Faculdade de Ciências e Tecnologia de Teresina
Associação Piauiense de Ensino Superior LTDA – APES
PROF. RANILDO LOPES
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Apostila 01
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“Nele estão os resumos e trabalho de
sala de aula”
CONCEITOS BÁSICOS
A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar uma operação financeira.
CAPITAL
O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado.
JUROS
Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste período estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.
1.3 DIFERENÇA ENTRE JURO E TAXA DE JURO
O juro entendido como uma remuneração do capital é sempre expresso em valor numa determinada moeda. Ex: R$ 10,00 (dez reais); US$ 20,00 (vinte dólares), etc.
A taxa de juro, normalmente representada pela letra ( i ), é um índice que aplicado sobre o capital determina sua remuneração num determinado período de tempo (dias, meses, anos) que é representado pela letra ( T ). Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere:
8 % a.a. - (a.a. significa ao ano)
10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).
Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %:
0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês)
0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)
Observação: para simplificar as fórmulas matemáticas será usada a forma unitária, assim, quando a taxa, por exemplo, for 5%, o ( i ) na fórmula será substituído por 0,05.
1.4 TIPOS DE JUROS
Os juros (conforme alguns pesquisadores) podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.
Os juros (conforme OUTROS pesquisadores - IMPAR E SBM) são juros. Não existe a divisão acima devido (fator o TEMPO)
a) JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. (na prática, não existe conforme alguns estudiosos da Matemática)
b) JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.
Quando usamos juros simples e juros compostos?
A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.
TERMOLOGIA E CONCEITOS INICIAIS
Alguns termos e definições utilizadas no estudo da Matemática Financeira.
Capital: Qualquer quantidade de dinheiro, que esteja disponível em certa
data, para ser aplicado numa operação financeira.
Juros: Custo do capital durante determinado período de tempo.
Taxa de Juros: Unidade de medida do juro que corresponde à remuneração
paga pelo uso do capital, durante um determinado período de tempo. Indica a periodicidade dos juros.
o Observação: Em nosso curso usaremos a taxa unitária para que o
cálculo fique simplificado, quando estivermos utilizando fórmulas para realizar os cálculos.
Montante: Capital empregado mais o valor acumulado dos juros.
o Observação: MONTANTE = CAPITAL + JUROS (independe se
estamos falando em capitalização simples ou capitalização composta).
Capitalização: Operação de adição dos juros ao capital.
Regime de Capitalização Simples: Os juros são calculados periodicamente
sobre o capital inicial e, o montante será a soma do capital inicial com as várias parcelas de juros, o que equivale a uma única capitalização.
Regime de Capitalização Composta: Incorpora ao capital não somente os
juros referentes a cada período, mas também os juros sobre os juros acumulados até o momento anterior.
Desconto: Desconto é o abatimento que se faz sobre um valor ou um título
de crédito quando este é resgatado antes de seu vencimento. Todo título tem um valor nominal ou valor de face que é aquele correspondente à data de seu vencimento. A operação de desconto permite que se obtenha o valor atual ou valor presente do título em questão.
o Observação: VALOR ATUAL (VALOR PRESENTE) = VALOR
NOMINAL (VALOR DE FACE) – DESCONTO (independe se estamos falando em capitalização simples ou capitalização composta).
1. Juros Simples
Como vimos, o regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:
NOÇÕES PRELIMINARES SOBRE CAPITAL E JURO. Ao emprestarmos certa quantia
a uma pessoa, é justo recebermos a quantia emprestada mais outra quantia que representa o aluguel pago pelo empréstimo.
Assim trabalhando-se para outro, recebe-se o salário pelo trabalho executado; cedendo-se um prédio para residência, recebe-se o aluguel.
Pois bem: a quantia emprestada, o trabalho executado e o prédio alugado representam
capitais; o aluguel e o salário representam juros.
DEFINIÇÃO DE JUROS SIMPLES
Juro é o prêmio que se paga por um capital emprestado. Juro é o preço do “mercadoria” dinheiro.
Juro é o aluguel do dinheiro.
Assim se uma pessoa empresta a outra a importância de $1000,00 e no fim de um ano recebe, além da quantia emprestada, $120,00 como prêmio desse empréstimo, diremos que esse $120,00 representam o juro do capital emprestado.
Observamos que $120,00 correspondem a 12% de seu valor em um ano, ou seja a cada $100,00 temos $12,00 como prêmio ou remuneração do capital
Desse modo, o juro produzido na unidade de tempo representa uma certa percentagem do capital, cuja taxa se chama taxa de juro.
No problema proposto, temos o capital $1000,00, que foi a quantia emprestada; $120,00, rendimento do capital emprestado, são os juros; a taxa, representada pêlos 12%; o tempo durante o qual o capital rendeu juros é 1 ano.
As taxas de juro geralmente são apresentadas de dois modos: Forma porcentual
Neste caso a taxa diz-se aplicada a centos do capital, ou seja, ao que se obtém após dividir-se o capital por 100.
EXEMPLO:
Qual o juro que rende um capital de $1.000,00 aplicado por 1 ano à taxa de juros de 10% ao ano? Resolução:
1.1. FORMA UNITÁRIA
Agora a taxa refere-se à unidade
de capital, ou seja, estamos calculando o que rende a aplicação de uma unidade de capital no intervalo de tempo referido pela taxa.
Se tivermos uma taxa de 0,12 ao ano, então a aplicação de $1,00 por um ano gera juro de $0,12. EXEMPLO:
O exercício anterior, com a taxa na forma unitária (0,10 a.a.). Resolução: 00 , 100 $ 1 10 , 0 00 , 1000 juros juros
Para transformar a forma porcentual em unitária basta dividir-se a taxa expressa na porcentual por 100 00 , 100 $ 1 10 00 , 10 1 10 100 1000 juros juros
FORMA PORCENTUAL TRANSFORMAÇÃO FORMA UNITÁRIA 34 % 34:100 0,34 6% 6:100 0,06 432% 432:100 4,32 0,7% 0,7:100 0,007 40% 40:100 0,4 1.2. Calculo do Juro
Quando o regime é juros simples, a remuneração pelo capital aplicado (também chamado de principal) é diretamente proporcional ao seu valor e ao tempo de aplicação. O fator de
proporcionalidade é a taxa de juros. EXEMPLOS:
1. Suponhamos que se tome emprestado a quantia de $1.000,00 pelo prazo de 4 anos e a taxa de 10% a.a. Qual será o valor a ser pago de juros?
Resolução:
Capital inicial (P) = 1.000,00
Taxa de juros (i) = 10% = 0,1 (taxa unitária) Numero de períodos (n) = 4 anos
Juros (J) = ?
Período Calculo de juros numérico Cálculo de juros literal 1 º J1 = 1.000,00 x 0,1 = $100,00 J1 = Pi 2 º J2 = 1.000,00 x 0,1 = $100,00 J2 = Pi 3 º J3 = 1.000,00 x 0,1 = $100,00 J3 = Pi 4 º J4 = 1.000,00 x 0,1 = $100,00 J4 = Pi SOMA J = J1+ J2+ J3+ J4 = $400,00 J = J1+ J2+ J3+ J4 = 4xPi
J
Pin
Esta é a formula básica para o cálculo de juros em um regime de capitalização simples. Observe que, dados 3 valores da formula, podemos obter o quarto, por simples transformação algébrica: Pi J n Pn J i in J P Pin J
2. Quanto rende um capital de $100,00, aplicado à juros de 5% ao semestre por um prazo de 2 anos?
Dados: P = 100,00; i = 5% a.s. = 0,05; n = 2 anos = 4 semestres J = Pin J = 100 x 0,05 x 4 J = $20,00
2. CÁLCULO DO JURO SIMPLES (OUTRA ABORDAGEM)
No sistema de juro simples o mesmo não incide sobre o juro de períodos anteriores. Ou seja, não há cálculo de juros sobre juros.
Fórmula para o cálculo do juro simples
J
C
.
i
.
T
Onde:J = juros C = capital i = taxa
T= número de período (tempo).
EXEMPLOS DE JUROS SIMPLES:
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 2 anos.
Temos:
J
C
.
i
.
T
Primeiro: verificar as unidades da taxa e do período (elas devem ser iguais). Capital: C = R$ 40.000,00
Taxa: i = 0,36 a.a Período: T= 2 anos
Logo: J = 40.000,00 . 0,36 . 2 ► Juros = R$ 28.800,00
2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.
Temos:
J
C
.
i
.
T
Primeiro: verificar as unidades da taxa e do período (elas devem ser iguais). Capital: C = R$ 40.000,00
Taxa: i = 0,36 a.a como 1 ano tem 360 dias, logo a taxa i = 0,36/360 = 0,001 a.d. Período: T= 125 dias
Logo: J = 40.000,00 . 0,001 . 125 ► Juros = R$ 5.000,00
3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?
Temos imediatamente:
J
C
.
i
.
T
Primeiro: verificar as unidades da taxa e do período (elas devem ser iguais). Juros: J = R$ 3.500,00
Taxa: i = 1,2 % a.m = 0,012 a.m como 1 mês tem 30 dias, logo a taxa i = 0,012/30 = 0,0004 a.d.
Período: T= 75 dias
Logo: 3500,00 = C . 0,0004 . 75 C . 0,03 = 3500,00
C = R$ 116.666,67
Temos:
J
C
.
i
.
T
Primeiro: verificar as unidades da taxa e do período (elas devem ser iguais). Capital: C = R$ 1.200,00
Taxa: i = 0,13 a.t como 1 trimestre tem 90 dias, logo a taxa i = 0,13/90 = 0,00144 a.d. Período: T= 4 meses e 15 dias 135 dias
Logo: J = 1.200,00 . 0,00144 . 135 Juros = R$ 234,00
Exercícios de juros simples:
01)A que taxa anual um investimento renderá em 5 anos juros equivalentes a 4/5 desse mesmo investimento? R.16% a.a
2) Durante quanto tempo R$ 22.500,00 a 4% a.m. renderá R$ 27.000,00 de juros? R. 2 anos e 6 meses
3) Calcular o capital que, aplicado durante 3 anos e 9 meses a 4% a.m., produz R$ 8.062,50 de juros. R. R$ 4.479,16
4) Achar o capital que rende R$ 6.696,40 de juros em 2 anos, 7 meses e 24 dias a 36% a.a. R. 7019,29
5) Calcular os juros de uma aplicação de R$ 180.000,00 a 36% a.a., pelo prazo de um trimestre. R. R$ 16.200,00
6) Calcular a taxa de R$ 5.000,00 em 1 ano e 6 meses, que tenha produzido juros de R$ 675,00. R. 9% a.a
7) A que taxa um capital de R$ 2.500,00 em 2 anos e 6 meses para produz juros de R$ 1.250,00? R. 20% a.a
8) Quanto tempo devo aplicar o capital de R$ 10.053,40 para obter o montante de R$ 11.561,40 a 4,5% a.m.? R. 3 meses e 10 dias
9) Se aplicarmos R$ 15.877,50 a 5,5% a.m., quanto tempo será necessário para obtermos o capital mais os juros de R$ 28.539,80? R. 1 ano, 2meses e 15 dias
10) O capital de R$ 42.600,00 para produzir juros de R$ 46.008,00 a 6% a.m., qual é o tempo necessário? R. 1 ano e 6 meses
11) Em que prazo um capital aplicado a 20% a.a., tem um aumento que corresponde a 1 / 4 de seu valor? R. 1 ano e 3 meses.
12) Em que prazo um capital de R$ 100.000,00 a 2% a.m. obtém um montante de R$ 164.000,0? R. 2 anos e 8 meses
13) Qual o montante que dá um capital de R$ 7.000,00 em 6 meses, à taxa de 6% a.a.? R. R$ 7.210,00
20 anos
15) Um certo capital, foi duplicado em 10 anos a juros simples. A que taxa foi empregado? R.
10% a.a
Vamos analisar o exemplo abaixo:
Exemplo 3.1.1 José realizou um empréstimo de antecipação de seu 13° salário no Banco do Brasil no valor de R$ 100,00 reais, a uma taxa de juros de 10% ao mês. Qual o valor pago por José se ele quitou o empréstimo após 5 meses, quando recebeu seu 13°? Valor dos juros que este empréstimo de José gerou em cada mês.
Em juros simples, os juros são cobrados sobre o valor do empréstimo (capital)
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
MÊS JUROS COBRADO SALDO DEVEDOR
1º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 100,00 + R$ 10,00 = R$ 110,00
2º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 110,00 + R$ 10,00 = R$ 120,00
3º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 120,00 + R$ 10,00 = R$ 130,00
4º 10% de R$ 100,10 = R$ 10,00 R$ 130,00 + R$ 10,00 = R$ 140,00
5º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 140,00 + R$ 10,00 = R$ 150,00
Em juros composto, os juros são cobrados sobre o saldo devedor (capital+ juros do período anterior)
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
MÊS JUROS COBRADO SALDO DEVEDOR
1º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 100,00 + R$ 10,00 = R$ 110,00
2º 10% de R$ 110,00 = R$ 11,00 R$ 110,00 + R$ 11,00 = R$ 121,00
3º 10% de R$ 121,00 = R$ 12,10 R$ 121,00 + R$ 12,10 = R$ 133,10
4º 10% de R$ 133,10 = R$ 13,31 R$ 133,10 + R$ 13,31 = R$ 146,41
5º 10% de R$ 146,41 = R$ 14,64 R$ 146,41 + R$ 14,64 = R$ 161,05
Assim notamos que o Sr. josé terá que pagar após 5 meses R$ 150,00 se o banco cobrar juros simples ou R$ 161,05 se o banco cobrar juros compostos.
GARÁFICO DO EXEMPLO 3.1.1
Note que o crescimento dos juros composto é mais rápido que os juros simples.
1.3. MONTANTE
Define-se como montante de um capital, aplicado à taxa i e pelo prazo de n períodos, como sendo a soma do capital inicial mais o juro.
Sendo P o capital inicial, aplicado por n períodos à uma taxa i, temos o montante (F) como sendo:
F = P + J F = P + Pin F = P(1+in)
De modo análogo ao visto para o juro, dados 3 valores da fórmula podemos obter o quarto valor:
i P F n n P F i in F P in P F 1 1 1 ) 1 ( EXEMPLO:
Qual é o montante de um capital de R$1.000,00 aplicado à taxa de 10% a.a. pelo prazo de dois anos?
Resolução:
P = 1.000,00 i = 0,10 n = 2
F = P (1+in) F = 1.000,00( 1+ 0,1 x 2 ) F = 1,000 x 1,2 F = $1.200,00 É possível resolver o problema seguindo-se a definição para o montante: a) Calculando o juro devido:
J = Pin J = 1.000,00 x 0.1 x 2 J = $200,00 b) Somando-se o juro ao principal (capital) F = P+ J F = 1.000,00 + 200,00 F = $1.200,00 1.4. JURO EXATO E JURO COMERCIAL
Nas aplicações correntes, muito embora as taxas sejam expressa em termos anuais, os prazos são fixados em dias. Como a curto prazo o regime geralmente adotado é o juros simples, torna-se necessário calcular a taxa proporcional referente a 1 dia.
Neste caso, podemos ter dois enfoques, dependendo do numero de dias adotado para o ano: a) ano civil: 365 dias;
b) ano comercial: 360 dias;
nas aplicações práticas, onde é adotada a convenção de ano comercial, o mês comercial tem 30 dias. Por outro lado, como a contagem de dias deve ser exata, é necessário levar em conta também a existência de anos bissextos.
EXEMPLO:
Dada a taxa de 72% ao ano, qual a taxa proporcional ao dia para convenção do ano civil e do ano comercial? Resolução:
Pelo ano civil: i365 =
365 % 72
0,197% ao dia Pelo ano comercial: i360 =
360 % 72
0,2% ao dia
2. CÁLCULO DO MONTANTE
Ao somarmos os juros ao valor principal (Capital) temos o montante. Montante = Capital + Juros
M = C + J mas lembre que J = i .T_
Montante = Capital + (Capital x Taxa de juros x Número de períodos) M = C + C. i. T_
Logo, colocando C em evidência, temos:
M
C
.(
1
i
.
T
)
Onde:M= valor do montante J = juros
C = valor do capital i = taxa
T= número de período (tempo).
EXEMPLOS DE JUROS SIMPLES E MONTANTE:
1 - Assim para calcularmos o Montante de R$ 100,00 ao final do terceiro período a uma taxa de juros de 10% ao período, temos:
M = 100,00 [1 + ( 0,10. 3) ] M = 100,00 [1 + ( 0,30)] M = 100,00 (1,30) M = 130,00 (R$)
2 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão
necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples? Objetivo: M = 2.C
Dados: i = 150 % a.a = 1,5 a.a Fórmula: M = C (1 + i.T)
Desenvolvimento: 2C = C (1 + 1,5 T) 2 = 1 + 1,5 T
T = 2/3 ano = 8 meses
3 - Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.
M = R$ 72.960,42 EXERCÍCIOS:
01- Que capital deve ser aplicado para gerar um montante de R$130,00 em três meses com taxa de juro de 10% ao mês?
02- Que taxa deve ser aplicada sobre o capital de R$ 100,00 para gerar um montante de R$ 130,00 em três meses?
03- Durante quanto tempo deve ficar aplicado o capital de R$ 100,00 para gerar um montante de R$ 130,00 com taxa de juros de 10% ao mês?
04- Qual o juro de um capital de R$ 500,00 aplicado por 10 meses a uma taxa de 7% ao mês?(350,00)
05- Qual o juro e o montante acumulado em um ano a uma taxa de 10% ao mês a partir de uma aplicação de R$ 325,00?(j = 390,00 e M = 715,00)
06- Qual o montante acumulado em 18 meses a uma taxa de 0,10% ao dia a partir de um principal de R$ 1.000,00?(1.540,00)
07- Qual o montante acumulado em 120 dias a uma taxa de 24% ao ano a partir de um principal de R$ 5.000,00?(5.400,00)
08- Qual o capital necessário para se obter um montante de R$ 970,00 daqui a três semestres a uma taxa de 5% ao mês?(510,52)
09- Qual o capital necessário para se obter um montante de R$ 1.070,00 daqui a três anos a uma taxa de 0,7% ao mês? (854,63)
10- Qual o capital necessário para se obter um montante de R$ 2.000,00 daqui a 18 meses a uma taxa de 7,5% ao ano?(1.797,75)
11- Qual o juro simples recebido em uma aplicação de R$ 5.000,00 a uma taxa de 2% ao mês pelo período de 15 dias?(50,00)
12- Foi efetuado um único deposito de R$ 570,00 em uma aplicação financeira. Após dois anos seu saldo era de R$ 775,20. Qual a taxa de juro recebida? (1,5% am)
13- A que taxa devemos aplicar um capital de R$ 100,00 para que ele duplique em 20 meses?(5% ao mês)
14- Fizemos uma dívida de R$ 10.000,00 para aquisição de um automóvel. Não foi efetuado nenhum pagamento e após 5 meses ela estava em R$15.000,00. Qual a taxa de juro cobrada? (10% am)
15- Durante quanto tempo devemos aplicar um capital para que ele quadruplique de valor a uma taxa de 10% a.m?(30 meses)
16- Uma pessoa emprega seu capital a 8% a.a. e, no fim de 3 anos e 8 meses, recebe capital e juros reunidos no valor de R$ 38.800. Qual o capital empregado? R. R$ 30.000,00
17- Qual o capital que depois de 8 meses, à taxa de 11 1/2%a.a. , dá um montante de R$ 12.920,00? R. R$ 12.000,00
18- No fim de 3 anos, à 9% a.a., o capital acumulado foi de R$ 2.540,00. Qual foi o juro e qual era o capital inicial? R R$ 2.000,00 e R$ 540,00
19- Achar o capital que, empregado a juros simples, à taxa de 2/5% a.m., produz, no fim de um ano, 3 meses e 5 dias, o montante de R$ 159.100,00. R. 150.000
20- Uma pessoa empregou certo capital a 6% a.a. . Depois de um ano e meio, retirou capital e juros e empregou tudo a 8% a.a., retirando no final de dois anos e meio, o montante de R$ 26.160,00. Determinar o capital inicial. R. R$ 20.000,00
21- Por quanto tempo se deve empregar um capital para que, à taxa de 10% a.a., o montante seja igual ao triplo deste capital? R. 20 anos
22- A que taxa se deve colocar R$ 800,00, em 2 anos, para render 88,00 de juros? R. 5,5%
JURO EXATO
Chama-se juro exato aquele que é obtido quando o período (n) está expresso em dias e é adotada a convenção de ano civil:
365 Je Pin EXEMPLO:
Qual é o juro exato de um capital de $10.000,00 que é aplicado por 40 dias e à taxa de 36% ao ano? 365 Je Pin 365 40 36 , 0 000 . 10 Je = $394,52 JURO COMERCIAL
Denomina-se juro comercial (ou ordinário) o juro que é calculado quando se adota como base o ano comercial:
360 Jc Pin
Analogamente, neste caso o período (n) deverá ser expresso em números de dias. EXEMPLO:
Calcular o juro comercial correspondente ao exercício anterior? Jc = 360 Pin 360 40 36 , 0 000 . 10 Jc = $400,00 EXERCÍCIOS
1. Calcular os juros anuais de $100,00, a 6% a.a..
Resp.: $6,00 2. Calcular o juro mensal de $8.000,00, a taxa de 10% a.a..
Resp.: $66,67 3. Qual o rendimento de $600,00, a 5% a.a., em 2 anos e 6 meses?
Resp.: $75,00 4. $28,80 renderam durante certo tempo $6,00, a taxa de 5% a.a. Determine esse tempo.
Resp.: 4anos e 2meses 5. Calcular os juros de $14.400,00, a 6% a.a., de 16 de março a 3 de agosto do mesmo ano
(ano civil).
Resp.: $331,40 6. Quais os juros de $122,00, a 8% a.a. de 10 de janeiro a 9 de maio (ano civil bissesto)?
7. Qual o capital que a taxa de 9% a.a. produz $10,80, em dois anos?
Resp.: $60,00 8. Qual o capital que a taxa de 4% a.a. em 40 dias produz um montante $72,32?
Resp.: $72,00 9. A que taxa anual o capital de $144,00, em 2 meses e 15 dias renderia $3,30 de juros?
Resp.: 11%aa 10. A que taxa anual um capital qualquer renderia em 2a, 1/5 do seu valor?
Resp.: 10%aa 11. Uma pessoa coloca 2/5 do seu capital a taxa de 6% a.a. e o restante a 5% a.a., recebendo
um juro anual de $324,00. Qual o capital?
Resp.: $6.000,00 12. A que taxa devemos colocar um certo capital para que em 8 anos ele dobre?
Resp.: 12,5% a.a. 13. Durante quanto tempo se deve emprestar certa quantia para que, a 12% a.a., ela triplique?
Resp.: 16 anos e 8 meses EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1. Calcular o juro simples referente a um capital de $1.000,00 aplicado conforme hipóteses abaixo:
Taxa de juros Prazo Resposta
a) 15% a.a. 1 ano $150,00
b) 17% a.a. 4 anos $680,00
c) 21% a.a. 5 meses $87,50
d) 26,8% a.a. 30 meses $670,00
e) 30,8% a.a. 5 anos e meio $1.694,00
f) 38% a.a. 4 anos e 8 meses $1.773,33
2. Que montante receberá um aplicador que tenha investido $5.000,00, se as hipóteses de taxas de aplicação e respectivos prazos forem:
Taxa de juros Prazo Resposta
a) 18% a.a. 6 meses $5.450,00
b) 31,8% a.a. 2 anos e 7 meses $9.107,50 c) 42% a.a. 4 anos e 3 meses $13.925,00
3. Qual é a taxa de juros anual cobrada em cada um dos casos abaixo, se uma pessoa aplicou o capital de $1.000,00 e recebeu:
Montante Prazo Resposta
a) $1.420,00 2 anos 21% a.a.
b) $1.150,00 10 meses 18% a.a.
c) $1.350,00 1 ano e 9 meses 20% a.a.
4. Quanto tempo deve ficar aplicado um capital para que as hipóteses abaixo sejam verdadeiras?
Capital Inicial
a) $800,00 $832,00 16% a.a. 3 meses b) $1.200,00 $2.366,00 22% a.a. 4 anos e cinco meses
5. Uma loja vende um gravador por $1.500,00 a vista. A prazo, vende por $1.800,00, sendo $200,00 de entrada e o restante após 1 ano. Qual é a taxa de juros anual cobrada?
Resp.: 23,07% a.a. 6. Quanto tempo deve permanecer aplicado um capital para que o juro seja igual a 5 vezes o
capital, se a taxa de juros for de 25% a.a.?
Resp.: 20 anos. 7. Em quanto tempo o montante produzido por um capital de $1.920,00 aplicado a 25% a.a. se iguala ao montante de um capital de $2.400,00 aplicado a 15% a.a.? Admitir que ambos sejam investidos na mesma data.
Resp.: 1 ano, 6 meses e 14 dias. 8. Se um capital de $2.000,00 rendeu $840,00 de juros em 2 anos, qual é a taxa de juros
trimestral?
Resp.: 5,25% a.t. 9. Uma pessoa aplicou $1.500,00 no mercado financeiro e após 5 anos recebeu o montante de
$3.000,00. Que taxa semestral recebeu?
Resp.: 10% a.s. 10. A quantia de $1.500,00 foi aplicada à taxa de juros de 42% a.a. pelo prazo de 100 dias.
Qual será o juro desta aplicação se for considerado: a) Juro comercial?
Resp.: $175,00 b) Juro exato?
Resp.: $172,60 11. Qual é o valor nominal de uma Nota Promissória de $7.575,76, assinada hoje com
vencimento daqui a 10 meses, se a taxa de aplicação for de 38,4% a.a.?
Resp.: $11.140,82 12. O valor nominal de uma Nota Promissória é de $4.770,00. Qual é seu valor atual 3 meses
antes do vencimento, considerando-se a taxa de juros de 24% a.a.?
Resp.: $4.483,80 13. Certa pessoa aplicou $10.000,00 à taxa de 29% a.a. pelo prazo de 9 meses. Dois meses antes da data de vencimento, esta pessoa propôs a transferência da aplicação a um amigo. Quanto deverá ser pago pelo título, se a taxa de juros de mercado for de 32% a.a. na ocasião da transferência?
