Lista3deCálculoI Arquivos de Matemática Professor.Rodrigo.Neves Lista3deCálculoI

FIC/ Cu rs o d e Ma te m á tica 2 0 0 9 – 2 º

P ro fe s s o r: Ro d rigo N e ve s Figu e ire d o d o s S a n to s

Lis ta 3 d e Exe rcício s d e Cá lcu lo I

Resumão do Conteúdo:

Limites Laterais:

Nesta lista iremos nos aprofundar mais um pouco no conceito de limite, trazendo para estudo os conceitos de limites laterais. Estes conceitos servem para tratar da análise de assíntotas de uma função.

Comportamentos Diferentes à Direita e à Esquerda:

Fazendo com que x se aproxime de um número c pela direita (simbolizado como c-_{) e pela esquerda}

(simbolizado por c+_{) deve-se observar que limites por “laterais” diferentes podem apresentar valores}

diferentes. Logicamente, esta “aproximação” se refere à reta real. Neste caso, também dizemos que o limite não existe.

Notação:

Direita = valores maiores que c na reta, isto é, x c+_;

Esquerda = valores menores que c na reta, isto é, x c-_;

Obs1: Este tipo de não-existência de limite é muito comum em funções definidas por várias sentenças (aquelas definidas usando chaves e vários “se`s”), nos pontos em que a equação muda. Porém não é uma situação que sempre deve acontecer ou é obrigatório que aconteça. O fato da função ser definida por partes ou sentenças não implica que o limite nunca vai existir nos pontos de permutação da lei de correspondência.

Definição de Limites Laterais:

Quando x tende no domínio ao número real c pela esquerda, isto é, por valores menores que c, vale que f(x) tende ao número L na imagem, então dizemos que existe o limite lateral à esquerda e ele é igual a L . Matematicamente este fato é indicado por:

1 c

xlim→ −f(x)=L

Quando x tende no domínio ao número real c pela direita, isto é, por valores maiores que c, vale que f(x) tende ao número L na imagem, então dizemos que existe o limite lateral à direita e ele é L .

Matematicamente este fato é indicado por:

2 c

xlim→ +f(x)=L

Os números L e L , são chamados, respectivamente, de limite à esquerda de f(x) em c e limite à di-reita de f(x) em c, e referidos como limites laterais de f(x) em c.

O resultado abaixo faz uma ligação entre a existência do limite usual, do qual estamos acostumados a trabalhar, e a existência dos limites laterais.

Teorema:

O limite da função f(x) quando x → c existe se, e somente se, os limites laterais à direita e à esquer-da existem e são iguais, ou seja:

i) Se lim f(x) lim f(x) L,entãolimf(x) L

c x c

x c

x→ − = → + = → =

ii) Se = ≠ = =∃

→ →

→ −f(x) L L lim+f(x),entãolimf(x) lim

c x c

x 2 1 c

Obs2: Sobre limites de funções definidas por partes: Quando o limite pedido estiver exatamente na fron-teira entre as partes, deve-se calcular o limite à direita e o limite à esquerda, mas como já visto, o limite na fronteira só existirá caso os limites laterais sejam iguais.

Limites Infinitos e Assíntotas Verticais:

Neste módulo iremos aprender a trabalhar com números reais muito grandes em valor absoluto, e entender o significado do termo “infinito”. Também estudaremos as sete formas de indeterminação e a existência de assíntotas verticais no gráfico de funções.

Infinito como Tendência:

Você já perguntou a alguém o que é o infinito? Certamente lhe deram uma resposta poética a res-peito como, o “infinito é algo fascinante” ou “É algo muito além da compreensão humana”. Agora, imagine um número tão alto quanto é possível de se conceber... Pois bem, por maior que seja o número escolhido, ele não é infinito. Infinito é uma tendência, uma forma de representar algo que cresce tanto em valor ab-soluto, que jamais poderíamos atingir.

Porém, não confunda infinito com um número real. O símbolo ∞ representa um ente matemático. Isto porque o infinito não é um “lugar para se chegar”, mas sim um “caminho sem fim para se trilhar”.

Errado: ... o valor “é” infinito.

Correto: ... o valor “está indo” para infinito.

Em cálculo usa-se o termo "infinito" sempre que for preciso lidar com "números gigantescos" ou “números suficientemente grandes” (para que nós já não consigamos mais imaginá-los).

Neste caso, usa-se como notação simbólica operacional, os conceitos de operações básicas definidas sobre o conjunto dos reais para definir o sentido ( ∞ para indicar crescimento positivo sobre a reta real e ∞ para crescimento negativo sobre a reta reta real) da tendência.

Sendo k uma constante real, vale que:

  a) ∞ − = ∞ − ∞ + = ∞ + k k b) ⎩⎨ ⎧ < ∞

+∞ >

− = −∞ × ⎩⎨ ⎧ < ∞

−∞ >

+ = +∞ × 0 k se , 0 k se , ) ( k 0 k se , 0 k se , ) ( k

c) k =0,inclusiveparak=0 ∞

±

d) (+∞)n=+∞

⎩ ⎨ ⎧ ∞ −+∞ = −∞ ímpar é n se par é n se ) ( n e) ⎩⎨ ⎧ < ∞

−∞ >

+ = 0 k se , 0 k se , 0 k f) ⎩ ⎨ ⎧ −∞ = −∞ + −∞ + +∞ =+∞ +∞ ) ( ) ( ) ( ) ( Formas Indeterminadas:

As sete formas clássicas de indeterminação são:

0 0 e 1 , 0 , 0 , , , 0

0 _{∞−∞ ×∞ ∞}

∞

Uma indeterminação significa que qualquer número real pode satisfazer o limite, e sendo assim, nada podemos afirmar sobre seu valor. Logo, a resposta desejada ainda não foi encontrada.

Aparecendo uma destas formas no cálculo de um limite, devem-se adotar técnicas com o intento de encontrar uma expressão equivalente à forma original, a fim de, substituí-la e evitar tal situação, como por exemplo, as técnicas do cancelamento ou da racionalização.

Obs3: Resolver um limite e encontrar uma indeterminação não significa que se pode afirmar se o limite existe ou que não existe. Simplesmente não se sabe, “ainda”, a resposta. Desta forma, nunca deixe uma indeterminação como a resposta final para um problema ou exercício: ela estará incompleta.

Comportamento Ilimitado (Não-Existência do Limite)

Dado que o limite de uma função f(x), quando x c, assume um comportamento ilimitado, ou seja, cresce sem restrições em valor absoluto, dizemos que este limite não existe. Caso em um determinado problema de limite a resposta for ∞ ou ∞, dizemos que a função possui um limite infinito.

Neste caso o problema já está resolvido, só que não existe o limite.

Obs4: Quando calculamos um limite de uma função f(x), com x tendendo c, e encontramos um com-portamento ilimitado, podemos afirmar, com toda a certeza, que o ponto c não faz parte do domínio de f(x). Conseqüentemente, não existe f(c), isto é, a função f não produz imagem do ponto c..

Comportamento Ilimitado à Direita e à Esquerda

Afirmar que uma função possui um comportamento ilimitado em torno de um determinado ponto do domínio é afirmar que quanto mais nos aproximamos dele no domínio, mais a imagem da função se afasta do eixo x, crescendo ou decrescendo.

Porém sobre uma reta podemos nos aproximar de um ponto por dois caminhos diferentes, à direita e à esquerda do ponto. Por outro lado, nada impede que o comportamento ilimitado seja de crescimento por um lado e de decrescimento pelo outro, ou vice-versa. Por isto temos que fazer um estudo através de limitas laterais para analisar o comportamento da função em volta do ponto desejado.

Observe os gráficos abaixo:

Independente dos comportamentos laterais serem iguais ou diferentes, quando um ponto x apresenta uma ilimitação ele é chamado de assíntota vertical.

Geralmente as assíntotas verticais podem ocorrer em pontos para os quais o denominador de uma função se anula, pois a imagem da função se aproxima de uma divisão por zero. Por isto dizemos que as raízes do denominador de uma função são candidatas a assíntota.

Limites no Infinito:

Conforme sabemos, a expressão x ∞ (x tende para infinito) significa que x assume valores superiores a qualquer número real e x ∞ (x tende para menos infinito), da mesma forma, indica que x assume valores menores que qualquer número real.

Com isto estudamos as bordas do gráfico.

Limites no Infinito de Funções Polinomiais:

Seja a função polinomial f x a x a x a x a x a , então é válido que os

limites no infinito desta função dependem somente do termo dominante do polinômio. Em outras palavras

lim_∞f x lim_∞a x

De fato, tal afirmação é facilmente demonstrável.

lim ∞f x lim_∞a x a x a x a x a

lim_∞ x_{x · a x} a x a x a x a

lim_∞x · a x x

a x

x

a x x

a x x

a x

lim_∞x · a a x

a x

a x

a x

lim_∞x · lim_∞a lim_∞a_x lim_∞xa lim_∞xa lim_∞xa

lim_∞x · a

Limites no Infinito de Funções Racionais:

Sejam as funções polinomiais f x a x a x a x a x a , e também a função g(x) =

b x b x b x b x b , então é válido que os limites no infinito da função racional

formada por f(x)/g(x) dependem somente dos termos dominantes dos polinômios. Em outras palavras

lim_{∞g x}f x lim_{∞b x}a x lim_{∞ b · x}a

Devido ao método usado na seção anterior.

Desta forma, podemos definir o seguinte critério para convergência ou divergência dos limites no Infinito de funções racionais:

i) Se m > n então lim ∞ (Grau do denominador é maior que o grau do numerador)

ii) Se m = n então lim ∞ (Grau do denominador é igual ao grau do numerador)

iii)Se m < n então lim ∞ ∞ (Grau do denominador é menor que o grau do numerador)

Assíntotas Horizontais

Dado que o limite de uma função f(x), quando x ∞, assume um comportamento limitado, ou seja, tende a se estabilizar no infinito, manter-se constante, dizemos que existe limite no infinito.

Neste caso, temos uma assíntota horizontal da função.

--- // --- // --- // --- // --- // --- // ---

1. Construa as tabelas e determine ambos os limites laterais:

a)

⎩ ⎨ ⎧

≥ − + −

< +

− =

→ _{x 4x 2, x 2}

2 x , 6 x 4 x ) x ( f ), x ( f

lim ₂

2

2

x =

x 2– _{x 2}+

x 2

f(x)

f(x) f(x)

b) 

⎩ ⎨

⎧ ₌

< ≥ − =

→ x , x 0

0 x , 3 x ) x ( f ), x ( f

lim 2

x f(x c) x f(x d) x f(x 2. Calcu gébricam x x) )

→ f(x),

lim 1 x x x) )

→ f(x),

lim 1 x x x)

ule o limite d mente com o

x f(x ⎩ ⎨ ⎧ + = , x 2 x ) x ( f x f(x) ⎩ ⎨ ⎧ −+ = x 2 x ) x ( f 2 x f(x)

de f(x) quand gráfico a seg

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = ) x ( f 0– x)

<≥1 x 1 x , 2 = 1– > −+1,x≤1

1 x ,

1 ₌

1–

do x tende a guir: > + = < + 2 x , 9 x 2 x , 2 2 x , 1 x 2 2

a 2, usando o

2 2 2 0 1 1

os limites lat

x f( x f(x x f(x erais. Compa

x 0+

f(x)

1+

)

1+

)

are seu resul

3. Calcu gebricam 4. Calcu gebricam 5. Calcu gebricam

6. Calcu limites l

a) l

x

b) l

x

c) l

x

d) l x

e) l

x

ule o limite d mente com o

ule o limite d mente com o

ule o limite d mente com o

ule os seguin aterais).

→ f(x),f(x) lim

1 x

→ f(x),f(x) lim

3 x

→ f(x),f(x) lim

2 x

→ f(x),f(x)

lim 1 x

→ f(x),f(x) lim

1 x

de g(x) quan gráfico a seg

de h(x) quan gráfico a seg

de y(x) quan gráfico a seg

ntes limites, ⎩ ⎨ ⎧ ++ = x , 1 x x , 1 x ) 3 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + = 3 2 x 12 , 2 2 x ) ⎩ ⎨ ⎧ + − − = 4 x x 4 x ) ₂ 2 ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ + = ₂x_x,1,x_x

) ⎩ ⎨ ⎧ − = x , 1 x 2 x , x ) 2 ⎨ ⎧ = ) x ( g = ) x ( h = ) x ( y

do x tende a guir:

do x tende a guir:

do x tende a guir:

, se eles exi

≥<1 1 x > ≤ 3 x , 3 x ≥ − < + 2 x , 2 x 2 x , 6 < ≥ 1 1 > ≤ 1 x 1 ⎩ ⎨ ⎧ ≤ −1, x>0

0 x , 1 ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < = x , x 3 x , x2 ⎩ ⎨ ⎧ ≤ − < = 0 x , 2 0 x , 2

a 0, usando o

a 1, usando o

a 0, usando o

istirem. Cas ≥1

1

os limites lat

os limites lat

os limites lat

o negativo,

terais. Comp

terais. Comp

terais. Comp

justifique s

are seu resu

are seu resu

are seu resu

7. Determine o resultado das seguintes operações simbólicas

a) 3 ∞ =

b) (– 5) · ∞) =

c) 3 ÷ ∞ =

d) 4 ÷ 0 =

e) ∞ =

f) 0 ÷ ∞) =

g) (– 2) · ∞) =

h) (– 1) ÷ 0 =

i) ∞ + _∞ =

8. Calcule os limites abaixo e aponte o tipo de indeterminação, caso ela exista:

a) lim ln x · =

b) lim =

c) lim =

d) lim =

e) lim x =

f) lim =

g) lim x =

h) lim x · sen x =

i) lim cos x =

j) lim cos x =

k) lim =

l) lim √ √ =

9. Calcule os seguintes limites:

b) lim =

c) lim =

d) lim =

e) lim

√ =

f) lim √

| | =

g) lim =

10. O comportamento das seguintes funções em relação a algum tipo de ilimitação. Analise a existência de assíntotas e esboce os gráficos das funções abaixo:

(Sugestão: Não se esqueça de levar em consideração as raízes do numerador da função (*), pois mesmo que existam outras assíntotas na função, ela tem que cruzar o eixo x nestes valores, a menos que haja uma indeterminação. Use o Winplot ou similar para tirar a prova real do esboço do gráfico)

a) 2 x 1 ) x ( f + =

b) ₂

) 2 x ( 1 ) x ( f + = c) 9 x 1 ) x ( f ₂ − = d) 9 x x ) x ( f ₂ − = (*) e) 9 x x ) x ( f ₂ 2 − = (*) f) 2 x x 2 x ) x ( f ₂ 2 − − − = (*) g) 1 x 1 x ) x ( f − + = (*) h) 1 x 1 x ) x ( f 2 + − = (*) i) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ≥ − − < − = 1 x , 1 x 1 x 1 x , 2 x ) x ( f ₂ j) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ + + < + = 1 x , 1 x 1 x 1 x , 1 x ) x ( f 2

a) f x

b) f x

c) f x

d) f x

e) f x

12. Nos exercícios abaixo, verifique se as funções possuem pontos de descontinuidade e classifique-os, caso existam. Obs: Os pontos de descontinuidade surgem em divisões por zero e quebra de sentenças em funções com “se”s.

Neste caso, podem ser classificados como:

1. Assíntotas Verticais: o limite no ponto que causa divisão por zero é + ou – infinito. 2. Buracos: o limite no ponto que causa divisão por zero é um valor real.

3. Saltos: os limites laterais existem, mas são valores diferentes.

4. Ponto Deslocado: os limites laterais existem e são iguais, mas diferem da imagem.

a) f x

b) f x

c) f x

√

d) f x

e) f x

f) f x

g) f x x se x

x se x

h) f x x se x

x se x

13. Os limites de funções de uma variável f(x) podem ser classificados em dois tipos: i) Convergentes,

ii) Divergentes.

Caso o limite de f(x) seja um número real L qualquer, inclusive o zero, ele é dito ser convergente e se afirma que o limite converge para L.

Caso o limite de f(x) tenda para +∞ ou para ∞, dizemos que o limite é divergente.

Observe que uma indeterminação (0/0) não é convergente nem divergente, pois a resposta final para o limite ainda não foi encontrada.

Classifique os limites a seguir como convergentes ou divergentes:

a) lim _√

b) lim √ √ =

c) lim =

d) lim

e) lim

√ =

f) lim √ √ =

g lim

14. Seja a função dada por

f x x_x

a) Determine o limite da imagem de f(x) quando x se aproxima de 1 no domínio.

b) Usando o resultado e o desenvolvimento do item anterior, marque com um X o gráfico que melhor representa a função f(x):

15.

Use limites laterais para indicar se as funções de várias sentenças abaixo possuem saltos em

seus respectivos gráficos. Em caso positivo, indique aonde ocorrerá o salto e quantifique a

distância do mesmo.

a)

b)

16. Determine o resultado dos seguintes limites: ⎩

⎨ ⎧

≥ +− < =

1 x , 1 x 3

1 x , 3 x ) x ( h

2

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

> +

−

≤ ≤

+ <

+ =

4 x , 29 x

4 x 2 , 3 x 2

2 x , 1 x ) x ( f

b) lim ∞x x

c) lim ∞x x

d) lim ∞x x x

e) lim ∞ x x 9

17. Calcule os limites no infinito abaixo:

a) lim =

b) lim =

c) lim =

d) lim =

e) lim =

f) lim =

g) lim =

h) lim =

i) lim =

j) lim =

18.

0 = n – n, ∞ e ;