Um estudo sobre funções enquadrado nos novos programas de Matemática

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Um estudo sobre fun¸

c˜

oes enquadrado

nos novos programas de Matem´

atica

Ana Cristina Lopes Augusto

Orientadora: Isabel Alexandra Ferreira da Silva Vaz Nicolau

Co-orientadora: Elza Maria Alves de Sousa Amaral

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Mestre em Ensino de Matem´atica no 3o _{Ciclo do}

Ensino B´asico e Secund´ario de acordo com o disposto no Decreto-Lei n.o 74/2006 de 24 de mar¸co.

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Agradecimentos

A realiza¸cão desta disserta¸cão foi acompanhada por vários colaboradores, sapientes e impres-cind´ıveis à concretiza¸cão deste trabalho. A todos, muito obrigada. Às minhas orientadoras, Professora Doutora Isabel Alexandra Nicolau e Professora Doutora Elza Maria Alves de Sousa Amaral, pelo empenho, dedica¸cão e total disponibilidade com que dirigiram e acompanharam esta disserta¸cão. As sugestões e comentários proferidos foram fundamentais para a consecu¸cão da mesma. Aos familiares e amigos que me apoiaram e estimularam nesta iniciativa. De um modo muito especial, à minha mãe, que foi o principal pilar para a realiza¸cão desta disserta¸cão, cuidando dos meus filhos e acompanhando-os quando eu estive ausente. Este apoio incondicional revelou-se imprescind´ıvel na efetiva¸cão deste trabalho. É aos meus filhos, Francisco e Joana, que dedico este trabalho.

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Conte´

udo

Resumo ix

Abstract xi

Introdu¸c˜ao 1

1 Programas de Matem´atica desde 1991 3

1.1 Programa de Matem´atica do 3o Ciclo do Ensino B´asico 1991 . . . 3

1.2 Programa de Matem´atica do Ensino Secund´ario 1991 . . . 5

1.3 Curr´ıculo Nacional do Ensino B´asico . . . 8

1.4 Novo Programa de Matem´atica do Ensino B´asico 2007 . . . 9

1.5 Programa de Matem´atica do Ensino Secund´ario 2003/2004 . . . 18

1.6 Metas de Aprendizagem . . . 28

2 Fun¸c˜oes 31 2.1 No¸c˜oes preliminares . . . 31

2.1.1 Opera¸c˜oes L´ogicas . . . 31

2.1.2 Conjuntos . . . 32

2.1.3 O conjunto dos n´umeros reais . . . 33

2.1.4 Correspondˆencias e aplica¸c˜oes . . . 35

2.2 Fun¸c˜oes reais de vari´avel real . . . 36

2.2.1 Tipos de fun¸c˜oes . . . 36

2.2.2 Opera¸c˜oes entre fun¸c˜oes . . . 39

2.2.3 Classifica¸c˜ao de fun¸c˜oes . . . 39

2.2.4 Composi¸c˜ao de fun¸c˜oes . . . 40

2.2.5 Inversa de uma fun¸c˜ao . . . 40

2.2.6 Fun¸c˜oes exponencial e logar´ıtmica . . . 41

2.2.7 Fun¸c˜oes trigonom´etricas . . . 42

2.2.8 Fun¸c˜oes Trigonom´etricas Inversas . . . 44

2.3 Limites e Continuidade de Fun¸c˜oes . . . 45

2.3.1 No¸c˜oes Topol´ogicas . . . 45

2.3.2 Limite de uma fun¸c˜ao num ponto . . . 46

2.3.3 Teoremas sobre limites de fun¸c˜oes . . . 47

2.3.4 Limites laterais . . . 49

2.3.5 Limites no infinito. Limites infinitos . . . 50 vii

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2.3.6 Continuidade num ponto . . . 50

2.3.7 Continuidade num intervalo . . . 52

2.4 Diferencia¸c˜ao . . . 54

2.4.1 Defini¸cão e interpreta¸cão geométrica de derivada de uma fun¸cão num ponto 54 2.4.2 Propriedades das fun¸cões deriváveis . . . 56

2.4.3 Derivadas sucessivas . . . 58

2.5 Aplica¸c˜oes da derivada . . . 58

2.5.1 Determina¸c˜ao de extremos de fun¸c˜oes . . . 62

2.5.2 Concavidades e pontos de inflex˜ao . . . 63

2.5.3 Ass´ıntotas . . . 64

2.5.4 Estudo completo de uma fun¸c˜ao real de vari´avel real . . . 65

3 Tarefas aplicadas na sala de aula 69 3.1 Tarefa 1 - A Compra do televisor . . . 73

3.2 Tarefa 2 - O tesouro escondido . . . 77

3.3 Tarefa 3 - A corrida dos 400 metros . . . 79

3.4 Tarefa 4 - Interpreta¸c˜ao de tabelas e gr´aficos . . . 81

3.5 Tarefa 5 - As Fun¸c˜oes Quadr´aticas do tipo y = ax2 . . . 85

3.6 Tarefa 6 - Dia do Patrono da Escola . . . 87

Anexos i ´Indice de Tabelas . . . xviii

´Indice de Figuras . . . xix

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Resumo

Os novos programas de matemática do terceiro ciclo do ensino básico, conduziram profes-sores e alunos a grandes mudan¸cas nas práticas letivas. O ensino da disciplina passou a ter o seu principal enfoque no aluno, pretendendo que este se torne um agente mais dinâmico e participativo das novas práticas de sala de aula. Na consecu¸cão deste trabalho, come¸ca-se por analisar e comparar os anteriores programas do terceiro ciclo do ensino básico e secundário com os atuais. Constatando que o tópico das fun¸cões é abordado de forma transversal, ao longo de toda a escolaridade, realiza-se um estudo teórico sobre as fun¸cões, como suporte para o professor nas suas práticas letivas. Com base nos objetivos preconizados no novo programa e nas suas especificidades metodológicas, realizam-se a planifica¸cão e aplica¸cão, em contexto de sala de aula, de tarefas, versando o tópico das fun¸cões no terceiro ciclo do ensino básico. Descreve-se e analisa-se o desempenho dos alunos na realiza¸cão dessas tarefas.

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Abstract

The new math programs for the third cycle of basic education, led teachers and students to major changes in their teaching methods. The teaching began to have its main focus on the student, intending it to become an agent more dynamic and participatory in the new classroom practices. Pursuing this work, we start by analyzing and comparing the previous programs of the third cycle of basic education and secondary with the current one. Considering that the topic of functions is approached transversely throughout the pre-university school, we carried out a theoretical study on the functions, to support teachers in their practices. Basing our work in the goals set defined by the new national curricula and their methodological particularities, six working tasks on the functions topics, for the third cycle of basic education, were planned and prepared to realize in the context of the classroom. We also describe and analyze the performance of students during the accomplishment of the working tasks.

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Introdu¸

c˜

ao

O programa da disciplina de matemática do ensino básico e secundário sofreu significativas altera¸cões ao longo desta última década. Verificam-se mudan¸cas não só ao n´ıvel dos contéudos como também na forma de leciona¸cão dos programas. A leitura atenta dos novos documen-tos normativos sobre o programa de matemática remete-nos para altera¸cões significativas nas práticas letivas, sendo que hoje, o trabalho de sala de aula pressupõe dinâmicas substancial-mente diferentes das até aqui dominantes. O professor passa a assumir um papel primordial na orienta¸cão e acompanhamento de todo o processo de ensino/aprendizagem e, por sua vez o aluno, adota um papel de destaque na sala de aula, sendo esperado que seja induzido a construir o seu próprio conhecimento. Desta forma, pretende-se desenvolver nos alunos, não só uma maior autonomia nas aprendizagens realizadas como também um maior desenvolvimento das capacida-des de comunica¸cão matemática, racioc´ınio matemático e resolu¸cão de problemas, denominadas de transversais a qualquer tema preconizado neste novo programa.

No terceiro ciclo do ensino básico, o novo programa de matemática está estruturado segundo quatro temas: números e opera¸cões; álgebra; geometria; e organiza¸cão e tratamento de dados. O estudo das fun¸cões, integrado no grande tema da álgebra foi o que nos suscitou particular interesse e impulsionou o nosso estudo.

A transversalidade do tópico das fun¸cões estende-se ao longo do ensino básico e secundário, pelo que nesta disserta¸cão, foi previamente realizado um estudo cient´ıfico das fun¸cões no terceiro ciclo e secundário. Este estudo serviu de suporte à realiza¸cão e aplica¸cão de seis tarefas a propor aos alunos de uma turma do sétimo ano e uma turma do nono ano. A escolha destes anos de escolaridade prendeu-se com o facto de terem sido estes dois n´ıveis os atribu´ıdos à professora investigadora no ano letivo 2011/12 e, portanto, ser mais fácil a sua aplicabilidade.

Esta disserta¸cão está dividida em três cap´ıtulos: Programas de matemática desde 1991; Fun¸cões e, Tarefas aplicadas na sala de aula.

No primeiro cap´ıtulo, elaborou-se um estudo comparativo dos programas de matemática desde 1991 com os programas que entraram em vigor a partir de 2007 no ensino básico e a partir de 2003/04 no ensino secundário. Come¸cou-se por analisar os documentos estruturantes, apresentando as linhas orientadoras gerais de cada um, tendo sido elaborada uma reflexão sobre os mesmos. De seguida, foram constru´ıdas tabelas comparativas dos contéudos programáticos das fun¸cões dos antigos com os novos programas, a fim de se conseguir a abrangência necessária `

a perce¸c˜ao das mudan¸cas significativas entre eles.

No segundo cap´ıtulo, fez-se um estudo sobre fun¸cões. Este estudo teve como principal propósito aprofundar os conceitos sobre fun¸cões no sentido de melhorar as práticas letivas sub-jacentes ao estudo deste tópico.

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No terceiro cap´ıtulo, foram planificadas seis tarefas integradas no tópico das fun¸cões do terceiro ciclo, visando: abranger todos os objetivos programáticos poss´ıveis deste tópico; escolher tarefas diversificadas que promovessem o desenvolvimento das capacidades transversais previstas, particularmente aplicadas ao estudo das fun¸cões; e, implementar as novas metodologias de ensino em sala de aula. O trabalho realizado com os alunos, na sala de aula, foi analisado e, feita uma reflexão quanto ao desenvolvimento, aquisi¸cão e compreensão dos conceitos estudados. Foi igualmente previsto o uso das novas tecnologias no que respeita à discussão de algumas tarefas.

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Programas de Matem´

atica desde

1991

Nas seguintes seçcões vamos resumir os documentos normativos e estruturantes dos pro-gramas de Matemática do terceiro ciclo e secundário, desde o ano de 1991. Faremos ainda, a compara¸cão destes programas no que respeita ao tópico das fun¸cões, através da elabora¸cão de duas tabelas.

1.1 Programa de Matem´

atica do 3

o

_{Ciclo do Ensino B´}

_{asico 1991}

O programa da disciplina de Matemática para o 3o ciclo foi publicado e estruturado segundo dois volumes: o Volume I - Organiza¸cão Curricular e Programas e o Volume II - Plano de Organiza¸cão do Ensino - Aprendizagem.

No primeiro volume, após uma breve introdu¸cão, são descritas as suas componentes fun-damentais, como sendo: as finalidades; os objetivos gerais; os conteúdos; as orienta¸cões meto-dológicas; e a avalia¸cão. Os conteúdos temáticos são apresentados por ciclo e organizados em quatro temas: Geometria, Números e Cálculo, Estat´ıstica e Fun¸cões.

E em particular, no tema das Fun¸cões, é dada especial aten¸cão ao conceito de fun¸cão, es-tudado não só em contexto Matemático mas também de outras ciências (F´ısica, Geografia, Economia, ...); à leitura, interpreta¸cão e constru¸cão de gráficos e, à representa¸cão gráfica e anal´ıtica de uma fun¸cão.

Os conteúdos abordados neste tema, são: Proporcionalidade direta, Conceito de fun¸cão, A proporcionalidade direta como fun¸cão, Proporcionalidade inversa, A proporcionalidade inversa como fun¸cão e Análise de gráficos que traduzem situa¸cões da vida real.

Para uma eficaz concretiza¸cão dos temas são propostas orienta¸cões metodológicas, no âmbito da resolu¸cão de problemas, do racioc´ınio, da comunica¸cão, dos conhecimentos, da história da matemática, do papel do professor e dos recursos. Entre outras, destacam-se as seguintes:

• os conceitos s˜ao abordados sob diferentes pontos de vista e progressivos n´ıveis de rigor e

formaliza¸c˜ao[7, pp. 193];

• As atividades a desenvolver, individuais ou em grupo, dever˜ao ser diversificadas e motiva-doras, pretendendo desenvolver a autonomia e o sentido de coopera¸c˜ao;

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• A capacidade de resolu¸cão de problemas adquire-se através da prática continuada de re-solu¸cão de muitos tipos de problemas;

• Devem ser propostas, ao aluno, atividades que permitam desenvolver o racioc´ınio indutivo e dedutivo e serão inseridas algumas no¸cões de lógica consoante a necessidade;

• Devem ser propostas atividades que estimulem o aluno a usar linguagem matem´atica, nomeadamente para explicar os seus racioc´ınios e defender as suas ideias. No entanto, pela dificuldade que causa aos alunos, o seu uso formal deve ser introduzido de forma progressiva.

• A aquisi¸cão de conhecimentos deve, ser feita inicialmente através da resolu¸cão de pro-blemas, que envolvam conceitos e técnicas já adquiridos pelos alunos, e em consequência conduzam à descoberta de novas no¸cões;

• Cada conceito deve ser tratado e retomado em momentos e contextos diferentes[7, pp.

195];

• A atividade do professor deve caminhar no sentido deste ser o dinamizador e regulador do sistema de aprendizagem e onde toda a atividade se centra no aluno.

Por sua vez, o Volume II - Plano de Organiza¸c˜ao do Ensino - Aprendizagem, ´

e constitu´ıdo por um conjunto de propostas de trabalho, que sem terem um caráter norma-tivo, pretendem esclarecer o professor quanto às várias componentes curriculares facilitando-lhe, assim, as suas planifica¸cões. Para que o professor tenha uma visão global do programa, os conteúdos temáticos são apresentados por anos. De seguida, apresentam-se para cada unidade, objetivos espec´ıficos e observa¸cões/sugestões metodológicas que visam concretizar as orienta¸cões metodológicas sugeridas no volume I.

Pode observar-se nos gráficos elaborados no documento, que é no nono ano que o tema das Fun¸cões assume maior peso relativo.

No sétimo ano, os alunos estudam a Proporcionalidade Direta. São propostos problemas em contextos reais, abordando diferentes áreas do conhecimento. Os alunos trabalham com juros, taxas, câmbios, escalas de mapas, entre outros. Utilizam propor¸cões, a regra de três simples e efetuam o cálculo de percentagens usando a calculadora e/ou o cálculo mental.

No oitavo ano, parte-se da ideia intuitiva de correspondência, trabalhada na proporciona-lidade direta e introduz-se o conceito de fun¸cão e linguagem relativa às fun¸cões. Estudam-se os diferentes modos de representar uma fun¸cão e ainda, a proporcionalidade direta como uma fun¸cão. São apresentados gráficos de fun¸cões ligados a situa¸cões concretas e estudadas as va-ria¸cões dos parâmetros k e b nas fun¸cões definidas por equa¸cões do tipo y = kx + b.

No nono ano, retoma-se o conceito de fun¸cão com o estudo da Proporcionalidade Inversa. A partir de situa¸cões da vida real, é proposto aos alunos que resolvam problemas de propor-cionalidade inversa. São, de novo, confrontados com o conceito de fun¸cão, já estudado em anos anteriores, mas que agora é novamente concretizado no estudo da fun¸cão inversa perante a sua expressão anal´ıtica, constru¸cão e interpreta¸cão de tabelas e gráficos. São, ainda, apresentados outros tipos de gráficos e explorada a sua análise fazendo uso da comunica¸cão matemática.

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Assim, em termos globais, o estudo das fun¸cões no 3o ciclo, é concretizado em contextos da vida real, da matemática e das outras ciências, tratando-se de uma abordagem mais direcionada para a organiza¸cão, tratamento e interpreta¸cão de informa¸cões. O estudo mais formal e refinado deste tema é feito a partir do 11oano, com base nos conteúdos da análise infinitesimal, pelo que, a partir dessa etapa, os conceitos adquiridos, até então, de forma intuitiva serão progressivamente formalizados e interiorizados pelos alunos.

1.2 Programa de Matem´

atica do Ensino Secund´

ario 1991

As pretensões de mudan¸ca sentidas por grande parte dos professores de matemática do pa´ıs foram institu´ıdas nas suas práticas letivas - ”A reforma curricular dos programas do ensino secundário”, passou a ser uma realidade. Foram seguidos os princ´ıpios e orienta¸cões definidos na Lei de Bases do Sistema Educativo e, concretizados no Decreto Lei no286/89. Produziram-se propostas programáticas espec´ıficas para a disciplina de matemática que foram realizadas por uma equipa de trabalho constitu´ıda para o efeito. E, na sua elabora¸cão, houve o cuidado de ser feita uma interliga¸cão entre os diferentes ciclos de ensino e o ensino secundário, de forma a tornar-se um documento coeso. Procurou dar-se uma nova orienta¸cão ao processo educativo, prevendo no curr´ıculo, não só a aquisi¸cão de conhecimentos ao n´ıvel das aptidões e capacidades, assumindo neste n´ıvel de ensino um peso relevante, mas também o desenvolvimento de atitudes e a consciencializa¸cão de valores. Neste sentido, são apontados os seguintes objetivos gerais para o ensino secundário:

• Criar as condi¸c˜oes que permitam a consolida¸c˜ao e aprofundamento da autonomia pessoal

conducente a uma realiza¸c˜ao individual e social gratificante;

• Proporcionar a consolida¸cão, aperfei¸coamento e dom´ınio de saberes, instrumentos e me-todologias que fundamentem a cultura human´ıstica, art´ıstica, cient´ıfica e técnica, e fa-vore¸cam, numa perspectiva de educa¸cão permanente, a defini¸cão de interesses e motiva¸cões próprios face a op¸cões escolares e profissionais;

• Aprofundar valores, atitudes e práticas que preparem intelectual e afectivamente os jovens para o desempenho consciente dos seus papéis numa sociedade democrática.[6, pp. 9]

Para cada um destes objetivos gerais, foram enumerados objetivos espec´ıficos, quanto à dimensão pessoal, ao dom´ınio das aquisi¸cões fundamentais para o desempenho de papéis social-mente úteis e no que se refere à dimensão para a cidadania.

No que respeita à estrutura curricular, o ensino secundário é apresentado segundo uma sequência de três anos na qual o aluno deverá seguir uma carreira de estudos ou uma via pro-fissional. Assim, este sistema de ensino contempla a existência de cursos predominantemente orientados para a vida ativa ou para o prosseguimento de estudos, estando prevista uma mobili-dade entre eles, caso o aluno modifique as suas op¸cões de vida. Os planos curriculares são, ainda, compostos por três componentes de forma¸cão: uma de forma¸cão geral, de frequência obrigatória; uma de forma¸cão espec´ıfica e uma de forma¸cão técnica. A disciplina de Matemática, integrada na componente de forma¸cão espec´ıfica, é comum aos dois tipos de cursos estruturantes do ensino

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secundário, pelo que deverá, por um lado, contribuir para a forma¸cão do indiv´ıduo, e por outro, conferir as competências necessárias para qualquer uma das op¸cões escolhidas.

Este documento divide-se em duas partes. Na parte I, são explicitados os pressupostos que conduziram à elabora¸cão deste programa. Assim, após uma breve introdu¸cão, são descritas as componentes fundamentais do programa, como sendo, as finalidades, os objetivos gerais, os conteúdos, as orienta¸cões metodológicas e a avalia¸cão.

Os objetivos gerais dividem-se entre três grandes grupos: valores e atitudes, capacidades e aptidões e conhecimentos. Apresenta também, as seguintes finalidades na disciplina de ma-temática:

• Desenvolver a capacidade de usar a matem´atica como instrumento de interpreta¸c˜ao e

interven¸c˜ao do real.

• Desenvolver as capacidades de formular e resolver, de comunicar, assim como a mem´oria, o rigor, o esp´ırito cr´ıtico e a criatividade.

• Promover o aprofundamento de uma cultura cient´ıfica, técnica e human´ıstica que consti-tuam suporte cognitivo e metodológico tanto para o prosseguimento de estudos como para a inser¸cão na vida ativa.

• Contribuir para uma atitude positiva face `a ciˆencia.

• Promover a realiza¸c˜ao pessoal mediante o desenvolvimento de atitudes de autonomia e solidariedade.[6, pp. 26]

No que respeita aos objetivos propostos e finalidades a sua concretiza¸cão implica o uso de uma nova metodologia, prevendo que o aluno deverá ser o principal impulsionador da sua aprendizagem. Pelo que, é sugerida uma primeira abordagem intuitiva e experimental em alguns temas a lecionar, contextualizando a Matemática na vida prática e nas outras ciências.

O programa divide-se em quatro temas: Números e Cálculo; Geometria e Trigonometria; Fun¸cões e Análise Infinitesimal e, Estat´ıstica e Probabilidades. Em todos eles, deve ser feita uma abordagem em espiral e progressiva ao longo do 10o, 11o e 12o anos, dando tempo ao aluno para adquirir e consolidar os conceitos abordados. Neste sentido, os temas devem ser prossegui-dos e abordaprossegui-dos várias vezes e em diferentes contextos, facultando uma melhor consolida¸cão e relaciona¸cão dos conceitos lecionados, em diferentes perspetivas. Nomeadamente, no estudo dos temas da Estat´ıstica e das Fun¸cões, deve ser refor¸cada a capacidade de usar a Matemática em situa¸cões da vida real, recorrendo, além desta ciência, a outras como a F´ısica, Qu´ımica, Econo-mia e Geografia. E no caso particular das Fun¸cões e Cálculo Infinitesimal, o programa entende que o estudo das fun¸cões é fundamental para a interpreta¸cão do mundo e suas leis. Devem, por isso, ser usados e interpretados gráficos de fun¸cões representativos de situa¸cões reais.

Neste programa, real¸cam algumas mudan¸cas significativas, como, a simbologia da lógica ser mais escassa, o peso da geometria aumenta e a maioria dos temas passam a ser enquadrados numa perspetiva sócio-cultural. O uso da calculadora, torna-se obrigatório, não só como facilitadora do cálculo, quando este não tem papel relevante nas atividades propostas, mas também como ferra-menta usada para propiciar a explora¸cão e investiga¸cão de diferentes conteúdos programáticos. O racioc´ınio dedutivo e a comunica¸cão matemática são, também, apontamentos significativos

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na orienta¸cão metodológica do programa. Nele se refere que, o uso adequado da linguagem matemática, por parte do aluno, atinge maior grau de eficiência se for confrontado, amiúde, com a necessidade de comunicar, oralmente ou por escrito, as suas ideias, pelo que se deve dar oportunidades de debate e exposi¸cão das mesmas na turma. O professor deve ainda propor atividades numa perspetiva histórico-cultural e assumir, neste programa, um papel dinamizador e regulador do processo de ensino-aprendizagem, motivando o aluno e responsabilizando-o pela própria aprendizagem.

A avalia¸cão, é agora vista como parte integrante do processo de ensino aprendizagem, assu-mindo um papel mais formativo. O professor deve propor atividades matemáticas significativas de forma a que o aluno se aproprie delas, desenvolva a autonomia desejada e evolua nas apren-dizagens. Por sua vez, as suas recolhas de informa¸cão, efetuadas pelo professor, devem ser cont´ınuas e abrangentes, permitindo acompanhar os alunos, de modo a refor¸car e aprofundar os seus conhecimentos.

Na parte II, o documento apresenta a disposi¸cão e seguimento dos diferentes temas, por ano e unidades temáticas, um organigrama com as principais conexões entre as unidades didáticas, gráficos com o peso relativo dos temas de cada ano, e, ainda, uma planifica¸cão das várias unidades. O professor deve prever, na sua planifica¸cão, como articular as diferentes unidades temáticas entre si, de modo a estabelecer liga¸cões do mesmo conceito em contextos diferentes. Deverá também, ter em aten¸cão, que há conteúdos sequenciais cuja ordem não pode ser alterada. Em particular, no que respeita ao estudo do tema das Fun¸cões, no 10o ano, são estudadas generalidades de fun¸cões, fun¸cão quadrática e fun¸cão módulo. No 11o ano, são estudadas as fun¸cões racionais e suas opera¸cões, sucessões e limites e, limites e derivadas de fun¸cões. No 12o ano são estudadas a no¸cão de integral, primitivas de fun¸cões racionais, área sobre um gráfico, fun¸cões trigonométricas em R, e as fun¸cões exponencial e logar´ıtmica.

Ao longo dos trˆes anos, o estudo das fun¸c˜oes assume um papel mais predominante no 11o e 12o anos.

A leitura pormenorizada deste documento normativo, mostra ter havido a preocupa¸cão de registar, a necessidade de diversificar os conteúdos de aprendizagem, estendendo-os aos três dom´ınios - conhecimentos, capacidades e atitudes. Houve também o cuidado de integrar mu-dan¸cas no que se refere ao papel relevante do aluno, considerado-o o centro de todo o processo de ensino-aprendizagem, como se afirma nas finalidades. Foram, ainda, expostas, diferentes conce¸cões ao n´ıvel das op¸cões metodológicas gerais, das quais são exemplo, a resolu¸cão de pro-blemas, o uso do racioc´ınio dedutivo, o exerc´ıcio da comunica¸cão matemática, a utiliza¸cão da calculadora e do computador, entre outros.

Mas o que constatámos, de facto, é que, na prática muitas das ideias preconizadas não foram integradas da melhor maneira. É o que podemos verificar, da leitura dos objetivos es-pec´ıficos e das op¸cões metodológicas espec´ıficas descritas no programa, pois, percebe-se que

nem a resolu¸cão de problemas, nem a utiliza¸cão de tecnologias, nem a liga¸cão da matemática `

a realidade através da realiza¸cão de projectos, constituem pólos de orienta¸cão claros dos novos programas[27, pp. 28].

Esta, é também a opinião de Jaime Carvalho e Silva, que na mesma revista escreve um artigo, ”Sobre a proposta de novos programas de Matemática para o Ensino Secundário”[23, pp. 31]. Segundo ele, a proposta de Novos Programas de Matemática para o Ensino Secundário, carece,

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antes de mais, de uma efetiva articula¸cão das orienta¸cões gerais do Ensino Secundário com as do 3o ciclo. E, aponta alguns defeitos que necessitavam ser reformulados:

• excessiva extens˜ao das mat´erias propostas;

• excessiva insistˆencia no c´alculo e nas rotinas;

• quase ausência de aspectos de modela¸cão matemática; • quase ausência de problematiza¸cão;

• ausˆencia de uma perspectiva num´erica, entre outros.

Apesar de tudo, e entendendo, o autor, estas ideias como pontos positivos a considerar numa reforma curricular, devem ser aprofundadas e desenvolvidas, de forma a que podendo ser integradas nas nossas práticas letivas, fa¸cam parte dum contexto favorável para a aprendizagem. Neste sentido, os aspetos inovadores que possam ser integrados devem acompanhar as exigências do ensino ao longo dos tempos e satisfazer as pretensões das sociedades em constante mudan¸ca.

1.3 Curr´ıculo Nacional do Ensino B´

asico

O Departamento de Educa¸cão Básica do Ministério da Educa¸cão publicou em 2001 o docu-mento, ”Curr´ıculo Nacional do Ensino Básico - Competências Essenciais”[2], onde se enunciam: as competências gerais do aluno à sa´ıda do ensino básico; as competências espec´ıficas de cada disciplina; e o conjunto de experiências de aprendizagem a proporcionar a todos os alunos.

Atendendo a que, a aprendizagem de um indiv´ıduo é feita segundo um processo progressivo e cont´ınuo, neste documento, as competências foram não só elencadas por ciclos mas também articuladas entre eles. Por esta razão, o termo competência pretende ser abrangente, no sentido de integrar conhecimentos, capacidades e atitudes.

Assim, após a descri¸cão das dez competências gerais, onde se aponta o que ”o aluno deve ser capaz de”no final do terceiro ciclo, são ilustradas para cada uma destas a sua operacionaliza¸cão transversal, ficando ao cuidado de cada área curricular/professor na sua disciplina decidir o modo de as concretizar. São ainda explanadas ”açcões a desenvolver por cada professor ”em contexto educativo, que se entendem como essenciais para o desenvolvimento dessa competência.

Seguem-se as competências espec´ıficas de cada disciplina/área curricular. A Matemática é uma disciplina com grande peso no curr´ıculo do ensino básico. Pelo que, o desenvolvimento do seu curr´ıculo deve ser feito em sintonia com os outros curr´ıculos para que seja exequ´ıvel a promo¸cão das competências gerais do ensino básico. Em particular, importa aqui real¸car as competências espec´ıficas da Matemática. O desenvolvimento das competências matemáticas é apresentado em quatro grandes dom´ınios temáticos: Números e Cálculo; Geometria; Estat´ıstica e Probabilidades; Álgebra e Fun¸cões. O dom´ınio da Álgebra e Fun¸cões, aparece apenas no terceiro ciclo.

As competências matemáticas de aspeto geral, que todos os alunos devem desenvolver na disciplina são:

• A predisposi¸cão para procurar padrões e regularidades e para formular generaliza¸cões em

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• A aptidão para analisar as rela¸cões numéricas de uma situa¸cão, explicitá-las em linguagem corrente e representá-las através de diferentes processos, incluindo o uso de s´ımbolos; • A aptidão para construir e interpretar tabelas de valores, gráficos, regras verbais e outros

processos que traduzam rela¸cões entre variáveis, assim como passar de umas forma de representa¸cão para outras recorrendo ou não a instrumentos tecnológicos;

• Aptidão para concretizar, em casos particulares, rela¸cões entre variáveis e fórmulas e para procurar solu¸cões de equa¸cões simples;

• A sensibilidade para entender e usar as no¸cões de correspondência e de transforma¸cão em situa¸cões concretas diversas.[2]

As competências matemáticas de caráter espec´ıfico, são:

• O reconhecimento do significado de f´ormulas no contexto de situa¸c˜oes concretas e a

aptidão para usá-las na resolu¸cão de problemas;

• A aptidão para usar equa¸cões e inequa¸cões como meio de representar situa¸cões problemáticas e para resolver equa¸cões, inequa¸cões e sistemas, assim como para realizar procedimentos algébricos simples;

• A compreensão do conceito de fun¸cão e das facetas que pode apresentar, como corres-pondência entre conjuntos e como rela¸cão entre variáveis;

• A aptidão para representar rela¸cões funcionais de vários modos e passar de uns tipos de representa¸cão para outros, usando regras verbais, tabelas, gráficos e expressões algébricas recorrendo, nomeadamente, à tecnologia gráfica;

• A sensibilidade para entender o uso de fun¸cões como modelos matemáticos de situa¸cões do mundo real, em particular nos casos em que traduzem rela¸cões de proporcionalidade direta e inversa.[2]

1.4 Novo Programa de Matem´

atica do Ensino B´

asico 2007

O documento, Novo Programa de Matemática do Ensino Básico (NPMEB) [11], estabelece um reajustamento do anterior programa para o ensino básico introduzindo mudan¸cas significati-vas no ensino da matemática. Segundo este, as principais razões que justificaram esta revisão e aperfei¸coamento foram: a introdu¸cão de modifica¸cões curriculares importantes no ensino da ma-temática; o desenvolvimento do conhecimento sobre o ensino e a aprendizagem da matemática nos últimos quinze anos; e a necessidade de melhorar a articula¸cão entre os programas dos três ciclos.

Estas mudan¸cas refletem-se: nas finalidades e objetivos gerais propostos para o ensino da matemática definindo as principais metas para o ensino e aprendizagem da disciplina; na va-loriza¸cão das competências matemáticas reconhecidas no Curr´ıculo Nacional do Ensino Básico [2]; na introdu¸cão de três Capacidades Transversais a toda a aprendizagem matemática - a Re-solu¸cão de Problemas, o Racioc´ınio Matemático e a Comunica¸cão Matemática; e na apresenta¸cão

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de quatro temas estruturantes de todo o ensino/aprendizagem - Números e Opera¸cões, Álgebra, Geometria e Organiza¸cão e Tratamento de Dados.

Assim, todo o ensino da Matemática deve ser orientado por duas finalidades fundamentais: i) promover a aquisi¸cão de informa¸cão, conhecimento e experiência em matemática e o

de-senvolvimento da capacidade da sua integra¸cão e mobiliza¸cão em contextos diversificados; ii) Desenvolver atitudes positivas face à matemática e a capacidade de apreciar esta ciência.[11,

pp. 3] Aliado às finalidades são propostos um conjunto de objetivos gerais para o ensino da matemática que contemplam três dom´ınios: o desenvolvimento de conhecimentos, capacidades e atitudes. São eles os seguintes:

1. Os alunos devem conhecer os factos e procedimentos b´asicos da matem´atica;

2. Os alunos devem desenvolver uma compreens˜ao da matem´atica;

3. Os alunos devem ser capazes de lidar com ideias matem´aticas em diversas representa¸c˜oes; 4. Os alunos devem ser capazes de comunicar as suas ideias e interpretar as ideias dos outros,

organizando e clarificando o seu pensamento matem´atico;

5. Os alunos devem ser capazes de raciocinar matematicamente usando os conceitos, repre-senta¸c˜oes e procedimentos matem´aticos;

6. Os alunos devem ser capazes de resolver problemas;

7. Os alunos devem ser capazes de estabelecer conexões entre diferentes conceitos e rela¸cões matemáticas e também entre estes e situa¸cões não matemáticas;

8. Os alunos devem ser capazes de fazer matemática de modo autónomo; 9. Os alunos devem ser capazes de apreciar a matemática.[11, pp 4-6]

Estes objetivos gerais, aqui apresentados de forma sum´aria, pretendem clarificar o signifi-cado e alcance das finalidades enunciadas, procurando tornar mais expl´ıcito o que se espera da aprendizagem dos alunos.

No que respeita às capacidades transversais, a Resolu¸cão de Problemas é tida como uma capacidade matemática fundamental, pois além de ter como objetivo aprender a resolver pro-blemas, trata-se de uma atividade manifestamente importante para a aprendizagem de diversos conceitos, representa¸cões e procedimentos matemáticos. O Racioc´ınio Matemático, deve abran-ger a formula¸cão e tese de conjeturas bem como, no final do terceiro ciclo, a sua demonstra¸cão. Os alunos devem, ainda, ser capazes de distinguir entre racioc´ınio indutivo e dedutivo e reco-nhecer diferentes métodos de demonstra¸cão. A Comunica¸cão Matemática, por sua vez, deve assumir um cariz oral e escrito e envolver progressivamente o dom´ınio da linguagem simbólica matemática.

Este documento agrega também Orienta¸cões Metodológicas Gerais, refor¸cando as ideias apontadas no Curr´ıculo Nacional do Ensino Básico no que respeita ao desenvolvimento das competências matemáticas. O aluno deve ter oportunidades de se envolver em experiências de aprendizagem diversificadas e significativas, das quais são exemplos: a resolu¸cão de problemas; a realiza¸cão de atividades de investiga¸cão; a realiza¸cão de projetos; a participa¸cão em jogos

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e ainda, resolver exerc´ıcios que lhe proporcionem a aquisi¸cão e consolida¸cão de conhecimentos através da prática compreensiva de procedimentos. Para possibilitar este desenvolvimento, o professor deve propor aos alunos tarefas diversificadas, envolvendo contextos matemáticos e não matemáticos. Na apresenta¸cão de uma tarefa à turma, o professor deve, em primeiro lugar, esclarecer os alunos quanto ao que se espera do seu trabalho e apoiá-los nas suas realiza¸cões; posteriormente, deve promover a concerta¸cão de resultados e ideias, numa discussão no grupo turma para que se possam institucionalizar conceitos e representa¸cões matemáticas.

Outras metodologias, referidas no novo programa do ensino básico, estão relacionadas com as representa¸cões; a explora¸cão de conexões; o uso de recursos; a valoriza¸cão do cálculo mental; a História da Matemática bem como o seu papel no mundo atual; e as diferentes formas de trabalho em sala de aula.

Neste documento destaca-se ainda a referência à Gestão Curricular. Assim, tendo em conta todas as especificidades da escola e dos alunos, o professor deve planificar o trabalho a realizar com os alunos, definindo as suas estratégias de ensino. Para o efeito, deve elaborar primeiro a sua planifica¸cão anual e só depois a planifica¸cão da cada unidade/aula, respetivamente. Existe também uma seçcão dedicada à Avalia¸cão. Sobre a avalia¸cão gostar´ıamos de destacar o seguinte trecho: ... deve, por isso, fornecer informa¸cões relevantes e substantivas sobre o estado das

aprendizagens dos alunos, no sentido de ajudar o professor a gerir o processo de ensino apren-dizagem.[11, pp. 12] Aqui real¸ca-se a importˆancia da avalia¸c˜ao conter cumulativamente um

car´ater formativo e regulador em todo o processo de ensino aprendizagem.

O NPMEB contém ainda uma descri¸cão dos quatro temas estruturantes ao longo dos três ci-clos de estudo. Para cada um dos temas, faz-se uma pequena introdu¸cão, explicita-se o propósito principal de ensino, os objetivos gerais de aprendizagem, as indica¸cões metodológicas e os tópicos a lecionar bem como os objetivos espec´ıficos.

No tópico das Fun¸cões, englobado no tema da Álgebra, é referido o seguinte: i) A articula¸cão com o segundo ciclo:

Num pequeno texto faz-se um apanhado geral do que os alunos trabalharam no segundo ciclo sobre este tema, nomeadamente: a rela¸cão de proporcionalidade direta; padrões geométricos e regularidades em sequências numéricas finitas ou infinitas (sucessões); generaliza¸cão das proprie-dades das opera¸cões numéricas; e, áreas e volumes de figuras e sólidos geométricos.

No terceiro ciclo pretende-se que: os alunos alarguem e aprofundem o estudo da rela¸cão de proporcionalidade direta, e iniciem o estudo da proporcionalidade inversa, ambas estudadas em termos de fun¸cões; a partir do estudo das sequências, apresentem simbolicamente o seu termo geral; estudem as equa¸cões do primeiro e segundo graus e sistemas de equa¸cões do primeiro grau; se introduzam as inequa¸cões e as fun¸cões associadas à modela¸cão de situa¸cões da realidade.

ii) Como prop´osito principal de ensino pretende-se:

desenvolver nos alunos a linguagem e o pensamento alg´ebrico, a capacidade de interpretar,

representar e resolver problemas usando procedimentos algébricos e de utilizar este conhecimentos e capacidades na explora¸cão e modela¸cão de situa¸cões em contextos diversos.[11, pp. 55]

iii) Segundo os objetivos gerais de aprendizagem referidos, os alunos devem:

• Ser capazes de interpretar e representar situa¸c˜oes em contextos diversos, usando

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• Compreender o conceito de fun¸c˜ao e ser capaz de o usar em diversas situa¸c˜oes, em parti-cular de proporcionalidade directa e inversa;

• ser capazes de interpretar fórmulas em contextos matemáticos e não matemáticos;

• ser capazes de resolver problemas, comunicar, raciocinar e modelar situa¸c˜oes recorrendo a conceitos e procedimentos alg´ebricos.[11, pp. 55]

iv) As Indica¸cões Metodológicas sugerem que o desenvolvimento do pensamento algébrico deve ser progressivo. Inicialmente devem propor-se tarefas diversificadas, onde os alunos pos-sam usar uma linguagem informal e, só mais tarde, deve ser feita uma manipula¸cão algébrica formal. Neste ciclo aprofunda-se o estudo das rela¸cões algébricas e sua simboliza¸cão. O trabalho desenvolvido deve ser efetuado do real para o abstrato, com vista à compreensão da linguagem algébrica.

As tarefas a desenvolver devem ser preferencialmente, resolu¸cão de problemas e modela¸cão de situa¸cões. Pode ser usada a folha de cálculo para, de um modo mais eficaz, se poder estabelecer rela¸cões entre variáveis, e linguagem algébrica e métodos gráficos, em tarefas de explora¸cão. Devem ainda, ser estabelecidas conexões com a Geometria e os Números e Cálculo, de modo que o estudo da Álgebra não seja fechado em si mesmo e visto apenas como um conjunto de regras e procedimentos.

Deve fazer-se uso das diversas formas de representa¸cão de uma fun¸cão em contexto de re-solu¸cão de problemas e modela¸cão de situa¸cões.

O estudo das fun¸cões afim, linear, inversa e quadrática simples deve ser explorado como ferramenta de modela¸cão de diferentes situa¸cões.

Na tabela 1.1 são apresentados, pelo Novo Programa do Ensino Básico, o tópico das fun¸cões e os subtópicos a lecionar bem como os objetivos espec´ıficos e algumas notas.

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T ´OPICOS OBJETIVOS ESPEC´IFICOS NOTAS

- Dar destaque ao conceito de - Compreender o conceito de fun¸cão fun¸cão como rela¸cão entre como rela¸cão entre variáveis e como variáveis.

correspondˆencia entre dois conjuntos,

e utilizar as suas várias nota¸cões. - Na análise de uma fun¸cão, os alunos devem identificar o - Identificar e assinalar vários pares dom´ınio, o contradom´ınio e ordenados no plano cartesiano. determinar as imagens de

FUNÇ ÕES objetos quando a fun¸cão é

- Analisar uma fun¸cão a partir das suas dada por uma tabela, por um representa¸cões. gráfico e por uma expressão

algébrica. - Interpretar a varia¸cão de uma fun¸cão

representada por um gráfico, - Propor a análise de gráficos - Conceito de fun¸cão e indicando intervalos onde a fun¸cão é que traduzam casos de de gráfico de uma fun¸cão crescente e decrescente, ou constante. proporcionalidade direta e

inversa em contextos de vida -Proporcionalidade direta - Analisar situa¸c˜oes de real.

e inversa como fun¸c˜oes proporcionalidade direta e inversa

como fun¸c˜oes do tipo - A partir de uma - Fun¸c˜oes linear e afim y = kx e y = k

x, k 6= 0, representa¸cão gráfica de uma respectivamente. fun¸cão linear ou afim,

- Fun¸c˜oes do tipo y = ax2 _{identificar a imagem dado o}

- Representar algebricamente situa¸c˜oes objeto e o objeto dada a de proporcionalidade direta e inversa. imagem.

- Os alunos devem

- Representar gráfica e algebricamente compreender a influência do uma fun¸cão linear e uma fun¸cão afim. parâmetro a e b (na expressão

y = ax + b) no gráfico da fun¸cão. - Relacionar as fun¸cões lineares e afim.

- Relacionar as fun¸cões linear com a - Propor a representa¸cão proporcionalidade direta. algébrica de uma:

- fun¸cão linear sendo dado um objeto não nulo e a sua imagem; - Representar graficamente fun¸cões do - fun¸cão afim sendo dados

tipo y = ax2_. _{dois objetos e as suas}

imagens. - Relacionar as representa¸c˜oes

algébrica e gráfica das fun¸cões - Na representa¸cão gráfica de estudadas. fun¸cões quadráticas utilizar

valores inteiros de a. Os -Resolver e formular problemas, e alunos devem compreender a modelar situa¸cões utilizando fun¸cões. influência da varia¸cão do

parâmetro a no gráfico da fun¸cão.

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As capacidades transversais, são tidas neste programa como um tópico a lecionar e por isso está estruturado como qualquer outro:

i) A articula¸c˜ao com o segundo ciclo

Ao longo do primeiro e segundo ciclos os alunos desenvolvem a capacidade de resolu¸cão de problemas e, no terceiro ciclo, espera-se que essa capacidade seja desenvolvida. Nos dois primeiros ciclos, os alunos adquirem maior poder de argumenta¸cão que lhes permite desenvolver, no terceiro ciclo, o seu racioc´ınio indutivo e dedutivo e, serem mais cr´ıticos na fundamenta¸cão e defesa do seu ponto de vista matemático. A linguagem corrente e matemática usada é mais cuidada e assertiva, permitindo uma melhor intera¸cão entre pares.

ii) Como prop´osito principal de ensino pretende-se,

Desenvolver nos alunos as capacidades de resolu¸c˜ao de problemas, de racioc´ınio e de

comu-nica¸cão matemáticos e de as usar na constru¸cão, consolida¸cão e mobiliza¸cão dos conhecimentos matemáticos.[11, pp. 62]

iii) Segundo os objetivos gerais de aprendizagem referidos, os alunos devem:

• resolver problemas em contextos matemáticos e não matemáticos, adaptando, concebendo

e pondo em prática estratégias variadas, discutindo as solu¸cões encontradas e os processos utilizados;

• raciocinar matematicamente, formulando e testando conjecturas e generaliza¸c˜oes, e desen-volvendo e avaliando argumentos matem´aticos incluindo cadeias dedutivas;

• comunicar oral e por escrito, recorrendo à linguagem natural e à linguagem matemática, interpretando, expressando e discutindo resultados, processos e ideias matemáticos.[11]

iv) As Indica¸cões Metodológicas sugerem que a resolu¸cão de problemas deve ser rica e di-versificada, pois é indispensável para a aquisi¸cão, compreensão a apropria¸cão de conhecimentos matemáticos dos diferentes temas tratados nos ciclos. Devem pois, ser propostos problemas com diferentes graus de estrutura¸cão e promover a discussão das diferentes estratégias de resolu¸cão em pequenos grupos e/ou no grupo turma, contribuindo assim, para uma reflexão e consequente sistematiza¸cão de ideias por parte dos alunos.

Nas tarefas de explora¸cão e investiga¸cão matemática, o aluno é conduzido a fazer racioc´ınios indutivos, quando procura generalizar as propriedades descobertas. Neste n´ıvel de ensino, os alunos também realizam racioc´ınios dedutivos, quando resolvem problemas e quando fazem demonstra¸cões simples.

Na Comunica¸cão Matemática, os alunos expõem e debatem as suas ideias oralmente, apren-dem a saber ouvir os outros e arranjam argumentos de defesa para as suas próprias ideias, quer quando questionados pelo professor quer na comunica¸cão com os colegas. Também devem ser propostas tarefas de comunica¸cão escrita ao aluno, isto é, pequenos relatórios ou textos, empregando progressivamente simbologia e vocabulário espec´ıfico da matemática.

Na tabela seguinte são apresentados, pelo Novo Programa de Matemática do Ensino Básico, os tópicos e subtópicos relativos às capacidades transversais bem como os objetivos espec´ıficos e algumas notas.

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T ÓPICOS OBJETIVOS ESPECÍFICOS NOTAS Resolu¸cão de problemas

- Compreens˜ao do problema

- Conce¸cão, aplica¸cão e justifica¸cão de estratégias

• Identificar os dados, as condi¸c˜oes e o objetivo do problema.

• Conceber e por em prática estratégias de resolu¸cão de problemas, verificando a adequa¸cão dos resultados obtidos e dos processos utilizados.

• Averiguar da possibilidade de abordagens diversificadas para a resolu¸c˜ao de um problema.

• Analisar as consequências da altera¸cão nos dados e nas condi¸cões de um problema na respetiva solu¸cão.

• Formular problemas a partir de

situa¸cões matemáticas e não matemáticas.

• Propor problemas com informa¸c˜ao irrelevante ou dados insuficientes, ou sem solu¸c˜ao.

• Considerar abordagens tais como:

- desdobrar um problema complexo em quest˜oes mais simples;

- explorar conexões matemáticas para obter múltiplas perspetivas de um problema;

- resolver um problema an´alogo mas mais simples; - explorar casos particulares; - resolver o problema

admitindo que se conhece uma solu¸c˜ao. • Usar as TIC na:

- resolu¸c˜ao de problemas e em atividades de

explora¸cão e investiga¸cão; - análise de um problema em diferentes

representa¸cões (por exemplo, na representa¸cão gráfica de um problema algébrico).

Racioc´ınio matemático - Formula¸cão teste e demonstra¸cão de conjeturas.

- Indu¸cão e dedu¸cão. - Argumenta¸cão.

• Formular, testar e demonstrar conjeturas. • Distinguir entre uma demonstra¸c˜ao e um teste de uma conjetura e fazer demonstra¸c˜oes simples. • Identificar e usar racioc´ınio indutivo e dedutivo.

• Compreender o papel das defini¸cões em matemática. • Distinguir uma argumenta¸cão informal de uma demonstra¸cão.

• Pedir aos alunos para identificar casos particulares, formular generaliza¸c˜oes e testar a validade dessas generaliza¸c˜oes.

• Proporcionar situa¸c˜oes em que os alunos raciocinem indutivamente

(formulando conjeturas a partir de dados obtidos na explora¸c˜ao de regularidades) e dedutivamente (demonstrando essas conjeturas).

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• Selecionar e usar vários tipos de racioc´ınio e métodos de demonstra¸cão.

• Salientar o papel das defini¸cões na dedu¸cão de propriedades, por exemplo no estudo dos quadriláteros. • Realizar uma pesquisa histórica sobre os Elementos de Euclides e a organiza¸cão axiomática desta obra. Salientar os significados de axioma, teorema e

demonstra¸cão. Analisar a demonstra¸cão da primeira proposi¸cão dos Elementos. • Fazer referência à análise exaustiva de casos e à redu¸cão ao absurdo como métodos de demonstra¸cão.

• Pedir a fundamenta¸cão de afirma¸cões através de conceitos, propriedades ou procedimentos matemáticos, ou contra-exemplos.

Comunica¸cão matemática - Interpreta¸cão

- Representa¸cão - Expressão - Discussão

• Interpretar informa¸c˜ao, ideias e conceitos representados de diversas formas, incluindo textos matem´aticos.

• Representar informa¸c˜ao, ideias e conceitos matem´aticos de diversas formas.

• Traduzir rela¸c˜oes de linguagem natural para linguagem matem´atica e vice-versa.

• Exprimir resultados, processos e ideias matemáticos, oralmente e por escrito, utilizando a nota¸cão, simbologia e vocabulário próprios.

• Discutir resultados, processos e ideias matem´aticos.

• Proporcionar a análise e interpreta¸cão de textos matemáticos com origens diversas (livros, manuais, jornais, Internet).

• Recorrer a vários tipos de representa¸cões (gráfica, algébrica e tabular) e estabelecer conexões entre elas para obter múltiplas perspetivas de um problema e das suas solu¸cões.

• Solicitar aos alunos a utiliza¸cão progressiva e consistente de simbologia e vocabulário adequados às situa¸cões.

• Criar oportunidades para apresenta¸c˜oes

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e para diversos tipos de intera¸c˜ao (professor-aluno,

aluno-aluno, aluno-turma, professor-turma).

• Criar situa¸cões em que os alunos interpretam e criticam as solu¸cões de um problema (ou a inexistência de

solu¸c˜oes) no seu contexto e discutem o processo de resolu¸c˜ao usado,

apresentando argumentos fundamentados.

Tabela 1.2: Subt´opicos relativos `as capacidades transversais

Para finalizar, o documento apresenta cinco quadros temáticos, onde se podem visualizar, para cada um dos temas, os diferentes tópicos ao longo dos três ciclos.

Fazendo uso dos documentos normativos analisados, Programa de Matemática - Plano de Organiza¸cão do Ensino Aprendizagem para o Ensino Básico do 3o _{ciclo (1991) e os NPMEB} (2007), podem comparar-se os seus: tópico e subtópicos das fun¸cões, na tabela 1.3.

Especifica¸c˜ao do tema (Programa-1991) Tema da ´Algebra (NPMEB-2007)

FUNÇ ÕES Tópico-FUNÇ ÕES

8o ano Conceito de fun¸c˜ao - Tabelas

- Gr´aficos

- Fun¸cões definidas por uma expressão anal´ıtica A proporcionalidade direta como fun¸cão x → kx - Gráfico da fun¸cão x → kx

- Gr´afico da fun¸c˜ao x → kx + b 9o ano Proporcionalidade inversa

- Constante de proporcionalidade inversa - Tabelas

- Gr´aficos

A proporcionalidade inversa como fun¸cão x → k x Análise de gráficos que traduzem situa¸cões

da vida real

7o, 8o e 9o anos Fun¸c˜oes

- Conceito de fun¸cão e de gráfico de uma fun¸cão

- Proporcionalidade direta e inversa como fun¸c˜oes

- Fun¸c˜ao linear e afim - Fun¸c˜oes do tipo y = ax2

Capacidades transversais - Resolu¸cão de problemas - Racioc´ınio Matemático - Comunica¸cão Matemática

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Analisando o quadro anterior e com base em todo o documento dos NPMEB 2007, pode concluir-se que as grandes altera¸cões curriculares relativamente ao Programa de Matemática do Ensino Básico de 1990/91, prendem-se essencialmente com a mudan¸ca de tópicos entre anos do mesmo ciclo e entre ciclos. Em particular, no que diz respeito ao ensino da Matemática no 3o ciclo, a diferen¸ca mais significativa entre os dois Programas é a valoriza¸cão da Álgebra. Constata-se que, no 1o _{ciclo, surgem as primeiras ideias alg´}_{ebricas no trabalho com sequˆ}_encias e no 2o ciclo, a Álgebra aparece já como um tema matemático individualizado. Mas é no 3o ciclo, que a Álgebra assume um realce evidente, uma vez que, se implementa o uso da linguagem algébrica, no trabalho com expressões, equa¸cões, inequa¸cões e fun¸cões para desenvolver no aluno a capacidade de lidar com vários tipos de rela¸cões matemáticas em contextos significativos. O desenvolvimento do pensamento algébrico marca uma grande diferen¸ca relativamente aos programas do ensino básico anteriores, fazendo uso do simbolismo algébrico de forma gradativa - come¸ca-se por experiências de caráter informal até chegar à manipula¸cão algébrica formal.

Inicia-se o estudo das fun¸cões, como rela¸cões de proporcionalidade direta. Estuda-se a fun¸cão afim e linear, em contextos preferencialmente da vida real. Analisam-se gráficos de fun¸cões e suas propriedades, propiciando, ao aluno, o desenvolvimento das diferentes capacidades transversais consoante o contexto que lhes são apresentadas e, realiza-se o estudo da fun¸cão de proporciona-lidade inversa. Ainda é estudada a fun¸cão quadrática, na forma mais simples, isto é, x → ax2, com a ∈ Z. Esta última, não fazia parte do estudo das fun¸cões do 3ociclo, tendo vindo a integrar este novo programa. Só no 10o ano de Matemática A, o estudo da fun¸cão quadrática é realizado de forma completa.

O novo programa aponta o desenvolvimento das capacidades transversais como objetivo de aprendizagem central e, como orienta¸cão metodológica geral a considerar, em particular, no tema de Álgebra.

As Observa¸cões/Sugestões metodológicas, do antigo programa, eram indica¸cões de um ensino direto. As Indica¸cões Metodológicas relativas ao novo programa, são indica¸cões que incentivam o ensino exploratório o qual é mais centrado no aluno. Pressupõe uma mudan¸ca substancial nas metodologias e práticas de sala de aula, cabendo ao professor escolher as tarefas que julgue mais adequadas e, ao aluno a atribui¸cão de um papel preponderante na constru¸cão do seu conhecimento.

1.5 Programa de Matem´

atica do Ensino Secund´

ario 2003/2004

A sociedade e o mundo em geral sofreram transforma¸c˜oes a um ritmo muito acelerado nesta ´

ultima década, e a educa¸cão teve necessidade de dar resposta às mudan¸cas fazendo-se acompa-nhar desta evolu¸cão. Procedeu-se a várias altera¸cões ao n´ıvel educativo, entre as quais, mais uma reforma dos programas de Matemática do ensino Secundário. O primeiro passo, nestas grandes altera¸cões no ensino da matemática, tinha sido dado com a reforma dos programas de 1991. Seguiram-se, várias tentativas de mudan¸ca e a implementa¸cão gradual do programa ajus-tado de Matemática para o ensino Secundário iniciou-se com o 10o ano, em 1997/1998. Após sucessivos adiamentos, só no ano letivo de 2003/2004 se deu a grande viragem, quando foram institu´ıdos os Novos Programas de Matemática do Ensino Secundário.

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no ensino secundário, continua a ser trienal e integrada na componente de forma¸cão espec´ıfica para os cursos Gerais de Ciências Naturais, Ciências e Tecnologias e Ciências Sócio-Económicas. Pretende-se, assim, assegurar a promo¸cão de uma forma¸cão cient´ıfica e técnica sólida no dom´ınio do conhecimento e para tal, agregaram-se no programa três grandes temas: Números e Geome-tria; Fun¸cões Reais e Análise Infinitesimal e, Estat´ıstica e Probabilidades.

No caso particular do estudo das Fun¸cões Reais, prevê-se apreciar não só uma perspetiva gráfica mas também numérica e algébrica das fun¸cões. Realiza-se uma abordagem ao cálculo de varia¸cões e limites, e ainda, ao estudo da continuidade, pese embora, feito sem recurso inicial às defini¸cões simbólicas rigorosas. As questões de lógica e teoria de conjuntos, aparecem dilu´ıdas nos diferentes temas, não são tratadas como conteúdo propriamente dito mas sim como ferramenta necessária à apropria¸cão de conceitos por parte dos alunos, segundo indica¸cões metodológicas sugeridas no programa e como tema transversal.

No sentido de estabelecer uma continuidade entre o terceiro ciclo e o secundário, evitando as cr´ıticas a que esteve sujeito o anterior programa, criou-se um módulo inicial no 10o ano, com a pretensão de incluir conceitos prévios considerados verdadeiramente essenciais e

estruturan-tes.[18, pp. 2]

Segue-se a apresenta¸cão do programa. O programa da disciplina de Matemática é apresen-tado segundo: as finalidades da disciplina no ensino secundário; objetivos e competências gerais; visão geral dos temas e conteúdos e sugestões metodológicas gerais.

No que respeita `as finalidades, acresce apenas mais uma `as enunciadas no programa de 1991, a saber:

Contribuir para o desenvolvimento da existˆencia de uma consciˆencia cr´ıtica e

in-terventiva em ´areas como o ambiente, a sa´ude e a economia entre outras, formando uma cidadania activa e participativa[18, pp. 3]

Observando os objetivos e competências gerais, embora estruturados da mesma forma que o programa anterior, entre valores/atitudes, capacidades/aptidões e conhecimentos, são notadas algumas altera¸cões no que respeita a este último. Pode assim constatar-se, no item ”Iniciar o estudo da Análise Infinitesimal”, não só a referência inovadora ao uso da calculadora gráfica, mas também que os conceitos de continuidade, derivadas e limites são abordados de forma intuitiva, delegando para segundo plano o formalismo algébrico a eles associado.

No ponto seguinte do programa, visão geral dos temas e conteúdos, constatámos que também a Álgebra, não é tratada num tema espec´ıfico, mas sim, dilu´ıda nos diferentes temas previstos.

Pela primeira vez no curr´ıculo, são integrados os temas transversais, como tópico a lecio -nar. São eles: a comunica¸cão matemática; aplica¸cões e modela¸cão matemática; história da matemática; lógica e racioc´ınio matemático; resolu¸cão de problemas e atividades investigativas e, tecnologia e matemática. Devem fazer parte integrante da planifica¸cão de cada tema e explorados de forma transversal e sistemática ao longo dos três anos. Fica pois, ao cuidado de cada professor definir, na sua planifica¸cão, os momentos e os temas transversais a tratar nos diferentes conteúdos programáticos. As capacidades transversais, são apresentadas neste programa, com destaque, sendo referidas não só como indica¸cões metodológicas mas também como tema obrigatório a tratar.

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De seguida, é apresentada uma tabela resumo onde se pode visualizar a distribui¸cão dos temas e respetivos tópicos por cada ano. E em particular, no que respeita às fun¸cões pode observar-se:

10o 11o 12o

Fun¸cões e Gráficos. Fun¸cões racionais e com Fun¸cões exponenciais e Fun¸cões polinomiais. radicais. Taxa de varia¸cão logar´ıtmicas.

Fun¸cão módulo. e derivada. Limites e continuidade. Conceito de derivada - Fun¸cão, gráfico e - Problemas envolvendo e aplica¸cões. representa¸cão gráfica. fun¸cões ou taxa de varia¸cão.

- Estudo intuitivo de - Propriedades das fun¸c˜oes - Teoria de limites propriedades da: do tipo f (x) = a + b

cx + d - Cálculo diferencial - fun¸cão quadrática; - Aproxima¸cão experimental - Problemas de otimiza¸cão.

- fun¸cão módulo. da no¸cão de limite.

- Fun¸cões polinomiais - taxa de varia¸cão e Trigonometria e (graus 3 e 4) derivadas em casos simples. números complexos. - Decomposi¸cão de - Opera¸cões com fun¸cões.

polinómios em fatores. Composi¸cão e inversão de - Fun¸cões seno, co-seno: fun¸cões. cálculo de derivadas

- Introdu¸cão histórica dos Sucessões reais números complexos.

- Complexos na forma - Defini¸cão e propriedades. algébrica e trigonométrica;

Exemplos ( o caso das opera¸cões e interpreta¸cão progressões) geométrica. - Sucessões 1 + 1 n n e primeira defini¸cão de e - Limites: infinitamente grande e infinitamente pequenos. Limites reais e convergência. Temas Transversais

Comunica¸cão matemática; História da matemática; Lógica e racioc´ınio matemático; Apli-ca¸cões e modela¸cão; restri¸cão matemática; resolu¸cão de problemas e atividades

investigativas e; tecnologia e matem´atica.

Tabela 1.4: Distribui¸cão do tema fun¸cões e respetivos tópicos por ano de escolaridade

No que se refere às sugestões metodológicas gerais, não sofreram grandes altera¸cões em rela¸cão aos programas anteriores, divergindo apenas na forma. Pode observar-se que em vez de ”um ensino em espiral ”, se propõe estabelecer conexões entre os temas, com grande enfoque para a realiza¸cão de diferentes tipos de trabalho em sala de aula, em detrimento do aprofundar dos mesmos. A introdu¸cão da axiomática das probabilidades, tem como objetivo dar a conhecer ao aluno a constru¸cão hipotético-dedutiva de uma ciência. Devem ser propostas aos alunos,

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”composi¸cões matemáticas”, com o intuito de fortalecer a capacidade de comunica¸cão oral e escrita matemática. E como método de trabalho, em sala de aula, deve estimular-se o trabalho de pares e grupos entre os alunos. O papel do professor continua a ser o de dinamizar e regular todo o processo de ensino-aprendizagem. Em termos da avalia¸cão do aluno, os instrumentos de avalia¸cão usados pelo professor devem ser diversificados e abrangentes. Não se restringindo aos testes, devem ser propostas um conjunto de tarefas que visem atingir as finalidades previstas no curr´ıculo. Em concreto, refere-se, como um elemento de avalia¸cão obrigatória, por per´ıodo letivo, a realiza¸cão de uma composi¸cão matemática, com o objetivo de desenvolver a comunica¸cão matemática. Esta tarefa, individual ou em grupo, pode ser executada sob a forma de resolu¸cão de um problema, uma demonstra¸cão, composi¸cão/reflexão, um projeto, um relatório, uma reflexão histórica, entre outras.

No que se refere aos recursos a usar, são referidos com pormenor, materiais e equipamen-tos diversificados que devem figurar nas escolas, mais propriamente num ”Laboratório de Ma-temática”. Entre outros, o uso da calculadora gráfica e o computador em sala de aula são considerados obrigatórios neste programa.

Por fim, surge o desenvolvimento do programa. O documento come¸ca por apresentar os temas transversais, e segue-se, para cada ano e para cada um dos três grandes temas, o seu de-senvolvimento. Para o efeito, são usadas indica¸cões metodológicas, que definem em pormenor, a forma de abordagem, a profundidade e o rigor que se pretende implementar neste programa. São ainda sugeridos alguns tópicos facultativos, para proporcionar ”mais matemática”, aos alunos interessados. Estes alunos podem desenvolver estes tópicos em trabalhos de projeto ou estudo em casa.

Nos temas transversais, as tarefas apresentadas ao alunos devem versar o desenvolvimento: da comunica¸cão matemática; das aplica¸cões e modela¸cão matemática; da história da matemática; da lógica e racioc´ınio; da reflexão sobre as heur´ısticas de Polya para a resolu¸cão de problemas - atividades investigativas e, da tecnologia e matemática. Neste contexto, pretende-se que as aprendizagens matemáticas sejam feitas, numa primeira fase, de forma intuitiva e numa fase progressiva e posterior, apare¸ca a escrita simbólica matemática com uma fun¸cão sintética, precisa e clarificadora. Trabalhar assuntos relacionados com a história da matemática assume um papel fundamental no programa, bem como o estabelecer conexões, através de aplica¸cões e modela¸cões, entre os diversos temas matemáticos e com outras ciências. De igual modo, devem ser propostos trabalhos de grupo ou pares que sejam apresentados e discutidos na turma. O recurso à história da matemática com a utiliza¸cão de exemplos ou a referência à evolu¸cão de conceitos matemáticos faz com que os alunos prezem o contributo da matemática face à compreensão e resolu¸cão de problemas da humanidade. As no¸cões de lógica e teoria de conjuntos são introduzidas consoante a necessidade de ser usada. O mesmo deve acontecer relativamente aos métodos de demonstra¸cão. Só devem ser usados após os alunos terem feito demonstra¸cões informais, entenda-se, depois do aluno ter argumentado e justificado as suas ideias. O conhecimento da heur´ıstica de Polya para a resolu¸cão de problemas, permite ao aluno perceber a importância de definir um plano bem estruturado e otimizar os seus desempenhos, quer na matemática quer nos diferentes desafios da sua vida. O professor deve promover atividades de natureza investigativa ajudando a desenvolver a linguagem e o simbolismo para comunicar ideias matemáticas, refor¸cando a capacidade de raciocinar logicamente. O uso da tecnologia, mais precisamente, o computador e a calculadora

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gráfica, deve ser usada como enriquecimento das aprendizagens matemáticas e não como ”simples substitui¸cão de racioc´ınios básicos”.

Em particular, o conhecimento sobre as fun¸cões foi ampliado com base no estudo anal´ıtico, numérico e gráfico, em especial com fun¸cões que envolvam variáveis do dia a dia ou de outras ciências. Comparando com o programa anterior, o desenvolvimento do tema prevê, nos 10o, 11o e 12o _{anos, conhecimentos espec´ıficos para cada um dos subt´}_{opicos a lecionar, que se apresentam} na tabela seguinte.

Desenvolvimento no programa de 1991 Desenvolvimento no programa de 2001

10o 10o

FUNÇ ÕES - I Generalidades. Fun¸cão quadrática. Tema II- Fun¸cões e gráficos. Fun¸cões Fun¸cão Módulo. polinomiais. Fun¸cão módulo. Gráfico cartesiano de uma fun¸cão Fun¸cão, gráfico

em referencial ortogonal. (gráfico cartesiano de uma fun¸cão em referencial ortogonal) e representa¸cão - Esbo¸co e interpreta¸cão do gráfico de uma gráfica.

fun¸c˜ao dada por uma tabela ou por uma f´ormula

da geometria, de outra ciˆencia ou da vida - Estudo intuitivo de propriedades das

corrente. fun¸c˜oes e dos seus gr´aficos.

(tanto a partir de um gráfico particular - No¸cões gerais relativas a fun¸cões de uma como usando a calculadora gráfica, para

vari´avel. as seguintes classes fun¸c˜oes:

i) Fun¸cões quadráticas; Fun¸cões quadráticas: i) Fun¸cão módulo.

E recorrendo a : Estudo dos gr´aficos de x → ax2 _; _{a) An´}_{alises dos efeitos das}

x → ax2_{+ c; x → a(x + h)}2 _mudan¸_{cas dos parˆ}_{ametros nos} x → ax2+ bx + c. Eixo de simetria. gr´aficos das fam´ılias de fun¸c˜oes Estudo do sinal de x → ax2_{+ bx + c a partir} _{dessas classes (considerando}

de a e de 4. apenas a varia¸c˜ao de um

Inequa¸c˜oes do 2o_grau. _parˆ_{ametro de cada vez);} Uso de quantificadores. b) Transforma¸c˜oes simples de

fun¸cões: dada a fun¸cão, esbo¸car o Fun¸cão módulo: gráfico das fun¸cões definidas por

y = f (x) + a.

Gr´afico de x → |x − a| y = f (x + a); y = af (x); y = f (ax); y = |f (x)|

A defini¸c˜ao. com a positivo ou negativo,

|x| = (

x se x ≥ 0

−x se x < 0 descrevendo o resultado com

recurso à linguagem das As propriedades: transforma¸cões geométricas.

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|x| < a ⇔ −a < x < a e

|x| > a ⇔ x < −a ∨ x > a, ∀x ∈ R Resolu¸c˜ao de problemas envolvendo |x| > a ⇔ x2_{> a}2 _fun¸_c˜_{oes polinomiais (com particular} |x| < a ⇔ x2_{< a}2 _incidˆ_{encia nos graus 2,3 e 4)} |x| = a ⇔ x2_{= a}2

Implica¸cão e equivalência de condi¸cões; inclusão Possibilidade da decomposi¸cão de um e igualdade de conjuntos. polinómio em fatores (informa¸cão). Fun¸cões de dom´_{ınio N:} Decomposi¸cão de um polinómio em

factores, em casos simples, por divisão Generalidades, gráficos. dos polinómios e recorrendo à regra de

Sucessões monótonas. Ruffini. Justifica¸cão desta regra. Sucessões limitadas.

11o 11o

FUNÇ ÕES - II- Fun¸cões Racionais. Opera¸cões. A Trigonometria é integrada no Tema I-Geometria no Plano e no Espa¸co II Polinómios:

- Divis˜ao inteira. Regra de Ruffini. - Resolu¸c˜ao de problemas que envolvam

- Divisibilidade por x − α. triˆangulos.

Fra¸cões algébricas: Angulo e arco generalizados:ˆ Dom´ınio, equivalência, opera¸cões. - radiano;

Equa¸cões e inequa¸cões fracionárias. - expressão geral das amplitudes dos ˆ

angulos com os mesmos lados, em graus Fun¸c˜oes polinomiais. Fun¸c˜oes racionais: e radianos

Opera¸cões com fun¸cões; composi¸cão; inversão;

restri¸cão. Fun¸cões seno, co-seno e tangente: - defini¸cão, varia¸cão (estudo no c´ırculo Fun¸cões com radicais quadráticos ou cúbicos: trigonométrico);

dom´ınio. - compara¸c˜ao de senos e co-senos de dois n´umeros reais.

TRIGONOMETRIA

Express˜ao geral das amplitudes dos ˆ

Angulo e arcos generalizados: ˆangulos com o mesmo seno, co-seno ou tangente.

-Radiano Equa¸cões trigonométricas elementares. -Expressão geral das amplitudes dos ângulos com

os mesmos lados, em graus e radianos.

Fun¸cões seno, co-seno e tangente: Tema II- Introdu¸cão ao cálculo diferencial - defini¸cão, varia¸cão (estudo no c´ırculo I. Fun¸cões racionais e com radicais. Taxa

trigonom´etrico); de varia¸c˜ao e derivada

- Valores em π₆ , π₄, π₃ radianos. - Rela¸c˜oes entre as fun¸c˜oes de α, e de π

2 ± α, - Resolu¸cão de problemas envolvendo π ± α e −α. fun¸cões ou taxa de varia¸cão. Analogia dos senos. - Estudo intuitivo das propriedades das