Cap 4_Sistemas_Lineares

(1)

(2)

Conte´

udo

1 _Introdu¸_c˜_ao

2 Conceitos fundamentais

3 Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares

4 Resolu¸c˜ao de Sistemas Triangulares

5 M´etodos Diretos

6 M´etodos Iterativos

(3)

Introdu¸c˜ao

(4)

Sistema de Equa¸c˜

oes Lineares

Uma equa¸cão é dita linear se cada termo contém não mais que uma variável e cada variável aparece na primeira potência

Um sistema de equa¸cões lineares é um conjunto finito de equa¸cões lineares nas mesmas variáveis

Um sistema com m equa¸cões e n incógnitas é como          a11x1+ a12x2+ · · · + a1nxn= b1 a21x1+ a22x2+ · · · + a2nxn= b2 .. . am1x1+ am2x2+ · · · + amnxn= bm onde aij∈ R são os coeficientes

bi∈ R s˜ao chamadas constantes

xj ∈ R s˜ao as vari´aveis do problema

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         a11x1+ a12x2+ · · · + a1nxn= b1 a21x1+ a22x2+ · · · + a2nxn= b2 .. . am1x1+ am2x2+ · · · + amnxn= bm

pode ser escrito em nota¸c˜ao matricial como Ax = b ou

     a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. . ... ... ... am1 am2 . . . amn           x1 x2 .. . xn      =      b1 b2 .. . bm     

(6)

Importˆ

ancia da resolu¸c˜

ao de sistemas de equa¸c˜

oes lineares

Sistemas de equa¸c˜oes lineares aparecem em diferentes problemas:

An´alise de estruturas

Modelagem de circuitos elétricos Rea¸cões qu´ımicas (equilibrar equa¸cões) Programa¸cão linear e não-linear

Aprendizagem de máquina (regressão/classifica¸cão) Circuitos elétricos

M´etodos num´ericos

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Um conjunto de vetores x1, x2, . . . , xn´e dito ser Linearmente

Independente (LI) se

c1x1+ c2x2+ · · · + cnxn= 0

somente se c1 = c2 = · · · = cn = 0

Caso contrário, diz-se que o conjunto de vetores é Linearmente Dependente (LD) Exemplo: Os vetores x1=   2 −3 4  , x2=   1 0 3   e x3=   3 −3 7   são LD, pois x3= x1+ x2⇒ x1+ x2− x3= 0, ou seja, c1 = 1, c2= 1 e c3 = −1.

(8)

Posto de uma Matriz

Posto de uma matriz A ∈ Rm×n é definido como o número máximo de vetores linhas (ou de vetores colunas) linearmente independentes de A.

O número de colunas LI de uma matriz é igual ao número de linhas LI dessa matriz Exemplo: Seja A =   1 3 0 1 5 4 2 0 6 7 2 1  

Nota-se que as linhas 1 e 2 da matriz A s˜ao LI, e a linha3 = linha1 +

(9)

Determinante ´e uma fun¸c˜ao matricial que associa a cada matriz quadrada de ordem n um escalar. Exemplos:

ordem n = 1 det(A) = det [a11] = a11 ordem n = 3 det(A) = det   a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33   = a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32 − a13a22a31− a23a32a11− a33a21a12

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Singularidade e Inversa de uma Matriz

Singularidade de Matriz

Uma matriz A com det(A) = 0 é dita singular. Quando det(A) 6= 0 então A é dita não-singular.

Sendo a matriz quadrada A ∈ Rn×n não singular, a sua inversa é representada por A−1 e é definida de forma que

AA−1 = A−1A = I onde I ´e a matriz identidade de ordem n Exemplo: Sejam A = 1 1 2 3 A−1 = 3 −1 −2 1 Verifica-se que AA−1 = A−1A = I = 1 0 0 1

(11)

Seja um sistema Ax = b, com uma matriz quadrada A ∈ Rn×n_{, tem-se as}

seguintes possibilidades quanto ao vetor solu¸c˜ao x:

Caso 1: Solu¸cão única (consistente e determinado) Caso 2: Infinitas solu¸cões (consistente e indeterminado) Caso 3: Nenhuma solu¸cão (inconsistente)

(12)

Caso 1: Ax = b tem solu¸c˜

ao ´

unica

x1+ x2= 3 x1− x2 = −1 ou 1 1 1 −1 x1 x2 = 3 −1 ⇒ x = 1 2

(13)

x1+ x2 = 1 2x1+ 2x2= 2 ou 1 1 2 2 x1 x2 = 1 2 ⇒ x = 1 − θ θ

(14)

Caso 3: Ax = b n˜

ao tem solu¸c˜

oes

x1+ x2 = 1 x1+ x2 = 4 ou 1 1 1 1 x1 x2 = 1 4 ⇒ @x tal que Ax = b

(15)

Seja A uma matriz quadrada n × n. As seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:

A−1 existe;

A única solu¸cão do sistema homogêneo Ay = 0; é y ser o vetor nulo; Posto da matriz A é n;

det(A) 6= 0;

dado qualquer vetor b, existe exatamente um vetor x tal que Ax = b.

(16)

Existˆ

encia e Unicidade da Solu¸c˜

ao

Exemplo 1: Comente sobre a solu¸c˜ao do sistema linear:

x1+ x2 = 3

x1− x2 = −1

Solu¸cão: Como det(A) = −2 6= 0 então existe solu¸cão e ela é única. Exemplo 2: Descreva sobre a solu¸cão do sistema linear:

x1+ x2 = 1

2x1+ 2x2= 2

Solu¸cão: Como det(A) = 0 então o sistema não tem solu¸cão ou a solu¸cão não é única

Exemplo 3: Informe sobre a solu¸c˜ao do sistema linear:

x1+ x2 = 1

x1+ x2 = 4

Solu¸cão: como det(A) = 0 então o sistema não tem solu¸cão ou a solu¸cão não é única

(17)

Serão estudados métodos numéricos para encontrar a solu¸cão do sistema de equa¸cões lineares Ax = b

Considera-se aqui que A é uma matriz quadrada e não-singular Os métodos que serão apresentados podem ser divididos em

M´etodos diretos

Fornecem a solu¸cão exata do problema, a menos de erros de arredondamento, após um número finito de opera¸cões Métodos iterativos

Geram uma sequência de vetores a partir de uma aproxima¸cão inicial e, sob certas condi¸cões, essa sequência converge para a solu¸cão do problema

(18)

M´etodos num´ericos diretos

Sistemas triangulares Elimina¸c˜ao Gaussiana Decomposi¸c˜ao LU

Decomposi¸c˜ao de Cholesky

M´etodos num´ericos iterativos

M´etodo de Jacobi M´etodo de Gauss-Seidel

(19)

Resolu¸c˜ao de sistemas triangulares

(20)

Sistema triangular inferior

Considere um sistema triangular inferior de ordem n dado por      l11 0 0 . . . 0 l21 l22 0 . . . 0 .. . . .. ln1 ln2 ln3 . . . lnn           x1 x2 .. . xn      =      b1 b2 .. . bn     

A solu¸cão deste sistema é feita através de um procedimento chamado de substitui¸cão (ou substitui¸cões sucessivas):

l11x1 = b1 ⇒ x1= b1 l11 l21x1+ l22x2 = b2 ⇒ x2= b2− l21x1 l22 . . . ln1x1+ ln2x2+ . . . + lnnxn = bn ⇒ xn= bn− ln1x1− ln2x2− . . . − lnn−1xn−1 lnn

(21)

De forma geral para Lx = b temos xi =  bi− i −1 X j =1 lijxj   , lii i = 1, . . . , n Exemplo     2 0 0 0 3 5 0 0 1 −6 8 0 −1 4 −3 9         x1 x2 x3 x4     =     4 1 48 0     Solu¸c˜ao 2x1 = 4 ⇒ x1= 2 3x1+ 5x2 = 1 ⇒ x2= 1−6₅ = −1 x1− 6x2+ 8x3 = 48 ⇒ x3=48−2−6₈ = 5 −x1+ 4x2− 3x3+ 9x4 = 0 ⇒ x4= 2+4+15₉ = 21₉

(22)

Algoritmo - Solu¸c˜

ao de um sistema triangular inferior

xi =  bi− i −1 X j =1 lijxj   , lii i = 1, . . . , n Entrada: L ∈ Rn×n, b ∈ Rn Sa´ıda: x ∈ Rn 1 x(1) = b(1) / L(1,1); 2 Para i=2, ..., n fa¸ca 3 s = b(i);

4 Para j=1, ..., i-1 fa¸ca 5 s = s - L(i,j) * x(j); 6 x(i) = s/L(i,i);

(23)

O algoritmo an´alogo para o caso de um sistema triangular superior Ux = b ´

e chamado de retro-substitui¸c˜ao (ou substitui¸c˜oes retroativas).      u11 u12 u13 . . . u1n 0 u22 u23 . . . u2n .. . . .. 0 0 0 . . . unn           x1 x2 .. . xn      =      b1 b2 .. . bn      e assim temos unnxn = bn ⇒ xn= bn unn un−1n−1xn−1+ un−1nxn = bn−1 ⇒ xn−1= bn−1− un−1nxn un−1n−1 . . . u11x1+ u12x2+ . . . + u1nxn = b1 ⇒ x1= bn− u12x1− u13x3− . . . − u1nxn u11

(24)

Sistema triangular superior

De forma geral para Ux = b temos

xi =  bi− n X j =i +1 uijxj   , uii i = n, . . . , 1 Exemplo   2 4 −2 0 1 1 0 0 4     x1 x2 x3  =   2 4 8   Solu¸c˜ao 4x3 = 8 ⇒ x3 = 2 x2+ x3 = 4 ⇒ x2 = 2 2x1+ 4x2− 2x3 = 2 ⇒ x1 = 2−8+4₂ = −2₂ = −1

(25)

xi =  bi− n X j =i +1 uijxj   , uii i = n, . . . , 1 Dados: U ∈ Rn×n, b ∈ Rn Sa´ıda: x ∈ Rn 1 x(n) = b(n)/U(n,n); 2 Para i=n-1, ..., 1 fa¸ca 3 s = b(i);

4 Para j=i+1, ..., n fa¸ca 5 s = s - U(i,j) * x(j); 6 x(i) = s/U(i,i);

(26)

(27)

O primeiro método direto que iremos estudar é o método de Elimina¸cão Gaussiana.

A ideia fundamental do m´etodo ´e transformar a matriz A em uma matriz triangular superior introduzindo zeros abaixo da diagonal principal, primeiro na coluna 1, depois na coluna 2 e assim por diante.

    x x x x x x x x x x x x x x x x     →     x x x x 0 x x x 0 x x x 0 x x x     →     x x x x 0 x x x 0 0 x x 0 0 x x     →     x x x x 0 x x x 0 0 x x 0 0 0 x    

Por fim, usa-se a retro-substitui¸cão para obter a solu¸cão do sistema triangular superior obtido ao final dessa etapa de elimina¸cão.

(28)

M´

etodo de Elimina¸c˜

ao Gaussiana

Na Elimina¸cão Gaussiana, as opera¸cões efetuadas para se obter a matriz triangular superior são tais que a matriz triangular obtida possui a mesma solu¸cão que o sistema original.

Sistema equivalente

Dois sistemas de equa¸cões lineares são equivalentes quando possuem o mesmo vetor solu¸cão.

Um sistema pode ser transformado em um outro sistema equivalente utilizando as seguintes opera¸c˜oes elementares:

trocar a ordem de duas equa¸c˜oes

multiplicar uma equa¸cão por uma constante não-nula somar um múltiplo de uma equa¸cão à outra

(29)

Exemplo

3x1+ 5x2= 9

6x1+ 7x2= 4

Podemos subtrair da linha 2 um m´ultiplo da linha 1, isto ´e

L0₂= L2− 2L1

Efetuando esta opera¸c˜ao obtemos o sistema equivalente 3x1+ 5x2 = 9 −3x₂ = −14 7 6 5 4 3 2 1 0 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 7 6 5 4 3 2 1 0 1 1 2 3 4 5 6

(30)

M´

etodo de Elimina¸c˜

ao Gaussiana

Vamos primeiro estudar um exemplo simples para posteriormente generalizar a ideia. Exemplo Seja o sistema x1+ x3= 0 x1+ x2= 1 2x1+ 3x2+ x3= 1   1 0 1 1 1 0 2 3 1     x1 x2 x3  =   0 1 1   Solu¸c˜ao

Como podemos eliminar os coeficientes abaixo da diagonal principal na primeira coluna? L02= L2− L1 L03= L3− 2L1   1 0 1 0 0 1 −1 1 0 3 −1 1  

(31)

Exemplo - (cont.)

Precisamos agora de eliminar os coeficientes abaixo da diagonal na segunda coluna (a32). Como?

L00₃ = L0₃− 3L0₂   1 0 1 0 0 1 −1 1 0 0 2 −2  

Agora podemos usar a retro-substitui¸c˜ao para encontrar facilmente a solu¸c˜ao deste sistema:

2x3= −2 ⇒ x3= −1

x2− x3= 1 ⇒ x2= 1 + x3 = 1 − 1 = 0

x1+ x3= 0 ⇒ x1= −x3 = 1

Encontramos assim a solu¸c˜ao: xT = 1 0 −1

(32)

Mais um exemplo para ajudar a entender o m´etodo de Elimina¸c˜ao Gaussiana   2 1 1 4 −6 0 −2 7 2     x1 x2 x3  =   5 −2 9   Passo 1: m21 = a_a21₁₁ = 4/2 = 2 ⇒ L02 = L2− 2L1 (1) m31 = a_a31₁₁ = −2/2 = − ⇒ L03 = L3+ L1 (2)   2 1 1 5 0 −8 −2 −12 0 8 3 14  

(33)

  2 1 1 5 0 −8 −2 −12 0 8 3 14   m32= a_a32₂₂ = 8/ − 8 = −1 ⇒ L003 = L 0 3+ L 0 2   2 1 1 5 0 −8 −2 −12 0 0 1 2  

Pr´oxima etapa: resolver o sistema triangular superior obtido usando o algoritmo de retro-substitui¸c˜ao.

(34)

M´

etodo de Elimina¸c˜

ao Gaussiana

     a11 a12 a13 . . . a1n b1 a21 a22 a23 . . . a2n b2 .. . ... ... . .. ... ... an1 an2 an3 . . . ann bn     

Passo 1 (k=1): eliminamos os elementos abaixo da diagonal principal na primeira coluna. Suponha que a116= 0. Ent˜ao:

m21 = a21/a11 m31 = a31/a11 .. . mn1 = an1/a11 mi 1 = ai 1/a11, i = 2 : n

(35)

Para i = 2 : n a(1)_ij = a(0)_ij − mi 1 a(0)_1j

b(1)_i = b_i(0)− m_{i 1} b₁(0), j = 1 : n Observe que n˜ao alteramos a primeira linha, pois i = 2 : n, logo esta permanece inalterada:

a(1)_1j = a(0)_1j = a1j, b1(1)= b (0) 1 = b1

Ap´os essa etapa zeramos todos os elementos abaixo da diagonal principal na 1a _coluna.        a11 a12 a13 . . . a1n b1 0 a1 22 a 1 23 . . . a 1 2n b 1 2 0 a1₃₂ a1₃₃ . . . a1_3n b1₃ .. . ... ... . .. ... ... 0 a1 n2 a1n3 . . . a1nn b1n       

(36)

Passo 2 (k=2): consiste em introduzir zeros abaixo da diagonal principal na 2a coluna. Suponha a226= 0. Definimos

mi 2= ai 2/a22, i = 3 : n e assim para i = 3 : n a(2)_ij = a(1)_ij − mi 2 a(1)_2j b(2)_i = b(1)_i − mi 2 b₁(2), j = 2 : n o que resulta em        a11 a12 a13 . . . a1n b1 0 a1₂₂ a1₂₃ . . . a1_2n b1₂ 0 0 a2₃₃ . . . a2_3n b2₃ .. . ... ... . .. ... ... 0 0 a2_n3 . . . a2_nn b2_n       

(37)

Passo 3, Passo 4, ...

Passo k: Considerando akk 6= 0, temos

mik = aik/akk, i = k + 1 : n

e assim fazemos

para i = k + 1 : n a(k)_ij = a(k−1)_ij − m_ik a(k−1)_kj

b(k)_i = b_i(k−1)− mik b(k−1)_k , j = k : n

Observe novamente que n˜ao alteramos as linhas de 1 a k.

(38)

No processo de Elimina¸c˜ao os elementos a11, a (1) 22, a (2) 33, . . ., a (k−1) kk que

aparecem na diagonal da matriz A s˜ao chamados de pivˆos.

Se os pivôs não se anulam, isto é, se akk 6= 0, k = 1 : n, durante o

processo, ent˜ao a elimina¸c˜ao procede com sucesso e por fim chegamos ao seguinte sistema triangular superior

       a11 a12 a13 . . . a1n−1 a1n b1 0 a1₂₂ a1₂₃ . . . a_2n−11 a1_2n b₂1 0 0 a2₃₃ . . . a_3n−12 a2_3n b₃2 .. . ... ... . .. ... ... 0 0 0 . . . 0 an−1_nn bn−1_n       

(39)

Dados: matriz A ∈ Rn×n, vetor b ∈ Rn Sa´ıda: vetor solu¸c˜ao x ∈ Rn

1 Para k = 1 : n − 1 fa¸ca 2 Para i = k + 1 : n fa¸ca 3 m = A(i,k) / A(k,k); 4 Para j = k + 1 : n fa¸ca

5 A(i,j) = A(i,j) - m * A(k,j); 6 b(i) = b(i) - m * b(k);

7 x = retroSubstituicao(A,b); 8 retorna x;

(40)

M´

etodo de Elimina¸c˜

ao Gaussiana

Mas, e se na etapa k da Elimina¸c˜ao Gaussiana, o pivˆo for zero? Isso significa que akk = 0, e assim, ter´ıamos

mik =

aik

akk

⇒ divis˜ao por zero!

Nesse caso, se um pivˆo for zero, o processo de elimina¸c˜ao tem que parar, ou temporariamente ou permanentemente.

O sistema pode ou n˜ao ser singular.

Se o sistema for singular, i.e, det(A) = 0, e portanto como vimos o sistema não possui uma única solu¸cão.

Veremos agora um caso que a matriz n˜ao ´e singular e podemos resolver esse problema.

(41)

Vamos ilustrar a ideia do pivoteamento atrav´es de um exemplo. Considere a seguinte matriz. A =   1 1 1 2 2 5 4 6 8  

Vamos proceder com a Elimina¸c˜ao Gaussiana.

m21= 2, a2j1 = a02j− 2 a01j m31= 4, a3j1 = a03j− 4 a01j, j = 1 : 3 Ent˜ao obtemos   1 1 1 0 0 3 0 2 4  

(42)

Estrat´

egia de Pivoteamento

No próximo passo, o pivô é a22 e usamos ele para calcular m32.

Entretanto m32= a32 a22 = 2 0 Divis˜ao por zero! E agora, o que podemos fazer?

Podemos realizar uma opera¸cão elementar de troca de linhas. Como vimos este tipo de opera¸cão quando realizado em um sistema, não altera a solu¸cão. Sendo assim, vamos trocar as linhas 2 e 3.

  1 1 1 0 0 3 0 2 4  ⇒   1 1 1 0 2 4 0 0 3  

E assim chegamos a um sistema triangular superior, cuja solu¸c˜ao pode ser obtida usando a retro-substitui¸c˜ao.

(43)

A estrat´egia de pivoteamento ´e importante pois:

evita a propaga¸c˜ao de erros num´ericos

nos fornece meios de evitar problemas durante a Elimina¸cão Gaussiana quando o pivô akk no passo k é igual a zero e precisamos calcular o

multiplicador

mik =

aik

akk

Assim, através da troca de linhas, podemos encontrar uma linha de tal forma que o novo pivô é não-zero, permitindo que a Elimina¸cão Gaussiana continue até obter uma matriz triangular superior.

No pivoteamento parcial, em cada passo k, o pivô é escolhido como o maior elemento em módulo abaixo de akk (inclusive), isto é

Encontrar r tal que: |ark| = max |aik|, k ≤ i ≤ n

Feita a escolha do pivˆo, trocamos as linhas r e k e o algoritmo procede.

(44)

Pivoteamento Parcial

Exemplo

Aplique a Elimina¸c˜ao Gaussiana com pivoteamento parcial no seguinte sistema:   2 4 −2 2 4 9 −3 8 −2 −3 7 10   A cada passo k:

encontrar o pivˆo do passo k se necess´ario, trocar as linhas calcular o multiplicador mik

para i = k + 1 : n, calcular

a(k)_ij = a_ij(k−1)− mik a(k−1)_kj

(k) (k−1) (k−1)

(45)

Exemplo - (cont.)

Passo 1

Escolha do pivˆo: max {2, 4, 2} = 4. Trocar as linhas 1 e 2.

  2 4 −2 2 4 9 −3 8 −2 −3 7 10  ⇒   4 9 −3 8 2 4 −2 2 −2 −3 7 10   m21= 2/4 = 1/2 ⇒ a12j = a02j −12a 0 1j m31= −2/4 = −1/2⇒ a13j = a03j +12a 0 1j, j = 1 : 3   4 9 −3 8 0 −1₂ −1₂ −2 0 3₂ 11₂ 14  

(46)

Pivoteamento Parcial

Exemplo - (cont.)

Passo 2

Escolha do pivˆo: max {1₂,3₂} = 3

2. Trocar as linhas 2 e 3.   4 9 −3 8 0 −1₂ −1₂ −2 0 3₂ 11₂ 14  ⇒   4 9 −3 8 0 3₂ 11₂ 14 0 −1 2 − 1 2 −2   m32= −1₂2₃ = −1₃ ⇒ a23j = a13j+13a 1 2j, j = 2 : 3   4 9 −3 8 0 3₂ 11₂ 14 0 0 4₃ 8₃  

(47)

Exemplo - (cont.) Retro-substitui¸cão   4 9 −3 8 0 3₂ 11₂ 14 0 0 4₃ 8₃   4 3x3 = 8 3 ⇒ x3 = 2 3 2x2 + 2 11 2 = 14 ⇒ x2 = 2 4x1 + 9(2) − 3(2) = 8 ⇒ x1 = −1 Portanto a solu¸cão é xT= [−1, 2, 2].

(48)

Pivoteamento Parcial

Exemplo (efeitos num´ericos)

Considere o seguinte sistema:

0.0001 1 1 1 x1 x2 = 1 2

Usando um sistema de ponto flutuante F (10, 3, −10, 10) (sistema decimal com 3 d´ıgitos na mantissa), com arredondamento, encontre a solu¸c˜ao do sistema usando Elimina¸c˜ao Gaussiana sem pivoteamento.

Solu¸c˜ao Temos que m21= 1 0.0001 = 10000 ⇒ L 0 2= L2− 10000L1

(49)

Solu¸c˜ao (efeitos num´ericos) - Cont.

0.0001 1 1

0 −10000∗ −10000∗∗

Note que (∗) foi obtido como

1 − 10000 × 1 = 0.00001 × 105− 0.10000 × 105

= 0.09999 × 105

= (arredondando) = 0.100 × 105

e de forma an´aloga para (∗∗), temos

2 − 10000 × 1 = 0.00001 × 105− 0.10000 × 105 = 0.09998 × 105

= (arredondando) = 0.100 × 105

(50)

Pivoteamento Parcial

Solu¸c˜ao (efeitos num´ericos) - Cont.

Por fim, aplicando a retrosubstitui¸cão obtemos uma solu¸cão errada, devido aos erros de aritmética em ponto flutuante cometidos em (∗) e (∗∗) durante a soma/subtra¸cão de números muito pequenos com números muito grandes.

Solu¸c˜ao obtida → xT = 0 1

A solu¸c˜ao exata ´e dada por

Solu¸c˜ao exata → xT =

(51)

M´etodo Direto: Decomposi¸c˜ao LU

(52)

Decomposi¸c˜

ao LU

Uma matriz quadrada pode ser escrita como o produto de duas matrizes L e U, onde

L ´e uma matriz triangular inferior unit´aria (com elementos da diagonal principal igual a 1)

U ´e uma matriz triangular superior Ou seja, a matriz pode ser escrita como

A = LU

Dessa forma para resolver o sistema linear Ax = b usamos A em sua forma decomposta, isto ´e

Ax = b ⇒ LUx = b

Ent˜ao definimos

(53)

Assim para resolver L Ux |{z} y = b fazemos Ly = b ⇒ Ux = y isto ´e, temos os seguintes passos:

1 Como L ´e triangular inferior podemos resolver Ly = b facilmente

usando o algoritmo de substitui¸c˜ao. Assim encontramos o vetor y.

2 Em seguida substitu´ımos y no sistema Ux = y. Como U ´e uma

matriz triangular superior, podemos resolver este sistema usando o algoritmo da retro-substitui¸c˜ao para encontrar a solu¸c˜ao x.

Vamos ver agora em que condi¸c˜oes podemos decompor uma matriz A na forma LU.

(54)

Decomposi¸c˜

ao LU

Condi¸c˜ao sobre a matriz A para a existˆencia de L e U

Sejam A = (aij) uma matriz quadrada de ordem n e Ak o menor principal,

constitu´ıdo das k primeiras linhas e k primeiras colunas de A. Assumimos que det(Ak) 6= 0 para k = 1, 2, . . . , n − 1. Ent˜ao existe:

uma ´unica matriz triangular inferior L = (lij) com lii = 1, i = 1 : n

uma ´unica matriz triangular superior U = (uij)

(55)

Podemos obter as matrizes L e U aplicando a defini¸cão de produto e igualdade de matrizes, ou seja, impondo que A seja igual a LU, onde L é triangular inferior unitária e U triangular superior. Então

LU =        1 0 0 . . . 0 l21 1 0 . . . 0 l31 l32 1 . . . 0 .. . ... . .. 1 0 ln1 ln2 ln3 . . . 1               u11 u12 u13 . . . u1n 0 u22 u23 . . . u2n 0 0 u33 . . . u3n .. . ... ... . .. ... 0 0 0 0 unn       

Vamos obter os elementos de L e U da seguinte forma: 1a linha de U

1a coluna de L 2a linha de U 2a coluna de L ...

(56)

Decomposi¸c˜

ao LU

Obten¸c˜ao das matrizes L e U

1a _{linha de U} a11= 1 u11⇒ u11= a11 a12= 1 u12⇒ u12= a12 . . . a1n= 1 u1n ⇒ u1n = a1n 1a coluna de L a21= l21u11⇒ l21= a_u21₁₁ a31= l31u11⇒ l31= a_u31₁₁ . . . an1= ln1 u11⇒ ln1= a_un1₁₁

(57)

2a _{linha de U} a22= l21u12+ 1 u22⇒ u22= a22− l21u12 a23= l21u13+ 1 u23⇒ u23= a23− l21u13 . . . a2n= l21u1n+ 1 u2n ⇒ u2n = a2n− l21u1n 2a _{coluna de L} a32= l31u12+ l32u22⇒ l32= a32− l31u12 u22 a42= l41u12+ l42u22⇒ l42= a42− l41u1 u22 . . . an2= ln1u12+ ln2u22⇒ ln2= an2− ln1u12 u22

(58)

Algoritmo para Obten¸c˜

ao das matrizes L e U

uij = aij − i −1 X k=1 lik ukj, i ≤ j lij = aij − j −1 X k=1 lik ukj ! , ujj, i > j 1 Para i = 1 : n fa¸ca 2 Para j = i : n fa¸ca 3 u_ij = a_ij −Pi −1_k=1l_ik u_kj ; 4 Para j = i + 1 : n fa¸ca 5 lij = aij −Pj −1_k=1lik ukj , ujj ;

(59)

Gaussiana

Exemplo: Seja a matriz A dada por

A =   2 1 1 4 −6 0 −2 7 2   Passo 1 m21 = a_a21₁₁ = 4/2 = 2 ⇒ L02= L2− 2L1 m31 = a_a31₁₁ = −2/2 = −1 ⇒ L03 = L3+ L1 A0 =   2 1 1 0 −8 −2 0 8 3  

(60)

Passo 2 A0 =   2 1 1 0 −8 −2 0 8 3   m32= a_a32₂₂ = 8/ − 8 = −1 ⇒ L003 = L 0 3+ L 0 2

As matrizes L e U s˜ao dadas por

A00=   2 1 1 0 −8 −2 0 0 1  = U; L =   1 0 0 m21 1 0 m31 m32 1  =   1 0 0 2 1 0 −1 −1 1  

Matriz U resulta diretamente do método de Elimina¸cão Gaussiana Matriz L é formada pelos multiplicadores mij calculados ao longo do

(61)

Gaussiana com pivoteamento

Seja P uma matriz de permuta¸c˜ao que corresponde a matriz identidade, ent˜ao temos

PA = A

Logo, determinando a decomposi¸c˜ao LU de A, temos PA = LU

Utilizando o método de Elimina¸cão Gaussiana para determinar as matrizes L e U, pode ser que a matriz P resultante não seja mais a matriz identidade.

Pois, o pivoteamento (troca de linhas durante o processo de

Elimina¸c˜ao Gaussiana) afeta tamb´em a troca de linhas das matrizes L e P.

(62)

Exemplo: Considere as seguintes matrizes A e P: A =   1 1 1 2 2 5 4 6 8   P =   1 0 0 0 1 0 0 0 1  

ou seja, PA = A. Vamos proceder com a Elimina¸c˜ao Gaussiana aplicado na matriz A. m21= 2, L02 = L2− m21L1 m31= 4, L03 = L3− m31L1 Ent˜ao obtemos: A =   1 1 1 0 0 3 0 2 4  

(63)

m32=

a32

a22

= 2 0 =?

Podemos realizar uma opera¸cão elementar de troca de linhas. Como vimos este tipo de opera¸cão quando realizado em um sistema, não altera a solu¸cão. Sendo assim, vamos trocar as linhas 2 e 3.

  1 1 1 0 0 3 0 2 4  ⇒   1 1 1 0 2 4 0 0 3  

A troca das linhas 2 e 3 realizada acima implica tamb´em a troca das mesmas linhas na matriz P

No final do processo, temos PA = LU, tais que

U =   1 1 1 0 2 4 0 0 3   L =   1 0 0 4 1 0 2 0 1   P =   1 0 0 0 0 1 0 1 0  

(64)

(65)

Matriz Sim´etrica

Uma matriz real A quadrada de ordem n é simétrica se possui as mesmas entradas acima e abaixo da diagonal principal, isto é, se

aij = aji, ∀ i , j

Portanto A = AT.

Matriz Positiva Definida

Uma matriz A quadrada de ordem n ´e positiva definida, se e somente se

det(Ak) > 0, k = 1, 2, . . . , n

onde Ak ´e a matriz menor principal de ordem k (a matriz k × k formada

pelas k primeiras linhas e pelas k primeiras colunas).

(66)

A decomposi¸cão de Cholesky é um caso especial da fatora¸cão LU aplicada para matrizes simétricas e positiva definida

Esta decomposi¸c˜ao pode ser obtida a partir de

A = GGT onde G ´e uma matriz triangular inferior tal que

A =      a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . . .. ... an1 an2 . . . ann      =      g11 0 . . . 0 g21 g22 . . . 0 . . . . . . . .. 0 gn1 gn2 . . . gnn           g11 g21 . . . gn1 0 g22 . . . g2n . . . . . . . .. ... 0 0 . . . gnn     

(67)

Pelo produto e igualdade de matrizes podemos obter os elementos de G. Elementos da diagonal principal:

a11= g112 a22= g212 + g222 .. . ann = gn12 + gn22 + . . . + gnn2 de forma geral gii = v u u ta_ii − i −1 X k=1 g2 ik , i = 1 : n

(68)

Para os elementos fora da diagonal principal, temos a21= g21g11 a31= g31g11 .. . an1 = gn1g11 a32= g31g21+ g32g22 a42= g41g21+ g42g22 .. . an2 = gn1g21+ gn2g22 de forma geral gij= aij− j −1 X k=1 gikgjk gjj , i = j + 1 : n, j = 1 : n

(69)

Podemos usar a decomposi¸cão de Cholesky para encontrar a solu¸cão de Ax = b da seguinte forma: 1 _{Determinar a decomposi¸}_c˜_ao A = GGT então G GTx | {z } y = b

2 _{Resolver Gy = b, usando substitui¸}_c˜_ao 3 _{Resolver G}T_{x = y, retro-substitui¸}_c˜_ao

(70)

Decomposi¸c˜

ao de Cholesky

Exemplo Considere a matriz A =   4 −2 2 −2 10 −7 2 −7 30  

a) Verificar se A satisfaz as condi¸c˜oes da decomposi¸c˜ao de Cholesky

b) Decompor A em GGT

c) Calcular o determinante

d) Resolver o sistema Ax = b com b =   8 11 −31  

(71)

a) A ´e sim´etrica e positiva definida

det(A1) = 4, det(A2) = 36, det(A3) = 900

b) A decomposi¸c˜ao ´e A =   2 0 0 −1 3 0 1 −2 5   | {z } G   2 −1 1 0 3 −2 0 0 5   | {z } GT c) det(A) = (2 · 3 · 5)2 = 302 = 900 d) x =   3 1 −1  

(72)

(73)

O sistema de equa¸cões lineares Ax = b pode ser resolvido por um processo que gera a partir de um vetor inicial x(0) uma sequência de vetores x(1), x(2), x(3), . . . que deve convergir para a solu¸cão. Existem muitos métodos iterativos para a solu¸cão de sistemas lineares, entretanto só iremos estudar os chamados métodos iterativos estacionários.

Algumas perguntas importantes s˜ao:

Como construir a sequˆencia {x(0)_{, x}(1)_{, x}(2)_{, . . .}?}

x(k)_{→ x}∗_?

Quais são as condi¸cões para convergência? Como saber se x(k) _est´_{a pr´}_{oximo de x}∗_?

Crit´erio de parada?

(74)

Um m´etodo iterativo escrito na forma

x(k+1)= Bx(k)+ c

´

e dito estacion´ario quando a matriz B for fixa durante o processo iterativo.

Veremos como construir a matriz B para cada um dos m´etodos que iremos estudar: Jacobi e Gauss-Seidel.

Antes, é preciso rever alguns conceitos como norma de vetores e matrizes, os quais serão importantes no desenvolvimento do critério de parada e na análise de convergência dos métodos.

(75)

Para discutir o erro envolvido nas aproxima¸cões é preciso associar a cada vetor e matriz um valor escalar não negativo que de alguma forma mede sua magnitude. As normas para vetores mais comuns são:

Norma euclideana (ou norma L2)

||x||2 = (x12+ x22+ . . . + xn2)1/2

Norma infinito (ou norma do m´aximo)

||x||∞= max 1≤i ≤n|xi|

Normas vetoriais devem satisfazer `as seguintes propriedades:

1 ||x|| > 0 se x 6= 0, ||x|| = 0 se x = 0 2 ||αx|| = |α|||x||, onde α ´e um escalar 3 ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||

(76)

Normas de Matrizes

Normas de matrizes tem que satisfazer a propriedades similares:

1 ||A|| > 0 se A 6= 0, ||A|| = 0 se A = 0 2 ||αA|| = |α|||A||, onde α ´e um escalar 3 ||A + B|| ≤ ||A|| + ||B||

4 ||AB|| ≤ ||A|| ||B|| 5 ||Ax|| ≤ ||A|| ||x||

Iremos fazer uso em diversos momentos da seguinte norma matricial

||A||∞= max 1≤i ≤n n X j =1 |aij| Exemplo A = 4 6 −3 4 ⇒ ||A||∞= max{10, 7} = 10

(77)

A distˆancia entre dois vetores x e y pode ser calculada como ||x − y||2 ou ||x − y||∞

Iremos usar a norma infinito nos algoritmos que iremos descrever. Seja x(k+1)e x(k) duas aproxima¸cões para o vetor solu¸cão x∗de um sistema de equa¸cões lineares. Critério de parada

||x(k+1)_{− x}(k)_|| ∞ ||x(k+1)_|| ∞ = max |x (k+1) i − x (k) i | max |x_i(k+1)| < ε onde ε ´e a precis˜ao desejada (Ex: 10−3).

Na prática também adotamos um número máximo de itera¸cões para evitar que o programa execute indefinidamente, caso o método não convirja para um

determinado problema.

k < kmax

(78)

(79)

Vamos ilustrar a ideia do m´etodo de Jacobi atrav´es de um exemplo. a11x1+ a12x2+ a13x3 = b1

a21x1+ a22x2+ a23x3 = b2

a31x1+ a32x2+ a33x3 = b3

o qual pode ser escrito como

x1= (b1− a12x2− a13x3)/a11

x2= (b2− a21x1− a23x3)/a22

x3= (b3− a31x1− a32x2)/a33

A partir de uma aproxima¸c˜ao inicial

x(0)=    x₁(0) x₂(0) x₃(0)   

(80)

M´

etodo de Jacobi

Calculamos uma nova aproxima¸c˜ao x(1) atrav´es de x₁(1)=b1− a12x2(0)− a13x3(0) /a11 x₂(1)= b2− a21x1(0)− a23x3(0) /a22 x₃(1)=b3− a31x (0) 1 − a32x (0) 2 /a33

Após obter x(1), calculamos x(2) substituindo x(1) no lugar de x(0) na expressão anterior e assim procedemos até que o critério de parada seja satisfeito.

Para um sistema de n equa¸c˜oes e n inc´ognitas, a cada passo k, temos:

1 Para i = 1 : n fa¸ca 2 x_i(k+1) =  bi − i −1 X j =1 aijx (k) j − n X j =i +1 aijx (k) j   , aii ;

(81)

Exemplo

Resolver o seguinte sistema:

4x1+ 0.24x2− 0.08x3 = 8

0.09x1+ 3x2− 0.15x3 = 9

0.04x1− 0.08x2+ 4x3 = 20

usando o m´etodo de Jacobi com vetor inicial x(0) = 0.

Solu¸c˜ao do Exemplo

k 0 1 2 3

x1 0 2 1.92 1.91

x2 0 3 3.19 3.1944

x3 0 5 5.04 5.0446

(82)

M´

etodo de Jacobi

Solu¸cão do Exemplo Fórmula de itera¸cão x₁(k+1)= 2 − 0.06x₂(k)+ 0.02x₃(k) x₂(k+1)= 3 − 0.03x₁(k)+ 0.05x₃(k) x₃(k+1)= 5 − 0.01x₁(k)+ 0.02x₂(k) Passo 1 → x(0) = 0 x₁(1) = 2 − 0.06x₂(0)+ 0.02x₃(0) = 2 x₂(1) = 3 − 0.03x₁(0)+ 0.05x₃(0) = 3 x₃(1) = 5 − 0.01x₁(0)+ 0.02x₂(0) = 5

(83)

Solu¸c˜ao do Exemplo Passo 2 → (x(1))T =2 3 5 x₁(2) = 2 − 0.06(3) + 0.02(5) = 2 − 0.08 = 1.92 x₂(2) = 3 − 0.03(2) + 0.05(5) = 3 + 0.19 = 3.19 x₃(2) = 5 − 0.01(2) + 0.02(3) = 5 + 0.04 = 5.04 Passo 3 → (x(2))T =1.92 3.19 5.04 x₁(3)= 2 − 0.06(3.19) + 0.02(5.04) = 1.91 x₂(3)= 3 − 0.03(1.92) + 0.05(5.04) = 3.1944 x₃(3)= 5 − 0.01(1.92) + 0.02(3.19) = 5.0446 Erro: ||x(3)− x(2)||∞= max{0.01, 0.0044, 0.0046} = 0.01

(84)

Convergˆ

encia do m´

etodo de Jacobi

Para estudar a convergência do método, vamos primeiro escrevê-lo na seguinte forma:

x(k+1) = Bx(k)+ c Para isso, vamos dividir a matriz A como

A = L |{z} triangular inferior + D |{z} diagonal + U |{z} triangular superior

isto ´e, para uma matriz 3 × 3 temos

  a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33  =   0 0 0 a21 0 0 a31 a32 0  +   a11 0 0 0 a22 0 0 0 a33  +   0 a12 a13 0 0 a23 0 0 0  

(85)

Sendo assim o m´etodo de Jacobi pode ser escrito como: Ax = b ⇒ (L + D + U)x = b ⇒ Dx = b − (L + U)x e assim Dx(k+1) = b − (L + U)x(k) x(k+1) = −D−1(L + U)x(k)+ D−1b x(k+1) = BJx(k)+ c

onde para o m´etodo de Jacobi

BJ = −D−1(L + U)

c = D−1b

(86)

Convergˆ

encia do m´

etodo de Jacobi

M´etodo iterativo

x(k+1)= Bx(k)+ c Matriz de itera¸c˜ao B do m´etodo Jacobi

BJ = −D−1(L + U)

Haverá convergência do método se

||B||∞< 1

Vamos analisar agora critérios espec´ıficos para atender ao critério geral dado acima para o método de Jacobi.

(87)

Critério das Linhas Seja Ax = b e seja αk = n X j =1,i 6=j aij aii , para k = 1 : n. Se α = max{αk} < 1, então o método de Jacobi converge

independentemente da aproxima¸c˜ao inicial x(0).

Exemplo

Verificar se a matriz A abaixo satisfaz o crit´erio das linhas.   4 0.24 −0.08 0.09 3 −0.15 0.04 −0.08 4  , α1= 0.24 4 + −0.08 4 = 0.06 + 0.02 = 0.08 α2= 0.09₃ + −0.15₃ = 0.03 + 0.05 = 0.08 α3= 0.04 4 + −0.08 4 = 0.01 + 0.02 = 0.03 α = max{α1, α2, α3} = 0.08 < 1

(88)

Convergˆ

encia do m´

etodo de Jacobi

Uma matriz A ´e estritamente diagonalmente dominante se

n

X

j =1, j 6=i

|a_ij| < |a_ii|, i = 1 : n

Matrizes estritamente diagonalmente dominante satisfazem o crit´erio das linhas

M´etodo de Jacobi converge para matrizes estritamente diagonalmente dominante.

Exemplo de matriz estritamente diagonalmente dominante

A =   10 2 1 1 5 1 2 3 10   |a12| + |a13| = |2| + |1| < |10| = |a11| |a₂₁| + |a₂₃| = |1| + |1| < |5| = |a₂₂| |a₃₁| + |a₃₂| = |2| + |3| < |10| = |a₃₃|

(89)

Exemplo

Resolva o sistema utilizando o m´etodo de Jacobi.   10 2 1 1 5 1 2 3 10     x1 x2 x3  =   7 −8 6   Solu¸c˜ao do Exemplo

Crit´erio das linhas:

α1 = (|a12| + |a13|)/|10| = 0.2 + 0.1 = 0.3 < 1

α2 = (|a21| + |a23|)/|5| = 0.2 + 0.2 = 0.4 < 1

α3 = (|a31| + |a32|)/|10| = 0.2 + 0.3 = 0.5 < 1

Logo α = α3 = 0.5 < 1 e portanto o m´etodo de Jacobi converge.

(90)

Ou ent˜ao basta verificar que a matriz A ´e estritamente diagonalmente dominante.

F´ormula de itera¸c˜ao:

x₁(k+1) = 0.7 − 0.2x₂(k)− 0.1x₃(k) x₂(k+1) = −1.6 − 0.2x₁(k)− 0.2x₃(k) x₃(k+1) = 0.6 − 0.2x₁(k)− 0.3x₂(k)

Assim temos as seguintes itera¸c˜oes para o vetor inicial x(0) _{= 0}

k 1 2 3 4 5

x1 0.7 0.96 0.978 0.9994 0.9979

x2 -1.6 -1.86 -1.98 -1.9888 -1.9996

(91)

M´etodo Iterativo: Gauss-Seidel

(92)

M´

etodo de Gauss-Seidel

Observe no exemplo anterior, que o método de Jacobi, não usa os valores atualizados de x(k) até completar por inteiro a itera¸cão do passo k.

O método de Gauss-Seidel pode ser visto como uma modifica¸cão do método de Jacobi. Nele usaremos a mesma forma de iterar que o método de Jacobi, entretanto vamos aproveitar os cálculos já

atualizados, de outras componentes, para atualizar a componente que est´a sendo calculada.

Dessa forma o valor de x₁(k+1) ser´a usado para calcular x₂(k+1), os valores de x₁(k+1) e x₂(k+1) ser˜ao usados para calcular x₃(k+1), e assim por diante.

(93)

Para um sistema 3 × 3 temos o seguinte esquema: x₁(k+1) = b1− a12x2(k)− a13x3(k) /a11 x₂(k+1) = b2− a21x₁(k+1)− a23x₃(k) /a22 x₃(k+1) = b3− a31x1(k+1)− a32x2(k+1) /a33

No caso geral temos

1 Para i = 1 : n fa¸ca 2 x_i(k+1)=  bi − i −1 X j =1 aijx_j(k+1)− n X j =i +1 aijx_j(k)   , aii ;

(94)

M´

etodo de Gauss-Seidel

Exemplo

Resolver o seguinte sistema:

4x1+ 0.24x2− 0.08x3= 8

0.09x1+ 3x2− 0.15x3= 9

0.04x1− 0.08x2+ 4x3= 20

usando o m´etodo de Gauss-Seidel com vetor inicial x(0)_{= 0.}

F´ormula de itera¸c˜ao (*)

x₁(k+1)= 2 − 0.06x₂(k)+ 0.02x₃(k) x₂(k+1)= 3 − 0.03x₁(k+1)+ 0.05x₃(k) x₃(k+1)= 5 − 0.01x₁(k+1)+ 0.02x₂(k+1)

(95)

F´ormula de itera¸c˜ao (*) x₁(k+1) = 2 − 0.06x₂(k)+ 0.02x₃(k) x₂(k+1) = 3 − 0.03x₁(k+1)+ 0.05x₃(k) x₃(k+1) = 5 − 0.01x₁(k+1)+ 0.02x₂(k+1) Passo 1 → x(0) _{= 0} x₁(1) = 2 − 0.06(0) + 0.02(0) = 2 x₂(1) = 3 − 0.03(2) + 0.05(0) = 3 − 0.06 = 2.94 x₃(1) = 5 − 0.01(2) + 0.02(2.94) = 5.0388

(96)

M´

etodo de Gauss-Seidel

Solu¸c˜ao do Exemplo Passo 2 → (x(1))T =2 2.94 5.0388 x₁(2)= 2 − 0.06(2.94) + 0.02(5.0388) = 1.924376 x₂(2)= 3 − 0.03(1.924376) + 0.05(5.0388) = 3.194209 x₃(2)= 5 − 0.01(1.924376) + 0.02(3.194209) = 5.044640 Passo 3 → (x(2))T =1.924376 3.194209 5.044640 x₁(2)= 2 − 0.06(1.924376) + 0.02(5.04464) = 1.909240 x₂(2)= 3 − 0.03(1.909240) + 0.05(5.04464) = 3.194955 x₃(2)= 5 − 0.01(1.909240) + 0.02(3.194955) = 5.044807

(97)

Para estudar a convergência do método, vamos primeiro escrevê-lo na seguinte forma:

x(k+1) = Bx(k)+ c Para isso, vamos dividir a matriz A como

A = L |{z} triangular inferior + D |{z} diagonal + U |{z} triangular superior

isto ´e, para uma matriz 3 × 3 temos

  a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33  =   0 0 0 a21 0 0 a31 a32 0  +   a11 0 0 0 a22 0 0 0 a33  +   0 a12 a13 0 0 a23 0 0 0  

(98)

Matriz de itera¸c˜

ao do m´

etodo de Gauss-Seidel

Para o m´etodo de Gauss-Seidel temos

(L + D)x(k+1)= −Ux(k)+ b

x(k+1)= −(L + D)−1Ux(k)+ (L + D)−1b x(k+1)= BGSx(k)+ c

onde para o m´etodo de Gauss-Seidel

BGS= −(L + D) −1

U c = (L + D)−1b Ou seja, ambos os m´etodos podem ser escritos como

x(k+1)= Bx(k)+ c onde B ´e chamada de matriz de itera¸c˜ao

BJ = −D −1

(L + U) BGS= −(L + D)−1U

(99)

M´etodo iterativo

x(k+1)= Bx(k)+ c Matriz de itera¸c˜ao B do m´etodo Jacobi

BJ = −D−1(L + U)

Matriz de itera¸c˜ao B do m´etodo Gauss-Seidel

BGS = −(L + D)−1U

Haverá convergência do método se

||B||∞< 1

Vamos analisar agora critérios espec´ıficos para atender ao critério geral dado acima para o método de Jacobi e Gauss-Seidel.

(100)

Convergˆ

encia do m´

etodo de Gauss-Seidel

O método de Gauss-Seidel converge se satisfazer o critério das linhas ou Critério de Sassenfeld

max

1≤i ≤nβi < 1

onde βi s˜ao calculados como

βi =   i −1 X j =1 |a_ij| |aii| βj + n X j =i +1 |a_ij| |aii|  

Exemplo de matriz que satisfaz o crit´erio de Sassenfeld

A =   5 1 1 3 4 1 3 3 6   β1= |0.2| + |0.2| = 0.4 β2= |0.75|(0.4) + |0.25| = 0.3 + 0.25 = 0.55 β3= |0.5|(0.4) + |0.5|(0.55) = 0.2 + 0.275 = 0.475 max βi = max{0.4, 0.55, 0.475} = 0.55 < 1

(101)

Exemplo

Resolva o sistema utilizando o m´etodo de Gauss-Seidel.   5 1 1 3 4 1 3 3 6     x1 x2 x3  =   5 6 0   Solu¸c˜ao do Exemplo

1) A matriz não é estritamente diagonalmente dominante. Nada podemos afirmar sobre a convergência.

2) Crit´erio das linhas:

α1 = (|a12| + |a13|)/|5| = 0.2 + 0.2 = 0.4 < 1

α2 = (|a21| + |a23|)/|4| = 0.75 + 0.25 = 1

α3 = (|a31| + |a32|)/|6| = 0.5 + 0.5 = 1

(102)

3) Crit´erio de Sassenfeld:

β1 = |0.2| + |0.2| = 0.4 β2 = |0.75|(0.4) + |0.25| = 0.3 + 0.25 = 0.55 β3 = |0.5|(0.4) + |0.5|(0.55) = 0.2 + 0.275 = 0.475 Assim max 1≤i ≤nβi = max{0.4, 0.55, 0.475} = 0.55 < 1

Portanto, como o crit´erio de Sassenfeld ´e satisfeito, podemos garantir que o processo de Gauss-Seidel converge para essa matriz.

(103)

F´ormula de itera¸c˜ao:

x₁(k+1) = 1 − 0.2x₂(k)− 0.2x₃(k) x₂(k+1) = 1.5 − 0.75x₁(k+1)− 0.25x₃(k) x₃(k+1) = 0 − 0.5x₁(k+1)− 0.5x₂(k+1)

Usando x(0) = 0 como aproxima¸c˜ao inicial, temos

x₁(1) = 1 − 0.2(0) − 0.2(0) = 1 x₂(1) = 1.5 − 0.75(1) − 0.25(0) = 0.75 x₃(1) = 0 − 0.5(1) − 0.5(0.75)

(104)

Iterando para k = 1, 2, . . . temos

k 1 2 3 4

x1 1.0 1.025 1.0075 1.0016

x2 0.75 0.95 0.9913 0.9987

x3 -0.875 -0.9875 -0.9994 -1.0002

Podemos verificar o erro ||x(4)_{− x}(3)_|| ∞ ||x(4)_|| ∞ = max{|1.0016−1.0075|,|0.9987−0.9913|,|−1.0002+0.9994|}_{max{|1.0016|,|0.9987|,|−1.0002|}} = 0.0074 1.0016 = 0.0074 < 10 −2

(105)

Slides das aulas do Prof. Dr. Bernardo Martins Rocha, DCC-ICE-UFJF.

C´alculo Num´erico, Neide B. Franco, Pearson, 2007.