CAPÍTULO 1
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Objetivos
■ Determinar os limites de funções, gráfica e numericamente.
■ Compreender a definição do limite de uma função e utilizar as propriedades dos limites para calcular limites de funções.
■ Utilizar diversas técnicas analíticas para calcular limites de funções.
■ Calcular limites laterais.
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O limite de uma função
Considere uma mola que se quebrará apenas se um peso de 10 libras ou mais estiver preso a ela.
Para determinar o quanto a mola esticará sem se quebrar, é possível prender pesos progressivamente maiores e medir o comprimento da mola s para cada peso w, como mostra a Figura 1.51.
O limite de uma função
Se o comprimento da mola aproxima- se de um valor de L, então se diz que “o limite de s, à medida que (ou
quando) w tende a (ou se aproxima de) 10, é L”.
Um limite matemático é muito parecido com o limite de uma mola. A notação para um limite é
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Exemplo 2 - Determinação de limites gráfica e numericamente
Determine o limite a.
b. c.
Exemplo 2(a) Solução
Ao observar o gráfico de f, na Figura 1.53(a), parece que f(x) se aproxima de 2 à medida que x se aproxima de 1 pelos dois lados.
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Exemplo 2(a) Solução
Essa conclusão é reforçada pela tabela.
Perceba que não importa que f (x) não seja definido
quando x = 1. O limite depende somente de valores de f (x) próximo a 1, não em 1.
Exemplo 2(b) Solução
Ao observar o gráfico de f, na Figura 1.53(b), pode-se
verificar que f(x) = –1 para todos os valores à esquerda de x = 1, e f(x) = 1 para todos os valores à direita de x = 1
Portanto, f(x) está se aproximando de um valor pela esquerda de x =1 e outro pela direita.
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Exemplo 2(b) Solução
Nesses casos, diz-se que o limite não existe. Essa conclusão é reforçada pela tabela.
Exemplo 2(c) Solução
Ao observar o gráfico de f na Figura 1.53(c), parece que f(x) se aproxima de 1 à medida que x se aproxima de 1 pelos dois lados.
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Exemplo 2(c) Solução
Essa conclusão é reforçada pela tabela. Não importa que f(1) = 0. O limite depende somente de valores de f(x) próximos a 1, não em 1.
Definição do limite de uma função e propriedades dos limites
Existem três ideias importantes que podem ser aprendidas com os Exemplos 1 e 2.
1. Dizer que o limite de f (x) se aproxima de L quando x tende a c significa que o valor de f (x) se aproxima
arbitrariamente do número L ao se escolher valores de x cada vez mais próximos de c.
2. Para que um limite exista, deve-se permitir que x se
aproxime de c por qualquer um dos dois lados de c. Se f(x) se aproxima de um número diferente quando x se aproxima de c pela esquerda do que pela direita, então o limite não existe. [Veja o Exemplo 2(b).]
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Definição do limite de uma função e
propriedades dos limites
3. O valor de f (x) quando x = c não tem influência na
existência ou na não existência do limite de f (x) quando x tende a c.
Por exemplo, no Exemplo 2(a), o limite de f (x) existe quando x tende a 1, muito embora a função f não seja definida para x = 1.
Definição do limite de uma função e
propriedades dos limites
Muitas vezes o limite de f (x), quando x tende a c, é
simplesmente f (c), como mostra o Exemplo 1. Todas as vezes que o limite de f (x), quando x tende a c, for
o limite poderá ser calculado por substituição direta (na próxima seção, veremos que uma função que possui essa propriedade é contínua em c).
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Definição do limite de uma função e propriedades dos limites
Definição do limite de uma função e
propriedades dos limites
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Exemplo 4 - Determinação do limite de uma
função polinomial
Determine o limite: Solução
Definição do limite de uma função e
propriedades dos limites
Esta é uma ilustração do seguinte resultado importante, que afirma que o limite de uma função polinomial pode ser calculado pela substituição direta.
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Exemplo 5 - Determinação do limite de uma
função
Determine o limite:
Solução:
Observe que o valor do numerador e do denominador é zero quando x = 1.
Isso significa que x – 1 é um fator de ambos e que é possível cancelar o fator comum.
Exemplo 5 – Solução
Portanto, a função racional (x3 – 1)/(x – 1) e a função
polinomial x2 + x + 1 coincidem em todos os valores de x,
exceto x = 1. Portanto, é possível aplicar o teorema da substituição.
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Exemplo 5 - Solução
A Figura 1.54 ilustra esse resultado graficamente.
Exemplo 5 - Solução
Observe que os dois gráficos são idênticos, exceto que o gráfico de g contém o ponto (1, 3), ausente no gráfico de f (no gráfico de f da Figura 1.54, o ponto ausente é
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Técnicas de determinação de limites
A técnica utilizada para determinar o limite do Exemplo 4 é chamada de técnica de cancelamento. A validade desta técnica decorre do fato de que quando duas funções
coincidem em tudo, menos em um único número c, as funções devem ter um comportamento de limite idêntico em x = c.
Exemplo 7 - Determinação do limite de uma
função
Determine o limite:
Solução:
A substituição direta falha porque tanto o numerador como o denominador são zero quando x = 0. Nesse caso,
pode-se reescrever a fração racionalizando o numerador.
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Exemplo 7 - Solução
Exemplo 7 - Solução
Agora, utilizando o teorema da substituição, é possível determinar o limite, conforme mostrado.
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Limites laterais
No Exemplo 2(b), foi visto que uma maneira do limite
deixar de existir é quando uma função se aproxima de um valor pela esquerda de c e de outro pela direita.
Esse tipo de comportamento pode ser descrito de maneira mais concisa pelo conceito de limite lateral.
Lê-se o primeiro desses dois limites como “o limite de f (x), quando x tende a c pela esquerda, é L”; e o segundo, “o limite de f (x), quando x tende a c pela direita, é L”.
Exemplo 8- Determinação de limites laterais
Determine o limite x → 0 quando pela esquerda e o limite
x → 0 quando pela direita da função
Solução
Ao observar o gráfico de f, mostrado na Figura 1.56, é possível perceber que
f(x) = –2
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Exemplo 8 - Solução
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Comportamento ilimitado
O Exemplo 10 mostra um limite que não existe porque os limites pela esquerda e pela direita diferem. Outra
importante situação em que um limite não existe é
quando f(x) aumenta ou diminui indefinidamente quando x tende a c.
