An´
alise na Reta
Departamento de Economia, Universidade de Bras´ılia
Nota de Aula 6 – Limites de Fun¸c˜
oes
Prof. Jos´
e Guilherme de Lara Resende
1
Introdu¸
c˜
ao
Essa nota de aula ´e baseada em ? (?), cap´ıtulo 6. ? (?), cap´ıtulo VI, tamb´em discute esse t´opico, de maneira mais aprofundada.
1.1
Defini¸
c˜
ao de Limite
Defini¸c˜ao: Limite de uma Fun¸c˜ao Real. Sejam X ⊂ R, f : X → R uma fun¸c˜ao real, e a ponto de acumula¸c˜ao de X. Se existir L ∈ R tal que para todo ε > 0, exista δ > 0 de modo que para todo x ∈ X, com 0 < |x − a| < δ, temos |f (x) − L| < ε, ent˜ao dizemos que L ´e o limite da fun¸c˜ao f (x) quando x tende para a.
Pela defini¸c˜ao acima, vemos que n˜ao ´e necess´ario que a perten¸ca ao conjunto X. Se L ´e o limite de f quando x tende a a, escrevemos limx→af (x) = L. A defini¸c˜ao diz que podemos fazer f (x)
t˜ao perto de L quanto quisermos, bastando fazer x t˜ao pr´oximo de a quanto necess´ario. A restri¸c˜ao 0 < |x − a| implica que estamos tomando pontos em X distintos de a. Logo, o valor que f assume em a, f (a), n˜ao tem relevˆancia na identifica¸c˜ao do limite de f quando x tende a a.
Por isso, o essencial ´e que o ponto a seja um ponto de acumula¸c˜ao de X, podendo a pertencer ou n˜ao ao dom´ınio de f . Por exemplo, a fun¸c˜ao q(x) = (f (x) − f (a))/(x − a) n˜ao est´a definida em a, mas limx→aq(x) pode existir. Neste caso, definimos f0(a) = limx→aq(x).
Mostrar que L n˜ao ´e o limite de f quando x tende a a consiste em mostrar que existe ε > 0 tal que para todo δ > 0, existe um ponto xδ ∈ X, com 0 < |xδ− a| < δ e |f (xδ) − L| ≥ ε.
1.2
Resultados
Teorema 1. Sejam f, g : X → R, a ∈ X0, limx→af (x) = L e limx→ag(x) = M . Se L < M ,
ent˜ao existe δ > 0 tal que f (x) < g(x) para todo x ∈ X com 0 < |x − a| < δ.
O Teorema 1 n˜ao vale se substituirmos L < M por L ≤ M . Por´em valem vers˜oes an´alogas dele e de seus corol´arios abaixo para a desigualdade estrita contr´aria (>).
Corol´ario 1. Se limx→af (x) = L < M , ent˜ao existe δ > 0 tal que f (x) < M para todo x ∈ X
Os resultados acima podem ser simplificados, pois o conceito de limite ´e local. Por exemplo, podemos mudar a exigˆencia do Teorema 1 de que f (x) < g(x) para todo x ∈ X para f (x) < g(x) para todo x ∈ V ∩X, onde V ´e uma vizinhan¸ca qualquer de a. J´a o Teorema 2 permanece v´alido se relaxarmos a condi¸c˜ao “f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) para todo x ∈ X \{a}” para “f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) para todo x ∈ (V ∩ X) \ {a}, onde V ´e uma vizinhan¸ca qualquer do ponto a”.
Teorema 3 (Caracteriza¸c˜ao de Limites por Sequˆencias). Sejam f : X → R e a ∈ X0. Temos que limx→af (x) = L se, e somente se, para toda sequˆencia de pontos xn ∈ X \ {a} com
lim xn= a, vale que lim f (xn) = L.
Corol´ario 1: Unicidade do Limite. Sejam f : X → R e a ∈ X0. Se limx→af (x) = L e
limx→af (x) = M , ent˜ao L = M .
Corol´ario 2: Opera¸c˜oes com Limites. Sejam f, g : X → R, a ∈ X0, com limx→af (x) = L
e limx→ag(x) = M . Ent˜ao:
lim x→a[f (x) ± g(x)] = L ± M ; lim x→a[f (x) · g(x)] = L · M ; lim x→a f (x) g(x) = L M , se M 6= 0.
Al´em disso, temos que se limx→af (x) = 0 e g ´e limitada numa vizinhan¸ca de a, ent˜ao
limx→a[f (x) · g(x)] = 0
Teorema 4. Sejam f : X → R e a ∈ X0. Se existe limx→af (x) ent˜ao f ´e limitada numa
vizinhan¸ca de a, isto ´e, existem δ > 0 e c > 0 tais que para todo x ∈ X, com 0 < |x − a| < δ, ent˜ao |f (x)| ≤ c.
Exemplo 1. Considere as fun¸c˜oes identidade e constante f, g : R → R, definidas por f (x) = x e g(x) = c, c ∈ R, para todo x ∈ R. ´E f´acil mostrar que limx→af (x) = a e limx→af (x) = c,
para todo a ∈ R. Usando o Corol´ario 2 do Teorema 3, temos que para qualquer polinˆomio p : R → R, dado por p(x) = a0 + a1x + a2x2· · · + anxn, vale que limx→ap(x) = p(a).
Proposi¸c˜ao. Sejam g, h : X → R com h(x) 6= 0 para todo x ∈ X e defina f : X → R por f (x) = g(x)/h(x). Se limx→ah(x) = 0, ent˜ao limx→af (x) pode existir apenas se limx→ag(x) =
0 (mas isso n˜ao garante que limx→af (x) existe). Logo, se limx→ag(x) = L, L 6= 0, ent˜ao
limx→af (x) n˜ao existe.
Exemplo 2. Considere f, g : R \ {0} → R, definidas por f (x) = sin(1/x) e g(x) = x sin(1/x). Ent˜ao o limite quando x → 0 n˜ao existe para f , mas limx→0g(x) = 0.
Exemplo 3. Considere f : R → R, definida por f (x) = 1, se x ∈ Q e f (x) = 0 se x ∈ R \ Q. Ent˜ao n˜ao existe limite de f para nenhum ponto a ∈ R.
2
Limites Laterais
Defini¸c˜ao: Pontos de Acumula¸c˜ao `a Direita e `a Esquerda. Considere o conjunto X ⊂ R. Dizemos que o ponto a ∈ R ´e um:
• Ponto de acumula¸c˜ao `a direita do conjunto X (denota-se essa rela¸c˜ao por a ∈ X+0 , quando toda vizinhan¸ca de a contiver algum ponto de X com x > a (ou seja, para todo ε > 0, X ∩ (a, a + ε) 6= ∅).
• Ponto de acumula¸c˜ao `a esquerda do conjunto X (denota-se essa rela¸c˜ao por a ∈ X−0 , quando toda vizinhan¸ca de a contiver algum ponto de X com x < a (ou seja, para todo ε > 0, X ∩ (a − ε, a) 6= ∅).
Proposi¸c˜ao. Valem as seguintes equivalˆencias: • a ∈ X0
+ se, e somente se, a = lim xn, com xn ∈ X e xn > a, para todo n ∈ N.
• a ∈ X0
− se, e somente se, a = lim xn, com xn ∈ X e xn < a, para todo n ∈ N.
Se a ∈ X+0 ∩ X0
−, ent˜ao dizemos que a ´e um ponto de acumula¸c˜ao bilateral do conjunto X. Note
que todo ponto de acumula¸c˜ao `a esquerda ou `a direita ´e um ponto de acumula¸c˜ao do conjunto X, no sentido definido no cap´ıtulo 5.
Exemplo 4. Seja X = {1, 1/2, . . . , 1/n, . . . }. Ent˜ao 0 ∈ X+0 , mas 0 ∈ X−0 . Pontos extremos de intervalos tamb´em ser˜ao apenas ponto de acumula¸c˜ao ou `a esquerda ou `a direita (um e somente um desses).
Exemplo 5. Seja K ⊂ R o conjunto de Cantor. Todo ponto a ∈ K ´e ponto de acumula¸c˜ao de K. Se a extremo de algum dos intervalos eliminados na constru¸c˜ao de K, ent˜ao a ´e um ponto de acumula¸c˜ao ou `a direita (se ´e supremo do intervalo eliminado) ou `a esquerda (se ´e ´ınfimo do intervalo eliminado). Se a ∈ K n˜ao for ponto extremo de algum intervalo eliminado, ent˜ao a ´e ponto de acumula¸c˜ao bilateral.
Defini¸c˜ao: Limites `a Direita e `a Esquerda. Considere a fun¸c˜ao f : X →⊂ R. • Suponha que a ∈ X0
+. Dizemos que L ∈ R ´e o limite `a direita de f se para todo ε > 0,
existe δ > 0 tal que para todo x ∈ X com 0 < x − a < δ (dizemos que x tende a a pela direita), ent˜ao |f (x) − L| < ε. Se este for o caso, escrevemos lim
x→a+f (x) = L ou
lim
x&af (x) = L.
• Suponha que a ∈ X0
−. Dizemos que L ∈ R ´e o limite `a esquerda de f se para todo ε > 0,
existe δ > 0 tal que para todo x ∈ X com 0 < a − x < δ (dizemos que x tende a a pela esquerda), ent˜ao |f (x) − L| < ε. Se este for o caso, escrevemos lim
x→a−f (x) = L ou
lim
Proposi¸c˜ao. Considere f : X → R e a ∈ X+0 ∩ X0
−. Ent˜ao existe lim
x→af (x) = L se, e somente
se, os limites laterais existem e
lim
x→a+f (x) = limx→a−f (x) = L
Exemplo 6. As fun¸c˜oes f, g, h, k : R \ {0} → R, definidas por f (x) = sin(1/x), g(x) = x/|x|, h(x) = 1/x e k(x) = e−1/x n˜ao possuem limite quando x → 0. As fun¸c˜oes f e h n˜ao possuem nenhum dos dois limites laterais. J´a para g, temos que limx→0+g(x) = 1 e limx→0−g(x) = −1.
Finalmente, limx→0+k(x) = 0, mas n˜ao existe limx→0−k(x), pois k n˜ao ´e limitada para valores
negativos de x pr´oximos a zero.
Exemplo 7. Seja I : R → R a fun¸c˜ao parte inteira, definida por I(x) = [x] = n, se n ≤ x < n + 1, n ∈ Z. Observe que a fun¸c˜ao est´a bem definida, pois para todo x ∈ R, existe um ´unico inteiro n tal que vale n ≤ x < n + 1. Se n ∈ Z, ent˜ao limx→n+I(x) = n e limx→n−I(x) = n − 1.
Defini¸c˜ao: Fun¸c˜oes Mon´otonas. Considere a fun¸c˜ao f : X → R, X ⊂ R e x, y ∈ X quaisquer. Dizemos que f ´e:
• crescente se x < y implicar f (x) < f (y); • n˜ao-decrescente se x < y implicar f (x) ≤ f (y); • decrescente se x < y implicar f (x) > f (y); • n˜ao-crescente se x < y implicar f (x) ≥ f (y).
Se f for de um dos quatro tipos acima, dizemos que ela ´e mon´otona.
Teorema 5. Seja f : X → R uma fun¸c˜ao mon´otona limitada. Para todo a ∈ X+0 e b ∈ X−0 ,
existem L = limx→a+f (x) e M = limx→b−f (x). Portanto, os limites laterais de uma fun¸c˜ao
real mon´otona limitada sempre existem.
3
Limites no Infinito e Limites Infinitos
Defini¸c˜ao 1 (Limite em +∞). Seja f : X → R, com X ⊂ R ilimitado superiormente. Escrevemos:
lim
x→+∞f (x) = L ,
quando para todo ε > 0, existir A > 0 tal que |f (x) − L| < ε, para todo x ∈ X com x > A. Defini¸c˜ao 2 (Limite em −∞). Seja f : X → R, com X ⊂ R ilimitado inferiormente. Escrevemos:
lim
x→−∞f (x) = M ,
quando para todo ε > 0, existir A > 0 tal que |f (x) − M | < ε, para todo x ∈ X com x < −A. Os resultados demonstrados para o caso geral x → a valem para limites no infinito, com as adapta¸c˜oes necess´arias.
Exemplo 8. limx→∞1/x = 0 = limx→−∞1/x. limx→+∞sin(x) e limx→−∞sin(x) n˜ao existem.
limx→−∞ex = 0, mas limx→∞ex = +∞, no sentido definido abaixo.
Defini¸c˜ao (Limites Infinitos). Sejam f : X → R, com X ⊂ R, e a ∈ X0. Escrevemos: • limx→af (x) = +∞ quando para todo A > 0 existir δ > 0 tal que para todo x ∈ X com
0 < |x − a| < δ, ent˜ao f (x) > A.
• limx→af (x) = −∞ quando para todo A > 0 existir δ > 0 tal que para todo x ∈ X com
0 < |x − a| < δ, ent˜ao f (x) < −A.
Podemos definir tamb´em varia¸c˜oes desses tipos de limite, tais como limx→a+f (x) = +∞,
limx→a+f (x) = −∞, limx→+∞f (x) = +∞, limx→−∞f (x) = +∞, etc.
Para limites infinitos de fun¸c˜oes, valem resultados an´alogos aos do Teorema 9, cap´ıtulo 3, para limites infinitos de sequˆencias.
Usando a no¸c˜ao de limites de fun¸c˜ao, podemos argumentar melhor por que express˜oes como +∞ − ∞, 0/0, 0 × ±∞, ∞/∞, 00, ∞0 e 1∞ n˜ao est˜ao determinadas. A id´eia ´e que podemos ter fun¸c˜oes convergindo para cada um dos limites que comp˜oem a express˜ao indeterminada, mas que a fun¸c˜ao definida pela opera¸c˜ao analisada n˜ao convirja ou que seja poss´ıvel encontrar exemplos de pares de fun¸c˜oes onde as fun¸c˜oes convirjam para n´umeros diferentes.
Vamos dar um exemplo para tornar a ideia mais clara. Considere +∞ − ∞. Tome o seguinte par de fun¸c˜oes: f, g : R → R, definidas por f (x) = c + 1/(x − a)2 e g(x) = 1/(x − a)2.
Ent˜ao limx→af (x) = +∞, limx→ag(x) = +∞, e limx→a[f (x) − g(x)] = c. Como c pode
assumir qualquer valor, percebemos que n˜ao podemos afirmar nada no caso geral do limite de f (x) − g(x) quando x → a. Nesse sentido, dizemos que a express˜ao +∞ − ∞ ´e indeterminada.
