Eletricidade e Magnetismo II – Licenciatura:
3ª Aula
(06/08/2012)
Na última aula vimos: Lei de Gauss: int 0 ˆ · E q E n dA
Existindo E→ carga de prova q0 sente uma força F q E0
produzida pelo campo. Ocorrendo um deslocamento infinitesimal dl, o trabalho dW realizado PELO CAMPO será:
0 ·d ·
F l E dl
dW q , de forma que o trabalho total realizado pelo campo E será: 2 2 0 1 1 · P P P P W
dW q
E dl. No entanto, estamos interessados que a carga se desloque bem devagar, com velocidade aproximadamente constante. Não queremos ΔEc (variação considerável da energia
cinética; mesmo porque cargas aceleradas irradiam); o que queremos é uma relação entre
W e ΔEpot.
Para que isso ocorra, iremos considerar uma força externa do tipo Fext Fcampo E; ou seja,
pos. final ext 0 pos. inicial ext 0 W q E dl· F q E
(Este será o trabalho que sempre estaremos calculando, a não ser que se mencione o contrário)
Agora, da mesma maneira que podemos “interpretar” a expressão EF q/ 0
como sendo uma espécie de força por unidade de carga (ou força sobre uma carga unitária q0 = 1),
também podemos pensar em definir uma grandeza “Diferença de Potencial (d.d.p.)” como sendo o trabalho realizado por um agente externo ao deslocar uma carga q0 unitária
entre dois pontos, A e B:
0 · AB B A B A d q V W V E l
Unidade: Joule/Coulomb ≡ Volt. Note que, se há trabalho realizado (com ΔEc = 0), há
variação da energia potencial do sistema:
realizado sistema 0 ( ) · B B A B A A V V ddp U U W U dl q E
Exemplo. Determine a ddp entre os pontos A e B situados próximos de uma carga +Q.
· B A A B V ddpV
E dl; sendo carga 2 0traj. qualquer (coord. esféric 1 4 ˆ ˆ ˆ sin as) Q r dl dr r r d r d E Assim: 2 0 0 0 1 1 4 4 1 1 4 B B A A r B A r B A B r r A Q Q V dr r r Q V r ddp V r V
É muito útil e interessante definir o “potencial de um ponto” como sendo a ddp entre este ponto e outro de valor zero, geralmente localizado no infinito (às vezes, V (terra) = 0 ). No exemplo acima, supondo rA = ∞ e rB = r (qualquer), então o trabalho por unidade de
carga para trazer q0 do infinito até r sob ação de Ecarga pontual será:
0 0 c B A E V W V r V q q V 0 0 1 · 0 4 r Q E dl r
0 1 4 r Q V r ≡ potencial em um ponto P qualquer a uma distância r
de uma carga pontual Q.
Ou seja, dado o potencial em um ponto qualquer do espaço, ele então indica qual é o trabalho que deve ser realizado por um agente externo para trazer uma carga unitária do infinito até aquele ponto; e este trabalho está relacionado com a variação da energia potencial do sistema. d l A r B r +Q E
Agora quando temos um conjunto de pontos, formando uma superfície em que todos estão no mesmo potencial, então temos uma superfície equipotencial.
Nesta situação, qual é o trabalho realizado (pelo agente externo) para deslocar a carga q0
entre dois pontos (A e B) desta superfície? Sendo a 0 0 0 AB B A AB ddp V q W V W
(por isso uma pilha descarregada não produz trabalho, por exemplo)
Note que o potencial é uma grandeza escalar e, por isso, é mais fácil de calcular do que E
ou F. Conseguindo-se calculá-la, temos:
V V iˆ V ˆj V kˆ (coord. cartesian sa ) x y z E Equivalentemente, em cil esf coord. cilíndricas: coord. esféric 1 ˆ as ˆ ˆ 1 ˆ 1 ˆ ˆ s : in V V V V r z r r z V V V V r r r r
Na situação em que Q é uma carga extensa, o cálculo do potencial ao seu redor é calculado como: 0 1 4 dq V r
Supor agora um conjunto de cargas pontuais fixas. Existe energia associada ao conjunto?
Sim, porque há forças agindo sobre cada uma delas, de forma que, ao liberarmos as cargas, elas deslocam-se para o infinito (caso todas sejam positivas).
Como passam a adquirir energia cinética (que inicialmente era nula), conclui-se que o conjunto possuía energia na forma de energia potencial.
E o cálculo dessa energia (potencial) do conjunto pode ser feito considerando que se trata da mesma energia despendida para trazer cada uma delas do infinito até suas respectivas posições finais.
Para posicionar a primeira carga q1 (do infinito ao ponto 1), nenhum trabalho é realizado
porque não há campo. W1 = 0.
Trabalho para posicionar a segunda carga (do infinito ao ponto 2): q1 q3 q2 q5 q4 q6
2 2 2 · 2 21 P E dl W q q V
Para posicionar a 3º carga: 3 31 3 32 3
W q V q V
E assim por diante. Conclusão: trabalho total (WE) para posicionar todas as cargas será a
energia do sistema:
2 21 3 31 3 32 4 41 4 42 4 43 ... (1) E
W q V q V q V q V q V q V
Tomando uma parcela representativa desta soma:
1
3
3 31 3 1 1 13 0 31 0 13 4 4 q q q V q q q V r r Podemos então escrever:
1 12 1 13 2 23 1 14 2 24 3 34 ... (2) E W q V q V q V q V q V q V Somando as equações (1) + (2): 1 2 1 12 13 14 2 21 23 24 3 31 32 34 1 2 3 , , 2 ( ...) ( ...) ( ...
potencial no ponto potencial no ponto potencial no ponto devido atodas as cargas devido atodas as cargas devid
menos a ca
E
rga q menos a carga q
W q VV V q VV V q V V V 3 , ) ... o atodas as cargas menos a carga q Então: 1 1 2 2 3 3 1 2 ... (energia 1 do sist 2 ema) N E i i i E W q V q V W q V U q V
No caso de uma distribuição contínua de cargas: 1
2 i E i i q W
V ; sendo Δq = ρ ΔVvol. E no limite em que ΔVVol → 0, temos:
sistema E
U 1
2
W Vdq
; e sendo dq = ρ ΔVVol, entãoQ Δq
(ΔVvol.)
potencial no ponto 2 devido à carga 1
vol.
1
2 V
E
W
d (essas duas últimas expressões não são tão úteis e, adiante, encontraremos outra mais apropriada). Mas antes disso, discutiremos campos em meios condutores e capacitores. Corpos condutores: Lembrar sempre que:
1. Campo E no interior de qualquer condutor é sempre zero
2. Direção de E em qualquer ponto da superfície de um condutor é sempre normal (perpendicular) à superfície.
E
