Exercício. Extremos de uma função

(1)

v ´arias vari ´aveis

• Vector perpendicular a uma superf´ıcie • Pontos cr´ıticos de uma fun¸cão • Plano tangente a uma superf´ıcie • Classifica¸cão dos pontos cr´ıticos • Extremos de uma fun¸cão

Exerc´

ıcio

Considerar a fun¸c˜ao z = ln(x2_{+ y).}

(a) Fazer um esbo¸co gr´afico do seu dom´ınio.

(b) Verificar se a fun¸cão é crescente, decrescente ou estacionária, no ponto (x, y) = (1, 1), na direçcão do eixo dos yy.

(c) Escrever a equa¸c˜ao da recta contida no plano x = 1, tangente `a superf´ıcie no ponto (1, 1, ln(2)). (d) Determinar a curva de n´ıvel correspondente a z = ln(2).

(e) Determinar o vector gradiente da fun¸cão no ponto (1, 1) do seu dom´ınio. Verificar que este vector é perpendicular à curva de n´ıvel que contém o ponto.

(f) Determinar o vector perpendicular `a superf´ıcie no ponto (1, 1, ln(2)).

(g) Determinar a equa¸cão do plano tangente à superf´ıcie no ponto (1, 1, ln(2)). Usar a equa¸cão do plano para calcular uma aproxima¸cão do valor z(1.02, 1.01).

Resolu¸c˜ao

(a) Dom´ınio da fun¸c˜_{ao: Dz = {(x, y) ∈ R}2_{: x}2_{+ y > 0}. A regi˜}_{ao do plano correspondente ao dom´ınio de}

z ´e o connjunto dos pontos (x, y) que satisfazem a inequa¸c˜ao y > −x2 _(regi˜_{ao sombreada na figura 1).}

Figura 1: z = ln(x2+ y) (b) Vamos calcular z_y0(1, 1). z0_y = ln(x2+ y)0_y = (x 2_{+ y)}0 y x2_{+ y} = 1 x2_{+ y} z0_y(1, 1) = 1 12_{+ 1} = 1 2

(2)

Como zy0(1, 1) > 0, então a fun¸cão é crescente no ponto (1, 1), na direçcão do eixo dos yy. Isto quer

dizer que existe um intervalo (1 − δ, 1), δ > 0, de valores de y, tal que z(1, 1) > z(1, b), para todo b ∈ (1 − δ, 1); e existe um intervalo (1, 1 + δ), δ > 0, de valores de y, tal que z(1, 1) < z(1, b), para todo b ∈ (1, 1 + δ).

(c) A equa¸cão vectorial da recta é da forma (x, y, z) = (1, 1, ln(2)) + λ(0, 1, z0_y_{(1, 1)), λ ∈ R. Notar que o} vector director da recta, (0, 1, z0_y(1, 1)), tem a coordenada x = 0, porque a origem e a extremidade do vector têm a mesma coordenada x = 1. Acresce que z_y0(1, 1) é o declive da projeçcão da recta no plano zy. Substituindo o valor da derivada parcial calculada acima, temos (x, y, z) = (1, 1, ln(2))+λ(0, 1, 1/2) (figura 5).

Figura 2: Vista da superf´ıcie z = ln(x2+ y).

Figura 3: Recta no plano x = 1, tangente `a superf´ıcie no ponto (1, 1, ln(2)).

(d) Fazendo z = ln(2) na express˜ao z = ln(x2+ y), obtemos

ln(2) = ln(x2+ y) ⇔ 2 = x2+ y ⇔ y = −x2+ 2 A curva de n´ıvel ´e y = −x2_{+ 2 (figura 4).}

(e) Vector gradiente:

~

∇z(1, 1) = (z_x0(1, 1), z0_y(1, 1)). Acima, já calculámos zy0(1, 1) = 1/2. Segue-se o cálculo de z0x(1, 1).

z_x0 = ln(x2+ y)0 x = (x2_{+ y)}0 x x2_{+ y} = 2x x2_{+ y} z_x0(1, 1) = 1

O vector gradiente ´e ~∇z(1, 1) = (1, 1/2). Para verificarmos que o vector gradiente ´e perpendicular `

a curva de n´ıvel que contém o ponto (1, 1), vamos determinar a recta tangente à curva de n´ıvel neste ponto, e confirmar que o vector gradiente lhe é perpendicular. A equa¸cão da recta é da forma y = mx+b, com m = y0(1) (ver al´ınea (d)).

y0 = −2x y0(1) = −2

(3)

Fica y = −2x + b. Calcula-se b substituindo na equa¸cão as coordenadas do ponto da recta (1, 1). Obtém-se y = −2x + 3, ou 2x + y = 3. O vector (2, 1) é perpendicular à recta (porquê?). Um vector com a direçcão da recta é ~u = (−1, 2) (porquê?). Para verificarmos que o vector gradiente ~∇z(1, 1) ´

e perpendicular `a recta no ponto (1, 1), basta verificar que ´e nulo o produto vectorial ~∇z(1, 1) · ~u = (1, 1/2) · (−1, 2) = −1 + 1 = 0. (figura 5).

Figura 4: Curva de n´ıvel y = −2x + 2. _{Figura 5: O vector gradiente ´}_{e perpendicular `}_{a curva} de n´ıvel no ponto A = (1, 1).

(f) Escrevendo a equa¸c˜ao da superf´ıcie na forma z − ln(x2_{+ y) = 0, esta pode ser identificada como uma}

superf´ıcie de n´ıvel da hipersuperf´ıcie w = z − ln(x2_{+ y), para w = 0. O vector gradiente ~}_{∇w(1, 1, ln(2))}

´

e perpendicular `a superf´ıcie de n´ıvel no ponto (1, 1, ln(2)). ~ ∇w = (w0x, w0y, wz0) w_x0 = z − ln(x2+ y)0 x = − (x2+ y)0_x x2_{+ y} = − 2x x2_{+ y} w_y0 = z − ln(x2+ y)0 y = − (x2+ y)0y x2_{+ y} = − 1 x2_{+ y} w_z0 = z − ln(x2+ y)0_z = 1. Podemos escrever ~ ∇w(1, 1, ln(2)) = (w0x(1, 1, ln(2)), wy0(1, 1, ln(2)), wz0(1, 1, ln(2))) = −1, −1 2, 1

Este vector, ou qualquer outro com a sua direçcão, é perpendicular à superf´ıcie z = ln(x2_{+ y), no}

ponto (1, 1, ln(2)) (figura 6).

(g) A equa¸cão geral do plano é Ax + By + Cz + D = 0, sendo (A, B, C) um vector perpendicular ao plano. Fazendo (A, B, C) = ~∇w(1, 1, ln(2)), obtém-se a equa¸cão −x − y/2 + z + D = 0. Sabendo que o plano contém o ponto (1, 1, ln(2)), calcula-se o valor de D.

D = −1 −1

2 + ln(2) + D = 0 ⇔ D = 3

2 − ln(2) A equa¸c˜ao do plano ´e z = x + y/2 + ln(2) − 3/2 (figura 7).

Enquanto fun¸cão aproximante, um plano Z = ax + by + c tangente à superf´ıcie z = f (x, y) num ponto (x0, y0, z0), é o correspondente à recta tangente a uma curva num ponto. Quanto menor a

vizinhan¸ca do ponto de tangˆencia (x0, y0, z0), melhor a aproxima¸c˜ao ax + by + c ≈ f (x, y), sendo

ax0+ by0+ c = f (x0, y0) = z0. Se fizermos um ‘zoom in’ sobre uma vizinhan¸ca muito pequena do

(4)

o plano. Isto tamb´em quer dizer que as curvas de n´ıvel da superf´ıcie no ponto (x0, y0), s˜ao tangentes

`

as rectas de n´ıvel do plano nesse ponto. Da´ı que o vector gradiente no ponto (x0, y0) seja o mesmo

para a superf´ıcie e para o plano. Um valor aproximado de z(1.02, 1.01) = ln(1.022_{+ 1.01), pode ser}

calculado usando a equa¸c˜ao do plano tangente.

z(1.02, 1.01) = ln(1.022+ 1.01) ≈ 1.02 +1.01

2 + ln(2) − 3

2 ≈ 0.718 (usar uma calculadora para verificar que as trˆes casas decimais apresentadas s˜ao correctas.)

Figura 6: Vector (a azul) perpendicular `a superf´ıcie no

ponto A = (1, 1, ln(2)). _{Figura 7: Plano (a cinzento) perpendicular `}_{a superf´ıcie} no ponto A = (1, 1, ln(2)).

Note-se que a recta tangente `a curva de n´ıvel da superf´ıcie, no ponto (1, 1), determinada na al´ınea (e), n˜ao ´

e mais do que a curva de n´ıvel do plano tangente `a superf´ıcie, neste ponto. Podemos verificar este facto, substituindo na equa¸c˜ao do plano z por ln(2), e obtendo a curva de n´ıvel y = −2x + 3 (verificar).

Optimizaç ão de funç ões de duas vari áveis

Extremos relativos e absolutos

O cálculo de extremos relativos (máximos, ou m´ınimos, locais) de fun¸cões reais de duas variáveis, faz-se por um processo semelhante ao que estudámos para o caso de fun¸cões reais de uma variável, recorrendo às derivadas de primeira e de segunda ordens. No gráfico da figura 8 estão indicados alguns pontos (x, y, z) correspondentes a extremos da fun¸cão a´ı representada.

Figura 8: Valem as seguintes defini¸c˜oes.

(5)

(a, b) do seu dom´ınio, sse existe um c´ırculo centrado em (a, b) tal que, para todos os pontos interiores (x, y) do c´ırculo se tem

f (a, b) ≥ f (x, y) (f (a, b) ≤ f (x, y)) .

Defini¸cão (extremos absolutos). Uma fun¸cão f (x, y) tem um máximo absoluto (m´ınimo absoluto) no ponto (a, b) do seu dom´ınio, sse para todos os pontos (x, y) do dom´ınio da fun¸cão se tem

f (a, b) ≥ f (x, y) (f (a, b) ≤ f (x, y)) .

Basta uma fun¸cão ser cont´ınua num conjunto fechado (i.e., um conjunto que contém todos os seus pontos de fronteira) e limitado, para ter extremos absolutos nesse conjunto (considerando a restri¸cão do dom´ınio a esse conjunto de pontos).

Teorema. Se f (x, y) ´_{e cont´ınua no conjunto fechado e limitado S ⊂ R}2, ent˜ao f (x, y) tem m´aximo e m´ınimo absolutos em S.

Pontos cr´ıticos de uma fun¸

c˜

ao

Na figura 8 estão representadas dois segmentos de recta tangentes à fun¸cão f (x, y), em três dos seus pontos extremos. Para cada caso, um dos segmentos é paralelo ao eixo dos xx e o outro é paralelo ao eixo dos yy. Os declives dos segmentos representam as derivadas parciais f_y0 e f_x0 nos pontos. Como os segmentos são paralelos ao plano xy, ambas as derivadas parciais são nulas. Vale o seguinte teorema.

Teorema. Se f (x, y) tiver um extremo relativo no ponto (a, b) e se as derivadas parciais de primeira ordem fx, fy existirem neste ponto, ent˜ao fx(a, b) = fy(a, b) = 0.

Define-se ponto cr´ıtico de uma fun¸c˜ao f (x, y) da seguinte forma.

Defini¸cão (ponto cr´ıtico). O ponto (a, b) do dom´ınio de f (x, y) diz-se ponto cr´ıtico da fun¸cão f (x, y), sse f_x0(a, b) = 0 e f_y0(a, b) = 0, ou se alguma das derivadas parciais f_x0(a, b), f_y0(a, b) não existe.

Os pontos cr´ıticos s˜ao pontos onde a fun¸c˜ao pode ter, eventualmente, extremos.

Figura 9: z = −0.5x2_{− 0.5y}2_{+ 2x + 6}

Figura 10: z =px2_{+ y}2

Exerc´

ıcio

Pontos cr´

ıticos de um parabol´

oide circular

(6)

   ∂z ∂x= 0 ∂z ∂y = 0 ⇔      −0.5x2_{− 0.5y}2_{+ 2x + 6}0 x= 0 −0.5x2_{− 0.5y}2_{+ 2x + 6}0 y= 0 ⇔    −x + 2 = 0 −y = 0 ⇔    x = 2 y = 0

Como as derivadas parciais são cont´ınuas, o único ponto cr´ıtico da fun¸cão é (x, y) = (2, 0).

Exerc´

ıcio

Pontos cr´

ıticos de um cone circular

Determinar os pontos cr´ıticos do cone circular z =px2_{+ y}2 _{(figura 10).}

   ∂z ∂x= 0 ∂z ∂y = 0 ⇔        _p x2_{+ y}2 0 x = 0 _p x2_{+ y}2 0 y= 0 ⇔      x √ x2_+y2 = 0 y √ x2_+y2 = 0

As equa¸cões não são satisfeitas em nenhum ponto (x, y). Mas no ponto (x, y) = (0, 0), nenhuma das duas derivadas parciais está definida (porquê?). O ponto (x, y) = (0, 0) é pois o único ponto cr´ıtico da fun¸cão.

Classifica¸

c˜

ao dos pontos cr´ıticos

Uma vez determinados os pontos cr´ıticos de uma fun¸cão f (x, y), devemos classificá-los, i.e., verificar se são pontos de máximo ou m´ınimo relativos, ou se são pontos de sela – pontos em que ambas as derivadas parciais são nulas, mas que não são pontos de extremo da fun¸cão (figura 11).

Figura 11: O ponto (0, 0) ´e um ponto de sela da fun¸c˜ao 10z = y2− x2_.

A classifica¸cão dos pontos cr´ıticos, no caso em que as derivadas de primeira e segunda ordens no ponto existem e são cont´ınuas, é feita usando o seguinte resultado.

Teorema. Se f (x, y) tiver derivadas de segunda ordem cont´ınuas nos pontos de um c´ırculo centrado no ponto cr´ıtico (a, b), considerando o discriminante

D(x, y) = f_xx00 f_yy00 − (f_xy00)2, verifica-se que:

(7)

1. Se D(a, b) > 0 e fxx00 < 0, então (a, b) é ponto de máximo relativo da fun¸cão;

2. Se D(a, b) > 0 e f_xx00 > 0, então (a, b) é ponto de m´ınimo relativo da fun¸cão; 3. Se D(a, b) < 0, então (a, b) é ponto de sela da fun¸cão;

4. Se D(a, b) = 0, nada se pode concluir.

Seguem-se algumas observa¸c˜oes sobre este teorema.

(a) O discriminante D(x, y) tem aqui um papel semelhante ao da derivada de segunda ordem, f00(x), na caracteriza¸cão de um ponto cr´ıtico x = b de uma fun¸cão de uma variável, f (x). Dada a expansão de f (x) em série de Taylor, em torno de x = b,

f (x) = f (b) + f0(b)(x − b) + f00(b)(x − b)

2

2! + f

000_(b)(x − b)3

3! + · · ·

se x − b for suficientemente pequeno, isto é, se usarmos a série para calcular o valor da fun¸cão num ponto x suficientemente próximo de x = b, temos

f (x) ≈ f (b) + f00(b)(x − b) 2 2! f (x) − f (b) ≈ f00(b)(x − b) 2 2! , (1)

por ser f0(b) = 0, e por ser pequeno o somatório dos termos à direita de f00(b)(x−b)_2! 2 na série de Taylor. A aproxima¸cão (1) deixa claro que, se f00(b) > 0, então f (x) − f (b) > 0 e o ponto x = b é um ponto de m´ınimo local; se f00(b) < 0, então f (x) − f (b) < 0 e o ponto x = b é um ponto de máximo local. A aproxima¸cão (1) revela também que se f00(b) = 0, nada podemos concluir sobre a natureza do ponto. Como exemplo, o ponto x = 0 é um ponto de m´ınimo local para a fun¸cão f (x) = x4, é um ponto de máximo local para a fun¸cão f (x) = −x4, e em ambos os casos se tem f00(0) = 0.

(b) Para fun¸cões de duas variáveis, f (x, y), a expansão em série de Taylor em torno do ponto (a, b), tem a forma

f (x, y) = f (a, b) + f_x0(a, b)(x − a) + f_y0(a, b)(y − b)+ +1 2f 00 xx(a, b)(x − a) 2_{+ 2f}00 xy(x − a)(y − b) + fyy00(y − b) 2_{+ · · ·}

em que as reticências representam termos envolvendo produtos de (x − a) e (y − b), de grau superior a dois. Se usarmos a série para calcular o valor da fun¸cão num ponto (x, y) suficientemente próximo de (a, b), temos1

f (x, y) ≈ f (a, b) + f_x0(a, b)(x − a) + f_y0(a, b)(y − b)+ 1 2f 00 xx(a, b)(x − a) 2_{+ 2f}00 xy(a, b)(x − a)(y − b) + f 00 yy(a, b)(y − b) 2 f (x, y) − f (a, b) ≈ 1 2f 00 xx(a, b)(x − a) 2_{+ 2f}00

xy(a, b)(x − a)(y − b) + fyy00(a, b)(y − b) 2

por ser f_x0(a, b) = f_y0(a, b) = 0, e por ser pequeno o somatório dos restantes termos da série. A expressão entre parênteses rectos resulta do produto matricial seguinte.

x − a x − bfxx00(a, b) fxy00(a, b)

f_yx00(a, b) f_yy00(a, b)

x − a x − b

A matriz quadrada diz-se matriz hessiana da fun¸c˜ao f (x, y), no ponto (a, b). O seu determinante f_xx00 (a, b)f_yx00 (a, b) − f_xy00f_yx00 ´e o discriminante D(x, y), assumindo as derivadas cruzadas iguais.

(8)

Exerc´

ıcio

Estudo do ponto cr´

ıtico do parabol´

oide circular

Classificar o ponto cr´ıtico (0, 0) do parabol´oide circular z = −0.5x2_{− 0.5y}2_{+ 2x + 6 (figura 9).}

Vamos determinar o discriminante de segunda ordem D(x, y) da fun¸c˜ao no ponto cr´ıtico. Temos zxx00 = −1 zyy00 = −1 zxy00 = 0,

e

D(x, y) = (−1)(−1) − 0 = 1

D(0, 0) = 1 > 0 z00_xx(0, 0) = −1 < 0.

(verificar.) Por ser D(0, 0) > 0 e zxx(0, 0) < 0, o ponto (0, 0) é um ponto de máximo local da fun¸cão.

Exerc´

ıcio

Estudo do ponto cr´

ıtico do cone circular

Classificar o ponto cr´ıtico do do cone circular z =px2_{+ y}2_{(figura 10).}

Dado não existirem as derivadas parciais de primeira ordem da fun¸cão no ponto (0, 0), também não existem as derivadas de segunda ordem. Não podemos recorrer ao discriminante D(x, y) para qualificar o ponto cr´ıtico. Mas é imediato verificar que o ponto (0, 0) é um ponto de m´ınimo absoluto da fun¸cão z =px2_{+ y}2

(porquˆe?).

Exerc´

ıcio

C´

alculo dos extremos de uma fun¸

c˜

ao

Determinar os extremos relativos da fun¸c˜ao z = x3+ y3+ 3xy.

Os extremos relativos de uma fun¸cão, são os valores que a fun¸cão toma nos pontos de máximo e m´ınimo relativos. Come¸camos por determinar os pontos cr´ıticos da fun¸cão.

   ∂z ∂x = 0 ∂z ∂y = 0 ⇔      x3_{+ y}3_{+ 3xy}0 x= 0 x3_{+ y}3_{+ 3xy}0 y = 0 ⇔    3x2_{+ 3y = 0} 3y2_{+ 3x = 0} ⇔    y = −x2 y2_{+ x = 0}

Substituindo y por −x2 _{na segunda equa¸}_c˜_{ao do sistema, obt´}_em-se

x4+ x = 0 ⇔ x(x3+ 1) = 0 ⇔ (x = 0) ∨ (x = −1).

Substituindo estes valores de x na equa¸c˜ao y = −x2_{, obtemos os pontos cr´ıticos (0, 0) e (−1, −1). Como}

as derivadas de primeira ordem s˜_{ao cont´ınuas em R}2_{, n˜}_{ao h´}_{a outros pontos cr´ıticos para al´}_{em destes. Para}

estudarmos a sua natureza, calculamos o discriminante D(x, y) em cada um deles. D(x, y) = 36xy − 9

D(0, 0) = −9 < 0

D(−1, −1) = 27 > 0 z_xx00 (−1, −1) = −6 < 0

(verificar.) Conclui-se que (0, 0) é ponto de sela e (−1, −1) é ponto de máximo local da fun¸cão. O máximo local da fun¸cão é o valor que esta toma em (−1, −1): z(−1, −1) = 1 (figura 12).

(9)

Figura 12: z = x3_{+ y}3_{+ 3xy}

Observa¸

c˜

ao

Casos em que D(x, y) = 0

O caso em que discriminante D(x, y) = 0 em algum ponto cr´ıtico, não nos permite tirar conclusões sobre a natureza do ponto. Isto significa que o ponto pode ser de máximo local, de m´ınimo local, ou um ponto de sela. Nas figuras 13 e 14 estão representadas duas fun¸cões que têm o ponto cr´ıtico (0, 0), sendo para ambas D(0, 0) = 0 (verificar), mas tendo os pontos cr´ıticos natureza diferente. A fun¸cão z = x4− y4 _tamb´_{em tem}

o ponto cr´ıtico (0, 0), sendo D(0, 0) = 0. Neste caso o ponto cr´ıtico ´e um ponto de sela (verificar).

Figura 13: z = x4+ y4 Figura 14: z = −x

4_{− y}4

Bibliografia

1. C´alculo Diferencial e Integral, vol I, N. Piskounov. 2. Calculus, Howard Anton.