Cap16 Sec8 2x4

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Capítulo 16

Cálculo Vetorial

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16.8

Teorema de Stokes

Nesta seção, aprenderemos sobre: O Teorema de Stokes e como usá-lo para calcular

integrais.

CÁLCULO VETORIAL

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TEOREMA DE STOKES VS. TEOREMA DE GREEN

O Teorema de Stokes pode ser visto como uma versão em dimensão maior do Teorema de Green.

ƒ O Teorema de Green relaciona uma integral dupla sobre uma região plana D com uma integral de linha em torno de sua curva fronteira plana.

ƒ O Teorema de Stokes relaciona uma integral de superfície sobre uma superfície S com uma integral em torno da curva fronteira S (que é uma curva no espaço).

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. INTRODUÇÃO

A figuramostra uma superfície orientada com seu vetor normal unitário n.

ƒ A orientação de S induz a orientação

positiva da curva fronteira C mostrada

na figura.

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Isso significa que:

ƒ se você andar na direção positiva ao redor da curva C com sua cabeça na direção e sentido de n, então a superfície estará sempre à sua esquerda.

INTRODUÇÃO

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. TEOREMA DE STOKES

Seja

:

ƒ Suma superfície orientada, lisa por partes, cuja fronteira é formada por uma curva C fechada, simples, lisa por partes, com orientação positiva.

ƒ Fum campo vetorial cujas componentes têm derivadas parciais contínuas em uma região aberta de R³ que contém S.

ƒ Then,

O Teorema de Stokes tem seu nome em homenagem ao físico matemático irlandês sir George Stokes (1819-1903).

ƒ O teorema que hoje chamamos Teorema de Stokes foi, na verdade, descoberto pelo físico escocês sir William Thompson (1824- 1907, conhecido como lorde Kelvin).

ƒ Stokes soube desse teorema por uma carta de Thomson em 1850.

TEOREMA DE STOKES

Como

o Teorema de Stokes nos diz que:

ƒ a integral de linha em torno da curva fronteira de S da componente tangencial de F é igual à integral de superfície da componente normal do rotacional de F.

TEOREMA DE STOKES

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A curva fronteira orientada positivamente da superfície orientada S é com frequência denotada por S.

Desse modo, o Teorema de Stokes pode ser escrito como:

TEOREMA DE STOKES Equação 1

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TEOREMA DE STOKES, DE GREEN, & TFC

Existe uma analogia entre o Teorema de Stokes, o de Green e o Teorema

Fundamental do Cálculo.

ƒ Como anteriormente, existe uma integral envolvendo derivadas do lado esquerdo da Equação 1 (lembre-se de que o rot F é uma espécie de derivada de F) e do lado direito, envolvendo valores de F calculados somente na fronteira de S.

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De fato, no caso especial em que a

superfície S é plana e pertence ao plano xy, com orientação para cima, o vetor normal unitário é k, a integral de superfície se transforma em uma integral dupla, e o Teorema de Stokes fica

TEOREMA DE STOKES, DE GREEN, & TFC

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Esta é precisamente a forma vetorial do Teorema de Green dada pela Equação 16.5.12.

ƒ Então vemos que o Teorema de Green é, na verdade, um caso especial do Teorema de Stokes. TEOREMA DE STOKES, DE GREEN, & TFC

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. TEOREMA DE STOKES

O Teorema de Stokes é muito difícil de demonstrar no caso geral.

Mas, ainda podemos fazer uma

demonstração quando S for um gráfico e F, S e C forem bem comportados.

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TEOREMA DE STOKES – CASO ESPECIAL

Admitiremos que a equação de S seja

z = g(x, y), (x, y) D onde: ƒ gtem derivadas parciais de segunda ordem

contínuas.

ƒ Dé uma região plana simples cuja curva fronteira

C1corresponde a C.



Se a orientação de S for para cima, então a orientação positiva de C corresponde à orientação positiva

de C₁.

TEOREMA DE STOKES – CASO ESPECIAL

Foi-nos dado que:

F = P i + Q j + R k

e que as derivadas parciais de P, Q e R são contínuas.

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Sé um gráfico de uma função.

Então, podemos aplicar a Fórmula 16.7.10 com F substituído por rot F. O resultado é

onde as derivadas parciais de P, Q e R são calculadas em (x, y, g(x, y)).

TEOREMA DE STOKES – CASO ESPECIAL Eq. 2

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Se

x = x(t) y = y(t) a  t  b

é a representação paramétrica de C_1. ƒ Então a representação paramétrica de C é:

x = x(t) y = y(t) z = g(x(t), y(t)) a  t  b

TEOREMA DE STOKES – CASO ESPECIAL

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Isso nos permite, com ajuda da Regra da Cadeia, calcular a integral de linha como segue:

ƒ Observe que usamos o Teorema de Green no último passo.

TEOREMA DE STOKES – CASO ESPECIAL

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TEOREMA DE STOKES – CASO ESPECIAL

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Então, utilizando novamente a Regra da Cadeia e lembrando que:

ƒ P, Q e R são funções de x, y e z; ƒ z é, por sua vez, função de x e y. TEOREMA DE STOKES – CASO ESPECIAL

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Então, obtemos 2 2 C D d Q Q z R z R z z z R x z x x y z x y x y P P z R z R z z z R dA y z y y x z y x y x ˜ ª§w _w w _w w _w w w _ w · «¨_{w w w w w w w w w w} ¸ © ¹ ¬ º §w w w w w w w w w · _¨     _¸» w w w w w w w w w w © ¹¼

³

³³

TEOREMA DE STOKES – CASO ESPECIAL

Quatro dos termos da integral dupla se cancelam.

Os seis restantes podem ser rearranjados para que coincidam com o lado direito da Equação 2.

Portanto,

TEOREMA DE STOKES – CASO ESPECIAL

Calcule

onde

ƒ F(x, y, z) = –y2_{i + x j + z}2_k

ƒ C é a curva da intersecção do plano y + z = 2 com o cilindro x2_{+ y}2_{= 1. (Oriente C no sentido}

anti-horário quando visto de cima.)

C

˜

d

³

F r

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A curva C (uma elipse) está mostrada

.

ƒ poderia ser calculada diretamente.

ƒ Mas, mais simples usar o Teorema de Stokes.

C ˜d

³

TEOREMA DE STOKES EXEMPLO 1

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Vamos inicialmente calcular:

TEOREMA DE STOKES EXEMPLO 1

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Há muitas superfícies com fronteira C. ƒ a escolha mais conveniente é a região elíptica S no plano y + z = 2 cuja fronteira é C. ƒ Se orientarmos S para cima, então a orientação induzida em C será positiva.

TEOREMA DE STOKES EXEMPLO 1

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A projeção D de S sobre o plano xy é o disco x2_{+ y}2_{ 1.}

ƒ assim, usando a Equação 16.7.10 com

z = g(x, y) = 2 – y,

temos o resultado que segue.

TEOREMA DE STOKES EXEMPLO 1

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TEOREMA DE STOKES EXEMPLO 1

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Use o Teorema de Stokes para calcular a integral

ƒ F(x, y, z) = xz i + yz j + xy k ƒ S é a parte da esfera

x2_{+ y}2_{+ z}2_{= 4 que}

está dentro do cilindro x2_{+ y}2_{=1 e acima do}

plano xy.

TEOREMA DE STOKES EXEMPLO 2

Para achar a curva fronteira C, resolvemos as equações:

x2_{+ y}2_{+ z}2_{= 4 e x}2_{+ y}2_{= 1}

ƒ Subtraindo, obtemos z2_{= 3.}

ƒ Assim,

(uma vez que z > 0). 3

z

TEOREMA DE STOKES EXEMPLO 2

Então C é a circunferência dada pelas equações:

x2_{+ y}2_{= 1,}

_z

3

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. A equação vetorial de C é r(t) = cos t i + sen t j + k 0  t  2S e r’(t) = –sen t i + cos t j Temos também: 3

TEOREMA DE STOKES EXEMPLO 2

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Portanto, pelo Teorema de Stokes,

TEOREMA DE STOKES EXEMPLO 2

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Observe que, no Exemplo 2, calculamos a integral de superfície simplesmente sabendo os valores de F na curva fronteira C.

Isso significa que:

ƒ se tivermos outra superfície orientada com a mesma curva fronteira C, obteremos o mesmo valor para a integral de superfície!

TEOREMA DE STOKES

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Em geral, se S₁e S₂são superfícies orientadas com mesma curva fronteira orientada C e ambas satisfazem as hipóteses do Teorema de Stokes, então

ƒ Esse fato é muito útil quando for difícil integrar sobre uma das superfícies, mas for mais fácil integrar sobre a outra.

TEOREMA DE STOKES Equação 3

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. VETOR ROTACIONAL

Usaremos agora o Teorema de Stokes para tentar explicar o significado do vetor

rotacional.

ƒ Suponha que C seja uma curva fechada orientada e v represente o campo de velocidade de um fluido.

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Considere a integral de linha

e lembre-se de que v · T é a componente de

v na direção do vetor tangente unitário T. ƒ Isso significa que, quanto mais próxima a

direção de v está da direção de T, maior é o valor de v · T.

C

˜

d

˜

ds

³

v r

³

v T

VETOR ROTACIONAL

CIRCULAÇÃO

Assim, é a medida da tendência de

o fluido se mover em torno de C e é chamada circulação de v em torno de C

C

˜

d

³

v r

VETOR ROTACIONAL

Seja agora P₀(x₀, y₀, z₀) um ponto do fluido e seja S_am pequeno círculo com raio a e centro P₀.

ƒ Então, (rot F)(P)  (rot F)(P0) para todos os pontos P

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Então, pelo Teorema de Stokes, temos a seguinte aproximação da circulação em torno do círculo fronteira C_a:

VETOR ROTACIONAL

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Essa aproximação se torna melhor quando

a  0.

Então, temos:

VETOR ROTACIONAL Equação 4

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. ROTACIONAL & CIRCULAÇÃO

A Equação 4 fornece a relação entre o rotacional e a circulação.

ƒ Ela mostra que rot v · né a medida do efeito da rotação do fluido em torno do eixo n.

ƒ O efeito de girar é maior em um eixo paralelo a rot v.

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Imagine uma roda pequena formada por pás colocadas em um fluido em um ponto P.

ƒ Essa roda vai girar mais rapidamente quando seu eixo for paralelo a rot v. ROTACIONAL & CIRCULAÇÃO

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. CURVAS FECHADAS

Finalmente, mencionamos que o Teorema de Stokes pode ser usado para demonstrar o Teorema 16.5.4.

ƒ Ele afirma que, se rot F = 0 sobre R³, então F é conservativo.

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De nosso trabalho prévio (Teoremas 16.3.3 e 16.3.4), sabemos que F é conservativo se

para todo caminho fechado C. ƒ Dado C, suponha que possamos achar uma

superfície orientada S cuja fronteira seja C.

ƒ Isso pode ser feito, mas a demonstração requer técnicas avançadas.

0

C ˜d

³

CURVAS FECHADAS

Então o Teorema de Stokes fornece

ƒ Uma curva que não seja simples pode ser quebrada em diversas curvas simples e as integrais ao longo dessas curvas simples são todas 0.

CURVAS FECHADAS

Somando essas integrais, obtemos

para qualquer curva fechada C.

0

C

˜

d

³

F r