AULA 4 – PROBABILIDADE
Parte 1
Autor: Anibal Tavares de Azevedo
ESTATÍSTICA I
PROBABILIDADE
ESTATÍSTICA INFERENCIAL
Consiste em métodos que utilizam resultados de amostras
para auxiliar na tomada de decisão, ou na realização de
previsões sobre uma população.
?
Apostar nos valores
mais prováveis:
Dados de Séries Temporais
Experimento inspirado no texto do livro “O andar do bêbado” de Leonard Mlodinow. Tente adivinhar as próximas cores da seguinte sequência:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Coloque sua sugestão de sequência
PROBABILIDADE
Dados de Séries Temporais
Experimento inspirado no texto do livro “O andar do bêbado” de Leonard Mlodinow. Tente adivinhar as próximas cores da seguinte sequência:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Mas, a sequência que ocorreu foi ...
Dados de Séries Temporais
Experimento inspirado no texto do livro “O andar do bêbado” de Leonard Mlodinow. Tente adivinhar as próximas cores da seguinte sequência:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Estratégia preferida de coelhos
75%
PROBABILIDADE
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Sequência de coelhos
Sequência realizada
Sequência repetida
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
75% de acertos
50% de acertos
Experimento, Resultados e Espaço Amostral
Um experimento corresponde a um processo que, ao ser realizado, resulta em uma e somente uma de muitas
observações. Essas observações são conhecidas como
resultados do experimento. A coleção de todos os
resultados para um experimento e conhecida como espaço amostral.
Experimento: lançamento de 1 dado de 6 faces
Espaço amostral: Todas as
Observações
Observação: Resultado
do experimento
PROBABILIDADE
Exercício1: Completar a tabela dada a seguir
quanto aos resultados e ao espaço amostral para
cada um dos experimentos.
Experimento Resultados Espaço Amostral
Lançamento de 1 dado 1 vez 1, 2, 3, 4, 5, 6 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Jogar 1 moeda 1 vez Cara, Coroa S = {CA, CO}, CA = Cara
Jogar 1 moeda 2 vezes
Lançamento de 1 dado 2 vezes
Resultado jogo futebol
Fazer um teste de direção
PROBABILIDADE
Diagrama de Venn
Corresponde a um retângulo, quadrado ou círculo que fornece todos os resultados possíveis para um
experimento.
Diagrama de Árvore
Cada resultado é representado por um ramo da árvore ao passo que as bifurcações representam diferentes observações para o experimento.
CA CO
S
Cara CA
CO Coroa
Resultados
ORGANIZANDO DADOS
EXEMPLO 1:
Desenhar o diagrama de Venn e o diagrama de árvore para o experimento com dois lançamentos de uma moeda.
Primeiro
Lançamento
Segundo
Lançamento
Resultados
Finais
CACA
CACO
ORGANIZANDO DADOS
EXEMPLO 1:
Desenhar o diagrama de Venn e o diagrama de árvore para o experimento com dois lançamentos de uma moeda.
CA
CO Primeiro Lançamento
CA
CO CA
CO Segundo Lançamento
CACA Resultados Finais
CACO
COCA
COCO CACA COCO
S
CACO COCA
Diagrama de Árvore
Diagrama de Venn
PROBABILIDADE
Evento
Corresponde a uma coleção de um ou mais dos resultados
de um experimento.
Evento Simples
Inclui um, e somente um, dos resultados (finais) de um
experimento e é representado por Ei.
CACA COCO
S
CACO COCA
Diagrama de Venn
E
1E
2E
3PROBABILIDADE
Evento Composto
Corresponde a uma coleção de mais de um resultado para um experimento.
CACA
COCO
S
CACO COCA
EXEMPLO 2:
O evento A só irá ocorrer se uma cara for sorteada. Ou seja, A = {CACA, CACO, COCA}. Como A contém mais de um resultado, então, é considerado evento composto.
A
PROBABILIDADE
PROBABILIDADE
Corresponde à medida numérica da possibilidade de que
um determinado evento simples Ei ou composto A ocorra. Existem três definições para probabilidade: clássica,
frequência relativa e subjetiva. É representada por
P(Ei) ou P(A). Qualquer que seja a definição, a probabilidade deve obedecer à duas propriedades.
PROPRIEDADE 1
A probabilidade de um evento simples Ei ou composto A
posiciona-se no intervalo entre 0 e 1. Isto é:
PROBABILIDADE
0
≤
P(E
i)
≤
1
ou
0
≤
P(A)
≤
1
PROPRIEDADE 2
A soma das probabilidades de todos os eventos simples Ei é igual a 1.
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1 2 31
=
+
+
+
+
=
∑
− n n ii
P
E
P
E
P
E
P
E
E
P
L
PROBABILIDADE
PROBABILIDADE CLÁSSICA
Supõe que dois ou mais eventos possuem a mesma probabilidade de ocorrência tal que são considerados igualmente possíveis.
Qual a probabilidade de
ocorrência da face 5?
1/6
Eventos de Total Número 1 )
(Ei =
P Eventos de Total Número A a Favoráveis Eventos de Número )
(A = P
ORGANIZANDO DADOS
EXEMPLO 3:
Qual é a probabilidade de sair um número par nos dados?
6
3
Eventos
de
Total
Número
A
a
Favoráveis
Eventos
de
Número
)
(
A
=
=
P
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {2, 4, 6}
Espaço amostral
Evento composto
ORGANIZANDO DADOS
EXERCÍCIO 2
Calcular a probabilidade de ocorrer 1 evento com CARA (CA) no experimento com dois lançamentos de uma moeda.
Primeiro
Lançamento
Segundo
Lançamento
Resultados
Finais
CACA
CACO
ORGANIZANDO DADOS
2
1
4
2
Eventos
de
Total
Número
A
a
Favoráveis
Eventos
de
Número
)
(
A
=
=
=
P
S = {CACA, CACO, COCA, COCO}
A = {CACO, COCA}
Espaço amostral
Evento composto
EXERCÍCIO 2
Calcular a probabilidade de ocorrer 1 evento com CARA (CA) no experimento com dois lançamentos de uma moeda.
CACO CACA
COCA COCO
PROBABILIDADE
PROBABILIDADE VIA FREQUÊNCIA RELATIVA
Se um experimento é repetivo n vezes e um evento A é observado f vezes, então, a frequência relativa da probabilidade é calculada da seguinte forma.
n f A P( )= Eventos de Total Número A a Favoráveis Eventos de Número )
(A = P 1000 200 Repetições de Total Número 3 Face da Frequência )
(A = =
ORGANIZANDO DADOS
EXEMPLO 4:
Tempo Gasto (min)
Número de EmpregadosP(Ai)
00 ≤≤≤≤ x < 10 4
10 ≤≤≤≤ x < 20 9
20 ≤≤≤≤ x < 30 6
30 ≤≤≤≤ x < 40 4
40 ≤≤≤≤ x < 50 2
Total
Calcular a probabilidade de um empregado gastar um certo tempo com transporte de acordo a Tabela a seguir.
Atividade 1: Calcular a média aritmética, a moda
e a mediana para 30 dados de uma dado de 6
faces. Depois, construir o histograma e o gráfico de
polígono correspondente e traçar as localizações
das 3 medidas descritivas no gráfico e uma análise.
MEDIDAS DESCRITIVAS NUMÉRICAS
Face do Dado Número de Lançamentos Frequência Relativa Porcentagem 1 2 3 4 5 6Total 30 1,00 100
Jogada Face do
Dado 1 2 3 4 ••• •••••• ••• •••••••••••• 30 Total 30 N x N i i
∑
= = 1 µ Média populacional Média amostral n x x n i i∑
= = 1ORGANIZANDO DADOS
EXERCÍCIO 3Face do Dado Número de
Lançamentos Frequência Relativa Porcentagem Probabilidade 1 2 3 4 5 6
Total 30 1,00 100 1,00
PROBABILIDADE
LEI DOS GRANDES NÚMEROS
As frequência relativas não representam probabilidades, mas sim probabilidades aproximadas. A frequência relativa se aproxima da probabilidade verdadeira conforme aumenta o número n de experimentos.
0 2 4 6 8 10 12 14
Face 1 Face 2 Face 3 Face 4 Face 5 Face 6
PROBABILIDADE
LEI DOS GRANDES NÚMEROS
PROBABILIDADE
PROBABILIDADE SUBJETIVA
Representa uma probabilidade atribuída a um evento com base no julgamento, na experiência, nas informações e na crença subjetivos. Ocorre em casos que não apresentam resultados igualmente prováveis nem podem ser repetidos.
EXEMPLOS
•Probabilidade de que o aluno A passe na disciplina X.
•Probabilidade do time Y ganhar a próxima copa.
•Probabilidade da empresa Z falir.
PROBABILIDADE
REGRA DE CONTAGEM
Suponha que um experimento consista em n etapas tal que
cada etapa k tenha ek possibilidades. O total de resultados possíveis deste experimento é:
∏
=
n
k k
e
1
Assim, um experimento que tem 3 etapas com m resultados na primeira, n resultados na segunda e k resultados na terceira terá um total de m*n*k resultados.
Etapa n Etapa k
••• •••
Etapa m
ORGANIZANDO DADOS
EXEMPLO 5:
O total de resultados para o experimento do lançamento de uma moeda por 3 vezes é igual 2 × 2 × 2 = 8.
Primeiro
Lançamento
Segundo
Lançamento
Terceiro
Lançamento
PROBABILIDADE
EXERCÍCIO 4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
PROBABILIDADE
EXERCÍCIO 4
Calcular o número do total de resultados para a sequência que pode ter duas possibilidades de cores para cada uma das 12 posições: verde ou vermelho.
∏
∏
= =
=
=
=
121
12 1
4096
2
2
k nk k
e
PROBABILIDADE
PROBABILIDADE MARGINAL OU SIMPLES
Representa a probabilidade de um único evento, sem levar em conta qualquer outro evento.
PROBABILIDADE CONDICIONAL
Representa a probabilidade de que ocorra um evento, dado que um outro evento ocorreu. Caso A e B sejam eventos, a probabilidade condicional de A, dado B, é:
)
|
(
A
B
P
EXEMPLO 6:
Foi realizado uma pesquisa de opinião com 100 pessoas se são favoráveis ou não ao pagamento de elevados salários aos CEOs de empresas. A tabela a seguir fornece uma classificação cruzada das 100 respostas.
A Favor
Contra
Homem
15
45
Mulher
4
36
Suponha que 1 dos 100 empregados é selecionado ao acaso de acordo com apenas 1 característica: Homem ou mulher, a favor ou contra. A probabilidade associada a uma característica é denominada probabilidade marginal ou simples. Elas podem ser obtidas dividindo-se as margens das linhas ou colunas pelo total correspondente.
PROBABILIDADE
EXEMPLO 6:
Foi realizado uma pesquisa de opinião com 100 pessoas se são favoráveis ou não ao pagamento de elevados salários aos CEOs de empresas. A tabela a seguir fornece uma classificação cruzada das 100 respostas.
A Favor
Contra
Total
Homem
15
45
60
Mulher
4
36
40
Total
19
81
100
EXEMPLO 6:
Foi realizado uma pesquisa de opinião com 100 pessoas se são favoráveis ou não ao pagamento de elevados salários aos CEOs de empresas. A tabela a seguir fornece uma classificação cruzada das 100 respostas.
A Favor
Contra
Total
Homem
15
45
60
P(H) = 0,6
Mulher
4
36
40
P(M) = 0,4
Total
19
81
100
P(A) =0,19 P(C)=0,81
Prob. Marginal Homem
= 60/100 = 0,60
Prob. Marginal A Favor
= 19/100 = 0,19
PROBABILIDADE
EXEMPLO 7:
Foi realizado uma pesquisa de opinião com 100 pessoas se são favoráveis ou não ao pagamento de elevados salários aos CEOs de empresas. A tabela a seguir fornece uma classificação cruzada das 100 respostas.
A Favor
Contra
Homem
15
45
Mulher
4
36
Qual a probabilidade de que a pessoa selecionada seja a favor dado que é homem?
)
homem
|
favor
A
(
P
Evento ocorreu
Prob. p/ determinar
dado que
EXEMPLO 7:
A Favor
Contra
Total
Homem
15
45
60
Homem que
são a favor
A Favor
Contra
Total
Homem
15
45
60
Mulher
4
36
40
Total
19
81
100
Total de
homens
1
2
4
/
1
60
/
15
)
homem
|
favor
A
(
=
=
P
PROBABILIDADE
Qual a probabilidade de que a pessoa selecionada seja a favor dado que é homem?
Primeiro Evento
Segundo Evento
60/100
Homem
15/60
45/60
4/40
A favor| Mulher Contra | Homem A favor| Homem EXEMPLO 7:
A probabilidade condicional pode ser vista através do diagrama de árvore.
Primeiro Evento
Segundo Evento
60/100
40/100
Homem
Mulher
15/60
45/60
4/40
36/40
Contra | Mulher A favor| Mulher Contra | Homem A favor| Homem EXEMPLO 7:
A probabilidade condicional pode ser vista através do diagrama de árvore.
PROBABILIDADE
EXERCÍCIO 5
PROBABILIDADE
A Favor
Contra
Total
Homem
15
45
60
Mulher
4
36
40
Total
19
81
100
A Favor
Contra
Total
Mulher
4
36
40
Mulheres que
são a favor
A Favor
Contra
Total
Homem
15
45
60
Mulher
4
36
40
Total
19
81
100
Total de
mulheres
1
2
10
/
1
40
/
4
)
mulher
|
favor
A
(
=
=
P
PROBABILIDADE
EXERCÍCIO 5
Qual a probabilidade de que a pessoa selecionada seja a favor dado que é mulher?
EXEMPLO 8:
Foi realizado uma pesquisa de opinião com 100 pessoas se são favoráveis ou não ao pagamento de elevados salários aos CEOs de empresas. A tabela a seguir fornece uma classificação cruzada das 100 respostas.
A Favor
Contra
Homem
15
45
Mulher
4
36
Qual a probabilidade de que a pessoa selecionada seja mulher dado que é a favor?
dado que
A Favor
15
4
19
EXEMPLO 8:
Mulheres que
são a favor
A Favor
Contra
Total
Homem
15
45
60
Mulher
4
36
40
Total
19
81
100
Total de a
favor
1
2
21
,
0
19
/
4
)
favor
A
|
Mulher
(
=
=
P
PROBABILIDADE
Qual a probabilidade de que a pessoa selecionada seja mulher dado que é a favor?
Primeiro Evento
Segundo Evento
19/100
81/100
A favor
Contra
15/19
4/19
45/81
36/81
Mulher | Contra Homem| Contra Mulher | A favor Homem| A favor EXEMPLO 8:
A probabilidade condicional pode ser vista através do diagrama de árvore.
Primeiro Evento
Segundo Evento
19/100
81/100
A favor
Contra
15/19
4/19
45/81
36/81
EXEMPLO 8:
A probabilidade condicional pode ser vista através do diagrama de árvore.
PROBABILIDADE
Mulher | Contra Homem| Contra Mulher | A favor Homem| A favor
EXERCÍCIO 6
PROBABILIDADE
A Favor
Contra
Total
Homem
8
12
20
Mulher
12
18
30
Total
20
30
50
Primeiro Evento
Segundo Evento
20/50
30/50
A favor
Contra
8/20
12/20
12/30
18/30
EXERCÍCIO 6
Indicar as probabilidades condicionais correspondentes
dado que uma pessoa é a favor ou contra.
PROBABILIDADE
Mulher | Contra Homem| Contra Mulher | A favor Homem| A favor
PROBABILIDADE
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES
Eventos que não podem ocorrer conjuntamente são conhecidos como mutuamente excludentes.
EXEMPLO 9:
Sejam os seguintes eventos para o lançamento de um dado:
•A = observar um número par = {2, 4, 6}
•B = observar um número ímpar = {1, 3, 5}
•C = observar um número < 5 = {1, 2, 3, 4}
1
PROBABILIDADE
5 3
2 4 6
S
B
A
1
4 3
6
S
A
C
2Como os eventos A e B não têm elementos em comum, então, são mutuamente excludentes. Mas, o mesmo não ocorre para A e C. Por exemplo, se sair o número 2, A e C ocorrem simultaneamente.
PROBABILIDADE
EVENTOS INDEPENDENTES
Dois eventos A e B são indenpendentes se a ocorrência de um deles não afetar a probabilidade de ocorrência do outro. Isto é:
)
(
)
|
(
A
B
P
A
P
=
OUP
(
B
|
A
)
=
P
(
B
)
EXEMPLO 10:
Foi realizado uma pesquisa de opinião com 100 pessoas se são favoráveis ou não ao pagamento de elevados salários aos CEOs de empresas. A tabela a seguir fornece uma classificação cruzada das 100 respostas.
A Favor
Contra
Homem
15
45
Mulher
4
36
Os eventos “mulher (M)” e “a favor (A)” são independentes?
PROBABILIDADE
)
(
)
|
(
M
A
P
M
P
=
OUP
(
A
|
M
)
=
P
(
A
)
PROBABILIDADE
)
(
)
|
(
M
A
P
M
P
=
Os eventos “mulher (M)” e “a favor (A)” são independentes?
21
,
0
19
/
4
)
|
(
M
A
=
=
P
A Favor
Homem
15
Mulher
4
Total
19
Total
Homem
60
Mulher
40
Total
100
40
,
0
)
(
M
=
P
Como as probabilidades são diferentes, logo, os eventos não são independentes.
PROBABILIDADE
Os eventos “mulher (M)” e “a favor (A)”, dos dados a seguir, são independentes?
A Favor
Contra
Total
Homem
8
12
20
Mulher
12
18
30
Total
20
30
50
Exercício 7
PROBABILIDADE
)
(
)
|
(
M
A
P
M
P
=
Os eventos “mulher (M)” e “a favor (A)”, dos dados a seguir, são independentes?
A Favor
Homem
8
Mulher
12
Total
20
Total
Homem
20
Mulher
30
Total
50
EXEMPLO 11:
Um conjunto de 100 produtos foi fabricado por duas máquinas e 15 são defeituosos. Do total de 100, 60 foram fabricados pela máquina I e 9 são defeituosos. Seja D o evento no qual o produto aleatoriamente selecionado é defeituoso e A o evento no qual o produto selecionado foi fabricado na máquina I. Os eventos A e D são independentes?
PROBABILIDADE
Defeituoso (D)
Perfeito (P)
Total
Máquina I (A)
9
60
Máquina II(B)
Total
15
100
)
(
)
|
(
D
A
P
D
P
=
EXEMPLO 11:
Para calcular as probabilidades é necessário, antes, completar os dados da tabela.
PROBABILIDADE
Defeituoso (D)
Perfeito (P)
Total
Máquina I (A)
9
60
Máquina II(B)
Total
15
100
Já jogou
SUDOKU
EXEMPLO 11:
Para calcular as probabilidades é necessário, antes, completar os dados da tabela.
PROBABILIDADE
Defeituoso (D)
Perfeito (P)
Total
Máquina I (A)
9
51
60
Máquina II(B)
6
Total
15
85
100
Já jogou
SUDOKU
hoje?
1
2
3
EXEMPLO 11:
Para calcular as probabilidades é necessário, antes, completar os dados da tabela.
PROBABILIDADE
Defeituoso (D)
Perfeito (P)
Total
Máquina I (A)
9
51
60
Máquina II(B)
6
34
40
Total
15
85
100
Já jogou
SUDOKU
Defeituoso (D)
Perfeito (P)
Total
Máquina I (A)
9
51
60
Máquina II(B)
6
34
40
Total
15
85
100
EXEMPLO 11:
D
P
Total
Máquina I
15
45
60
Prod. com
defeito
Total prod.
Máquina I
1
2
15
,
0
60
/
9
)
A
|
D
(
=
=
P
PROBABILIDADE
Qual a probabilidade de que a peça selecionada é defeituosa (D) dado que vem da máquina I (A)?
Defeituoso
(D)
Perfeito
(P)
Total
Total
15
85
100
PROBABILIDADE
)
(
)
|
(
D
A
P
D
P
=
15
,
0
)
(
M
=
P
Como as probabilidades são iguais, logo, os eventos são independentes. Assim, a probabilidade do produto ser defeituoso independe da máquina, pois ambas produzem produtos defeituosos com a mesma percentagem.
EXEMPLO 11:
PROBABILIDADE
EVENTOS COMPLEMENTARES
O complemento de A, representado por , corresponde a todos os eventos que não são abarcados por A.
A
1 5 3
2 4 6
S
A
A
S
A
A
PROBABILIDADE
EVENTOS COMPLEMENTARES
Da definição de eventos complementares segue que:
1
)
(
)
(
A
+
P
A
=
P
)
(
1
)
(
A
P
A
P
=
−
Assim, se a probabilidade de um evento A for conhecida é possível obter a probabilidade do evento complementar e vice-versa.
)
(
1
)
(
A
P
A
P
=
−
EXEMPLO 12:
Em um grupo de 2000 pessoas, 400 já sofreram auditagem da receita federal pelo menos uma vez. Caso um contribuinte seja escolhido aleatoriamente, quais são os dois eventos complementares e suas respectivas probabilidades de ocorrência?
PROBABILIDADE
1 ... 400
S
A
A
A = contribuinte sofreu auditagem pelo menos 1 vez.
= contribuinte nunca sofreu auditagem da RF.
A
EXEMPLO 12:
Quais são os dois eventos complementares e suas respectivas probabilidades de ocorrência?
PROBABILIDADE
1 ... 400
