Curso de Equações Diferenciais

(1)

AN ´

ALISE COMPLEXA E EQUAC

¸ ˜

OES DIFERENCIAIS,

aulas te´oricas

PARTE II: EQUAC

¸ ˜

OES DIFERENCIAIS (Breve introdu¸c˜ao

`as equa¸c˜oes com derivadas parciais)

Faculdade de Ciˆ

encias da Universidade de Lisboa, 2009

As equa¸cões com derivadas parciais constituem modelos de importância fundamental na ciência e na técnica. A teoria correspondente tem também um lugar central na Matemática e é objecto de investiga¸cão muito activa. Por limita¸cão de tempo, não poderemos neste curso dar senão uma introdu¸cão ao estudo de algumas equa¸cões de tipos bastante simples.

As derivadas parciais de uma fun¸cão u serão representadas no que segue com nota¸cão do tipo ux, ut, etc.

1 Equa¸

c˜

oes lineares de primeira ordem

Consideremos a equa¸c˜ao

aux+ buy = 0 (1)

onde ~v = (a, b) 6= (0, 0) é um vector constante. Se recordarmos o conceito de derivada de uma fun¸cão real segundo um vector, vemos que (1) é o mesmo que

D~vu = 0 (2)

significando que u é constante em cada recta com a direçcão de ~v:

u(x, y) (de classe C1_{) satisfaz (1) se e s´}_{o se, para cada constante k, u toma um valor fixo em}

todos os pontos tais que bx − ay = k.

O mesmo ´e dizer:

u(x, y) (de classe C1_{) satisfaz (1) se e s´}_{o se, existe f ∈ C}1_{(R) tal que u(x, y) = f(bx − ay).}

Podemos chegar à mesma conclusão usando uma mudan¸ca de variáveis independentes:

ξ = bx − ay, η = x (3) Aqui estamos a supôr, para fixar ideias, que a 6= 0, a segunda equa¸cão (3) é de alguma forma arbitrária e apenas nos interessa que a mudan¸ca seja invert´ıvel; o objectivo é provar que a fun¸cão composta U (ξ, η) = u(x, y) não depende de η. Como

ux= Uξb + Uη, uy= −Uξa,

confirmamos a partir de (1):

(2)

o que conduz a U (ξ, η) = f (ξ) ou, regressando às variáveis iniciais, à conclusão já enunciada u(x, y) = f (bx − ay).

Consideremos seguidamente uma equa¸cão linear com um termo na fun¸cão incógnita

aux+ buy+ cu = 0 (4)

e, usando o caso anterior como motiva¸c˜ao, consideremos a mudan¸ca de vari´aveis independentes:

ξ = bx − ay, η = ax + by (4) Obtemos ent˜ao, para a fun¸c˜ao composta U ,

(a2_{+ b}2_)U

η+ cU = 0

que, para cada ξ fixo é uma equa¸cão diferencial ordinária, cuja solu¸cão tem a forma

U = f (ξ)e− c a2 +b2η e concluimos u = f (bx − ay)e− c a2 +b2(ax+by).

Passemos à equa¸cão linear de primeira ordem geral, com coeficientes variáveis

a(x, y)ux+ b(x, y)uy+ c(x, y)u = f (x, y) (5)

e procuremos uma mudan¸ca de vari´aveis conveniente

ξ = φ(x, y), η = ψ(x, y). (6)

Feitos os c´alculos, vemos que a fun¸c˜ao composta U satisfaz

(φxa + φyb)Uξ+ (ψxa + ψyb)Uη+ cU = F (7)

onde omitimos as vari´aveis para al´ıvio da escrita. A mudan¸ca “conveniente”´e a que satisfaz ψxa + ψyb = 0 (8)

visto que transforma a equa¸c˜ao original nesta mais simples:

(φxa + φyb)Uξ+ cU = F (9)

Ora, para determinar ψ observamos o seguinte:

Se ψ(x, y) ´e constante nas traject´orias do sistema

x0

= a(x, y), y0

= b(x, y) ou se ψ(x, y) = const constitui uma fam´ılia de solu¸c˜oes de

dy dx =

b(x, y) a(x, y)

(3)

(supondo, para fixar ideias, a 6= 0) ent˜ao verifica-se (8).

Ora, encontrado um tal ψ(x, y), e supondo para fixar ideias ψy6= 0, para completar a mudan¸ca

de vari´aveis basta fazˆe-lo da maneira mais simples, pondo φ(x, y) = x.

A nova equa¸cão é então (A, C, F são as fun¸cões compostas de a, c, f respectivamente com a mudan¸ca de variável escolhida: são fun¸cões de ξ e η)

Uξ+

C AU =

F A que tem como solu¸c˜ao geral

U (ξ, η) = e−P(ξ,η)_{[d(η) + R(ξ, η)]}

onde

P ´e, como fun¸c˜ao de ξ, primitiva de C A e

R ´e, como fun¸c˜ao de ξ, primitiva de ePF

A. Voltando às variáveis iniciais obtemos a solu¸cão do problema proposto.

As curvas ψ(x, y) =const chamam-se caracter´ısticas da equa¸c˜ao dada.

2 Equa¸

c˜

ao das ondas unidimensional

Vamos fazer referência a métodos elementares para trabalhar com dois tipos de equa¸cões com derivadas parciais lineares de segunda ordem. Come¸camos pela equa¸cão das ondas

utt= c2uxx (1)

onde c ´e uma constante positiva. Por serem constantes os coeficientes das derivadas, imediatamente se reconhece que (1) ´e equivalente ao sistema em u e v

vt− cvx= 0, ut+ cux= v. (2)

De acordo com a técnica das caracter´ısticas, estudada anteriormente, a primeira equa¸cão tem a solu¸cão geral

v(x, t) = h(x + ct)

onde h é uma fun¸cão C1 _{em R. Quanto à segunda, o segundo membro sugere que procuremos}

solu¸c˜oes da forma f (x+ct): de facto, substituindo, conclui-se que basta tomar para f uma primitiva de 1

2ch.

Para obtermos qualquer outra solu¸c˜ao C2_{basta adicionar as solu¸c˜}_{oes (de classe C}2_{) da equa¸c˜}_ao

homogénea ut+ cux = 0 que são, como também sabemos, da forma g(x − ct). Concluimos que

qualquer solu¸c˜ao de (1) pode ser representada na forma

u(x, t) = f (x + ct) + g(x − ct) (2) onde f e g são fun¸cões arbitrárias (de classe C2_{!). Inversamente, é trivial verificar que (2) representa}

(4)

Se considerarmos o problema de valor inicial      utt= c2uxx, u(x, 0) = φ0(x), ut(x, 0) = φ1(x)

obtemos, atendendo a (2), um φ0(x) = f (x) + g(x), φ1(x) = cf0(x) − cg0(x) e daqui um sistema

linear em f0 e g0 que conduz a 2cf0 (x) = cφ0 0(x) + φ1(x), −2cg 0 (x) = −cφ0 0(x) + φ1(x), de onde f (x) =1 2φ0(x) + 1 2c Z x 0 φ1(s) ds, g(x) = 1 2φ0(x) − 1 2c Z x 0 φ1(s) ds.

A solu¸cão do problema de valor inicial é então (fórmula de d’Alembert)

u(x, t) = 1 2[φ0(x + ct) + φ0(x − ct) + 1 2c Z x+ct x−ct φ1(s) ds. (3)

Reciprocamente, esta express˜ao define uma solu¸c˜ao do problema de valor inicial desde que φ0∈ C2

e φ1∈ C1.

Por vezes admite-se que φ0 e φ1 possam ter menos regularidade (por exemplo, que n˜ao sejam

diferenciáveis em certos pontos isolados) e falamos então de solu¸cão generalizada do problema (mas não damos aqui defini¸cão formal deste conceito). Estas solu¸cões verificam a equa¸cão diferencial excepto numa fam´ılia numerável de rectas da forma x ± ct = k.

A fórmula de d’Alembert determina uma solu¸cão do problema de valor inicial definida para todo o x e todo o t. Mas há interesse também em resolver problemas em dom´ınios limitados no espa¸co, como é o caso do seguinte problema misto no intervalo [0, L] onde há condi¸cões iniciais e de fronteira:                utt= c2uxx, u(x, 0) = φ0(x), ut(x, 0) = φ1(x), 0 < x < L u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, t ∈ R. (4)

Trata-se do problema da corda vibrante com os extremos fixos.

Observemos que para que o problema admita solu¸cões regulares têm de se verificar as condi¸cões de compatibilidade φ0(0) = 0, φ0(L) = 0, φ1(0) = 0, φ1(L) = 0, φ 00 0(0) = 0, φ 00 0(L) = 0

(as duas últimas resultam das condi¸cões de fronteira e da própria equa¸cão). ´

E fácil então verificar o seguinte: Se considerarmos as extensões ´ımpares e 2L-periódicas de φ0,

φ1 e continuarmos a representá-las por estas letras, a fórmula de d’Alembert (3) dá uma solu¸cão

do problema (4).

Efectivamente, (3) define uma fun¸c˜ao C2 _{que verifica as condi¸c˜}_{oes iniciais e de fronteira}

(exerc´ıcio simples).

Com menos exigência de regularidade sobre os dados poderemos utilizar ainda a expressão (3) como solu¸cão generalizada do problema da corda vibrante.

(5)

3 Equa¸

c˜

ao do calor: separa¸

c˜

ao de vari´

aveis e m´

etodo de

Fourier

Vamos considerar nesta seçcão a equa¸cão linear de segunda ordem

ut= duxx (1)

onde d é uma constante positiva e, concretamente, procuraremos solu¸cões u(x, t) de (1) em [0, L] × [0, ∞) que satisfa¸cam as condi¸cões inicial e de fronteira seguintes:

     u(x, 0) = f (x), 0 < x < L u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, t > 0. (2)

Ilustramos com este problema o método de separa¸cão de variáveis. Procuremos em primeiro lugar solu¸cões (não triviais) da forma

X(x)T (t)

que satisfa¸cam as condi¸c˜oes de fronteira: teremos ent˜ao X(0) = X(L) = 0 e

X(x)T0

(t) = dX00

(x)T (t)

e portanto, para todo o x e todo o t T0 (t) dT (t)= X00 (x) X(x).

Como as variáveis x e t são independentes, esta igualdade só pode dar-se se ambos os membros são uma constante −λ:

X00

+ λX = 0, X(0) = X(L) = 0.

Este problema foi estudado anteriormente e vimos que tem as solu¸c˜oes n˜ao triviais (a menos de uma constante multiplicativa)

Xn(x) = sin

nπx

L , correspondentes a λn = n2_π2

L2 .

Para cada n temos ent˜ao T0

(t) + dλnT (t) = 0 e portanto (tamb´em a menos de uma constante

multiplicativa)

T (t) = e−dn2 π2 t

L2 .

Então, é fácil verificar que qualquer fun¸cão da forma

N X n=1 Ane −dn2 π2 t L2 sinnπx L (3)

com os An constantes, satisfaz (1) e as condi¸c˜oes de fronteira em (2); para que tamb´em satisfa¸ca

a condi¸cão inicial em (2) é necessário e suficiente que

f (x) = N X n=1 Ansin nπx L . (3)

(6)

Podemos concluir que, no caso particular em que o dado f (x) é combina¸cão linear finita de senos como em (3), encontrámos uma solu¸cão para o problema. Mas, procurando maior generalidade, suponhamos que f (x) = ∞ X n=1 Ansin nπx L . (4)

´e o desenvolvimento de f em s´erie de senos. Mais precisamente, para fixar ideias, suponhamos

(H) f cont´ınua em [0, L], f (0) = f (L) = 0 e f seccionalmente C1_.

Sabemos da teoria das séries de Fourier que, sob a condi¸cão (H), a série no segundo membro de (4) não só converge uniformemente para f mas também existe uma constante M > 0 tal que

|An| ≤

M

n2. (5)

Podemos ent˜ao concluir que sob a condi¸c˜ao (H),

u(x, t) = ∞ X n=1 Ane −dn2 tπ2 t L2 sinnπx L (6)

constitui uma solu¸cão do problema (1)-(2) que é cont´ınua em [0, L] × [0, ∞) e diferenciável em [0, L] × (0, ∞), verificando aqui a equa¸cão diferencial (1).

Efectivamente: devido a (6) e ao critério de Weierstrass para a convergência uniforme de séries, a série em (6) converge uniformemente, e por isso representa uma fun¸cão cont´ınua, em [0, L]×[0, ∞); em cada dom´ınio [0, L] × [t0, ∞) com t0> 0, a mesma série é derivável termo a termo (um número

arbitrário de vezes!) porque cada deriva¸cão faz surgir uma nova série com termos majorados em valor absoluto por

|An|nke

−dn2 π2 t0

L2

o que implica que a série obtida por deriva¸cão termo a termo é também uniformemente convergente. Como cada termo verifica a equa¸cão (1), a soma da série verifica a equa¸cão (1) em [0, L] × [t0, ∞).

Como t0> 0 é arbitrário, u verifica a equa¸cão (1) em [0, L] × (0, ∞).

Finalmente, ´e imediato concluir que u satisfaz todas as condi¸c˜oes (inicial e de fronteira) (2).

4 Duas quest˜

oes de unicidade

Nesta seçcão vamos abordar a questão de unicidade de solu¸cão do problema da corda vibrante e do problema que estudámos para a equa¸cão do calor.

Consideremos duas solu¸c˜oes u1 e u2 do problema da corda vibrante

               utt= c2uxx, u(x, 0) = φ0(x), ut(x, 0) = φ1(x), 0 < x < L u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, t ∈ R. (1)

(7)

Então a diferen¸ca w = u1− u2é uma fun¸cão C2 que satisfaz                wtt= c2wxx, w(x, 0) = 0, wt(x, 0) = 0, 0 < x < L w(0, t) = 0, w(L, t) = 0, t ∈ R. (2)

Consideremos a fun¸c˜ao (“energia”’)

E(t) = 1 2[ Z L 0 wt(s, t)2ds + c2 Z L 0 wx(s, t)2ds].

Pelas regras de deriva¸c˜ao de integrais param´etricos, temos

E0 (t) = [ Z L 0 wt(s, t)2wtt(s, t) ds + c2 Z L 0 wx(s, t)wxt(s, t) ds]. Ora, wtt(s, t) = c2wxx(s, t) e portanto E0 (t) = c2 Z L 0 [wt(s, t)2wxx(s, t) + wx(s, t)wxt(s, t) ds] = c2 Z L 0 ∂ ∂x[wx(s, t)wt(s, t)] ds. Atendendo `as condi¸c˜oes de fronteira em (2), vem

E0

(t) = c2[wx(L, t)wt(L, t) − wx(0, t)wt(0, t)] = 0.

Por conseguinte, E(t) é constante, e então E ≡ E(0) = 0 (já que, pelas condi¸cões de (2), wt(s, 0) =

0 = wx(s, 0)). Logo, wt= wx= 0 para todo o t e todo o x, e concluimos w = 0.

Este argumento prova a unicidade de solu¸c˜ao de (1).

Do mesmo modo, se forem u1e u2solu¸c˜oes do problema (onde β > 0)

         ut= βuxx u(x, 0) = f (x), 0 < x < L u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, t > 0. (3)

a diferen¸ca w = u1 − u2 é uma fun¸cão cont´ınua em [0, L] × [0, ∞) e diferenciável um número

qualquer de vezes em [0, L] × (0, ∞), que satisfaz

         wt= βwxx w(x, 0) = 0, 0 < x < L w(0, t) = 0, w(L, t) = 0, t > 0. (4)

Para demonstrar a unicidade em (3) basta ver que w = 0 em (4). Isso resulta do seguinte lema, muitas vezes referido como princ´ıpio do m´aximo.

(8)

Lemma 4.1 Seja w(x, t) cont´ınua em D = [0, L] × [0, ∞) e satisfazendo em [0, L] × (0, ∞) a inequa¸c˜ao diferencial

wt− βwxx≥ 0.

Se w ≥ 0 na fronteira de D, ent˜ao w ≥ 0 em D.

Demonstra¸c˜ao. Com vista a uma contradi¸c˜ao, suponhamos que existe (x0, t0) ∈ D tal que

u(x0, t0) = −N < 0. Escolhamos T > t0 e consideremos o rectˆangulo R == [0, L] × [0, T ]. A

fun¸c˜ao

v(x, t) = w(x, t) − ²(x − x0)2

onde 0 < ² < N/(2L2_{) atinge em R um m´ınimo absoluto (teorema de Weierstrass) necessariamente}

menor ou igual a v(x0, t0) = −N. A fronteira de R ´e composta pelos segmentos

t = 0, 0 ≤ x ≤ L,

x = 0, 0 ≤ t ≤ T, x = L, 0 ≤ t ≤ T, e

t = T, 0 ≤ x ≤ L.

Nos trˆes primeiros, pela hip´otese, tem-se v ≥ −²(x − x0)2 ≥ −²L2 ≥ −N/2. Logo, o m´ınimo

absoluto de v ´e certamente atingido num ponto (x1, t1) do interior de D ou do quarto segmento

da fronteira. Em qualquer dos casos, pelo facto de se tratar de um m´ınimo, temos (considerar separadamente as duas situa¸c˜oes!)

0 ≥ vt(x1, t1) − βvxx(x1, t1) = wt(x1, t1) − βwxx(x1, t1) + 2β²

e, pela desigualdade da hip´otese,

0 ≥ 2β² o que é contraditório e termina a demonstra¸cão.

5 Equa¸

c˜

ao de Laplace num disco e f´

ormula de Poisson

Nesta seçcão faremos uma breve referência ao problema relativo à equa¸cão de Laplace dm dimensão 2:

∂2_u

∂x2 +

∂2_u

∂y2 = 0. (1)

Mais precisamente, vamos apenas referir o problema de determinar a solu¸c˜ao de (1) no disco BR,

centrado em (0, 0) e raio R, e que satisfaz a condi¸c˜ao de fronteira

u|∂BR = g (2)

onde g ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua dada na fronteira ∂BR daquele disco.

Comecemos por observar que uma fun¸c˜ao de classe C2 _{que satisfa¸ca (1) num disco (isto ´e,}

uma fun¸cão harmónica nesse disco) é parte real de uma fun¸cão holomorfa f no mesmo disco. Para simplificar a discussão, suponhamos que u é harmónica num disco “ligeiramente”maior que o dado,

(9)

isto ´e, com raio R0

> R. Então u é parte real de uma fun¸cão holomorfa f definida num disco que contém ¯BR. Ora, para uma tal fun¸cão tem-se1

f (a) = 1 2πi Z γ R2_{− a¯}_a (z − a)(R2_{− z¯}_a)f (z) dz, a ∈ BR. (3)

onde γ ´e ∂BR percorrida uma vez no sentido directo. De facto, verifica-se facilmente que

R2_{− a¯}_a

(R2_{− z¯}_a)f (z)

´e holomorfa em ¯BR com o valor f (a) em z = a: por isso o res´ıduo da integranda em (3) ´e

precisamente f (a), o que prova (3).

Escrevendo a = reiθ_{e exprimindo o integral em (3) atrav´es da parametriza¸c˜}_{ao de ∂B}

Robtemos (para r < R) f (reiθ_{) =} 1 2π Z 2π 0 R2_{− r}2 R2_{− 2Rr cos(θ − t) + r}2f (Re it_{) dt.}

A parte real de f ´e, pois:

u(reiθ) = 1 2π Z 2π 0 R2− r2 R2_{− 2Rr cos(θ − t) + r}2u(Re it_{) dt.} ₍₄₎

Ora, t 7→ u(Reit_{) ´e a representa¸c˜}_{ao do valor de u em ∂B}

R: ´e a fun¸c˜ao g a que se alude em (2) (que

pode ser pensada como uma fun¸cão periódia de per´ıodo 2π). Podemos dizer então que a solu¸cão de (1)-(2) é u(reiθ_{) =} 1 2π Z 2π 0 R2_{− r}2 R2_{− 2Rr cos(θ − t) + r}2g(Re it_{) dt} ₍₄₎

pelo menos no caso em que u é harmónica num disco ligeiramente maior. Na verdade este resultado é válido em condi¸cões mais gerais:

Se g ´e cont´ınua em ∂BR, o segundo membro de (4) define uma fun¸c˜ao cont´ınua em ¯BR,

harmónica em BR e que é solu¸cão de (1)-(2).

(4) ´e conhecida como f´ormula de Poisson.

Nota: que nos leva a escrever a equa¸c˜ao (3)? Sabemos, utilizando o teorema dos res´ıduos, que para a ∈ BRtem-se

f (a) = 1 2πi Z γ ϕ(z)f (z) z − a dz

onde ϕ é uma qualquer fun¸cão holomorfa em ¯BRcom ϕ(a) = 1. O que pretendemos é escolher ϕ de

modo a facilitar-nos a separa¸cão da parte real no integral já escrito em termos de parametriza¸cão:

f (a) = 1 2π

Z 2π

0

ϕ(Reit_)Reit_{f (Re}it₎

Reit_{− a} dt.

Este segundo membro ´e igual a 1

2π Z 2π

0

ϕ(Reit_)Reit_(Re−_it

− ¯a)f (Reit₎ (Reit_{− a)(Re}−it_{− ¯}_a) dt = 1 2π Z 2π 0

ϕ(Reit_)(R2_{− Re}it_¯_{a)f (Re}it₎

R2_{− 2Rr cos(θ − t) + r}2 dt

(10)

onde a = reiθ_{. O objectivo ´e que o coeficiente de f (Re}it_{) seja real, pois isso permite-nos separar a}

parte real de f (a) do modo mais simples poss´ıvel. Ent˜ao basta que ϕ(Reit_)(R2_{− Re}it_¯_a)

seja uma constante real, e para que ϕ(a) = 1 facilmente concluimos que podemos tomar

ϕ(z) =R

2_{− a¯}_a

R2_{− z¯}_a.