Limites Trigonométricos Resolvidos
Sete páginas e 34 limites resolvidos
Usar o limite fundamental e alguns artifícios :
lim 10 = → x senx x
1.
x x x sen lim 0 →= ? à
x x x sen lim 0 →=
0
0
, é uma indeterminação.
x x x sen lim 0 →=
x x x sen 1 lim 0 →=
x x x sen lim 1 0 →= 1 logo
x x x sen lim 0 →= 1
2.
x x x 4 sen lim 0 →= ? à
x x x 4 sen lim 0 →=
0 0à
x x x 4 4 sen . 4 lim 0 →= 4.
y y y sen lim 0 →=4.1= 4 logo
x x x 4 sen lim 0 →=4
3.
x x x 2 5 sen lim 0 →= ? à
→ x = x x 5 5 sen . 2 5 lim 0 → y = y y sen . 2 5 lim 0 2 5logo
x x x 2 5 sen lim 0 →=
2 54.
nx mx x sen lim 0 →= ? à
nx mx x sen lim 0 →=
mx mx n m x sen . lim 0 →=
n m.
y y y sen lim 0 →=
n m.1=
n mlogo
nx mx x sen lim 0 →=
n m5.
x x x sen2 3 sen lim 0 →= ? à
x x x sen2 3 sen lim 0 →=
→ = x x x x x sen2 3 sen lim 0 → = x x x x x 2 2 sen . 2 3 3 sen . 3 lim 0.
2 3 2 2 sen lim 3 3 sen lim 0 0 = → → x x x x x x.
.1 2 3 sen lim sen lim 0 0 = → → t t y y t y=
2 3logo
x x x sen2 3 sen lim 0 →=
2 36.
sennx senmx x 0 lim →= ? à
nx mx x sen sen lim 0 →=
x nx x mx x sen sen lim 0 →=
nx nx n mx mx m x sen . sen . lim 0 →=
nx nx mx mx n m x sen sen . lim 0 →=
n mLogo
sennx senmx x 0 lim →=
n m7.
= → x tgx x 0 lim? à
= → x tgx x 0 lim 0 0à
= → x tgx x 0 lim = → x x x x cos sen lim 0 → x x = x x 1 . cos sen lim 0 x x x x cos 1 . sen lim 0 →=
x x x x x cos 1 lim . sen lim 0 0 → →= 1
Logo
→ x = tgx x 0 lim1
8.
( )
1 1 lim 2 2 1 − − → a a tg a= ? à
( )
1 1 lim 2 2 1 − − → a a tg a=
0 0à Fazendo
→ → − = 0 1 , 1 2 t x a tà
( )
t t tg t 0 lim →=1
logo
( )
1 1 lim 2 2 1 − − → a a tg a=1
Limites Trigonométricos Resolvidos
Sete páginas e 34 limites resolvidos
9.
x x x x x sen2 3 sen lim 0 + − →= ? à
x x x x x sen2 3 sen lim 0 + − →=
0 0à
( )
x x x x x f 2 sen 3 sen + − ==
+ − x x x x x x 5 sen 1 . 3 sen 1 .=
+ − x x x x x x . 5 5 sen . 5 1 . . 3 3 sen . 3 1 .=
x x x x . 5 5 sen . 5 1 . 3 3 sen . 3 1 + −à
0 lim → x x x x x . 5 5 sen . 5 1 . 3 3 sen . 3 1 + −=
5 1 3 1 + −=
6 2 −=
3 1 −logo
x x x x x sen2 3 sen lim 0 + − →=
3 1 −10.
3 0 sen lim x x tgx x − →= ? à
0 3 sen lim x x tgx x − →=
x x x x x x x 1 cos 1 . sen . cos 1 . sen lim 2 2 0 + →=
2 1( )
3sen x x tgx x f = −=
3 sen cos sen x x x x −=
cos3 cos . sen sen x x x x x−=
(
)
x x x x cos . cos 1 . sen 3 −=
x x x x x cos cos 1 . 1 . sen 2 −=
x x x x x x x cos 1 cos 1 . cos cos 1 . 1 . sen 2 + + −=
x x x x x x cos 1 1 . cos 1 . cos 1 . sen 2 2 + −=
x x x x x x cos 1 1 . sen . cos 1 . sen 2 2 +Logo
3 0 sen lim x x tgx x − →=
2 111.
3 0 sen 1 1 lim x x tgx x + − + →=? à
x tgx x x tgx x 1 1 sen 1 . sen lim 3 0 + + + − →=
x tgx x x x x x x x 1 1 sen 1 . cos 1 1 . sen . cos 1 . sen lim 2 2 0 + + + + →=
2 1 . 2 1 . 1 1 . 1 1 . 1=
4 1( )
1 31 x senx tgx x f = + − +=
x tgx x x tgx sen 1 1 1 . sen 1 1 3 + + + − − +=
x tgx x x tgx sen 1 1 1 . sen 3 + + + − 3 0 sen 1 1 lim x x tgx x + − + →=
4 112.
a x a x a x − − → sen sen lim= ? à
a x a x a x − − → sen sen lim=
− + − → 2 . 2 2 cos . 2 sen 2 lim a x a x a x a x=
1 2 cos . . 2 . 2 ) 2 sen( 2 lim + − − → a x a x a x a x=
a cosLogo
a x a x a x − − → sen sen lim= cosa
Limites Trigonométricos Resolvidos
Sete páginas e 34 limites resolvidos
13.
(
)
a x a x a sen sen lim 0 − + →= ? à
(
)
a x a x a sen sen lim 0 − + →=
1 2 cos . . 2 . 2 2 sen 2 lim + + − + − → x a x a x x a x a a=
1 2 2 cos . . 2 . 2 2 sen 2 lim + → a x a a a a=
x cosLogo
(
)
a x a x a sen sen lim 0 − + →=cosx
14.
(
)
a x a x a cos cos lim 0 − + →= ? à
(
)
a x a x a cos cos lim 0 − + →=
a x a x x a x a − − + + − → 2 sen . 2 sen 2 lim 0=
− − + − → 2 . 2 2 sen . 2 2 sen . 2 lim 0 a a a x a=
− − + − → 2 2 sen . 2 2 sen lim 0 a a a x a=
x sen −Logo
(
)
a x a x a cos cos lim 0 − + →=-senx
15.
a x a x a x − − → sec sec lim= ? à
a x a x a x − − → sec sec lim=
a x a x a x − − → cos 1 cos 1 lim=
a x a x x a a x − − → cos . cos cos cos lim=
(
x a)
x a x a a x .cos .cos cos cos lim − − →=
(
x a)
x a x a x a a x .cos .cos 2 sen . 2 sen . 2 lim − − + − →=
a x x a x a x a a x cos .cos 1 . 2 . 2 2 sen . 1 2 sen . 2 lim − − − + − →=
a x x a x a x a a x cos .cos 1 . 2 2 sen . 1 2 sen lim − − + →=
a a a cos . cos 1 . 1 . 1 sen=
a a a cos 1 . cos sen=
tga sec
.
a
Logo
a x a x a x − − → sec sec
lim
=
tga sec
.
a
16.
x x x 1 sec lim 2 0 − →= ? à
x x x 1 sec lim 2 0 − →=
(
x)
x x x x cos 1 1 . cos 1 . sen 1 lim 2 2 0 + − →=
−
2
( )
x x x f cos 1 1 2 − ==
x x x cos 1 cos 2 −=
(
x)
x x cos 1 . 1 cos . 2 − −=
(
)
(
)
(
x)
x x x x cos 1 cos 1 . cos 1 . cos 1 1 2 + + − −=
x 1 1 cos 1 1 2 −=
sen x 1 1 1 2Limites Trigonométricos Resolvidos
Sete páginas e 34 limites resolvidos
17.
tgx gx x − − → 1 cot 1 lim 4 π= ? à
tgx gx x − − → 1 cot 1 lim 4 π=
tgx tgx x − − → 1 1 1 lim 4 π=
tgx tgx tgx x − − → 1 1 lim 4 π=
tgx tgx tgx x − − − → 1 ) 1 .( 1 lim 4 π=
x tgx 1 lim 4 − →π= 1
−
Logo
tgx gx x − − → 1 cot 1 lim 4 π= -1
18.
x x x 2 3 0 sen cos 1 lim − →= ? à
x x x 2 3 0 sen cos 1 lim − →=
(
)
(
)
x x x x x 2 2 0 1 cos cos cos 1 . cos 1 lim − + + − →=
(
)
(
)
(
x)(
x)
x x x x 1 cos .1 cos cos cos 1 . cos 1 lim 2 0 − + + + − →=
x x x x 1 cos cos cos 1 lim 2 0 + + + →=
2 3Logo
x x x 2 3 0 sen cos 1 lim − →=
2 319.
x x x 1 2.cos 3 sen lim 3 − →π= ? à
x x x 1 2.cos 3 sen lim 3 − →π=
(
)
1 cos . 2 1 . sen lim 3 x x x + − →π=
− 3( )
x x x f cos . 2 1 3 sen − ==
(
)
x x x cos . 2 1 2 sen − +=
x x x x x cos . 2 1 cos . 2 sen 2 cos . sen − +=
(
)
x x x x x x cos . 2 1 cos . cos . sen . 2 1 cos 2 . sen 2 − + −=
(
)
[
]
x x x x cos . 2 1 cos 2 1 cos 2 . sen 2 2 − + −=
[
]
x x x cos . 2 1 1 cos 4 . sen 2 − −=
(
)(
)
x cox cox x cos . 2 1 . 2 1 . . 2 1 . sen − + − −=
(
)
1 cos . 2 1 . senx + x −20.
tgx x x x − − → 1 cos sen lim 4 π= ? à
tgx x x x − − → 1 cos sen lim 4 π=
x(
x)
cos lim 4 − →π=
2 2 −( )
tgx x x x f − − = 1 cos sen=
x x x x cos sen 1 cos sen − −=
x x x x cos sen 1 cos sen − −=
x x x x x cos sen cos cos sen − −=
(
)
x x x x x cos cos sen . 1 cos sen − − −=
x x x x x sen cos cos . 1 cos sen − − −=
−cosx21.
lim(
3)
.cossec( )3 x x
x→ − π