Notas para o acompanhamento das aulas de

(1)

Notas para o acompanhamento das aulas de

C´

alculo Diferencial e Integral 1

(2)

Cap´ıtulo 4

Aplica¸

c˜

oes de Derivadas

4.1 M´

aximos e M´ınimos Locais

Dizemos que x0_∈X_⊂R´eponto de m´aximo localdef: X_⊂R→R quando existir uma vizinhan¸ca]a, b[de x0

tal que f(x)_≤f(x0)para todox_∈]a, b[_∩X.

y

x b

a x0

gráfico def

f( )x0

x f( )x

A imagemf(x0)´e chamada devalor m´aximo local def.

Analogamente, dizemos que x0 ∈ X ⊂ R´e ponto de m´ınimo local de f : X ⊂ R → R quando existir uma

vizinhan¸ca ]a, b[ dex0 tal quef(x)_≥f(x0)para todox∈]a, b[_∩X. y

x b a x0

gráfico def

f( )x0

x f( )x

A imagemf(x0)´e chamada devalor m´ınimo local def.

Proposi¸cão. Se x0 ∈ ]a, b[ é ponto de máximo local ou m´ınimo local de f : ]a, b[ ⊂ R → R derivável, então

f′₍_x 0) =0.

y

x

x1

gráfico def

x0

reta tangente reta tangente

Observa¸c˜oes:

(1)A reta tangente ao gr´afico defem(x0, f(x0))´e horizontal.

(2) A rec´ıproca da proposi¸cão acima não é verdeira. Por exemplo: f(x) = x3 _{é diferenciável em} _R _{e tal que} f′_{(0) =}_{0, mas}_x

(3)

y

x 0

1

f

4.2 Teoremas de Rolle e Valor M´

edio

Teorema de Rolle. Seja a fun¸cão cont´ınuaf: [a, b]→R, derivável em ]a, b[e tal quef(a) =f(b). Então, existe

c_∈]a, b[tal quef′₍_c_{) =}_0.

y

x f a( ) =f b( )

a c b

gráfico def

Observemos que, geometricamente, o Teorema de Rolle garante a existˆencia de pelo menos uma reta tangente horizontal ao gr´afico def.

Teorema do Valor Médio. Seja a fun¸cão cont´ınuaf: [a, b]→R, derivável em]a, b[. Então, existec∈]a, b[tal

quef(b) −f(a) =f′₍_c_{) (}_b₋_a₎_.

y

x

a c _b

f c( )

f a( )

f b( )

gráfico def

f b( ) -f a( )

b-a r

s

r// s

Observemos que, geometricamente, o Teorema do Valor Médio garante a existência de pelo menos uma reta tangente ao gráfico defcom coeficiente angular f(b_b)−₋f_a(a).

Corolário 1. Seja a fun¸cão cont´ınua f : [a, b]→ R, derivável em ]a, b[. Se f′(x) = 0 para qualquer x∈ ]a, b[,

ent˜ao f´e constante.

y

x

a x _b

f x( )

gráfico def

Corolário 2. Sejam as fun¸cões cont´ınuas f, g: [a, b]→R, deriváveis em ]a, b[. Sef′(x) =g′(x) para qualquer

(4)

y

x

a x _b

g x( )

g a( )

g b( ) gráfico deg

f a( ) f b( )

g x( ) +k= ( )f x

gráfico def

4.3 Fun¸

c˜

oes Mon´

otonas: crescimento e decrescimento

Dizemos que f:X_⊂R→R´ecrescenteemA⊂Xquando para qualquerx₁< x₂emAtemosf(x₁)< f(x₂).

x y

x2 f( )x2

gráfico def

x1 f( )x1

Dizemos quef:X_⊂R→R´edecrescenteemA⊂Xquando para qualquerx1< x2emAtemosf(x1)> f(x2).

x y

x2 f( )x1

gráfico def

x1 f( )x2

Dizemos que f : X _⊂ R → _R ´e mon´otona em seu dom´ınio quando f for ou crescente, ou decrescente, em seu

dom´ınio.

Exemplo 1. A fun¸c˜ao f : R → R dada por f(x) = x2 ´e crescente em A₁ = [0,+∞) ⊂ R e decrescente em

A2= (−∞, 0]⊂R, portanto, não é monótona emR.

0 x

y

A2 A1

Exemplo 2. A fun¸cãof:R→Rdada porf(x) =x3é crescente emRe, portanto, monótona emR.

y

(5)

Proposi¸cão. Sejam a fun¸cão derivávelf:X_⊂R→Re[a, b]⊂X. Então: (i)Sef′₍_x₎_{> 0}_{para qualquer}_x_∈_]_{a, b}_[_⊂_{X, então}_f_{é crescente em}_[_{a, b}_]_. (ii)Sef′₍_x₎_{< 0}_{para qualquer}_x_∈_]_{a, b}_[_⊂_{X, então}_f_{é decrescente em}_[_{a, b}_]_.

y

x x1

gráfico def

x0

f x¢( ) >0 0 f x¢( ) <1 0

Exerc´ıcio 1. Dadaf:R→_Rtal quef(x) =2x3−3x2−12x+12, determinar os intervalos nos quais f´e crescente

ou decrescente.

(ser´a feito na sala de aulas)

Exerc´ıcio 2. Dadaf:R→Rtal quef(x) = x

x2

+1, determinar os intervalos nos quaisf´e crescente ou decrescente. (ser´a feito na sala de aulas)

Teorema. Sejam a fun¸cão derivávelf:X_⊂R→R,]a, b[⊂Xex₀∈]a, b[tal que f′(x₀) =0. Então:

(i)Sef′₍_x₎_{> 0}_em_]_{a, x0}_[ _e_f′₍_x₎_{< 0}_em_]_{x0, b}_[_{, então}_x0_{é ponto de máximo local de}_f. (ii)Sef′₍_x₎_{< 0}_em_]_{a, x}

0[ef′(x)> 0em]x0, b[, ent˜aox0´e ponto de m´ınimo local de f.

(iii)Sef′₍_x₎_{> 0}_em_]_{a, x0}_[_e_f′₍_x₎_{> 0}_em_]_{x0, b}_[_{, ent˜ao}_x0_n˜_{ao ´}_e_{ponto de m´ınimo local}_{e nem}_{ponto de m´aximo} local de f.

(iv)Sef′₍_x₎_{< 0}_em_]_{a, x0}_[_e_f′₍_x₎_{< 0}_em_]_{x0, b}_[_{, ent˜ao}_x0_n˜_{ao ´}_e_{ponto de m´ınimo local}_{e nem}_{ponto de m´aximo} local de f.

y

x x1

gráfico def

x2 x3 x4

máximo local mínimo local 1

2

3 4

Dadaf:X_⊂R→Rderiv´avel,x0∈Xtal quef′(x0) =0´e chamado deponto cr´ıticodef.

Exerc´ıcio 3. Dadaf:R→Rtal quef(x) = x

7 7 −

3 2x

6₊29 5x

5₋39 4x

4₊_6x3_{, encontre e classifique seus pontos cr´ıticos.}

Exerc´ıcio 4. Dadaf:R→_Rtal quef(x) =2x3−3x2−12x+12, encontre e classifique seus pontos cr´ıticos.

4.4 Concavidades em Gr´

aficos de Fun¸

c˜

oes

Sejaf:X_⊂R→Rderiv´avel em]a, b[⊂X.

(6)

y

x x0

gráfico def

x f( )x

y=f x( )0 + ¢( )f x0( -x x0)

f x( ) + ¢( )( -0 f x0 x x0)

Dizemos que o gráfico de f é côncavo para baixo em x0 ∈ ]a, b[ quando a reta tangente ao gráfico de f em (x0, f(x0)) estiver acima do gráfico de f em uma vizinhan¸ca de x0, ou seja, f(x) < f(x0) +f′_{(x0) (x}₋_x0) _para _x próximo dex0.

y

x x0

gráfico def

x f( )x

y=f x( )0 + ¢( )f x0( -x x0)

f x( ) + ¢( )( -0 f x0 x x0)

Dizemos que o gráfico defé côncavo para cima em ]a, b[ quando for côncavo para cima em qualquerx0∈]a, b[. Dizemos que o gráfico defé côncavo para baixo em]a, b[quando for côncavo para baixo em qualquerx0∈]a, b[.

Teorema. Sejaf:X_⊂R→_Rduas vezes deriv´avel em]a, b[⊂X. Sejax₀∈]a, b[.

(i)Sef′′₍_x

0)> 0, então o gráfico defé côncavo para cima emx0. (ii)Sef′′₍_x

0)< 0, então o gráfico defé côncavo para baixo emx0.

Exerc´ıcio 1. Dadaf:R→_Rtal quef(x) =x2, determinar os intervalos nos quaisfé côncava para cima ou côncava

para baixo.

Exerc´ıcio 2. Dadaf : R→R tal que f(x) =sen(x), determinar os intervalos nos quaisf ´e cˆoncava para cima ou

cˆoncava para baixo.

Exerc´ıcio 3. Dada f: R→Rtal quef(x) =2x3−3x2−12x+12, determinar os intervalos nos quaisf ´e cˆoncava

para cima ou cˆoncava para baixo. (ser´a feito na sala de aulas)

Exerc´ıcio 4. Dada f : R→ R tal que f(x) = x

x2

+1, determinar os intervalos nos quais f é côncava para cima ou côncava para baixo.

Teste da Derivada Segunda. Sejaf :X⊂R→R duas vezes deriv´avel em ]a, b[⊂X. Sejax0 ∈]a, b[ponto

cr´ıtico def. (i)Sef′′₍_x

0)> 0, ent˜aox0´e ponto de m´ınimo local. (ii)Sef′′₍_x

0)< 0, então x0é ponto de máximo local.

y

x x0

gráfico def _{f x}_{¢( ) =}₀ 0 f x¢¢( ) <0 0 y

x x0

gráfico def

f x 0

¢( ) = ¢¢( ) >

0

Exerc´ıcio 5. Dadaf : R→_R tal que f(x) =2x3−3x2−12x+12, classifique os pontos cr´ıticos de f utilizando o

(7)

Exerc´ıcio 6. Dadaf:R→Rtal quef(x) =x4+2x3+x2−8, classifique os pontos cr´ıticos def utilizando oTeste

da Derivada Segunda.

Exerc´ıcio 7. Dada f : R → R tal que f(x) = x4+4x3, classifique os pontos cr´ıticos de f utilizando o Teste da

Derivada Segunda.

Observa¸cão: no exerc´ıcio anterior ocorreu a existência de um ponto cr´ıticox0∈Rtal quef′′(x0) =0e este ponto não é de máximo e nem de m´ınimo local def. Entretanto, pode ocorrer que um ponto cr´ıtico deftal quef′′_(x

0) =0seja ponto de m´aximo ou de m´ınimo local def.

Por exemplo,f:R→Rtal quef(x) =x4´e tal quef′(x) =4x3ef′′(x) =12x2. Temos assim, quef′(0) =f′′(0) =0

ex0=0´e ponto de m´ınimo local def.

0 x

y gráfico def

Sejaf:X_⊂R→R. Dizemos quex0∈Xé ponto de inflexãodef quando o gráfico de fmuda de concavidade

em (x0, f(x0)).

y

x

gráfico def

x0

f( )x0

Proposi¸cão. Sejaf:X_⊂R→Rduas vezes derivável em um ponto de inflexãox0∈Xdef. Entãof′′(x0) =0.

Observa¸cão: a rec´ıproca da proposi¸cão acima é falsa, ou seja, f′′_(x

0) =0 não significa necessariamente quex0 é ponto de inflexão de f. Um contra-exemplo, conforme visto acima, é dado porf(x) =x4_{. Entretanto, os pontos} _x

0 tais f′′_(x

0) =0s˜aocandidatosa pontos de inflex˜ao, uma vez que estes devem satisfazerf′′(x0) =0.

Exerc´ıcio 8. Encontre os pontos de inflex˜ao def:R→Rtal quef(x) =x4+4x3.

4.5 Ass´ıntotas n˜

ao horizontais ou verticais

Dizemos que a reta de equa¸cão geraly=ax+bé uma ass´ıntota não verticaldo gráfico defquando

lim x→+∞

(f(x) − (ax+b)) =0

ou lim

x→−∞

(f(x) − (ax+b)) =0

Observemos que, se a=0(ou seja,y=b), temos lim x→₊∞f

(x) =bou lim x→₋∞f

(8)

y

x

gráfico def

y= ax+b

assíntota do gráfico def

Exerc´ıcio 1. Verifique sef:R→Rtal quef(x) =√x2+1 possui ass´ıntotas n˜ao verticais.

Exerc´ıcio 2. Verifique sef:R→_Rtal quef(x) = x

3 x2₊

1 possui ass´ıntotas n˜ao verticais. (ser´a feito na sala de aulas)

4.6 Tra¸

cados de Gr´

aficos de Fun¸

c˜

oes

Baseados nos resultados das se¸cões anteriores temos umasugestãode roteiro para o tra¸cado rigoroso de gráficos de fun¸cões. Naturalmente, dependendo da fun¸cão a qual se deseja tra¸car o gráfico, nem sempre é necessário (e, às vezes, nem é poss´ıvel por métodos anal´ıticos) determinar todos os itens propostos abaixo e nem seguir a mesma ordem.

Sugest˜ao de Roteiro:

(1)Determine o maior dom´ınio poss´ıvel paraf. (2)Determine as ra´ızes def (fazendof(x) =0).

(3)Determine os pontos cr´ıticos def(fazendof′_{(x) =}_0).

(4)Determine os intervalos de crescimento e decrescimento def(fazendo o estudo de sinal def′_(x)) (5)Determine os candidatos a pontos de inflex˜ao def (fazendof′′_{(x) =}_0).

(6)Determine os intervalos de concavidade para cima e concavidade para baixo do gr´afico de f(fazendo o estudo de sinal def′′_(x)).

(7)Determine quais dos pontos candidatos a pontos de inflexão defrealmente o são. (8)Classifique os pontos cr´ıticos def(máximo local, m´ınimo local ou nem um dos dois).

(9)Determine as ass´ıntotas verticais ao gráfico de f (quanto ocorrem, geralmente passam por pontos do eixox que não estão no dom´ınio def).

(10)Determine as ass´ıntotas n˜ao verticais ao gr´afico def (isso inclui as ass´ıntotas horizontais).

(11)Calcule os limites no infinito def(caso o dom´ınio defpermita) e outros limites que julgar necess´arios. (12)Calcule, caso julgue necess´ario, alguns valores (imagens) def.

Exerc´ıcio 1. Trace, de modo justificado, o gr´afico def:X_⊂R→Rtal que f(x) = 1

1+x2. (ser´a feito na sala de aulas)

Exerc´ıcio 2. Trace, de modo justificado, o gr´afico def:X_⊂R→Rtal que f(x) = 4x+5

x2 −1. (ser´a feito na sala de aulas)

Exerc´ıcio 3. Trace, de modo justificado, o gr´afico def:X⊂R→Rtal que f(x) =8x3+30x2+24x+10.

Exerc´ıcio 3. Trace, de modo justificado, o gr´afico def:X_⊂R→_Rtal que f(x) =senh(x).

4.7 Regras de L’Hospital para c´

alculo de limites

As regras de L’Hospital utilizam derivadas para o c´alculo de limites que apresentam indetermina¸c˜oes do tipo “0 0” ou “∞

∞”.

Naturalmente, elas n˜ao foram apresentadas no cap´ıtulo que trata especificamente de limites devido ao fato das derivadas serem desenvolvidas posteriormente ao referido capitulo.

(9)

Teorema 1. Sejam f e g fun¸c˜oes deriv´aveis um uma vizinhan¸ca de p _∈ R de tal modo que g′₍_x₎ ₆₌ ₀ _nesta vizinhan¸ca. Se lim

x→_pf

(x) = lim x→_pg

(x) =0e existe lim x→_p

f′_(x)

g′_(x), ent˜ao existe lim

x→_p f(x)

g(x), sendo lim_x→_p f(x) g(x) =_xlim→_p

f′_(x)

g′_(x).

Teorema 2. Sejam f e g fun¸c˜oes deriv´aveis um uma vizinhan¸ca de p _∈ R de tal modo que g′₍_x₎ ₆₌ ₀ _nesta

vizinhan¸ca. Se lim x→_pf

(x) =_±∞, lim x→_pg

(x) =_±∞e existe lim x→_p

f′_(x)

g′_(x), ent˜ao existe lim

x→_p f(x)

g(x), sendo lim_x→_p f(x) g(x) =_xlim→_p

f′_(x)

g′_(x).

Observa¸c˜oes:

(1) com as devidas adapta¸cões, os teoremas acima são válidos para limites laterais e limites no infinito, ou seja, x→p+,x→p−,x→+∞oux→−∞no lugar dex→p.

(2) lim x→_p

f′₍_x₎

g′₍_x₎ pode ser um limite infinito, ou seja, lim x→_p

f′₍_x₎

g′₍_x₎ =±∞.

Exemplo 1. Calcule lim

x→₁

x5 −6x3

+8x−3

x4₋₁ utilizando a Regra de L’Hospital.

Resolu¸c˜ao.

Fa¸camosf(x) =x5−6x3+8x−3 eg(x) =x4−1, que s˜ao deriv´aveis em qualquer vizinhan¸ca de p=1. Temos g′_{(x) =}_4x3₆₌_{0, para} _x_pr´_{oximo de}_{1, e lim}

x→1

f(x) = lim x→1

g(x) =0.

Como lim x→₁

f′₍_x₎ g′(x) =_xlim→₁

5x4 −18x2

+8 4x3 = −

5

4 temos, pela Regra de L’Hospital, que lim_x→₁

x5 −6x3

+8x−3 x4₋

1 = −

5 4.

Observemos que o limite em questão pode ser calculado por meio de fatora¸cão, uma vez quep=1é raiz defe de g, ou seja, lim

x→₁

x5 −6x3

+8x−3 x4₋

1 =_xlim→₁

(x−1)(x4

+x3−5x2−5x+3) (x−1)(x4₋

x3₊ x2₊

x+1) .

x→+∞

ex x.

Resolu¸c˜ao.

Fa¸camosf(x) =ex _e_g_{(x) =}_{x, que s˜ao deriv´}_{aveis em}_R_{. Temos}_g′_{(x) =}₁ ₆₌_{0, para qualquer}_{x, e lim} x→₊∞f

(x) =

lim x→₊∞g

(x) = +∞.

Como lim x→₊∞

f′₍_x₎

g′₍_x₎ = lim x→₊∞

ex

1 = +∞temos, pela Regra de L’Hospital, que lim_x→₊∞

ex

x = +∞.

x→0+

xln(x).

Resolu¸c˜ao. Temos lim

x→₀+xln(x) =_xlim→₀+ ln₍_x₎

1 x

.

Fa¸camos f(x) = ln(x) e g(x) = 1

x, que s˜ao deriv´aveis em qualquer vizinhan¸ca (positiva) de 0. Temos g′(x) = − 1

x2 6=0, para qualquerx > 0, lim

x→₀+f(x) = −

∞e lim

x→₀+g(x) = +

∞.

Como lim x→₀+

f′₍_x₎

g′(x) =_xlim→₀+ 1 x −1

x2

=0temos, pela Regra de L’Hospital, que lim

x→₀+xln(x) =0.

Exerc´ıcio 1. Calcule lim

x→₀+x 2_ln_(x).

x→₀+

1 x2 −_sen1

(x)

. (ser´a feito na sala de aulas)

x→₀+x x_.

x→+∞

1+ 1 x2

x . (ser´a feito na sala de aulas)

Exerc´ıcio 5. Calcule o 2o

. Limite Fundamental, lim x→+∞

1+ 1 x

x

, utilizando a Regra de L’Hospital. (ser´a feito na sala de aulas)

Exerc´ıcio 6. Calcule o 1o

. Limite Fundamental, lim x→₀

sen(x)

(10)

Exerc´ıcio 7. Considere f(x) =x2sen 1

x

eg(x) =xpara x₆=0. Temosg′_{(x) =}₁₆₌_{0, lim} x→₀

f(x) = lim x→₀

g(x) =0 e

lim x→₀

f(x)

g(x) =0. Entretanto, lim_x→₀

f′₍_x₎ g′₍_x₎ = lim

x→₀

2xsen(1 x)+x

2 cos(1

x)(− 1 x2) 1 =_xlim→₀

2xsen 1 x

−cos 1 x

que não existe! Há contradi¸cão com a Regra de L’Hospital?

4.8 Problemas de Otimiza¸

c˜

ao

Um problema de otimiza¸cão geralmente é um problema prático no qual estamos interessados em encontrar pontos de máximo ou pontos de m´ınimo de determinada fun¸cão resultante da modelagem matemática deste problema.

Já vimos como encontrar pontos de máximo ou de m´ınimo locais de fun¸cões deriváveis. Basta “derivar e igualar a zero”. Entretanto, nos problemas de otimiza¸cão estamos interessados em pontos de máximo ou de m´ınimoglobais, ou seja, pontos que maximizam ou minimizam a fun¸cão em todo o seu dom´ınio. Ocorre que, dependendo da fun¸cão e de seu dom´ınio, pontos de máximo ou de min´ımo globais podem não anular a derivada da fun¸cão (caso a fun¸cão seja derivável). Por exemplo,f(x) =xcom dom´ınioX= [0, 1] tem, claramente, ponto de máximo globalx0=1e m´ınimo globalx1=0. Todavia,f′(x) =1para x∈]0, 1[ef′−(1) =f′+(0) =1(derivada à esquerda e à direita).

Temos dois teoremas que nos auxiliam na procura de m´aximos e m´ınimos globais.

Um deles é o Teorema de Weierstrass, que já vimos no cap´ıtulo de limites. Este teorema garante a existência de pontos de máximo e m´ınimo globais em fun¸cões cont´ınuas com dom´ınio da forma[a, b].

Teorema de Weierstrass. Se f: [a, b]_⊂R→R´e cont´ınua, ent˜ao existem xm, xM∈[a, b]tais quef(xm)≤f(x)≤

f(xM), _∀x_∈[a, b], ou seja,xmé ponto de m´ınimo global exMé ponto de máximo global de f.

Baseados no Teorema de Weierstrass, temos um roteiro para procurar pontos de m´aximo ou m´ınimo globais de fun¸c˜oes cont´ınuas com dom´ınio do tipo [a, b];

(1)Considere os pontos cr´ıticos def;

(2)Considere os pontosaebextremos do intervalo[a, b]; (3)Considere os pontos nos quaisfnão é derivável.

Os pontos de máximo ou m´ınimos globais defestão entre os pontos dos três itens acima.

Por fim, há também a seguinte proposi¸cão.

Proposi¸cão. Seja f:R→Rderivável. Secé o único ponto cr´ıtico de m´ınimo (máximo) local def, entãocé ponto

de m´ınimo (m´aximo) global def.

Exerc´ıcio 1. Encontrar dois números cuja soma é16e o produto é o máximo poss´ıvel.

Exerc´ıcio 2. Determinar as dimensões do retângulo de maior área que pode ser inscrito em um semic´ırculo de raioa.

Exerc´ıcio 3. Um vendedor consegue vender500 objetos a R$ 1, 50 cada, sendo o custo R$ 0, 70 cada. Para cada

desconto deR$0, 01que concede, consegue vender mais25unidades, ou seja, para cada centavo que abaixa no pre¸co, a quantidade vendida pode ser aumentada de25unidades. Qual ´e o pre¸co unit´ario que maximiza o lucro?

(11)

Referˆ

encias Bibliogr´

aficas

[1] Apostol, T. C´alculo(2 vols.). Rio de Janeiro: Editora Reverte,1981.

[2] Guidorizzi, H. L.Um Curso de C´alculo(4vols.).5a

. ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros T´ecnicos e Cient´ıficos Editora,2001.

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[5] Stewart, J.C´alculo(2vols.).4a

. ed. S˜ao Paulo: Editora Pioneira - Thomson Learning,2001.

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[7] Thomas, G. B.C´alculo(2vols.). 10a