

5 Operadores de Euler 55 5.1 Manipula¸c˜ao de modelos planos . . . 55

5.1.1 Opera¸c˜oes topol´ogicas locais . . . 55

5.1.2 Opera¸c˜oes topol´ogicas globais . . . 57

5.1.3 Consistˆencia das opera¸c˜oes sobre modelos planos . . . 59

5.2 Manipula¸c˜ao de modelos de contorno . . . 60

5.2.1 Nota¸c˜oes e conven¸c˜oes . . . 61

5.2.2 Primitivas esquel´eticas: MVFS e KVFS . . . 61

5.2.3 Manipula¸c˜oes locais . . . 62

5.2.4 Manipula¸c˜oes globais: KFMRH, MFKRH . . . 64

5.3 Um exemplo dos operadores de Euler . . . 65

5.4 Propriedades dos operadores de Euler . . . 68

5.4.1 A f´ormula de Euler-Poincar´e revisitada . . . 68

5.4.2 Propriedades alg´ebricas dos operadores de Euler . . . 68

(4)

Lista de Figuras

1.1 S´olidos (a) construt´ıvel e (b) n˜ao-construt´ıvel. . . 7

1.2 Um modelo octree. . . 11

1.3 Esquema representativo para a decomposi¸c˜ao octree. . . 12

2.1 Modelo half-space de um cilindro ﬁnito. . . 17

2.2 Trˆes cole¸c˜oes de primitivas CSG. . . 20

2.3 Uma opera¸c˜ao booleana n˜ao regular. . . 21

2.4 Ambig¨uidade no caso “on-on”. . . 23

3.1 Sólidos cujas superf´ıcies não são variedades topológicas. . . 27

3.2 Uma superf´ıcie cil´ındrica. . . 28

3.3 Outras superf´ıcies: (a) esfera, (b) toro e (c) faixa de M¨obius. . . 29

3.4 Modelos planos de uma pirˆamide. . . 30

3.5 A garrafa de Klein. . . 31

3.6 Modelos de um cubo. . . 33

3.7 Um modelo plano e seu dual. . . 35

4.1 Deﬁni¸c˜ao de uma face. . . 38

4.2 Constituintes b´asicos de modelos de contorno. . . 39

4.3 Um objeto exemplo. . . 39

4.4 Um modelo de contorno baseado em v´ertices. . . 40

4.5 Um modelo de contorno baseado em arestas. . . 41

4.6 A estrutura de dados winged-edge. . . 43

4.7 A estrutura de dados winged-edge completa. . . 44

4.8 Objeto com faces n˜ao simples. . . 45

4.9 Modelos de contorno inv´alidos. . . 46

4.10 Um objeto com BR n˜ao conveniente. . . 47

4.11 Varredura de faces. . . 49

4.12 Opera¸c˜oes booleanas em perﬁs. . . 50

4.13 Modiﬁca¸c˜oes locais em modelos de contorno. . . 51

5.1 A opera¸c˜ao de quebra de um v´ertice. . . 56

5.2 Soma conexa de dois modelos planos. . . 58

5.3 Soma conexa aplicada a uma ´unica componente. . . 58

5.4 O operador MVFS. . . 62

(5)

5.6 O operador MEF. . . 63

5.7 O operador KEMR. . . 64

5.8 Exemplo dos operadores de Euler. . . 66

(6)

Cap´ıtulo 1

Modelos de decomposi¸

c˜

ao

A modelagem de sólidos é um ramo da modelagem geométrica cujo principal objetivo é a de manter a aplicabilidade geral de seus modelos. Ela insiste em criar somente representa¸cões “completas” de objetos f´ısicos, isto é, representa¸cões nas quais se é poss´ıvel responder a questões geométricas arbitrárias de uma maneira algor´ıtmica.

1.1 N´ıveis de abstra¸

c˜

ao em modelagem

Podemos disting¨uir quatro diferentes n´ıveis de abstra¸c˜ao em modelagem:

(1) Modelo f´ısico: Neste n´ıvel descrevemos e caracterizamos objetos reais de nosso mundo tri-dimensional através de suas propriedades f´ısicas que, por suas vez, são percebidas através de nossos sentidos.

(2) Modelo matem´atico: A ﬁm de termos alguma esperan¸ca de modelar objetos no computador,

devemos adotar uma idealiza¸cão adequada dos objetos reais que estamos interessados em modelar. Para conseguir isto, utilizamos a linguagem matemática (teoria de conjuntos e topologia algébrica) para descrever de maneira rigorosa os objetos de interesse.

(3) Modelo de representa¸c˜ao: Depois de deﬁnirmos de maneira rigorosa a classe de objetos

matemáticos em que estamos interessados o passo seguinte é a de associar ao modelo ma-temático uma representa¸cão apropriada para manuseio em computador.

(4) Modelo de implementa¸cão: Neste ´ultimo n´ıvel adaptamos o modelo de representa¸cão de acordo com os recursos de implementa¸cão dispon´ıveis (em geral, caracter´ısticas próprias da linguagem escolhida, a utiliza¸cão ou não de processamento paralelo, etc.).

1.2 S´

olidos construt´ıveis e n˜

ao-construt´ıveis

Como vimos acima, a fim de efetuarmos a modelagem de objetos em computador faz-se necessária uma idealiza¸cão adequada dos objetos f´ısicos tridimensionais de interesse. Esta idealiza¸cão é feita com objetos matemáticos que podem ser definidos através da teoria de conjuntos e topologia algébrica. Caraterizaremos aqui os objetos matemáticos que serão adequados ao processo de modelagem em nosso caso.

(7)

Defini¸c˜ao 1.2.1 Um s´olido ´e um conjunto limitado e fechado do espa¸co vetorial IR3

Defini¸c˜ao 1.2.2 Um objeto r´ıgido ´e uma classe de equivalência de conjunto de pontos de IR3 formada pela seguinte rela¸cão de equivalência: A é equivalente a B (A ∼ B) se, e somente se, existe um movimento r´ıgido (composi¸cão de transla¸cões e rota¸cões) levando A em B.

Defini¸c˜ao 1.2.3 A regulariza¸cão de um conjunto A⊂ IR3, r(A) é definida por: r(A): = c(i(A))

onde c(A) e i(A) denotam, respectivamente, o fecho e interior do conjunto A. Conjuntos que satisfazem r(A) = A s˜ao denominados conjuntos regulares.

Defini¸c˜ao 1.2.4 Uma variedade bidimensional M ´e um espa¸co topol´ogico onde todo ponto possui uma vizinhan¸ca que ´e topologicamente equivalente a um disco aberto de IR2.

Nossos objetos matemáticos de interesse são sólidos r´ıgidos regularizados cujo bordo constitui uma variedade bidimensional. Tais objetos matemáticos são denominados sólidos construt´ıveis.

(a) (b)

Figura 1.1: S´olidos (a) construt´ıvel e (b) n˜ao-construt´ıvel.

1.3 Propriedades de modelos de representa¸

c˜

ao

As seguintes propriedades orientam na an´alise dos diversos modelos de representa¸c˜ao:

(1) Poder de expressão: Quais objetos podem ser representados? ´E poss´ıvel ampliar este dom´ınio? Um aspecto do poder de expressão é a precisão do esquema de representa¸cão: quão precisamente podem ser representados objetos complicados?

(2) Validade: Todas as representa¸c˜oes admiss´ıveis são válidas? Um esquema com esta propri-edade (desejável) ´e denominado sintaticamente válido quando ela for¸ca a validade de todos

os sólidos que obede¸cam suas regras de defini¸cão.

(3) Ambigüidade e unicidade: Os modelos de representa¸c˜ao válidos designam um único sólido? Sólidos possuem mais de uma representa¸cão válida?

(4) Linguagem de descri¸cão: Que tipo de linguagens de descri¸c˜ao de sólidos são suportadas em um sistema de modelamento baseado no esquema de representa¸cão em questão? Elas são inerentes, isto é, diretamente baseadas nas representa¸cões do esquema ou elas são baseadas em uma conversão de outro esquema?

(8)

(5) Concisão: Qu˜ao grandes (em termos de armazenamento computacional) são as repre-senta¸cões dos sólidos de interesse? (Esta propriedade está freqüentemente em contraponto com a precisão da representa¸cão).

(6) Opera¸cões fechadas: As opera¸c˜oes de manipula¸cão e descri¸cão dos sólidos preservam a validade das representa¸cões? Quão gerais são as manipula¸cões que são suportadas pelo esquema de representa¸cão?

(7) Aplicabilidade e custo computacional: Que tipo de algoritmos podem ser escritos para

as representa¸cões do esquema? Que tipo de complexidades computacionais estão envolvidas? As representa¸cões do esquema são apropriadas para que tipo de aplica¸cões? Naturalmente, estamos particularmente interessados em solu¸cões inerentes ao esquema de representa¸cão, isto é, que não envolvam conversão em um esquema de representa¸cão totalmente diferente.

1.4 Classifica¸

c˜

ao de modelos de s´

olidos

1.4.1 Modelos de decomposi¸

c˜

ao

Descrevem os sólidos através de uma única opera¸c˜ao de colagem (gluing) de primitivas b´asicas. O tipo de primitivas básicas usadas gera variados modelos de decomposi¸cão.

1.4.2 Modelos construtivos

Descrevem os sólidos através de operadores de constru¸cão aplicados às primitivas básicas. Os operadores de constru¸cão não se restringem somente a opera¸c˜ao de colagem (gluing).

1.4.3 Modelos de contorno (boundary models)

Descrevem os sólidos através de seus contornos. Um sólido é uma cole¸cão de faces, uma face é uma cole¸cão de arestas; uma aresta é representada por dois vértices.

1.5 Modelos de decomposi¸

c˜

ao

1.5.1 Enumera¸

c˜

ao exaustiva

Sólidos podem ser considerados como conjuntos de pontos. Evidentemente não podemos enu-merar todos os pontos que perten¸cam a um sólido mas certamente podemos enumerar cubos (de tamanho especificado) que estão contidos (total ou parcialmente) no sólido. Os cubos são tomados de tamanho uniforme de maneira que eles não se interceptem, isto é, eles formam uma subdivisão regular do espa¸co. A representa¸cão resultante é denominada enumera¸cão exaustiva.

Destacamos suas propriedades:

(1) Poder de expressão: Enumera¸c˜ao exaustiva é obviamente aproximativa. Contudo, o esquema é geral: todo tipo de objeto pode ser representado em enumera¸cão exaustiva.

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(2) Validade: A validade da enumera¸c˜ao exaustiva depende da itera¸cão geométrica de cubos individuais. Se apenas sólidos construt´ıveis são admitidos, nem toda representa¸cão é válida (por exemplo, dois cubos que se interceptam apenas em um vértice).

(3) Ambigüidade e unicidade: Todas representa¸c˜oes válidas não são amb´ıguas. Existe também unicidade: fixando-se o espa¸co de interesse e a resolu¸cão, todo sólido possui apenas uma representa¸cão.

(4) Linguagem de descri¸cão: Em aplica¸c˜oes de processamento de imagens, enumera¸cões exaustivas são geralmente criadas atrav´es de um scanner. No contexto de modelagem de sólidos, elas são geradas através de uma conversão de outros modelos.

(5) Concisão: Enumera¸c˜ao exaustiva tende a utilizar grande quantidade de armazenamento computacional: uma resolu¸cão de 2563 utiliza 16 milhões de bits de armazenagem.

(6) Opera¸cões fechadas: Enumera¸c˜oes exaustivas suportam muitos algoritmos fechados. E-xemplos são dadas pelas opera¸cões booleanas.

(7) Aplicabilidade e custo computacional: Algoritmos para este esquema tendem a ser

extremamente simples. Enumera¸cão exaustiva é largamente utilizada em processamento di-gital de imagens. Também, ela é utilizada como um esquema auxiliar para acelerar opera¸cões de outras representa¸cões.

1.5.2 Cell decompositions

Um tratramento para se resolver os problemas apresentados em enumera¸cão exaustiva e man-tendo-se suas propriedades é a de se utilizar outros tipos de elementos básicos que não sejam apenas cubos. Estes esquemas s˜ao denominados Cell Decompositions.

Destacamos suas propriedades:

(1) Poder de expressão: O espa¸co de modelagem ´e geral na presen¸ca de células com superf´ıcies nas quais o grau não ultrapassa o grau das células.

(2) Validade: A validade ´e dif´ıcil de se estabelecer. Para se verificar a validade, um teste de interse¸cão para cada par de células é necessário.

(3) Ambigüidade e unicidade: Uma decomposi¸c˜ao válida determina completamente um sólido. Não existe unicidade.

(4) Linguagem de descri¸cão: Em geral, ´e muito dif´ıcil criar representa¸cões neste esquema por um mecanismo direto. Usualmente, cell decompositions s˜ao criadas pela conversão de outras representa¸cões mais convenientes.

(5) Concis˜ao: Cell decompositions s˜ao relativamente concisas. As representa¸cões usuais con-sistem de uma lista de nós, cada uma sendo um ponto tridimensional indexado, seguido por uma lista de elementos que por sua vez possuem um código e uma lista de números cuja interpreta¸cão depende do código.

(10)

(6) Opera¸c˜oes fechadas: Em geral, cell decompositions s˜ao apenas usadas como entrada para algoritmos que passivamente examinam o modelo sem modificá-lo. Algoritmos fechados não triviais (como opera¸cões booleanas) são desconhecidos ou computacionalmente intratáveis.

(7) Aplicabilidade e custo computacional: Cell decompositions s˜ao indispensáveis como representa¸cão de entrada para algoritmos computacionais. Método de elementos finitos fornece um exemplo disto.

1.5.3 Octree representation

Octrees fornecem exemplos t´ıpicos de esquemas adaptativos de subdivisão do espa¸co. A repre-senta¸cão octree usa uma subdivisão recursiva do espa¸co de interesse em oito octantes que estão arranjados em uma árvore de 8 ramos.

Usualmente uma octree é considerado como estando localizada em torno da origem de seu sistema de coordenadas xyz, com seu primeiro n´ıvel de octantes correspondendo aos octantes do espa¸co, e em particular o octante 3 sendo o octante positivo x, y, z > 0. Ent˜ao se faz necessário representar o presente espa¸co de interesse separadamente em termos de uma transforma¸cão ade-quada.

Cada node (nó) de uma octree consiste de um code e oito ponteiros para oito children, numerados de 0 a 7. Se code = full, a parte do espa¸co representada pelo node está completa-mente preenchido pelo sólido e os ponteiros de 0 a 7 são todos NULL e, portanto, não existem ramos. Se code = empty, a parte do espa¸co representada está vazia e, novamente, não existem ramos. A terceira possibilidade é a de que code = partial e isto corresponde ao fato do espa¸co estar parcialmente preenchido e parcialmente vazio. Neste caso, os oitos ponteiros apontam para oito children que correspondem a uma subdivisão regular do node em questão.

Constru¸c˜ao de representa¸c˜oes octree

No contexto de modelagem de sólidos, octrees são ordinariamente constru´ıdas a partir de pri-mitivas s´olidas. Para cada tipo de primitiva, um procedimento de classifica¸cão entre uma c´opia da primitiva e um nó arbitrário do octree se faz necessário. A classifica¸cão deve ser capaz de distinguir entre os seguintes três casos:

Caso 1: O n´o considerado est´a completamento no exterior da primitiva.

Caso 2: O n´o considerado est´a completamento no interios da primitiva.

Caso 3: O n´o est´a parcialmente no interior da primitiva.

Algoritmos para Octrees

Um modelador octree funcionalmente completo deve incluir algoritmos para os seguintes requi-sitos:

(1) Geradores de ´arvores que criam octrees de primitivas parametrizadas ou outros tipos de modelos geom´etricos.

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3 3 3 2 0 1 1 5 7 7 6 2 e u u u u u u u u u u u e e e e e e e e e e e e e (a) (b) 6 HHHj x y (c) * z

(12)

octree ? box root ? code child[0] .. . child[7] loc ? -box min max loc coord depth xyz xyz -- - xyz 6

Figura 1.3: Esquema representativo para a decomposi¸c˜ao octree.

(2) Opera¸cões booleanas que tomam duas octrees (com mesmo espa¸co de interesse) como ar-gumentos e que calculam uma nova octree resultante da união, interse¸cão ou diferen¸ca das mesmas. A implementa¸cão de opera¸cões booleanas leva a algortimos que percorrem sincronicamente as árvores de cada objeto, fazendo uma compara¸cão adequada entre nós respectivos. Por exemplo, no processo de interse¸cão de duas octrees, temos os seguintes casos:

(a) Os n´os n₁ e n₂ são folhas. Nesta situa¸cão, o nó correspondente à octree resultante é full se n₁ e n₂ são full; caso contrário, ele é empty.

(b) Os n´os n₁ ou n₂ são folhas (mas não simultaneamente). Nesta situa¸cão, se o nó que é uma folha for full, a sub-árvore do nó que não é uma folha é copiada para a octree resultante. Caso contrário, o nó da árvore resultante é empty.

(c) Os n´os n₁ e n₂ não são folhas. Nesta situa¸cão, o algoritmo é aplicado recursivamente `

a sub-´arvore, como acima.

(3) Opera¸cões geométricas que tomam uma octree e calculam uma nova para modelar o re-sultado de transla¸cão, rota¸cão ou homotetia do objeto fornecido. Alguns destes problemas levam a algoritmos não intuitivos e complicados. Por exemplo, a transla¸cão de uma octree ´

e uma opera¸c˜ao relativamente dif´ıcil.

(4) Procedimentos de an´alise que calculam propriedades tais como volume ou ´area de superf´ıcie de uma octree.

(5) Geradores gráficos que criam uma imagem gráfica do objeto modelado pela octree.

Propriedades de Octrees

As propriedades de representa¸cões octrees são similares as de enumera¸cão exaustiva, com algumas exce¸cões notáveis.

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(1) Poder de expressão: Como em enumera¸c˜ao exaustiva, octrees são representa¸cões aproxi-mativas e modelam de maneira exata apenas objetos muito particulares.

(2) Validade: Nem toda representa¸c˜ao é válida se adotarmos sólidos construt´ıveis como os ´

unicos objetos admiss´ıveis.

(3) Ambigüidade e unicidade: Fixando-se uma resolu¸c˜ao, octrees representam um sólido sem ambigüidade. A representa¸cão também é única (novamente fixando-se a resolu¸cão): um objeto possui apenas uma única representa¸cão octree compactada (algoritmos tais como opera¸cões booleanas podem criar octrees com nós desnecessários (isto é, um nó interno no qual os oito children são todos full)).

(4) Linguagem de descri¸cão: As mesmas observa¸c˜oes feitas para enumera¸cão exaustiva se aplicam aqui, isto é, octrees são usualmente formadas por conversão de outras representa¸cões.

(5) Concisão: Em geral, o n´umero de nós de uma representa¸cão octree de um objeto é pro-porcional a sua área de superf´ıcie. Desta maneira, modelos octree não são tão dispendiosos como representa¸cões exaustivas mas mesmo assim utilizam uma grande quantidade de ar-mazenamento.

(6) Opera¸cões fechadas: Transla¸c˜oes e rota¸cões são exemplos de opera¸cões fechadas. Ope-ra¸cões booleanas podem gerar representa¸cões não válidas (isto é, podem gerar objetos que não são construt´ıveis).

(7) Aplicabilidade e custo computacional: Muitos algortimos para octree podem ser

cons-tru´ıdos utilizando-se uma procura linear na árvore e opera¸cões relativamente simples em cada node. Para estes algoritmos, as mesmas observa¸cõs feitas para enumera¸cão exaustiva se aplicam.

Octrees lineares

Embora octrees utilizem uma quantidade menor de armazenamnto se comparadas com enu-mera¸cão exaustiva, esta é ainda muito grande. Isto tem levado pesquisadores a investigar possi-bilidades de se compactar representa¸cões octrees e de se substituir uma representa¸cão expl´ıcita (em termos da árvore) por representa¸cões alternativas como por exemplo uma estrutura de dados linear. Evidentemente, tais representa¸cões são também convenientes para de armazenar octrees em dispositivos externos.

Os octantes de uma octree seguem uma ordena¸cão (de 0 a 7). Estes números podem ser usados para se contruir um endere¸co para cada nó de uma octree (com exce¸cão da raiz). Claramente, o endere¸co de um n´o de n´ıvel i ´e uma seqüˆencia de i d´ıgitos de 0 a 7. Um s´ımbolo especial pode ser inclu´ıdo para se indicar que os n´ıveis subseqüentes ao n´ıvel demarcado pela posi¸cão do s´ımbolo (inclusive) é dispensável na representa¸cão do endere¸co.

A octree linear de Gargantini ´e baseada nestas observa¸cões. Em seu esquema, uma octree linear é simplesmente uma lista ordenada de endere¸cos para todos os nós full. Assim, a octree linear correspondente à da figura 1.2 é simplesmente a lista

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onde X é o s´ımbolo utilizado para representar que o endere¸co do nó termina no n´ıvel anterior. Uma outra representa¸cão linear de uma octree ´e a assim denominada representa¸cão DF.

Ela é constru´ıda percorrendo-se a árvore em uma determinda ordem e armazenando-se certas informa¸cões dos nós encontrados. O método utiliza o alfabeto “B”, “W” e “(” para se denotar um nó full, um nó empty e um nó partial, respectivamente. Desta maneira, a representa¸cão DF correspondente à figura 1.2 constitu´ı-se do seguinte:

(WW(WWBBWWBBBWWW(BBBBWBWB

Como o alfabeto possui apenas três caracteres, dois bits para cada nó são suficientes para a codifica¸cão.

Observamos, finalmente, que muitos algoritmos importantes podem ser realizados utilizando-se somente repreutilizando-senta¸cões lineares (como opera¸cões booleanas).

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Cap´ıtulo 2

Modelos construtivos

Os modelos de decomposi¸cão discutidos no trabalho anterior representam sólidos como uma cole¸cão básica de elementos combinados com uma opera¸c˜ao de colagem (gluing). Em contraste, modelos construtivos utilizam opera¸cões mais poderosas.

2.1 Modelos half-spaces

Todos modelos construtivos consideram sólidos como pontos do IR3. A idéia básica destes modelos é a de se come¸car a partir de conjuntos suficientemente simples que podem ser representados diretamente e modelar outros conjuntos de pontos em termos de combina¸cões muito gerais destes conjuntos simples. Os assim denominados modelos half-spaces aplicam este tratamento de uma maneira direta.

2.1.1 Half-spaces

A todo conjunto de pontos A podemos associar uma fun¸c˜ao caracter´ıstica g_A: IR3 → {0, 1}

que diz se um ponto x∈ IR3 pertence ou n˜ao a A. Em outras palavras, a fun¸c˜ao g_Adeve satisfazer

g_A(x) = 1 ⇒ x ∈ A

g_A(x) = 0 ⇒ x ∈ A

Para conjuntos de pontos muito gerais, fun¸cões caracter´ısticas não oferecem muita ajuda porque suas representa¸cões seriam tão dif´ıceis quanto as representa¸cões dos próprios conjuntos. Contudo, para uma interessante classe de conjuntos de pontos, g_Apode ser representada em termos de uma fun¸c˜ao real anal´ıtica f de x, y e z definida em todo o IR3. A restri¸cão para fun¸cões anal´ıticas nos garante a exclusão de certos objetos “patológicos”. Todos os pontos

x = (x, y, z)

tais que f ´e igual a zero s˜ao considerados como pertencendo ao conjunto de pontos enquanto que

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se tomar como conven¸c˜ao as desigualdades contr´arias). Uma vez que

f (x) = 0

divide todo o espa¸co em duas partes, os conjuntos de pontos deﬁnidos por

f (x)≥ 0 e f(x) ≤ 0

s˜ao denominados half-spaces. Por exemplo, as fun¸c˜oes

ax + by + cz + d ≥ 0 x2+ y2− r2 ≤ 0

definem dois conjuntos de pontos muito úteis, a saber, o half-space planar que consiste de todos os pontos que est˜ao sobre ou dentro do lado positivo do plano ax + by + c + d = 0 e o half-space cil´ındrico que consiste de todos os pontos que estão sobre ou dentro de um cilindro infinito com eixo de revolu¸c˜ao dado pelo eixo z e raio r.

Outros half-spaces de interesse incluem as superf´ıcies quadricas tais como a esfera e cones, e certas superf´ıcies de maior ordem como o toro. Observe que esta cole¸c˜ao inclui tanto half-spaces ilimitados (como o caso do cilindro inﬁnito acima) como half-spaces limitados (como o caso da esfera x2+ y2+ z2− r2 ≤ 0).

2.1.2 Opera¸

c˜

oes booleanas

Half-spaces fornecem as primitivas básicas de modelamento. Como half-spaces são conjuntos de pontos, os procedimentos naturais de modelagem para modelos half-spaces são as opera¸cões booleanas de união (∪), interse¸cão (∩) e diferen¸ca (\).

Assim, modelos half-spaces s˜ao constru´ıdos combinando-se instanciamentos de half-spaces com opera¸c˜oes booleanas. Por exemplo, para se descrever um cilindro ﬁnito C de comprimento

h, s˜ao necess´arios um half-space cil´ındrico e dois half-spaces planares, combinados juntos com a opera¸c˜ao “∩”:

H₁ : x2+ y2− r2 ≤ 0

H₂ : z ≥ 0

H₃ : z− h ≤ 0

C = H₁∩ H₂∩ H₃

Esta constru¸cão é ilustrada na figura (2.1).

Desta maneira, uma espa¸co de modelagem M de um modelador half-space ´e a classe de combina¸c˜oes booleanas dos half-spaces dispon´ıveis.

2.1.3 Representa¸

c˜

ao de modelos half-spaces

Como visto acima, a representa¸c˜ao de um modelo half-space divide-se em duas partes:

(1) Representa¸c˜ao de half-spaces: O procedimento mais comum ´e o de representar half-spaces como instanciamentos de half-spaces base em algum sistema conveniente de coordenadas,

(17)

Figura 2.1: Modelo half-space de um cilindro ﬁnito.

utilizando-se para isto, um código que descreve o tipo de half-space, uma lista de parâmetros que descreve seu tamanho e uma matriz de transforma¸cão que fornece sua localiza¸cão e orienta¸cão.

Como uma alternativa para este tratamento, todos os half-spaces descritos por quadricas podem ser representados atrav´es das fun¸c˜oes f (x) = f (x, y, z) que os deﬁnem, isto ´e, uma vez que f (x, y, z) = x y z 1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ A₁₁ A₁₂ A₁₃ A₁₄ A₂₁ A₂₂ A₂₃ A₂₄ A₃₁ A₃₂ A₃₃ A₃₄ A₄₁ A₄₂ A₄₃ A₄₄ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ x y z 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

podemos armazenar os 16 coeficientes A_ij ou os 10 coeficientes resultantes calculando-se as multiplica¸cões acima.

(2) Representa¸c˜ao de combina¸c˜oes booleanas de half-spaces: Uma possibilidade para este tipo

de representa¸cão resulta do fato que toda expressão booleana pode ser escrita na forma “soma de produtos”, mais especificamente, um s´olido S ´e expresso na forma

S =

i

j

H_ij

onde os H_ij denotam os half-spaces individuais de S.

2.1.4 Propriedades dos modelos half-spaces

Temos:

(1) Poder de expressão: O poder de express˜ao de um modelador half-space é determinado pela sela¸cão dos half-spaces dispon´ıveis. e da generalidade das opera¸cões presentes para

(18)

combiná-los. Tipicamente, modeladores desta classe incluem half-spaces que são dados por quadricas (planos, superf´ıcies cil´ındricas, cônicas, esféricas, etc.) e, em algumas vezes, até mesmo um toro.

(2) Validade: Half-spaces s˜ao conjuntos de pontos não limitados. Mesmo uma combina¸cão deles pode ser ilimitada e, assim, nem todas combina¸cões são sólidos válidos (se apenas varieades limitadas são admitidas).

(3) Ambigüidade e unicidade: Cada combina¸c˜ao válida de half-spaces determina um sólido. Assim, modelos half-spaces não são amb´ıguos. Representa¸cões half-spaces não são únicas.

(4) Linguagem de descri¸cão: Instanciamentos e combina¸c˜oes de half-spaces nos levam a uma maneira relativamente simples de se descrever sólidos. Com algum esfor¸co, se é também poss´ıvel criar uma interface gráfica com o usuário.

(5) Concisão: Modelos half-spaces s˜ao relativamente concisos: algumas centenas de half-spaces são usualmente suficientes para modelar partes real´ısticas adequadamente (dentro das li-mita¸cões do espa¸co de modelagem).

(6) Opera¸cões fechadas: Nem sempre combina¸c˜oes booleanas de half-spaces resultam em um sólido admiss´ıvel. Introduziremos mais adiante opera¸cões booleanas regularizadas para corrigir este tipo de problema.

(7) Aplicabilidade e custo computacional: Os algoritmos naturais para modelagem com o

uso de half-spaces são os assim denominados algoritmos de classifica¸cão de pertinˆencia (set

membership classiﬁcation). Discutiremos mais adiante esta fam´ılia de algoritmos.

2.2 Constructive Solid Geometry

Modelos half-spaces puros fornecem um tratamento matematicamente rigoroso e de fácil enten-dimento. Para usuários finais, contudo, é mais fácil operar sobre primitivas limitadas ao invés de half-spaces ilimitados. Observe também que combina¸cões de half-spaces podem resultar em um conjunto de pontos ilimitado o que confronta nossa no¸cão de um sólido válido. Para evi-tar a gera¸c˜ao de conjuntos ilimitados, a assim denonimada Constructive Solid Geometry (CSG) fornece um maneira de se modelar sólidos com o uso de conjunto de conjuntos limitados como primitivas.

2.2.1 Representa¸

c˜

ao de modelos CSG

Representa¸cõs CSG são árvore binárias (ordenadas). Nós intermediários representam operadores que podem ser ou movimentos r´ıgidos ou opera¸cões booleanas regularizadas (que serão definidas mais adiante) enquanto que nós terminais (folhas) representam as primitivas.

´

Arvores CSG podem ser deﬁnidas como se segue:

´arvore CSG : : = primitiva |

árovre CSG opera¸c~ao booleana árvore CSG | árvore CSG movimento r´ıgido

(19)

No esquema acima, <primitiva> é um instanciamento de uma primitiva sólida, representada através de um código que identifica o tipo da primitiva e uma seqüência de parâmetros que determina suas dimensões. <movimento r´ıgido> denota ou uma transla¸cão ou uma rota¸cão e, finalmente, < opera¸c~ao booleana> é uma das opera¸cões booleanas∩, ∪ e \.

Desta maneira, primitivas são representadas como folhas de uma árvore CSG enquanto que nós interiores representam ou uma opera¸cão booleana ou um movimento r´ıgido. Segundo este ponto de vista, tais opera¸cões e movimentos são interpretados como operando sobre árvores CSG. Cada primitiva é escolhida de modo a definir um conjunto limitado do IR3. Como o conjunto de opera¸cões dispon´ıveis não destrói o fato dos conjuntos serem limitados, modelos CSG sempre produzirão conjuntos limitados. O fácil uso de um modelador CSG depende muito da cole¸cão de primitivas dispon´ıveis. Por exemplo, a figura (2.2) exibe três cole¸cões de primitivas. Observe como a cole¸cão (a) inclui várias arestas para ajudar na modelagem de formas arrendondadas que são frequentemente necessárias em partes mecânicas. Note que todas as primitivas da figura podem ser expressas como uma combina¸cão booleana de half-spaces simples (neste caso, planos e cilindros).

O dom´ınio de uma modelador CSG depende da variedade de half-spaces dispon´ıveis em suas primitivas e dos movimentos r´ıgidos e opera¸cões booleanas dispon´ıveis. Observe que apesar das três cole¸cões da figura (2.2) possu´ırem primitivas distintas, todas as três definem um mesmo dom´ınio.

Opera¸c˜oes booleanas regularizadas

Algumas combina¸cões de primitivas CSG (ou half-spaces) não constituem variedades constru-t´ıveis. Considere, por exemplo, o caso da figura (2.3). De acordo com a defini¸cão ordinária de opera¸cões booleanas, a interse¸cão dos dois objetos consiste de um objeto retangular mais um segmento de reta. Sobre a ótica de caracteriza¸cão de sólidos como conjunto de pontos, o problema do objeto resultante é o de que ele não é regular: o segmento de reta pendente viola a defini¸cão de regularidade. A fim de evitar tais tipos de objetos, introduzimos a no¸cão de opera¸cões regularizadas.

Defini¸c˜ao 2.2.1 As opera¸cões booleanas de união∗, interse¸cão∗ e diferen¸ca∗ regularizadas, de-notadas por ∪∗, ∩∗ e \∗, respectivamente, são definidas por:

A ∪∗B = c(i(A ∪ B)) A ∩∗B = c(i(A ∩ B)) A \∗B = c(i(A \ B))

onde ∪, ∩ e \ denotam, respectivamente, as opera¸cões booleanas usuais. i(·) e c(·) denotam as opera¸cões topológicas de interior e fecho.

Se primitivas CSG são escolhidas como conjuntos limitados regulares, as opera¸cões boolea-nas regularizadas possuem a desej´avel propriedade de serem algebricamente fechadas na classe de conjuntos limitados regulares. Isto é, garante-se assim que toda árvore CSG constitui um conjunto limitado regular.

(20)

(a)

(b)

(c)

(21)

A∩ B B

A

Figura 2.3: Uma opera¸c˜ao booleana n˜ao regular.

2.2.2 Algoritmos para modelos CSG

As árvores CSG podem ser vistas como descri¸cões impl´ıcitas da geometria do sólido modelado que devem ser analizadas, de alguma maneira, a fim de se criar uma sa´ıda gráfica ou se efetuar cálculos.

A estrutura da árvore CSG sugere o uso da técnica “dividir e conquistar” cuja idéia básica é o de dividir o problema em duas partes, recursivamente resolver cada uma delas e unir os resultados parciais de modo a se obter uma solu¸cão global. A recursão termina quando o problema foi subdividido em partes “primitivas” que permitem uma solu¸cão direta.

Quando aplicado a uma árvore CSG, a maneira natural de se subdividir o problema é o de processar as sub-árvores de cada nó interior (que no caso constitui uma opera¸cão booleana) separadamente. A recursão termina nas folhas onde o problema é resolvido para primitivas. Solu¸cões dos subproblemas são então combinadas segundo a opera¸cão booleana em questão.

2.2.3 Propriedades de modelos CSG

Temos:

(1) Poder de expressão: Depende da classe de primitivas (ou half-spaces) dispon´ıveis. (2) Validade: Toda ´arvore CSG reprenta um sólido admiss´ıvel desde que primitivas válidas

(isto ´e, primitivas limitadas) sejam consideradas e apenas opera¸c˜oes booleanas regularizadas sejam aplicadas.

(3) Ambigüidade e unicidade: Toda ´arvore CSG modela um sólido sem ambigüidade. Não existe unicidade.

(4) Linguagem de descri¸cão: Usualmente linguagem textual. E poss´ıvel se incluir uma´ interface gráfica em um modelador CSG.

(5) Concisão: ´Arvores CSG são, em princ´ıpio, relativamente concisas. Em modeladores pr´ ati-cos, elas tendem a crescer quando outras informa¸cões, que ajudam na eficiência de opera¸cões gráficas, são inclu´ıdas na árvore CSG básica.

(22)

(6) Opera¸c˜oes fechadas: Opera¸c˜oes booleanas regularizadas s˜ao algebricamente fechadas para ´

arvores CSG.

(7) Aplicabilidade e custo computacional: O poder computacional de algums algoritmos

CSG importantes é pobre. Os algoritmos de dividir e conquistar geralmente conduzem a algoritmos eficintes embora árvores CSG mal balanceadas possam prejudicar a eficiência de tais algoritmos.

2.3 Classifica¸

c˜

oes de pertinˆ

encia

Os assim denominados algoritmos de classifica¸cão de pertinˆencia (set membership classification

algorithms) s˜ao uma classe particularmente útil de algoritmos baseados na técnica de “dividir e conquistar”. Em termos gerais, um tal algoritmo age sobre dois conjuntos de pontos, a saber, o conjunto candidato C e o conjunto de referência R. O algoritmo deve classificar C com rela¸c˜ao a R formando três conjuntos CinR, ConR e CoutR representando as partes de C no interior, na fronteira e no exterior de R, respectivamente. Por exemplo, o algoritmo para se classificar um segmento de reta finito (uma “aresta”) com rela¸cão a uma árvore CSG pode ser visto segundo esta idéia geral tomando-se como conjuntos:

• C: uma aresta E dada em termos de um par de n-uplas ordenadas. • R: uma ´arvore CSG S.

• CinR, ConR, CoutR: os conjuntos EinS, EonS e EoutS consistindo cada um de

subseg-mentos de E tais que EinS∪ EonS ∪ EoutS = S e que representam, respectivamente, os pontos de E que est˜ao no interior, na fronteira e no exterior de S.

Outros exemplos de classifica¸cão de pertinência s˜ao dados por classifica¸cão ponto/sólido, classi-fica¸cão face/sólido, etc.

2.3.1 Propaga¸

c˜

ao para baixo

A classifica¸cão ponto/sólido é naturalmente implementada como um conjunto de procedimentos recursivos mas ela pode ser pensada, de uma maneira mais simples, como passando mensagens através dos nós da árvore. No in´ıcio, as coordenadas dos pontos são enviadas a partir da raiz da ´

arvore. Dali, elas são propagadas em dire¸cão às folhas, possivelmente alteradas. Em cada folha, as coordenadas finais descrevem o mesmo ponto mas com rela¸cão ao sistema de coordenadas locais da primitiva que a folha representa.

Na folha, classificamos o ponto como in, on ou out dependendo se o ponto est´a no interior, na fronteira ou no exterior da primitiva. Esta classifica¸cão é devolvida para a raiz. Em um nó intermediário, os resultados das subárvores são combinados. Assim, a primeira fase do algoritmo pode ser descrita como se segue.

(1) Se o ponto (x, y, z) chega em um n´o que define uma opera¸cão booleana, então ele é passado inalterado para os nós descendentes.

(23)

(2) Se o ponto (x, y, z) chega em um n´o que define uma transla¸cão ou rota¸cão, a transla¸cão ou rota¸cão inversa ´e aplicada em (x, y, z) fornecendo um novo ponto (x, y, z) que é enviado para nós descendentes.

(3) Se o ponto (x, y, z) chega em uma folha, ent˜ao o ponto é classificado com rela¸cão a primitiva e esta classifica¸cão é devolvida para o pai da folha.

2.3.2 Propaga¸

c˜

ao para cima

Na segunda fase do algoritmo as mensagens contendo a classifica¸cão do ponto devem ser com-binadas segundo as opera¸cões booleanas que definem os nós intermediários. Nenhum trabalho é realizado em nós que representam transla¸cões ou rota¸cões. A tabela (2.1) mostra o que deve ser feito para nós que representam uma união ou uma interse¸cão.

∪∗ _in _on _out in in in in on in on? on out in on out ∩∗ _in _on _out in in on out on on on? out

out out out out

Tabela 2.1: Combina¸cão de vizinhan¸cas para união e interse¸cão.

2.3.3 Vizinhan¸

cas

Implementado desta maneira, o algoritmo estará incorreto. Considere, por exemplo, os exemplos dados na figura (2.4). O problema aqui é a classifica¸cão dos pontos que estão sobre a fronteira da superf´ıcie da primitiva. Estes pontos podem estar sobre uma região da superf´ıcie da primitiva que permanecem sobre a superf´ıcie do sólido descrito pela árvore, e então a tabela fornece um re-sultado correto. Se, contudo, o ponto está em uma região da superf´ıcie que não está na superf´ıcie

A

B

A B

Figura 2.4: Ambig¨uidade no caso “on-on”.

final do objeto, então a tabela fornece um resultado incorreto. O que se faz necessário para resol-ver este tipo de problema é o de descrever a geometria local na vizinhan¸ca do ponto. Isto pode

(24)

ser feito com a informa¸cão adicional da vizinhan¸ca do ponto. Não entraremos em detalhes sobre a incorpora¸cão de vizinhan¸cas na estrutura de dados para se resolver este tipo de ambigüidade. Sugerimos ao leitor o artigo de Robert Bruce Tilove, Set Membership Classification: A Unified

Approach to Geometric Intersection Problems, IEEE Transactions on Computers, Volume C-29,

(25)

Cap´ıtulo 3

Modelos baseados em superf´ıcies

Se faz preciso referenciar certas propriedades da superf´ıcie de um sólido a fim de evitar de-terminadas anomalias que ocorrem quando somente do uso de teoria de conjuntos. De fato, é perfeitamente poss´ıvel caracterizar espa¸cos de modelagem apenas através das propriedades destas superf´ıcies.

A caracteriza¸cão de sólidos baseados em suas superf´ıcies toma a fronteira de um objeto sólido. Esta é composta de uma cole¸cão de “faces” que são “coladas” a fim de formar uma “pele” completa do objeto. Para podermos falar rigorosamente destes procedimentos informais e enunciar explicitamente sobre quais condi¸cões obtemos um sólido satisfazendo nossa no¸cão de “construtibilidade”, usaremos os conceitos desenvolvidos em outro ramo da topologia, a saber,

topologia alg´ebrica.

3.1 Variedades bidimensionais

Intuitivamente, uma superf´ıcie pode ser considerada como um conjunto de IR3 que é essenci-almente “bidimensional”: todo ponto da superf´ıcie (exceto pontos sobre uma aresta de bordo) estão no interior de uma região “bidimensional” de pontos da superf´ıcie.

A bidimensionalidade da superf´ıcie significa que podemos estudar suas propriedades através de um modelo plano. Primeiro, definiremos mais abstratamente (e mais rigorosamente) o que entendemos por superf´ıcie e então construiremos um modelo simples para ela em termos de uma topologia especial definida no espa¸co euclidiano IR2.

Defini¸c˜ao 3.1.1 Uma variedade bidimensional M ´e um espa¸co topol´ogico onde todo ponto possui uma vizinhan¸ca que ´e topologicamente equivalente a um disco aberto do IR2.

Intuitivamente, um inseto vivendo em M vˆe em torno de si uma região cont´ınua simples. Esta no¸cão pode ser perfeitamente aplicada em nosso caso e o planeta Terra. De fato, a superf´ıcie de uma esfera é uma variedade bidimensional.

3.2 Limita¸

c˜

oes de modelos em variedades

Seja A um conjunto regularizado e limitado. Se uma variedade bidimensional M e a fronteira de A, ∂(A), são topologicamente equivalentes, dizemos que A é uma realiza¸cão de M em IR3.

(26)

Como veremos em breve, a classe de variedades bidimensionais que possuem pelo menos uma realiza¸c˜ao pode ser caracterizada precisamente. Denominaremos tais varieades bidimensionais de realiz´aveis.

Infelizmente, nem todos conjuntos regularizados e limitados são realiza¸cões de alguma va-riedade bidimensional. A figura (3.1) ilustra alguns destes conjuntos. O problema com todos estes objetos é que suas superf´ıcies tocam-se em um ponto ou sobre um segmento de curva. As vizinhan¸cas de tais pontos não são discos, como requerido pela defini¸cão (3.1.1). Por exemplo, a vizinhan¸ca do ponto problema na figura (3.1)−(a) consiste de dois discos.

Assim, existe uma incompatibilidade natural entre modelos em conjuntos regularizados limi-tados e modelos em variedades. Para propósitos práticos, objetos como os da figura (3.1) podem ser representados indiretamente “ignorando-se” os pontos e segmentos de retas excepcionais. Desta maneira, o objeto da figura (3.1)−(a) seria representado como uma combina¸cão r´ıgida de duas componentes.

3.3 Modelos planos de variedades bidimensionais

Para estabelecer condi¸cões suficientes para que uma variedade seja realizável necessitaremos de um mecanismo que possa representar todas as variedades bidimensionais de maneira a nos permitir elaborar sobre suas propriedades. Para este prop´osito, usaremos os modelos planos.

Para ilustrar a idéia básica da representa¸cão vamos considerar primeiro um exemplo simples. A figura (3.2) representa um pol´ıgono de quatro lados enquanto que (b) representa a superf´ıcie cil´ındrica obtida colando-se em (a) as duas arestas nomeadas com α.

A idéia básica do que se segue é empregar uma figura plana nomeada (como o retângulo em (a)) a fim de elaborarmos sobre as propriedades de uma superf´ıcie (o cilindro). Isto é feito definindo-se uma topologia especial na figura plana.

Na topologia natural do IR2, as vizinhan¸cas de um ponto são todas discos abertos de algum raio r em torno do ponto. O mesmo ocorre na topologia especial que usaremos, exceto para pontos sobre arestas nomeadas. Para estes, vizinhan¸cas consistem da união de dois semidiscos em torno de pontos simétricos sobre a aresta (veja figura (3.2)−(a)).

Para esta topologia especial, pontos sim´etricos sobre arestas possuem as mesmas vizinhan¸cas, a saber, as vizinhan¸cas circulares que elas possuiriam se arestas sob um mesmo nome fossem coladas. Tais pontos s˜ao distos estarem topologicamente identiﬁcados e s˜ao tratados como um ´

unico ponto. Observe que, agora, todos os pontos do cilindro de (a), exceto aqueles sobre arestas n˜ao nomeadas, possuem vizinhan¸cas topologicamente equivalentes a um disco de IR2. Por causa destes pontos excepcionais, o cilindro ´e denominado uma superf´ıcie com bordo.

Outros exemplos de modelos planos são dados na figura (3.3). O modelo plano de uma esfera é obtido simplesmente identificando-se os pontos correspondentes das arestas nomeadas em (a); a bola de futebol americano é quase um perfeito exemplo prático deste procedimento. O prosseguimento natural da figura (3.2) é o modelo de um toro em (b). Ele é criado identificando-se as arestas de cima e de baixo do modelo plano do cilindro (penidentificando-se em curvar um cilindro até que suas extremidades se toquem). Note agora que todas as vizinhan¸cas são discos completos e, superf´ıcies onde isto ocorre s˜ao denominadas superf´ıcies sem bordo.

O caso (c) dá outra varia¸cão da figura (3.2): aqui a orienta¸cão das arestas identificadas foram trocadas produzindo o modelo da bem conhecida faixa de Möbius.

(27)

(a) (b)

(c)

(28)

6 α α 6 6 α α (a) (b)

Figura 3.2: Uma superf´ıcie cil´ındrica.

3.4 Defini¸

c˜

ao formal de modelos planos

A fim de tratarmos de modelos planos mais complicados, é necessário formalizar a defini¸cão intuitiva dada acima. Come¸caremos definindo identifica¸cão de arestas:

Defini¸c˜ao 3.4.1 Sejam P uma cole¸cão de pol´ıgonos e a₁, a₂, . . . uma cole¸cão de arestas destes pol´ıgonos. Estas arestas são ditas estarem identificadas quando uma nova topologia é definida em P como se segue:

(1) Cada aresta possui uma orienta¸cão de uma extremidade para outra e está colocada em correspondência topológica com o intervalo unitário de modo que os pontos iniciais de todas as arestas correspondam a 0 e pontos finais a 1.

(2) Os pontos sobre as arestas a₁, a₂, . . . que correspondem a um mesmo valor do intervalo unitário são tratados como um único ponto.

(3) As vizinhan¸cas da nova topologia em P são discos inteiramente contidos em um único pol´ıgono mais a união de semidiscos cujos diâmetros são intervalos sobre pontos correspon-dentes nas arestas a₁, a₂, . . ..

Em outras palavras, na nova topologia as arestas identiﬁcadas a₁, a₂, . . . s˜ao tratadas como uma ´

unica aresta.

Nos exemplos precedentes, a identifica¸cão de arestas foi representada colocando-se arestas identificadas sob um mesmo nome; setas foram usadas para indicar a orienta¸cão das arestas.

A seguir definiremos a identifica¸cão de vértices:

Defini¸c˜ao 3.4.2 Sejam P um conjunto de pol´ıgonos e p₁, p₂, . . . uma cole¸cão de vértices destes pol´ıgonos. Estes vértices são ditos estarem identificados quando uma nova topologia é definida em P na qual esta cole¸cão de vértices é tratada como um único ponto e vizinhan¸cas são definidas como discos inteiramente contidos em uma única face mais a união de setores de discos em torno

(29)

(c) 6 -6 6 (b) (a) &% '$ ? ? 6 α α β α α β α α

Figura 3.3: Outras superf´ıcies: (a) esfera, (b) toro e (c) faixa de M¨obius.

de cada um dos pontos p₁, p₂, . . .. No caso de alguma das arestas encontrando um destes v´ertices estar identiﬁcada, os setores formando uma vizinhan¸ca em p₁, p₂, . . . deve conter os intervalos sobre estas arestas.

Se a cole¸cão de v´ertices p₁, p₂, . . . estão identificados diremos que os respectivos pol´ıgonos r₁, r₂, . . .

estão identificados na mesma cole¸cão.

Modelos planos podem agora ser deﬁnidos rigorosamente:

Defini¸c˜ao 3.4.3 Um modelo plano ´e um grafo planar {N, A, R} com um número finito de vértices N = {n₁, n₂, . . . , n_u}, arestas A = {a₁, a₂, . . . , a_v} e pol´ıgonos R = {r₁, r₂, . . . , r_t} cons-tituidos das arestas e vértices dados em N e A, respectivamente. Cada pol´ıgono do grafo possui uma certa orienta¸cão em suas arestas e vértices. Pol´ıgonos, arestas e vértices do grafo são nome-ados; se uma cole¸cão de arestas ou vértices possui o mesmo nome, eles são considerados estando identificados de acordo com as defini¸cões (3.4.1) e (3.4.2).

A figura (3.4)−(a) ilustra a defini¸cão acima. Na figura, arestas e vértices com nomes corres-pondentes estão identificados. Assim, por exemplo, as vizinhan¸cas de cada ponto na aresta com nome e₁, consistem de dois semidiscos, e a vizinhan¸ca do v´ertice v₁ consiste de quatro setores de disco.

Por simplicidade, desenharemos modelos planos em uma forma condensada tal como em (b), onde algumas arestas identificadas foram escritas como uma única e seus nomes não foram inclu´ıdos. Analogamente, podemos desenhar uma cole¸cão de vértices identificados como um único

(30)

6 = Z Z Z Z ZZ~ 6 - > Z Z Z Z Z Z } 7JJ J J J J ^ S S S S S S o ? ? v₁ e₅ v₂ v₅ e₁ e₂ v₁ v₅ v₄ v₅ v₄ e₆ e₁ e₄ e₆ v₂ v₂ v₃ e₅ e₅ e₇ v₃ v₁ e₂ e₃ e₃ v₄ e₇ e₃ e₄ v₁ e₈ = Z Z Z Z ZZ~ > Z Z Z Z Z Z } 7JJ J J J J ^ S S S S S S o v₁ e₁ e₂ v₁ e₁ e₄ v₁ e₂ e₃ e₃ e₄ v₁ (a) (b)

Figura 3.4: Modelos planos de uma pirˆamide.

ponto. Note que a figura (3.4)−(a) e (b) representam a mesma estrutura {N, A, R} e, então, o mesmo modelo plano. Incluiremos o “pol´ıgono infinito exterior” no desenho de um modelo plano quando conveniente.

3.5 Modelos planos realiz´

aveis

Podemos finalmente concentrar nossa aten¸cão sobre as condi¸cões necessárias para que um modelo plano seja realizável.

3.5.1 Subdivis˜

oes de uma superf´ıcie

Identifica¸cões topológicas como definidas acima podem produzir vizinhan¸cas que não são discos e, portanto, não satisfazem a defini¸cão de variedade topológica bidimensional. Para excluir tais casos, vamos restringir a identifica¸cão de modelos planos:

Defini¸c˜ao 3.5.1 Um modelo plano ´e uma subdivisão de uma superf´ıcie se as seguintes condi¸cões são obedecidas na identifica¸cão de sua arestas e vértices:

(1) Toda aresta est´a identiﬁcada com exatamente uma outra.

(2) Para cada cole¸cão de vértices identificados, os pol´ıgonos identificados nesta cole¸cão podem ser arranjados em um ciclo de tal maneira que cada par de pol´ıgonos consecutivos no ciclo está identificado na aresta adjacente ao vértice da cole¸cão.

(31)

Observe que a aresta v2− v5 na figura (3.4)−(b) representa o par de arestas com nome e5 em (a); ent˜ao, v2− v5 satisfaz a primeira condi¸cão. Ela, assim, não permite objetos como os da figura (3.1)−(b) (onde quatro arestas foram identificadas).

A segunda condi¸cão garante que as vizinhan¸cas combinadas de cada grupo identificado de vértices é um disco; por exemplo, os seis pol´ıgonos identificados na figura (3.1)−(a) não podem ser arranjados em um ciclo simples.

3.5.2 Orientabilidade

Existem variedades bidimensionais que não possuem um modelo em IR3, isto é, não podem ser construidas no espa¸co tridimensional e, assim, não representam a fronteira de conjunto algum regularizado e limitado. Por exemplo, a garrafa de Klein, representada pelo modelo plano da figura (3.5), é uma tal superf´ıcie. Estas variedades não realizáveis podem ser distinguidas das

e1 e1 e2 e2 6 -6 (a) (b)

Figura 3.5: A garrafa de Klein. realiz´aveis pelo conceito de orientabilidade:

Defini¸cão 3.5.2 (Regra de M¨oebius) Um modelo plano ´e orientável se as dire¸cões de seus pol´ıgonos podem ser escolhidas de modo que para cada par de arestas identificadas, uma aresta ocorre em sua orienta¸cão positiva na dire¸cão escolhida para seu pol´ıgono, e a outra em sua dire¸cão negativa.

No que se segue, estaremos interessados em modelos planos orientáveis somente quando eles correspondem com superf´ıcies que podem ser realizadas em IR3, isto é, que podem formar a fronteira de conjuntos regularizados e limitados. Como pode ser visto da defini¸cão acima, para garantir que um modelo plano seja realizável ´e suficiente que todos os pol´ıgonos estejam

con-sistentemente orientados (ou seja, todos os pol´ıgonos esteja orientados, digamos, no sentido dos

ponteiros do relógio exceto o “pol´ıgono infinito exterior” que é orientado na dire¸cão contrária). Intuitivamente, modelos planos realizáveis podem ser desenhados sobre um conjunto regu-larizado e limitado sem se cruzar as arestas. Uma maneira mais rigorosa de se expressar isto

(32)

é observar que pontos e abertos do modelo plano podem ser aplicados em pontos e abertos de um conjunto regularizado e limitado através de uma aplica¸cão cont´ınua. Na prática, preferimos as aplica¸cões que podem ser representadas atribuindo-se informa¸cões geométricas (tais como va-lores das coordenadas, equa¸cões das curvas e equa¸cões das superf´ıcies) para vértices, arestas e pol´ıgonos do modelo plano.

3.6 A caracter´ıstica de Euler

Considere o cubo da figura (3.6)−(a). Ele tem um total de f = 6 faces, e = 12 arestas e v = 8 vértices (onde vértices e arestas identificadas contam como um). Observe que o modelo plano inclui o “pol´ıgono infinito exterior” e que todas as arestas estão identificadas.

Claramente, a mesma superf´ıcie podem ser modelada em termos do modelo modiﬁcado (b), obtido trocando-se uma face quadrada de (a) por dois triˆangulos. O novo modelo possui uma face e uma aresta adicionais, ou um novo total de f = 7 faces e e = 13 arestas.

Os dois modelos planos representam um mesmo objeto, a saber, uma superf´ıcie topologica-mente equivalente a esfera. O seguinte teorema fornece uma propriedade fundamental relacionada com estas divis˜oes.

Teorema 3.6.1 Seja S uma superf´ıcie dada como um modelo plano e sejam v, e, f o n´umero de vértices, arestas e faces no modelo plano. Então a soma v− e + f é uma constante que não depende da maneira na qual S foi subidividada a fim de formar o modelo plano. Esta constante ´

e denominada a caracter´ıstica de Euler e ´e denotada por χ(S).

Para nossos prop´ositos, este teorema de invariância ´e um dos resultados centrais em topologia algébrica. Sua demonstra¸cão está fora do escopo destas notas mas é fácil verificar sua validade em exemplos: para o cubo original temos

χ = v− e + f = 8 − 12 + 6 = 2

e, depois da modiﬁca¸c˜ao,

χ = v− e + f = 8− 13 + 7 = 2

como esperado. N˜ao importa como fa¸camos a subidivs˜ao de um modelo plano, a caracter´ıstica de Euler permanece a mesma.

3.6.1 Os n´

umeros de Betti

A teoria de homologia nos diz que a caracter´ıstica de Euler pode ser expressa como

χ = h₀− h₁+ h₂ (3.1)

onde h₀, h₁ e h₂ s˜ao denominados os números de Betti do modelo plano. A equa¸c˜ao (3.1) é denominada fórmula de Euler-Poincaré.

Os números de Betti podem ser calculados através de técnicas de teoria de grupos; contudo, isto está além do escopo de nossos interesses. Ao invés disto, vamos elaborar sobre o significado

(33)

(a) (b) Figura 3.6: Modelos de um cubo.

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topol´ogico dos n´umeros de Betti. O segundo n´umero de Betti h₂ revela a orientabilidade da superf´ıcie e ´e igual a h₀ para os tipos de superf´ıcies que estamos interessados.

Uma superf´ıcie arbitrária é sempre a união de um número de pe¸cas conexas denominadas

componentes. O n´umero de Betti h₀ representa justamente esta quantidade de componentes conexas. Assim, para o cubo, h₀ = 1 enquanto que para o conjunto de seis bolas de tˆenis, h₀ = 6. O primeiro n´umero de Betti h₁ ´e denominado o n´umero de conectividade da superf´ıcie. Ele

diz o maior n´umero poss´ıvel de curvas fechadas que podem ser desenhadas sobre a superf´ıcie sem separ´a-la em duas ou mais partes. Para o cubo (ou qualquer curva topologicamente equivalente a ele) h₁ = 0 porque toda curva fechada corta sua superf´ıcie em dois peda¸cos. Mais intuitivamente,

h₁ representa duas vezes o número de “buracos” no objeto. Uma rosquinha possui um buraco e para ela h₁ = 2. Assim, a caracter´ıstica de Euler de uma rosquinha (ou de um copo de café) é

χ = 1− 2 + 1 = 0.

O teorema de invariância pode ser generalizado para os números de Betti. Isto é, não importa como uma superf´ıcie seja dividida para formar um modelo plano, os números de Betti (e todas as caracter´ısticas topológicas associadas a eles) continuam invariantes. Este fato será de interesse futuro e, para referência, vamos enunciá-lo como um teorema:

Teorema 3.6.2 Seja S uma superf´ıcie dada como um modelo plano. Ent˜ao os números de Betti h₀, h₁ e h₂ associados ao modelo são constantes, independentes da maneira que S foi subidividida a fim de formar o modelo plano.

No que se segue, usaremos uma nota¸cão mais conveniente para a fórmula de Euler-Poincaré. Denotaremos por s o número de superf´ıcies conexas ou “cascas” dado por h₀. Analogamente,

h, o genus da superf´ıcie (ou a soma dos genus de todas as componentes do modelo) ´e usado para denotar o número de buracos e ´e definido por h₁/2. Com esta nota¸c˜ao, a fórmula de Euler-Poincaré pode ser escrita em termos de variáveis mais familiares como

v− e + f = 2(s − h). (3.2)

3.7 Superf´ıcies com bordo

Como vimos nas se¸cões precedentes, variedades bidimensionais orientáveis coincidem com o con-ceito informal de “superf´ıcies f´ısicas sem bordo’. Algumas vezes, contudo, gostar´ıamos de lidar também com superf´ıcies que não necessariamente delimitam um sólido.

Este é o caso, por exemplo, da superf´ıcie cil´ındrica ilustrada na figura (3.2). Seu modelo plano pode ser caracterizado por algumas arestas que não foram identificadas. Estas arestas formam o bordo da superf´ıcie da´ı o termo superf´ıcies com bordo.

Superf´ıcies com bordo podem ser pensadas como criadas de suas versões sem bordo cortando-se fora alguns pol´ıgonos. Por exemplo, um cilindro é criado removendo-se dois discos de uma esfera. Come¸camos com um modelo plano de uma esfera em (a) que é modificado removendo-se dois pol´ıgonos resultando no modelo do cilindro.

Usando esta ferramenta mental, a teoria de superf´ıcies sem bordo pode ser facilmente es-tendida para superf´ıcies com bordo. Por exemplo, para calcular a caracter´ıstica de Euler de

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uma superf´ıcie com b componentes de bordo, procedemos adicionando-se b novos pol´ıgonos ao seu modelo plano de modo a formar uma superf´ıcie sem bordo. Claramente, a caracter´ıstica de Euler da superf´ıcie emendada ´e

χ = v− e + f + b.

Assim, para uma superf´ıcie com b componentes de bordo, a f´ormula de Euler-Poincar´e (3.2) pode ser escrita como

v− e + f = 2(s − h) − b. (3.3)

3.8 Dualidade

O dual de uma grafo planar ´e construido atribuindo-se um vértice dual para cada pol´ıgono do grafo original e unindo-se cada par de vértices duais com uma aresta dual se os correspondentes pol´ıgonos originais compartilhavam uma aresta (possivelmente através de uma identifica¸cão). Desta maneira, pol´ıgonos duais estão em correspondência com os vértices originais.

Usando este procedimento, é fácil converter um modelo plano de uma superf´ıcie em seu modelo plano dual. Um exemplo de um modelo plano e seu dual é dado na figura (3.7). Observe que o modelo dual (b) incluir o “pol´ıgono infinito exterior” v₁.

(a) (b)

Figura 3.7: Um modelo plano e seu dual.

Note que pol´ıgonos e arestas do modelo plano dual estão orientados. Para explicar como a orienta¸cão do modelo plano dual é escolhida, vamos assumir que o modelo original está conve-nientemente orientado. Primeiro, usamos a conven¸cão de que cada aresta dual está orientada na dire¸cão do vértice dual que corresponde ao pol´ıgono original na qual a aresta ocorre em sua orienta¸cão positiva. Isto determina de maneira única a orienta¸cão de cada aresta dual. Dire¸cões dos pol´ıgonos duais são escolhidas pela seguinte regra:

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Suponha que v, e, v∗ e e∗ denotam um vértice original, uma aresta adjacente a ele, o pol´ıgono dual correspondente a v e o dual de e, respectivamente. Se v é o ponto final de e, a orienta¸cão de v∗ é escolhida de modo que e∗ é percorrida no seu sentido positivo, caso contrário, a orienta¸cão oposta é escolhida.

Sob esta regra, a orienta¸cão dos pol´ıgonos duais será consistente. Mais ainda, o dual de um modelo dua será idêntico ao modelo original. Definimos a orienta¸cão c´ıclida das arestas em torno de um vértice como a orienta¸cão correspondente as arestas duais no pol´ıgono dual do vértice. Note ainda que o dual é uma subdivisão de superf´ıcie porque cada uma de suas arestas está identificada com exatamente uma outra.

Nosso interesse em dualidade deve-se ao seguinte:

Lema 3.8.1 Todas as propriedades topol´ogicas de um modelo plano s˜ao preservadas em seu dual.

Em particular, os n´umeros de Betti e a caracter´ıstica de Euler χ de um modelo plano e seu dual s˜ao iguais.

3.9 Resumo

Podemos resumir o longo desenvolvimento feito acima como se segue: a superf´ıcie de um sólido pode ser rigorosamente modelada em termos de um grafo planar com uma topologia especial. Baseado no grafo podemos deduzir propriedades topológicas da superf´ıcie tais como orientabili-dade, conectividade e o número de “buracos”. Tais propriedades estão compactamente expressas na fórmula de Euler-Poincaré.

Naturalmente, para os propósitos de modelagem de sólidos, nosso interesse primeiro é o de modelos planos realizáveis, isto é, modelos que podem ser colocados como bordo de um conjunto regularizado limitado. Como veremos posteriormente, a teoria aqui desenvolvida nos permitirá derivar opera¸cões de manipula¸cão sobre modelos planos que sempre resultarão em representa¸cões realizáveis sendo geral o suficiente para incluir todos modelos de interesse.