Resumo. Sinais e Sistemas Amostragem. Introdução. Amostragem Periódica

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Luís Caldas de Oliveira

Sinais e Sistemas

Amostragem

Luís Caldas de Oliveira lco@ist.utl.pt

Instituto Superior Técnico

Sinais e Sistemas – p.1/25 Luís Caldas de Oliveira

Resumo

Representação da Amostragem no Domínio da Frequência

Reconstrução do Sinal Amostrado

Processamento em Tempo Discreto de Sinais Contínuos

Conversão A/D e D/A

Sinais e Sistemas – p.2/25

Introdução

Os sinais discretos são muitas vezes representações de sinais contínuos.

Sob certas condições é possível reconstruir sem erros o sinal contínuo a partir da sua representação discreta.

Veremos que é possível realizar sistemas contínuos processando a sua representação em tempo discreto da entrada e reconstruindo o resultado.

Amostragem Periódica

x(n) = xc(nT ), −∞ < n < ∞

em queT é o período de amostragem

s(t) = ∞ X n=−∞ δ(t − nT ) s(t) x (t)_c x (t)_c C/D T x(n)

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Transformada de Fourier (CTFT)

Equação de análise: ∀ω ∈ , X(ω) = Z +∞ −∞ x(t)e−jωtdt Equação de síntese: ∀_{t ∈ , x(t) =} 1 2π Z +∞ −∞ X(ω)ejωtdω

Representação em Frequência

xs(t) = xc(t)s(t) = ∞ X n=−∞ xc(nT )δ(t − nT )

s(t)pode ser representado numa série de Fourier:

Sk= 1 T Z T /2 −T /2 s(t)ejωsk₌ 1 T em queωs= 2π_T. Sinais e Sistemas – p.6/25

Representação em Frequência (cont.)

xs(t) = xc(t)s(t) = ∞ X n=−∞ xc(t) 1 Te jωsk

Aplicando a propriedade do deslocamento em frequência:

Xs(ω) = 1 T +∞ X k=−∞ Xc(ω − kωs) em queωs= 2π_T.

Representação em Frequência (cont.)

s 1 ω −ωN N ω ω 2ω ω 2ωs s 0 s s ω −ωN N ω ω 1/Τ 1/Τ ω (ω −ω )s N s X ( ) ω ω c 2π/Τ ω S( ) X ( )

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Distorção de Aliasing

Sexc(t)for um sinal de banda limitada:

Xc(ω) = 0, |ω| > ωN

Não haverá sobreposição das réplicas deXc(ω)resultantes

da convolução comS (ω)se:

ωs− ωN > ωN, ou seja ωs>2ωN

No caso contrário, a sobreposição produz uma distorção denominada de aliasing.

Reconstrução do Sinal Contínuo

r x (t)c x (t) T x (t) s(t) s r T ωc −ωc ω r Η(ω) Η (ω) Sinais e Sistemas – p.10/25

Reconstrução em Frequência

X ( ) ω 2ω ω 2ωs s 0 s s ω −ωN N ω ω 1/Τ ω 2π/Τ ω −ωc c Τ ω ω 1 ω −ωN N ω X ( )r r H ( ) ω s X ( ) S( ) ω 1 ω −ωN N ω c

Teorema da Amostragem

Sexc(t)for um sinal de banda limitada com:

Xc(ω) = 0 para|ω| ≥ ωN

Então,xc(t)é univocamente representado pelas suas

amostras x(n) = xc(nT ), n = 0, ±1, ±2, . . ., se

ωs=

2π T >2ωN

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Sinal de Banda Limitada

O sinal reconstruído resulta da convolução da sequência de impulsos com a resposta impulsiva de um filtrohr(t):

xr(t) = +∞ X n=−∞ xc(nT )hr(t−nT ) em que hr(t) = ωcT sin(ωct) πωct r 1h (t)r ω ω −ωc c Τ ω Τ 3Τ −3Τ −Τ t H ( )

Sinal de Banda Limitada (cont.)

n n Sinais e Sistemas – p.14/25

Filtro de Reconstrução

Hr(ω) = (T, |ω| < π/T 0, |ω| > π/T ou seja,ωc= π/T: xr(t) = +∞ X n=−∞ xc(nT ) sen(π(t − nT )/T ) π(t − nT )/T

Amostragem por Retenção

A amostragem com um trem de impulsos demonstra a unicidade da representação do sinal pelas suas amostras.

Não é possível produzir na prática um trem de impulsos com as características desejadas. A amostragem é muitas vezes realizadas com recurso a um retentor de ordem zero que amostra e mantém o valor do sinal de entrada até ao instante de amostragem seguinte.

A contrário do trem de impulsos, o retentor de ordem

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Retentor de Ordem Zero

Retentor (sample and hold ) de ordem zero:

h0(t) = (1, 0 < t < T 0, no caso contrário Neste caso: x0(t) = h0(t) ∗ +∞ X n=−∞ xc(nT )δ(t − nT ) H0(ω) = e−jωT /2 2 sin(ωT/2) ω

Compensação do Retentor

H (j ) ^ Conversor D/A and Hold Sample reconstrução x (t) y (t) r D de Filtro r ω Conversão para impulsos escalamento para Xm x(nT)

O Filtro de reconstrução pode compensar a resposta em frequência do retentorH0(ω): H0(ω) = 2sen(ωT /2)_ω e−jωT /2 → Hr(ω) = ( ωT /2 sen(ωT /2), |ω| < π/T 0, |ω| > π/T Sinais e Sistemas – p.18/25

Exemplo

Considere que o sinal sinusoidal:

∀_{t ∈ , x(t) = cos}

_ω

s 2t + φ

é amostrado com intervalo de amostragemT = 2π/ωs.

Determine o sinal resultantexr(t)em função do valor deφ.

Solução: esta amostragem não cumpre os requisitos do

teorema da amostragem, que exige que a frequência de amostragem seja maior do que o dobro da frequência máxima do sinal. Paraφ =0obtém-se uma reconstrução perfeita do sinal, enquanto que paraφ = π/2 xr(t) = 0. A

amplitude dexr(t)depende do valor deφ.

Conversão Contínuo-Discreto

d x (t)c x (t)s C/D x (n) s(t) xs(t) = ∞ X n=−∞ xc(nT )δ(t − nT ) xd(n) = xc(nT ) Aplicando a CTFT: Xs(ω) = ∞ X n=−∞ xc(nT )e−jωnT Aplicando a DTFT: Xd(Ω) = ∞ X n=−∞ xc(nT )e−jΩn Xd(Ω) = Xs(ω/T )

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Processamento de Sinais Contínuos

C/D

x (t)c x(n) y(n) y (t)r

T T

Sistema

discreto D/C

SendoH(ω)a função de transferência do sistema discreto:

Yr(ω) = Hr(ω)H(ωT ) 1 T +∞ X k=−∞ Xc ω − 2πk T ! = (H(ωT )Xc(ω), |ω| < π/T 0, |ω| ≥ π/T

Sinais Contínuos

aa x (t) a ~ Filtro anti− −aliasing Sample and Hold Conversor A/D Sistema discreto reconstrução D/A Conversor x (t) c x(n)^ x (t) 0 y(n)^ y (t) y (t) r D de Filtro r Ω H ( ) Ω Η(ω) H ( ) Sinais e Sistemas – p.22/25

Filtro Anti-Aliasing

Haa(ω) = (1, |ω| < ωc< π/T 0, no caso contrário

Apesar do filtro real não poder ser de banda limitada, pode-se tornarHaa(ω)pequeno para|ω| > π/Tminimizando

a distorção de aliasing.

Conversão A/D: Quantificação

ˆx(n) = Q{x(n)}

Erro de quantificação:

e(n) = ˆx(n) − x(n)

Se o quantificador tiver uma amplitude máxima deXme

utilizarBbits:

∆ = Xm

2B

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Conclusões

O processo de amostragem faz a ponte entre o domínio do tempo contínuo e do tempo discreto. O teorema da amostragem diz-nos que é possível fazer uma reconstrução exacta de um sinal de banda limitada se a amostragem se realizar a um ritmo superior ao do dobro da frequência máxima do sinal. Quando o teorema de amostragem não é respeitado, o sinal reconstruído sofre um distorção denominada de aliasing.

O processo de amostragem é usado em diversas aplicações de onde se destaca a utilização de sistemas discretos para o processamento de sinais contínuos.