Carga pontual
2.3.5 Resumo: condições de contorno na eletrostática
Em um problema típico de eletrostática, é dada uma distribuição de cargas fonte ρ, e o objetivo é encontrar o campo elétrico E que ela produz.
2.3.5 Resumo: condições de contorno na eletrostática
Suponha uma superfície gaussiana na forma de ‘caixa de pílulas’, fina como um wafer e que se estende pouco para cada um dos lados da superfície (Figura 2.36). As laterais da caixa de pílulas não contribuem para o fluxo, no limite em que a espessura ε tende a zero, de forma que
nos resta
A componente normal de E é descontínua por um valor σ/ε0 em qualquer
contorno. A componente tangencial de E, por outro lado, é sempre
contínua. Se aplicarmos a Equação 2.19,
à espira retangular fina (Figura 2.37), as pontas não contribuem, portanto,
(2.32)
As condições de contorno para E (equações 2.31 e 2.32) podem ser combinadas em uma única fórmula:
(2.33)
Entretanto, o potencial é contínuo através de qualquer contorno (Figura 2.38), já que à medida que o comprimento do caminho tende a zero, o mesmo acontece com a integral:
(2.34)
No entanto, o gradiente de V herda a descontinuidade de E; já que E =
−∇V, a Equação 2.33 implica que
(2.35)
ou, mais convenientemente,
(2.36)
onde
(2.37)
2.4 Trabalho e energia na eletrostática
2.4.1 O trabalho feito para movimentar uma carga
Suponha que você tem uma configuração estacionária de cargas fontes e quer movimentar uma carga de prova Q do ponto a ao ponto b.
Pergunta: quanto trabalho você terá que realizar? Em qualquer ponto ao longo do caminho, a força elétrica sobre Q é F = QE; a força que você
deve exercer, em oposição a essa força elétrica, é −QE.
Em mecânica, chamaríamos a força eletrostática de ‘conservativa’. Dividindo por Q, temos
(2.38)
(2.39)
2.4.2 A energia de uma distribuição de cargas pontuais
Quanto trabalho seria necessário para reunir todo um conjunto de cargas pontuais? Imagine aproximar as cargas, uma por uma, de uma longa distância (Figura 2.40).
(2.40)
ou
(2.41)
ou
2.4.3 A energia de uma distribuição de carga contínua
Para uma densidade volumétrica de carga ρ, a Equação 2.42 torna-se: (2.43)
Use a integração por partes (Equação 1.59) para transferir a derivada de E para V, mas ∇V = −E, então:
(2.44)
Quando aumentamos o volume, além do mínimo necessário para conter toda a carga, a integral E2 só aumenta e a de superfície deve diminuir na mesma
proporção para manter a soma intacta. Assim, a integral de superfície anula-se e ficamos com
Exemplo 2.8
Encontre a energia de uma casca esférica uniformemente carregada, com carga total q e raio R.
Solução 1: use a Equação 2.43, na versão apropriada para cargas superficiais:
Agora, o potencial na superfície da esfera é (1/4πε
Solução 2: use a Equação 2.45. Dentro da esfera E = 0; fora,
Portanto,
OBS: para uma esfera homogênea, o campo em seu interior vale
e, portanto, a energia eletrostática vale
3 Comentários
(i) A energia de uma carga pontual é infinita.
Mas W=0 de acordo com
Isto é porque esta última expressão não leva em conta a energia
necessária para "construir" cargas pontuais.
Exemplo:
dois elétrons ocupando a mesma posição (!?), formando
(ii) Onde é que a energia está armazenada?
No contexto da teoria da radiação ou na relatividade geral devemos considerar a energia como armazenada no campo, com uma densidade
(2.46)
Em eletrostática, pode-se dizer que a energia está armazenada na carga, com uma densidade
(iii) A energia eletrostática NÃO obedece ao princípio da superposição.
Pois esta depende do quadrado do campo
2.5 Condutores
—> Elétrons (ou íons) "livres" no material
2.5.1 Propriedades básicas
(i) E = 0 dentro de um condutor. Se houvesse campo, essas cargas livres iriam se movimentar e ele não seria mais eletrostático.
(ii) ρ = 0 dentro de um condutor. Decorrência da lei de Gauss: ∇·E = ρ/ε
0. Se E = 0, então ρ também é.
(iii) Qualquer carga líquida fica na superfície. Esse é o único lugar onde ela pode estar.
(iv) Um condutor é equipotencial. Pois, se a e b são dois pontos em um condutor, V (b) − V (a) = − portanto, V(a) = V (b).
2.5.2 Cargas induzidas
Uma carga +q próxima a um condutor não carregado irá puxar cargas negativas para o lado mais próximo e repelir as positivas para o lado distante.
OBS:
- A carga induzida na superfície da cavidade deve ser igual a +q para que, da Lei de Gauss, o campo seja nulo.
- Fora do condutor o campo será devido unicamente à carga +q dentro da cavidade.
- Existe apenas uma maneira de distribuir as cargas em um condutor, de forma a tornar o campo interno nulo —> Teorema da unicidade.
2.5.3 Carga superficial e força sobre um condutor O campo imediatamente fora será
(2.48)
Pois Edentro = 0. Em termos do potencial, temos
O campo elétrico é descontínuo em uma carga superficial e, com isso, devemos usar a média entre Edentro (Eabaixo) e Efora (Eacima)
A descontinuidade deve-se à carga na pequena área, que gera um campo (σ/2ε
A média é na realidade apenas um recurso para remover a contribuição da própria pequena área. isso se aplica a qualquer carga superficial; no caso particular de um condutor, o campo é zero dentro e fora, de forma que a média é e a força por unidade de área é
(2.51)
Isso corresponde a uma pressão eletrostática sobre a superfície de dentro para fora. Em termos do campo imediatamente fora da superfície,
(2.52)
2.5.4 Capacitores
Considere dois condutores com cargas +Q e −Q
Sabemos que E é proporcional a Q e, com isso, V também o é. A constante de proporcionalidade é chamada de capacitância do conjunto:
(2.53)
Em unidades SI, C é medida em farads (F); um farad equivale a um coulomb por volt.
Exemplo 2.10
Encontre a capacitância de um ‘capacitor de placas paralelas’ que consiste de duas superfícies metálicas de área A mantidas a uma distância d uma da outra (Figura 2.52).
Solução: se colocarmos +Q em cima e −Q embaixo, as cargas irão se
A densidade superficial de carga, é σ = Q/A na placa de cima, de forma
que o campo, conforme o Exemplo 2.5, é (1/ε
0)Q/A.
A diferença de potencial entre as duas placas, portanto, é
e então
