APOSTILA DE ESTATÍSTICA PARTE A

(1)

ESTATÍSTICA DESCRITIVA

Quando iniciamos o estudo e uma nova disciplina, precisamos aprender os termos básicos.

1)

DADOS BRUTOS

–

é o resultado de uma pesquisa, sem nenhuma arrumação inicial.

Exemplo: Notas de Cálculo I da turma de Materiais:

2,0

–

3,5

–

6,0

–

4,5

–

7,0

–

9,5

–

4,5

–

6,5

–

1,0

–

8,0

3,5

–

10,0

–

1,0

–

6,0

–

7,0

–

8,0

–

5,0

–

2,0

–

6,0

–

6,0

0,0

–

6,5

–

5,5

–

9,0

–

8,0

–

7,0

–

4,5

–

6,0

–

6,0

–

7,0

1,0

–

10,0

–

8,0

–

3,0

–

8,0

–

8,5

–

7,0

–

5,0

–

1,0

–

6,0

2)

ROL

–

são os dados brutos arrumados. Ele pode ser crescente ou decrescente. Em

geral, usamos crescente. Exemplo:

0,0

–

1,0

–

1,0

–

1,0

–

1,0

–

2,0

–

2,0

–

3,0

–

3,5

–

3,5

4,5

–

4,5

–

4,5

–

5,0

–

5,0

–

5,5

–

6,0

–

6,0

–

6,0

–

6,0

–

6,0

–

6,0

–

6,5

–

6,5

–

7,0

–

7,0

–

7,0

–

7,0

–

7,0

8,0

–

8,0

–

8,0

–

8,0

–

8,0

–

8,5

–

9,0

–

9,5

–

10,0

–

10,0

3)

AMPLITUDE TOTAL

(



)

–

é a diferença entre o maior e o menor elemento do rol.

Exemplo:



= 10,0

–

0,0 = 10,0.

4)

APRESENTAÇÃO DOS DADOS - TABELAS:

Os dados podem ser apresentados em:

a)

TABELA SIMPLES

: quando apresentamos todos os elementos do rol na tabela.

Exemplo:

Notas dos alunos

Nº de alunos

0,0

1 1,0

4 2,0

2 3,0

1 3,5

2 4,5

3 5,0

2 5,5

1 6,0

7 6,5

2 7,0

5 8,0

5 8,5

1 9,0

1 9,5

1

(2)

b)

DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA

: quando os dados são agrupados em

classes. Exemplo:

Classes de alunos

Nº de alunos

0,0 2,0

5 2,0 4,0

5 4,0 6,0

6 6,0 8,0

14 8,0 10,0

10 Observação:

O sinal significa que o primeiro número está na classe, mas o

segundo número não está na classe.

5)

COMO CALCULAR A DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA:

Primeiro definimos o número de classes que a distribuição de frequência terá. Para

isso, temos dois métodos.

a)

Critério da raiz

Chamamos de

n

, o número total de elementos do rol. O número de classes (

k

) é

definido por:

Onde [ ] significa o maior inteiro que não ultrapassa

.

ATENÇÃO

: Este é o único caso que fazemos a conta na calculadora e usamos

TRUNCAMENTO

e não arredondamento!

Exemplos

:

1.

2.

3. b)

Critério de Sturges

Chamamos de

n

, o número total de elementos do rol. O número de classes (

k

) é

definido por:

Aqui usamos o arredondamento normal, ou seja:

Este caso é usado, em geral, quando o número de elementos do rol é maior que

100. Exemplos

:

1.

(3)

CÁLCULO DA AMPLITUDE DE CADA CLASSE:



EXERCÍCIO:

Os erros de tipografia de certo jornal, foram contados durante 30 dias e contabilizados nos

dados brutos abaixo.

a)

Arrumar em rol crescente;

b)

Definir o número de classes pelo critério da raiz;

c)

Montar uma distribuição de frequência.

2 –

5 –

10 –

7 –

6 –

3 –

1 –

8 –

4 –

2

4 –

12 –

11 –

5 –

7 –

4 - 7

–

8 –

2 –

1

(4)

MEDIDAS DE POSIÇÃO

São as medidas que representam o rol. Vamos trabalhar apenas com uma medida de

posição.

MÉDIA ARITMÉTICA

Vamos chamar de

o ponto médio de cada classe. Sendo

n

o número total de

elementos do rol, a média aritmética é dada por:

Exemplo:

Dada a distribuição de frequência abaixo, calcular a média aritmética:

0,0 2,0

2 2,0 4,0

10 4,0 6,0

12 6,0 8,0

8 8,0 10,0

3 SOMAS

35 MEDIDAS DE DISPERSÃO

São as medidas que calculam o quanto a medida de posição representa o conjunto de

dados. Quanto maior a medida de dispersão, menor a representatividade da medida de

posição, que no nosso caso é a média aritmética.

DESVIO MÉDIO

Fazemos a diferença entre os pontos médios das classes e a média aritmética. O desvio

médio é a média destas diferenças:

VARIÂNCIA

É outra medida de dispersão e, neste caso, fazemos diferença se o nosso rol é

populacional ou estamos trabalhando com uma amostra:

a)

populacional

b)

amostral

(5)

DESVIO PADRÃO

É a raiz quadrada da variância:

c)

populacional

d)

amostral

Exemplo:

Dada a distribuição de frequência populacional abaixo, calcular as medidas de

dispersão:

0,0 2,0

2 2,0 4,0

10 4,0 6,0

12 6,0 8,0

8 8,0 10,0

3

(6)

EXERCÍCIOS

1)

Número de ligações recebidas pela empresa X entre 24/02 e 03/06 de determinado

ano:

190

195

196

200

201

203

206

208

210

211

212

213

214

215

216

217

219

221

222

223

225

226

228

229

230

232

233

235

236

237

238

239

240

241

242

243

244

245

247

249

250

251

252

253

254

257

258

260

268

270 2)

Diâmetro (em mm) dos parafusos produzidos pelo torno 4 da Empresa X no mês M do

ano A:

10,27

10,30

10,40

10,42

10,47

10,50

10,53

10,55

10,57

10,60

10,62

10,63

10,68

10,69

10,70

10,72

10,73

10,76

10,78

10,79

10,80

10,83

10,84

10,86

10,87

10,90

10,91

10,93

10,95

10,97

10,98

11,00

11,04

11,05

11,06

11,07

11,10

11,25

11,33

11,35

11,37

11,39

11,42

11,43

11,44

11,46

11,48

11,49

11,54

11,60

11,65

11,73

11,87

3)

Notas obtidas na prova P2 pela turma C no mês M do ano A:

0,0

0,1

0,2

0,5

0,9

1,0

1,1

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2,0

2,3

2,6

2,8

3,3

3,4

3,6

3,7

4,0

4,1

4,2

4,9

5,0

5,1

5,3

5,4

5,6

6,0

6,2

6,3

6,4

6,6

6,9

7,0

7,1

7,2

7,4

7,5

7,6

8,0

8,3

8,6

8,8

8,9

9,0

(7)

PROBABILIDADE

1) Experimentos aleatórios

Chamamos de experimentos aleatórios aqueles que, repetidos em idênticas condições, produzem resultados que não podem ser previstos com certeza. Embora não saibamos qual o resultado que irá ocorrer num experimento, em geral, conseguimos descrever o conjunto de todos os resultados possíveis.

Exemplos:

a) Lançar uma moeda e observar a face de cima;

b) De um baralho de 52 cartas, tirar uma e observar o naipe.

2) Espaço amostral

Chamamos de espaço amostral, e indicamos por Ω, o conjunto formado por todos os resultados

possíveis de um experimento aleatório. Exemplos:

a) Lançar uma moeda e observar a face de cima –Ω = {cara, coroa};

b) De um baralho de 52 cartas, tirar uma e observar o naipe –Ω = { paus, ouros,copas,espadas}.

Exercícios: Dê o espaço amostral de:

1) Uma letra é escolhida entre as letras da palavra PROBABILIDADE;

2) Uma urna contém bolas vermelhas(V), bolas brancas(B) e bolas azuis(A). Uma bola é extraída e observada a cor;

3) Três pessoas, A, B e C, são colocadas numa fila e observa-se a disposição das mesmas;

4) Entre 5 pessoas, A, B, C, D e E, duas são escolhidas para formarem uma comissão. Observar os elementos que podem ter esta comissão.

3) Evento

Consideremos um experimento aleatório, cujo espaço amostral é Ω. Chamaremos de evento todo subconjunto de Ω. Em geral, indicamos um evento por uma letra maiúscula: A, B, ..., X, Y, Z.

Exemplo:

Um dado é lançado e observa-se o número da face de cima. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Alguns eventos

podem ser:

A: ocorrência de número impar – A ={1, 3, 5} B: ocorrência de número primo – B ={2, 3, 5} C: ocorrência de número menor que 4 – C ={1, 2, 3}

D: ocorrência de número menor que 7 _– D ={1, 2, 3, 4, 5_{, 6} = Ω} E: ocorrência de número maior que 7 _– E = .

Observação: O evento D é chamado de evento certo e o evento E é chamado de evento impossível.

Combinação de eventos

a) União de dois eventos A _∪ B = { x _∈Ω/ x ∈ A ou x _∈ B}

b) Interseção de dois eventos A ∩ B= { x ∈Ω/ x ∈ A e x _∈ B}

(8)

Propriedades: (Leis de De Morgan)

∪ ∪ Exemplo

Um dado é lançado e observa-se o número da face de cima. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Sejam os eventos:

A: ocorrência de número par – A ={2, 4, 6}

B: ocorrência de número ≥ 4 – B ={4, 5, 6} C: ocorrência de número impar – C ={1, 3, 5} Então,

A _∪ B = { 2, 4, 5, 6}

A ∩ B= {4, 6}

A ∩ C= 

Ac_{= {1, 3, 5}}

Bc_{= {1, 2, 3}}

Exercícios:

1) Uma urna contém 20 bolinhas numeradas de 1 a 20. Uma bolinha é escolhida e observado o número. Descreva os eventos:

A: ocorrência de número par B: ocorrência de número impar C: ocorrência de número primo

D: ocorrência de número múltiplo de 2 e de 5 E: ocorrência de número maior que 16

2) Uma moeda e um dado são lançados. Descreva o espaço amostral e os eventos: A: ocorrência de cara

B: ocorrência de número par C: ocorrência de número 3 A _∪ B

B ∩ C A ∩ C

Ac

Cc

4) Probabilidade

Consideremos um espaço amostral finito Ω = { a1, a2, ..., ak}. A cada evento elementar {ai} vamos

associar um número real, indicado por pi, chamado probabilidade do evento {ai}, satisfazendo às

seguintes condições:

a) 0 ≤ pi≤ 1, para i ∈ {1, ..., k}; b) _i=1p_i=1.

Dizemos que os números p1, p2, ..., pkdefinem uma distribuição de probabilidade sobre Ω.

Seja A um evento qualquer de Ω. Definimos probabilidade do evento A, e indicamos por p(A), da

seguinte forma:

a) Se A = , então p(A) = 0; b) Se A , então p(A) = _∈ .

Isto é, a probabilidade de um evento constituído por um certo número de elementos é a soma das probabilidades dos resultados individuais que constituem o evento A.

Exemplo

Seja Ω = {a1, a2, a3, a4}. Consideremos a distribuição de probabilidade:

(9)

5) Probabilidade em espaços amostrais finitos

Quando se fala em espaços amostrais finitos, podemos, através de repetições de experimentos, calcular o valor da probabilidade de cada elemento. Por exemplo, se temos 5 bolas dentro de uma urna onde uma é vermelha e quatro são brancas, nenhuma pessoa de bom senso dirá que a probabilidade de tirar uma bola branca é igual a tirar uma vermelha. Neste caso, se temos 5 bolas a p(V) = 1/5 = 0,2 e p(B) = 4/5 = 0,8. Ou seja, para calcular p(V), de 5, uma é vermelha e para calcular p(B), de 5, 4 são brancas.

Teoremas sobre probabilidade em espaços amostrais finitos:

Teorema 1:

A probabilidade de um evento certo é 1.

Teorema 2:

Se A B, então p(A) ≤ p(B).

Teorema 3:

Se A é um evento, então 0 ≤ p(A) ≤ 1.

Teorema 4:

Se A e B são eventos, então p(A _∪ B) = p(A) + p(B) –p(A ∩ B).

Teorema 5:

Se A é um evento, então p(Ac_{) = 1}_–_p(A).

6) Espaços amostrais equiprováveis

Consideremos um espaço amostral finito Ω = { a1, a2, ..., ak}. Diremos que uma distribuição de

probabilidade sobre Ω é equiprovável se p1= p2= ...= pk, isto é, se todos os eventos elementares de

Ω tiverem a mesma probabilidade. Neste caso, se A é um evento de Ω, a probabilidade de A é

calculada assim:

p A = n_n A_Ω

Onde,

n(A) – número de elementos de A

n(Ω) –número de elementos de Ω

Exercícios:

1) Numa urna existem duas bolas vermelhas e seis brancas. Sorteando-se uma bola, qual a probabilidade dela ser vermelha?

2) Consideremos o espaço amostral Ω = {a₁, a₂, a₃, a₄} e distribuição de probabilidade tal que p₁ = p₂=

p3 e p4 = 0,1. Calcule: a) p_1, p₂ e p₃;

b) Seja A = {a₁, a₃}, calcule p(A); c) Calcule p(Ac);

d) Seja B = {a1, a4}, calcule p(B); e) Calcule p(A∪B) e p(A∩B); f) Calcule p(A∪B)ce p(A∩B)c;

3) Uma moeda é viciada de tal modo que sair cara é duas vezes mais provável do que sair coroa. Calcule a probabilidade de ocorrer cara:

(10)

5) Um dado é viciado de modo que a probabilidade de observarmos um número na face de cima é proporcional a esse número. Calcule a probabilidade de ocorrer um número par:

6) Se A e B são eventos tais que p(A) = 0,2, p(B) = 0,3 e p(A∩B) = 0,1. Calcule:

a) p(A_∪B) b) p(Ac₎

c) p(Bc₎

7) De um baralho de 52 cartas, uma é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de ocorrer? a) Dama de copas;

b) Dama;

c) Carta de naipe de paus; d) Dama ou rei ou valete; e) Carta que não é rei.

8) Um número é escolhido ao acaso entre os 15 inteiros, de 1 a 15. Qual a probabilidade de o número escolhido ser:

a) Par; b) Impar; c) Primo

d) Quadrado perfeito.

9) Uma urna contém 3 bolas brancas, 2 vermelhas e 5 azuis. Uma bola é escolhida ao acaso na urna. Qual a probabilidade de a bola escolhida ser:

a) Branca; b) Vermelha; c) Azul.

10) Uma urna contém 6 bolas pretas, 2 brancas e 10 amarelas. Uma bola é escolhida ao acaso na urna. Qual a probabilidade de a bola escolhida:

a) Não ser amarela; b) Ser branca ou preta;

(11)

PROBABILIDADE CONDICIONAL

7) Probabilidade condicional

Seja Ω um espaço amostral e consideremos dois eventos: A e B. Com o símbolo p(A/B) indicamos a probabilidade do evento A, dado que o evento B ocorreu, isto é, p(A/B) é a probabilidade condicional do evento A, uma vez que B tenha ocorrido. Quando calculamos p(A/B), tudo se passa

como se B fosse o novo espaço amostral “reduzido” dentro do qual queremos calcular a probabilidade

de A. Exemplo:

Consideremos o lançamento de um dado e observação da face superior:

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Sejam os eventos:

A = ocorre um nº ímpar = {1, 3, 5}

B = ocorre um nº maior ou igual a 2 = {2, 3, 4, 5, 6}

p(A/B) será a probabilidade de ocorrer um nº ímpar no novo espaço amostral reduzido B = {2, 3, 4, 5, 6}. Atribuindo 1/5 para a probabilidade de cada evento elementar de B, o evento ocorrer nº ímpar no novo espaço amostral é {3, 5}. Logo,

p(A/B) =

Note que,

p(A/B)

Exercícios:

5) Um dado é lançado e o número da face superior é observado. Se o resultado obtido for: a) Par, qual a probabilidade de ele ser ≥ 5?

b) ≥5, qual a probabilidade de ele ser par? c) Ímpar, qual a probabilidade de ele ser  3? d)  3, qual a probabilidade de ele ser ímpar?

6) Um grupo de 50 moças é classificado de acordo com a cor dos cabelos e dos olhos de cada moça, segundo a tabela:

cabelos olhos

azuis castanhos

Loira 17 9

Morena 4 14

ruiva 3 3

a) Se você marca um encontro com uma dessas garotas, escolhida ao acaso, qual a probabilidade de ela ser?

i) Loira? ii) morena de olhos azuis? iii) morena ou ter olhos azuis?

b) Está chovendo quando você encontra a garota. Seus cabelos estão completamente cobertos, mas você percebe que ela tem olhos castanhos. Qual a probabilidade de que ela seja morena?

7) Teorema da multiplicação

Vimos que p(A/B)

.

Se dividirmos e multiplicarmos esta igualdade por n(Ω), temos:

Ou ainda,

(12)

Exemplo:

Um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Duas peças são retiradas aleatoriamente, uma após a outra. Encontre a probabilidade das duas não serem defeituosas:

Solução:

Considerando que n(Ω) = 12, vamos chamar de:

A =retirada da 1ª peça não defeituosa B = retirada da 2ª peça não defeituosa

Então, p(A) = 8/12 . Como a 1ª peça foi retirada e é não defeituosa, o novo espaço amostral tem apenas 11 peças e agora só tem 7 peças não defeituosas, então, p(B/A) = 7/11. Logo,

p(A∩B) =

8) Diagrama de árvore:

É o processo que usamos, transformando o problema em árvore e atribuindo probabilidades a cada ramo da árvore, para assim, resolver o problema.

Exemplos:

1. Uma urna I contém 2 bolas vermelhas e 3 bolas brancas, a urna II contém 4 bolas vermelhas e 5 bolas brancas. Uma urna é escolhida ao acaso e dela uma bola é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de observarmos urna I e bola vermelha?

V

2/5 I 3/5 1/2 B

4/9 B

1/2 II p(UI∩V) = p(UI).p(V/UI) =

5/9 V

2. Um lote contém 50 peças boas e 10 defeituosas. Uma peça é escolhida ao acaso e, sem reposição desta, outra peça é escolhida ao acaso. Qual a probabilidade de ambas serem defeituosas? R: 3/118

3. Uma caixa contém 3 moedas M1, M2 e M3. A M1 é honesta, a M2 tem duas caras e a M3 é viciada de tal modo que caras são 2 vezes mais prováveis que coroas. Uma moeda é escolhida ao acaso e lançada. Qual a probabilidade de observarmos moeda M1 e cara? R: 1/6.

4. Existem 3 caixas idênticas. A primeira contém duas moedas de ouro, a segunda contém uma moeda de ouro e outra de prata e a terceira, duas moedas de prata. Uma caixa é selecionada ao caso. Se a moeda for de ouro, qual a probabilidade que seja da primeira caixa? R: 2/3.

(13)

Selecionamos uma caixa aleatoriamente e então retiramos uma lâmpada ao acaso. Qual a probabilidade de a lâmpada ser defeituosa? R: 113/360.

9) Independência de dois eventos

Dados dois eventos A e B de um espaço amostral Ω, diremos que A independe de B se:

P(A/B) = p(A)

Isto é, A independe de B se a ocorrência de B não afeta a probabilidade de A. Observemos que, se A independe de B, então B independe de A, pois:

p(B/A)=p(A∩B)

p(A) =

p B .p(A/B)

p(A) =

p B .p(A)

p(A) = p(B)

Em resumo, se A independe de B, então B independe de A e, além disso:

p A∩B =p A .p(B/A) =p(A).p(B)

ou seja, dois eventos são chamados independentes se:

p(A∩B) = p(A). p(B)

Exemplos:

1) Uma moeda é lançada 3 vezes. Qual a probabilidade de ocorrer pelo menos duas vezes caras e resultados iguais nos três lançamentos?

10) Teorema de Bayes e partições Partição:

Seja {Bj} uma coleção de conjuntos. Dizemos que este conjunto forma uma partição de Ω se:

a) Bj ,  j ∈ℕ;

b) Bi ∩ Bj = , se i  j;

c) Ω = j∈NBj.

Seja Ω um espaço amostral e A um evento de Ω. Então a seguinte relação é válida:

∪ ∪ ∪ ∪

Vamos chamar de S1= B1∩A; ...; Sn= Bn∩A. Como S1, ... , Sn são dois a dois com interseção vazia,

podemos escrever:

p(A) = p(B1∩A) + p(B2∩A) + ... + p(Bn∩A)

Assim, pelo teorema da multiplicação,

p(A) = p(B1).p(A/B1) + p(B2).p(A/B2)+ ... + p(Bn).p(A/Bn) (1)

Por outro lado,

p(Bi/A)=p(A∩B_p(A)i) (2) e ainda,

p A∩Bi =p Bi .p(A/Bi) (3) Substituindo (2) em (1),

p(A∩Bi)

(14)

p(Bi)p(A/

p(Bi/A) = p B1 .p(A/B1) +p(B2).p(A/B2)+ +p(Bn).p(A/Bn) Multiplicando em cruz,

p(Bi/A)=_p _B p Bi .p(A/Bi)

1 .p(A/B1) +p(B2).p(A/B2)+ +p(Bn).p(A/Bn)

Exemplos:

1) Três máquinas A, B e C produzem 50%, 30% e 20%, respectivamente, do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de produção defeituosas são 3%, 4% e 5%. Se uma peça selecionada é defeituosa, ache a probabilidade de ela ter sido fabricada pela máquina A.

2) Num certo colégio, 4% dos homens e 1% das mulheres têm mais de 1,70m de altura. Ora, se um estudante é selecionado aleatoriamente e tem mais do que 1,70m de altura, qual é a probabilidade de ser mulher? R: 0,2727

3) Três máquinas A, B e C produzem 60%, 30% e 10%, respectivamente, do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de produção defeituosas são 2%, 3% e 4%. Uma peça é selecionada ao acaso e é defeituosa. Encontre a probabilidade de ser da máquina C . R:0,16.

(15)

EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADE

1) Um dado é viciado de forma que a probabilidade de ocorrer os números 5 e 6 é três vezes maior que a de ocorrer os números 1,2,3 e 4. Determine a probabilidade de ocorrer:

a) O número 3? b) O número 5?

2) Em uma cidade com 1.000 famílias são publicados 3 jornais A, B e C. uma pesquisa constatou que: 470 famílias assinam o jornal A; 420 famílias assinam o jornal B; 315 famílias assinam o jornal C; 110 famílias assinam os jornais A e B; 220 famílias assinam os jornais A e C; 140 famílias assinam os jornais B e C; 75 famílias assinam os jornais A, B e C. Escolhida uma família ao acaso, qual a probabilidade de que ela:

a) Não assine nenhum dos três jornais? b) Assine apenas um dos três jornais? c) Assine pelo menos 2 jornais?

3) Em uma urna temos 12 bolas brancas numeradas de 1 a 12 e 18 bolas vermelhas numeradas de 13 a 30. Retirando-se, ao acaso, uma bola da urna, qual a probabilidade de se obter:

a) Uma bola vermelha ou uma bola com número ímpar?

b) Não se obter: uma bola branca ou uma bola com número par?

4) Uma estação meteorológica informa que para certo dia, a probabilidade de chover é de 60%, a de fazer frio é de 65% e a de chover e fazer frio é de 35%. Determine para este dia a probabilidade de:

a) Chover ou fazer frio; b) Não chover e não fazer frio.

5) Dois dados são lançados, sucessivamente, ao acaso. Consideremos os eventos: A

=

{a soma dos números é igual a 10}

B

=

{o número no primeiro dado é maior do que o número no segundo dado} Determine: p(A), p(B), p(A/B) e p(B/A)

6) Em um lote com 12 peças, 4 são defeituosas. Duas peças são retiradas simultaneamente, ao

acaso. Qual a probabilidade de: a) Ambas serem defeituosas? b) Ambas não terem defeito? c) Ao menos uma ser defeituosa?

7) Em uma caixa temos 10 peças das quais 4 são defeituosas. São retiradas duas peças, consecutivamente, ao acaso. Determine a probabilidade de que ambas sejam defeituosas. Estude o problema com e sem reposição.

8) A probabilidade de uma mulher estar viva em 2030 é de 3/4 e a de seu marido 3/5. Determine a probabilidade de que em 2030:

(16)

16 c) Ambos estejam vivos;

d) Pelo menos um esteja vivo.

9) Uma urna contém 6 bolas de mesmo formato marcadas com as letras: A, A, O, D, P e P. As bolas são retiradas consecutivamente, ao acaso. Determine a probabilidade de que a

extração nos conduza à palavra: PAPADO. Estude o problema com e sem reposição.

10) Em um certo rio, a probabilidade de ocorrer, em um ano, uma enchente que alaga a vizinhança é de 2%. Qual a probabilidade de ocorrer este evento (pelo menos uma vez) em 6 anos?

11) Um jogador de basquete possui uma probabilidade de 50% de acertar a cesta em um lance livre. Quantos arremessos ele deve efetuar para que a probabilidade de acertar a cesta uma ou mais vezes seja de 99%?

12) Suponhamos a configuração de urnas e bolas da tabela abaixo. Escolheu-se uma urna ao acaso e dela retirou-se uma bola ao acaso, verificando que a bola era branca. Qual a probabilidade da bola ter vindo da urna 2? E da urna 3? E da urna 1?

BOLAS URNA 1 URNA 2 URNA 3

PRETAS 3 4 2

BRANCAS 2 3 4

AZUIS 4 2 3

FORMULÁRIO:

1) 2) 3)

4)  5)

6)

7)

. No caso de espaços equiprováveis,

8) _ãã _ã

9) Leis de De Morgan:

∪ ∪

10) Teorema de Bayes:

p(Bi/A)=_p_B pBi .p(A/Bi)