apostila matematica basica

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1 Apostila de Matemática Básica

Esta apostila tem por finalidade auxiliar os alunos matriculados na disciplina “Matemática Básica – Nivelamento” do Curso de Licenciatura em Matemática do Campus Universitário de Sinop. Nela, estão inseridos os principais conceitos matemáticos em nível básico, sendo requisitos necessários para a compreensão de conteúdos que serão abordados em outras disciplinas do curso. Nela, as definições matemáticas aparecem de forma clara e objetiva, além de apresentar exemplos e vários exercícios para a fixação dos conceitos.

Profa. Ms. Luciana M. Elias de Assis

Sumário

Aula 1 ... 2

Exercícios Aula 1 ... 6

Links videoaulas : Aula 1... 9

Aula 2 ... 12

Aula 3 ... 19

Aula 4 ... 33

Aula 5 ... 37

Aula 6 ... 44

Aula 7 ... 50

Aula 8 ... 55

Aula 9 ... 61

Aula 10 ... 68

Exercícios Aula 10... 69

Aula 11 ... 72

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2 AULA 1

Conjuntos Numéricos

1. Conjunto dos Números Naturais Os números naturais são usados para indicar uma contagem, uma ordem ou um código. A sequência dos números naturais é: 0, 1, 2, 3, ..., e o conjunto que representa esta sequência de números é denotado por:

= {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, }

Conjunto dos Números Inteiros

Com o passar dos tempos os números naturais tornaram-se insuficientes para a resolução de todos os problemas matemáticos e, na busca de suprir essas necessidades, foi criado o conjunto dos números inteiros, que é composto pelos números naturais (inteiros positivos e o zero) e os números inteiros negativos.

O conjunto dos números naturais é denotado por:

= { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, }

Podemos representar os números inteiros em uma reta numérica. Veja:

Módulo, ou valor absoluto de um número inteiro

Podemos determinar na reta numérica, a distância de qualquer ponto em relação à origem (representada pelo zero).

Assim, a distância entre qualquer ponto e a origem da reta numérica é chamanda de

valor absoluto ou módulo de um número associado a esse ponto.

Por exemplo: o valor absoluto do número +4 é 4 (a distância do ponto 4 à origem é 4). Da mesma forma, o módulo de -3 é 3 (a distância do ponto -3 à origem é 3)

Notação de módulo: |-a| = a

Conjunto dos Números Racionais

Os números racionais são todos os números que podem ser colocados na forma de fração, com o numerador e denominador , ou seja, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as frações positivas e negativas.

Pode ser representado por:

= {x | x = }

Exemplos: , ,

Conjunto dos Números Irracionais Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, são números que não podem ser escrito na forma de fração.

Exemplos: Os números abaixo têm uma representação decimal não periódica com infinitas ordens decimais.

= 1,41421356 = 1,73205080 = 3,14155926

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3 Conjunto dos Números Reais

O conjunto dos números reais é a união entre o conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais.

Pode ser representado por:

= = {x | x é racional ou irracional} Diagrama geral

De onde temos:

e

Resumo das notações utilizadas para os conjuntos numéricos

conjunto dos números naturais:

conjunto dos números naturais com exceção do zero:

conjunto dos números inteiros:

conjunto dos números inteiros não nulos:

conjunto dos números inteiros não negativos:

conjunto dos números inteiros positivos:

conjunto dos números inteiros não positivos:

conjunto dos números inteiros negativos:

conjunto dos números racionais:

conjunto dos números racionais não nulos:

conjunto dos números racionais não negativos:

conjunto dos números racionais positivos:

conjunto dos números racionais não positivos:

conjunto dos números racionais negativos:

conjunto dos números reais:

conjunto dos números reais não nulos:

conjunto dos números reais não negativos:

conjunto dos números reais positivos:

conjunto dos números reais não positivos:

conjunto dos números reais negativos:

Intervalos reais

São subconjuntos definidos por desigualdades. Para observarmos os diferentes tipos de intervalos reais, consideramos os números reais a e b, tal que a < b.

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4  Intervalo fechado: ou a b  Intervalo aberto: ou a b

 Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita:

ou

a b

 Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita:

ou

a b

 Intervalo ilimitado à esquerda e fechado à direita:

ou

a

 Intervalo ilimitado à esquerda e aberto à direita:

ou

a

 Intervalo fechado à esquerda e ilimitado à direita:

ou

a

 Intervalo aberto à esquerda e ilimitado à direita:

ou

a

OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS

Estudaremos agora, as quatro operações possíveis no conjunto dos números naturais. Praticamente, toda a matemática é construída a partir dessas operações: adição, subtração, multiplicação e divisão.

Adição de Números Naturais

A primeira operação fundamental na matemática é a adição. Onde esta operação esta ligada a ideia de juntar, acrescentar algo.

Exemplo:

Propriedades da Adição

 Fechamento: A adição no conjunto dos números naturais é fechada, pois a soma de dois números naturais resulta em um número natural.

a + b = c, onde a, b, c Exemplo: 19 + 3 = 22

 Associativa: A adição no conjunto dos números naturais é associativa, pois na adição de três ou mais parcelas de números naturais quaisquer, é possível

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5 associar de quaisquer modos, conforme

ilustrado a seguir.

(a + b) + c = a + (b + c)

Exemplo: (2 + 6) + 1= 9 = 2 + (6 +1)

 Elemento Neutro: No conjunto dos números naturais, existe o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado será o próprio número natural. Assim, a + 0 = a

Exemplo: 5 + 0 = 5

 Comutativa: No conjunto dos números naturais, a adição é comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma. Assim:

a + b = b + a

Exemplo: 6 + 10 = 16 = 10 + 6

Subtração de Números Naturais

A subtração é o ato ou efeito de subtrair algo, ou seja, tirar ou diminuir alguma coisa. O resultado obtido através dessa operação e denominado diferença.

Exemplo:

Diante da operação de subtração, são retiradas algumas propriedades.

 O conjunto não é fechado em relação à operação de subtração, pois 4 – 5 não pertence a .

 O conjunto não possui elemento neutro, em relação à operação de subtração:

6 – 0 = 6 Entretanto: 0 – 6 6 Logo: 0 – 6 6 – 0

 A subtração no conjunto não admite a propriedade comutativa, pois: 4 – 5 5 - 4.

 A subtração no conjunto não aceita a propriedade associativa, pois (10 – 4) – 2

10 – (4 -2)

Multiplicação de Números Naturais

É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicador ou parcela, tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominado multiplicador.

Exemplo: 4 vezes 9 é somar o número 9 quatro vezes:

O resultado da multiplicação é denominado produto e os números dados que geram o produto, são chamados fatores. Usamos x ou •, para representar a multiplicação.

Propriedades da Multiplicação

 Fechamento: A multiplicação é fechada no conjunto dos números naturais , pois realizando o produto de dois ou mais números naturais, o resultado estará em

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6  Associativa: Na multiplicação, podemos

associar 3 ou mais fatores de modos diferentes. Assim,

(a b) c = a (b c) Por exemplo:

(3 4) 5 = 3 (4 5) = 60

 Elemento Neutro: No conjunto dos números naturais existe um elemento neutro para a multiplicação que é 1. Qualquer que seja o número natural n, tem-se que: 1 n = n 1 = n

Por exemplo: 1 7 = 7 1 = 7

 Comutativa: Quando multiplicamos dois números naturais quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, Assim,

a b = b a

Por exemplo: 3 4 = 4 3 = 12

 Distributiva: Multiplicando um número natural pela soma de dois números naturais, é o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar as resultados obtidos. Assim,

a (p + q) = a p + a q

Por exemplo: 6 (5 + 3) = 6 5 + 6 3 = 48

Divisão de Números Naturais

Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo.

No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível obter um número natural como resultado na divisão de outros dois números naturais.

Por exemplo: 8 3 = 2,66 Logo 2,66 não pertence ao conjunto .

Relação essencial numa divisão de números naturais

1. Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor que o dividendo.

Por exemplo: 35 : 7 = 5

2. Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é produto do divisor pelo quociente.

Por exemplo: 35 = 5 x 7

3. A divisão de um número natural n por zero não é possível pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, então poderíamos escrever:

n 0 = q e isso significaria que: n = 0 x q = 0

o que não é correto! Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível.

EXERCÍCIOS – Aula 1

01) Pensei em dois números pares cuja soma é 184. Um deles é o dobro do outro mais 4 unidades. Em que números pensei?

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7 02) A diferença entre dois números é 103.

Quais podem ser esses números? (tente encontrar pelo menos 5)

03) Um fazendeiro tem 1394 vacas. Se vender 484 delas para seu compadre, ambos ficarão com a mesma quantidade de vacas. Quantas vacas o compadre possui?

04) Responda: Quantas unidades há em 43 dúzias de bananas? Quantos dias há em 50 meses? (considere um mês com 30 dias)

05) Em um trem com 8 vagões de passageiros, cada vagão tem 28 poltronas de dois lugares cada uma. Além disso, permite-se que, em cada vagão, até 20 pessoas possam viajar em pé. Qual é a lotação máxima permitida nesse trem?

06) Compare e escreva igualdades aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição (ou à subtração):

a) 6.(10 + 5) = b) 4.(8 – 7 ) = c) 5.(a + 8) = d) 3.4 + 3. 7 =

07) Em uma semana, Juca vendeu 65 caixas completas de picolés e 8 picolés avulsos. Cada caixa completa contém uma dúzia de picolés.

a) Quantos picolés ele vendeu nessa semana?

b) Se sua cota semanal de vendas é de 80 caixas completas, quantos picolés faltam para ele atingi-la?

08) Marcos pensou em um número e, em seguida, dividiu-o por 8. A divisão foi exata e o quociente foi 15. Em qual número ele pensou?

09) Numa divisão, o quociente é 18, o resto é 7 e o divisor é 45. Calcule o dividendo. 10) Uma loja de produtos de limpeza possui

em seu estoque 130 caixas de detergente. Cada caixa contém duas dúzias de frascos. Um cliente fez uma encomenda de 1200 frascos. Quantas caixas restaram no estoque dessa loja?

11) Célia e Maria colecionam papéis de carta. Célia tem o triplo da quantidade de papéis de Maria. As duas juntas possuem 244 papéis de carta. Quanto tem cada uma?

12) Três amigos brincavam de adivinhar quantas figurinhas havia na coleção de Anne. Seus palpites foram 294, 363 e 356. Um deles errou por 33 figurinhas, outro errou por 36 e outro por 29, quantas figurinhas Anne tem?

a) 323 b) 261 c) 352 d) 327 e) 341

13) A professora Daniela deseja presentear os 22 alunos da sua classe com lápis e canetas. Ela dispõe de 49 lápis e 32 canetas. Sabendo que nenhum aluno ficou sem receber presentes e que todos os presentes foram distribuídos, o que podemos afirmar com certeza?

(a) Algum aluno ficou sem lápis.

(b) Todos os alunos receberam pelo menos duas canetas.

(c) Algum aluno recebeu mais de três itens.

(d) Nenhum aluno recebeu 10 lápis. (e) todos receberam o mesmo número de itens.

14) Uma cidade ainda não tem iluminação elétrica, portanto, nas casas usam-se velas à noite. Na casa da Joana, usa-se uma vela por noite, sem queimá-la totalmente, e com quatro desses tocos de velas, Joana fabrica uma nova vela. Durante quantas noites Joana poderá iluminar sua casa dispondo de 39 velas? (a) 10 (b) 48 (c) 51 (d) 39 (e) 50 15) Responda:

a) Qual é o menor número natural? b) Existe o maior número natural?

c) Quantos números naturais existem? É possível responder?

16) Responda:

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8 b) Quais os números naturais entre -3 e 5?

c) Quais os números inteiros entre -5 e 5?

17) Pedro pensou em um número inteiro. Multiplicou o valor absoluto por 10 e obteve 250. Em que número Pedro pensou?

18) O antecessor de -100 é: a) 99

b) 101 c) -99

19) Complete usando ou um número: a) -20 ___ ; b) 67 ___ ; c) -22 ___ 20) O que ocorre com os módulos de dois

números opostos ou simétricos? 21) Responda:

a) Qual é o valor de –(-35)?

b) Qual é o oposto do oposto de -86? 22) Qual é o valor destas expressões? a) |+27| + |+35| =

b) |-81| + |-35| = c) |-13| - |-15| = d) |-21| - |+35| =

23) As letras m e n representam números inteiros. Se m = |-49| e n = |+66|, então: a) Qual é o valor de m? E o valor de n? b) Qual é o valor da expressão m – n? 24) Responda:

a) Que número está mais distante da origem: -900 ou -1000?

b) Que número está mais próximo da origem: -60 ou 200? Qual deles é o maior? 25) Calcule: a) (+12) + (-8) = b) (-25) + (-3) = c) (+ 34) – (-56) = d) (-320) – (-320) = e) (+2) . (-3) = f) (-4) . (-3) =

26) As letras a, b, x e y represntam números naturais.

a) Se o produto (x.y) é 30, então qual é o valor de 2.(x.y)?

b) Se a soma (a + b) é 10, então qual é o valor de 7.(a + b)?

c) Se a diferença (x – y) é 50, então qual é o valor de 6.(x – y)?

27) O produto de dois números é 40.

a) Multiplicando-se um dos fatores por 3, qual será o novo produto?

b) Multiplicando-se os dois fatores por 3, qual será o novo produto?

c) Multiplicando-se um dos fatores por 2 e o outro por 5, qual será o novo produto? 28) A soma de dois números é 80.

Multiplicando-se cada um desses números por 6, qual será a nova soma? 29) Considere que as letras a e b

representam números naturais e que a + b = 45 Responda:

a) Qual é o valor de (a + b) + 100? b) Qual é o valor de (a + b) - 100?

30) Quatro números naturais são consecutivos. Um deles é 99. Nessa situação podemos afirmar que a soma desses números:

a) Pode ser maior que 400. b) É sempre maior que 400 c) É sempre menor que 400.

d) Nenhuma das anteriores é verdadeira. 31) Nesta figura, as letras x, y e z

representam números naturais. Podemos afirmar que:

y 402 x 1000 z a) x, y e z são escritos com 4 algarismos. b) y< x < 1000

c) x < y < z d) x + y + 402 = z

32) Luis tem uma coleção de bolinhas de gude. Ontem ele ganhou 24 bolinhas novas de seu primo e ficou com 150.

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9 Desse modo, podemos afirmar que, antes

de ganhar esse presente de seu primo, Luís tinha:

a) 124 bolinhas b) 125 bolinhas c) 174 bolinhas

33) As letras a e b representam números naturais e a+b=500. Então, podemos afirmar que (a + b) 20 é igual a:

a) 5000 20; b) 25; c) 2500; d) 250 34) Represente cada conjunto escrevendo

seus elementos entre chaves. a) b) c) d) 35) Represente geometricamente: a) b) c) d) e) f)

36) Escreva o intervalo correspondente a cada representação geométrica:

a) -3 4 b) 10 c) 2 11 d) -15 0 e) -23 -5 Gabarito: 1) 60 e 124 2) 176 e 73; 183 e 80, etc 3) 426 vacas 4) 516; 1500 dias 5) 608 pessoas 6) – 7) 788; 172 8) 120 9) 817 10) 80 caixas 11) Célia: 183 e Maria:61 12) 327 13) c 14) 48

15) a) 0; b) não; c) infinitos; não 16) a) não; b) 0,1,2,3,4,5; c) -5,-4,...,5 17) -25 ou 25 18) -99 19) a) ; b) ; c) 20) são iguais 21) a) 35; b) -86; 22) a) 62; b) 116; c) -2; d) -14 23) a) 49;66 b) -17 24) a) -1000 e b) -60;200 25) a) 4; b) -28; c) 90; d) 0; e) -6; d) 12 26) a) 60; b) 70; c) 300 27) a) 120; b) 360; c) 400 28) 480 29) a)145; b) 30) a 31) b 32) c 33) b 34) –; 35) – 36)a) [3,4], b) ]- ,10]; c) ]2,11]; d) ]-15, 0[;e) [-23, -5[;

Links videoaulas: aula 1 Videoaula 1 – Conjuntos Numéricos

http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu

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10 Videoaula 2 – Conjuntos Numéricos 1

gues/conjuntos-numericos-1

Videoaula 3 – Adição Básica

http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/adicao-basica

Videoaula 4 – Adição nível 2

http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/adicao-nivel-2-video-1

Videoaula 5 – Soma nível 2

gues/soma-nivel-2-video-21

http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/soma-nivel-31

http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/soma-nivel-41

Videoaula 8 – Somando números negativos http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu

gues/somando-numeros-negativos

Videoaula 9 – subtração, método alternativo mental

gues/subtracao-metodo-alternativo-mental

Videoaula 10 – subtração Básica

gues/subtracao-basica

Videoaula 11 – subtração nível 2

http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/subtracao-nivel-2

Videoaula 14 – Método de multiplicação por grades

gues/metodo-de-multiplicacao-por-grades1

Videoaula 15 – Multiplicação Básica

http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/multiplicacao-basica1

Videoaula 16 – Multiplicação nível 2 - tabuadas

http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/multiplicacao-nivel-2-tabuadas

Videoaula 17 – Multiplicação nível 3 – tabuadas 10, 11 e 12

http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/multiplicacao-nivel-3-tabuadas-do-10-11-e-121

Videoaula 18 – Multiplicação nível 4 – dois dígitos vezes um digito

http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/multiplicacao-nivel-4-dois-digitos-vezes-um-digito1

Videoaula 19 – Multiplicação nível 5 – dois dígitos vezes dois dígitos

http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/multiplicacao-nivel-5-dois-digitos-vezes-dois-digitos1

Videoaula 20 – Multiplicação nível 6 – múltiplos dígitos

http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/multiplicacao-nivel-6-multiplos-digitos1 Videoaula 21 – Multiplicação nível 7 – mais exemplos

gues/multiplicacao-nivel-7-mais-exemplos1

Videoaula 22 – multiplicação (porque negativo vezes negativo da positivo)

http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/por-que-negativo-vezes-negativo-da-positivo

Videoaula 23 – divisão básica

http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/divisao-basica1

Videoaula 24 – divisão entre números racionais

gues/divisao-de-numeros-racionais

Videoaula 25 – divisão nível 2

http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/divisao-nivel-21

Videoaula 26 – divisão nível 3

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11 Videoaula 27 – divisão nível 4

Videoaula 28 – divisão parcial de quociente http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/divisao-parcial-de-quociente

Videoaula 29 – propriedade inversa da adição

gues/propriedade-inversa-da-adicao

Videoaula 30 – propriedade inversa da multiplicação http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/propriedade-inversa-da-multiplicacao Videoaula 31 – propriedade do 1 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/propriedades-do-numero-1

Videoaula 32 – propriedade do 1 – segundo exemplo

http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/propriedades-do-numero-1-segundo-exemplo

Videoaula 33 – propriedade associativa da adição

gues/propriedade-associativa-da-adicao

Videoaula 34 – propriedade associativa da multiplicação

gues/propriedade-associativa-da-multiplicacao

Videoaula 35 – propriedade comutativa da adição

gues/propriedade-comutativa-da-adicao

Videoaula 36 – propriedade comutativa da multiplicação

gues/propriedade-comutativa-da-multiplicacao

Videoaula 37 – a propriedade distributiva http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/a-propriedade-distributiva

Videoaula 38 – propriedade distributiva – exemplo 1

gues/propriedade-distributiva-exemplo-1

Videoaula 39 – propriedade do zero

http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/propriedade-do-zero

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Aula 2

CÁLCULO DE EXPRESSÕES NUMÉRICAS Para calcular corretamente qualquer expressão numérica, é necessário obedecer algumas prioridades. Então, devemos ter em mente que devemos fazer os cálculos na seguinte ordem:

1. parênteses( ), colchetes [ ] e chaves{ } 2. potência e raiz

3. multiplicação e divisão 4. soma e subtração

Obs.:

i) Sinais nas operações de multiplicação e divisão de números reais:

x + -

+ + -

- - +

ii) Na soma e subtração entre números reais prevalece o sinal do maior.

Exemplos: a) 15 + (-4) 3 – 10 = =15 – 12 – 10 = =-7 b) 5² + – [ 20 : (-4) + 3] = =25 + 3 – [(-5) + 3] = =25 + 3 – [-2] = =25 + 3 + 2 = =30 c) 2 + {3 – [1 + (2 – 5 + 4)] + 8} = =2 + {3 – [1 + 1] +8} = =2 + {3 – 2 + 8} = =2 + 9 = =11 d) 36 + 2{25 + [18 – (5 – 2)3]} = =36 + 2{25 + [18 – (3)3]} = =36 +2{25 + [18 – 9]} = =36 +2{25 + 9} = =36 + 2 34 = =36 + 68 = =104 e) [(5² - 6 2²)3 + (13 – 7)² : 3] :5 = =[(25 – 6 4)3 + 6² : 3] :5 = =[(25 – 24)3 + 36 :3] :5 = =[1 3 + 12] :5 = =[3 + 12] : 5 = =15 : 5 = 3

Introdução à aritmética dos Números Números Primos

Chamamos de número primo qualquer número natural n>1 que tenha apenas dois divisores diferentes: 1 e ele próprio.

Os números que têm mais de dois divisores são chamados de números compostos.

Exemplos:

a) 23 é um número primo. Seus únicos divisores são: 1 e 23.

b) 42 é um número composto. Além de ser divisível por 1 e 42, é também divisível por 2, 3, 6, 7, 14 e 21.

Reconhecendo números primos Crivo de Eratóstenes

O Crivo de Eratóstenes foi um dos primeiros métodos conhecidos para se encontrar números primos, que consiste em organizar os números inteiros positivos a partir do número 2, em ordem crescente, numa tabela composta por números de 2 a n, e remover os múltiplos de cada primo determinado.

(13)

13 Logo, aparecerão nessa sequência números

que não serão múltiplos dos anteriores e, portanto, não serão removidos da tabela. Estes números serão os números primos procurados.

Inicialmente, colocamos na tabela, uma sequência de inteiros positivos numerados de 2 a 100 conforme segue:

Aplica-se o conceito de número primo para o inteiro positivo 2. Sabendo-se que o número 2 é um número primo, marca-se na tabela todos os números que sejam múltiplos de 2; O primeiro número da sequência que aparecer sem estar marcado será um número primo, que neste caso, é o número 3. Em seguida, marca-se todos os números que sejam múltiplos de 3;

O próximo número que aparecer sem estar marcado, que neste caso, é o número 5, será o nosso terceiro número primo da sequência numérica da tabela.

Seguindo este raciocínio um número finito de vezes, é possível ao final determinar todos os números primos p compreendidos entre 2 e 100 da tabela acima.

Obs: é possível ainda, criar uma sequência de números primos acima de 100 a partir do crivo de Eratóstenes.

Além disso, para saber se um número é primo, podemos utilizar o seguinte algoritmo:

1º) Dado um número natural n, calcule . Se a raiz for exata, significa que temos um número quadrado perfeito e, portanto composto. Se a raiz quadrada não for exata, pegue somente a parte inteira do número obtido.

2º) Divida n por todos os naturais maiores do que 1 até chegar ao número obtido a partir do calculo da raiz quadrada de n.

3º) Se n não for divisível por nenhum dos números da sequência iniciada em 2 e terminada no maior número inteiro menor do que , dizemos que este número n é primo. Caso exista algum divisor nessa sequência, então n será composto.

Por exemplo: Verifique se n=1167 é primo. 1º)

2º) Seja 34 o maior natural menor do que

3º) Dividindo 1167 por 2, 3, 4, 5, 6, ...., 34 temos que 3 é um divisor de 1167.

Portanto,1167 não é um número primo, pois 389 x 3 = 1167

Decomposição em fatores primos

Um número composto pode ser decomposto em fatores primos. sendo utilizado o método das divisões sucessivas. Exemplo:

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14 630 = 2 x x 5 x 7

Números primos entre si

Dois números são denominados primos entre si, quando o único divisor comum entre os dois é o número 1.

Exemplo: Determine os divisores comuns de 15 e 16

D(15) = {1, 3, 5, 15} D(16) = {1, 2, 4, 8, 16}

Portanto o único divisor comum de 15 e 16 é 1.

Máximo divisor comum (m.d.c) O máximo divisor comum de dois ou mais números, na forma fatorada, é o maior divisor comum entre eles.

Cálculo do m.d.c.

 Um dos modos de calcular o m.d.c de dois ou mais números consiste em utilizar a decomposição desses números em fatores primos.

1º) Decompor os números em fatores primos; 2º) Realizar o produto dos fatores primos comuns (os fatores primos comuns são considerados com o menor expoente).

Exemplo:

Acompanhe o calculo do m.d.c entre 84 e 90: 84 = 2 x 2x 3 x 7 = 36 =

90 = 2 x 3 x 3 x 5 = 90 =

O m.d.c é o produto dos fatores primos comuns com menor expoente (neste caso, os expoentes são iguais nos dois números, então, basta pegar o fator primo de qualquer um dos números) . Portanto, m.d.c (84,90) =

2 x 3 = 6

O m.d.c de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente.  Calculo do m.d.c pelo processo das

divisões sucessivas.

Neste processo efetuamos sucessivas divisões utilizando o algoritmo da divisão, até chegar a uma divisão exata. O último resto não nulo das sucessivas divisões será o m.d.c. procurado.

Exemplo: Calcule m.d.c (48,30)

1. Dividimos o número maior pelo número menor;

48 30 = 1 (com resto 18)

2. Realize uma nova divisão entre o divisor 30 com o resto 18 obtido.

Repita este processo até que o resto seja zero.

Assim:

dividendo = quociente x divisor + resto

48 = 1 x 30 + 18

30 = 1 x 18 + 12

18 = 1 x 12 + 6

12 = 2 x 6 + 0

3. O último resto não nulo obtido a partir das sucessivas divisões feitas acima corresponde ao número 6. Portanto, m.d.c (48,30) = 6

Mínimo múltiplo comum (m.m.c)

O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais é o menor dos múltiplos comuns a eles, diferentes de zero.

Ou ainda:

O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números escritos na forma fatorada, é o produto dos fatores comuns e não comuns desses números. Os fatores comuns são considerados com o maior expoente.

(15)

15 Cálculo do m.m.c

Para calcular o m.m.c de dois ou mais números podemos usar:

 Decomposição simultânea em fatores primos.

Exemplo:

Calcular o m.m.c entre 18,25 e 30.

m.m.c (18,25,30) = = = 450

 Decompondo cada número

separadamente.

1º) decompor em fatores primos cada número;

2º) multiplicar os fatores primos comuns e não comuns e, entre os fatores comuns, escolher aquele que apresenta maior expoente. Exemplo: 18 = 2 x 32 30 = 2 x 3 x 5 25 = 52 Então, mmc (18,25,30) = 2 x 32 x 52= 450 EXERCÍCIOS – Aula 2

01) Três crianças com idades acima de um ano estão brincando em um pátio. Sabe-se que o produto das idades delas é igual a 105. Qual é a idade da mais velha? Justifique sua resposta.

02) Dentre os números abaixo, existe um que é o resultado da multiplicação do número quatro com certo número primo. Qual é este número?

a) 252 b) 84 c) 200 d) 204 e) 124 03) O professor de Matemática disse que tinha uma certa quantidade de dinheiro que era divisível por 5, por 6 e por 7. É claro que essa quantidade pode ser zero. Mas, se ela não for nula, qual é o seu menor valor? 04) Em uma mercearia o proprietário deseja estocar 72 garrafas de água, 48 de suco e 36 de mel em caixas com o maior número possível de garrafas, sem misturá-las e sem que sobre ou falte garrafa. Qual deve ser a quantidade de garrafas por caixa?

05) Pense em um número natural e em seu dobro. Diga qual é o mmc dos dois e dê um exemplo.

06) Indique se é verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das seguintes afirmações:

a) Todos os números pares são múltiplos de dois.

b) Qualquer número é divisor de si próprio. c) Todos os múltiplos de três são números ímpares.

d) O número um é múltiplo de todos os números naturais.

e) O conjunto dos múltiplos de sete, é um conjunto infinito.

f) Um é divisor de qualquer número

(16)

16 07) Paulo está doente. O médico receitou-lhe

um comprimido de 6 em 6 horas e uma colher de xarope de 4 em 4 horas. Seu pai deu-lhe um comprimido e uma colher de xarope à zero hora (meia noite). Qual é o primeiro horário em que Paulo voltará a tomar comprimido e xarope ao mesmo tempo?

08) Uma escada tem 30 degraus. Rubinho está subindo essa escada de 3 em 3 degraus e Felício de 2 em 2 degraus. Responda: a) Algum deles vai pisar no 15º degrau? b) Algum deles vai pisar no 23º degrau? c) Algum deles vai pisar no 18º degrau? d) Em quais degraus os dois irão pisar juntos?

09) Daniel escreveu a lista, em ordem crescente, de todos os números inteiros de 1 a 100 que são múltiplos de 7 ou tem o algarismo 7. Os três primeiro números da lista são 7, 14 e 17. Quantos números possui essa lista?

a) 28; b) 29; c) 30; d) 31; e) 32

10) De que forma explícita podemos escrever o conjunto de todos os múltiplos de um número natural n?

11) Quantos elementos possui e como é escrito o conjunto dos múltiplos do elemento 0?

12) Para obter os divisores de um número natural a, basta saber quais os elementos que, multiplicados entre si, têm por resultado o número a. Com base nessa afirmação, obtenha o conjunto de divisores de cada um dos números: 13, 18, 25, 32 e 60.

13) Conhecendo um método para identificar os números primos, verifique quais dos seguintes números são primos:

a) 49; b) 37; c) 12; d) 11

14) Qual é o menor número primo com dois algarismos?

15) Qual é o menor número primo com dois algarismos diferentes?

16) Exiba todos os números primos existentes entre 10 e 20?

17) Decompondo o número 192 em fatores primos encontramos: a) três fatores 2 b) cinco fatores 2 c) seis fatores 2 d) dois fatores 3 e) um fator 3

18) Usando a decomposição em fatores primos calcule: a) mdc ( 28, 70 ) b) mmc ( 49, 15 ) c) mmc ( 32, 56 ) d) mmc ( 48, 72 ) e) mmc ( 28, 70 ) f) mmc ( 12, 14, 16 ) g) mdc ( 60, 46 ) h) mdc ( 64, 80, 52 )

19) Indique, dentre estas opções, aquela que apresenta todas as informações corretas: a) 12 é múltiplo de 2,3 e de 9;

b) 2, 3 e 7 são divisores de 7; c) 2,3 e 6 são divisores de 12; d) 12 é múltiplo de 24 e 39.

20) Determine apenas o sinal de cada produto:

a) (-5).(+2).(-2).(+3).(-3) b) (-1).(+3).(-7).(+2).(+5)

c) (-27).(+118).(+76).(-17).(+125)

21) Qual é o quociente da divisão de -204 pelo oposto de -12?

22) Observe este produto: (+14).(-65) = -910 a) Qual é o valor do quociente (-910) (-65)? b) Qual é o valor do quociente (-910) (+14)?

23) Calcule mentalmente e anote o resultado: a) (-18) (+6) =

b) (-35) (-5) = c) (+70) (+7) = d) (-49) (+7) =

24) Decomponha -60 em um produto de dois números inteiros. Apresente no mínimo três respostas diferentes.

25) O produto de dois números inteiros é 900. Um deles é -25, qual é o outro?

26) Calcule o quociente do oposto do oposto de -768 por -16.

(17)

17 27) A letra n representa um número inteiro.

Descubra o valor de n nesta igualdade: n + (- 25) = - 8

28) O dobro de um número inteiro é igual a -150. Descubra que número é esse.

29) Resolva as expressões numéricas:

a) (12 + 37) 5 = b) 5 + 2 4 – 9 : 3 = c) 507 – (123 : 3) = d) [100 + (6² - 23) 7] = e) 80 – 5(57 – 18) : (9 + 4)7 = f) {[ + (50 : 5) – (- 3)] + 45} = g) 91 + 5823 : 647 = h) 6(10000 + 100 + 1) – 6(3 7 13 37) = i) [(1 + 2) : 3 + 4] : 5 + 6 = j) 25 + {3³ : 9 + [3² 5 – 3(2³ - 5)]} k) (-2)³ + (-3)² - 25 = l) 24 6 + {[89 – 30 7] (5 + 8) 6}= m) [30 (9 – 6)] + [30 : (9 + 6)]= n) 5(8 + 15 – 7 + 23 +3) = o) {20 + [12 + 3(6 – 2) – 8] 7} = p) 3(5 +3) – [(12 + 4²) : 2] =

30) Dividindo 100 por 9, o resto encontrado é diferente de zero. De acordo com essas informações, responda.

a) Qual o resto da divisão de 100 por 9? b) 100 é múltiplo de 9?

c) Qual o primeiro múltiplo de 9 antes e após 100?

31) Um livro tem 190 páginas. Li 78 e quero termina-lo em 4 dias, lendo o mesmo número de páginas em cada dia. Quantas páginas lerei por dia?

32) Uma quitanda recebeu uma remessa de 25 caixas de ovos. Cada caixa contém 10 dúzias. Quantas cartelas, com 30 ovos cada uma podem ser formadas com essa quantidade?

33) Ao final de um dia de trabalho de três garçons, um deles contou 24 reais de gorjeta, o segundo 57 reais e o terceiro

recebeu 39 reais. Como eles sempre dividem a gorjeta por igual, quantos reais cada um recebeu nesse dia?

34) Resova:

a) 2 + 3 x 5 : 4 – 3 =

b) 30 . 2 + 5 – (12 : 3) + 5 . 4 = c) 4.(5 + 4 . 4) – 2.(8 – 3) . 12 : 4 =

35) Coloque V (verdadeiro) ou F (falso). a) ( ) 1000 = 7 x 142 + 4.

b) ( ) 200 é múltiplo de 8. c) ( ) 169 = 13 x 13. d) ( )12 x 12 = 144.

35) Resolva as expressões numéricas: a) (125 + 85) · 16 = b) 621 − (50 ÷ 5) = c) 5 + 3 · 2 − 6 ÷ 2 = d) (3 · 3 + 4 · 4 + 5 · 5) − 24 ÷ 3 ÷ 4 = e) (10 + 5) · 2 − (5 + 5) ÷ 2 = f) (6 · 3 + 2 · 2 + 5 · 0) + 12 ÷ 3 = g) 2 · {[20 · (3 + 4) − 5 · (1 + 3)] − 3} = h) 1000 − [(2 · 4 − 6) + (2 + 6 · 4)] = i) [6+(9÷3)·(2+2+42)·170·(40÷8−3)]÷1−2 = j) 24 · 6 + {[89 − 30 · 7] · (5 + 8) · 6} = k) 2 · [−3 + (5 − 6)] = l) [−(−3) − 5 − (+1)] · [10 ÷ (−5)] = m) 60 + 2 · {[4 · (6 + 2) − 10] + 12} = n) [(4 + 16 · 2) · 5 − 10] · 100 = o) {10 + [5 · (4 + 2 · 5) − 8] · 2} − 100 = p) 80 − 5 · (28 − 6 · 4) + 6 − 3 · 4 = q) 4 · (10 + 20 + 15 + 30) = r) (10 · 6 + 12 · 4 + 5 · 8) − 40 = s) [6 · (3 · 4−2 · 5)−4]+3 · (4−2)−(10÷2) = t) 67 + {50 · [70 ÷ (27 + 8) + 18 ÷ 2] + 21} = u) [30 · (9 − 6)] + [30 ÷ (9 + 6)] = v) 58 − [20 − (3 · 4 − 2) ÷ 5] = w) 40 + 2 · [20 − (6 + 4 · 7) ÷ 2] =

36) Escreva a expressão numérica associada às operações indicadas:

a) Adicionei 10 com 18 e multipliquei o resultado por 2.

b) Adicionei 10 com 8 e dividi o resultado por 2.

c) Subtraí 20 de 50 e multipliquei a diferença por 3.

d) Subtraí 20 de 50 e dividi a diferença por 5.

37) Apresente uma expressão numérica que resolva o problema a seguir:

(18)

18 O Álbum de figurinhas de Giuliano contém 10

folhas com espaço para 6 figurinhas, 12 folhas para 4 figurinhas e 5 folhas para 8 figurinhas. Se Giuliano já colou 40 figurinhas, quantas ainda faltam para completar o álbum?

38) Numa divisão, o quociente é 12, o divisor vale 15 e o resto, o maior possível.

a) Qual o resto? b) Qual o dividendo?

39) Carlos dividiu 1000 por 12 e encontrou resto diferente de zero. De acordo com essa informação, responda.

a) 1000 é múltiplo de 12?

b) Qual é o resto da divisão de 1000 por 12? c) Qual o primeiro múltiplo de 12 após 1000?

Links de videoaulas – aula 2: Videoaula 01 –introdução a ordem das operações

gues/introducao-a-ordem-das-operacoes

Videoaula 02 –ordem das operações http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu

gues/ordem-das-operacoes

Videoaula 03 –ordem das operações 1 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/ordem-das-operacoes-1

Videoaula 04 – exemplo mais complexo sobre a ordem das operações

http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/exemplo-mais-complexo-sobre-ordem-das-operacoes

Videoaula 05 – números primos

gues/numeros-primos

Videoaula 06 – o Teorema Fundamental da Aritmética

gues/o-teorema-fundamental-da-aritmetica

Videoaula 07 – reconhecendo números primos

http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/reconhecendo-numeros-primos

Videoaula 08 – encontrando os divisores de um número

http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/encontrando-os-divisores-de-um-numero

Videoaula 09 – divisores comuns - exercícios http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu

gues/divisores-comuns-exercicios

Videoaula 10 – máximo divisor comum (mdc) www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/

maximo-divisor-comum-mdc

Videoaula 11 – encontrando denominadores comuns

gues/encontrando-denominadores-comuns

Videoaula 12 – mínimo múltiplo comum (mmc)

gues/minimo-multiplo-comum1

Videoaula 13 – testes de divisibilidade por 2, 3, 4, 5,6,9 e 10

http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/testes-de-divisibilidade-para-2-3-4-5-6-9-10

(19)

19

Aula 3

Representações Decimais Frações Decimais

São frações em que o denominador é uma potência de 10.

Exemplos:

Toda fração decimal pode ser escrita na forma decimal (escrita numérica com vírgula)

Para uma melhor compreensão vamos ver como funciona o nosso sistema de numeração.

O sistema de numeração decimal é posicional, isto é, o valor do algarismo depende da posição que ele ocupa no numeral conforme segue.

.... Unidades de Milhar centena dezena Unidade ....

Cada posição da esquerda para a direita corresponde a um grupo 10 vezes menor que o anterior.

Por exemplo: Numeral descrito com potências positivas de 10:

Se prosseguirmos com o mesmo padrão, criando ordens à direita da unidade, teremos: .... Unidades , Décimos Centésimos Milésimos ....

Assim:

 Registramos a décima parte da unidade como 0,1, que é a forma decimal de .

 A centésima parte da unidade corresponde a 0,01:

 A milésima parte da unidade corresponde a 0,001:

Assim, se continuarmos uma casa a direita da casa das unidades, ela deve representar uma quantidade 10 vezes menor, ou seja, representar o “décimo”.

Por exemplo: usamos as décimas partes da

unidade, , que são

potências negativas de 10, para representar as frações.

Exemplo:

Transformando uma fração decimal na forma decimal finita

Coloca-se uma vírgula para

separar a parte inteira da parte

(20)

20 A representação decimal de um número

racional consiste em escrever o numerador e separar à direita da vírgula, tantas casas quantos são os zeros do denominador. Exemplos:

a) b)

c)

OBS: Quando a quantidade de algarismos do numerador não é suficiente para colocar a vírgula, acrescentamos zero à esquerda do número.

Exemplos:

a) b)

Fique atento....

A fração pode ser escrita na forma mais simples, como: , onde 1 representa a parte inteira e 27 representa a parte decimal.

Esta notação subentende que a fração pode se decomposta na seguinte forma:

Transformando um número na forma decimal finita em uma fração decimal

Para obter um número racional a partir de sua representação decimal basta escrever uma fração em que:

• O numerador é o número decimal sem a vírgula.

• O denominador é o número 1 seguido de tantos zeros quantos forem os algarismos do número decimal depois da vírgula.

Exemplos: a)

b) c)

OBS: O número de casas depois da vírgula é igual ao número de zeros do denominador.

Propriedades:

Zeros após o último algarismo significativo: Um número decimal não se altera quando se acrescenta ou se retira um ou mais zeros à direita do último algarismo não nulo de sua parte decimal.

Exemplos:

a) 0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,5000

b) 1,002 = 1,0020 = 1,00200

Multiplicação por uma potência de 10: Para multiplicar um número decimal por 10, por 100, por 1000, basta deslocar a vírgula para a direita uma, duas, ou três casas decimais. Exemplos: a) 7,4 x 10 = 74 b) 7,4 x 100 = 740 c) 7,4 x 1000 = 7400

Divisão por uma potência de 10: Para dividir um número decimal por 10, 100, 1000,

(21)

21 etc, basta deslocar a vírgula para a esquerda

uma, duas, três, .... casas decimais. Exemplos:

a) 247,5 10 = 24,75 b) 247,5 100 = 2,475

c) 247,5 1000 = 0,2475

Leitura dos números com representação decimal

Exemplos:

0,6 = seis décimos

0,37 = trinta e sete centésimos

0,189 = cento e oitenta e nove milésimos 3,7 = três inteiros e sete décimos

13,45 = treze inteiros e quarenta e cinco centésimos

130,824 = cento e trinta inteiros e oitocentos e vinte e quatro milésimos

Comparação entre números na forma decimal

Para compararmos dois números escritos na forma decimal, primeiro comparamos as partes inteiras. O maior número será aquele que tiver a maior parte inteira.

Exemplo: 2,12 >1,98

Se as partes inteiras forem iguais, comparamos as ordens dos décimos. Se estas forem iguais, comparamos as ordens dos centésimos e assim por diante, até encontrarmos a ordem que seja ocupada por algarismos diferentes. O maior número será aquele que tiver o algarismo dessa ordem com maior valor.

Exemplo: 1,34 <1,39 pois

u d c 1, 3 4 1, 3 9

iguais iguais 9>4

Obs: Para compararmos números racionais ou racionais na forma decimal que são negativos, basta compararmos os valores absolutos dos números.

Valor absoluto ou módulo de um número é a distância do ponto que o representa até a origem.

Exemplo: Determine o módulo de - 3.

O módulo de -3 é 3, pois -3 está a 3 unidades de distância do ponto de abscissa zero.

Notação: |-3| = 3

Exemplo: Determine qual número é menor: ?

Como os números são negativos, comparamos os módulos. O número que possui maior módulo é o menor deles.

Observe que: e .

Assim, e e

(22)

22 Operações com números na forma

decimal

Adição de números na forma decimal Para adicionar números na forma decimal basta realizar os seguintes passos:

- iguale o número de casas decimais dos números a serem somados, acrescentando zeros. Dessa forma, as vírgulas ficarão alinhadas;

- depois some milésimos, centésimos, décimos, unidades e coloque todas as vírgulas alinhadas. Exemplos: a) 0,3 + 0,81= 1,11 0,30 + 0,81 --- 1,11 b) 1,42 + 2,03 = 3,45 1,42 + 2,03 --- 3,45 c) 7,4 + 1,23 + 3,122= 11,752 7,400 + 1,230 3,122 --- 11,752

Subtração de números na forma decimal A subtração de números na forma decimal é efetuada de maneira análoga a adição. Exemplos: a) 4,4 - 1,21=3,19 4,40 - 1,21 --- 3,19 b) 9,1 - 4,323=4,777 9,100 - 4,323 --- 4,777

Multiplicação de números na forma decimal

Para compreender como a multiplicação entre números na forma decimal, vejamos um exemplo:

Uma torneira despeja 13,4 litros de água por minuto em um tanque. Mantendo a mesma vazão, quantos litros de água essa torneira despejará em 17 minutos?

Solução: Podemos resolver este problema de duas maneiras diferentes:

1ª maneira: transformando os decimais em frações

2ª maneira: multiplicando 13,4 por 10, calculando 17x134 e dividindo o resultado por 10.

Em 17 minutos, a torneira despejará 227,8 litros de água.

(23)

23 Exemplo: 4,21 x 2,1= 8,841

Divisão de números na forma decimal Na divisão de números a forma decimal, o dividendo e o divisor devem ter o mesmo número de casas decimais. Devemos igualá-las antes de começar a divisão.

Por exemplo: Faça a divisão de 42,5 por 5. Para realizar a divisão entre esses números, temos 2 opções:

1ª) transformar os números que estão na forma decimal em uma fração.

Feito isso, basta dividir 425 por cinquenta.

2ª) Utilizar o algoritmo da divisão.

Neste caso, como 42,5 tem uma casa decimal e o divisor não tem nenhuma, igualamos as casas decimais escrevendo o divisor 5 como 5,0.

Exemplos: a) 7,2 3,51 =

Observe que o número de casas decimais é o mesmo, pois 7,2=7,20. Para efetuar a divisão, basta eliminar as vírgulas de ambos os números e e dividi-los normalmente. b) 11,7 2,34

O número de casas decimais é o mesmo, pois 11,7=11,70. Para efetuar a divisão, basta eliminar as vírgulas de ambos os números e dividi-los normalmente.

c) 23 7 =

Observe que após dividir 23 por 7, o resto desta divisão é 2. Assim, como 2 é menor do que 7, temos que adicionar um zero em 2 e, dessa forma, acrescentamos uma vírgula no quociente. Além disso, a divisão não é exata, ou seja, o número 3,2 é um número que representa um quociente aproximado por falta, até o décimo. Podemos continuar a divisão obtendo mais casas decimais para o número 3,2.

Frações

Fração pode ser entendida como sendo um número que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade ou um inteiro.

(24)

24 Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza

inteira e a dividirmos em quatro partes iguais, cada parte representará uma fração (um quarto) da pizza.

Então, uma fração significa dividir algo em partes iguais. Assim: indica , sendo a e b números naturais, e . O número a representa o numerador e o número b representa o denominador.

Exemplo:

Considerando fração

Temos que a unidade foi dividida em quatro partes. Conforme a figura:

1/4 1/4

A parte sombreada indica uma parte da figura, que representa

Leitura de frações Metade (um meio) Quatro quintos Três sétimos

Dois doze avos

Frações equivalentes

Duas ou mais frações que representam a mesma quantidade de uma grandeza são chamadas frações equivalentes.

Exemplo:

Luiz e Otávio ganharam barras de chocolate do mesmo tamanho. Luiz dividiu seu chocolate em 6 partes iguais e comeu 4 delas. Otávio preferiu dividir o seu em três partes iguais e comeu 2 partes. Quem comeu mais chocolates?

Solução:

Observamos que os dois comeram quantidades iguais:

Otávio comeu do chocolate e Luiz comeu do chocolate conforme ilustrado a seguir:

As frações e representam a mesma parte da unidade e, por isso, são frações equivalentes.

Indicamos assim: =

Como reconhecer frações equivalentes?

Para saber se e , por exemplo, são equivalentes, precedemos da seguinte maneira:

1º Multiplicamos o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda fração:

(25)

25 2º Multiplicamos o denominador da primeira

fração pelo numerador da segunda fração:

3º Comparamos os resultados obtidos. Se obtermos dois produtos iguais, as frações são equivalentes:

9 x 8 = 72 = 12 x 6 Portanto concluímos que: = OBS:

- Duas frações que possuem a mesma forma irredutível são equivalentes.

- Quando multiplicamos ou dividimos os termos de uma fração por um mesmo número natural, diferente de zero, obtemos uma fração equivalente à fração inicial. Simplificação de frações

Simplificar frações é o mesmo que escrevê-la em uma forma mais simples, para que a mesma se torne mais fácil de ser manipulada.

A simplificação pode ser feita através dos processos de divisão sucessiva ou pela fatoração.

1) A divisão sucessiva corresponde a dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número.

Exemplo:

2) A fatoração corresponde em obter o

máximo divisor comum entre o numerador e o denominador e dividir ambos por esse valor.

Exemplo: Simplifique .

Como m.d.c. (36,60) = 12, então:

Tipos de Frações

Fração propria: é aquela em que o numerador é menor que o denominador. Ex.: (1 2 )

Fração impropria: é aquela em que o numerador é maior ou igual que o denominador.

Exemplo:

a)

( 9 5 )

b)

( 2 = 2 )

Propriedades das Frações

Uma fração não se altera, quando se multiplica seus dois termos pelo mesmo número, sendo ele diferente de zero, ou mesmo, fazendo a divisão dessa fração pelo mesmo divisor comum.

Exemplos: a)

b)

Uma fração é alterada quando é adicionado ou subtraido um valor igual tanto do numerador quanto do denominador.

Exemplos: a)

b)

Operações fundamentais com frações Adição: Há dois casos possiveis:

(26)

26 Neste caso, somamos os numeradores e

conservamos o valor do denominador. Exemplos:

a)

b)

2º) Frações com denominadores diferentes. Neste caso, reduzimos as frações ao mesmo denominador comum e, em seguida procedemos como no caso anterior.

Para reduzir duas ou mais frações ao mesmo denominador comum, procedemos do seguinte modo:

-Calculamos o mmc dos denominadores. Esse mmc será o menor denominador comum.

-Dividimos o denominador comum pelo denominador de cada fração e multiplicamos o resultado pelo numerador dessa fração. Exemplo: Reduza as frações , ao mesmo denominador comum.

Como mmc(3,5,6)=30 então:

Logo temos que: =

Exemplo: Usando a redução ao mesmo denominador comum, calcule:

a) =

Como mmc (4,2) = 4, então,

Subtração: Procede-se de maneira análoga à adição.

Por exemplo:

1º) Frações com denominadores iguais. Exemplo:

2º) Frações com denominadores diferentes. Exemplo:

Como mmc (2,6) = 6, então:

Multiplicação: O produto de duas ou mais frações resulta em uma fração cujo numerador é a multiplicação dos numeradores das frações a serem multiplicadas e o denominador é a multiplicação dos denominadores das frações a serem multiplicadas.

Exemplos: a)

b)

Inverso Multiplicativo:

Toda fração (número racional) diferente de zero possui um inverso multiplicativo.

Exemplo: é o inverso de , pois:

Para que um número seja o inverso multiplicativo de outro número, o produto entre eles deverá ser igual a 1.

(27)

27

EXERCÍCIOS – Aula 3

Divisão: Para que haja a divisão entre frações, multiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda fração.

Exemplo: a)

As frações e a reta numérica As frações podem ser representadas geometricamente na reta numerada.

Sejamos um exemplo: Obtenha a representação geométrica das frações

.

Quando os números estão na forma fracionária, dividimos o segmento de reta que representa a unidade de referência em partes iguais, conforme o denominador da fração: Dividimos a unidade em 2 partes iguais

Dividimos a unidade em 3 partes iguais

Dividimos a unidade em 6 partes iguais

Representando esses três números em uma mesma reta numerada, teremos:

01) Escreva por extenso, os seguintes números decimais: a) 4, 4 b) 0, 25 c) 3, 456 d) 2, 034 e) 15, 200 f) 25, 63 g) 65, 354 h) 78, 1234 i) 321, 225 j) 154, 890 k) 759, 1233 l) 564, 2000 m) 410, 6 n) 11, 312 o) 0, 005

02) Efetue as adições e subtrações: a) 12, 48 + 19 = b) 12, 5 + 0, 07 = c) 12, 8 + 3, 27 = d) 31, 3 + 29, 7 = e) 107, 03 + 32, 7 = f) 83, 92 + 16, 08 = g) 275, 04 + 129, 3 = h) 94, 28 + 36, 571 = i) 189, 76 + 183, 24 = j) 13, 273 + 2, 48 = k) 85, 3 − 23, 1 = l) 97, 42 − 31, 3 =

(28)

28 m) 250, 03 − 117, 4 = n) 431, 2 − 148, 13 = o) 400 − 23, 72 = p) 1050, 37 − 673, 89 = q) 3 − 1, 07 = r) 98 − 39, 73 = s) 43, 87 − 17 = t) 193 − 15, 03 =

03) Efetue as multiplicações e divisões: a) 200 × 0, 3 = b) 130 × 1, 27 = c) 93, 4 × 5 = d) 208, 06 × 3, 15 = e) 0, 3 × 0, 7 = f) 112, 21 × 3, 12 = g) 12, 1 × 4, 3 = h) 243, 5 × 2, 53 = i) 357 × 0, 5 = j) 793 × 0, 07 = k) 3 ÷ 2 = l) 21 ÷ 2 = m) 7 ÷ 50 = n) 9, 6 ÷ 3, 2 = o) 4064 ÷ 3, 2 = p) 1, 5 ÷ 2 = q) 4, 8 ÷ 30 = r) 1, 776 ÷ 4, 8 = s) 7, 502 ÷ 12, 4 = t) 0, 906 ÷ 3 = u) 50, 20 ÷ 5 = v) 21, 73 ÷ 1, 06 = w) 35, 28 ÷ 9, 8 = 04) Efetue as expressões: a) 18 − (7, 4 − 3, 5 + 2) = b) 18 − (7, 4 − 3, 5 + 2) · 2 = c) 5 · [18 − (7, 4 − 3, 5 + 2) · 2] = d) 5 · [18 − (7, 4 − 3, 5 + 2) · 2] − 12, 33 = e) 3 − (0, 7 + 0, 4) · 2 = f) 1, 5 · 2 − (2 − 0, 5 · 2) = g) 1 − (0, 7 + 0, 3 · 0, 7) = 05) Efetue: a) 36, 9 x 721 = b) 36, 9 x 7, 21 = c) 0, 369 x 7, 21 = d) 3, 69 x 7, 21 = e) 3, 69 x 0, 721 = f) 0, 369 x 0, 721 = g) 1, 2 0, 08 = h) 3, 2 x 0, 25 = i) 0, 15 x 0, 12 = j) 123, 45679 x 0, 9 =

06) Se um número racional está na forma fracionária e um outro está na forma decimal, é possível compará-los, escrevendo, por exemplo, a fração na forma decimal. Pode-se, também, escrever o número decimal na forma fracionária e efetuar a comparação com o número que está na forma fracionária. Qual é o maior número: 0,815 ou ?

07) Compare os números a seguir, colocando <, > ou =

a)

b) c)

08) Represente as frações na forma decimal: a) b) c) d) e) f)

09) Converta os números que estão forma decimal para a forma de fração irredutível: a) 0,4 b) 1,2 c) 0,065 d) 3,75 e) 0,125 f) 0,025

10) Paulo Pintou de uma figura que representa um inteiro. Represente na forma decimal a parte não pintada.

11) Identifique os decimais equivalentes a 1,2:

a) 102; b) 1,20; c) 1,200; d) 1,0020

12) Coloque uma vírgula no número 25314 de modo a obter:

a) um número menor que 3 b) um número maior que 100

c) um número maior que 2500 e menor que 2600.

(29)

29 13) Pensei em um número, adicionei 0,73 e

obtive 1,27. Em que número pensei?

14) Um reservatório de água tem um vazamento e perde 0,15 litro por hora. Supondo que o vazamento continue no mesmo ritmo e que o reservatório continue recebendo água, responda:

a) quantos litros esse reservatório perderá em 27 horas?

b) quantos litros esse reservatório perderá em uma semana? 15) Simplifique as frações: a) b) c) d) 16) Calcule: a) = b) = c) = d) = e) = f) = g) = h) = i) = 17) Em julho de 1969, os astronautas americanos Armstrong e Aldrin foram os primeiros homens a pisar na Lua, lá permanecendo cerca de 21 horas. Mais tarde, o segundo grupo que pisou na Lua permaneceu cerca de uma vez e meia o tempo dos primeiros. Quantas horas o segundo grupo permaneceu na Lua?

18) Responda:

a) Quantos dias correspondem a da semana?

b) Quantos dias correspondem a do mês? c) Quantas horas correspondem a do dia? d) Quantos minutos correspondem a de hora?

e) Quantos anos correspondem a de século? 19) Qual é o quociente? a) 28,5 0,15 b) 0,625 c) 10,24 3,2 d) 3,408 0,04 e) 1,743 24,9

(resolva este exercício utilizando a divisão pelo método da chave e também resolva-o convertendo os decimais em fração para fazer divisão entre frações)

20) Cálcule o quociente aproximado com uma casa decimal após a vírgula.

a) 38 b) 138 c) 267 45

21) A parede de uma cozinha tem 5,7 m de comprimento. Ela será revestida com azulejos de 0,15 m por 0,15 m. quantos azulejos inteiros poderão ser colocados em casa fila?

22) Nesta igualdade n 0,07 = 2, a letra n representa um número racional. Qual é o valor de n?

23) Determine qual número é menor:

23) Transforme as frações mistas a seguir em frações impróprias:

a) b)

(30)

30 c)

24) Converta cada fração decimal em número decimal. a) 3 10 ₌ b) 5 100 = c) 7 1000 = d) 56 10 = e) 43 1000 = f) 1234 10 = g) 51005 100 = h) 57803 100 =

25) Coloque os números racionais em ordem crescente:

____<____<____<_____<____<____

Links videoaulas – aula 3 Videoaula 1 – valor posicional 1

http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/valor-posicional-1

Videoaula 2 – valor posicional 2

Videoaula 3 – valor posicional 3

Videoaula 4 – aproximando números inteiros 1

gues/aproximando-numeros-inteiros-1

Videoaula 7 – aproximando valores decimais http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu

gues/aproximando-valores-decimais

Videoaula 8 – comparando decimais

gues/comparando-decimais

Videoaula 9 – pontos em uma reta numérica http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu

gues/pontos-em-uma-reta-numerica

Videoaula 10 – posição dos valores decimais http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu

gues/posicao-dos-valores-decimais

Videoaula 11 – posição dos valores decimais 2

http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/posicao-dos-valores-decimais-2

Videoaula 12 – convertendo decimais para frações 1 – exemplo 1

http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/convertendo-decimais-para-fracoes-1-exemplo-1

(31)

31 Videoaula 16 – convertendo decimais para

frações 2 – exemplo 2

Videoaula 17 – convertendo frações em decimais

http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/convertendo-fracoes-em-decimais Videoaula 18 – convertendo frações para decimais (exemplo 1)

http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/convertendo-fracoes-para-decimais-exemplo-1

Videoaula 19 – convertendo frações para decimais (exemplo 2)

http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/convertendo-fracoes-para-decimais-exemplo-2

Videoaula 20 – decimais e frações

http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/decimais-e-fracoes

Videoaula 21 – decimais na reta numérica http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu

gues/decimais-na-reta-numerica

Videoaula 22 – ordenando expressões numéricas

gues/ordenando-expressoes-numericas1

Videoaula 23 – dividindo decimais

http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/dividindo-decimais

Videoaula 24 – dividindo decimais 2.1 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu

gues/dividindo-numeros-decimais-21

Videoaula 25 – multiplicando decimais http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/multiplicacao-nivel-8-multiplicando-decimais1

Videoaula 26 – multiplicando decimais por potências de 10

http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/multiplicando-numeros-decimais-por-potencias-de-10

Videoaula 27 – somando números reais - aplicação

gues/somando-numeros-reais-aplicacao

Videoaula 28– subtraindo problemas com decimais

http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/subtraindo-problemas-com-decimais Videoaula 29 – frações próprias e impróprias http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/fracoes-proprias-e-improprias

Videoaula 30 –frações equivalentes

http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/fracoes-equivalentes

Videoaula 31 – exemplo de frações equivalentes

gues/exemplo-de-fracoes-equivalentes

Videoaula 32 – numerador e denominador de uma fração

http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/numerador-e-denominador-de-uma-fracao

Videoaula 33 – adição de números racionais http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu

gues/adicao-de-numeros-racionais

Videoaula 34 – alterar um numero misto para uma fração impropria

http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/alterar-um-numero-misto-para-uma-fracao-impropria

Videoaula 35 – adicionando e subtraindo números mistos -exemplo 1

gues/adicionando-e-subtraindo-numeros-mistos-05-exemplo-1

Videoaula 36 – adicionando e subtraindo números mistos – exemplo 2

gues/adicionando-e-subtraindo-numeros-mistos-05-exemplo-2

Videoaula 37 – adicionando e subtraindo números mistos 1 – exemplo 1

http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/adicionando-e-subtraindo-numeros-mistos-1-exemplo-1