Vínculos observacionais em modelos cosmológicos não-aditivos: da viscosidade volumar à dinâmica

DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA

Tese de Doutorado

V

ÍNCULOS

O

BSERVACIONAIS EM

M

ODELOS

C

OSMOLÓGICOS

N

ÃO

-A

DITIVOS

:

DA

V

ISCOSIDADE

V

OLUMAR À

D

INÂMICA

Por

William Jouse Costa da Silva

Natal

2019

DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA

V

ÍNCULOS

O

BSERVACIONAIS EM

M

ODELOS

C

OSMOLÓGICOS

N

ÃO

-A

DITIVOS

:

DA

V

ISCOSIDADE

V

OLUMAR À

D

INÂMICA

William Jouse Costa da Silva

Orientador: Prof. Dr. Raimundo Silva Junior

Tese apresentada ao Programa de Pós-graduação em Física do Departamento de Física Teórica e Experimental da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito parcial para obtenção do título de Doutor em Física.

Natal

Agosto de 2019

Silva, William Jouse Costa da.

Vínculos observacionais em modelos cosmológicos não-aditivos: da viscosidade volumar à dinâmica / William Jouse Costa da Silva. - 2019.

169 f.: il.

Tese (doutorado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Ciências Exatas e da Terra, Programa de Pós-graduação em Física, Natal, RN, 2019.

Orientador: Prof. Dr. Raimundo Silva Júnior.

1. Cosmologia - Tese. 2. Energia Escura - Tese. 3. Matéria Escura - Tese. 4. Não-aditividade - Tese. 5. Viscosidade Volumar - Tese. 6. Análise Bayesiana - Tese. I. Silva Júnior, Raimundo. II. Título.

RN/UF/BCZM CDU 524.8

Os meus sinceros agradecimentos a todos que fizeram parte da construção dessa tese, bem como, para o meu crescimento pessoal e acadêmico, em especial:

Aos meus pais Zé Wilton e Aparecida pelo amor, incentivo e apoio incondicional. Por sempre concederem importantes oportunidades durante toda minha vida. Sempre serão meus maiores exemplos de luta e determinação nessa vida. Ao meu irmão Túlio por sempre está no background e por ajudar de todas as formas possíveis.

Agradecimento especial vai para minha companheira Jéssica Alves por todo seu apoio, amor, pelo estímulo durante todo o percurso e compreensão de minha ausência pelo tempo dedicado a tese. Obrigado por toda paciência e por ter que aguentar crises de estresse e ansiedade. Sem sua força não estaria aqui.

Ao meu orientador e professor Raimundo Silva Jr. por toda paciência, dedicação e ensinamentos durante 6 anos de orientação. Agradeço o apoio e conselhos nos momentos difíceis que servirão para a vida inteira. Sou grato também pela oportunidade de ir ao Observatório Nacional no Rio de Janeiro onde aprendi ferramentas importantes para o desenvolvimento desse trabalho.

Ao professor Jailson Alcaniz pela oportunidade e acolhimento no Observatório Nacional. À Antonella Cid e Micol Benetti pela ajuda, no período de poucos dias que fiquei no Observatório Nacional, com as ferramentas computacionais que foram utilizadas nesse trabalho. Ao professor Léo Gouvêa por todo conhecimento ensinado nas disciplinas de Cosmologia Perturbativa e Relatividade Geral ministradas durante a pós-graduação.

Agradeço aos membros da banca, Valério Marra, Jailson Alcaniz, Léo Gouvêa, Rodrigo Holanda e Luciano Rodrigues por aceitarem o convite e contribuírem para esse trabalho.

Tharcisyo (Argorento), Nyladih (Kaskarov), Pierre (Lambioia), Fabrizio (Pé na Cova), Tibério, Paulo Henrique (Vagalume), Gival (Morista), Gesiel (Nash) e Benjamim (Cortador de Vara) pelos mais diversos debates e discussões sobre política, futebol, etc. regados a café. Agradeço aos amigos da Sala Newton Bernardes que também contribuíram ao meu crescimento acadêmico e humanístico: Nathan, Aline, Luan, Felipe Banks, Everson e Marcone. Gostaria de agradecer à Maria Aparecida pelos conselhos e amizade para vida toda. Agradecer a Humberto Scalco pela colaboração no artigo e também pelas discussões sobre Cosmologia.

Obrigado a todos da família de Raimundão e Mariquinha pela torcida e apoio, em especial à Tia Nenen e Tio Valdi por me acolherem tão bem na sua residência e também pelos conselhos para vida.

Aos funcionários do DFTE, em especial a Ricardo, Paulo e Silvestre. À CAPES pelo apoio financeiro.

A partir das observações cosmológicas atuais, observa-se que a matéria escura e a energia escura são os componentes energéticos que dominam a evolução do universo atual, enquanto a matéria bariônica e a radiação contribuem com aproximadamente 5% da energia cósmica total. Para descrever algumas observações cosmológicas, é necessário entender a natureza do setor escuro, no entanto, esta permanece um mistério para a Cosmologia. Nesta tese, estudamos modelos cosmológicos dotados de uma interpretação alternativa da viscosidade volumar e da dinâmica do Universo. A partir de efeitos microscópicos baseados na Mecânica Estatística não-aditiva, propomos uma extensão do modelo ΛCDM. Este cenário leva em consideração efeitos não-aditivos sobre a lei de equipartição de energia e a interpretação de matéria escura viscosa através da correspondência não-extensiva/dissipativa (NexDC). A fim de impor vínculos observacionais nos parâmetros e comparar modelos, realizamos uma Análise Bayesiana considerando os dados de supernova do tipo Ia, oscilações acústicas bariônicas e radiação cósmica de fundo. Os resultados obtidos foram que o efeito de viscosidade não-extensiva é descartado em 1σ de confiança, mas em 2σ um cenário com viscosidade é recuperado. Do ponto de vista de comparação de modelos, os modelos propostos possuem evidências inconclusivas desfavoráveis em respeito ao ΛCDM. Na segunda parte da tese, consideramos uma descrição de energia escura viscosa nos escopos da dinâmica do universo modificado pela teoria não-aditiva, bem como, da teoria padrão. Com a finalidade de impor limites observacionais, realizamos uma Análise Bayesiana usando dados de cronômetros cósmicos, supernova do tipo Ia, oscilações acústicas bariônicas e radiação cósmica de fundo. Como decorrência da análise, foi obtido que a viscosidade volumar é descartada em 1σ no contexto de energia escura. No quesito comparação modelos, podemos concluir que os modelos de energia escura viscosa também são descartados se comparados ao modelo ΛCDM.

Palavras-chave: Cosmologia, Energia Escura, Matéria-Escura, Não-aditividade, Viscosidade Volumar, Análise Bayesiana.

From the current cosmological observations are observed that dark matter and dark energy are the energetic components that dominate the evolution of the actual Universe, as baryonic matter and radiation have a share of less than 5% of total cosmic energy. To describe some cosmological observations, it is necessary to understand the nature of the dark sector, however, this remains a mystery to Cosmology. In this thesis, we study cosmological models with an alternative interpretation of the bulk viscosity and the dynamics of the Universe. From microscopic effects based on non-additive statistical mechanics, we propose an extension of the ΛCDM model. This scenario takes into account non-additive effects on the law of equipartition of energy, and the interpretation of viscous dark matter through non-extensive/dissipative correspondence (NexDC). To impose observational constraints on the model parameters and compare models, we performed a Bayesian Analysis considering the type Ia supernova data, baryonic acoustic oscillations, and cosmic background radiation. The results obtained were that the non-extensive viscosity effect is discarded at 1σ confidence, but at 2σ a viscosity scenario is recovered. From a model comparison point of view, the proposed models have unfavorable inconclusive evidence regarding the ΛCDM. In the second part of the thesis, we consider a description of viscous dark energy within the scope of universe dynamics modified by non-additive theory as well as standard theory. To constrain model parameters, we performed a Bayesian Analysis using data from cosmic chronometers, type Ia supernova, baryonic acoustic oscillations, and cosmic background radiation. As a result of the analysis, it was found that the bulk viscosity is discarded in 1σ in the dark energy context. In terms of models comparison, we can conclude that viscous dark energy models are also discarded compared to the ΛCDM model.

Keywords: Cosmology, Dark Energy, Dark Matter, Non-Additivity, Bulk Viscosity, Bayesian Analysis.

2.1 Grade de coordenadas que representa a expansão do Universo. A distância comóvel entre os pontos permanece constante enquanto o universo se expande. 11

2.2 Composição energética atual do Universo baseado nas observações da Missão Planck. . . 16

2.3 Evolução das densidades de energia para cada componente energética do Universo em função do fator escala. . . 17

2.4 Em um tempo conforme, o período de uma onda eletromagnética ∆τ é igual na emissão τ1 e na detecção τ2. No entanto, considerando o tempo físico, ∆t =

a(τ )∆τ, podemos concluir que o período é maior do que o detectado, ∆t0 >

∆t1. Nós dizemos que a onda foi deslocada para o vermelho, uma vez que seu

comprimento de onda é maior, λ0 > λ1. . . 21

2.5 A relação velocidade-distância. Esquerda: as distâncias foram medidas utilizando Cefeidas (cada círculo representa uma galáxia). Direita: os círculos representam valores médios de aglomerados (as distâncias são obtidas através da distribuição de magnitudes aparentes dos membros dos aglomerados). 27

2.6 Valores de H0 obtidos a partir de vários experimentos e missões. . . 29

2.7 Espectro de um corpo negro (Planck) de 2.728 K. Para comprimentos de onda superior à ∼ 50 cm a radiação observada é dominada pela CMB. . . 30

2.8 Imagem da CMB obtida pelo COBE (acima) e pelo satélite WMAP (abaixo). As flutuações de temperatura são da ordem de δT

T = 10

−5_{. Podemos ver a}

evolução da resolução. . . 31

azul-claro no painel superior. No painel inferior, mostramos os resíduos em relação ao ΛCDM. Note que para ` ≥ 30, o modelo padrão “fita” bem os dados e para 2 ≤ ` ≤ 29, os dados não são bem ajustados. . . . 33

2.10 Abundâncias de 4_{He, D,} 3_{He e} 7_{Li (azul) como uma função da razão}

bárion-fóton (inferior) ou densidade de bárions (superior). As linhas verticais correspondem às densidades de bárions obtidas pelo WMAP e o Planck, enquanto as regiões horizontais (verde) representam as abundâncias observacionais. As linhas pontilhadas (vermelhas) correspondem aos valores das famílias efetivas de neutrinos do Planck, Neff = (3.02, 3.70). . . 36

2.11 Perfil das perturbações de densidades da matéria escura, bárions, fótons e neutrinos em função do raio comóvel. . . 38

2.12 Função de correlação obtida para vários valores da densidade de matéria Ωmh2

utilizando dados de galáxias mapeadas pelo SDSS. . . 39

2.13 (a) Diagrama do módulo de distância em função redshit para uma distribuição de 60 SNe Ia. As curvas tracejadas em azul correspondem aos ajustes dos dados que representam os modelos planos (k = 0) para alguns valores de Ωme ΩΛ. As

curvas pretas representam os modelos com constante cosmológica. (b) Gráfico que mostra a magnitude residual em função do redshift para os mesmos dados observacionais. . . 43

2.14 Esquerda: Contornos de confiança para os parâmetros cosmológicos Ωm e

ΩΛ considerando a curvatura livre. Direita: Contornos de confiança sobre

a densidade de matéria (Ωm) e o parâmetro da equação de estado da energia

escura (ω). Os dados utilizados correspondem aos dados de SNe Ia do JLA, os dados de SNe Ia SNLS, combinação de dados do Planck e do WMAP, além de dados de BAO. A linha pontilhada preta significa um Universo plano. . . 44

3.1 Visualização das ideais por trás da q-hidrodinâmica. . . . 65

3.2 Uma partícula de massa m próxima a uma tela holográfica esférica. A energia é distribuída uniformemente pelos bits e é equivalente à massa que emergiria na parte do espaço circundada pela tela. . . 69

(Ωdm), constante cosmológica (ΩΛ) e matéria bariônica (Ωb) em função do

log₁₀(a). Na primeira coluna fixamos q = 0.95 e variamos 0 ≤ ξq ≤ 0.1

para os dois modelos. Já na segunda linha, fixamos ξq = 0.05 e variamos

0.90 ≤ q ≤ 1.05. . . 77 4.3 Evolução do parâmetro de desaceleração para os Modelos I e II. Assumimos

que Ωb= 0.046, ΩΛ= 0.683, Ωr= 8.524 × 10−5. . . 78

4.4 Regiões de confiança e as distribuições a posteriori para os parâmetros h, ΩΛ, ξq

e q para modelo 1 (azul) e modelo 2 (vermelho) considerando a análise conjunta (SNe Ia + BAO + CMB). . . 92

5.1 Contornos de confiança e as distribuições a posteriori para os parâmetros h, Ωb, Ωdm, Ωk, ω e ˜ξ, para todos os modelos estudados considerando os dados

combinados BAO + CMB + CC + SNe Ia. . . 106

5.2 Contornos de confiança e as distribuições a posteriori para os parâmetros h, Ω_b, Ω_dm, Ω_k, ω e ˜ξ, para todos os modelos estudados considerando os dados combinados BAO + CMB + CC + SNe Ia. . . 107

5.3 Contornos de confiança e as distribuições a posteriori para os h, Ωb, Ωdm, Ωk,

ω, ˜ξ e q, para todos os modelos estudados considerando os dados combinados

BAO + CMB + CC + SNe Ia. . . 108

5.4 Contornos de confiança e as distribuições a posteriori para os h, Ωb, Ωdm, Ωk,

ω, ˜ξ para todos os modelos estudados considerando os dados combinados BAO

+ CMB + CC + SNe Ia. . . 109

A.1 Regiões de confiança e PDFs para os parâmetros do Modelo 1 considerando Pantheon sample + BAO + CC + CMB priors (vermelho) e JLA sample + BAO + CC+ CMB priors (azul). . . 150

A.2 Regiões de confiança e PDFs para os parâmetros do Modelo 2 considerando Pantheon sample + BAO + CC + CMB priors (vermelho) e JLA sample + BAO + CC+ CMB priors (azul). . . 151

4.1 Escala de Jeffreys para a interpretação do fator de Bayes quando dois modelos são comparados. A primeira coluna mostra os valores do logaritmo do fator de Bayes e na segunda coluna mostra a interpretação da robustez da evidência. . . 83

4.2 A tabela mostra a distribuição a priori dos parâmetros dos modelos analisados. . 84

4.3 Medidas de BAO para cada amostra considerada. . . 85

4.4 Valores estimados de H(z) obtidos usando o método de idade diferencial. . . . 87

4.5 Limites de confiança para os parâmetros cosmológicos usando SNe Ia, BAO e CMB. A primeira coluna mostra os vínculos sobre o modelo ΛCDM e enquanto, a segunda e terceira colunas mostram os resultados para os Modelos 1 e 2. . . . 90

5.1 A Tabela mostra a distribuição a priori usada nesse trabalho. . . 101

5.2 Limites de confiança para os parâmetros cosmológicos considerando a análise conjunta BAO + CMB + CC + SNe Ia. As colunas mostram os limites sobre cada modelo e nas linhas, temos cada parâmetro considerado nesta análise. Nas últimas linhas são mostrados a evidencia Bayesiana, fator de Bayes e a interpretação. . . 104

5.3 Limites de confiança para os parâmetros cosmológicos considerando a análise conjunta BAO + CMB + CC + SNe Ia. As colunas mostram os limites sobre cada modelo estendido, com q como parâmetro livre e nas linhas, temos cada parâmetro considerado nesta análise. Nas últimas linhas são mostrados a evidencia Bayesiana, fator de Bayes e a interpretação. . . 105

A.1 A Tabela mostra a distribuição a priori sobre os parâmetros livres de cada modelo estudado. Note que U(a, b) significa uma distribuição uniforme. . . . . 145

os vínculos sobre cada modelo e os parâmetros considerados nessa análise, respectivamente. . . 146

A.3 Regiões de confiança para os parâmetros cosmológicos usando o conjunto JLA sample + BAO + CC + CMB priors. As colunas e linhas mostram os vínculos sobre cada modelo e os parâmetros considerados nessa análise, respectivamente. 147

A.4 Resultados estatísticos para os modelos considerados nesse trabalho usando Pantheon sample + BAO + CC + CMB priors. . . 148

A.5 Resultados estatísticos para os modelos considerados nesse trabalho usando JLA sample + BAO + CC + CMB priors. . . 149

• Assinatura da métrica: (−,+,+,+).

• Índices gregos variam de 0 a 3 e os latinos variam de 1 a 3. Índices repetidos representam soma (convenção de Einstein).

• Palavras em outro idioma são escritas em itálico.

• A não ser que seja indicado ao contrário, adotamos o sistema de unidade em que c = ~ = 1.

• Derivada Covariante é definida como ∇αTµ...νρ...σ = ∂αTµ...νρ...σ + Γ µ αλTλ...νρ...σ + ... + Γν_αλTµ...λ_ρ...σ− Γλ αρT µ...ν λ...σ− ... − ΓλασTµ...νρ...σ. • Derivada temporal: ˙f ≡ df_dt.

• A unidade de distância é o megaparsec (Mpc): 1Mpc = 3.26 × 106 _{anos-luz = 3.08 ×}

1022_m.

Lista de Figuras viii

Lista de Tabelas xii

Notações, Convenções e Símbolos xiii

1 Introdução 2

2 Cosmologia Moderna 9

2.1 Relatividade Geral . . . 9

2.2 Principio Cosmológico . . . 10

2.3 Métrica de FLRW . . . 11

2.4 Tensor Energia-Momento de Fluido Perfeito . . . 12

2.4.1 Conteúdo Energético do Universo . . . 13

2.5 Equações de Friedmann . . . 17

2.6 Medindo Distâncias . . . 20

2.7 Pilares Observacionais da Cosmologia Moderna . . . 26

2.7.1 Lei de Hubble-Lemaître . . . 26

2.7.2 Radiação Cósmica de Fundo . . . 29

2.7.3 Nucleossíntese Primordial . . . 35

2.7.4 Oscilações Acústicas Bariônicas . . . 37

2.7.5 Supernova do Tipo Ia . . . 40

2.8 Modelo ΛCDM e suas Tensões . . . 43

2.8.1 Constante Cosmológica . . . 46

2.9 Cosmologia Com Viscosidade Volumar . . . 50

3.1.1 Entropia Não-Aditiva . . . 55

3.1.2 Distribuição de Tsallis . . . 57

3.2 Teoria Relativística Não-Extensiva . . . 58

3.2.1 Quantidades Fundamentais . . . 58

3.2.2 Equação de Transporte de Boltzmann Não-Extensiva . . . 59

3.2.3 Teorema H Local . . . 62

3.2.4 Correspondência Não-extensiva/Dissipativa . . . 63

3.2.5 Teorema de Equipartição de Energia Não-Extensivo . . . 66

3.3 Gravitação Entrópica . . . 67

4 Modelo ΛCDM Estendido 71 4.1 Equações de Friedmann para Processos Dissipativos . . . 72

4.1.1 Dinâmica da Matéria Escura Não-extensiva . . . 75

4.2 Técnicas e Metodologia . . . 79

4.2.1 Análise Bayesiana . . . 79

4.2.2 Comparação Bayesiana de Modelos . . . 81

4.3 Dados Cosmológicos e Vínculos Observacionais . . . 83

4.3.1 Oscilações Acústicas Bariônicas . . . 84

4.3.2 CMB Distance Priors . . . 86

4.3.3 Cronômetro Cósmico . . . 87

4.3.4 Supernova Tipo Ia . . . 88

5 Modelo ΛCDM Estendido e Energia Escura Viscosa: Uma Análise Bayesiana 93 5.1 Background e Suposições . . . 93

5.2 Energia Escura Viscosa . . . 96

5.2.1 Modelo I . . . 97

5.2.2 Modelo II . . . 98

5.2.3 Modelo III . . . 99

5.3 Vínculos Observacionais e Análise Bayesiana . . . 100

5.4 Resultados Da Análise Estatística . . . 101

A Análise Bayesiana de Modelos de Energia Escura Holográfica de Tsallis 135

A.1 Modelos de Energia Escura Holográfica de Tsallis . . . 136

A.1.1 Modelo I . . . 138

A.1.2 Modelo II . . . 140

A.1.3 Modelo III . . . 141

Introdução

O interesse em entender a estrutura, dinâmica e a evolução do Universo sempre despertou fascínio ao ser humano. A Cosmologia tem como propósito estudar de que maneira esse sistema especial se formou, por qual motivo ele tem o aspecto que hoje percebemos e qual será seu futuro. Durante o século XX, e especialmente nas primeiras décadas do século XXI, a Física, a Astronomia e a Cosmologia tiveram um avanço importante, e agora podemos compreender nosso o Universo como nunca antes na história da humanidade.

A segunda década do século XX foi um marco para o desenvolvimento da Cosmologia, pois nesse momento Albert Einstein propõe a Relatividade Geral. Nessa nova teoria, a gravidade é interpretada como a relação entre geometria e o conteúdo energético do espaço-tempo. Após a formulação da Relatividade Geral, Einstein propôs o primeiro modelo cosmológico para descrever o Universo na sua totalidade baseado nessa teoria [1,2].

Na época, era unanimidade na comunidade científica que o Universo era estático e formado por matéria usual. Assim, o modelo cosmológico de Einstein tinha topologia fechada e geometria estática, era homogêneo e isotrópico e a principal fonte de energia era constituída de matéria incoerente, sem interação entre suas partes. No entanto, sabemos que a matéria é atrativa, dessa forma as equações de campo manifestavam instabilidade. Com isso, Einstein adicionou um novo termo conhecido como constante cosmológica para contrabalançar o termo de matéria e manter a estabilidade. Esse primeiro modelo cosmológico proposto não possuía suporte observacional [3,4].

Apesar de não existir observações à época que pudessem confirmar a ideia de um Universo dinâmico, um matemático russo, Alexander Friedmann, publicou em 1922 e depois em 1924 um modelo cósmico no qual o Universo era dinâmico e evoluía com o tempo [5,6].

Este modelo foi construído de maneira análoga ao de Einstein com uma diferença fundamental: a geometria não era estática, mas variava com o tempo. Uma interpretação óbvia desse modelo é que se o Universo evoluiria com o tempo, é possível deduzir que em uma determinada época toda a matéria e energia estaria concentrada em um ponto. Ao contrário do cenário de Einstein, os modelos cosmológicos expansionistas possuem no seu escopo teórico a origem do Universo de forma intrínseca.

Já em 1927, baseado nas observações de velocidade radial de objetos astronômicos realizadas por Vesto Slipher, Georges Lemaître obteve soluções semelhantes às obtidas por Friedmann. Ele foi o primeiro a formular uma relação de proporcionalidade entre distância e velocidade de afastamento das galáxias [7,8]. Além disso, foi o primeiro a interpretar a singularidade inicial do modelo de Friedmann estipulando que todo o Universo (matéria, energia e espaço) nesse período, estava comprimido em um único átomo. Apenas em 1929, dando prosseguimento aos trabalhos de Vesto Slipher e Milton L. Humason, Edwin Hubble demostrou que as galáxias se afastavam em altas velocidades e que elas aumentavam com a distância, mostrando que de fato o Universo estava em expansão [9]. A relação aproximadamente linear entre as distâncias das galáxias e suas velocidades radiais estava explícita nesse trabalho, sendo essa descoberta, ficou conhecida como a lei de Hubble. Com a descoberta da expansão do Universo, os modelos expansionistas obtiveram uma grande sustentação observacional [10].

Após a descoberta da expansão muitos pesquisadores centraram o foco de suas pesquisas em explicar os estágios iniciais do Universo. Esse foi o caso de George Gamow, Ralph Asher Alpher e Robert Herman que, nas décadas de 1930, 1940 e 1950 utilizaram física nuclear de alta energia para estudar o Universo primordial. O modelo sugerido por tais pesquisadores é bem simples. No período conhecido como Big Bang, isto é, depois da singularidade inicial, todos os elementos químicos leves teriam sido formados por reações de fusão nuclear. Essa fase ficou conhecido como nucleossíntese primordial. Com a expansão e resfriamento do Universo, os nêutrons livres presentes no “fluido primordial” (matéria + radiação) começaram a decair em prótons e elétrons [11–14]. Gamow e Alpher também propuseram a existência de um resíduo dos estágios iniciais do Universo quando este encontrava-se em equilíbrio termodinâmico. Essa condição imprimiu a uma componente remanescente dessa radiação, constituída de fótons, um espectro de corpo negro, com uma temperatura característica da ordem de 5 K. Essa relíquia é conhecida hoje como radiação cósmica de fundo e foi detectada acidentalmente em 1964 por Arno Penzias e Robert Wilson [15]. A interpretação correta dessa radiação de fundo foi feita

por Robert Dicke e colaboradores na mesma revista científica que Penzias e Wilson publicaram sua detecção [16]. A temperatura detectada na época foi de aproximadamente 3.5 K.

Na década de 1930, observações da dinâmica de galáxias em aglomerados realizadas por Fritz Zwicky sugeriram a existência de um novo tipo de matéria que não interage eletromagneticamente. Por serem sistemas auto-gravitantes isolados, as galáxias deveriam estar concordantes com o teorema do virial [17,18]. Nessa aproximação, a energia potencial seria o dobro da energia cinética, dessa forma, Zwicky aferiu que a massa usual é aproximadamente 60 vezes menor que a massa total do sistema.

Nos anos de 1970, Vera Rubin estudou curvas de rotação de galáxias espirais e a mesma inconsistência foi detectada [19]. Essas observações indicaram que essas curvas de rotação (velocidade de rotação como função da distância ao centro da galáxia) permanecem aproximadamente constantes nas regiões externas. Entretanto, um cálculo simples nos mostra que o comportamento esperado da velocidade de rotação é proporcional a v(r) ≈ r1/2_{. Dessa}

forma, nas regiões mais externas, onda a massa total é aproximadamente constante, deveríamos ter v(r) ≈ r1/2_{. Essa discordância indica a presença de uma quantidade de massa não observada}

nestas regiões. Dessa forma, estes dois fatos foram relacionados supondo-se que a matéria escura que se evidencia na dinâmica de galáxias é a mesma que deve estar presente para explicar a constância das curvas de rotação.

Com o decorrer dos anos, indícios de origem astrofísica da matéria escura foram se tornando cada vez mais fortes. Além disso, a análise das flutuações da radiação cósmica de fundo resulta que a matéria escura é aproximadamente cinco vezes mais abundante do que a matéria usual e que é fundamental para explicar a formação das estruturas. No modelo cosmológico padrão, este tipo de matéria exótica é não relativística e é denominada de matéria escura fria [20].

Ao mesmo tempo que a detecção da radiação cósmica de fundo indicava que o Big Bang era plausível, surge um problema relacionado com o horizonte. Por que duas regiões do Universo que nunca tiveram contato causal possuem as mesmas propriedades físicas. Esse problema (bem como o da planura e da geração das perturbações iniciais) é solucionado adotando uma modelo que explique a fase inicial do Universo. O modelo inflacionário, ou apenas inflação, foi proposto inicialmente por Alan Guth [21] na década de 1980, embora algumas das ideias tenham sido desenvolvidas mais cedo e de forma independente por Alexei Starobinsky [22] e outros [23]. A inflação tenta resolver esses problemas postulando uma fase

no Universo primordial, quando a forma dominante de energia é um componente com pressão negativa que produz uma expansão acelerada por uma fração de segundo. Durante esse período, a taxa de expansão foi acelerada e uma pequena região homogênea não maior que 10−26_m

cresceu dentro de 10−34_{s para o tamanho da ordem de um metro. Eventualmente, a aceleração}

cessou e a expansão passou a ter uma taxa mais moderada que caracterizou nosso Universo desde então. A região de 1 m cresceu tornando-se o Universo observável [24,25].

A última década do século XX foi de grande importância para Cosmologia, pois com o avanço da tecnologia pôde-se estudar profundamente o Universo. O primeiro progresso que podemos listar é o lançamento do satélite COBE (Cosmic Background Explorer) no ano de 1989. Ele foi construído para estudar a radiação cósmica de fundo e obter medidas que ajudassem na compreensão do cosmos. Esse satélite mediu com maior precisão o espectro da radiação cósmica de fundo concluindo ser um espectro de corpo negro de temperatura na ordem 2.73K com flutuações da ordem de 10−5[26,27]. Essas pequenas anisotropias, que tem origem na inflação através de flutuações quânticas, cresceram devido à instabilidade gravitacional formando as estruturas que observamos hoje (matéria é atraída para regiões de maior densidade, amplificando as inomogeneidades já existentes).

Em meados da década de 1990, o avanço das técnicas de observação aliado à evolução da teoria dos mecanismos de emissão de estrelas, permitiram aos pesquisadores fazerem estimativas de parâmetros cosmológicos. Nos anos de 1998 e 1999, os grupos liderados por Adam Riess e Brian Schmidt - High-z Supernova Search Team [28] e Saul Perlmutter -Supernova Cosmology Project [29] - através de medidas do módulo de distância de supernovas do tipo Ia, concluíram que o Universo estava em expansão acelerada. As supernovas do tipo Ia encontravam a uma distância maior da que era prevista em um Universo composto por matéria e radiação. Essencialmente, podemos interpretar este resultado considerando que o Universo é preenchido por uma componente distribuída homogeneamente por todo cosmos, que exerce uma pressão negativa provocando a aceleração. Essa propriedade física não era prevista por nenhum modelo cosmológico que era estudado na literatura até o momento.

Dos resultados obtidos por Riess, Schmidt e Perlmutter, aproximadamente 70% da energia do Universo tinha origem desconhecida, que é genericamente nomeada de energia escura. Surpreendentemente, a constante cosmológica de Einstein é capaz de explicar esse estágio de expansão acelerada. Além disso, na década de 1970 a constante cosmológica foi associada à energia do vácuo [30]. Dessa forma, a energia do vácuo na forma de constante

cosmológica estaria por trás da expansão acelerada do Universo.

A partir desse momento, várias outras observações cosmológicas têm indicado que o Universo está em uma fase de expansão acelerada. Podemos citar as novas missões para estudar a radiação cósmica de fundo, como o (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe) (WMAP) [31,32] e a missão Planck [33–35]. As primeiras observações das oscilações acústicas de bárions realizadas pelas colaborações 2dF Galaxy Redshift Survey) (2dFGRS [36] e Sloan Digital Sky Survey (SDSS). Assim, além de aumentarem a precisão nos dados cosmológicos, essas observações deram suporte observacional para um Universo em expansão acelerada, e indicaram a necessidade de uma componente exótica que explicasse tal aceleração [37,38].

Apoiado por essas observações cosmológicas, o modelo de maior credibilidade atual é o ΛCDM [31,37]. De fato, este modelo é derivado da Relatividade Geral com constante cosmológica, assumindo uma métrica que descreve um Universo homogêneo e isotrópico e composto por matéria bariônica, radiação e matéria escura fria. Entretanto, apesar de ser matematicamente simples e descrever bem os dados, alguns problemas assolam o modelo padrão da Cosmologia, sendo esses, tanto de cunho teórico quanto observacional. No aspecto teórico, podemos listar o problema da constante cosmológica (discrepância do valor da energia do vácuo calculado teoricamente e do observado) e o problema da coincidência cósmica (qual razão das densidades de energia da matéria e constante cosmológica serem compatíveis hoje). De cunho observacional, apresenta-se a tensão dos valores da constante de Hubble obtidos a partir das anisotropias da radiação cósmica de fundo e cefeidas e supernovas locais, a discrepância dos valores do crescimento das flutuações da densidade da matéria entre observações locais e as anisotropias da radiação cósmica do fundo [39–46].

Essas questões e tensões tem motivado diferentes modelos cosmológicos para explicar o Universo observado, inclusive a hipótese de que se tenha componentes energéticas com processos dissipativos. Atualmente os fenômenos dissipativos têm sido estudados na Cosmologia com o foco maior em viscosidade volumar. A teoria padrão da viscosidade volumar no contexto da Relatividade Geral foi obtida na década de 1940 por Carl Eckart e a conexão com a Cosmologia foi feita anos depois, na década de 1970 por Steven Weinberg, George Ellis e outros [47,48]. Uma propriedade importante da viscosidade volumar é possuir pressão negativa, sendo consistente ao mimetizar componentes responsáveis pela atual expansão acelerada. Além disso, efeitos de processos viscosos também foram aplicados a inflação [48].

a fim de explicar sistemas complexos e fortemente correlacionados [49]. Neste contexto, a física estatística de Tsallis generaliza a teoria de Boltzmann-Gibbs propondo que a entropia seja uma quantidade não-extensiva e o grau de não-extensividade é medida a partir de um parâmetro q [49–52]. Essa extensão tem obtido bons resultados em várias áreas da Física como econofísica, sistemas complexos, DNA, física de altas energias [53]. Na Cosmologia, as aplicações dessa teoria vão desde buracos negros, energia escura holográfica, astrofísica extra-galática, modificações nas equações de Friedmann e conexão entre viscosidade volumar e não-extensividade [53–56].

Com intuito de propor e estudar modelos de viscosidade volumar, tanto no contexto da teoria de Tsallis como no cenário padrão, apresentaremos dois modelos cosmológicos com processos dissipativos. No primeiro momento estudaremos um modelo cosmológico que consiste de Universo formado por matéria escura dissipativa com uma viscosidade volumar não-extensiva e levaremos em conta o papel das equações de Friedmann generalizadas. E no segundo momento, apresentaremos um modelo cosmológico estendido baseado em efeitos não-extensivos no contexto da teoria de Verlinde, a fim de abordar a energia escura viscosa. Após a proposição dos modelos, iremos analisá-los no contexto da análise Bayesiana completa, tanto no âmbito de vínculo paramétrico quanto na comparação de modelos. Para isso, utilizaremos dados de supernovas do tipo Ia, radiação cósmica de fundo, oscilações acústicas de bárions e cronômetros cósmicos.

Dessa forma, esta tese está dividida da seguinte maneira, no capítulo 2, faremos uma revisão breve sobre a teoria da Relatividade Geral e as ferramentas necessárias para se propor um modelo cosmológico. Os pilares observacionais do modelo padrão são apresentados de forma sucinta e na última parte abordaremos o modelo ΛCDM, suas previsões e seus problemas, além da Cosmologia com processos dissipativos. No capítulo 3, abordaremos de forma sucinta a estatística não-extensiva de Tsallis, dinâmica de um fluido relativístico e a conjectura de Verlinde. Já no capítulo 4 apresentaremos a primeira contribuição original dessa tese, discutiremos o modelo ΛCDM estendido, formado por matéria escura viscosa não-extensiva e constante cosmológica. Estudaremos o comportamento da densidade de energia e do parâmetro de desaceleração. A seguir, faremos a análise Bayesiana considerando os dados cosmológicos. No capítulo5apresentaremos a segunda contribuição dessa tese, abordaremos o modelo de energia escura viscosa tanto no contexto da dinâmica padrão quanto da estendida. Em seguida, uma análise Bayesiana completa é feita. Por fim, no capítulo6vamos sintetizar esta

Cosmologia Moderna

A teoria cosmológica moderna está baseada na compreensão do Universo em grande escala, abrangendo o estudo de sua evolução e da formação de estruturas. Os modelos cosmológicos modernos são construídos, do ponto de vista teórico, sob dois pilares fundamentais: a teoria da Relatividade Geral e o princípio cosmológico. Além de ser modelado por esses dois pilares, a cosmologia moderna baseia-se em alguns dados observacionais: o diagrama de Hubble exibindo a expansão, a abundância de elementos leves que está de acordo com a nucleossíntese do Big Bang, a existência de uma relíquia cósmica, que permeia todo o Universo, conhecida como radiação cósmica de fundo, as oscilações acústicas bariônicas, que estão relacionadas com a formação de estruturas, e as medidas de distância de supernovas do tipo Ia, que estão associadas a recente aceleração do Universo.

Neste capítulo, nós introduziremos de forma breve a teoria da Relatividade Geral, o princípio cosmológico e a métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker. Além disso, mostraremos a atual composição energética do Universo e as equações que governam a dinâmica e evolução do atual modelo padrão. Mostraremos de forma sucinta os pilares observacionais do modelo padrão, e por fim, abordaremos o modelo ΛCDM, suas previsões e seus problemas.

2.1

Relatividade Geral

A teoria da Relatividade Geral (TRG) é uma teoria de gravitação relativística cuja essência está na manifestação da gravidade pela própria geometria do espaço-tempo. Para descrição da gravidade, elementos de geometria diferencial são essenciais dentro do escopo

teórico da TRG. Um aspecto importante dessa teoria é a relação entre um objeto matemático conhecido como métrica, a matéria e a energia do Universo. Esta relação está contida nas equações de campo de Einstein, que associam os componentes do tensor de Einstein (geometria) com o tensor energia-momento (conteúdo energético) [57]

Gµν ≡ Rµν−

1

2Rgµν = 8πGTµν + Λgµν, (2.1) onde Rµν é o tensor de Ricci, R é o escalar de Ricci, gµν é o tensor métrico, Tµν é o tensor

energia-momento, G constante gravitacional de Newton e Λ é a constante cosmológica, sua adição se tornará clara nas seções seguintes. Os dois elementos fundamentais desta equação são a métrica gµν (o tensor e o escalar de Ricci contém a métrica) e o tensor energia-momento,

Tµν. Podemos interpretar esse conjunto de equações da seguinte maneira: dada uma distribuição

de matéria-energia, caracterizada pelo Tµν, qual é a deformação no espaço-tempo descrito por

gµν. A TRG é a base de muitos modelos cosmológicos estudados na literatura [58]. Atualmente,

considerando uma descrição alternativa para a gravitação diversos modelos cosmológicos são propostos na literatura [59,60].

2.2

Principio Cosmológico

O princípio cosmológico estabelece que a distribuição espacial de matéria no Universo é homogênea (todos os pontos do espaço-tempo têm as mesmas propriedades físicas) e isotrópica (em torno de um ponto todas as direções são equivalentes) em largas escalas (acima de 100−200 Mpc). A aplicação do princípio cosmológico limita significativamente uma grande variedade de possíveis modelos cosmológicos. Resultados observacionais baseados na radiação cósmica de fundo têm reforçado a propriedade de isotropia do Universo em largas escalas [61,62].

No contexto da TRG, o princípio cosmológico nos garante que não existe uma posição privilegiada no Universo. Além disso, esse princípio acomoda a descrição de um universo dinâmico em expansão, sendo esta descrita pela deformação do espaço.

Figura 2.1: Grade de coordenadas que representa a expansão do Universo. A distância comóvel entre os pontos permanece constante enquanto o universo se expande. Figura retirada e adaptada de [57].

Tempo

2.3

Métrica de FLRW

Como mencionado acima, existe uma relação entre a geometria do espaço-tempo e a gravidade. Dessa forma, uma vez que a TRG e o princípio cosmológico são assumidos, é possível determinar a geometria do espaço e restringir a classe de matéria-energia que são compatíveis com o Universo. Assim, é possível demonstrar1 _{que a única métrica que satisfaz}

o princípio cosmológico é a métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW), dada pela seguinte equação [64,65]

ds2 = −dt2+ a2(t)   dr2 1 − kr2 + r 2_(dθ2_{+ sin}2_dφ2₎  , (2.2)

onde a coordenada t, é chamada de tempo cósmico ou tempo próprio cosmológico, que é medido por um observador que presencia o universo expandindo uniformemente em torno dele. As coordenadas r, θ e φ são conhecidas como coordenadas comóveis e elas descrevem a posição de objeto ou evento no referencial do universo em expansão. O fator de escala a(t), descreve o quanto a distância entre pontos no universo é reescalada (contrai ou expande). A constante de curvatura k, descreve a curvatura do universo e pode assumir três valores: k = 1, universo com curvatura positiva ou geometria esférica, k = 0, universo espacialmente plano e k = −1, um universo com curvatura negativa ou geometria hiperbólica.

Atualmente, dispomos de boas evidências de que o Universo está em expansão. Isto significa que em algum momento da história, a distância entre estruturas, tais como galáxias e aglomerados de galáxias, foi do menor do que é observado hoje. Além disso, no passado o fator de escala a foi pequeno. A Figura2.1 mostra uma grade de coordenadas que expande uniformemente com o passar do tempo. Notamos que a distância comóvel entre dois pontos permanece constante em um universo em expansão. A distância física é proporcional à distância comóvel vezes o fator de escala, isto é, xi

fis = a(t)xi, onde xi ≡ (r, θ, φ)com i = 1, 2, 3.

2.4

Tensor Energia-Momento de Fluido Perfeito

A forma da equação (2.2) é deduzida considerando simetrias locais do espaço, sendo independente de qualquer teoria física sobre a dinâmica das componentes do universo. Estas simetrias consideradas na obtenção da métrica FRLW não determinam o comportamento evolutivo do fator de escala a(t) e da constante de curvatura k. Para determinar a evolução dessas quantidades, precisamos conhecer o conteúdo energético do Universo e a sua dinâmica.

A relação dada pelas equações de campo de Einstein, impõe que o conteúdo energético (campo de matéria-energia) possua as mesmas simetrias de espaço-tempo. O objeto matemático que descreve o comportamento energético do fluido cósmico é o tensor energia-momento, que devido as simetrias, deve possuir as seguintes propriedades: a isotropia implica que ele seja diagonal, além disso os termos espaciais são da forma T11 = T22= T33, enquanto a

homogeneidade requer que os coeficientes sejam proporcionais apenas a uma função do tempo. Assumindo o princípio cosmológico como válido, o campo de matéria-energia que é compatível com essas simetrias é o fluido perfeito2_{, visto que observadores comóveis ao fluxo}

da expansão cósmica não verificam fluxos de energias ou tensões anisotrópicas. Assim, o tensor energia-momento do fluido perfeito assume a seguinte forma

Tµν = (ρ + p)uµuν+ pgµν, (2.3)

onde ρ é a densidade de energia, p é a pressão e uµ a quadrivelocidade do fluido. A equação

(2.3) apresentada dessa forma não contém processos dissipativos.

Com base no tensor energia-momento, podemos determinar como os diversos

2_{Outro tipo de fluido compatível com a homogeneidade e isotropia do Universo é o fluido com processos}

componentes do universo evoluem a partir da conservação de energia. Para isso, utilizamos uma propriedade do tensor de Riemann conhecida como identidade de Bianchi, que em conjunto com a TRG, nos permite concluir que ∇µGµν = 0 → ∇µTµν = 0, onde ∇µ representa a derivada

covariante. Assim, a partir da métrica de FLRW (2.2) e do tensor energia-momento (2.3), temos

∇µTνµ = 0 → ∂µTνµ+ Γ µ µαT α ν − Γ β µνT µ β = 0, (2.4)

logo, temos a equação de conservação de energia para os diversos fluidos que compõe o universo (supondo que os fluidos não interagem entre si)

˙

ρ + 3H(ρ + p) = 0, (2.5)

onde o ponto significa a derivada em relação ao fator de escala e H = ˙a

a é o parâmetro

de Hubble. Para resolver esta equação, precisamos da equação de estado dos diferentes componentes energéticos do universo. Em geral, assume-se que o universo é composto por fluidos perfeitos cuja equação de estado é da forma pi = ωiρi, onde é ωi é um parâmetro

adimensional de determinada componente, que pode ser constante ou função do tempo3_.

Substituindo a equação de estado com o parâmetro adimensional constante no tempo na equação (2.5) e resolvendo para a densidade ρ, obtemos a seguinte solução

ρi = ρi0   a0 a   3(1+ωi) , (2.6)

com ρi0 é o valor da densidade de energia do i-ésimo fluido hoje com ωi constante no

tempo. Para cada fluido que forma o Universo observável temos um valor para o parâmetro adimensional ω, veremos isso na próxima subseção.

2.4.1

Conteúdo Energético do Universo

De acordo com as observações atuais, o Universo é formado por matéria bariônica (b), matéria escura fria (dm), radiação (r) e energia escura (x). Cada uma dessas componentes pode ser descrita por um fluido perfeito caracterizado pela equação de estado pi = ωiρi e

combinado a equação de conservação de energia (2.5), pode-se obter a evolução temporal de cada tipo de fluido. Dessa forma, vamos apresentar cada uma dessas componentes energéticas

do universo:

• Matéria bariônica: É a componente energética que compõe os sistemas nos quais observamos, que interagem eletromagneticamente (átomos neutros não interagem eletromagneticamente, mas são bárions). Esta espécie de matéria é pouco interagente, assim sendo considerada poeira. O parâmetro adimensional para matéria bariônica é

ωb = 0. Logo, pela equação de conservação de energia

˙

ρb+ 3Hρb = 0 ⇒ ρb = ρb0a−3, (2.7)

onde ρb0 é densidade de energia dos bárions hoje (a = 1). Sua densidade contribui com

aproximadamente ∼ 4.9% da densidade total do Universo [62].

• Radiação: Essa componente energética é formada por partículas de gás relativístico, por exemplo, o fóton. Seu parâmetro da equação de estado é ωr = 1/3, logo, da equação de

conservação de energia

˙

ρ_r+ 4Hρ_r = 0 ⇒ ρ_r = ρ_r0a−4, (2.8)

onde ρr0 é densidade de energia de radiação hoje (a = 1). Os tipos de partículas

relativísticas que formam o fluido de radiação são:

– Fótons: São partículas relativísticas que mediam a interação eletromagnética. O Universo primordial foi dominado por fótons e, atualmente, detectamos esses fótons na forma de radiação cósmica de fundo. Além disso, sua contribuição para a densidade energética atual do Universo é da ordem de 10−5_.

– Neutrinos: Neutrinos cósmicos ainda não foram observados diretamente, mas argumentos físicos incluem essa componente como essencial para o modelo padrão. Estima-se que os neutrinos cósmicos perderam contato com o plasma primordial em cerca de 1 s após o Big Bang, diante disso, a detecção desses neutrinos nos forneceria informações do Universo primordial antes da radiação cósmica de fundo [57,72]. Sua temperatura decai com a−1 _{e sua massa é muita pequena, com limite}

superior calculado teoricamente mν < 0.12 eV (95%, Planck TT, TE, EE + lowE

+ lensing + BAO) [62]. Sua parcela para a densidade atual é muito pequena em comparação com as componentes escuras e bariônica.

• Matéria escura fria: Essa componente é introduzida para explicar fenômenos, como curvas de rotação de galáxias [19, 73]. Esse tipo exótico de matéria não interage eletromagneticamente, assim não conseguimos detecta-la diretamente. Além disso, ela desempenha um papel importante nas perturbações de matéria bariônica, sendo sua existência relevante para formação de estruturas. Assim como a matéria bariônica, a matéria escura também é uma componente de pressão nula e seu parâmetro de equação de estado é ωdm = 0. Como não temos certeza da natureza da matéria escura, alguns

candidatos alternativos são estudados na literatura, dessa forma a equação de estado da matéria escura pode ser modificada [74,75]. Adiante, nós modificaremos a equação de estado da matéria escura introduzindo viscosidade volumar não-extensiva. A evolução temporal da densidade de energia para este componente é

˙

ρdm+ 3Hρdm = 0 ⇒ ρdm = ρdm0a−3, (2.9)

onde ρdm0 é a densidade de energia atual da matéria escura. No modelo cosmológico

padrão a matéria escura é dita fria pois ela é considerada como não-relativística. Atualmente, sua contribuição para a densidade total do Universo é ∼ 26.4% [62].

• Energia Escura: Como veremos nas próximas seções, a energia escura foi introduzida para explicar o atual estágio de expansão acelerada do Universo. No modelo cosmológico padrão, a descrição de energia escura é feita através da constante cosmológica Λ. Ela é uma forma de energia desconhecida que compõe a maior parte da densidade de energia atual do Universo, cerca de ∼ 68.5% [62]. A priori, a constante cosmológica tem uma interpretação geométrica, no entanto, podemos absorvê-la na contribuição material. Dessa forma, a energia escura possui equação de estado negativa do tipo vácuo (ωΛ =

−1), o que resulta numa densidade de energia da seguinte forma

ρΛ=

Λ

8πG. (2.10)

Com essa associação entre constante cosmológica e o vácuo, há uma tentativa de relacionar a energia escura com à do vácuo quântico (estado de energia mínima). Veremos que a densidade de energia observada é muito diferente da calculada por teoria quântica de campos. Seguindo o procedimento padrão, da equação de conservação de energia

Figura 2.2: Composição energética atual do Universo baseado nas observações da Missão Planck [62]. Mat´eria Bariˆonica - 4.9% Mat´eria Escura - 26.4% Energia Escura - 68.5% Radia¸c˜ao - 0.005%

Composi¸c˜ao Energ´etica Atual

(2.5), obtemos a evolução temporal da constante cosmológica

˙

ρΛ= 0 ⇒ ρΛ=cte. (2.11)

Em relação a sua natureza, a energia escura pode ser modelada de maneira diferente da descrição de constante cosmológica. Em uma dessas formas, supõe-se que a energia escura é representada por um fluido perfeito distribuído no universo. Esse fluido possui uma equação de estado do tipo px = ωxρx onde ωx < −1/3 1/3, onde tal condição, é

suficiente para produzir uma aceleração cósmica. Assim, da equação de conservação de energia (2.5) e considerando a equação de estado mostrada anteriormente, podemos obter a evolução da densidade de energia escura

˙

ρx+ 3Hρx(1 + ωx) = 0 ⇒ ρx = ρx0a−3(1+ωx), (2.12)

onde ρx0 é a densidade de energia escura atual. Note que para ωx = −1 recuperamos a

constante cosmológica. Uma alternativa é supor que a energia escura é descrita por uma equação de estado do tipo px = ωx(a)ρx(a), onde ωxé dependente do fator de escala [76].

A soma da densidade de energia de cada componente resulta na densidade de energia total do Universo. Notamos que mais de 94% do Universo é formado por um tipo de matéria exótica que não conhecemos sua natureza (ver Figura2.2).

Figura 2.3: Evolução das densidades de energia para cada componente energética do Universo em função do fator escala.

10−6 ₁₀−5 ₁₀−4 ₁₀−3 ₁₀−2 ₁₀−1 ₁₀0 ₁₀1 ₁₀2

a

ρ

[k

g

/m

]

Na Figura 2.3, é possível observar o comportamento de cada fluido que forma o Universo, no qual notamos que no passado, região onde o fator de escala é menor, a radiação domina a evolução com uma fração de bárions e matéria escura. Com o decaimento da radiação, houve um momento que as densidades de matéria (bárions e matéria escura) e de radiação eram equivalentes, essa era ficou conhecida como equivalência matéria-radiação. Após isso, a matéria dominou a expansão cósmica possibilitando a formação de estruturas, e por fim, próximo aos dias atuais (a ≈ 1), estamos atravessando outra era de equivalência, agora entre a matéria e constante cosmológica. No momento, a constante cosmológica domina a evolução.

2.5

Equações de Friedmann

A partir das equações de campo de Einstein (2.1), métrica de FRLW equação (2.2), e o tensor energia-momento do fluido perfeito equação (2.3), podemos obter as equações que governam a evolução do Universo conhecidas como equações de Friedmann [64,65]

H2 ≡   ˙a a   2 = 8πG 3 X i ρi− k a2 + Λ 3, (2.13)

e ¨ a a = − 4πG 3 X i (ρi+ 3pi) + Λ 3, (2.14)

onde H é conhecido como parâmetro de Hubble, a é o fator de escala, ρi é a densidade de

energia do i-ésimo fluido que compõe o universo, k é a curvatura, pi a pressão do i-ésimo

fluido e Λ a constante cosmológica. Essas são as equações de Friedmann que determinam a dinâmica do universo descrevendo como o fator de escala se comporta a partir dos fluidos que formam o universo. A primeira equação mostra a conexão entre o conteúdo energético e a geometria espacial do Universo a segunda, mostra a relação entre a aceleração cósmica e as propriedades do fluido. Observe que para ¨a > 0 precisa-se de um fluido com pressão negativa que contrabalancei com a contribuição positiva das densidades de energia.

Podemos definir uma densidade de energia crítica para a qual implicaria uma curvatura nula (universo plano). Para isso, fazendo k = 0 na equação de Friedmann (2.13), podemos definir a densidade crítica que é função do parâmetro de Hubble H, isto é

ρc(a) =

3H(a)2

8πG . (2.15)

Em um universo que evolui dinamicamente, o valor da densidade crítica muda ao longo da história, mas a curvatura permanece constante. No presente momento, a densidade de energia crítica vale

ρc0 = 1.8788 × 10−26h2kg/m3. (2.16)

O valor da densidade crítica foi escrito em termos da constante de Hubble parametrizada (H0 =

100hkms−1_Mpc−1_{). O valor de H}

0é medido a partir de dados cosmológicos e são publicados

na literatura por exemplo, H0 = 67.36 ± 0.54 km s−1Mpc−1 (Planck 2018 [62]) ou H0 =

74.03 ± 1.42km s−1_Mpc−1 _{(medidas locais [77]).}

Em vez de densidades, é muito comum e útil empregar o parâmetro de densidade, que é definido como

Ω_i = ρi

ρc

= 8πG

3H2ρi, (2.17)

Friedmann (2.13) da seguinte forma

1 = Ωi− k

H2_a2. (2.18)

Define-se o parâmetro de densidade de curvatura

Ωk(a) = −

k

a2_H(a)2, (2.19)

que é associado a densidade de energia

ρk= −

3k

8πGa2, (2.20)

para a curvatura espacial, assim, podemos reformular a equação (2.18) da seguinte forma simples

1 = Ω_i+ Ωk. (2.21)

Portanto, a soma de todos os parâmetros de densidade, incluindo a curvatura, é sempre igual à unidade. Em particular, se obtemos Ω ∝ 1 isso implica que Ωk ≈ 0, ou seja, o universo é

espacialmente plano. A partir dos dados mais recentes do Planck 2018, sabemos que Ωk =

−0.0007 ± 0.0019[62].

É comum e usual definir o parâmetro de densidade adimensionais para cada componente energética do universo da seguinte maneira

Ωi(a) =

ρi(a)

ρc0

, (2.22)

isto é, a densidade de energia normalizada em relação a crítica atual. Assim, fica mais evidente a dependência de a de cada componente material e, além disso, é possível reescrever a equação de Friedmann (2.13) em termos de densidades de energia considerando o universo composto por curvatura, matéria bariônica, matéria escura fria, radiação, e energia escura

H2 H2 0 = Ωk0   a a0   −2 + Ωb0   a a0   −3 + Ωdm0   a a0   −3 + Ωr0   a a0   −4 + Ωx0   a a0   −3(1+ω) , (2.23)

matéria escura fria, radiação e energia escura, respectivamente. Reescrevendo essa equação para o tempo (a = a0 = 1), encontra-se o vínculo entre esses parâmetros

Ωk0+ Ωb0+ Ωdm0+ Ωr0+ Ωx0 = 1 (2.24)

A segunda equação de Friedmann (2.14) contém um termo ¨a que descreve como a expansão do universo está acelerando. O ponto chave é que se o lado direito da equação (2.14) é positivo, isto é ρ + 3p < 0, então ¨a > 0. Uma grandeza relevante denominada parâmetro de desaceleração pode ser definida da seguinte forma

q = −¨aa ˙a2 = −1 − a H dH da . (2.25)

Ela é uma medida da aceleração da expansão do universo. No instante de tempo em que q > 0, o Universo está desacelerado e quando q < 0, o Universo está acelerado. Podemos definir um período de transição entre uma fase desacelerada para acelerada de determinado modelo cosmológico fazendo q(a) = 0. De acordo com o Planck 2018 [35], o valor do parâmetro de desaceleração hoje é q0 ≈ −0.53.

2.6

Medindo Distâncias

Anteriormente, foram descritas as etapas para se construir o parâmetro de Hubble de um modelo cosmológico com a definição das propriedades de suas componentes. As propriedades físicas dos fenômenos cósmicos disponíveis muitas vezes não são função do parâmetro de Hubble ou fator de escala. Em vista disso, são as propriedades e as distâncias derivadas do fator de escala e do parâmetro de Hubble H(a) que são acessíveis observacionalmente. Em Cosmologia existem, diversas maneiras de medir as distâncias entre dois pontos de um Universo do tipo FLRW. O aspecto que unifica essas diversas maneiras de medir é que de alguma maneira, tais formas medem a separação entre eventos nas geodésicas radiais nulas [63,64,78].

Redshift

Figura 2.4: Em um tempo conforme, o período de uma onda eletromagnética ∆τ é igual na emissão τ1 e na detecção τ2. No entanto, considerando o tempo físico, ∆t = a(τ)∆τ, podemos

concluir que o período é maior do que o detectado, ∆t0 > ∆t1. Nós dizemos que a onda foi

deslocada para o vermelho, uma vez que seu comprimento de onda é maior, λ0 > λ1. Figura

retirada de [63].

coordenada descrito pelas transformações [63]

dχ = √ dr

1 − kr2 e dτ =

dt

a(t). (2.26)

Neste novo sistema de coordenadas a métrica de FLRW, equação (2.2), é da seguinte forma

ds2 = a2(τ )  − dτ2_{+ dχ}2 _{+ S}2 k(χ)(dθ 2 _{+ sin}2_dφ2₎_{, (2.27)} onde Sk(χ) =          sinh χ k = −1, χ k = 0, sin χ k = +1, (2.28)

Vejamos que χ faz o papel de uma nova coordenada radial, enquanto que τ representa uma nova coordenada conhecida como tempo conforme. Além disso, notamos que a equação (2.27) tem a forma de uma métrica tipo Minkowski multiplicada por um fator dependente do tempo conforme a2_{(τ ).}

Como a luz viaja ao longo de uma geodésica nula, ds2 _{= 0, podemos considerar}

que essa propagação em um espaço tipo FLRW é a mesma do tipo Minkowski. Então, ao longo desse caminho, temos que a variação do tempo conforme é igual à variação de uma distância

comóvel,

∆τ = ∆χ. (2.29)

Toda informação sobre o universo é inferida da onda eletromagnética do objeto em estudo. Para interpretar as observações, precisamos levar em conta que o comprimento de onda eletromagnética é “esticada”, ou seja, os fótons perdem energia, devido a expansão do universo. Considere uma galáxia em uma distância comóvel fixa d. No tempo conforme τ1, a galáxia

emite uma onda eletromagnética de curta duração ∆τ (ver a Figura 2.4). De acordo com a equação (2.29), a onda é detectada nos telescópios no tempo τ0 = τ1+ d. O intervalo do tempo

conforme do sinal medido por um detector é o mesmo da fonte, mas os intervalos de tempo físicos são diferentes, isto é

∆t1 = a(τ1)∆τ e ∆t0 = a(τ0)∆τ. (2.30)

A onda é emitida com comprimento de onda λ1 = ∆t1 (unidades de c = 1), mas é observado

com comprimento λ0 = ∆t0, tal que

λ0

λ1

= a(τ0)

a(τ1)

. (2.31)

Dessa forma, é conveniente definir o parâmetro redshift como a medida relativa do comprimento de onda do fóton, emitido por uma galáxia da seguinte forma

z = λ0− λ1 λ1

, (2.32)

logo, pela equação (2.31), temos

1 + z = a(t0)

a(t1)

, (2.33)

também é comum definir um a(t0) ≡ 1, de modo que

1 + z = 1

a(t). (2.34)

A expressão para o redshift é bastante importante no contexto observacional, pois ela pode ser obtida diretamente da decomposição espectral de uma fonte astrofísica. Isto é, se detectarmos o espectro de uma galáxia distante e compararmos com o espectro esperado no laboratório na

Terra, podemos determinar o valor de z. Outro aspecto importante é que podemos usá-la o redshift como medida de tempo e assim caracterizar eventos específicos em termos do redshift. Por exemplo, o evento do desacoplamento entre fótons e matéria ocorreu por volta de z ≈ 1100; a equivalência matéria/energia escura ocorreu por volta de z ≈ 0.45.

Distância Própria

Definida a métrica de FLRW, é possível determinar a distância física entre dois objetos quaisquer no Universo. Podemos definir a distância própria como o intervalo |ds|, entre dois pontos, medidos simultaneamente, isto é, dt = 0. Para um observador na origem e um objeto localizado no espaço com coordenadas xi _{= (r, θ}

1, φ1), a distância própria corresponde

a uma geodésica radial, e a partir da métrica de FLRW (2.2), é dada por,

dp = a(t) Z r 0 dr √ 1 − kr2 = a(t)χk(r) (2.35)

onde χk(r)é denominada distância radial comóvel e definida como,

χk(r) =              sin−1(√kr)/√k, se k > 0, r, se k = 0, sinh−1(q|k|r)/q|k|, se k < 0, (2.36)

lembrando que para uma geodésica radial, a variação angular ao longo da trajetória é nula (dθ1 = dφ1 = 0). Devido à necessidade de medimos a posição dos eventos de forma simultânea,

a distância própria não é um observável, assim ela depende de um modelo cosmológico. Podemos escrever a distância própria em termos do parâmetro de Hubble considerando um Universo plano (k = 0), da seguinte maneira

dp = a(t) Z r 0 dr = a(t) Z ti t0 dt a(t). (2.37)

É conveniente escrever o parâmetro de Hubble em função do redshift, logo

dt = − dz (1 + z)H(z) ⇒ dp(t0) = Z z 0 dz H(z). (2.38)

Devido à impossibilidade de determinar a distância própria, outras formas de estimar distâncias astronômicas baseadas em propriedades físicas intrínsecas dos objetos de

interesse e das quantidades observadas da Terra são reportadas na literatura [78]. A seguir definiremos a distância de luminosidade e a distância de diâmetro angular.

Distância de Luminosidade

A distância de luminosidade é definida a partir da relação entre o fluxo e a luminosidade de um objeto que emite radiação. Observacionalmente, o fluxo (quantidade de luz recebida por unidade de área, por unidade de tempo) é detectado nos telescópios e ao conhecermos a luminosidade intrínseca de um objeto (energia por unidade de tempo que o objeto produz), é possível determinar a distância em que este se encontra. O fluxo em um espaço plano estático é definido como

F = L

4πd2. (2.39)

Em um espaço-tempo do tipo FLRW, não podemos utilizar essa relação pelos seguintes motivos: no momento em que a luz é detectada na Terra, a área apropriada de uma esfera imaginária ao redor do objeto é 4πd2

pe a fração de luz captada pelo telescópio de abertura A é A/4πd2p; a taxa

de fótons detectados é menor que a taxa de fótons emitidos pelo fator de redshift 1/(1 + z);e a energia dos fótons E0 quando eles são detectados é menor que a energia E1 de quando são

emitidos por um fator de 1/(1 + z). Portanto, a fórmula correta para o fluxo observado de uma fonte com luminosidade L é [63]

F = L 4πd2 p(1 + z)2 = L 4πd2 L (2.40) onde definimos a distância de luminosidade dL. Podemos relacionar a distância própria e a

distância de luminosidade como

dL= dp(1 + z). (2.41)

Veremos que a determinação da distância de luminosidade de objetos com uma luminosidade intrínseca padronizável, a chamada vela padrão, constitui um dos observáveis mais importantes no momento de vincular modelos cosmológicos.

Distância de Diâmetro Angular

Agora vamos definir outra distância conhecida como distância de diâmetro angular. A definição desta distância está motivada pela relação geométrica entre o diâmetro próprio do objeto emissor e o diâmetro angular aparente.

Considere uma fonte emissora extensa, sabemos que da geometria euclidiana que a relação entre o comprimento de arco s que subtende um ângulo θ a uma distância d é

s = θd. (2.42)

Em um universo de FLRW, essa fonte se encontra perpendicular à linha de visada com coordenada radial r e te, o momento em que emitiu o sinal luminoso tem diâmetro próprio

s = a(te)rθ. Define-se distância angular de maneira que a relação anterior continue sendo

válida, dA = s θ = a(te)r, (2.43) e em termos do redshift dA= a(t0)r 1 + z. (2.44)

Vale salientar que no limite de baixos redshifts ou para objetos com coordenada radial tal que

r√k  1, as distâncias própria, luminosidade e diâmetro angular são aproximadamente iguais.

Podemos obter a partir das definições de distância de luminosidade (2.40) e de distância diâmetro angular (2.44), uma relação conhecida como dualidade cósmica

dL= (1 + z)2dA. (2.45)

Esta relação é obtida a partir da métrica FLRW, na qual assume que o espaço é homogêneo e isotrópico. Contudo, essa relação é independente do princípio cosmológico ou alguma suposição sobre o conteúdo material. A dualidade cósmica é válida em espaços-tempos mais gerais quando a condição de que os fótons seguem geodésicas nulas [79].

2.7

Pilares Observacionais da Cosmologia Moderna

Toda a teoria apresentada anteriormente, prevê alguns fatos que foram sendo observados ao longo dos anos, por exemplo: a recessão de galáxias, as abundâncias primordiais dos elementos leves e a existência de uma relíquia cósmica, que permeia todo o Universo. Além disso, alguns fatos como, a expansão acelerada do Universo e a detecção das oscilações acústicas de bárions, corroboraram ainda mais o modelo padrão.

2.7.1

Lei de Hubble-Lemaître

Em 1929, o astrônomo Edwin Hubble obteve uma correlação linear entre a distâncias aparentes das galáxias e suas velocidades de recessão. Essa relação simples forneceu evidência de que o Universo está em um processo de expansão, tornando-se uma importante descoberta que permanece como uma das mais profundas do século XX [9]. Este resultado havia sido antecipado por Georges Lemaître4 _{em 1927, que foi o primeiro a obter uma solução}

matemática para um universo em expansão dando uma interpretação natural para a velocidade de recessão das galáxias observadas [7].

A partir de dados fotográficos obtidos no telescópio Hooker, situado no Monte Wilson, Califórnia, Hubble mediu as distâncias de galáxias do Grupo Local usando a lei de Leavitt (relação período-luminosidade) para variáveis Cefeidas, e foi além, estendeu a amostra para mais galáxias chegando até o aglomerado de Virgem. Combinando estas distâncias com medidas de velocidade radial, Hubble construiu o diagrama mostrado na Figura 2.7.1. O coeficiente angular da reta obtida é parametrizada como a atual taxa de expansão do Universo ou constante de Hubble.

Localmente, a lei de Hubble relaciona a distância do objeto e seu redshift

cz = H0dL, (2.46)

onde dLé a distância do objeto, z é o redshift, c a velocidade da luz e H0a constante de Hubble.

Esta relação linear entre o redshift e a distância dos objetos é válida apenas em baixos redshifts,

z  1. Para altos redshifts, a relação distância-redshift para o modelo cosmológico em estudo

também depende das densidades de energia da matéria e da energia escura [10].

4_{Em 2018 no evento International Astronomical Union (IAU) foi votada a alteração do nome da Lei de Hubble}