TM Estática II

(1)

TM 332 - Estática II

Emílio Eiji Kavamura, MSc

Departamento de Engenaharia Mecânica

UFPR

(2)

Roteiro da aula

Centróides e Baricentros

Formas Compostas

Centros de Massa Tabelados

Teorema de Pappus-Guldin

Momento de Inércia

Momento Polar de Inércia

Raio de Giração

Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER)

Exercícios

Momentos de Inércia de Superfícies Compostas

Exercícios

Tarefa Mínima

Produto de Inércia

Eixos rotacionados

Tarefa Mínima

Trabalho

(3)

Centróides e Baricentros

TÓPICOS

Centróides e Baricentros

Formas Compostas

Centros de Massa Tabelados

Teorema de Pappus-Guldin

Momento de Inércia

Momento Polar de Inércia

Raio de Giração

Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER)

Exercícios

Momentos de Inércia de Superfícies Compostas

Exercícios

Tarefa Mínima

Produto de Inércia

Eixos rotacionados

Tarefa Mínima

Trabalho

(4)

Definição

Centro de gravidade (baricentro) de um corpo rígido

É o ponto

G onde uma única força equivalente W, chamada peso do

corpo, pode ser aplicada para representar o efeito da atração exercida

pela Terra no corpo.

(5)

Definição

d ~

W = −d (mg)ˆ

k











x =

R xd(mg)

_mg

y =

R yd(mg)

_mg

(6)

Definição

d ~

W = −d (mg) = −gρAdl ˆ

k











x =

R xdl

_l

y =

R ydl

_l

z =

R zdl

_l

(7)

Definição d ~W = −d (mg) = −gρAdl ˆk              x =R xdl l y =R ydl l z =R zdl l

2012-11-24

Estática

Centróides e Baricentros

Definição

A determinação do centro de gravidade de um

fio homogêneo de

seção transversal uniforme contido em um plano reduz-se à

determinação do centróide C da linha L que representa o fio; nós

temos:

P =

Z

dP

x L =

R x dL

y L =

R y dL

(8)

Definição

d ~

W = −d (mg)ˆ

k = −gρtdAˆ

k











x =

R xdA

_A

y =

R ydA

_A

z =

R zdA

_A

(9)

Definição

d ~

W = −d (mg)ˆ

k = −gρdV ˆ

k











x =

R xdV

_V

y =

R ydV

_V

z =

R zdV

_V

(10)

Para figuras Planas

x A =

Z

xel

dA x =

R xel

dA

A

y A =

Z

yel

dA y =

R yel

dA

A

(11)

Para figuras Planas x A = Z xeldA x =R xeldA A y A = Z yeldA y =R yeldA A

2012-11-24

Estática

Centróides e Baricentros

Para figuras Planas

Considere corpos bidimensionais, tais como

placas lisas e fios

contidos no plano xy. Adicionando forças no sentido vertical de z e

os momentos sobre os eixos horizontais y e x, as seguintes relações

são obtidas:

P =

Z

dP

x P =

R x dP

y P =

R y dP

as quais definem o peso do corpo e

as coordenadas x e y de seu centro

de gravidade.

(12)

Para figuras Planas

x A =

Z

xel

dA x =

R xel

dA

A

y A =

Z

yel

dA y =

R yel

dA

A

(13)

Para figuras Planas x A = Z xeldA x =R xeldA A y A = Z yeldA y =R yeldA A

2012-11-24

Estática

Centróides e Baricentros

Para figuras Planas

Para uma

placa lisa homogênea de espessura uniforme, o centro

de gravidade G da placa coincide com o centróide C da área A da

placa.

(14)

Centróides e Baricentros Exercícios - Centróide por integração

Determine a posição do centróide da figura por integração

(15)

Determine a posição do centróide da figura por integração

(16)

Determine a posição do centróide da figura por integração

(17)

Formas Compostas

TÓPICOS

Centróides e Baricentros

Formas Compostas

Centros de Massa Tabelados

Teorema de Pappus-Guldin

Momento de Inércia

Momento Polar de Inércia

Raio de Giração

Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER)

Exercícios

Momentos de Inércia de Superfícies Compostas

Exercícios

Tarefa Mínima

Produto de Inércia

Eixos rotacionados

Tarefa Mínima

Trabalho

(18)

Formas Compostas

(19)

Formas Compostas

2012-11-24

Estática

Formas Compostas

Centróides de Placas Compostas

As áreas e os centróide de várias formas

comuns são tabeladas.

Quando uma placa lisa pode ser dividida

em diversas formas comuns, as

coordenadas X e Y de seu centro de

gravidade G podem ser determinadas

pelas coordenadas x

1

, x

2

, · · · e y

1

, y

2

, · · ·

dos centros de gravidade das formas

básicas que compõem a área.

Neste caso,







X

P W = P x

i

W

i

Y

P W = P y

i

W

i

Se a placa for homogênea e da

espessura uniforme, seu centro de

gravidade coincide com o centróide C da

área da placa, e os Momentos de

Primeira Ordem da área composta são







Q

y

=

X

P A = P xA

(20)

Formas Compostas

(21)

Formas Compostas

(22)

Formas Compostas

(23)

Centros de Massa Tabelados

TÓPICOS

Centróides e Baricentros

Formas Compostas

Centros de Massa Tabelados

Teorema de Pappus-Guldin

Momento de Inércia

Momento Polar de Inércia

Raio de Giração

Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER)

Exercícios

Momentos de Inércia de Superfícies Compostas

Exercícios

Tarefa Mínima

Produto de Inércia

Eixos rotacionados

Tarefa Mínima

Trabalho

(24)

(25)

(26)

(27)

Teorema de Pappus-Guldin

TÓPICOS

Centróides e Baricentros

Formas Compostas

Centros de Massa Tabelados

Teorema de Pappus-Guldin

Momento de Inércia

Momento Polar de Inércia

Raio de Giração

Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER)

Exercícios

Momentos de Inércia de Superfícies Compostas

Exercícios

Tarefa Mínima

Produto de Inércia

Eixos rotacionados

Tarefa Mínima

Trabalho

(28)

O

Teorema de Pappus-Guldin permite determinar a área de uma superfície

(29)

A área A da superfície gerada pela rotação de uma curva de comprimento L

sobre um eixo fixo é dada por:

A = 2 π y L

(30)

A área A da superfície gerada pela rotação de uma curva de comprimento L

sobre um eixo fixo é dada por:

A = 2 π y L

(31)

O volume V do corpo gerado pela rotação de uma área A sobre um eixo fixo

é dada por:

V = 2 π y A

(32)

O volume V do corpo gerado pela rotação de uma área A sobre um eixo fixo

é dada por:

V = 2 π y A

(33)

Teorema de Pappus-Guldin Exercícios - Teorema de Pappus-Guldin

Sabendo que duas calotas iguais foram cortadas de uma esfera de

madeira de 25 cm de diâmetro, determine a área total da parte

(34)

(35)

Determine o volume e o peso do botão sólido de bronze da figura. (O

peso específico do bronze é

83, 0 10

3 _N/m

3 _).

(36)

MOMENTOS DE ÁREA DE PRIMEIRA ORDEM

As coordenadas do centróide são definidas pelas relações:

x A =

Z

x dA

y A =

Z

y dA

Momentos de Primeira Ordem da Área A

são estas integrais apresentadas acima, e denotadas por

Qy

e

Qx

,

Qy

=

x A em relação ao eixo y

(37)

Tarefa Mínima

Tarefa mínima

(38)

Tarefa Mínima

Tarefa mínima

(39)

Tarefa Mínima

Tarefa mínima

I

Resolver os exercícios

I

_9.5,

I

_9.18,

I

_9.35,

I

_9.11,

I

_9.49,

I

_{9.89 e}

I

_9.100.

I

Fazer os exercícios propostos:

I

_9.124;

I

_9.126;

I

_9.129;

(40)

Tarefa Mínima

EXTRAS

(41)

Tarefa Mínima

EXTRAS

(42)

Tarefa Mínima

EXTRAS

(43)

Tarefa Mínima

EXTRAS

(44)

Tarefa Mínima

EXTRAS

(45)

Tarefa Mínima

RESOLUÇÃO

Resolução

Determine a posição do centróide da figura por integração

x =

R x dA

A

x =

R x

dA

z }| {

x

h

a

dx

A

=

b

2

_h

3 bh

2 =

2

3 b

.

(46)

Tarefa Mínima

RESOLUÇÃO

Resolução

Determine a posição do centróide da figura por integração

y =

R y dA

A

y =

R y

dA

z

}|

{

(b − x )dy

A

=

b h

2

6 bh

2 =

1

3 h.

Próximo exercício

(47)

Tarefa Mínima

RESOLUÇÃO

Resolução

Determine a posição do centróide da figura por integração

x =

R x dA

A

x =

a

R

0 x

dA

z

}|

{

b(1 − k x

3 )dx

a

R

0 b(1 − k x

3 _)dx

=

a

2

_b

2 −

a

5

_{b k}

5 −

a b (a

3

₄

k −4)

=

4 a

5 +

6 a

5 a

3 _{k − 20}

.

(48)

Tarefa Mínima

RESOLUÇÃO

Resolução

Determine a posição do centróide da figura por integração

.y =

R y dA

A

y =

R y

dA

z }| {

x dy

A

=

a

R

0 (b(1 − k x

3 _{)) ·}

_{x · (−3bx}

2 _)dx

−

a b (a

3

₄

k −4)

=

−

3 a

3 _{b 4 a}

3 _{k − 7}

7 (a

3 _{k − 4)}

Próximo exercício

(49)

Tarefa Mínima

RESOLUÇÃO

Resolução

Determine a posição do centróide da figura por integração

x =

R x dA

A

x =

0.5 R

0 x

dA

z

}|

{

r

x

k

− k x

2 !

dx

0.5 R

0 p

_x

k

− k x

2 dx

=

3

10 −

3

40

4 √

2

1 _k

3 2

_{− 1}

.

(50)

Tarefa Mínima

RESOLUÇÃO

Resolução

Determine a posição do centróide da figura por integração

y =

R y dA

A

y =

0.5 R

0 y

dA

z

}|

{

r

y

k

− ky

2 !

dy

0.5 R

0 q

y

k

− ky

2 dy

=

k

32 −

q

2 k

10 k

12 −

q

2 k

3 .

Formas Compostas

(51)

Tarefa Mínima

RESOLUÇÃO

(52)

Tarefa Mínima

RESOLUÇÃO

(53)

Tarefa Mínima

RESOLUÇÃO

~r

CM

=

~r

1 · V

1 + ~

r

2 · V

2 + ~

r

3 · V

3 − ~r

4 · V

4 V1

+

V2

+

V3

− V

4 Tabelados

(54)

Momento de Inércia

TÓPICOS

Centróides e Baricentros

Formas Compostas

Centros de Massa Tabelados

Teorema de Pappus-Guldin

Momento de Inércia

Momento Polar de Inércia

Raio de Giração

Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER)

Exercícios

Momentos de Inércia de Superfícies Compostas

Exercícios

Tarefa Mínima

Produto de Inércia

Eixos rotacionados

Tarefa Mínima

Trabalho

(55)

Momento de Inércia

O momento de inércia de uma área tem origem nos casos em que

devemos calcular o momento de uma carga distribuída que varia em

relação a um eixo.

(56)

Momento de Inércia

Exemplos clássicos podem ser encontrados :

I

na Resistência dos Materiais,

como o caso da flexão pura;

I

na Mecânica dos Fluidos, como

o caso de carregamento devido

à pressão de um líquido atuante

sobre a superfície submersa de

uma placa.

(57)

Momento de Inércia

Cálculo

(58)

Momento de Inércia

Cálculo

Considere:

O módulo da resultante

R das

forças elementares ∆

F sobre a

seção inteira é:

R =

Z

ky dA = k

Z

y dA

|

{z

}

Q

x

=

k Q

x

Assim,

P R = ~o, visto que o

centróide da seção está

localizado sobre o eixo x.

(59)

Momento de Inércia

Cálculo

O sistema de forças apresentado

reduz-se a um binário.

O módulo desse binário

M é dado por:

M =

Z

ky

2 dA = k

Z

y

2 dA

A última integral obtida é o

momento

estático de 2

a

_{ordem ou momento de}

inércia em relação ao eixo x e é

representado por I

x

.

(60)

Momento de Inércia

Cálculo de I

y

A mesma idéia pode ser aplicada ao eixo y e, assim, calcular o

momento de inércia

I

y

.

Os

Momentos de Inércia,

I

x

e

I

y

,

de uma área são definidos como:







Ix

=

R y

2 dA

Iy

=

R x

2 _dA

(61)

Momento de Inércia

As integrais,

Ix

e

Iy

, podem ser facilmente calculadas se

(62)

Momento de Inércia Exercícios

Exercícios

Ex. 1) Determine, por integração, o momento de inércia da superfície

sombreada em relação ao eixo

x .

(63)

Exercícios

Ex. 2) Determine, por integração, o momento de inércia da superfície

sombreada em relação ao eixo

x .

(64)

Exercícios

Ex. 3) Determine, por integração, o momento de inércia da superfície

sombreada em relação ao eixo

x .

(65)

Exercícios

Ex. 4) Determine, por integração, o momento de inércia da superfície

sombreada em relação ao eixo

y .

(66)

Momento Polar de Inércia

TÓPICOS

Centróides e Baricentros

Formas Compostas

Centros de Massa Tabelados

Teorema de Pappus-Guldin

Momento de Inércia

Momento Polar de Inércia

Raio de Giração

Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER)

Exercícios

Momentos de Inércia de Superfícies Compostas

Exercícios

Tarefa Mínima

Produto de Inércia

Eixos rotacionados

Tarefa Mínima

Trabalho

(67)

Momento Polar de Inércia

O

Momento Polar de Inércia de uma

área A em relação ao pólo O é definido

como:

Jo

=

Z

r

2 dA

A distância de O ao elemento diferencial de área

dA é r .

Observando que

r

2 ₌

_x

2 ₊

_y

2 _{, a seguinte relação pode ser}

estabelecida:

(68)

Raio de Giração

TÓPICOS

Centróides e Baricentros

Formas Compostas

Centros de Massa Tabelados

Teorema de Pappus-Guldin

Momento de Inércia

Momento Polar de Inércia

Raio de Giração

Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER)

Exercícios

Momentos de Inércia de Superfícies Compostas

Exercícios

Tarefa Mínima

Produto de Inércia

Eixos rotacionados

Tarefa Mínima

Trabalho

(69)

Raio de Giração

O

Raio de Giração de uma área A em

relação a um eixo x é definido como a

distância

kx

, onde

Ix

=

k

2 x

A. Com definição similar para o raio de giração

de A em relação ao eixo

y e com relação a

O, nós temos:

kx

=

r

Ix

A

;

ky

=

r

Iy

A

e

ko

=

r

Jo

A

(70)

Raio de Giração Exercício

Exercício

Ex. 5) Determine o momento polar de inércia da superfície sombreada

em relação à origem do sistema. Determine o raio de giração em

relação ao eixo y.

(71)

Tarefa Mínima

Tarefa mínima

I

Ler e entender os exercícios resolvidos 10.1, 10.2 e 10.3.

I

Fazer os exercícios propostos:

I

_10.1;

I

_10.8;

I

10.11;

I

10.15;

I

10.21;

I

10.23.

(72)

Tarefa Mínima

Tarefa mínima - Beer & Johnston

I

Ler e entender os exercícios resolvidos 9.1, 9.2 e 9.3.

I

Fazer os exercícios propostos:

I

_9.1;

I

_9.5;

I

9.4;

I

9.8;

I

9.16;

I

9.18.

(73)

Tarefa Mínima

Roteiro da aula

Centróides e Baricentros

Formas Compostas

Centros de Massa Tabelados

Teorema de Pappus-Guldin

Momento de Inércia

Momento Polar de Inércia

Raio de Giração

Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER)

Exercícios

Momentos de Inércia de Superfícies Compostas

Exercícios

Tarefa Mínima

Produto de Inércia

Eixos rotacionados

Tarefa Mínima

Trabalho

(74)

Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER)

TÓPICOS

Centróides e Baricentros

Formas Compostas

Centros de Massa Tabelados

Teorema de Pappus-Guldin

Momento de Inércia

Momento Polar de Inércia

Raio de Giração

Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER)

Exercícios

Momentos de Inércia de Superfícies Compostas

Exercícios

Tarefa Mínima

Produto de Inércia

Eixos rotacionados

Tarefa Mínima

Trabalho

(75)

Teorema dos eixos paralelos:

Este teorema nos permite

relaci-onar momentos de inércia em

re-lação a eixos quaisquer com

mo-mentos de inércia relativos a eixos

baricêntricos, desde que eles

se-jam paralelos.

(76)

Os momentos de

inér-cia I de uma seção com

relação a eixos

parale-los aos eixos principais

de inércia podem ser

determinados pelo

teo-rema dos eixos

parale-los:

I = I + A d

2 onde:

I

é o momento de inércia em relação ao centróide,

A

é a área da superfície e

(77)

Por analogia, o mesmo pode ser dito para o momento polar de inércia,

ou seja:

(78)

O teorema dos eixos

para-lelos também pode ser

utili-zado quando se quer

deter-minar o momento de inércia

em relação ao centróide

I e

se conhece o momento de

inércia em relação a outro

eixo.

(79)

Exercícios

TÓPICOS

Centróides e Baricentros

Formas Compostas

Centros de Massa Tabelados

Teorema de Pappus-Guldin

Momento de Inércia

Momento Polar de Inércia

Raio de Giração

Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER)

Exercícios

Momentos de Inércia de Superfícies Compostas

Exercícios

Tarefa Mínima

Produto de Inércia

Eixos rotacionados

Tarefa Mínima

Trabalho

(80)

Exercícios

Ex.

1) Determine, o

mo-mento de inércia da

super-fície sombreada em relação

ao eixo

x , sabendo que o

momento de inércia em

re-lação ao centróide

I

x

é igual

a

bh

₁₂

3

.

(81)

Momentos de Inércia de Superfícies Compostas

TÓPICOS

Centróides e Baricentros

Formas Compostas

Centros de Massa Tabelados

Teorema de Pappus-Guldin

Momento de Inércia

Momento Polar de Inércia

Raio de Giração

Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER)

Exercícios

Momentos de Inércia de Superfícies Compostas

Exercícios

Tarefa Mínima

Produto de Inércia

Eixos rotacionados

Tarefa Mínima

Trabalho

(82)

Momentos de Inércia de Superfícies Compostas:

Figuras compostas

O momento de inércia de uma superfície é a soma dos momentos de

inércia das diversas superfícies nas quais ela pode ser decomposta.

Isto evita, muitas vezes, a necessidade de integrações, desde que se

decomponha a superfície dada em figuras geométricas básicas tais

como retângulos, círculos, etc, para os quais já se conhecem

previamente o valor dos momentos de inércia.

(83)

Formas Tabeladas-1

Forma plana

x

y

x

y

h

b

G

x

≡

x

y

≡

y

r

G

Área

b

· h

π ·

r

2 I

x

b·h

3

1

4 πr

4 I

y

b

3

_·h

3 =I

x

I

x

b·h

3

12 =I

x

I

y

b

3

_·h

12 =I

x

(84)

Formas Tabeladas-1

Forma plana

x

y

x

y

h

b

G

x

y

x

y

c

h

b

G

Área

b·h

₂

b·h

₂

I

x

b·h

3

12 b·h

3

12 I

y

b

3

_·h

12 b h

12 (3b

2 ₋

_{3b c}

₊

_c

2 ₎

I

_x

b·h

3

36 b·h

3

36 I

y

b

3

_·h

36 b h

36 (b

2 −

b c

+

c

2 )

(85)

Formas Tabeladas-1

Forma plana

x

y

x

y

r

4 r

3 π

G

x

y

x

y

4

3 r

π

G

r

Área

π ·

r

₂

2

π ·

r

₄

2

I

x

Teor. Steiner

πr

4

16 I

y

=I

y

=I

x

I

x

9π

2

₋₆₄

72π

r

4 9π

2

₋₆₄

144π

r

4 I

y

πr

4

8 =I

x

(86)

Formas Tabeladas-1

Forma plana

x

y

x

y

r

2r

3

3 sen

3

_(α)

A

G

2 α

x

y

x

y

3

2 sen(θ)

θ

G

r

2 θ

Área

r

2 _{(α −}

_sen

_(α)

_cos

_(α))

_θ

_r

2 I

x

=

I

x

=

I

x

I

y

Teor. Steiner

1 ₄

r

4 (θ +

1 ₂

sen

(

2 θ))

Ix

₁₂

r

4

h

3 α +

sen(2α)

₂

(

cos

(

2 α) −

4 )

i

1

4 r

4 _{(θ −}

1

2 sen

(

2 θ))

I

y

r

4

(87)

Exercícios

TÓPICOS

Centróides e Baricentros

Formas Compostas

Centros de Massa Tabelados

Teorema de Pappus-Guldin

Momento de Inércia

Momento Polar de Inércia

Raio de Giração

Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER)

Exercícios

Momentos de Inércia de Superfícies Compostas

Exercícios

Tarefa Mínima

Produto de Inércia

Eixos rotacionados

Tarefa Mínima

Trabalho

(88)

Exercícios

Ex. 3) Determine os momentos de inércia,

I

x

e

I

y

, em relação ao

centróide.

(89)

Exercícios

Ex. 9.25) Determine os momentos de inércia,

I

x

e

I

y

, em relação ao

centróide; com a=20 mm.

(90)

Tarefa Mínima

TÓPICOS

Centróides e Baricentros

Formas Compostas

Centros de Massa Tabelados

Teorema de Pappus-Guldin

Momento de Inércia

Momento Polar de Inércia

Raio de Giração

Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER)

Exercícios

Momentos de Inércia de Superfícies Compostas

Exercícios

Tarefa Mínima

Produto de Inércia

Eixos rotacionados

Tarefa Mínima

Trabalho

(91)

Tarefa Mínima

Tarefa mínima - Beer & Johnston

I

Ler e entender os exercícios resolvidos 9.4 e 9.5.

I

Fazer os exercícios propostos:

I

_9.22;

I

_9.26;

I

9.27;

I

9.28;

I

9.33;

I

9.34.

(92)

(93)

Tarefa Mínima

Roteiro da aula

Centróides e Baricentros

Formas Compostas

Centros de Massa Tabelados

Teorema de Pappus-Guldin

Momento de Inércia

Momento Polar de Inércia

Raio de Giração

Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER)

Exercícios

Momentos de Inércia de Superfícies Compostas

Exercícios

Tarefa Mínima

Produto de Inércia

Eixos rotacionados

Tarefa Mínima

Trabalho

(94)

Produto de Inércia

TÓPICOS

Centróides e Baricentros

Formas Compostas

Centros de Massa Tabelados

Teorema de Pappus-Guldin

Momento de Inércia

Momento Polar de Inércia

Raio de Giração

Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER)

Exercícios

Momentos de Inércia de Superfícies Compostas

Exercícios

Tarefa Mínima

Produto de Inércia

Eixos rotacionados

Tarefa Mínima

Trabalho

(95)

Produto de Inércia

O produto de inércia de um

ele-mento de área dA, localizado num

ponto (x , y ), é calculado pela

ex-pressão: dIxy

=xy dA.

I

xy

=

Z

(96)

Produto de Inércia

(97)

Produto de Inércia

Para que o produto de inércia seja

nulo é necessário que ele seja

cal-culado sobre um eixo de

sime-tria.

(98)

Produto de Inércia

Teorema de Steiner para produto de inércia

Vale também o teorema de

Stei-ner:

(99)

Produto de Inércia

Produto de inércia de figuras compostas

Para simplificar o cálculo do

pro-duto de inércia pode-se decompor

a figura em figuras mais simples e

conhecidas:

Ixy

=

n

X

i=1

I

_{xy i}

=

n

X

i=1

Ix

0

_y

0

i

+

Aixi

yi

(100)

Eixos rotacionados

TÓPICOS

Centróides e Baricentros

Formas Compostas

Centros de Massa Tabelados

Teorema de Pappus-Guldin

Momento de Inércia

Momento Polar de Inércia

Raio de Giração

Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER)

Exercícios

Momentos de Inércia de Superfícies Compostas

Exercícios

Tarefa Mínima

Produto de Inércia

Eixos rotacionados

Tarefa Mínima

Trabalho

(101)

(102)

Eixos rotacionados

REVISÃO

(103)

Eixos rotacionados

REVISÃO

(104)

Eixos rotacionados

REVISÃO

(105)

Eixos rotacionados

REVISÃO

(106)

Eixos rotacionados

REVISÃO







u

v







=





cos(θ)

sen(θ)

−sen(θ) cos(θ)











x

y







(107)

Eixos rotacionados

Efetuando a rotação...







u

v







=





cos(θ)

sen(θ)

−sen(θ) cos(θ)











x

y













u = x cos(θ) + y sen(θ)

v = −x sen(θ) + y cos(θ)











Iu

=

R

_A

v

2 _{dA =}

R

A

(x cos(θ) + y sen(θ))

2 dA

Iv

=

R

_A

u

2 _{dA =}

R

A

(−x sen(θ) + y cos(θ))

2 dA

Iuv

=

R

A

uv dA =

R

(108)

Eixos rotacionados

Efetuando a rotação...











Iu

=

cos

2 (θ)Ix

− 2cos(θ)sen(θ)I

xy

+

sen

2 (θ)Iy

Iv

=

cos

2 (θ)Iy

+

2cos(θ)sen(θ)Ixy

+

sen

2 (θ)Iy

Iuv

=

cos

2 _{(θ) −}

_sen

2 _{(θ) Ixy}

_{− cos(θ)sen(θ)Ix}

₊

_{cos(θ)sen(θ)I}

y

(109)

Eixos rotacionados

Efetuando a rotação...











Iu

=

cos

2 _(θ)Ix

_{− 2cos(θ)sen(θ)Ixy}

₊

_sen

2 _(θ)Iy

I

v

=

cos

2 (θ)I

y

+

2cos(θ)sen(θ)I

xy

+

sen

2 (θ)I

y

Iuv

=

cos

2 (θ) −

sen

2 (θ) Ixy

− cos(θ)sen(θ)Ix

+

cos(θ)sen(θ)Iy

Lembrando que:

(110)

Eixos rotacionados

Efetuando a rotação...











Iu

=

cos

2 _(θ)Ix

_{− 2cos(θ)sen(θ)I}

xy

+

sen

2 (θ)Iy

I

v

=

cos

2 (θ)I

y

+

2cos(θ)sen(θ)I

xy

+

sen

2 (θ)I

y

Iuv

=

cos

2 (θ) −

sen

2 (θ) Ixy

− cos(θ)sen(θ)Ix

+

cos(θ)sen(θ)Iy

Lembrando que:

cos(2θ) = cos

2 (θ) −

sen

2 (θ)

sen(2θ) = 2sen(θ)cos(θ)











Iu

=

I

x

+I

y

2 +

I

x

−I

y

2 cos(2θ) − I

xy

sen(2θ)

Iv

=

I

x

+I

y

2 −

I

x

−I

y

2 cos(2θ) − I

xy

sen(2θ)

I

uv

=

I

x

−I

y

2 sen(2θ) − I

xy

cos(2θ)

(111)

Eixos rotacionados

Efetuando a rotação...











Iu

=

I

x

+I

y

2 +

I

x

−I

y

2 cos(2θ) − I

xy

sen(2θ)

I

v

=

I

x

+I

₂

y

−

I

x

−I

y

2 cos(2θ) − I

xy

sen(2θ)

I

uv

=

I

x

−I

y

2 sen(2θ) − I

xy

cos(2θ)

(112)

Eixos rotacionados











I

u

=

I

x

+I

₂

y

+

I

x

−I

y

2 cos(2θ) − I

xy

sen(2θ)

Iv

=

I

x

+I

y

2 −

I

x

−I

y

2 cos(2θ) + Ixy

sen(2θ)

Iuv

=

I

x

−I

y

2 sen(2θ) − Ixy

cos(2θ)

Iu

+

Iv

=

Ix

+

Iy

(113)

Eixos rotacionados

Iu

+

Iv

=

Ix

+

Iy

(114)

(115)

Eixos rotacionados

Iu

+

Iv

=

Ix

+

Iy

Iu

− Iv

= (Ix

− Iy)

cos(2θ) − 2Ixy

sen(2θ)

J

o

=

I

z

=

I

x

+

I

y

=

I

u

+

I

v

(116)

Tarefa Mínima

TÓPICOS

Centróides e Baricentros

Formas Compostas

Centros de Massa Tabelados

Teorema de Pappus-Guldin

Momento de Inércia

Momento Polar de Inércia

Raio de Giração

Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER)

Exercícios

Momentos de Inércia de Superfícies Compostas

Exercícios

Tarefa Mínima

Produto de Inércia

Eixos rotacionados

Tarefa Mínima

Trabalho

(117)

Tarefa Mínima

Tarefa mínima - Hibeller

I

Ler e entender os exercícios resolvidos 10.6 a 10.9

I

Fazer os exercícios propostos:

I

_10.64;

I

_10.73;

I

_10.72;

I

_10.76;

I

_10.82;

I

_10.89;

I

_10.95;

I

10.100;

I

10.101;

I

10.109.