Estudo completo de uma fun¸ c˜ ao real de vari´ avel real

2.5 Aplica¸ c˜ oes da derivada

2.5.4 Estudo completo de uma fun¸ c˜ ao real de vari´ avel real

Por estudo completo de uma dada fun¸cão, considera-se a apresenta¸cão, de modo direto ou indireto, de: o dom´ınio, interse¸cão com os eixos, simetrias, continuidade, ass´ıntotas, monotonia, concavidades e, finalmente, a representa¸cão gráfica. Para exemplificar, optou-se por fazer o estudo completo da fun¸cão quadrática, definida por f (x) = ax2+ bx + c, ∀x ∈ R, com a 6= 0 e a, b e c ∈ R.

Esta fun¸cão é cont´ınua pois é polinomial. Determinem-se as interse¸cões com os eixos coordenados.

I) Interse¸c˜ao com o eixo das abcissas f (x) = 0 ⇔ ax2+ bx + c = 0 ⇔ x = −b ±

√

b2_{− 4ac}

2a .

Sendo ∆ = b2− 4ac, tem-se:

(i) Se ∆ > 0, a equa¸c˜ao tem duas solu¸c˜oes distintas: x1 =

−b +√∆

2a e x2 =

−b −√∆ 2a , pelo que a fun¸c˜ao interseta o eixo das abcissas em dois pontos, de coordenadas:

−b +√b2_{− 4ac} 2a , 0 ! e −b − √ b2_{− 4ac} 2a , 0 ! .

(ii) Se ∆ = 0, a equa¸c˜ao tem uma raiz dupla: x1 =

−b + 0 2a e x2 = −b − 0 2a , isto ´e, x1 = x2 = −b

2a, pelo que f interseta o eixo das abcissas no ponto de coordenadas −b

2a, 0

. (iii) Se ∆ < 0, a equa¸cão é imposs´ıvel em R pelo que f não interseta o eixo das abcissas. II) Interse¸cão com os eixos das ordenadas

Pretende-se encontrar o valor da ordenada do ponto cuja abcissa ´e nula. Uma vez que f (0) = c, tem-se que f interseta o eixo das ordenadas no ponto de coordenadas (0, c).

Sendo f uma fun¸cão polinomial é diferenciável, e tem-se que f0(x) = 2ax + b, ∀x ∈ R. A fun¸cão derivada anula-se no ponto de abcissa x = − b

2a. Assim: a) se a > 0, tem-se x −b 2a f0(x) - 0 + f (x) & −∆ 4a %

portanto f é estritamente crescente em −b 2a, +∞ e estritamente decrescente em −∞,−b 2a , logo tem um m´ınimo relativo, que é também absoluto, em −b

2a, − ∆ 4a . b) se a < 0, tem-se x −b 2a f0(x) + 0 - f (x) % −∆ 4a & portanto f ´e estritamente crescente em

−∞,−b 2a e estritamente decrescente em −b 2a, +∞ , logo tem um máximo relativo, que é também absoluto, em −b

2a, − ∆ 4a

. Para estudar a concavidade da fun¸c˜ao f determine-se a segunda derivada.

Como f00(x) = 2a, tem-se: se a > 0, f tem concavidade voltada para cima; e se a < 0, f tem concavidade voltada para baixo.

A fun¸cão f não admite ass´ıntotas verticais, por se tratar de uma fun¸cão cont´ınua em R. Admitindo ass´ıntotas não verticais seriam do tipo y = mx + b; mostre-se que também não existem. Com efeito, m = lim x→∞ f (x) x = limx→∞ ax2+ bx + c x = limx→∞ ax2 x + bx x + c x = lim x→∞ ax + b + c x = ∞. A fun¸cão quadrática: é par se b = 0 pois, f (−x) = f (x) ⇔ a(−x)2+b(−x)+c = ax2+bx+c ⇔ b = 0, ∀x ∈ R; e não é ´ımpar pois, f(−x) = f(x) ⇔ ax2_{− bx + c = −ax}2_{− bx − c ⇔ a = c = 0,} o que não pode acontecer, visto que a 6= 0.

O gráfico de f depende dos valores de a, b e c ∈ R. Para exemplificar apresentam-se representa¸cões gráficas da fun¸cão definida por f (x) = ax2, para a > 0.

Neste caso, a fun¸cão interseta os eixos coordenados na origem; é estritamente decrescente em ] − ∞, 0[ e estritamente crescente em ]0, +∞[; atinge um m´ınimo absoluto em x = 0; tem concavidade voltada para cima; e é uma fun¸cão par logo o seu gráfico é simétrico em rela¸cão ao eixo dos yy.

Na figura 2.25 está representado o gráfico da fun¸cão quadrática, para a > 0 e b = c = 0, que se designa por parábola.

Figura 2.25: Representa¸c˜ao gr´afica de ax2, para a > 0

Note-se que se a > 1, então os ”bra¸cos” da parábola aproximam-se do eixo dos yy e se 0 < a < 1 os bra¸cos da parábola aproximam-se do eixo do xx.

Tarefas aplicadas na sala de aula

Introdu¸c˜ao

A fam´ılia, a escola e a turma são meios socioculturais diversificados onde os alunos estão inseridos. As intera¸cões estabelecidas nestes contextos espec´ıficos são preponderantes no desen- volvimento das aprendizagens e na forma¸cão c´ıvica dos alunos.

Neste contexto, o processo de ensino/aprendizagem requer uma observa¸cão atenta de modo que a planifica¸cão do trabalho em sala de aula, se concretize num projeto de sucesso. Da´ı a necessidade de se observar dados exteriores à escola que possam ser úteis na análise de aspetos do processo pedagógico. Assim, perspetivando uma melhor escolha de estratégias de modo a alcan¸car os objetivos/metas definidos para cada ano de escolaridade, foi efetuado um estudo da caracteriza¸cão do grupo, do sétimo ano e da turma, do nono ano, onde foram aplicadas as tarefas que são descritas e analisadas no trabalho que se segue.

Outras variáveis revelantes, tidas em conta neste estudo, foram as metas do projeto Cur- ricular do Agrupamento Vertical de Escolas Monsenhor Jerónimo do Amaral e em particular uma das suas áreas prioritárias - o sucesso escolar. Neste sentido, no decorrer do ano letivo 2011 − 2012, e em particular para as três turmas de sétimo ano de escolaridade, foi desenvolvido o projeto: ”Jerónimo Mais Sucesso”. É de referir, que este projeto tem como principal objetivo o combate ao insucesso nas disciplinas de Matemática, L´ıngua Portuguesa e Inglês. Para tal, foram efetuados quatro grupos de alunos, seriados pelos seus desempenhos escolares na prova de aferi¸cão de sexto ano a Matemática e L´ıngua Portuguesa, classifica¸cão de final do terceiro per´ıodo do sexto ano às três referidas disciplinas e respetivo desempenho no teste diagnóstico efetuado no in´ıcio do ano letivo em curso.

Atendendo a estes fatores, no in´ıcio do ano letivo, procedeu-se à caracteriza¸cão das turmas. Cada diretor de turma das três turmas de sétimo ano distribuiu uma ficha biográfica, que foi preenchida pelos alunos, e que serviu de base à caracteriza¸cão de cada turma. Posteriormente, para cada grupo de alunos do sétimo ano, foram recolhidos os seus dados e elaborado um estudo que melhor os caracteriza.

O grupo de sétimo ano que serviu de suporte à consecu¸cão do trabalho da professora investigadora e onde foram implementadas as tarefas, foi o que lhe foi atribu´ıdo no seu horário letivo.

A realiza¸c˜ao da breve caracteriza¸c˜ao deste grupo, come¸cou pelo levantamento de algumas 69

informa¸cões que julgamos pertinentes. O grupo em estudo, é constitu´ıdo por quinze alunos, oriundos das três turmas de sétimo ano. As suas idades oscilam entre os 11 e os 12 anos de idade, sendo três do sexo feminino e os restantes doze alunos do sexo masculino. Português, Inglês e Matemática foram as disciplinas mais indicadas pelos alunos, na ficha biográfica, como sendo aquelas onde têm mais dificuldades. A proveniência dos alunos é diversificada sendo a maioria do meio rural; apenas dois alunos habitam na cidade; doze alunos utilizam o transporte público nas desloca¸cões para a escola; dois utilizam o transporte público e o carro; e apenas um utiliza sempre o carro. A distância de casa à escola, para mais de metade dos alunos, varia entre 5 e 10 kms; para quatro alunos varia entre 11 e 15 kms; e apenas para um a distância é menor que 5 kms. Quanto ao agregado familiar, as idades dos pais situam-se predominantemente entre os 39 e os 45 anos, e das mães entre 35 e os 45, possuindo, na sua grande maioria, como habilita¸cões literárias uma escolaridade igual ou inferior ao 9o ano. Refira-se que três pais e quatro mães possuem um curso superior. A maioria dos alunos tem só um irmão, apenas dois têm mais que um. Relativamente à situa¸cão profissional dos pais, uma parte significativa de mães é doméstica e alguns pais estão desempregados. Relativamente à ocupa¸cão dos tempos livres, os alunos referem que veem televisão, utilizam o computador, jogam consola, ouvem música, leem, jogam futebol e andam de bicicleta. A maior parte destes alunos estuda diariamente em casa e, de um modo geral, frequentam assiduamente a biblioteca da escola.

a planifica¸c˜ao anual da disciplina, garantindo a cobertura dos objetivos/metas previstos nos documentos normativos.

Pelo facto deste grupo de alunos se ter mostrado muito coeso, quer ao n´ıvel das rela¸cões interpessoais quer ao n´ıvel das aprendizagens matemáticas, foi fácil constituir grupos e/ou pares de alunos com caráter de rotatividade, para a realiza¸cão das tarefas propostas em sala de aula. Trata-se de alunos, de um modo geral, motivados para a escola que têm em vista a prossecu¸cão dos estudos no ensino regular. Não obstante esta mais-valia, os alunos necessitam de trabalhar os n´ıveis de concentra¸cão em sala de aula, pois tendem a dispersar os seus pensamentos para assuntos extra-aula. Também aqui, as tarefas escolhidas objetivam melhorar esta competência nos alunos.

A semelhan¸ca do sétimo ano, a implementa¸cão das tarefas ao n´ıvel do nono ano fez-se numa das turmas atribu´ıdas no horário da professora investigadora.

A caracteriza¸c˜ao da turma do nono ano ficou ao cuidado do respetivo diretor de turma que, distribuiu igualmente a ficha biogr´afica para os alunos preencherem e fez o levantamento dos seus registos.

Quanto aos alunos da turma do nono ano de escolaridade, foram recolhidas algumas informa¸cões. A turma é constitu´ıda por dezanove alunos, sendo que três são do sexo feminino e os restantes dezasseis do sexo masculino; as idades estão compreendidas entre os treze e os catorze anos, sendo a média de idades de catorze anos. A proveniência dos alunos é diversificada e na sua maioria do meio rural, apenas três alunos habitam na cidade e todos os alunos utilizam o transporte público nas desloca¸cões para a escola. O tempo que demoram de casa à escola, para mais de metade dos alunos, é superior a 30 minutos, os restantes demoram entre 10 a 15 minutos.

Quanto ao agregado familiar, possuem na sua grande maioria como habilita¸cões literárias uma escolaridade igual ou inferior ao nono ano. Refira-se que dois pais possuem o décimo segundo ano e duas mães possuem um curso superior. A maioria dos alunos tem um irmão, apenas dois têm mais que um. Relativamente à situa¸cão profissional dos pais, uma parte significativa de mães é doméstica e trabalham na agricultura e alguns pais estão desempregados. Relativamente `

a ocupa¸cão dos tempos livres, os alunos referem que veem televisão, utilizam o computador, jogam consola, ouvem música, leem, jogam futebol e andam de bicicleta; a maior parte destes alunos não estuda diariamente em casa, só o fazem para os momentos formais de avalia¸cão mas, de um modo geral, frequentam a biblioteca da escola.

Com base nestes dados e tendo em aten¸cão as carater´ısticas espec´ıficas destes alunos foi desenvolvido o trabalho de pesquisa, constru¸cão e sele¸cão das tarefas diversificadas propostas em sala de aula e trabalhadas neste n´ıvel de ensino. Foram ainda, efetuadas adapta¸cões à planifica¸cão anual da disciplina, garantindo a cobertura dos objetivos/metas previstos nos documentos normativos. Pelo facto dos alunos desta turma formarem um grupo muito heterogéneo, quer ao n´ıvel das rela¸cões interpessoais quer ao n´ıvel das aprendizagens matemáticas, foi mais dif´ıcil constituir grupos e/ou pares de alunos com caráter de rotatividade, para a realiza¸cão das tarefas propostas em sala de aula. Estes alunos evidenciam uma reduzida concentra¸cão nas tarefas de sala de aula, dispersando, a miúde, os seus pensamentos para assuntos extra-aula. São pouco autónomos e pouco organizados, mas são bem comportados e cumprem as regras de compor- tamento estabelecidas. As tarefas escolhidas objetivam, também, melhorar estas competências nos alunos.

As tarefas para o sétimo e nono anos, aplicadas ao longo do ano letivo 2011 − 2012, foram escolhidas não só atendendo ao cumprimento dos objetivos do programa em vigor, como referido acima, mas também à diversidade do tipo de tarefas e à aquisi¸cão de capacidades transversais por parte dos alunos. Não se realizou qualquer tarefa ao n´ıvel do oitavo ano pois a docente investigadora não tinha turma atribu´ıda nesse n´ıvel de ensino.

A planifica¸cão come¸cou com a escolha de seis tarefas adequadas aos conteúdos a abordar no tópico das fun¸cões, nos sétimo e nonos anos. Para cada uma delas foram, selecionados os objetivos espec´ıficos do programa relativos ao tópico em questão, caraterizados os tipos de tarefas a aplicar e ainda, definidas as capacidades transversais a desenvolver.

No quadro ”Objetivos das tarefas”apresentado em anexo, elencam-se os objetivos do programa e os que foram escolhidos para cada tarefa. Pode observar-se que, propositadamente, os objetivos preconizados no programa, cobrem na sua maioria os do conjunto de tarefas a propor aos alunos.

A caracteriza¸cão das tarefas como exerc´ıcio e/ou explora¸cão deve-se à terminologia usada em a¸cões de forma¸cão atendidas pela docente investigadora. Pode ainda constatar-se quais as capacidades transversais que se pretende desenvolver em cada tarefa aplicada.

Quer as tarefas tenham sido propostas para realizar em pares ou em grupo foi sempre dis- tribu´ıda uma fotocópia a cada aluno no sentido de facilitar a leitura, interpreta¸cão, registos das resolu¸cões e conclusões. Cada tarefa era lida em voz alta por um aluno voluntário. A professora investigadora certificou-se que os alunos entenderam o que lhes era pedido, tendo o cuidado de não responder ao desafio proposto.

para o grupo do s´etimo ano, cujos enunciados e planifica¸c˜oes se encontram apresentados em anexo.

3.1 Tarefa 1 - A Compra do televisor

As questões pensadas para esta tarefa foram concebidas propositadamente com um enca- deamento do geral para o particular, isto é, a partir da expressão algébrica de uma fun¸cão de proporcionalidade direta, já lecionada em aulas anteriores, pretende-se que os alunos a apli- quem em casos particulares. Deste modo, proporciona-se à turma mais um momento para que a apropria¸cão da linguagem algébrica matemática ocorra de forma natural e progressiva.

Na primeira questão da tarefa pretende-se que os alunos, refletindo sobre a rela¸cão existente entre as variáveis comprimento e largura, se apropriem do conceito de fun¸cão - lecionado em aulas anteriores. Por analogia com os diferentes modos de definir uma fun¸cão, abordados em aulas anteriores, os alunos podem construir um diagrama e observar que existe uma correspondência un´ıvoca entre os dois conjuntos, medidas de comprimento e medidas de largura, satisfazendo a rela¸cão 4 : 3. Verificamos que todos os alunos conseguiram responder corretamente à questão pelo que estamos convictos de que o conceito de fun¸cão foi devidamente interiorizado.

Na quest˜ao seguinte, espera-se que os alunos apresentem uma das duas express˜oes seguintes: c = 4

3l ou l = 3 4c

Contrariamente ao que era suposto, verificou-se que os alunos sentiram algumas dificuldades em responder satisfatoriamente. Podem ver-se algumas produ¸c˜oes que ilustram as dificuldades sentidas:

Figura 3.1: Respostas `a quest˜ao 2 da tarefa 1

O que mostra que estes alunos reconheceram que esta rela¸cão se pode traduzir por uma fun¸cão de proporcionalidade direta mas, ou não explicitam a sua expressão algébrica ou, mesmo que a tenham escrito de forma correta, como se observa no segundo exemplo, sentiram dificuldades em encontrar a respetiva constante de proporcionalidade. Este condicionalismo pode ter ocorrido pelo facto da constante não ser um número inteiro e portanto ter surgido a dificuldade em encontrar o fator multiplicativo que permite obter o comprimento através da largura ou vice- versa. Neste caso, o professor enquanto mediador da tarefa deve questionar os alunos de modo que estes possam ultrapassar esta etapa com sucesso. Para o efeito deve formular as seguintes questões: - Que forma geométrica tem o écran do televisor? - Observem os exemplos que deram anteriormente. Qual a razão entre o comprimento e a largura dos exemplos dados? - Que ordem

de grandeza se pode estabelecer entre as dimensões do écran? Isto é, como podem comparar o comprimento com a largura, obtendo um em fun¸cão do outro?

Os alunos são induzidos a concluir que a escrita correta da expressão pretendida pode ser obtida de uma das duas maneiras seguintes: determinar a largura do écran, multiplicando o comprimento por 3₄ ou determinar o seu comprimento, multiplicando a largura por 4₃. Na figura seguinte apresenta-se uma resposta correta dada por um grupo de alunos.

Figura 3.2: Resposta `a quest˜ao 2 da tarefa 1

Na questão três o objetivo principal é a apropria¸cão gradual da escrita algébrica matemática, que neste caso se prende com o uso da linguagem de fun¸cões do tipo y = kx, k 6= 0. Assim, é suposto que o aluno utilize a expressão algébrica da fun¸cão de proporcionalidade direta, pedida na questão anterior, para a obten¸cão da resposta. Porém, verificou-se que a maioria dos alunos tendem a resistir ao uso de novos tipos de escrita matemática e, neste caso, usam a propor¸cão ou regra de três simples a que estavam habituados no sexto ano de escolaridade. Vejamos por exemplo a resposta apresentada por dois dos pares:

Figura 3.3: Resposta `a quest˜ao 3 da tarefa 1

Refira-se que, neste exemplo, a escrita matem´atica usada para o c´alculo do comprimento do ´

ecran, foi devidamente corrigida na aula.

Figura 3.4: Resposta `a quest˜ao 3 da tarefa 1

Mas alguns alunos da turma realizaram os seus cálculos usando a expressão da fun¸cão de proporcionalidade direta, embora não tenham respondido devidamente à questão. Após os cálculos efetuados deveriam ter comparado o comprimento do écran que o José tinha com o do anúncio e estabelecido a rela¸cão de ordem que permitisse afirmar que o televisor do anúncio tinha um écran maior.

Figura 3.5: Respostas `a quest˜ao 3 da tarefa 1

Aquando da discussão da tarefa na turma os alunos foram confrontados com as diferentes respostas dadas, de modo a conclu´ırem que o uso da expressão da fun¸cão de proporcionalidade direta é a mais adequada. É nossa conviçcão que só depois da discussão com a turma, consegui- mos que, em geral, os alunos interiorizassem essa rela¸cão. Neste sentido, considera-se ser este aspeto o ponto forte da tarefa. O grande objetivo ao propor a quarta questão foi promover a autoestima dos alunos na resolu¸cão de problemas; mostrar-lhes que são capazes, devendo para isso relacionar os assuntos, compreender o significado e a utilidade das expressões algébricas e ainda que o dual tentativa/erro é tão mais importante que a apresenta¸cão precipitada de uma solu¸cão. Seguem-se alguns exemplos de resolu¸cões apresentadas. Alguns usaram valores de medidas de comprimento e largura que satisfaziam a rela¸cão 4 : 3 até chegarem ao valor da área apresentada.

Outro exemplo idˆentico de outro par de alunos,

Figura 3.7: Resposta `a quest˜ao 4 da tarefa 1

e ainda outro par de alunos que foi mais assertivo e come¸cou com as dimens˜oes do televisor Sirai:

Figura 3.8: Resposta `a quest˜ao 4 da tarefa 1

Outros não conseguiram responder ou responderam erradamente. Nos dois exemplos que se seguem os alunos não relacionaram a propor¸cão apresentada à forma geométrica do televisor.

Nestes casos, os alunos foram confrontados com os seus resultados e foram-lhes colocadas as seguintes questões: - Calculem a área do écran com as dimensões que apresentaram. Obtiveram a área dada no problema? Que conclusões podem tirar? Estas respostas foram discutidas na turma e os alunos chegaram à conclusão que tinham estabelecido rela¸cões erradas. Aperceberam- se que confundiram o formato do televisor com um quadrado e que tinham estabelecido uma rela¸cão errada entre: os lados do televisor e, lados e área. O problema proposto é de resposta fechada, mas envolve um racioc´ınio mais elaborado e exige uma melhor compreensão da tarefa. O aluno é obrigado a estabelecer conexões com a geometria, recordando o cálculo da área de uma figura geométrica e, com o estudo dos múltiplos de um número, descobrindo a largura do

No documento Um estudo sobre funções enquadrado nos novos programas de Matemática (páginas 77-89)