Mecânica 1
1
Prova 1
Conceitos
1. Vetores 2. Estática 3. Hidrostática1. Vetores
a. Módulo 𝐴 = (𝑥𝚤 + 𝑦𝚥 + 𝑧𝑘) = 𝑥, + 𝑦, + 𝑧,b. Produto Vetorial com Incógnita Vetorial
𝑥 = 𝑢 × 𝑣
𝑢 , + 𝛼 ∗ 𝑢, 𝛼 𝜖 ℝ
c. Produto Escalar
• É a projeção de um vetor sobre outro
• Vetores perpendiculares tem produto escalar nulo • Resulta em um escalar
𝑥𝚤 + 𝑦𝚥 + 𝑧𝑘 ∗ 𝑎𝚤 + 𝑏𝚥 + 𝑐𝑘 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧
2
d. Produto Vetorial • Resulta em um vetor• Vetor resultante será perpendicular ao plano formado pelos vetores multiplicados
• Vetores na mesma direção tem produto vetorial nulo
• Multiplica-se os módulos, a direção é o versor seguinte e o sinal é dado pela direção positiva
• Direção positiva:
𝐴 × 𝐵 = 𝐴 ∗ 𝐵 ∗ sen 𝜃, sendo 𝜃 o ângulo entre 𝐴 𝑒 𝐵. Ex: 𝑥𝚤 + 𝑦𝚥 + 𝑧𝑘 × 𝑐𝑘 = 𝑦𝑐𝚤 − 𝑥𝑐𝚥
𝚤⃗
𝑘C⃗
3
2. Estática
a. Força e Resultante• Força é definida por um vetor 𝐹 e por um ponto de aplicação A, sendo representada por (𝐹, 𝐴).
• Resultante é um vetor sem ponto de aplicação dado por 𝑅 = 𝐹F.
• Quando temos um eixo de coordenadas (plano ou espaço), temos a resultante em cada eixo:
𝑅G = 𝐹GF ; 𝑅I = 𝐹IF ; 𝑅J = 𝐹JF
• A força produz o mesmo efeito se aplicada sobre qualquer ponto de sua linha de ação.
b. Momento em relação a um Polo
• Momento de uma força em relação a um polo O é definido por: 𝑀L = 𝑃F − 𝑂 × 𝐹O
c. Mudança de Polo
• Se tivermos o momento em relação a um polo e queremos calcular em relação a outro:
𝑀P = 𝑀Q + 𝐵 − 𝐴 × 𝑅
d. Momento em Relação a um Eixo
• Temos um eixo passando por O e orientado pelo vetor unitário 𝑢. O
momento em relação a esse eixo é dado por: 𝑀R = 𝑀S ∗ 𝑢
4
• Forças paralelas ou que cruzam o eixo não geram momento • Nos exercícios:
i. Calcular a resultante;
ii. Calcular o momento em relação ao polo com mais forças; iii. Calcular os outros momentos a partir do já calculado.
e. Invariante
• Tendência de giro ao longo da resultante é a mesma.
𝑀P ∗ 𝑅 = 𝑀Q ∗ 𝑅 = 𝐼 f. Momento Mínimo • Paralelo a resultante 𝑀U = 𝛽 ∗ 𝑅 𝛽 = 𝑀S ∗ 𝑅 𝑅 , • Eixo mínimo: (O-E) = 𝑅 × (𝑀S) 𝑅 , + 𝛼 ∗ 𝑅 g. Binário • Momento aplicado • Não gera translação
• Gerado por duas forças opostas, logo, resultante é nula • Momento binário: 𝑀 = 𝑀 ∗ 𝑑
5
• O binário age sobre todo o corpo, logo, ele entra no cálculo do momento: 𝑀L = 𝑃F − 𝑂 × 𝐹O + 𝑀
h. Sistemas Equivalentes
• Caso 1: 𝑅 = 0 𝑒 𝑀Y = 0 à Corpo em Repouso.
• Caso 2: 𝑅 = 0 𝑒 𝑀Y ≠ 0 à Redutível a um binário, igual a 𝑀Y.
• Caso 3: 𝑅 ≠ 0 𝑒 𝐼 = 𝑀Y ∗ 𝑅 = 0 à Redutível a uma única força.
i. Nesse caso, calculamos E tal que 𝑀U = 0, utilizando
𝑀U = 𝑀Y + 𝑂 − 𝐸 × 𝑅.
• Caso 4: 𝑅 ≠ 0 𝑒 𝐼 = 𝑀Y ∗ 𝑅 ≠ 0 à Redutível a uma força e um binário
i. Reduz a um binário (𝑀) igual ao momento calculado 𝑀 = 𝑀S
e aplica a resultante em O.
d
B
A
𝐹
CCCC⃗
P
𝐹
Q
CCCC⃗
𝜃
6
i. Baricentro• Centro geométrico da figura • Ponto de aplicação da força peso
𝑋] = 𝑚F ∗ 𝑥F 𝑚F ; 𝑌] = 𝑚F ∗ 𝑥F 𝑚F ; 𝑍] = 𝑚F ∗ 𝑥F 𝑚F Em que 𝑚F é a massa da parte 𝑖 e seu centro (𝑥F, 𝑦F, 𝑧F).
j. Diagrama de Corpo Livre
• Todas as forças e momentos (esforços) aplicados NO corpo e NÃO pelo
corpo
• 𝑅 = 0 𝑒 𝑀Y = 0
k. Vínculos
• Mecanismos que fixam o sistema; impedem o movimento em certas
direções; restringem graus de liberdade.
• Nos exercícios, dão lugar a esforços. • Em 2 dimensões:
7
-Restringe uma translação -Gera uma força- Restringe duas translações
-Gera duas forças
- Restringe tudo
-Gera duas forças e um binário
• Em 3 dimensões:
l. Apoio Simples Apoio Fixo (Articulação)
-Restringe uma translação
-Gera uma força -Restringe todas as translações -Gera três forças
Engastamento Anel
𝐹
b𝐹
b𝐹
c𝐹
b𝐹
c𝐹
𝑀
dx
y
𝐹
dx
y
𝐹
d𝐹
b𝐹
c
8
-Restringe tudo
-Gera três forças e três binários
-Restringe 2 translações -Gera duas forças
m. Fios, Polias e Treliças
• Fios
i. Inextensíveis ii. Sem massa
iii. Apenas forças de tração
• Polias
i. Sem atrito
ii. Fio está sempre tracionado
iii. Muda o sentido e a direção da força
x
y
𝐹
d𝐹
b𝐹
c𝑀
d𝑀
b𝑀
c𝐹
d𝐹
bx
9
• Treliças
i. Barras articuladas nas extremidades ii. Sem peso
iii. Apenas forças na direção da barra
n. Método dos Nós
• Método:
i. Acha as reações externas
ii. Isola um nó no qual tenha no máximo duas forças desconhecidas iii. Colocar, para cada barra, as forças na direção da mesma (tração
ou compressão)
iv. Resolve cada nó até encontrar todas as forças
o. Método do Corte
• Método:
i. Divida o sistema em 2 cortando, no máximo, 3 barras ii. Resolver utilizando as forças ”externas”
• Não podem ser três barras que saem do mesmo nó • Não podem ser três barras paralelas entre si
p. Atrito
10
• Tem sentido contrário à tendência de movimento
• Enquanto o bloco está parado: 𝐹ef = 𝐹 , até o limite de 𝐹ef ≤ 𝜇 ∗ 𝑁 • Limite de escorregamento: F ≤ 𝜇 ∗ 𝑃 • Limite de Tombamento:
𝐹 ≤
𝑃 ∗ 𝑎
2 ∗ 𝑏
F
N
F
atP
x
a
b
C
11
3. Hidrostática
a. Pressão• Depende da densidade do líquido (tipo) • Depende da profundidade do objeto • Direção: Normal à superfície (“esmaga”)
𝑃 = 𝛾 ∗ ℎ = 𝜌 ∗ 𝑔 ∗ ℎ
b. Resultante
• É o “volume” da figura gerada pelas pressões • Aplicada no baricentro dessa figura gerada
• 𝑃 = 𝛾 ∗ ℎ ∗ 𝑎 ∗ 𝑏, sendo 𝛾 ∗ ℎ a pressão e 𝑎 ∗ 𝑏 a área de aplicação da mesma.
12
4. Exercícios
1) (Exercício 1, Prova 1, 2015 – Poli) A barra ABCDEHG está sob a ação do sistema de forças 𝐹p, 𝐴 , 𝐹,, 𝐵 , 𝐹q, 𝐺 Considerando 𝐹p = 𝐹, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1, 2, 3, pede-se:
a) Calcular a resultante 𝑅 e o momento 𝑀U E do sistema de forças em relação ao polo E.
b) Deseja-se restringir todos os movimentos da barra vinculando-a em um único ponto; pede- se:
i. Determinar o tipo de vínculo que deve ser empregado e justificar a escolha;
ii. Determinar a posição na qual o vínculo deve ser colocado na barra de modo a minimizar as reações vinculares;
13
2) (Exercício 3, Prova 1, 2015 – Poli) A figura mostra uma barragem de concreto (homogênea, de densidade 𝜌Q e largura L) que represa a água (densidade 𝜌P) acumulada junto a uma encosta. Admitindo que não ocorra infiltração de água sob a barragem e que o coeficiente de atrito estático entre a barragem e o terreno seja 𝜇, pede-se:
a) Calcular o peso da barragem e a força que a água represada aplica sobre ela;
b) Fazer o diagrama de corpo livre da barragem;
c) Calcular, em função dos demais parâmetros, a máxima altura h da água que pode ser acumulada sem afetar o equilíbrio estático da barragem.
14
3) (Exercício 2, Prova 1, 2015 – Poli) A figura mostra um suporte soldado ABF em formato de “L” vinculado por uma articulação em A e por um apoio simples em B; a barra inclinada está articulada ao suporte em D e ao centro da polia C. A polia tem raio R e seu núcleo pode deslizar sem atrito dentro do rasgo horizontal; o fio ideal está preso em E e sustenta uma carga P. Admitindo que as peças tenham pesos desprezíveis, pede-se:
a) Isolar os corpos rígidos e fazer os respectivos diagramas de corpo livre;
b) Calcular as reações vinculares em A e B; c) Calcular as forças atuantes na polia; d) Calcular as forças atuantes na barra CD.
15
4) (Exercício 3, Prova 1, 2010 – Poli) Para a treliça da figura, calcular: a) As reações vinculares;
16
5) (Exercício 3, Prova 1, 2016 – Poli) A estrutura ilustrada na figura compõe-se de uma barra CD, de peso desprezível, articulada a uma parede vertical e a uma barra horizontal AB, de peso P. A extremidade A da barra AB apoia-se na parede, enquanto em B aplica-se uma força vertical Q. O coeficiente de atrito no contato entre a parede e a barra AB é μ. Pede-se:
a) construir os diagramas de corpo livre das barras AB e CD;
b) determinar o valor máximo de Q compatível com o equilíbrio da estrutura.
17
Gabarito: 1) a. 𝑅 = 𝐹𝚤 + 𝐹𝚥 − 𝐹𝑘; 𝑀U = −𝐹 ∗ 𝑎𝚤 + 𝐹 ∗ 𝑎𝚥 + 𝐹 ∗ 𝑎𝑘b. 𝑅 ∗ 𝑀U = −𝐹,𝑎, o sistema é redutível a uma única força.
i. Um engastamento em qualquer ponto da barra, pois ele elimina todos os graus de liberdade do sólido.
ii. Para 𝜆 = 0, tem-se o ponto 𝑄Y = 𝐸 +,eq 𝚤 + 𝑘 .
iii. 𝑀zF{ = −pq𝐹𝑎 𝚤, 𝚥, −𝑘 . 2) a. 𝑃 = q|𝜌Q𝑏,𝑙𝑔; 𝑅 = p ,𝜌Pℎ,𝑙𝑔 b. f c. ℎ~eG = 𝑏 ∗ 𝑚𝑖𝑛 q€, ∗ ••‚ ƒ , ,p „ ∗ •‚ •ƒ …
18
3) a. b. 𝑥P = −𝑃; 𝑥Q = 𝑃; 𝑦P = 𝑃 c. 𝑥† = 𝑃; 𝑦† = 𝑃 d. 𝐹‡ˆ = −𝑃 2; 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑒 𝑦Œ = −2𝑃 4) a. 𝑥P = −16𝑃; 𝑥Œ = 16𝑃; 𝑦P = 9𝑃; 𝑦Œ = 0 b. 𝐹ˆ‡ = −16𝑃 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 ; 𝐹P‡ = 15𝑃 𝑡𝑟𝑎çã𝑜 ; 𝐹PQ = 4𝑃 𝑡𝑟𝑎çã𝑜 ; 𝐹‡U = −4𝑃 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 ; 𝐹Q‡ = −9𝑃 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 ; 𝐹QU = 5𝑃 𝑡𝑟𝑎çã𝑜 .
19
5) a. b. 𝑄 = p“,€p”|€ 𝑃
20
Prova 2
Conceitos
1. Cinemática do Ponto Material 2. Cinemática dos Sólidos
1. Cinemática do Ponto Material
a. Curvas• Definição algébrica:
A curva parametriza uma função de duas ou mais variáveis em uma região com menos variáveis.
𝛾 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡
Onde 𝑥 = 𝑥 𝑡 e 𝑦 = 𝑦(𝑡) Respeitando: 𝑦 = 𝑓(𝑥) • Parametrização:Trocar variáveis por um parâmetro comum, mantendo a relação entre elas. Exemplo comum:
𝑦 = 𝑥 Parametrizando, temos:
𝑥 = 𝑡 ⇒ 𝑦 = 𝑡
21
𝑡 ∈ ℝ
• Parametrização por Coordenadas Polares:
Provocar o aparecimento de sin 𝑡 e cos 𝑡, quando variáveis tiverem grau 2. Exemplo comum: 𝑥, + 𝑦, = 1 Parametrizando: 𝑥 = cos 𝑡 𝑦 = sin 𝑡
𝛾 = cos 𝑡 , sin 𝑡
0 ≤ 𝑡 < 2𝜋 • Curva por Interseção de Superfícies:Isolar uma variável e substituir na outra equação, parametrizando com duas variáveis em vez de três. Exemplo: 𝑆p → 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 𝑆, → 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 Em 𝑆p: 2𝑥 + 2𝑦 = 1 Parametrizando: 𝑥 = 𝑡 → 𝑦 = 1 − 2𝑡 2 𝑧 = 1 2
22
𝛾 = 𝑡,
1 − 2𝑡 2 , 1 2 b. Abscissa Curvilínea • Escalar• Comprimento sobre a curva
𝑑𝑆, = 𝑑𝑥, + 𝑑𝑦, + 𝑑𝑧, 𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 , + 𝑑𝑦 𝑑𝑡 , + 𝑑𝑧 𝑑𝑡 , c. Versor Tangente •
𝑡 =
∆†∆Ÿ=
† Ÿ=
¡¡ , sendo Δ𝑃 o módulo do vetor posição • Direção da tangente • Unitário d. Curvatura𝜅 =
𝑑𝜃
𝑑𝑆
e. Raio de Curvatura𝜌 =
1
𝜅
23
f. Vetor de Versor Normal• Vetor Normal 𝑁 = 𝑑 𝑡 𝑑𝑆 • Versor Normal
𝑛 =
𝑁
𝑁
g. Versor Binormal𝑏 = 𝑡 × 𝑛
h. Triedro de Frenet
24
i. Fórmulas de Frenet 𝑑𝑡 𝑑𝑆 = 𝑁 = 𝜅 ∗ 𝑛 = 𝑛 𝜌 Ÿ= −𝛾 ∗ 𝑛
(torção da curva) 𝑑𝑛 𝑑𝑆 = 𝛾𝑏 − 𝜅𝑡 j. Velocidade 𝑣 = 𝑑𝑆 𝑑𝑡 𝑣 = 𝑑𝑟 𝑑𝑡
25
k. Aceleração 𝑎 = 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝑑,𝑆 𝑑𝑡, 𝑎 = 𝑑𝑣 𝑑𝑡 ∗ 𝑡 + 𝑣, ∗ 𝑛 𝜌2. Cinética dos Sólidos
a. Teorema do Corpo Rígido• Não se deformam
• Dimensões não desprezíveis
• 𝐴 − 𝐵 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
• 𝑉P ∗ 𝐴 − 𝐵 = 𝑉Q ∗ (𝐴 − 𝐵)
26
b. Tipos de Movimentos Translação Rotação-Reta que liga A e B deve manter a mesma direção
-Velocidade e aceleração iguais para todos os pontos
-Não precisa ser uma trajetória retilínea
-Todos os pontos do corpo formam uma trajetória circular
-Os pontos sobre o eixo de rotação tem velocidade e aceleração zero
Roto Translação Movimento Plano
-Direção do eixo de rotação é mantida
-Condição particular do Roto Translatório
-Eixo de rotação é perpendicular ao plano do papel
27
c. Vetor Rotação 𝜔 = 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝜔 = 𝜔𝑘 d. Fórmulas de Poisson 𝑉† = 𝑉Y + 𝜔 × (𝑃 − 0) 𝑎† = 𝑎Y + 𝜔 × 𝑃 − 0 + 𝜔 × 𝜔 × (𝑃 − 0)i. Não pode sempre derivar a velocidade para achar a aceleração. Isso só vale se 𝑉† não muda de direção.
28
e. Bases Girantes• No caso dos vetores da base se moverem: 𝚤 = 𝜔 × 𝚤 𝚥 = 𝜔 × 𝚥 𝑘 = 𝜔 × 𝑘
Onde 𝜔 é o vetor rotação do corpo ao qual o eixo é solidário.
f. Eixo Helicoidal Instantâneo
𝑉P ∗ 𝜔 = 𝑉Q ∗ 𝜔 • A velocidade será mínima se for paralela a 𝜔:
𝑉U = 𝑚𝑖𝑛í𝑚𝑎 = 𝛽 ∗ 𝜔 𝐸 − 𝐴 = 𝜔 × 𝑉P
𝜔 , + 𝛼 ∗ 𝜔
𝑉U = 𝛽 ∗ 𝜔 = 𝑉P ∗ 𝜔 𝜔 , ∗ 𝜔
g. Centro Instantâneo de Rotação (CIR)
• Movimento plano • 𝑉U ~F{ = 0
• 𝐶𝐼𝑅 − 𝑂 × 𝜔𝑘 = 𝑉S
29
• Método para encontrar o CIR de um corpo:
i. Determinar a direção da velocidade de dois pontos do corpo ii. Traçar as perpendiculares
iii. Achar o ponto de encontro. Ele será o CIR
h. Composição de Movimentos
• Movimento Relativo: Paramos o referencial móvel, subimos nele e medimos o movimento relativo, a partir do referencial móvel
• Movimento de Arrastamento: Paramos o movimento relativo (“prendemos” os corpos) e deixamos o corpo do referencial móvel mover-se. Medimos em relação ao referencial fixo.
• Para resolver, o ideal é colocar o sistema de coordenadas no referencial móvel.
30
𝑉†,e-² = 𝑉†, ³´µ + 𝑉†, e³³ 𝑎†,e-² = 𝑎†, ³´µ + 𝑎†, e³³ + 2 ∗ 𝜔 × 𝑉†, ³´µi. No qual o último termo é a Aceleração de Coriolis, sendo 𝜔 a velocidade angular do referencial móvel
• Composição do vetor rotação:
𝛺e-² = 𝛺³´µ + 𝜔
31
3. Exercícios
1) (Exercício 2, Prova 2, 2014 – Poli) No sistema mostrado na figura, a haste AB e o garfo CD constituem um corpo rígido único ACD. A distância entre os pontos D e C é L, o ângulo entre os segmentos de reta DC e AB é 𝜃 (fixo) e o disco com centro em D tem raio r. O vetor rotação do eixo AB é Ω = Ω𝑘 (constante), enquanto o disco gira com vetor rotação ω = ω𝑘 (ω constante), relativamente ao corpo ACD. Usando como base do referencial móvel os versores 𝚤, 𝚥, 𝑘 solidários ao eixo AB, e sabendo que no instante considerado a posição do P é dada por 𝑃 − 𝐷 = 𝑟 𝑘 , determinar:
a) As velocidades relativa, de arrastamento e absoluta do ponto P;
b) As acelerações relativa, de arrastamento, de Coriolis e absoluta do ponto P; c) O vetor rotação absoluto do disco;
32
2) (Exercício 2, Prova 2, 2009 – Poli) A placa RSTW gira em torno do eixo RW com vetor de rotação 𝜔, de módulo constante. Sustentado por mancais solidários
à placa em C e D, o eixo CED possui vetor de rotação 𝜔p de módulo constante
em relação a placa. A barra EH é soldada ao eixo CED e sustenta, em H, um tubo paralelo ao eixo CED. No interior do tubo o êmbolo F de um cilindro hidráulico desloca-se com velocidade de módulo 𝑉, constante em relação ao tubo. Determinar, para o instante mostrado na figura e representando os vetores na base vetorial solidária a placa RSTW:
a) O vetor rotação absoluta Ω da peça CDEH;
b) O vetor aceleração rotacional absoluta Ω da peça CDEH; c) O vetor velocidade absoluta do ponto F do êmbolo; d) O vetor aceleração absoluta do ponto F do êmbolo; Dado:𝑀𝐸 = 5𝑎; 𝐸𝐻 = 3𝑎; 𝐹 − 𝐻 = 𝑎𝚤
33
3) (Exercício 1, Prova 2, 2016 – Poli) Conforme ilustrado na figura, um pequeno anel move-se vinculado a um arame curvo descrito pela equação:
𝑃 − 𝑂 = 𝑟 𝑢 = cos 𝑢 + cos 2𝑢 𝚤 + sin 𝑢 − sin 2𝑢 𝚥 + 3 sin 𝑢 𝑘
em que 𝑢 é um parâmetro variável no tempo. O movimento do anel obedece à lei horária 𝑢 𝑡 = pYf .
Para o instante 𝑡 = 10𝜋, pede-se:
a) O versor tangente ao arame no ponto coincidente com o anel, descrito em coordenadas cartesianas (utilize a base 𝚤, 𝚥, 𝑘).
b) A velocidade do anel descrita em coordenadas intrínsecas; c) A aceleração do anel descrita em coordenadas intrínsecas.
34
4) (Exercício 1, Prova 2, 2008 – Poli) Os discos de raio 𝑅p e 𝑅, rolam sem escorregar
e estão sempre em contato com a superfície mostrada na figura. A barra CD está articulada ao centro da barra AB, de forma que permanece sempre paralela ao versor 𝚥. Sabendo que o vetor de rotação do disco com centro em A (de raio 𝑅p) vale 𝜔p𝑘, constante, determine:
a) A velocidade 𝑣P do ponto A;
b) O centro instantâneo de rotação da barra AB;
c) O vetor de rotação 𝜔PQ da barra AB e o vetor de rotação 𝜔, do disco com
centro em B;
35
5) (Exercício 3, Prova 2, 2008 – Poli) A barra CP está articulada em C ao disco com centro em O, como indicado na figura. No instante considerado, a barra gira com vetor de rotação constante 𝜔 = 𝜃𝚤 e o disco gira com vetor de rotação constante Ω. A distância entre os pontos O e C vale R. Usando a base 𝚤 𝚥 𝑘, solidária ao disco, e considerando o disco como referencial móvel, determinar:
a) O vetor de rotação absoluto e a aceleração angular da barra CP; b) As velocidades relativa, de arrastamento e absoluta do ponto P; c) As acelerações relativa, de arrastamento e absoluta do ponto P.
36
Gabarito: 1)a. 𝑉†³´µ = −𝜔𝑟𝚥; 𝑉†e³³ = −Ω𝐿 sin 𝜃 𝚤; 𝑉†e-² = −Ω𝐿 sin 𝜃 𝚤 − 𝜔𝑟𝚥.
b. 𝑎†³´µ = −𝜔,𝑟𝑘; 𝑎 †e³³ = −Ω,𝐿 sin 𝜃 𝚥; 𝑎†ŒL³ = 2Ω𝜔𝑟 𝚤. 𝑎†e-² = 2Ω𝜔𝑟 𝚤 − Ω,𝐿 sin 𝜃 𝚥 − 𝜔,𝑟𝑘. c. 𝜔e-² = 𝜔𝚤 + Ω𝚥. d. 𝜔e-² = Ωω𝚥. 2) a. Ω = 𝜔,𝑘 + 𝜔p𝚤. b. Ω = 𝜔,𝜔p𝚥. c. 𝑉¼ = 𝑣 − 3𝑎𝜔, 𝚤 + 6𝑎𝜔, 𝚥 + 3𝑎𝜔p 𝑘. d. 𝑎¼ = 6𝑎𝜔,,𝚤 + 2𝜔 ,𝑣 − 3𝑎𝜔p, − 3𝑎𝜔,, 𝚥. 3) a. τ = − ,,𝚥 − , , 𝑘. b. v (𝑡 = 10𝜋) = q ,pY 𝜏. c. a (𝑡 = 10𝜋) = pYYq 𝑛.
37
4) a. 𝑣e = −𝜔p𝑅p𝚤. b. c. 𝜔PQ = ÃÀÁÂÁ ÁÄÅÆ Ç𝑘. d. 𝑣‡ = −ÀÁ,ÂÁ(𝚤 + cot 𝜃 𝚥). 5) a. 𝜔e-² = 𝜃𝚤 + Ω𝑘. b. 𝜔e-² = Ω𝜃𝚥c. 𝑉†³´µ = 𝜃𝐿 − sin 𝜃 𝚥 + cos 𝜃 𝑘 ; 𝑉†e³³ = −Ω (𝑅 + 𝐿 cos 𝜃) 𝚤; 𝑉†e-² = −Ω (𝑅 + 𝐿 cos 𝜃) 𝚤 + 𝜃𝐿 − sin 𝜃 𝚥 + cos 𝜃 𝑘 .
d. 𝑎†³´µ = −𝜃,𝐿 cos 𝜃 𝚥 + sin 𝜃 𝑘 ; 𝑎†e³³ = −Ω,(𝑅 + 𝐿 cos 𝜃) 𝚥;
𝑎†ŒL³ = 2Ω𝜃𝐿 sin 𝜃 𝚤;
𝑎†e-² = 2Ω𝜃𝐿 sin 𝜃 𝚤 − (Ω, 𝑅 + 𝐿 cos 𝜃) + 𝜃,𝐿 cos 𝜃 𝚥 −
38
Prova 3
Conceitos
1. Dinâmica do Ponto 2. Dinâmica do Corpo Rígido1. Dinâmica do Ponto
a. Quantidade de Movimento Linear
• Vetorial • Instantânea
𝑄 = 𝑚 ∗ 𝑣
b. Quantidade de Movimento Angular
𝐾S = 𝑃 − 𝑂 × 𝑄
𝐾S = 𝑃 − 𝑂 × 𝑚𝑣
c. Segunda Lei de Newton
𝐹 = 𝑄 = 𝑚 ∗ 𝑎
d. Impulso
𝐼 = fÉ𝐹𝑑𝑡
fF
39
e. Trabalho 𝜏 = 𝐹𝑑𝑟 ³É ³F = 𝑚𝑣𝑑𝑣 = 𝐹𝑣𝑑𝑡 • Não há trabalho se a força for ortogonal à trajetóriaf. Energia Cinética (T)
𝑇 = 𝑚 ∗ 𝑣, 2 𝜏 = ∆𝛵
g. Trabalho da Força Peso
40
h. Trabalho da Força Elástica𝜏 = 𝐾
2 ∗ (𝑥Y, − 𝑥p,)
2. Dinâmica do Corpo Rígido
a. Momento de Inércia• Mede a dificuldade de rotacionar um corpo ao redor de um eixo, assim como a massa inercial mede a dificuldade de transladar um corpo
• Para massas pontuais:
41
• Momento de Inércia Polar:
𝐼cc = (𝑦, + 𝑧,)𝑑𝑚 𝐼bb = (𝑥, + 𝑧,)𝑑𝑚 𝐼dd = (𝑥, + 𝑦,)𝑑𝑚 𝐼cc + 𝐼bb + 𝐼dd = 2 ∗ 𝐼Y • No caso plano: 𝐼dd = 𝐼Y 𝐼cc + 𝐼bb = 𝐼Y • Para um corpo rígido:
𝐼R = 𝑟,𝑑m
42
• Teorema dos Eixos Paralelos:
b. Produto de Inércia
• Dificuldade de rotacionar ao redor de um plano 𝐼cb = 𝑋𝑌 𝑑𝑚
𝐼cd = 𝑋𝑍 𝑑𝑚 𝐼bd = 𝑌𝑍 𝑑𝑚
43
• Quais casos o produto de inércia zera?
i. Se um dos planos (XY, XZ ou YZ) é um plano de simetria, então o produto de inércia em relação aos dois outros planos é nulo
§ No caso plano, XY é plano de simetria, logo 𝐼cd 𝑒 𝐼bd serão
nulos
ii. Se o corpo possui um eixo de simetria, ou seja, todo plano que o contém é plano de simetria, então: 𝐼cd = 𝐼bd = 𝐼cb = 0. Estes,
calculados em relação ao baricentro.
44
c. Matriz de Inérciad. Teorema do Movimento do Baricentro
𝑅 = 𝑅´Gf 𝑀S = 𝑀S´Gf 𝑚 ∗ 𝑎] = 𝑅´Gf i. 𝑚 = massa do corpo ii. aÌ = aceleração do baricentro do corpo iii. RÏÐÑ = somátorio das forças externas aplicadas no corpo
e. Teorema da Quantidade de Movimento Angular (TQMA ou TMA)
• Para o caso plano:
i. 𝜔 = 𝜔𝑘, ou seja, só gira ao redor do eixo Z ii. 𝐼cd = 𝐼bd = 0
45
𝐾Y = 𝑚 ∗ 𝐺 − 𝑂 × 𝑉S + 𝐼dd ∗ 𝜔𝑘 • Derivando... 𝐾Y = 𝑚 ∗ 𝑉] × 𝑉S + 𝑚 ∗ 𝐺 − 𝑂 × 𝑎S + 𝐼dd ∗ 𝜔𝑘 𝐾Y = 𝑚 ∗ 𝑉] × 𝑉S + 𝑀S´Gf • Logo: 𝑀S´Gf = 𝑚 ∗ 𝐺 − 𝑂 × 𝑎S + 𝐼dd ∗ 𝜔𝑘 i. Apenas para o caso planof. Teorema da Energia Cinética
• Para corpos rígidos:
∆𝛵 = 𝑇¼ − 𝑇F = 𝜏 ´Gf
𝑇 = 1
2∗ 𝑚 ∗ 𝑣Y, + 𝑚 ∗ 𝑣Y ∗ 𝜔 × 𝐺 − 𝑂 + 1
2 ∗ 𝜔 pGqf ∗ 𝐼S qGq ∗ 𝜔 qGp i. O resultado é o mesmo para qualquer ponto, logo, vamos escolher
pontos que facilitem as contas
• Casos especiais:
i. O é um ponto fixo, ou seja, 𝑣Y = 0
𝑇 = 1
46
ii. O = G 𝑇 = 1 2 ∗ 𝑚 ∗ 𝑣Y, + 1 2 ∗ 𝜔 pGqf ∗ 𝐼S qGq ∗ 𝜔 qGp iii. Translação pura (𝜔 = 0)𝑇 = 1
2 ∗ 𝑚 ∗ 𝑣Y, iv. Caso plano
𝑇 = 1
2 ∗ 𝑚 ∗ 𝑣Y, + 𝑚 ∗ 𝑣Y ∗ 𝜔𝑘 × 𝐺 − 𝑂 + 1
2∗ 𝜔, ∗ 𝐼dd
g. Cálculo do Trabalho
• Só realizam trabalho forças na direção do deslocamento: 𝜏 = 𝐹 ∗ 𝑑 ∗ cos 𝜃
• Força Normal:
𝜏Õ = 0 i. Pois é ortogonal à trajetória
• Força de Atrito:
i. Sem escorregamento à 𝜏¼ef = 0 ii. Com escorregamento à 𝜏¼ef < 0
47
• Trabalho do Momento: 𝜏 = 𝑀 ∗ ∆𝜃
48
3. Exercícios
1) (Exercício 1, Prova 3, 2015 – Poli) Duas barras esbeltas e homogêneas AB e BO, cada uma com massa m e comprimento L, estão soldadas fazendo uma peça em forma de “L”, conforme mostrado na figura. Pedem-se:
a) Calcule o momento de inércia 𝐽𝑧 e o produto de inércia 𝐽𝑧𝑦 dessa peça;
b)
Calcule o momento de inércia 𝐽𝑧’ dessa peça, em relação ao eixo 𝑧’ paralelo a 𝑧 e que passa pelo ponto D.
49
2) (Exercício 2, Prova 3, 2015 – Poli) Duas barras uniformes, cada uma de massa 𝑚 e comprimento L, estão articuladas em B como mostra a figura. Este sistema está num plano vertical, o ponto D da barra BD pode escorregar sem atrito no plano horizontal, e o ponto A da barra AB está preso por uma articulação externa. Desloca-se levemente o ponto D para a esquerda, soltando-o em seguida, fazendo com que o sistema entre em movimento. Para o instante em que o ponto D estiver exatamente abaixo de A, pedem-se, em função dos dados:
a) Construa os diagramas de corpo livre das barras AB e BD; b) Obtenha a relação entre os vetores rotação 𝜔PQ e 𝜔Q‡;
50
3) (Exercício 3, Prova 3, 2006 – Poli) Um disco de massa m, raio R e centro G rola sem escorregar em um plano inclinado, como indicado na figura. O disco é tracionado por um fio inextensível, de massa desprezível, que está conectado a um corpo B de massa m. No instante inicial, o sistema está em repouso e ℎ = 0. Sabendo que a polia com centro C tem massa desprezível, pedem-se:
a) A energia cinética do sistema;
b) A velocidade 𝑣Q e a aceleração 𝑎Q do bloco em função de h;
c) A tração T no fio e as componentes normal e tangencial da força de contato no disco.
51
4) (Exercício 1, Prova 3, 2016 – Poli) Um bloco de massa 𝑚Q escorrega sobre o
plano horizontal com coeficiente de atrito 𝜇. O bloco está ligado a um cabo ideal cuja extremidade está presa na polia de massa 𝑚† e raio R, cujo centro C
é vinculado ao solo por meio de articulação sem atrito. No instante inicial, quando o sistema está em repouso, é aplicado um momento de binário M (constante) na polia de centro C, suficiente para acelerar o bloco.
Sabe-se que a origem de 𝑥 é tal que 𝑥 = 0 para 𝜃 = 0.
a) Determine a energia cinética do sistema em função da velocidade angular 𝜔 = 𝜃 da polia de centro C;
52
5) (Exercício 1, Prova 3, 2013 – Poli) O sólido é composto por três barras homogêneas de mesma massa 𝑚, mesmo comprimento 𝑎 e diâmetro desprezível, soldadas entre si no formato mostrado na figura. A barra AB é paralela ao eixo 𝑂𝑦. Usando o sistema de coordenadas 𝑂𝑥𝑦𝑧, determine:
a) O momento de inércia 𝐽Sd do sólido;
53
Gabarito: 1) a. 𝐽d = ,~Ã Ø q ; 𝐽db = ~-Ã , . b. 𝐽dÙ = 𝑚 ,Ã Ø q + 2𝑎 , − 𝑎𝐿 . 2) a. b. 𝜔PQ = 𝜔Q‡ = 𝜔 = 𝜔𝑘. c. 𝑣‡ = − ÚÛÃ Ü 𝚤. 3) a. 𝐸ŒF{ = Ý|𝑚𝑣Q,. b. 𝑣Q, = |ÛÞÝ (1 − sin 𝛼); 𝑎Q = ,ÛÝ (1 − sin 𝛼)
