UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CENTRO DE EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E TECNOLÓGICA
CURSO DE MESTRADO
RITA DE CÁSSIA BATISTA DA SILVA
É A MOEDA QUE DIZ, NÃO É A GENTE QUE QUER NÃO:
CONHECIMENTOS PROBABILÍSTICOS DE CRIANÇAS
EM SITUAÇÕES DE JOGOS
RECIFE 2016
RITA DE CÁSSIA BATISTA DA SILVA
É A MOEDA QUE DIZ, NÃO É A GENTE QUE QUER NÃO:
CONHECIMENTOS PROBABILÍSTICOS DE CRIANÇAS
EM SITUAÇÕES DE JOGOS
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática e Tecnológica do Centro de Educação da Universidade Federal de Pernambuco como requisito para obtenção do título de Mestre em Educação Matemática e Tecnológica.
Orientadora: Profª. Drª. Rute Borba
RECIFE 2016
É A MOEDA QUE DIZ, NÃO É A GENTE QUE QUER NÃO:
CONHECIMENTOS PROBABILÍSTICOS DE CRIANÇAS
EM SITUAÇÕES DE JOGOS
Aprovado em 03/03/2016
COMISSÃO EXAMINADORA
_______________________________________________________________ 1º Examinador / Presidente
Profª. Drª. Rute Elizabete de Souza Rosa Borba (Orientadora) Universidade Federal de Pernambuco
_______________________________________________________________ 2º Examinador / Interno
Profª. Drª. Gilda Lisbôa Guimarães Universidade Federal de Pernambuco
_______________________________________________________________ 3º Examinador / Externo
Prof. Dr. Lori Viali
AGRADECIMENTOS
Obrigada, muito especial:
A Ele que possibilita todas as coisas.
À minha amada família que me incentiva e acredita em meu potencial, julgando sempre que sou melhor do que realmente sou: minha mãe e irmãs, meus sogros, meu “Amorzão” e minhas filhas: Suellen e Stella.
Às minhas amigas e primeiras incentivadoras: Zélia Pires e Luciana Santos – a culpa é de vocês! (me empurrem pro doutorado também!).
À minha adorada, capaz e purpurinada orientadora, Rute Borba que resgata de cada um o que há de melhor. Exemplo de profissional e ser humano.
Ao meu grupo de estudo Geração, com as contribuições sem tamanho de todas as meninas mais animadas e intelectualmente disciplinadas do Edumatec. À minha turma querida, especialmente às HIPERLINDAS (você também tá incluído, André!) que fizeram desses dois anos um palco para ampliarmos as amizades e aprendermos uns com os outros.
A todos os professores do Edumatec, em especial aos da linha de Processos que nos ‘descascaram’ nos seminários para nos ensinar a sermos pesquisadores de verdade.
À minha banca, Gildinha e Lori, cujas críticas conduziram para o aprimoramento de meu estudo.
Aos meus amigos do Salesiano, do Saturnino e do NAEC (Cabo) que compreenderam minhas ausências de corpo e de mente (HD cheio...).
Às escolas parceiras do Cabo de Santo Agostinho, diretoras e professoras que permitiram a participação das crianças para tornarem possível este estudo. Às lindas, espertas e inteligentes crianças que brincaram, jogaram, se divertiram e responderam aos questionamentos que deram corpo à pesquisa.
Como tenho muito a agradecer, vou parafrasear Maria Bethânia que nos diz: Chegar para agradecer e louvar
Louvar o ventre que me gerou, O orixá que me tomou,
E a mão da doçura de Oxum que consagrou. Louvar a água de minha terra
O chão que me sustenta, o palco, o massapê, A beira do abismo,
O punhal do susto de cada dia. Agradecer as nuvens que logo são chuva,
Sereniza os sentidos E ensina a vida a reviver.
Agradecer os amigos que fiz
E que mantém a coragem de gostar de mim, apesar de mim... Agradecer a alegria das crianças,
As borboletas que brincam em meus quintais, reais ou não. Agradecer a cada folha, a toda raiz, as pedras majestosas
E as pequeninas como eu, em Aruanda. Agradecer o Sol que raia o dia,
A Lua que como o menino Deus espraia luz E vira os meus sonhos de pernas pro ar.
Agradecer as marés altas
E também aquelas que levam para outros costados todos os males. Agradecer a tudo que canta no ar,
Dentro do mato sobre o mar,
As vozes que soam de cordas tênues e partem cristais. Agradecer os senhores que acolhem e aplaudem esse milagre.
Agradecer, Ter o que agradecer.
RESUMO
A partir da apreciação do relatório Children’s understanding of probability, produzido por Bryant e Nunes (2012), surgiu o desenho inicial do presente estudo. Para os referidos autores, a probabilidade é um conceito complexo que envolve o desenvolvimento de quatro exigências cognitivas: compreender a natureza e as consequências da aleatoriedade; formar e categorizar o espaço amostral; comparar e quantificar probabilidades; e entender correlações. No estudo, optou-se por investigar as três primeiras exigências apontadas por Bryant e Nunes (2012), objetivando analisar, em situações de jogos, conhecimentos de estudantes acerca da probabilidade, em particular no que se refere à aleatoriedade, ao espaço amostral e à comparação de probabilidades. Para o estudo, foram selecionados dois jogos: Travessia do Rio (BRASIL, 2014) e uma adaptação do jogo Passeios Aleatórios da Mônica (CAZORLA; KATAOKA; NAGAMIME, 2011), aqui denominado Passeios Aleatórios da Rute. No aporte teórico considerou-se o letramento probabilístico de Gal (2004, 2012) e os significados da probabilidade propostos por Batanero e Diaz (2007), entre outros. Em relação a jogos, considerou-se, principalmente, os autores Kishimoto (1994), Grando (2000) e Muniz (2010). Foram realizadas entrevistas do tipo clínica com 36 crianças do 1º, 3º e 5º anos do Ensino Fundamental. Os resultados apontaram que o significado intuitivo da probabilidade foi evidenciado pelas crianças, que trouxeram à tona uma linguagem natural, baseada em crenças e opiniões. Relacionaram a aleatoriedade à sorte ou ao azar, justificando as respostas a partir de parâmetros particulares e demonstraram melhor compreensão em eventos pouco prováveis e impossíveis. As crianças mais velhas tiveram um desempenho melhor que as mais novas, apesar de também evidenciarem dificuldades. Foram observadas fragilidades na compreensão de eventos independentes, em que as crianças cometeram o erro de recência positiva ou de recência negativa. Em relação ao espaço amostral, a maior dificuldade observada foi a falta de percepção de que eventos, tais como 3 + 5 e 5 + 3, são possibilidades distintas. Poucas crianças refletiram, conscientemente, sobre o espaço amostral para estabelecer a comparação de probabilidades. As justificativas se apoiaram, especialmente, na recente experiência do jogo. Percebeu-se que o uso de jogos possibilitou que as noções intuitivas emergissem com naturalidade, mas que se faz necessário haver instrução, a qual pode também incluir esse recurso, para construção de conhecimentos probabilísticos mais coerentes.
ABSTRACT
From the appreciation of the research report Children's understanding of probability, produced by Bryant and Nunes (2012), the initial design of the present study arose. For these authors, probability is a complex concept that involves the development of four cognitive demands: understanding the nature and consequences of randomness; forming and categorizing sample space; comparing and quantifying probabilities; and understanding correlations. In the study, choice was made to investigate the first three requirements identified by Bryant and Nunes (2012), aiming to analyze, in game situations, students’ knowledge about probability, in particular with respect to randomness, sample space, and comparison of probabilities. For the study, two games were selected: Crossing the River (BRASIL, 2014) and an adaptation of the game Mônica’s Random Walks (CAZORLA; KATAOKA; NAGAMIME, 2011), which here is called Ruth’s Random Walks. The theoretical framework considered Gal’s probabilistic literacy (2004, 2012) and the meanings of probability proposed by Batanero and Diaz (2007), among others. Regarding games, were considered the authors Kishimoto (1994), Grando (2000) and Muniz (2010). Clinical interviews were performed with 36 children from 1st, 3rd, and 5th grade of Elementary School. The results showed that the intuitive meaning of probability was evidenced by the children, who brought natural language based on beliefs and opinions. Randomness was related to good luck or to bad luck, justifying the answers from particular parameters and demonstrating better understanding in unlikely and impossible events Older children also performed better than younger, although also evidencing difficulties. Weakness in the understanding of independent events was noticed, where children made the mistake of positive recency or negative recency. Regarding sample space, the major difficulty was the lack of conscience that events, such as 3 + 5 and 5 + 3, are distinct possibilities. Few children consciously reflected on the sample space to establish a comparison of probabilities. The justifications relied especially on recent experience of the game. The use of games, enabled intuitive notions to emerge naturally, but it is necessary to provide instruction, including the use of this resource, to construct more consistent probabilistic knowledge.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Jogo Travessia do Rio (BRASIL, 2014, P.40) ... 52 Figura 2: Passeios Aleatórios da Mônica (NAGAMINE, HENRIQUES, UTSUMI E CAZORLA, 2011) ... 53 Figura 3 - Passeios Aleatórios da Rute (PAR) ... 54 Figuras 4a, 4b, 4c e 4d: Registros de 4 e 4 como possibilidades de soma 8 ... 82 Figuras 5a e 5b: Registro de possibilidade de soma 8 no lançamento de dois dados ... 83 Figuras 6a e 6b: Registro de possibilidades repetidas ... 83 Figuras 7a e 7b: Registro de evento impossível (1 e 7) no lançamento de dois dados ... 85 Figuras 8a, 8b e 8c: Registros de possibilidades de sequências de duas caras e duas coroas por alunos do 1º ano ... 88 Figura 9: Registro de possibilidades de sequência com duas caras e duas coroas por A3.1 ... 89
LISTA DE QUADROS
Quadro 1: Elementos que caracterizam os diferentes significados da Probabilidade ... 29 Quadro 2: Discriminação dos estudantes pesquisados por ano e escola ... 55 Quadro 3: Discriminação das questões do jogo Travessia do Rio ... 57 Quadro 4: Discriminação das questões do jogo Passeios Aleatórios da Rute (PAR) ... 58
LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Síntese da quantidade de respostas dos alunos, por ano, sobre independência de eventos no jogo Travessia do Rio ... 61 Tabela 2: Síntese da quantidade de respostas dos alunos, por ano, sobre independência de eventos no jogo PAR ... 65 Tabela 3: Síntese das respostas dos alunos sobre equiprobabilidade no jogo Travessia do Rio (por ano) ... 68 Tabela 4:Síntese das respostas dos alunos sobre equiprobabilidade no jogo PAR (por ano) ... 71 Tabela 5:Síntese das respostas dos alunos sobre a equiprobabilidade no lançamento de um dado (por ano) ... 74 Tabela 6: Síntese das respostas dos alunos sobre a equiprobabilidade no lançamento de uma moeda (por ano) ... 76 Tabela 7: Síntese de quantidade de possibilidades de soma 8 no lançamento de dois dados, elencados por alunos (por ano)... 81 Tabela 8: Quantidade de possibilidades listadas pelas crianças no jogo PAR (por ano) ... 87 Tabela 9: Síntese das respostas das crianças sobre evento impossível no jogo Travessia do Rio (por ano) ... 92 Tabela 10: Síntese das respostas das crianças sobre evento impossível no jogo Travessia do Rio (por ano) ... 96 Tabela 11: Síntese da quantidade de respostas dos alunos em relação a um evento pouco provável (por ano). ... 98 Tabela 12: Síntese das respostas das crianças sobre evento pouco provável no jogo PAR ... 101 Tabela 13: Síntese de respostas das crianças (por ano) acerca da comparação de chance igual no jogo Travessia do Rio ... 104 Tabela 14: Síntese de respostas das crianças (por ano) acerca da comparação de chance igual no jogo PAR ... 108 Tabela 15: Síntese de respostas das crianças (por ano) acerca da comparação de chance diferente no jogo Travessia do Rio ... 113 Tabela 16: Síntese de respostas das crianças (por ano) acerca da comparação de chance diferente no jogo PAR. ... 116
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ... 13
Objetivo Geral ... 19
Objetivos específicos ... 19
2 REFERENCIAL TEÓRICO ... 20
2.1 Um olhar sobre a probabilidade ... 20
2.1.1 Letramento probabilístico ... 23
2.1.2 Significados da Probabilidade ... 27
2.2 Os jogos e o conhecimento matemático... 31
3 REVISÃO DA LITERATURA ... 38
3.1 Estudos envolvendo crianças ... 38
3.2 Estudos envolvendo adolescentes e adultos... 41
3.3 Pesquisas envolvendo professores ... 43
4 MÉTODO ... 49
5 ANÁLISES E RESULTADOS ... 60
5.1 Aleatoriedade ... 60
5.1.1 Independência de eventos no jogo Travessia do Rio ... 60
5.1.2 Independência de eventos no jogo Passeios Aleatórios da Rute (PAR)... ... 64
5.1.3 Eventos equiprováveis no jogo Travessia do Rio ... 68
5.1.4 Eventos equiprováveis no jogo Passeios Aleatórios da Rute (PAR).... 71
5.1.5 Eventos aleatórios no jogo Travessia do Rio ... 73
5.1.6 Eventos aleatórios no jogo Passeios Aleatórios da Rute (PAR) ... 76
5.2 Espaço Amostral ... 80
5.2.2 O levantamento de possibilidades no jogo Passeios Aleatórios da Rute
(PAR)... ... 86
5.2.3 Evento impossível no jogo Travessia do Rio ... 92
5.2.4 Evento impossível no jogo Passeios Aleatórios da Rute (PAR) ... 95
5.2.5 Evento pouco provável no jogo Travessia do Rio ... 97
5.2.6 Evento pouco provável no jogo Passeios Aleatórios da Rute (PAR).... . 100
5.3 Comparações de probabilidade ... 103
5.3.1 Chance igual no jogo Travessia do Rio ... 104
5.3.2 Chance igual no jogo Passeios Aleatórios da Rute (PAR) ... 108
5.3.3 Chance diferente no jogo Travessia do Rio ... 112
5.3.4 Chance diferente no jogo Passeios Aleatórios da Rute (PAR) ... 116
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 121
7 REFERÊNCIAS ... 127
1 INTRODUÇÃO
A partir da apreciação do relatório Children’s understanding of probability – A literature review1, produzido por Peter Bryant e Terezinha Nunes para a Nuffield Foundation em
2012, surgiu o desenho inicial do presente estudo. O relatório faz um levantamento de pesquisas realizadas referentes ao pensamento probabilístico de crianças. A probabilidade tem sido tópico do currículo de anos iniciais de escolarização e discutir resultados de pesquisa no tema pode trazer impacto no ensino de probabilidade no Ensino Fundamental, bem como indicar possíveis pesquisas futuras na temática. Objetiva-se, assim, investigar conhecimentos probabilísticos de crianças, considerando algumas lacunas apontadas nas pesquisas levantadas por Bryant e Nunes (2012). Acredita-se que é importante investigar conhecimentos intuitivos que podem ser base de desenvolvimento do pensamento probabilístico necessário ao enfrentamento do cotidiano, tanto de crianças quanto de adultos. O referido relatório não mergulha apenas nas pesquisas realizadas, ele também aponta aspectos da probabilidade que precisam ainda ser explorados e pesquisadas. Desse modo, esta revisão da literatura funciona como um farol que informa o lado luminoso do que já se tem e desobstrui a visão turva do que ainda falta investigar em estudos futuros a respeito de como as crianças pensam e de como aprendem probabilidade.
Para Bryant e Nunes (2012), a probabilidade é um conceito muito complexo que envolve o desenvolvimento de quatro exigências cognitivas necessárias à sua compreensão. Segundo esses autores, as exigências cognitivas da probabilidade são: 1- Compreender a natureza e as consequências da aleatoriedade, bem como seu uso cotidiano;
2- Formar e categorizar espaços amostrais, necessários não só para o cálculo de probabilidade, como essencial à compreensão da natureza da probabilidade;
3- Comparar e quantificar probabilidades;
4- Entender correlações (relações entre eventos), o que implica o entendimento das três exigências anteriores.
As exigências intelectuais de cada uma dessas etapas são diferentes umas das outras, no entanto, elas se encontram inter-relacionadas. Para o entendimento de
diversas situações probabilística é necessário, portanto, coordenar a compreensão da aleatoriedade, levantar os possíveis eventos ou sequencias de eventos (espaço amostral) e realizar a comparação ou a quantificação de probabilidades, bem como relacionar os eventos entre si.
Bryant e Nunes (2012) defendem que as três primeiras exigências são os passos básicos que se deve levar em conta para encontrar a solução de qualquer problema de probabilidade e a quarta exigência (entender correlações) às vezes é necessária. No primeiro passo, precisa-se reconhecer que o problema é sobre resultados que são incertos porque há elementos aleatórios envolvidos; no segundo passo, necessita-se trabalhar com os possíveis eventos que compõem o espaço amostral; e, no terceiro passo, é necessário calcular probabilidades, que são quantidades baseadas em proporções e podem ser expressas em decimais, frações ou razões. A quarta exigência, que nem sempre é necessária, exige o olhar aos três passos anteriores. A aleatoriedade2 é uma parte comum e importante na vida das pessoas, mas, mesmo
assim, muitos adultos têm uma compreensão superficial sobre o conceito e crianças e jovens têm ainda mais dificuldades. Bryant e Nunes (2012) apontam que a aleatoriedade é a marca registrada de qualquer problema de probabilidade e que a mesma é projetada para trabalhar com a incerteza, sendo essa uma condição para garantir a equidade, a justiça em situações nas quais essa se faz necessária, como por exemplo, no lançamento de uma moeda para escolha de quem inicia com a bola num jogo de futebol. A aleatoriedade é, então, concebida como uma condição incerta, uma possibilidade ao acaso de ocorrer determinado evento. Relaciona-se com a imprevisibilidade, pois embora seja possível listar todas as possibilidades de ocorrência de um evento, não se sabe ao certo qual será o resultado. Em oposição, nas situações não aleatórias, ou seja, determinísticas, as consequências causais são diretas e facilmente definíveis como, por exemplo, apertar um interruptor e, em consequência, acender-se uma luz.
Viali (2008) defende que problemas de probabilidade dizem respeito a um conjunto de eventos incertos que ocorrem de forma aleatória, assim “a probabilidade é o ramo da matemática que pretende modelar fenômenos não determinísticos, isto é, aqueles fenômenos em que o ‘acaso’ representa um papel preponderante” (VIALI, 2008
p.143), sendo o ‘acaso’ visto como um conjunto de forças, não determinadas ou controladas, que exercem papel prevalecente na ocorrência dos resultados de um experimento.
Diante do exposto, constatamos a importância da compreensão da aleatoriedade para a formação do pensamento probabilístico, que parece ser uma plataforma imprescindível para o entendimento da probabilidade. Assim, Bryant e Nunes (2012) sugerem mais estudos sobre as diferenças individuais das crianças acerca do raciocínio sobre a aleatoriedade, mais especificamente o porquê de algumas crianças melhorarem a sua percepção ao longo do tempo e outras não. Sugerem, ainda, mais estudos que atentem para a reação das crianças frente à aleatoriedade em jogos, bem como investigar sobre quão bem as crianças discriminam contextos em que a aleatoriedade é a maneira mais eficaz para se garantir a justiça.
Considerando o espaço amostral, segunda exigência cognitiva para compreensão da probabilidade, Bryant e Nunes (2012) defendem, apoiados em análises de pesquisas, que grande parte dos erros cometidos por crianças e também adultos acerca da probabilidade não teriam acontecido se houvesse uma compreensão profunda do espaço amostral. Logo, conhecer e entender o espaço amostral é parte essencial para encontrar a solução de situações de probabilidade, uma vez que o cálculo é baseado na análise do espaço amostral do problema. Assim, um bom caminho para resolução de muitos problemas de probabilidade é, de fato, conhecer o espaço amostral que pode ser visto como a listagem de todas as possibilidades de ocorrência de todos os possíveis eventos, como, por exemplo, as faces cara e coroa no lançamento de uma moeda.
Para Bryant e Nunes (2012) a importância do espaço amostral tem sido negligenciada em pesquisas sobre a compreensão de crianças e de como ensiná-las. Sugerem, assim, estudos que investiguem como alunos conseguem (ou não) determinar espaços amostrais em eventos aleatórios. Os autores fazem um mapeamento de algumas pesquisas que tratam do assunto em conexão com o papel do raciocínio combinatório, no caso dos estudos de Piaget e Inhelder (1995), problemas de produto cartesiano realizado por Lynn (1991) e possibilidades nas pesquisas de Shtulman e Carey (2007) e Shtulman (2009). Concluíram que nenhum destes estudos fez conexão dos resultados com a compreensão das crianças sobre o acaso e que também não há nenhuma pesquisa direta sobre como as crianças começam a imaginar todas as
possibilidades de um espaço amostral particular ou quais as dificuldades que elas têm para fazer uma lista exaustiva e nem como se pode ajudá-las nesse processo. Os autores consideram essa questão uma lacuna real nos estudos referentes à probabilidade.
O raciocínio combinatório é parte fundamental do aprendizado das crianças sobre probabilidade, concordam Bryant e Nunes (2012), citando os estudos de Piaget e Inhelder (1975). O Grupo de Estudos em Raciocínio Combinatório do Centro de Educação da Universidade Federal de Pernambuco (Geração)3 tem se debruçado em
investigar como estudantes de diferentes níveis de ensino realizam o levantamento de possibilidades em situações combinatórias. Pessoa e Borba (2009, 2010), apesar de não versarem especificamente sobre a probabilidade, exploram e relatam dificuldades que as crianças e jovens possuem em levantarem sistematicamente todas as possibilidades de uma de situação combinatória, ou seja, o levantamento dos elementos de um evento que faz parte de um espaço amostral. Pessoa e Borba (2010) discutem a importância de se desenvolver nos alunos da educação básica o raciocínio combinatório, como uma forma de pensamento que auxilia no aprendizado matemático. O estudo de Pessoa e Borba (2009) busca analisar os desempenhos e as estratégias de alunos de anos iniciais do Ensino Fundamental na resolução de problemas combinatórios e as autoras constataram que a maior parte dos alunos tem dificuldade em esgotar todas as possibilidades que o problema apresenta, sendo que os alunos dos dois primeiros anos de escolarização (antigas 1ª e 2ª séries) são menos bem-sucedidos que os demais na enumeração de todos os casos possíveis e sugerem que a escola deve discutir o esgotamento de possibilidades em seu trabalho de raciocínio combinatório, ou seja, o levantamento – direto ou indireto — de todos os possíveis casos, em outras palavras, do espaço amostral.
No que concerne à terceira exigência cognitiva, a quantificação e comparação de probabilidades, Bryant e Nunes (2012) alertam que a maior parte dos problemas de probabilidade repousa sobre o cálculo de uma proporção ou mais, no entanto, o raciocínio proporcional, em geral, é difícil para as crianças e, na esfera da probabilidade, esta dificuldade é mais acentuada quando há a necessidade de comparar duas ou mais probabilidades diferentes. Entretanto, há algumas situações
que podem ser resolvidas com base nas relações simples como ‘mais’ e ‘menos’ a partir da análise das possibilidades de formação dos eventos, por exemplo.
A probabilidade é uma quantidade proporcional, ou seja, uma quantidade intensiva. No contexto da matemática escolar as quantidades extensivas como massa, altura, distância ou número de objetos de um conjunto são as mais utilizadas pelas crianças e essas quantidades obedecem às leis aditivas simples, como, por exemplo, se for adicionado um quilograma de maçãs a uma sacola de compras, aumenta a massa de seu conteúdo em um quilograma. No caso das quantidades intensivas, a relação estabelecida é outra. Por exemplo, se a temperatura da água é de 20ºC e adiciono mais um litro de água com a mesma temperatura, a quantidade de água aumentará (quantidade extensiva), mas a temperatura (quantidade intensiva) permanecerá a mesma (BRYANT e NUNES, 2012).
Como quantidade intensiva, o cálculo da probabilidade de um evento deve ser baseado em todas as quantidades do espaço amostral e não apenas na quantidade de eventos que desejamos prever. Assim, para calcular a probabilidade de se retirar uma bola vermelha de uma urna que contém bolas vermelhas, azuis e brancas, é preciso pensar na proporção de bolas vermelhas sobre o total de bolas da urna. Na situação descrita, há a exigência da proporcionalidade e, sendo uma quantidade de natureza mais complexa, o raciocínio proporcional tem sido um gargalo na compreensão da quantificação e comparação de probabilidades.
Bryant e Nunes (2012) apontam que embora alguns estudos sugiram que os alunos tendem a melhorar os cálculos proporcionais de probabilidade à medida que envelhecem, não há nenhuma evidência de que todos acabarão se tornando capazes de raciocinar proporcionalmente sobre probabilidades quando se tornarem mais velhos. É preciso, portanto, investigar mais o que pode auxiliar no desenvolvimento do pensamento proporcional e, consequentemente, o avanço do pensamento probabilístico.
As correlações, que são associações entre variáveis, existem em muitas situações tanto no mundo das ciências, como da vida cotidiana. Quando dois eventos acontecem juntos, sua incidência pode ser uma ocorrência aleatória ou o resultado de uma verdadeira relação. Por exemplo, existe uma relação entre a quantidade de comida ingerida por uma pessoa e a sua massa, mas a associação entre essas duas
variáveis não é perfeita, pois o efeito varia de pessoa para pessoa. Apesar da imperfeição e da falta de precisão dos resultados dessa relação, tais dados permitem a médicos e nutricionistas avaliar o risco de obesidade, por exemplo. Assim, entre a certeza de determinados eventos e a completa incerteza de eventos aleatórios, encontra-se um mundo imperfeito repleto de importantes associações, que são as correlações (BRYANT E NUNES, 2012).
Sinteticamente, em seu relatório, Bryant e Nunes (2012) constataram que
A maioria das pesquisas sobre crianças e probabilidades assume a forma de estudos transversais, em que crianças de diferentes idades são vistas por um curto período de tempo e são dadas tarefas que testam sua compreensão apenas em um dos quatro aspectos da probabilidade descritos acima. Este tipo de estudo nos diz sobre o que as crianças compreendem, e o que é difícil para elas em determinadas idades, mas não explica a razão pela qual, como geralmente acontece, as crianças mais velhas fazem melhor do que as mais jovens, e isso não nos dá nenhuma informação sobre as conexões entre os quatro aspectos diferentes de aprender sobre probabilidade (BRYANT e NUNES, 2012, p.13 [tradução nossa] [grifos nossos].
Diante de interrogações, de incompletudes de informações e de lacunas consideráveis apresentadas no documento elaborado por Bryant e Nunes (2012), e, ainda, com base nas sugestões apresentadas no relatório, optou-se por uma pesquisa que considerasse as três primeiras exigências cognitivas no trato da probabilidade: a compreensão da aleatoriedade, a formação do espaço amostral e a comparação de probabilidades. Neste estudo, considerou-se os aspectos mais intuitivos e menos formais da probabilidade, possíveis de serem desenvolvidos por crianças em início de escolarização. Por intermédio de jogos, buscou-se investigar contextos em que a aleatoriedade, o espaço amostral e a comparação de probabilidades pudessem ser identificados e apontados por crianças dos anos iniciais do Ensino Fundamental. Almejou-se uma investigação que observasse o desenvolvimento das crianças, mas, por se tratar de uma pesquisa de mestrado, o tempo não tornou possível a realização de um trabalho longitudinal que permitisse observar o desenvolvimento dos mesmos participantes ao longo de um espaço de tempo. Assim, optou-se em verificar o conhecimento probabilístico de crianças de anos escolares diferenciados, com participantes do 1º, 3º e 5º anos, para estabelecer uma comparação entre grupos de idades/anos distintos. Coloca-se, assim, como objetivos os que seguem.
Objetivo Geral
Analisar, em situações de jogos, conhecimentos de crianças acerca da probabilidade, em particular no que se refere à aleatoriedade, ao espaço amostral e à comparação de probabilidades.
Objetivos específicos
- Investigar se e comocrianças percebem a presença da aleatoriedade em situação de jogos.
- Examinar, em crianças, a capacidade e a forma de levantar espaços amostrais em situação de jogos.
- Verificar se crianças relacionam, em situação de jogos, a comparação de probabilidades aos elementos dos eventos do espaço amostral.
- Averiguar a existência (ou não) de uma conexão entre a compreensão das crianças no que tange à aleatoriedade, à formação do espaço amostral e à comparação de probabilidades.
- Estabelecer comparações entre as compreensões das crianças de diferentes anos/idades acerca da aleatoriedade, espaço amostral e comparação de probabilidades.
A seguir, no Capítulo 2 será explicitado no referencial teórico a importância da probabilidade, como também a relevância dos jogos para a aquisição, ampliação e solidificação de conceitos matemáticos. Em seções posteriores, apresenta-se no Capítulo 3, a revisão da literatura, apontando estudos anteriores que deram suporte e que contribuíram para esta pesquisa; no Capítulo 4 será detalhado o método e no Capítulo 5 serão apontados as análises e resultados do estudo. Finalmente, no Capítulo 6 serão elencadas as considerações finais acerca da pesquisa e os possíveis encaminhamentos para estudos futuros.
2 REFERENCIAL TEÓRICO
O referencial teórico deste estudo está assentado especialmente em torno do tema central probabilidade, com suporte de diversos teóricos como Gal (2004, 2012), Batanero e Diaz (2007), Lopes (2008) e Viali (2008), entre outros, e, naturalmente, Bryant e Nunes (2012), bem como de documentos oficiais, como Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL,1997) e Parâmetros da Educação Básica do Estado de Pernambuco (PERNAMBUCO, 2012). Aspectos referentes à importância do pensamento probabilístico serão apresentados e discutidos nessa seção.
Outro foco em discussão que referencia este trabalho são os jogos, com aporte teórico de Kishimoto (1994), Grando (2000), Macedo, Petty e Passos (2000), Muniz (2010) e Cordeiro e Silva (2014). Na seção dedicada a essa discussão será ressaltado o uso de jogos como recurso para o aprendizado da Matemática.
2.1 Um olhar sobre a probabilidade
A probabilidade tem suscitado discussões acerca de sua importância, em especial em situações contextuais do mundo real em que há a necessidade de julgamentos, escolhas, análises, conclusões e tomadas de decisão. Por esta razão, diversos autores, estudiosos e teóricos enfatizam a relevância do ensino da probabilidade desde cedo, nas escolas.
De acordo com Viali (2008), os trabalhos envolvendo Estatística e Probabilidade são bem tímidos, em comparação aos realizados em outras áreas da Matemática. Em relação à probabilidade, em particular, o autor destaca que “traçar um panorama do desenvolvimento da probabilidade, é uma tarefa complexa, pois além do material ser escasso, quando ele existe, invariavelmente aparece junto com a estatística” (VIALI, 2008, p.143). É fato que há relações estreitas entre a Estatística e a Probabilidade e que é importante que esses laços sejam observados sob a ótica das duas, no entanto, há particularidades no seio da Probabilidade que precisam ser estudadas e aprofundadas, para que a Probabilidade não pareça apenas coadjuvante nas questões estatísticas.
Para Gal (2004), a probabilidade se configura como uma parte da Estatística e da Matemática que são áreas de conhecimento importantes para se aprender, sendo um direito próprio e essencial na educação moderna; serve de base para assuntos mais avançados, como amostragem e como base para inferência estatística; e é fundamental para ajudar a preparar os alunos para a vida, uma vez que ocorrências aleatórias permeiam nosso cotidiano. Este autor alerta que o mundo real não deve ser o único fator que influencie o planejamento curricular ou as práticas do professor, frente ao desafio de ensinar conteúdos probabilísticos, no entanto, esta deve ser uma das partes importantes.
Corroborando com este pensamento, Lopes (2008), defende que a competência relacionada à Estatística e probabilidade permite aos alunos uma sólida base para desenvolverem estudos futuros em áreas científicas, como Biologia e Ciências Sociais, e considera que no “mundo em rápida mudança como o que estamos vivendo, é imprescindível o conhecimento da probabilidade de ocorrência de acontecimentos para agilizarmos a tomada de decisão e fazermos previsões” (LOPES, 2008; p.60). A autora completa, afirmando que não basta ao cidadão compreender as porcentagens presentes em índices estatísticos, é imprescindível saber analisar/relacionar criticamente os dados, questionando, inclusive a sua veracidade.
Para Lopes, Teodoro e Rezende (2010), atualmente a teoria da probabilidade4 possui
aplicações relevantes nos mais diversos ramos da atividade humana, como na Economia, na Política e na Medicina, entre outros. Nessa ótica, a teoria da probabilidade é vista como fundamento matemático que garante a validade dos procedimentos da inferência estatística.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) especificam, no campo denominado Tratamento da Informação, em relação à probabilidade que
a principal finalidade é a de que o aluno compreenda que grande parte dos acontecimentos do cotidiano são de natureza aleatória e é possível identificar prováveis resultados desses acontecimentos. As noções do acaso e incerteza, que se manifestam intuitivamente, podem ser exploradas na escola, em situações nas quais o aluno realiza experimentos e observa eventos (em espaços equiprováveis). (BRASIL, 1997, p. 55, 1998, p.52).
4 A teoria da probabilidade será tratada adiante, ao se descrever os diferentes significados da
Em Pernambuco, os Parâmetros para a Educação Básica (PERNAMBUCO, 2012), indicam para os anos iniciais do Ensino Fundamental, o desenvolvimento de trabalhos envolvendo a ideia intuitiva de chance de ocorrência de um evento, a partir da análise de possibilidades, como preparação para a compreensão da probabilidade e, para os anos finais, orientam que o trabalho com probabilidade deva apoiar-se em situações experimentais e simulações, como suporte para posterior determinação da probabilidade de um evento.
Noções a respeito da probabilidade, incertezas e riscos aparecem no dia a dia das pessoas e em todas as esferas da vida nas quais há a necessidade de interpretar, reagir ou lidar com situações envolvendo elementos probabilísticos de diferentes níveis de previsibilidade ou imprevisibilidade, sendo necessário, muitas vezes, a realização de estimativas de certos eventos, independente do conhecimento formal em probabilidade que o indivíduo possua.
Gal (2004) enfatiza que
Probabilidade não é uma característica tangível de eventos, mas sim, uma percepção que se expressa através de uma notação matemática formal ou de meios informais, de possibilidades ou probabilidade de ocorrência de eventos. Tais percepções dependem da interação entre fatores que operam nas situações externas e nas pessoas que enfrentam essas situações. (GAL, 2004; p. 44-45)
As razões para a aprendizagem da probabilidade dizem respeito a interesses de ordem interna, que trata do próprio conhecimento probabilístico, como tópico matemático, objetivando que os alunos aprendam a estrutura e conteúdo da disciplina, e que sejam capazes de compreender e aplicar conceitos abstratos, provas, fórmulas, objetos visuais, lógica, ferramentas e métodos, ou seja, que o aluno pense como um matemático (GAL, 2004, 2012); e os interesses de ordem externa que se baseiam na crença de que os aspectos que são externos à estrutura da probabilidade são relevantes, como as situações de natureza probabilísticas vivenciadas no mundo real. “Em um nível mais geral, a visão externa refere-se à necessidade de assegurar que as escolas permitam que todos os alunos desenvolvam as habilidades para a vida e competências requeridas pelos adultos no século 21” (GAL, 2012; p.2). Tais interesses não são mutuamente exclusivos. Ambos têm seus méritos e devem influenciar nosso pensamento a respeito da probabilidade e de seu ensino.
Acerca do conceito de probabilidade, Batanero e Diaz (2007) apontam cinco importantes componentes que se inter-relacionam no significado do conceito. São eles:
1- O domínio de problemas a partir do qual o conceito emergiu – muitos problemas relacionados a jogos de azar foram utilizados para desenvolver as primeiras ideias sobre conceitos de probabilidade.
2- As representações do conceito – para resolver os problemas são necessárias representações simbólicas, já que os conceitos são entidades abstratas. 3- Procedimentos e algoritmos – há uma variedade de ferramentas matemáticas
para ajudar a resolver problemas de probabilidade, incluindo combinatória, álgebra e geometria; tabelas de distribuição, calculadoras e computadores auxiliam o processo para lidar e resolver os problemas, diminuindo o fosso entre a compreensão e a competência técnica para resolvê-los.
4- As definições do conceito – incluem propriedades e relações com outros conceitos, como as diferentes definições de probabilidade, entre outros.
5- Argumentos e provas de validação – há confirmação experimental facilitada pela simulação de frequências, em computadores e internet, que desempenha um papel importante na compreensão dos alunos; e a irrefutável prova matemática.
Assim, as autoras (BATANERO e DIAZ, 2007) apontam que conceitos aparentemente simples como a probabilidade, possuem uma natureza multifacetada. Daí a necessidade de considerar os diferentes significados envolvidos na organização da instrução, bem como as diferenças nos níveis de abstração e dificuldades presentes em cada um dos cinco componentes descritos acima.
2.2 Letramento probabilístico
Os conceitos de alfabetização, letramento e literacia se interpelam, se complementam e por vezes, se distanciam. Ody e Viali (2013) realizaram uma revisão bibliográfica, objetivando buscar as interfaces apontadas por diversos autores para que pudessem dispor de uma base conceitual que favorecesse a compreensão da literacia na Estatística e na Probabilidade.
Como resultados, Ody e Viali (2013) apontaram que alfabetização e letramento remetem a conceitos que envolvem a formação cidadã das pessoas. Ser alfabetizado vai além do conhecimento da língua materna, envolve também a linguagem numérica, a alfabetização numérica e o sentido que se dá aos números ao se lidar com eles. Para os autores, “uma pessoa alfabetizada é aquela que sabe ler e escrever, o que não significa que a mesma saiba associar essa prática ao contexto no qual está inserida” (ODY e VIALI, 2013, p.7). Assim sendo, o letramento diz respeito ao uso da leitura e da escrita nas práticas sociais, através do uso de instrumentos mediadores para decodificar, dar sentido às informações e sustentação à tomada de decisões. Ao tratar da literacia, os autores defendem que a mesma
implica o domínio e uso de competências adquiridas na leitura, na escrita (e no cálculo) e nas atividades cotidianas, ensinando e aprendendo com as interpretações extraídas das informações. Preocupa-se com o vínculo das habilidades e competências com as funções que a leitura e a escrita desempenham na capacidade de processar, perceber, interpretar e analisar. O objetivo é promover aprendizagens significantes para a formação de um sujeito cidadão. (ODY e VIALI, 2013, p.7).
Gal (2004), considera que, para a apropriação do literacia probabilística, são indispensáveis alguns conhecimentos (elementos cognitivos) e disposições (elementos disposicionais) que os alunos precisam desenvolver para serem considerados alfabetizados em questões probabilísticas no mundo real. Assim, o pensamento e o comportamento das pessoas em situações probabilísticas são afetados por várias bases de conhecimentos e disposições. O letramento probabilístico prescreve a capacidade das pessoas acerca de um comportamento orientado para uma meta, sugerindo um amplo conjunto não apenas de conhecimentos factuais e habilidades formais, como também crenças, atitudes e hábitos da mente e uma perspectiva crítica.
Nessa ótica, os elementos disposicionais envolvem crenças, atitudes e hábitos de mente, enquanto os elementos cognitivos abraçam cinco bases de conhecimentos: conhecimento dos grandes tópicos/temas, cálculos probabilísticos, linguagem, contextos e perguntas (questões) críticas. Os elementos disposicionais desempenham um importante papel na forma como as pessoas pensam sobre a informação probabilística ou agem em situações que envolvem a oportunidade e a incerteza, em contextos do mundo real e em sala de aula.
Os elementos cognitivos interagem entre si de forma complexa durante o comportamento real no processo de aprendizagem. Um ou dois elementos apenas não garantem o desenvolvimento do letramento probabilístico do aluno, cinco pontos são importantes, defende Gal (2004):
1- Grandes tópicos/temas da probabilidade – se faz necessária a familiaridade e compreensão de bases fundamentais do conhecimento probabilístico, como: aleatoriedade, independência de eventos e variação. As noções de aleatoriedade, independência e variação precisam ser entendidas não apenas particularmente em seu sentido uno, mas também como bloco de construção mais amplo para a compreensão de um quarto tema: previsibilidade e (in)certeza. A previsibilidade de um evento, nesse sentido, depende das hipóteses sobre os processos que influenciam a ocorrência de um evento e da qualidade das informações que são usadas para apoiar as estimativas de probabilidade. As noções de segurança são incorporadas a conceitos como margem de erro e significância que exigem familiaridade com as grandes ideias ou temas: aleatoriedade, independência de eventos, variação e certeza.
2- Calcular/comunicar probabilidades – para gerar estimativas sobre probabilidade de eventos e poder comunicar tais dados, é imprescindível a familiarização com maneiras distintas de encontrar/calcular probabilidades. Fora das ciências, as probabilidades não são calculadas e, sim, estimadas ou julgadas e normalmente informações de várias fontes são utilizadas, incluindo informação não probabilística que será integrada a um processo complexo de julgamento e decisão que envolve o nível de confiança (certeza) e a relação com a noção e entendimento de provas. Importante saber que existem muitas formas de estimar probabilidades, mas a tradução das questões envolvendo as nuances apresentadas não são simples e exige planejamento para o trato em sala de aula.
3- Linguagem – os alunos devem compreender a “linguagem do acaso”, ou seja, as variadas formas de representar e comunicar possibilidades e probabilidades. Necessária, portanto, a familiarização com termos, frases e conceitos relacionados com construções abstratas relevantes à compreensão da probabilidade: variabilidade, aleatoriedade, independência, (im)previsibilidade, (in)segurança, acaso, risco – que nem sempre possuem definições claras.
Expressões e palavras usadas no contexto externo à probabilidade, no dia a dia, podem ter uma carga semântica implícita inteiramente diferente do proposto no cerne de uma questão probabilística. As probabilidades podem também ser expressas através de termos: “muito provável”, “certamente”, “impossível”, “com certeza”, “boa chance”, expressões que podem traduzir uma situação probabilística. Os alunos devem ter a oportunidade de descrever oralmente e por escrito o seu pensamento e compreensão sobre probabilidades.
4- Contexto – o conhecimento de contexto está associado ao conhecimento de mundo, que envolve os grandes tópicos, o cálculo de probabilidades e também a linguagem. No entanto, esse conhecimento introduz expectativas específicas: o impacto da aleatoriedade em diferentes eventos e processos e as situações, nas quais noções comuns de acaso e probabilidade chegam à vida de uma pessoa, ou seja, o entendimento que a aleatoriedade afeta eventos e processos do mundo real, possibilitando alguma previsão. O contexto é pedagogicamente importante, pois ajuda a explicar porque há necessidade de aprender sobre probabilidade e incerteza em diferentes circunstâncias da vida. Diversos contextos socialmente significativos são apontados para ilustrar a importância da aleatoriedade, variação, probabilidade e risco: o mundo físico e natural, processos tecnológicos, comportamento humano, medicina e saúde pública, justiça e crime, finanças e negócios, pesquisas e estatística, previsão pública e política, jogos de azar e apostas e decisões pessoais, dentre outros.
5- Questões críticas – os leitores e ouvintes não podem considerar declarações probabilísticas veiculadas pelos meios de comunicação como verdades absolutas sem serem capazes de fazer uma série de questionamentos críticos acerca da informação. Todos os alunos devem desenvolver a capacidade consciente de questionar a finalidade do escritor, a objetividade e o raciocínio utilizados. É, portanto, necessária a familiaridade com elementos metodológicos que afetam a qualidade dos resultados e os vieses que podem ocorrer em relatórios e interpretação de dados estatísticos.
Assim sendo, “as pessoas precisam de alfabetização probabilística para lidar com a ampla gama de situações do mundo real que envolvem interpretação ou geração de mensagens probabilísticas, bem como a tomada de decisão” (GAL, 2004; p.50). No
entanto, os detalhes sobre o conhecimento e disposições que podem compreender a alfabetização probabilística têm recebido pouca atenção nas discussões sobre alfabetização, numeração e letramento estatístico, aponta o autor.
2.2.1 Significados da Probabilidade
O conceito de probabilidade recebeu ao longo da sua história, diferentes interpretações. Batanero e Diaz (2007) sintetizam os diferentes significados da probabilidade, baseadas nas ideias de Batanero, Henry e Parzysz (2005), destacando: o intuitivo, o clássico, o frequentista, o subjetivo, o de propensão, o lógico e o axiomático. Evidencia-se a seguir os quatro primeiros significados por terem maior proximidade com esta pesquisa.
1- Significado intuitivo – ideias intuitivas relacionadas à possibilidade e à probabilidade aparecem desde muito cedo em crianças e se ampliam mesmo em adultos sem educação formal. Expressões qualitativas como “provável”, “improvável”, “impossível” são usadas para expressar graus de crença na ocorrência de eventos aleatórios. Essas ideias intuitivas e naturais são muito imprecisas, e as pessoas precisam atribuir valores aos eventos incertos como forma de comparar as suas probabilidades e assim aplicar a matemática para o vasto mundo de incertezas. A probabilidade teve um caráter dual desde seu surgimento: de um lado as regras estocásticas5 e de outro as crenças como
uma questão pessoal e com parâmetros particulares.
2- Significado clássico – Laplace sugeriu que a teoria do acaso consistia na redução de todos os eventos de mesma natureza a um certo número igualmente de casos possíveis, definindo que a probabilidade é uma fração cujo numerador é o número de casos favoráveis e cujo denominador é o número de casos possíveis, considerando que todas as possibilidades tenham a mesma chance de ocorrência, ou seja, que haja a equiprobabilidade. Essa definição baseou-se numa interpretação subjetiva, associada com a necessidade de avaliar a equiprobabilidade de resultados diferentes. Nesta concepção, não há
realização de experimentação, como na probabilidade frequentista. Ela se caracteriza por uma abordagem a priori.
3- Significado frequentista – parte de um processo de experimentação (probabilidade a posteriori). Na abordagem frequentista, a probabilidade é definida como um número para o qual a frequência relativa tende à estabilização. Resulta da expressão aproximada na frequência relativa de eventos resultantes de longas sequências de ensaios aleatórios, realizados em condições idênticas. Assim sendo, a abordagem frequentista não fornece o valor exato da probabilidade de um evento, aponta uma tendência. Não pode haver, no entanto, uma interpretação da probabilidade frequentista para um evento que ocorre apenas uma vez, nas mesmas condições. São necessários sucessivos ensaios, em condições idênticas, para estabelecer a probabilidade do evento, ou melhor, a tendência dessa probabilidade. Diz-se que quanto maior o número de experimentações, mais a probabilidade frequentista se aproxima da clássica.
4- Significado subjetivo – probabilidade considerando graus de crença, com base em julgamento pessoal e informações sobre experiências relacionadas a um certo resultado. Considera-se que a possibilidade de um evento está sempre relacionada a um sistema de conhecimentos que podem ser diferentes de pessoa para pessoa. A dificuldade com a probabilidade subjetiva repousa no fato de parecer impossível derivar expressões matemáticas para crenças pessoais. Embora a escola Bayesiana tenha atribuído probabilidades a eventos incertos e fenômenos não aleatórios, permanece a controvérsia sobre o status científico dos resultados que dependem de julgamentos que variam com o observador.
O Quadro 1 sintetiza os diversos elementos importantes na compreensão dos distintos significados atribuídos à probabilidade, tais como: i) campos dos problemas; ii) algoritmos e procedimentos; iii) elementos linguísticos; iv) definições e propriedades; v) concepções relacionadas. Tais elementos são fundamentados a partir das ideias propostas por Batanero, Henry e Parzysz (2005), sob a ótica, aqui apresentada e sintetizada por Batanero e Diaz (2007).
Quadro 1: Elementos que caracterizam os diferentes significados da Probabilidade SIGNIFICADO DA PROBABILIDADE CAMPOS DE PROBLEMAS ALGORITMOS E PROCEDIMENTOS ELEMENTOS LINGUÍSTICOS DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES ALGUMAS CONCEPÇÕES RELACIONADAS Intuitivo - Sorteios -Adivinhações -Manipulação de geradores de acaso: dados, cartas, urnas...
-Linguagem natural
-Opinião imprevisível, crença -Sorte -Destino Clássico - Cálculo de esperança ou riscos em jogos de azar -Combinatória -Proporções -Análises a priori da estrutura do experimento. -Triângulo aritmético -Listagem de eventos -Fórmulas Combinatórias
-Quociente de casos favoráveis e possíveis -Equiprobabilidade de eventos simples -Esperança -Regularidade -Independência Frequentista - Estimativa de parâmetros em populações -Registro de dados estatísticos e posteriori -Ajuste de curvas matemáticas -Análise matemática -Simulação -Tabelas e gráficos estatísticos -Curvas de densidade -Tabelas de números aleatórios -Tabelas de distribuições
- Limite de frequências relativas
- Caráter objetivo baseado na evidência empírica -Frequência relativa -Universo -Variável aleatória -Distribuição de Probabilidade Propensão -Situações incluindo casos isolados -Análise a priori e experimental
-Disposição física ou tendência -Caráter objetivo
-Aplicável para casos isolados - Relação com experimentos condicionais -Propensão -Probabilidade de tendência causal -Frequências virtuais Lógico - Ampliação das inferências
-Análise a priori sobre as possibilidades -Lógica proposicional Lógica indutiva -Linguagem formal -Probabilidade condicional -Objetivação do grau de crença
-Relação entre declarações -Possibilidades de dados com diferentes pesos -Generalização de implicações -Passível de revisão - Evidência -Hipótese -Grau de implicação Subjetivo - Melhora do conhecimento sobre eventos incertos, incluindo não repetidos.
-Teorema de Bayes - Atribuição subjetiva de probabilidades - Expressão da probabilidade condicional -Caráter Subjetivo
-Verificação com experiência -Probabilidade condicional -Distribuições a priori e a posteriori Axiomático - Quantificação da incerteza de resultados em experimentos aleatórios abstratos.
-Teoria dos conjuntos -Álgebra dos conjuntos -Teoria da Medida
- Símbolos dos conjuntos - Função medida -Espaço amostral
-Espaço de Probabilidades -Conjunto de Borel
Os diferentes significados de probabilidade apontados no Quadro 1 devem ser progressivamente levados em conta, iniciando com ideias intuitivas do acaso e da probabilidade, uma vez que a compreensão é um processo de construção contínua em que os alunos adquirem e relacionam os diferentes elementos do significado do conceito (Batanero e Diaz, 2007).
Um outro enfoque envolvendo a probabilidade é também observado na literatura e denomina-se probabilidade geométrica, que, segundo Bittar e Abe (2013), envolve conceitos de geometria como comprimento, área e volume, sendo o espaço amostral constituído por conjuntos contínuos. Neste enfoque, explora-se a probabilidade a partir de conceitos geométricos prévios. Na Probabilidade Geométrica, trabalha-se com razões entre medidas de mesma natureza. Estas medidas são figuras geométricas.
Gal (2004) traz uma importante contribuição acerca das situações matemáticas relevantes para a alfabetização probabilística. Há três tipos de situações que devem ser observadas, no processo de instrução, a fim de que se possa alfabetizar probabilisticamente um indivíduo.
1- Situações computacionais – exigência de contagem, quantificação, computação, manipulação de números, quantidades, itens ou elementos visuais.
2- Situações interpretativas – interpretação que as pessoas fazem das mensagens que envolvem questões quantitativas, mas que não requerem a manipulação direta de números ou quantidades. Opinião, julgamento em termos de razoabilidade ou da qualidade dos argumentos apresentados.
3- Situações de tomada de decisão – exigem que as pessoas determinem um curso de ação, considerando objetivos conflitantes, restrições ou incertezas. Possui um componente subjetivo maior, dependem dos pressupostos das pessoas sobre as tendências futuras, preferências, sistemas de valores e julgamento de probabilidades.
O autor alerta, apontando alguns estudos, que o uso da probabilidade no mundo real, no cotidiano, não exige cálculos probabilísticos:
“Ao refletir ainda mais sobre a necessidade de alfabetização probabilística como parte do desenvolvimento de numeracia global, é importante notar que as exigências profissionais raramente envolvem conhecimentos de cálculos de probabilidade. Opiniões de centenas de empregadores nos EUA (Packer, 1997) mostraram que o conhecimento estatístico chave necessário se houver, em contextos de trabalho inclui a familiaridade com gráficos e tabelas, a compreensão de variação, ou familiaridade com algumas estatísticas descritivas. Assim, pode-se especular que, para a maioria dos adultos, o conhecimento da probabilidade é de relevância principalmente para funcionamento em reinos pessoais, comunitárias e sociais, onde as situações exigem interpretação dos enunciados probabilísticos, geração de juízos de probabilidade, ou a tomada de decisões.” (GAL, 2004; p.48-49) (Tradução nossa)
O conhecimento da probabilidade auxilia no desenvolvimento matemático das pessoas, logo, desde cedo, as crianças deveriam ser incentivadas na escola a desenvolverem noções e intuições probabilísticas. Carvalho e Fernandes (2005) citam alguns estudos que, entre outras resultados, apontam que as novas atitudes intuitivas apenas se podem desenvolver num ambiente de envolvimento pessoal do aprendiz numa atividade prática, sendo necessário uma estratégia de ensino alicerçada em diferentes perspectivas do conceito de probabilidade, na utilização de objetos aleatórios concretos, na exploração de analogias, em representações facilitadoras da contagem, na organização de sistemas de tarefas, em aspectos lógicos e no desenvolvimento de uma interação intensa dos alunos entre si e entre os alunos e o professor.
Nessa ótica, acredita-se que os jogos podem servir de ponte entre a criança e o conhecimento probabilístico, uma vez que se configuram em atividades práticas, podem utilizar objetos aleatórios concretos (como dados e moedas), possuem aspectos práticos, contemplam representações que possibilitam contagem, além de permitirem a interação não apenas entre professor e aluno, bem como entre seus pares, aluno-aluno.
2.3 Os jogos e o conhecimento matemático
Na perspectiva apresentada neste texto, “os jogos devem ser encarados como situações-problema a partir das quais podem ser tratados conceitos e relações
matemáticas relevantes para o ensino básico” (PERNAMBUCO, 2012, p.35). Assim sendo, a denominação jogos matemáticos engloba situações-problema de vários tipos, como jogos que envolvem disputa entre duas pessoas ou entre pares (xadrez, dama, jogo da velha), jogos com tabuleiro, quebra-cabeças, Tangram, poliminós, desafios e enigmas, paradoxos formulados em linguagem do cotidiano e que, requeiram raciocínio lógico para serem desvendados. (PERNAMBUCO, 2012).
Para que um problema seja considerado um jogo matemático, é necessário que seja acessível ao maior número de pessoas; que o enunciado ou a proposta se configure num desafio para quem o lê ou joga, seja intrigante e surpreendente; e que a solução (o jogo) possa divertir, distrair, defende Muniz (2010), citando Critton (1997). Para o autor, os jogos matemáticos não são apenas brinquedos de crianças, são matéria de trabalho mesmo, são atividades matemáticas. No entanto, o que caracteriza o jogo matemático é exatamente seu aspecto lúdico em que devem ser garantidos os seguintes pontos: i) sua aparência deve ser divertida, humorística e pode imitar a realidade; ii) sua característica deve ser curiosa, inabitual, estranha e surpresa; iii) deve ser desafiador (CRITTON, 1997, apud MUNIZ, 2010).
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998), os jogos constituem uma forma interessante de propor problemas, pois são atrativos e favorecem a criatividade na elaboração de estratégias de resolução e de busca de soluções, além de propiciar a simulação de situações que exigem soluções imediatas, estimulam o planejamento de ações e promovem uma atitude positiva perante os erros. As atividades exploradas por meio de jogos permitem ao professor avaliar e analisar os alunos sob diversos aspectos, entre eles a compreensão, a facilidade de construir estratégias e a possibilidade de descrição, quando é necessário comunicar os procedimentos e a estratégia utilizada.
Kishomoto (1994), em seus estudos, resgatou de pesquisadores do Laboratório de Pesquisa do Jogo e Brinquedo, da Universidade Paris-Norei, que o termo jogo aponta três níveis de diferenciação: 1- o resultado de um sistema linguístico que funciona dentro de um contexto social; 2 - um sistema de regras e 3 - um objeto.
Enquanto sistema linguístico, a autora defende que existe um funcionamento pragmático da linguagem da qual resulta uma série de fatos e atitudes que atribuem significado aos vocábulos a partir de analogias e reafirma que “toda denominação pressupõe um quadro sociocultural transmitido pela linguagem e aplicado ao real” (KISHOMOTO, 1994, P.108). Já considerando o sistema de regras envolvido no jogo, a supracitada autora diz que qualquer jogo possui uma estrutura sequencial que especifica sua modalidade, ocorrendo a superposição com a situação lúdica. Em relação ao jogo enquanto objeto, faz menção aos materiais do quais são feitos os jogos, afirmando que o manuseio e a exploração dos mesmos diferencia significados dados por culturas distintas, pelas regras e objetos que caracterizam o jogo.
Macedo, Petty e Passos (2000) julgam os jogos como um valioso instrumento psicopedagógico, desde que sejam oferecidos à criança num contexto com o acompanhamento de um observador para análise sobre o que está acontecendo. Defendem a ideia de que jogar favorece e enriquece o processo de aprendizagem, pois conduz o sujeito a refletir, a fazer previsões e inter-relacionar objetos e eventos, como também contribui no sentido de fornecer informações acerca do pensamento infantil, o que é fundamental para o profissional que pretende auxiliar na superação das eventuais dificuldades.
É imprescindível inserir as crianças em jogos e atividades que possibilitam um percurso que vai da imaginação à abstração, através de processos de levantamento de hipóteses e testagem de conjecturas, reflexão, análise, síntese e criação de estratégias variadas de resolução dos problemas em jogo, concorda Grando (2000). Para a autora, em relação ao comportamento de crianças em situações de jogos ou brincadeiras, “percebe-se o quanto ela desenvolve sua capacidade de fazer perguntas, buscar diferentes soluções, repensar situações, avaliar suas atitudes, encontrar e reestruturar novas relações, ou seja, resolver problemas (GRANDO, 2000; p.20).
Ampliando o pensamento de Grando (2000), o caderno de jogos do Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa (BRASIL, 2014), explicita que além dos conceitos, os jogos possibilitam o desenvolvimento da capacidade de organização, análise, reflexão e argumentação e de uma gama de atitudes como
por exemplo, aprender a ganhar e a lidar com a perda, trabalhar em equipe, respeitar regras, etc. Além disso, o jogo pode propiciar a construção de conhecimentos novos, aprofundar o que já foi visto ou revisar conceitos, desde que haja uma intencionalidade pedagógica, caracterizada por uma metodologia que favoreça a aprendizagem. (BRASIL, 2014).
O jogo como proposta pedagógica não é uma tarefa simples, pois requer planejamento, acompanhamento e avaliação. Não pode ser visto como um mero passatempo que é dado aos alunos como forma de lazer ou para ocupar um tempo ocioso na sala de aula. Há uma intencionalidade pedagógica e uma objetividade envolvidas na atividade para torná-la, de fato, suporte para o desenvolvimento e ampliação de conceitos lógico-matemáticos. Nessa ótica,
A complexidade de alguns jogos, mesmo aqueles mais comuns, requer, de um lado, clareza sobre os vários conceitos matemáticos envolvidos e, de outro, um planejamento do momento e da maneira adequados para sua utilização no processo de ensino e aprendizagem, para que seja garantida a riqueza conceitual, o prazer em participar da atividade e a conquista da autoconfiança (PERNAMBUCO, 2012; P.38).
Macedo, Petty e Passos (2000) defendem que num contexto de jogos, a participação ativa do sujeito sobre seu saber é valorizada por pelo menos duas razões: uma delas é a possibilidade da relação positiva da criança com a aquisição do conhecimento, aprender é visto como algo interessante e desafiador e, consequentemente, “por meio de atividades com jogos, as crianças vão ganhando autoconfiança, são incentivadas a questionar e corrigir suas ações, analisar e comparar pontos de vista, organizar e cuidar dos materiais utilizados” (MACEDO, PETTY, PASSOS, 2000; p.24). A outra razão diz respeito à valorização do sujeito na construção de seu próprio saber e a possibilidade de desenvolver seu raciocínio.
Quanto à importância do acompanhamento das atividades que envolvem jogos e das consequências de uma proposta consistente com objetividade e clareza, é possível destacar que
Quando a criança joga e é acompanhada por um profissional que propõe análises de sua ação, descobre a importância da antecipação, do planejamento e do pensar antes de agir. Por sentir-se desafiada a vencer, aprende a persistir, aprimora-se e melhora seu desempenho, não apenas como uma solicitação externa, mas principalmente como um desejo próprio de auto-superação. Essas atitudes exercem uma grande influência no desenvolvimento geral da criança: aprende a construir e vai criando formas de investigação de suas produções ou daquilo que é produzido pelos seus adversários. (MACEDO, PETTY, PASSOS, 2000; p.25)
O jogo visto sob seu caráter naturalmente competitivo, torna-se uma ferramenta capaz de gerar situações-problema provocadoras, conduzindo o sujeito a coordenar diferentes pontos de vista, estabelecer várias relações, resolver conflitos e estabelecer uma ordem, induzindo-o a perfeiçoar-se operatoriamente, considerando todos esses aspectos, defende Grando (2000), pontuando, ainda, que em situações de brincadeira e/ou jogo, é possível observar se a criança desenvolve sua capacidade de fazer perguntas, buscar diferentes soluções, repensar situações, avaliar suas atitudes, encontrar e reestruturar novas relações, ou seja, resolver problemas.
Nesta perspectiva, concorda-se que
Jogar favorece a aquisição de conhecimento, pois o sujeito aprende por si próprio (como age e pensa), sobre o próprio jogo (o que o caracteriza, como vencer), sobre as relações sociais relativas ao jogar (tais como competir e cooperar), e, também sobre conteúdos (semelhantes a certos temas trabalhados no contexto escolar) (MACEDO, PETTY, PASSOS, 2000; p.23).
O jogo e a instrução escolar representam o mesmo papel no que se diz respeito ao desenvolvimento das habilidades e conhecimentos, segundo Cordeiro e Silva (2012). Os autores defendem que o jogo passa pelo caminho das regras, ideias, estratégias, previsões, execução e análise de possibilidades e que seu uso deve ser incentivado na escola, principalmente no ensino da Matemática. O jogo propicia o desenvolvimento de habilidades de outra natureza, quais sejam o sujeito poder conhecer-se, estabelecer o limite de sua competência como jogador e avaliar o que tem que ser melhorado, aprender a perder e trabalhar
