UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
Faculdade de Engenharia Mecânica
LEONARDO LIMA GUSMÃO
Análise Modal de uma Estrutura de
Fundação para Máquinas Rotativas
CAMPINAS 2020
Análise Modal de uma Estrutura de
Fundação para Máquinas Rotativas
Dissertação de Mestrado apresentada à Faculdade de Engenharia Mecânica da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para obtenção do título de Mestre em Engenharia Mecânica, na Área de Mecânica dos Sólidos e Projetos Mecânicos.
Orientador: Prof. Dr. Tiago Henrique Machado
ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO FINAL DA DISSERTAÇÃO DEFENDIDA PELO ALUNO LEONARDO LIMA GUSMÃO, E ORIENTADA PELO PROF. DR TIAGO HENRIQUE MACHADO.
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ASSINATURA DO ORIENTADOR
CAMPINAS 2020
Biblioteca da Área de Engenharia e Arquitetura Rose Meire da Silva - CRB 8/5974
Gusmão, Leonardo Lima,
G972a GusAnálise modal de uma estrutura de fundação para máquinas rotativas / Leonardo Lima Gusmão. – Campinas, SP : [s.n.], 2020.
GusOrientador: Tiago Henrique Machado.
GusDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Mecânica.
Gus1. Rotores. 2. Dinâmica. 3. Rotores - Dinâmica. 4. Análise modal. I. Machado, Tiago Henrique, 1986-. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Mecânica. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Modal analysis of a foundation structure for rotating machines Palavras-chave em inglês:
Rotors Dynamic Rotordynamics Modal analysis
Área de concentração: Mecânica dos Sólidos e Projeto Mecânico Titulação: Mestre em Engenharia Mecânica
Banca examinadora:
Tiago Henrique Machado [Orientador] Jaime Hideo Izuka
Paula Frassinetti Cavalcante
Data de defesa: 23-09-2020
Programa de Pós-Graduação: Engenharia Mecânica
Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a)
- ORCID do autor: https://orcid.org/0000-0002-1212-1681 - Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/1276213902425712
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO ACADÊMICO
Análise Modal de uma Estrutura de
Fundação para Máquinas Rotativas
Autor: Leonardo Lima Gusmão
Orientador: Prof. Dr. Tiago Henrique Machado
A Banca Examinadora composta pelos membros abaixo aprovou esta Dissertação:
Prof. Dr. Tiago Henrique Machado
Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP/FEM Prof. Dr. Jaime Hideo Izuka
Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP/FCA Profa. Dra. Paula Frassinetti Cavalcante
Universidade Federal da Bahia – UFBA/DEM
A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no processo de vida acadêmica do aluno.
Esse período foi sem dúvidas um dos que mais desafiadores que já vivi, seria impossível passar por ele sem o auxílio de diversas pessoas.
Aos meus pais, Maria Julieta Lima Santos e Gilmar Gusmão Santos, por todo apoio, carinho, incentivo e investimento em minha educação.
Às minhas irmãs e sobrinhos, por tornar a distância mais palatável.
Aos meus professores, colegas e amigos do LAMAR, por toda ajuda, receptividade, paciência e companheirismo desde o primeiro dia.
Aos técnicos da oficina mecânica do departamento por toda a ajuda na montagem e calibração da bancada experimental.
Em especial ao meu orientador, Prof. Dr. Tiago Henrique Machado e à Profª. Drª. Katia Lucchesi Cavalca Dedini, pela oportunidade de me possibilitarem ingressar no programa de mestrado.
À UNICAMP por todo suporte fornecido para este trabalho.
O presente trabalho foi realizado com apoio do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico (CNPQ), processo nº 138614/2018-0.
A minha alucinação é suportar o dia a dia E o meu delírio é a experiência com coisas reais. (Belchior)
Esse trabalho detalha o procedimento de análise modal experimental (AME) de uma estrutura metálica, usada como fundação de um sistema rotativo. A AME foi realizada com a estrutura disposta em diversas configurações, a fim de definir a confiabilidade da metodologia empregada, bem como a influência da adição de diversos anexos à estrutura, como caixas de mancal e vigas metálicas. A respeito da extração dos parâmetros modais é necessário ressaltar a importância de algumas etapas, como, marcação da estrutura, posicionamento dos acelerômetros e definição dos nós modais. Após a marcação da estrutura e fixação dos acelerômetros, utilizando um martelo de impacto todos os pontos da estrutura foram excitados. A fase posterior, ou pré-processamento dos dados, agrupou todas as informações acerca da geometria da estrutura e do posicionamento dos acelerômetros, pois o referencial adotado deve ser empregado em todas as etapas do processo. Como os acelerômetros utilizados são do tipo uniaxiais, essa etapa também é importante para definir os nós modais por meio do agrupamento das informações de três acelerômetros fixados em direções diferentes. Os parâmetros modais foram extraídos utilizando a função modalfit, do Matlab®. Essa função utiliza as funções de resposta em frequência (FRF’s) do sistema,
dando a possibilidade de escolha do tipo de metodologia para extração dos parâmetros modais. Por fim, com a utilização do pacote EasyANIM, plugin utilizado no software Matlab®, foi possível visualizar os respectivos modos de vibrar da estrutura.
Esse plugin, por meio de informações de geometria da estrutura e de seus parâmetros modais, é capaz de exibir graficamente as formas modais dos modos analisados por cada acelerômetro. O procedimento de AME empregado nesse estudo se mostrou eficaz e confiável na obtenção dos parâmetros modais de uma estrutura metálica de fundação. O estudo permitiu inferir que o aumento da rigidez de uma estrutura de fundação impacta no aumento das suas frequências naturais. O mesmo acontece quando se compara as frequências naturais de uma estrutura livre-livre e engastada. Em relação as formas modais, quando adicionados elementos de geometria complexa à estrutura, acontecem combinações das formas modais da fundação com tais elementos. A alteração de massa e rigidez, por meio da adição de vigas metálicas à fundação, promovem um aumento da rigidez no sentido longitudinal da estrutura,
contribuição significativa deste trabalho é a documentação dos procedimentos experimentais.
Palavras Chave: Dinâmica de rotores, Estrutura de Suporte, Análise Modal Experimental, Parâmetros Modais.
This work details the procedure of experimental modal analysis (EMA) of a metallic structure, used as foundation of a rotating system. The AME was carried out with the structure arranged in different configurations, in order to define the reliability of the methodology used, as well as the influence of the addition of several attachments to the structure, such as bearing housing and metal beams. Regarding the extraction of modal parameters, it is necessary to emphasize the importance of some steps, such as, structure marking, positioning of accelerometers and definition of modal nodes. After marking the structure and fixing the accelerometers, all points on the structure were excited using an impact hammer. The later phase, or data pre-processing, grouped all the information about the structure geometry and the positioning of accelerometers, since the adopted spatial geometrical reference must be used in all steps of the process. As the used accelerometers are uniaxial, this step is also important to define the modal nodes by grouping information from three accelerometers fixed in different directions. The modal parameters were obtained using the Matlab® modalfit function. This function uses the system's frequency
response functions (FRF’s), giving the possibility to choose the type of methodology for extracting the modal parameters. Finally, with the use of a Matlab® plugin software
called EasyANIM, it was possible to visualize the respective modal shapes of the structure. This plugin, through information on the structure geometry and its modal parameters, is capable of graphically displaying the modal shapes of the analyzed modes by each accelerometer. The EMA procedure employed in this study proved to be effective and reliable in obtaining the modal parameters of a metallic foundation structure. The study allowed to infer that the increase in the stiffness of a foundation structure impacts on the increase of its natural frequencies. The same happens when comparing the natural frequencies of a free and clamped structure. In relation to the modal shapes, when elements of complex geometry are added to the structure, combinations of the modal shapes of the foundation occur with such elements. The change in mass and stiffness, through the addition of metal beams to the foundation, promotes an increase in stiffness in the longitudinal direction of the structure, impacting
of this work is the documentation of experimental procedures.
Key Word: Rotordynamics, Support Structure, Experimental Modal Analysis, Modal Parameters.
Figura 2.1: Exemplo de aplicação do método pick-picking em uma FRF (He e Fu (2001))…...………. 32 Figura 3.1: Identificação de variáveis para o método Peak picking (He e Fu (2001))……… 50 Figura 3.2: Deslocamento de um círculo de Nyquist por uma constante complexa (He e Fu (2001))………...……….……… 52 Figura 3.3: Derivação da frequência natural (He e Fu (2001)).…….….……….... 52 Figura 3.4: Estimativa do amortecimento a partir do círculo de Nyquist (He e Fu (2001)).…….……….………. 53 Figura 3.5: Gráficos das partes reais e imaginárias da inversa de uma FRF (He e Fu (2001))……… 55 Figura 4.1: Fundação do tipo “estrutura com molas montada sobre bloco” (adaptado de ACI 351.3R-04)………. 60 Figura 4.2: Imagem geral da bancada utilizada nos testes (Okabe, 2007)………….. 61 Figura 4.3: Fluxograma comparativo dos procedimentos teórico e experimental…… 63 Figura 4.4: Esquema de marcação dos 81 pontos de análise na estrutura ………… 64 Figura 4.5: Imagem da malha discretizada e informações sobre a simulação.……... 66 Figura 5.1: Vistas superior (acima) e inferior (abaixo) do projeto da nova estrutura de fundação……….….….. 68 Figura 5.2: Imagens da porção superior (acima) e inferior (abaixo) da nova estrutura de fundação...……….………... 68 Figura 5.3: Montagem experimental para os testes na condição livre-livre………..… 69 Figura 5.4: Módulo e fase da FRF do sistema com acelerômetros fixos (à esquerda) e móveis (à direita), para o caso em que a excitação é dada na direção z……….…… 72 Figura 5.5: Módulo e fase da FRF do sistema com acelerômetros fixos (à esquerda) e móveis (à direita), para o caso em que a excitação é dada na direção x……….…… 73 Figura 5.6: Módulo e fase da FRF do sistema com acelerômetros fixos (à esquerda) e móveis (à direita), para o caso em que a excitação é dada na direção y……….…… 73 Figura 5.7: Módulo e fase da FRF do sistema para o acelerômetro analisado na tabela 5.3……….……….. 76
com a definição de busca para oito modos de vibrar no modalfit.………..…...……… 77 Figura 5.9: Deformada do primeiro modo de vibrar, 43,47Hz, de um dos acelerômetros através do EasyAnim, para a condição livre-livre da estrutura………...………… 77 Figura 5.10: Deformada do primeiro modo de vibrar, 42,32Hz, simulado no Creo Simulate 2.0, para a condição livre-livre da estrutura.……..…….……….. 77 Figura 5.11: Deformada do segundo modo de vibrar, 97,61Hz, simulado no Creo Simulate 2.0, para a condição livre-livre da estrutura.……….……… 78 Figura 5.12: Deformada do segundo modo de vibrar, 99,02Hz, de um dos acelerômetros através do EasyAnim.…………..……….. 78 Figura 5.13: Deformada do terceiro modo de vibrar, 118,45Hz, simulado no Creo Simulate 2.0, para a condição livre-livre da estrutura.………...…….. 78 Figura 5.14: Deformada do terceiro modo de vibrar, 121,82Hz, de um dos acelerômetros através do EasyAnim……….. 79 Figura 5.15: Deformada do quarto modo de vibrar, 205,12Hz, simulado no Creo Simulate 2.0, para a condição livre-livre da estrutura.…………...……….. 79 Figura 5.16: Deformada do quarto modo de vibrar, 207,19Hz, de um dos acelerômetros através do EasyAnim.………..……….. 79 Figura 5.17: Deformada do quinto modo de vibrar, 232,25Hz, simulado no Creo Simulate 2.0, para a condição livre-livre da estrutura.…………..….……….. 80 Figura 5.18: Deformada do quinto modo de vibrar, 238,35Hz, de um dos acelerômetros através do EasyAnim……….……….……….. 80 Figura 5.19: Esquema de marcação dos 81 pontos de análise na estrutura com o posicionamento dos acelerômetros...……….. 81 Figura 5.20: Montagem experimental para condição com quatro engastes da estrutura de 12mm………..……….. 82 Figura 5.21: Montagem experimental para condição com quatro engastes da estrutura de 20mm………..……….. 82 Figura 5.22: Comparação das deformadas do segundo modo de vibrar de um dos acelerômetros através do EasyAnim (1 - Configuração livre-livre. 2 - Configuração engastado nas extremidades).………..……….. 84 Figura 5.23: Comparação das deformadas do terceiro modo de vibrar de um dos acelerômetros através do EasyAnim (1 - Configuração livre-livre. 2 - Configuração engastado nas extremidades).………..……….. 84
Figura 5.24: Deslocamento lateral da estrutura no plano XY durante deformação do segundo modo de vibrar de um dos acelerômetros através do EasyAnim………….. 85 Figura 5.25: Montagem experimental para condição com quatro engastes da estrutura com espessura de 12mm, engastada em quatro pontos e com as caixas de mancal adicionadas...……….……… 87 Figura 5.26: Deformada do sexto modo de vibrar de um dos acelerômetros através do EasyAnim……….…….………. 89 Figura 5.27: Deformada do quinto modo de vibrar de um dos acelerômetros através do EasyAnim……….………. 89 Figura 5.28: Deformada do terceiro modo de vibrar de um dos acelerômetros através do EasyAnim……….………. 90 Figura 5.29: Detalhamento da posição de fixação das vigas metálicas à estrutura de fundação metálica………. 91 Figura 5.30: Comparação das animações do primeiro modo de vibrar de um dos acelerômetros através do EasyAnim (1 – Sem vigas metálicas fixadas. 2 – Com vigas metálicas fixadas)………. 92 Figura 5.31: Comparação das deformadas do quinto modo de vibrar de um dos acelerômetros através do EasyAnim (1 – Sem vigas metálicas fixadas. 2 – Com vigas metálicas fixadas)………. 93
Tabela 5.1: Comparativo entre frequências naturais experimentais e simuladas para a configuração livre-livre utilizando as duas configurações de posicionamento dos acelerômetros……… 71 Tabela 5.2: Comparativo entre os valores de fator de amortecimento experimentais, utilizando as duas configurações de posicionamento dos acelerômetros. ………… 74 Tabela 5.3: Comparativo entre frequências naturais experimentais identificadas pelo método utilizado ao variar o número de modos buscados………..……… 75 Tabela 5.4: Comparativo das frequências naturais experimentais entre as estruturas com espessuras de 12mm e 20mm, para a condição de 4 engastes……….……….. 83 Tabela 5.5: Comparativo dos fatores de amortecimento experimentais entre as estruturas com espessuras de 12mm e 20mm, para a condição de 4 engastes…… 86 Tabela 5.6: Parâmetros modais da estrutura de 12mm, para a condição de 4 engastes, com a presença das caixas de mancal………...…… 88 Tabela 5.7: Comparativo das frequências naturais da estrutura com 12mm de espessura, para a condição de 4 engastes, presença das caixas de mancal, com e sem as vigas metálicas.……… 91 Tabela 5.8: Comparativo dos fatores de amortecimento da estrutura com 12mm de espessura, para a condição de 4 engastes, presença das caixas de mancal, com e sem as vigas metálicas.……… 94
1 INTRODUÇÃO ... 18 2 REVISÃO DA LITERATURA ... 21 2.1 Máquinas rotativas ... 21 2.2 Estrutura de Fundação ... 25 2.3 Análise modal ... 29 2.3.1 Métodos de identificação ... 31 3 METODOLOGIA ... 35
3.1 Sistemas com NGDL conservativos ... 35
3.2 Sistemas com NGDL e amortecimento proporcional ... 39
3.3 Sistemas com NGDL e amortecimento não proporcional ... 41
3.4 Função Resposta em Frequência ... 44
3.5 Métodos de identificação ... 50
3.5.1 Peak picking ... 50
3.5.2 Circle-fit ... 51
3.5.3 Line-fit ... 54
3.5.4 Método dos Mínimos Quadrados para Exponenciais Complexas ... 55
4 BANCADA DE TESTES E PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL ... 60
4.1 Descrição da bancada de testes ... 60
4.2 Procedimento experimental ... 62
5 RESULTADOS E DISCUSSÕES ... 67
5.1 Configuração livre-livre ... 69
5.2 Configuração com quatro engastes ... 81
5.3 Configuração com quatro engastes e elementos fixados... 86
5.3.1 Adição de caixas de mancais à estrutura de fundação. ... 87
6.1 Conclusões ... 95
6.2 Sugestões para trabalhos futuros ... 96
REFERÊNCIAS ... 98
1 INTRODUÇÃO
Todos os períodos em que aconteceram grandes saltos no desenvolvimento tecnológico e social da humanidade quase sempre estiveram associados às máquinas rotativas, como o surgimento da roda, o desenvolvimento das máquinas a vapor e dos motores a combustão. Atualmente existem diversos tipos de aplicações para máquinas rotativas. Bombas, compressores, turbinas e motores são encontrados em elementos cotidianos, mas principalmente, são de vital importância para a indústria, e consequentemente para economia global. Portanto, o estudo do comportamento dinâmico dessas máquinas garante maior credibilidade ao processo produtivo, impulsiona o desenvolvimento da indústria proporcionando ganhos em competitividade e máquinas mais eficientes.
Uma das estratégias adotadas a fim de garantir maior competitividade às máquinas rotativas é a realização de sua análise dinâmica. Este tipo de técnica deve levar em consideração o maior número possível de fatores que influenciem no funcionamento do sistema. Desde influências externas, passando pelo desbalanceamento do rotor, parâmetros e tipos de mancais, selos e acoplamentos utilizados, e as características da estrutura de fundação.
As máquinas produzem esforços dinâmicos que são transferidos às fundações por meio de movimentos vibratórios. As fundações de máquinas rotativas de grande porte, tem grande importância quanto a vibração gerada por este tipo de equipamento, uma vez que os fenômenos vibratórios possuem natureza iterativa. As vibrações da máquina são transferidas para a sua fundação e vice e versa. Desta forma, é essencial levar em consideração as características da fundação no estudo dinâmico de um sistema.
Neste contexto, o objetivo principal deste trabalho é realizar uma análise modal experimental de uma estrutura metálica usada como fundação de uma máquina rotativa. Além disso serão efetuadas comparações dos dados obtidos experimentalmente com os dados da análise modal teórica, analises da influência da alteração da espessura da estrutura de fundação nos seus parâmetros modais e
analises da influência da fixação de elementos externos à fundação nos seus parâmetros modais.
A análise modal experimental será aplicada a uma nova estrutura de fundação, que foi adquirida pelo fato de a estrutura utilizada previamente possuir uma elevada rigidez, o que implicava em frequências naturais muito elevadas. A substituição da fundação por uma de menor espessura permitiu observar mais frequências naturais dentro da faixa de operação da bancada, que pode alcançar um valor máximo aproximado de 120Hz.
Em se tratando de estudos referentes a máquinas rotativas, comumente a fundação é considerada rígida, a fim de simplificar os cálculos o que, consequentemente, pode ocasionar em perda de informações importantes quanto ao real funcionamento da máquina. O conhecimento das características modais da fundação de uma máquina rotativa permite que seja mais precisa a análise de elementos rotativos, por exemplo, presentes em superfícies marítimas, como plataformas petrolíferas, onde a fundação está longe de ser rígida.
O presente trabalho está inserido no contexto de um projeto maior, onde propõe-se um modelo teórico-experimental para a interação rotor-mancais-estrutura, onde para a modelagem do rotor é utilizado o clássico Método dos Elementos Finitos; já com relação aos mancais hidrodinâmicos, é utilizada uma abordagem numérica para o cálculo das forças hidrodinâmicas não lineares, através da solução da Equação de Reynolds com o emprego do Método dos Volumes Finitos; e por fim, a análise experimental da fundação ficou a cargo deste trabalho.
Este trabalho encontra-se dividido em 6 capítulos. O capítulo presente apresenta uma ideia geral da área de estudo bem como do tema proposto e seus objetivos e relevância.
O Capítulo 2 consiste de uma revisão da literatura a respeito de máquinas rotativas e análise modal a fim de proporcionar um entendimento da metodologia abordada no trabalho.
No capítulo 3 será feita uma breve apresentação do desenvolvimento algébrico de tópicos essenciais para a compreensão do tema.
O Capítulo 4 será preenchido com uma breve descrição da bancada de testes utilizada e com uma descrição de todo o procedimento experimental aplicado,
justificando os métodos escolhidos para realização da análise modal do objeto de estudo.
No capítulo 5 serão apresentados e discutidos os resultados das diversas configurações experimentais utilizadas. Também será efetuada uma espécie de validação do procedimento experimental através de uma comparação da análise modal experimental com um software comercial.
E por fim, o capítulo 6 irá salientar as conclusões do trabalho, obtidas por meio da análise dos resultados apresentados no Capítulo 5, e sugestões para trabalhos futuros.
2 REVISÃO DA LITERATURA
Esta revisão da literatura traz os principais conceitos necessários para a compreensão da área de estudo proposta neste trabalho, dinâmica de rotores, fundação de máquinas rotativas e metodologia de análise modal em sistemas rotativos, por meio da apresentação de estudos relevantes a respeito dos temas.
2.1 Máquinas rotativas
Máquinas rotativas são definidas a partir de um elemento que gira em torno de seu centro e com posição relativa a um outro elemento fixo. A principal característica desse tipo de máquina é a capacidade de converter a energia de entrada em diversos tipos de energia mecânica de saída.
Esse tipo de maquinário é constituído basicamente por um eixo rotativo acoplado a pelo menos um elemento, que varia a depender de cada aplicação, sendo o eixo apoiado em pelo menos dois mancais, de forma que o movimento rotativo seja permitido. Os mancais são o ponto de apoio entre o eixo girante e a parte fixa da máquina. Existem tipos diversos de mancais, sendo os de rolamento e os de filme de óleo, ou hidrodinâmicos, os mais aplicados.
Todo esse equipamento é apoiado em uma complexa estrutura de suporte, que pode incluir blocos de concreto, placas de aço, suportes isoladores, molas, estacas metálicas, dentre outros. O seu dimensionamento leva em conta o porte da máquina em questão, o local de instalação do equipamento, e diversos parâmetros de projeto.
Exemplos de máquinas rotativas presentes em processos produtivos e cotidiano da sociedade como um todo são, bombas, compressores, motores a combustão, turbinas, misturadores, aero geradores, dentre outros.
O início dos estudos sobre dinâmica de rotores se deu no século XIX, através de diversos pesquisadores observando o funcionamento de máquinas em
operação. Um dos primeiros estudos da área foi feito por Rankine (1869), onde foram definidos parâmetros de funcionamento de um rotor horizontal, como velocidade de rotação, flexão do eixo e a rotação em torno desta forma fletida, conhecida como precessão. Rankine também definiu uma velocidade crítica de precessão do eixo. Seu modelo, entretanto, se mostrou inadequado, pois previa a impossibilidade de atingir velocidades acima desta velocidade crítica.
Em 1883, Laval desenvolveu uma turbina de um estágio que, posteriormente, recebeu seu nome. O objetivo era atingir a auto-centragem do disco em velocidades superiores a velocidade crítica. Após alternar as configurações dos rotores utilizados ele mostrou que era possível operar acima da velocidade crítica.
Posteriormente, em 1895, Dunkerley e Föppl afirmaram, com trabalhos conduzidos de forma independente, que um eixo possui diversas velocidades críticas e não somente uma como se acreditava na época. A fim de calcular tais velocidades, eles aplicaram a teoria de Reynolds e o rotor Jeffcott, como conhecido atualmente, foi apresentado por Föppl (1895). Outro fenômeno observado foi o efeito giroscópico, e a sua relação com a velocidade. Através de diversos estudos, Dunkerley (1895) descobriu a relação Southwell, que possibilita encontrar a primeira velocidade crítica mesmo para sistemas complexos, o que antes era possível somente para sistemas simples.
Jeffcott (1919), sem o conhecimento dos estudos de Dunkerley e Föppl, atestou as afirmações de ambos, além de apresentar de forma gráfica, ainda utilizada atualmente, o funcionamento de rotores. Por isso o rotor introduzido por Föppl (1895) recebeu seu nome.
O desenvolvimento tecnológico do século XX possibilitou um avanço nos estudos da área de dinâmica de rotores, inclusive com a apresentação do método dos elementos finitos desenvolvido por Archer (1963). Este método consiste na subdivisão das geometrias em pequenos elementos, nós ou pontos modais, através de funções de interpolação, obedecendo a certas condições de contorno, obtém-se numericamente a solução das equações de movimento do sistema dinâmico. O método considera que a energia total do sistema é dada pela soma da energia de cada elemento.
Os primeiros trabalhos a utilizar tal método, com aplicação direta em dinâmica de rotores, surgiram na década de 70, e possuem diversas peculiaridades. Foram pioneiros nessa aplicação Ruhl (1970) e Ruhl e Booker (1972). O elemento finito de Ruhl considerava a energia de flexão elástica e a energia cinética de translação. Quase que simultaneamente, Thorkildsen (1972) revelou um elemento mais geral, que adicionava a inércia de rotação e momentos giroscópicos. Polk (1974), utilizando um elemento finito de viga de Rayleigh, desenvolveu um estudo sobre a frequência natural de rotação e análise da velocidade crítica. Similar a Ruhl, Diana et al. (1975) fizeram uma análise por elementos finitos de um eixo rotativo. Posteriormente, Dimaragonas (1975) revelou um elemento contendo os efeitos de inércia translacional, inércia rotacional, momentos giroscópicos, flexão e amortecimento interno.
Diversos parâmetros continuaram a ser incluídos na modelagem por elementos finitos nos anos seguintes, como por exemplo os efeitos de excentricidade descritos por Gasch (1976). As equações do elemento para o sistema de referência fixo e para o sistema móvel rotacional, considerando a carga axial, os momentos giroscópicos, a inércia de translação e de rotação, além da rigidez à flexão foram apresentados por Nelson e McVaugh (1976). Considerações de torque, desenvolvendo ainda as equações de movimento do elemento nos sistemas de referência fixo e móvel vieram com Zorzi e Nelson (1980). Adição da deformação por cisalhamento transversal à teoria de viga de Rayleigh foi trazida por Nelson (1980), sendo este trabalho responsável por comparar os resultados das soluções clássicas de forma fechada de sistemas contínuos, como proposto por Dym e Shames (1973) e por Eshlemans e Eubanks (1969).
Um elemento importante na área das máquinas rotativas é o mancal. Mancais são elementos de transmissão mecânica que são projetados para suportar cargas aplicadas em um eixo enquanto ele gira, podendo ser de elementos rolantes, hidrodinâmicos, magnéticos, pneumáticos, dentre outros.
Mancais de rolamento são compostos por esferas, ou rolos, que circulam pelas pistas dos anéis interno e externo. Estes mancais são amplamente utilizados em diferentes máquinas e equipamentos, de perfuratrizes à rodas de automóveis, entre diversas outras aplicações. Seu projeto, exige o estudo das forças que
governam o seu funcionamento, sendo o primeiro trabalho neste sentido o de Hertz (1881), abordando a modelagem do contato elástico entre corpos sólidos. Um trabalho recente, Tsuha (2019), traz uma ampla revisão do estado da arte atual da modelagem de mancais de rolamentos com aplicação em dinâmica de rotores, trazendo também avanços no que diz respeito a modelagem e validação experimental de um modelo de lubrificação Elastohidrodinâmico para estes mancais.
Com relação aos mancais hidrodinâmicos, seu estudo também teve início no fim do século XVII (Carneiro, 2014). Petroff (1883) e Tower (1885), independentemente, estudaram a lubrificação hidrodinâmica, descobrindo que um campo de pressão é gerado devido ao movimento relativo entre duas superfícies separadas por um filme fluido. Esse campo de pressão gera a força de sustentação do eixo. Trabalhos recentes, tais como Machado (2011) e Daniel (2012), trazem uma visão do atual estado da arte na modelagem deste tipo de mancal.
A evolução dos estudos a respeito da modelagem de eixos e mancais, com a implementação de modelos numéricos para cada um destes componentes, fez com que diversos grupos de pesquisa desenvolvessem softwares dedicados a modelagem de sistemas rotativos. Neste contexto, Tuckmantel (2010) utilizou modelos desenvolvidos por alguns dos autores citados anteriormente para integrar uma modelagem de elementos finitos de um rotor, levando em consideração os modelos dos mancais, e sua estrutura de suporte. A modelagem para a estrutura de fundação de sistemas rotativos utilizada é a apresentada por Cavalca (1993).
Diante do exposto, o avanço tecnológico e a profundidade dos estudos contemporâneos na área, permitem que as análises dos elementos constituintes de uma máquina rotativa se encontre em um estágio avançado, em que os modelos numéricos são cada vez mais confiáveis, sendo capazes de descrever com precisão o funcionamento de sistemas rotativos, bem como auxiliar em seus projetos.
2.2 Estrutura de Fundação
O projeto de estruturas de fundação engloba a análise do equipamento, incluindo forças geradas durante a operação, avaliação das características do solo, verificação dos deslocamentos máximos e suas tolerâncias, dentre outros diversos parâmetros. O estudo do solo que fica sob a fundação é foco de estudo das áreas de engenharia civil e geotecnia, sendo foco da engenharia mecânica o estudo da porção metálica da estrutura de fundação.
Apesar de o custo da fundação ser muito baixo quando comparado ao custo do equipamento que será sustentado, a importância de seu projeto ser bem especificado se deve ao fato de que danos na estrutura de fundação implicarão num mal funcionamento, ou até mesmo danos no maquinário, devido ao aspecto de transmissibilidade de forças e deslocamentos inerentes a esse tipo de conjunto.
O estudo do comportamento de fundações teve início na década de 60, quando Weber (1961) aplicou o método da matriz de transferência a um modelo com duas vigas, que representavam o rotor e uma fundação do tipo mesa. Tais vigas eram acopladas a posição dos mancais por molas, assim como a fundação estava apoiada em molas representando a iteração com o solo. Apesar de considerar um modelo rudimentar de fundação, esse estudo possibilitou a observação do comportamento da vibração do sistema considerando a iteração entre rotor e estrutura de fundação.
Posteriormente, Wilson e Brebbia (1971) apresentaram uma nova solução para representar o comportamento vibratório de fundações de aço em máquinas rotativas. Eles utilizaram um modelo de fundação que simplificava a estrutura em vigas, colunas e placas, e utilizaram o método dos elementos finitos para obter as matrizes de massa e rigidez do sistema. De posse das matrizes, calcularam as frequências naturais e os modos de vibrar. A fim de corrigir o modelo matemático, eles consideraram um amortecimento estrutural proporcional à matriz de rigidez.
Disposto a incluir um modelo modal de fundação, Gasch (1976) sugeriu a representação da mesma por meio das matrizes de rigidez dinâmica. O modelo do rotor foi representado por uma modelagem de elementos finitos, considerando fatores como, o amortecimento interno e externo, as forças giroscópicas, termos de
acoplamento cruzado devido à aerodinâmica do fluxo de vapor e o empuxo magnético do gerador. Estes sistemas foram condensados em uma matriz em banda, na qual as matrizes de rigidez dinâmica da fundação e dos mancais foram adicionadas aos nós de suporte do eixo.
Bachschmid et al. (1982) efetuaram uma análise experimental de uma estrutura de fundação constituída de uma estrutura de concreto engastada em um solo arenoso por pilares longos. Posteriormente foi efetuada a comparação dos dados experimentais coletados com um modelo teórico da fundação. A representação do solo se deu pela consideração de um coeficiente rigidez nos nós de conexão entre a estrutura metálica e o chão. Inicialmente o modelo matemático proposto não se mostrou eficaz para representar o comportamento dinâmico da estrutura real, entretanto, após uma série de ajustes os pesquisadores obtiveram resultados satisfatórios.
Beolchini (1982) propôs um sistema de parâmetros de massa alternativo e simplificado, se comparado a elementos finitos. Ele realizou uma análise paramétrica a fim de demonstrar a influência de diversos parâmetros da fundação. A sua principal conclusão foi a de que quanto mais engastada a fundação maior a sua frequência de ressonância.
O método de síntese de componentes modais foi a base utilizada por Craggs (1987) para propor um método de montagem de um sistema completo para simular o comportamento dinâmico de um turbo-gerador. Fundação e mancais foram representados por coordenadas generalizadas e acoplados ao eixo pelos nós de conexão. A fim de poder se concentrar no cálculo dos deslocamentos das coordenadas de interesse, o autor propôs que o modelo de elementos finitos do rotor fosse condensado, contendo apenas os seus modos de vibrar mais importantes.
Stephenson e Rouch (1992) utilizaram os parâmetros modais de uma fundação para incluir os seus efeitos no modelo de uma máquina rotativa. A FRF (Função Resposta em Frequência) da fundação foi medida e foram calculados massa, amortecimento e rigidez da fundação. A fim de incorporar estes dados ao sistema, utilizou-se o procedimento que consiste na inversão da matriz dos auto-vetores. A fim de facilitar a inversão da matriz de auto-vetores, essa matriz deve sempre ser quadrada. Por conta de o número de modos de vibrar identificados ser inferior ao
número de pontos medidos foram considerados modos fictícios para manter a matriz de auto-vetores quadrada. Posteriormente, uma bancada experimental foi utilizada para validar o método, e o resultado foi satisfatório.
A fim de se obter um meio alternativo de inclusão dos efeitos de fundação no rotor, Cavalca (1993) implementou o método das coordenadas mistas, associando coordenadas físicas do rotor e coordenadas modais da fundação. Não exigir a inversão da matriz de flexibilidade para obtenção da matriz de impedância mecânica é uma das principias vantagens desse método. Outra vantagem é a possibilidade de utilizar um número variável de modos, devido ao fato de também não ser necessária a inversão da matriz dos auto-vetores para o cálculo do sistema completo. O método foi testado em um turbo-grupo composto de três rotores suportados por sete mancais apoiados sobre uma fundação em aço.
De posse somente dos dados de desaceleração de uma máquina rotativa desbalanceada, Feng e Hahn (1995) desenvolveram um método de identificação dos parâmetros de massa, amortecimento e rigidez da fundação. Para tanto, foi necessário ter posse das características dos mancais, e aferir o deslocamento de rotor e fundação em pontos específicos além de efetuar os testes em velocidades específicas. Mesmo utilizando diversas faixas de rotação, o método não se mostrou confiável em atingir resultados próximos aos calculados.
Em busca de resultados mais satisfatórios, Feng e Hahn (1998) modificaram a metodologia apresentada em 1995, e passaram a representar o modelo da fundação como um massa-mola. Pela aplicação do método ficou clara a necessidade de se ter bem estabelecido o comportamento dos mancais, já que os mesmos promovem um movimento relativo entre rotor e fundação.
Cavalcante (2001) utilizou o método de coordenadas mistas para integrar os parâmetros de uma estrutura de fundação, obtidos utilizando a metodologia clássica de análise modal, a um modelo de rotor mancais. Foi utilizada modelagem por elementos finitos para o rotor e o método das diferenças finitas para os mancais. A fim de realizar uma validação experimental, testes foram realizados em uma bancada que possuía um rotor do tipo Jeffcot, dois mancais hidrodinâmicos e estruturas de fundação. Apesar de com a utilização do método dos elementos finitos somente ter sido possível identificar as duas primeiras frequências naturais, o método
das coordenadas mistas demonstrou resultados satisfatórios na modelagem do sistema completo.
Feng e Hahn (2002) adicionaram ao método que apresentaram em 1998, citado anteriormente, a identificação de todos os modos de corpo rígido da fundação, permitindo a possibilidade de modelar o acoplamento ou respostas cruzadas entre os suportes dos mancais. A abordagem foi considerada satisfatória, embora exija um conhecimento prévio do centro de massa da fundação, que deve ser modelada como um corpo rígido.
Cavalca et al. (2002) apresentaram um modelo completo de rotor-mancais-fundação. Os efeitos da fundação foram dimensionados através de uma análise modal da FRF da estrutura de suporte experimental, enquanto o rotor foi modelado por elementos finitos. O modelo foi comparado com os resultados obtidos experimentalmente, e a análise dos resultados do modelo proposto precedeu a constatação de que os modos mais significativos na faixa de operação do rotor têm predominância na resposta dinâmica do rotor.
Cavalca et al. (2005) refinaram o estudo relatado em 2002. Os modos da estrutura de fundação foram definidos experimentalmente, e a influência desses modos foi adicionada ao modelo rotor-mancal, pelo método das coordenadas mistas. Os resultados foram verificados experimentalmente, sendo que apesar de boa convergência nas frequências naturais, foi observado que as amplitudes apresentaram diferenças significativas, o que pode ser atribuído a uma estimativa ruim do fator de amortecimento da estrutura de suporte. Foi sugerida a utilização de métodos de otimização para o melhor ajuste dos parâmetros modais a fim de corrigir os problemas encontrados.
Okabe (2007) investigou os efeitos da estrutura de suporte e de mancais hidrodinâmicos no comportamento de uma máquina rotativa. Os parâmetros modais da fundação foram definidos por meio de uma análise modal de FRF’s. Sendo o modelo de fundação integrado ao sistema rotor-mancais pelo método das coordenadas mistas. Os resultados das simulações foram verificados experimentalmente em um banco de testes, e os resultados mostraram que a fundação de fato influencia o comportamento do rotor, mas sua influência é reduzida devido ao amortecimento presente no mancal hidrodinâmico do modelo testado.
Dalbone e Sánchez (2011) afirmam que o motivo de o dimensionamento de fundações para máquinas ser tão complexo se deve às diversas solicitações de cargas, tanto estáticas como dinâmicas, que estas são submetidas. E complementam dizendo que o mal dimensionamento de fundações pode causar danos às fundações de máquinas vizinhas, danos aos equipamentos, perda de produção além de riscos de segurança para operadores.
Como observado, o estudo das estruturas de fundação é muito importante para a obtenção da resposta dinâmica de uma máquina rotativa. Sendo assim, como os estudos se encontram em um ponto avançado de desenvolvimento, é importante que a aplicação deste conhecimento seja feita e validada em estruturas de fundação práticas. No caso deste trabalho, para o levantamento dos parâmetros modais, da estrutura analisada, serão aplicadas técnicas de análise modal experimental, discutidas na próxima seção.
2.3 Análise modal
A análise modal é um processo de extração de parâmetros modais a partir dos dados de vibração medidos. Os dados medidos podem estar tanto domínio da frequência quanto no domínio do tempo. Existem alguns tipos de análise modal, como a analítica, análise modal experimental ou EMA (experimental modal analysis) e análise modal operacional ou OMA (operational modal analysis). Para os interesses deste trabalho, o enfoque será dado na análise modal experimental.
O objetivo da análise modal é o estudo das propriedades dinâmicas de um sistema vibratório. Estes estudos derivam-se de medições e análise da resposta dinâmica estrutural quando submetidos à uma força externa. De acordo com Ewins (2000), análise modal consiste em um conjunto de técnicas, experimentais ou computacionais, que identificam parâmetros modais em estruturas e equipamentos.
Barbosa e Cremona (2002) afirmaram que são considerados parâmetros modais de uma estrutura, suas frequências naturais, fatores de amortecimento e
modos de vibrar, sendo as suas identificações de importância fundamental para a análise do comportamento dinâmico do sistema.
De acordo com He e Fu (2001), um sistema com “n” graus de liberdade apresentará vários picos em sua função resposta em frequência, cada um deles correspondendo a uma das frequências naturais do sistema, e consequentemente um modo de vibrar.
Sobre a preparação do sistema para os testes, He e Fu (2001), afirmam ser necessário levar em consideração a seleção do suporte da estrutura, os tipos e fontes de forças de excitação do sistema, bem como os dispositivos de medição de forças e respostas, entre outros.
Gevinski (2014) afirma que quando a identificação dos parâmetros modais ocorre diante a uma força de excitação conhecida, as técnicas empregadas podem ser chamadas de Análise Modal Experimental. A partir da excitação, determinam-se as propriedades modais, e desta forma, ajusta-se o modelo discreto em estudo a fim de representar a estrutura real analisada, a qual é um modelo contínuo que apresenta “n” graus de liberdade e, portanto, “n” modos de vibração. Ewins (2000) complementa dizendo que a EMA segue um procedimento inverso da análise modal teórica, iniciando pelo modelo modal e visando o modelo estrutural.
Schwarz et al. (1999), descrevem que, a análise modal experimental se tornou popular desde o advento do analisador de espectro digital conhecido como Transformada Rápida de Fourier (FFT) na década de 70. Com os avanços tecnológicos, a utilização da análise modal tornou-se um meio rápido e econômico de encontrar os modos de vibração de máquinas ou estruturas.
O processo de EMA pode ser dividido em três fases, a saber: a preparação do sistema para os testes, a medição das Funções Reposta em Frequência (FRF’s) e a identificação dos parâmetros modais.
Gevinski (2014) reitera que o passo seguinte de uma EMA é a identificação dos modos de vibração por meio da definição de faixas de frequência de análise. Sendo o refinamento da discretização da estrutura essencial para garantir um modelo adequado.
A respeito das FRF’s, Souza (2014) as descreve como sendo um conjunto de dados que estão a princípio no domínio do tempo e foram convertidos em dados
com domínio em frequência através da Transformada de Fourier. Considerando uma placa metálica simples excitada em uma de suas extremidades, a amplitude de sua resposta vibratória muda, aumentando ou diminuindo, no domínio do tempo conforme muda a frequência de oscilação da força. A resposta é ampliada quando ocorre ressonância, ou seja, quando a força tiver frequências de oscilação iguais às frequências naturais da placa. Após a identificação de tais picos de oscilação, são aplicadas as FRF’s, e a resposta passa do domínio do tempo para o domínio da frequência.
Almeida (1990), descreve seis tipos de funções de transferência que são empregadas na análise de estruturas. Receptância, que tem deslocamento como dado de saída e força como dado de entrada; Mobilidade, que tem velocidade como dado de saída e força como dado de entrada; Acelerância ou Inertância, que tem aceleração como dado de saída e força como dado de entrada; Impedância, obtida através da relação inversa à Mobilidade; Massa Dinâmica, obtida através da relação inversa à Acelerância; e Rigidez Dinâmica, obtida através da relação inversa à Receptância.
Ainda de acordo Souza (2014), outro procedimento de análise modal utilizado é a Análise Modal Operacional. A diferença desse procedimento é que ele é realizado tendo a disposição somente os dados de resposta do sistema. A excitação dá máquina acontece pelo seu próprio funcionamento, sendo assim desconhecida as características da força de perturbação.
2.3.1 Métodos de identificação
Como reportado na literatura, existem diversos métodos de identificação utilizados para a realização de uma EMA. Cada método de identificação leva em conta se a análise está sendo feita no domínio do tempo ou da frequência, bem como o número de entradas e saídas de sinal. Alguns exemplos dos métodos mais utilizados são: peak-picking, circle-fit, line-fit, rational fraction polynomial, ou RFP, least-squares
complex exponential, ou LSCE, dentre outros. Este tópico fará uma breve descrição de cada uma das principais metodologias citadas.
O método peak-picking pode ser considerado o método mais simples para identificação de parâmetros modais. De acordo He e Fu (2001), a estimativa da frequência natural da curva analisada é dada pelo valor de pico da FRF. Já para o amortecimento se faz necessária a análise de dois pontos distando de um fator constante antes e depois do pico. A relação entre essas frequências fornecerá o fator de perda de amortecimento e o fator de amortecimento. Vale a pena ressaltar que esse método não consegue lidar com o ruído eventualmente encontrado na FRF, e é recomendado somente para sistemas simples e/ou levemente amortecidos.
Figura 2.1: Exemplo de aplicação do método pick-picking em uma FRF (He e Fu (2001)).
De acordo Avitabile (2005), uma das primeiras abordagens matemáticas para identificar parâmetros de estruturas foi o cicle-fit. O método tem esse nome pelo fato de que o gráfico de Nyquist da FRF se parece muito com um círculo perfeito. Burgess (1988) afirma que este método usa as propriedades geométricas do círculo de Nyquist para calcular os parâmetros modais. Através da banda de varredura se identifica a frequência natural, esta frequência natural situa-se na taxa máxima de varredura, ou pico de varredura. De posse da frequência natural é possível calcular o amortecimento através de estimativas, sendo que o domínio desses pontos pode estar localizado anteriormente e posteriormente à frequência natural. A respeito do círculo de Nyquist, Guelho (2011) afirma que, ao traçar as partes reais e imaginárias da função receptância da FRF, para sistemas com amortecimento estrutural, observar-se a formação de círculos exatos no diagrama de Nyquist. Analogamente, sistemas
que possuem amortecimento histerético, tem o círculo também com circunferência exata, entretanto com coordenadas defasadas em relação ao descrito anteriormente. Segundo Ewins (1984), o Line-fit, ou método inverso, tem esse nome pelo fato de que uma função que gera um círculo quando representada graficamente no plano complexo exibe como resultado uma linha reta. Sujata (2009) afirma que, primeiramente calcula-se a FRF inversa, e uma linha reta de melhor ajuste é construída. A intersecção desta linha com o eixo imaginário dá-se como estimativa para o parâmetro de amortecimento. Se os pontos estão espalhados de forma aleatória, é possível que existam erros experimentais, mas, se os desvios são sistemáticos e simétricos à linha, existe uma fonte de polarização, ou padronização nos dados, e isto precisa ser investigado. Utilizando o método dos mínimos quadrados se tem estimativas para os parâmetros de massa e rigidez no modelo teórico. A aplicação deste método se demonstra vantajosa principalmente pelo fato de a obtenção da linha reta poder acontecer em pontos distantes da frequência natural, onde a parte real da receptância inversa não será zero. Assim como para o amortecimento estrutural, esta metodologia pode ser estendida para o amortecimento viscoso.
Brown et. al. (1979) propuseram o Método dos Mínimos Quadrados para Exponenciais Complexas ou LSCE, que consiste em um desenvolvimento do método Exponencial complexa, (CE) para um procedimento global de estimação. Formenti et al. (1982) descrevem que o método da Exponencial Complexa exibe a resposta ao impulso no domínio do tempo, e não no domínio da frequência. A resposta ao impulso pode ser obtida através da transformada inversa de Fourier. Cruz (2006) mostra que a adaptação da metodologia do método da Exponencial Complexa para o método LSCE se baseia no princípio de estabelecer coeficientes capazes de chegar a uma solução para um polinômio característico. Segundo Garcia (2006), não existe um critério para o processo de seleção das frequências de ajuste. Entretanto, uma regra geral é efetuar a análise das FRF’s, selecionando os picos de frequência onde a diferença entre as receptâncias diminui com a sobreposição das FRF’s durante o ajuste do modelo. Também é advertido que o ajuste das frequências em regiões de frequências duvidosas e contaminadas por ruído devem ser evitados, bem como em regiões de anti-ressonâncias.
Omar et al. (2010) afirmaram que o método RFP é um dos modelos mais populares para sistemas com mais de um grau de liberdade no domínio da frequência. A principal desvantagem dessa metodologia é a sua sensibilidade em relação a seleção dos dados pontuais em uma RFR. Para superar as deficiências do método de RFP. Existem métodos derivados da RFP, desenvolvidos para compensar essas desvantagens. Além disso, como toda FRF possui um ruído inerente, a RFP resultará em parâmetros modais estimados que não necessariamente descrevem um sistema estável. Richardson e Formenti (1982) descrevem o método RFP como um método largamente implementado em uma variedade de softwares comerciais de análise modal, e amplamente utilizado para obtenção de FRF’s. Eles apontam ainda que escolher o número correto de modos computacionais para esse método normalmente acontece por tentativa e erro.
Como descrito, existem diversas abordagens para a obtenção dos parâmetros modais, sendo o LSCE o escolhido para o desenvolvimento deste trabalho, devido ao fato de ser o método mais indicado para trabalhar com sistemas com múltiplos graus de liberdade. O aspecto de metodologia, e todo o seu desenvolvimento, serão demonstrados no próximo capítulo.
3 METODOLOGIA
A fim de contextualizar o estudo sobre análise modal é importante detalhar alguns conceitos teóricos essenciais para a compreensão do tema. Desta forma, este capítulo apresenta os principais princípios de vibrações envolvidos e os métodos de identificação modal mais utilizados na área. Grande parte da metodologia foi retirada dos seguintes livros texto: Ewins (2000), Silva e Maia (1999) e He e Fu (2001).
3.1 Sistemas com NGDL conservativos
Para um sistema dinâmico conservativo com n graus de liberdade, a equação de movimento em forma matricial pode ser descrita por:
[𝑀]𝑥̈ + [𝐾]𝑥 = {𝐹} 3.1
Sendo [𝑀] a matriz de massa, [𝐾] a matriz de rigidez e {𝐹} o termo relacionado a força de excitação do sistema.
Como o interesse deste trabalho está em caracterizar o sistema, seu comportamento vibratório pode ser definido por seus parâmetros modais, assim, o desenvolvimento algébrico é feito aqui considerando {𝐹} = 0, logo:
[𝑀]𝑥̈ + [𝐾]𝑥 = 0 3.2
A solução geral da equação apresentada é do tipo:
Sendo {𝑋} um vetor de amplitudes de resposta independente do tempo. Dado 𝑥( ) , tem-se, respectivamente, os seguintes vetores de velocidade e aceleração:
𝑥̇( ) = 𝑠{𝑋}𝑒 3.4
𝑥̈( ) = 𝑠²{𝑋}𝑒 3.5
Substituindo as equações acima na equação 3.2 temos que:
([𝑀]𝑠 + [𝐾]){𝑋} = {0} 3.6
A equação 3.6 define um problema de autovalor e autovetor, onde s são os autovalores e {𝑋} os autovetores associados ao sistema. Como a solução trivial não é de interesse para o movimento vibratório, tem-se que:
𝑑𝑒𝑡([𝑀]𝑠 + [𝐾]) = 0 3.7
A expansão desse determinante é conhecida como equação característica, ou polinômio característico. As raízes desse polinômio são os autovalores do sistema, e correspondem às frequências modais complexas:
𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔 3.8
Para sistemas conservativos, a parte real das raízes deve ser obrigatoriamente nula, ou seja, 𝜎 = 0 na equação 3.8. Portanto as raízes da equação terão a seguinte forma:
𝑠 = −𝑗𝜔 , 𝑠 = −𝑗𝜔 , … , 𝑠 = −𝑗𝜔 3.9
Sendo 𝜔 , 𝜔 , ..., 𝜔 as frequências naturais do sistema.
Substituindo cada um dos autovalores, 𝑠 , na equação 3.6, obtém-se os autovetores, aqui denominados {𝛹} , que são os modos próprios do sistema. O
sistema de equações gerado possui pelo menos uma equação linearmente dependente das outras, impossibilitando a obtenção de uma solução única para o vetor {𝛹}. Por isso, os modos do sistema são sempre uma relação entre os deslocamentos de cada grau de liberdade, não tendo significado seu valor absoluto.
Normalmente a solução completa da vibração livre do sistema é apresentada através de duas matrizes, a matriz espectral (uma matriz diagonal), [𝛬],e a matriz modal [𝛹], dadas por:
[𝛬] = −𝜔 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ −𝜔 3.10 [𝛹] = [{𝛹} ⋯ {𝛹} ] 3.11
Uma característica muito importante que vale a pena ser ressaltada é a propriedade de ortogonalidade ponderada dos vetores modais, que permite afirmar que:
{𝛹} [𝑀]{𝛹} = [𝑚 ] 3.12
{𝛹} [𝐾]{𝛹} = [𝑘 ] 3.13
A partir das equações 3.12 e 3.13 pode-se afirmar que:
𝜔 = 𝑘
𝑚
3.14
Onde 𝑘 e 𝑚 são referidas como massa modal e rigidez modal, associadas ao modo r.
Dadas as propriedades apresentadas pelas equações 3.12 e 3.13, uma normalização dos autovetores pela matriz de massa do sistema, traz algumas vantagens para a análise modal. Assim, pode-se definir um conjunto de autovetores normalizados que leva as seguintes propriedades:
[𝜙] [𝑀][𝜙] = [𝐼] 3.15
[𝜙] [𝐾][𝜙] = [𝜔 ²] 3.16
Sendo [𝜙] uma matriz que contém os modos de vibrar do sistema. Nas equações 3.15 e 3.16 foram consideradas as relações entre os vetores modais normalizados pela massa, {𝜙} , e os vetores modais gerais, {𝛹} , como sendo:
{𝜙} = 1
√𝑚 {𝛹}
3.17
A importância dessa propriedade é transformar uma equação com n graus de liberdade em n equações com um grau de liberdade.
As propriedades da matriz modal podem ser usadas para determinar mais facilmente a solução da vibração livre do modelo de N graus de liberdade através do desacoplamento do sistema de equações de movimento. Com esse intuito, define-se a seguinte equação de transformação de coordenadas:
𝑥( ) = [𝜙] 𝑞( ) 3.18
Sendo as coordenadas 𝑞( ) chamadas de coordenadas modais.
Aplicando a relação da equação 3.18 na equação de movimento 3.2, e multiplicando ambos os lados por [𝜙] , tem-se como resultado final:
𝑞̈( ) + [𝜔 ²] 𝑞( ) = {0} 3.19
Após a obtenção da resposta temporal do sistema em coordenadas modais, a resposta em termos de 𝑥( ) pode ser obtida pela relação que rege a transformação de coordenadas, apresentada em 3.18.
3.2 Sistemas com NGDL e amortecimento proporcional
A análise agora parte para o equacionamento de um tipo de situação que se aproxima mais da realidade, considerando a dissipação de energia responsável por atenuar a amplitude de vibração de um sistema. Desta forma, é necessário adicionar amortecimento ao modelo e verificar a sua influência nos autovalores e autovetores no sistema.
Para um sistema não conservativo com n graus de liberdade, a equação de movimento em forma matricial, para vibração livre, se torna:
[𝑀]𝑥̈ + [𝐶]𝑥̇ + [𝐾]𝑥 = 0 3.20
Sendo [𝐶] a matriz de amortecimento do sistema.
Sabendo que este tipo de equação também tem solução do tipo {𝑋}𝑒 , conforme apresentado na equação 3.3, e levando esta solução com suas respectivas derivadas na equação 3.20, obtém-se:
([𝑀]𝑠 + 𝑠[𝐶] + [𝐾]){𝑋} = {0} 3.21
A equação 3.21 define, novamente, um problema de autovalor e autovetor. Aqui também a solução trivial não é de interesse para o movimento vibratório, de forma que:
𝑑𝑒𝑡([𝑀]𝑠 + 𝑠[𝐶] + [𝐾]) = 0 3.22
A expansão desse determinante leva ao polinômio característico. As raízes desse polinômio são os autovalores do sistema, que tem a forma da equação 3.8, ou seja, 𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔 . Para sistemas dissipativos, temos as seguintes relações:
𝜔 = 𝜔 1 − 𝜉 3.24
Onde 𝜉 é o fator de amortecimento, 𝜔 é a frequência natural e 𝜔 é a frequência natural amortecida, todos associados ao autovalor 𝑟 do sistema.
Assim, das informações contidas nos autovalores do sistema é possível obter as frequências naturais e os fatores de amortecimento do sistema. Assim como anteriormente, os autovetores representam os modos de vibrar do sistema, obtidos através da substituição dos autovalores obtidos na equação 3.21.
Da definição dos modos normalizados pela matriz de massa, pode-se escrever que para a matriz de amortecimento tem-se a seguinte relação:
𝐶̅ = [𝜙] [𝐶][𝜙] 3.25
Em termos de amortecimento, a matriz 𝐶̅ não é necessariamente diagonal, sendo que a condição para a diagonalização é a possibilidade de sua representação por meio de uma combinação linear das matrizes [𝑀] e [𝐾]. Este tipo de amortecimento é conhecido como amortecimento estrutural proporcional.
Este tipo de amortecimento é definido em termos das constantes 𝛼 e β, que são determinadas a partir de métodos específicos de ajuste de modelos.
[𝐶] = 𝛼[𝑀] + 𝛽[𝐾] 3.26
Por fim, a equação matricial de movimento livre de um sistema de “n” graus de liberdade, com amortecimento do tipo proporcional, pode ser descrita como:
[𝑀] 𝑥̈( ) + (𝛼[𝑀] + 𝛽[𝐾]) 𝑥̇( ) + [𝐾] 𝑥( ) = 0 3.27
Assim, a matriz de amortecimento também é diagonalizada pela matriz modal, de forma que:
Como para este caso [𝜙] diagonaliza [𝐶], pode-se analisar um sistema n-graus de liberdade como sendo constituído por n sistemas 1 grau de liberdade independentes nas coordenadas modais 𝑞 , ou seja, da mesma forma serão obtidos n modos próprios de vibrar amortecidos.
𝑞̈ + (𝛼 + 𝛽𝜔 )𝑞̇ + 𝜔 𝑞 = 0 3.29 Onde: 𝑐 = (𝛼 + 𝛽𝜔 ) 3.30 𝜉 = 𝛼 2𝜔 + 𝛽𝜔 2 3.31 𝑟 = 1,2, … , 𝑁. 3.32
3.3 Sistemas com NGDL e amortecimento não proporcional
Para o caso em que [𝜙] não diagonaliza [𝐶], a matriz de amortecimento equivalente, após a transformação pela matriz modal, resulta numa matriz completa, o que implica em n equações de movimento acopladas em termos de velocidade, mas desacopladas nos demais termos.
𝑞̈ + 𝜔 𝑞 + 𝑐 𝑞̇ = 0
3.33
Portanto, fica claro que, caso [𝐶] não possa ser descrita como combinação linear das matrizes [𝑀] e [𝐾], perde-se a vantagem de realizar a transformação de coordenadas físicas ou geométricas em coordenadas principais ou modais. Para esse caso, existe uma abordagem semelhante, em que a equação de movimento continua
sendo a mesma, entretanto introduz-se um vetor de estado que se apresenta da seguinte forma:
𝑢( ) = 𝑥( ) 𝑥̇( )
3.34
Com este vetor de estados, pode-se reescrever a equação de movimento em forma matricial como:
[𝐶] [𝑀] [𝑀] [0] 𝑥̇( ) 𝑥̈( ) + [𝐾] [0] [0] −[𝑀] 𝑥( ) 𝑥̇( ) = {0} {0} 3.35
Sendo [0] uma matriz nula de ordem n, a equação pode ainda ser escrita como:
[𝐴] 𝑢̇( ) + [𝐵] 𝑢( ) = {0} 3.36
Adotando uma solução do tipo 𝑥( ) = {𝑋}𝑒 , conforme apresentado na equação 3.3, o sistema com 2n equações de 1º ordem no espaço de estados teria a seguinte solução: 𝑢( )= 𝑥( ) 𝑥̇( ) = {𝑋} 𝑠{𝑋} 𝑒 = {𝑈}𝑒 3.37 𝑢̇( ) = 𝑥̇( ) 𝑥̈( ) = 𝑠{𝑋} 𝑠²{𝑋} 𝑒 = 𝑠{𝑈}𝑒 3.38
Substituindo as soluções propostas, na equação 3.35:
𝑠[𝐴] + [𝐵] {𝑈} = {0} 3.39
A equação 3.39 apresenta um problema de autovalor e autovetor generalizado, cuja solução fornece 2n autovalores e 2n autovetores.
Considerando que os autovalores aparecem em pares complexos conjugados, 𝑠 e 𝑠∗, os autovetores correspondentes serão:
{𝛹 } = {𝛹 } {𝛹 }𝑠 3.40 {𝛹∗} = {𝛹∗} {𝛹∗}𝑠∗ 3.41
Aplicando mais uma vez as propriedades de ortogonalidade, tem-se que:
{𝛹 } [𝐴]{𝛹 } = 0 3.42
{𝛹 } [𝐵]{𝛹 } = 0 3.43
Após aplicar a transformação de coordenadas, mostrada na equação 3.44, na equação diferencial 3.36, e multiplicar todos os termos por [𝛹 ] , tem-se a equação 3.45, que é a equação de movimento na forma de estado no domínio modal.
𝑢( ) = [𝛹 ] 𝑞( ) 3.44
[𝑎 ] 𝑞̇( ) + [𝑏 ] 𝑞( ) = {0} 3.45
Assim obtém-se um conjunto de 2n equações não acopladas, equivalentes a um sistema de 2n equações de um grau de liberdade. Considerando cada solução da forma:
𝑞 ( ) = 𝑄 𝑒 3.46
A resposta para vibração livre é então calculada substituindo a equação de transformação de coordenada e a equação de estado:
𝑢( ) = {𝛹 } 𝑄 𝑒
𝑠 =−𝑏 𝑎
3.48
3.4 Função Resposta em Frequência
Uma Função de Resposta em Frequência (FRF) pode ser definida como uma relação de proporcionalidade, entre uma entrada e uma saída, que descreve o comportamento do sistema. Analisando uma FRF, as suas saídas podem ser dadas em função de deslocamento, velocidade e aceleração, sendo assim respectivamente chamadas de receptância, mobilidade e acelerância.
O desenvolvimento teórico referente a uma FRF, é desenvolvido nessa seção considerando um caso mais geral, em que o amortecimento é do tipo não proporcional. Por conta disso, uma abordagem por espaço de estados se faz necessária, cuja solução é dada por:
𝑥( ) = {𝑋}𝑒 3.49
Partindo da solução da equação de estado, a equação de movimento do sistema pode ser escrita como:
[𝑀]𝑠² + [𝐶]𝑠 + [𝐾] {𝑋} = {0} 3.50
Conforme discutido anteriormente, a equação 3.50 constitui um problema de autovetor complexo, que usualmente é definido por:
𝑠 = −𝜔 𝜉 + 𝑖𝜔 1 − 𝜉 3.51
Empregando as propriedades dos autovetores e autovalores, 𝛹 e 𝑠 , na equação de movimento, tem-se as seguintes condições de ortogonalidade para o sistema:
𝑠 + 𝑠 𝛹 [𝑀]{𝛹 } + 𝛹 [𝐶]{𝛹 } = 0 3.52
𝑠 𝑠 𝛹 [𝑀]{𝛹 } + 𝛹 [𝐾]{𝛹 } = 0 3.53
Assumindo os modos r e p como um par complexo conjugado da resposta do sistema, é possível inferir as seguintes relações de proporcionalidade a respeito de massa, amortecimento, rigidez e frequências naturais:
{𝛹∗} [𝐶]{𝛹 } {𝛹∗} [𝑀]{𝛹 }= 𝑐 𝑚 = 2𝜔 𝜉 3.54 {𝛹∗} [𝐾]{𝛹 } {𝛹∗} [𝑀]{𝛹 }= 𝑘 𝑚 = 𝜔 3.55
Similarmente ao caso em que ocorre amortecimento proporcional, considerando que:
[𝐷] = 𝜉[𝐾] + 𝜈[𝑀] 3.56
Pode-se escrever os autovalores em função da frequência natural do sistema, além de um fator 𝜂 , chamado de fator de perda de amortecimento.
𝜆 = 𝜔 (1 + 𝑖𝜂 ) 3.57
𝜂 = 𝜉 + 𝜈 𝜔
3.58
Assumindo agora que o mecanismo de dissipação de energia é histerético e aplicando mais uma vez a propriedade de ortogonalidade teremos que:
𝑞̈ + (𝑖(𝜉𝜔 + 𝜈) + 𝜔 )𝑞 = 0 3.59
𝜆 = 𝑘 𝑚
3.60
Considerando um sistema linear em regime permanente, as respostas dos vetores, força e deslocamento, serão respectivamente:
𝑓( ) = {𝐹}𝑒 3.61
𝑥( ) = {𝑋}𝑒 3.62
Assim, substituindo as equações 3.61 e 3.62 na equação 3.50, a equação de movimento será:
[𝐾] − 𝜔²[𝑀] + 𝑖𝜔[𝐶] {𝑋}𝑒 = {𝐹}𝑒 3.63
Portanto, considerando o amortecimento histerético e simplificando a equação 3.63, chega-se em:
{𝑋} = [𝛼(𝜔)]{𝐹} 3.64
Sendo 𝛼(𝜔) denominada matriz de receptância do sistema.
Assumindo uma resposta similar à de um sistema livre, consideramos que os autovetores são linearmente independentes no espaço n, sendo qualquer outro vetor representado a partir de uma combinação linear destes autovetores, tem-se:
{𝑋} = 𝛾 {𝛹 }
3.65
Substituindo este resultado na equação 3.55, multiplicando por {𝛹 } e considerando as propriedades de ortogonalidade dos autovetores chegaremos em:
𝛾 = {𝛹 } {𝐹} 𝑘 − 𝜔²𝑚
Levando as relações das equações 3.65 e 3.66 na equação 3.64, tem-se a seguinte relação para a matriz de receptância:
𝛼 (𝜔) = 𝛹 𝛹
𝑚 (𝜔 − 𝜔 + 𝑖𝜂 𝜔 )
3.67
Normalizando pela massa, temos ainda que:
𝛼 (𝜔) = 𝐴̅
𝜔 − 𝜔 + 𝑖𝜂 𝜔
3.68
Sendo 𝐴̅ denominada constante modal, que é uma grandeza complexa, podendo ser escrita como:
𝐴̅ = 𝐴 𝑒 3.69
Com as respectivas amplitude e fase:
𝐴 = 𝛹 𝛹 𝑚 3.70 𝜑 = arg 𝛹 𝛹 𝑚 = arg (𝜙 𝜙 ) 3.71
Para definir a matriz completa [𝛼(𝜔)], pode-se desenvolver o sistema de equações abaixo:
[𝐴] 𝑢̇( ) + [𝐵] 𝑢( ) = 𝑓 ( ) 3.72 𝑓 ( ) = 𝑓( )
{0}
Aplicando a transformação da equação 3.66, multiplicando os termos da equação por {𝛹 } , e considerando as propriedades de ortogonalidade, tem-se que:
[𝑎 ] 𝑞̇( ) + [𝑏 ] 𝑞( ) = {𝛹 } 𝑓 ( ) 3.74
A solução da equação 3.74 é facilitada se a mesma for tratada como 2n equações desacopladas, equivalentes a um sistema de 2n equações de um grau de liberdade, sendo assim:
𝑞̇ ( )− 𝑠 𝑞 ( )= 1 𝑎 {𝛹 } 𝑓( ) {0} 3.75 𝑠 = −𝑏 𝑎 3.76
Considerando uma excitação harmônica e uma resposta analogamente à apresentada pela equação 3.46, teremos que:
𝑄 = 1 𝑖𝜔 − 𝑠 1 𝑎 {𝛹 } {𝐹} {0} 3.77
A resposta para vibração livre é então calculada substituindo a equação de transformação de coordenada e a equação de estado:
𝑢( ) = {𝜙 } 1 𝑖𝜔 − 𝑠 1 𝑎 {𝜙 } {𝐹} {0} 𝑒 3.78
Os valores são normalizados por 𝑎 , de acordo com a seguinte relação:
{𝜙 } = 1
√𝑎 {𝛹 }
3.79
