Universidade Federal de Ouro Preto. Escola de Minas. Departamento de Engenharia Civil. Resistência dos Materiais Ι

Universidade Federal de Ouro Preto

Escola de Minas

Departamento de Engenharia Civil

Resistência dos Materiais

Ι

Jaime Florencio Martins

Professor Associado – DECIV

ALFABETO GREGO

Nome moderno Nome clássico Minúsculas Maiúsculas

Alfa Alfa

α

Α

Vita Beta

β

Β

Gama Gama

γ

Γ

Delta Delta

δ

∆

Epsilo Èpsilón

ε

Ε

Zeta Dzeta

ζ

Ζ

Ita Eta

η

Η

Tita Theta

θ

Θ

Iota Iota

ι

Ι

Capa Capa

κ

Κ

Landa Lambda

λ

Λ

Mi Mü

µ

Μ

Ni Nü

ν

Ν

Xi (csi) Xi (csi)

ξ

Ξ

Ômicron Òmicrón

ο

Ο

Pi Pi

π

Π

Rô Ró

ρ

Ρ

Sigma Sigma

σ

Σ

Tau Tau

τ

Τ

Ípsilon Üpsilón

υ

Υ

Fi Fi

φ

Φ

Khi Khi

χ

Χ

Psi Psi

ψ

Ψ

Ômega Omega

ω

Ω

Capítulo 1 – Generalidades

1.1 – Objetivos da Resistência dos Materiais: É a ciência que estuda as tensões e deformações que ocorrem nos sólidos, provenientes de forças externas a eles aplicadas.

A Resistência dos Materiais também é conhecida como Mecânica dos Materiais ou Mecânica dos Sólidos.

Sólido: é um estado da matéria que tem volume e forma definidos.

Fluido: Substância liquida ou gasosa que não tem resistência ao cisalhamento. Os fluidos tomam a forma do recipiente em que está colocado.

1.2- Histórico da Resistência dos Materiais

Madeira: Pela sua disponibilidade e propriedades foi um dos primeiros materiais utilizados pelo homem para construir. As primeiras pontes surgiram de forma natural pela queda de árvores sobre os rios ou vales.

Ferro fundido: A fabricação do ferro fundido teve início na Ásia por volta de 1.500 a. C. O ferro fundido oxida com facilidade.

Aço: Liga de ferro e carbono sendo o teor de carbono variando de 0,008% a 2,11%. Se o teor de carbono da liga for maior do que 2,11% e menor do que 6,67% a liga é chamada ferro fundido.

Os gregos Aristóteles e Arquimedes estabeleceram os princípios da estática. Os romanos foram grandes construtores de templos, estradas e pontes. Usavam, freqüentemente, arcos nas construções. Os egípcios tinham algumas regras empíricas (baseadas na experiência) para construir templos e pirâmides.

Muito do conhecimento dos gregos, romanos e egípcios para análise de estruturas foi perdido durante a idade média.

Leonardo da Vinci estudou a resistência de colunas experimentalmente. Galileu Galilei foi o primeiro cientista a estudar a flexão de vigas. É considerado o pai do método experimental e da Resistência dos Materiais.

1.3 – Definições:

a) Material dúctil: É um material que apresenta grandes deformações antes de se romper e a resistência à tração é considerada igual à compressão. Ex.: aço doce (aço de construção), alumínio.

b) Material frágil: É um material que rompe bruscamente, sem aviso prévio, com pequena deformação. A resistência à tração é diferente da resistência à compressão. Ex.: aço para ferramentas, vidro, concreto, giz.

c) Corpo rígido: corpo que não se deforma quando solicitado por forças ou momentos. d) Deslocamento de corpo rígido: deslocamento sem deformação.

e) Barra - placa – bloco

Barra: quando as duas dimensões da seção transversal são pequenas quando

comparadas com o comprimento longitudinal (L>> h ; L>> b). Exemplo: vigas.

Placa: quando uma dimensão (a espessura) é muito menor do que as outras duas

dimensões (L ≅ b ; L>> h). Exemplos: lajes e cascas.

Bloco: quando: L ≅ h ≅ b

f) Eixo da barra: uma barra pode ser representada pelo seu eixo que é o conjunto de pontos dos centróides das seções transversais.

g) Barra prismática: barra de eixo reto e seção transversal constante.

1.4 - Estrutura: É a parte mais resistente de uma construção e tem a função de resistir às cargas aplicadas. Em um edifício a estrutura é constituída pelas vigas, pilares, lajes e fundação. Para o dimensionamento da estrutura deve-se levar em consideração a economia e a segurança.

1.5 – Hipótese fundamental: a estrutura está em equilíbrio estático.

• Condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um ponto material no espaço:

∑

Fx = 0

∑

F_y = 0

∑

F_z = 0

• Condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo rígido no espaço:

∑

Fx = 0 ;

∑

Mx = 0

∑

F_y = 0 ;

∑

M_y = 0

∑

Fz = 0 ;

∑

Mz = 0 1.6 - Apoios

Uma estrutura no espaço possui seis graus de liberdade, sendo três translações e três rotações. A função dos apoios é retirar graus de liberdade, surgindo reações nas direções dos movimentos impedidos.

• Apoios do primeiro gênero

• Apoios do segundo gênero (ou articulação ou rótula): Retiram dois graus de liberdade, impedem o deslocamento em todas as direções e permitem a rotação.

• Apoios do terceiro gênero (ou engaste): Retiram três graus de liberdade, impedem o deslocamento em todas as direções e impedem a rotação.

1.7 – Estaticidade e estabilidade de estruturas planas carregadas no próprio plano Para estruturas planas carregadas no próprio plano (plano xOy) as condições necessárias e suficientes para o equilíbrio são três:

∑

F_x = 0 ;

∑

F_y = 0 ;

∑

M_O = 0

onde “o”, na expressão do somatório de momentos, é qualquer ponto do plano da estrutura.

Para as estruturas planas carregadas no próprio plano três casos podem ocorrer com relação à estabilidade e estacidade:

1o _{caso: O número de reações de apoio é menor que o número de equações de equilíbrio}

da estática (3). A estrutura é chamada hipostática e o equilíbrio é instável.

2o _{caso: O número de reações de apoio é igual ao número de equações de equilíbrio da}

estática (3). A estrutura é chamada isostática e o equilíbrio é estável.

3o _{caso: O número de reações de apoio é maior que o número de equações de equilíbrio}

da estática (3). A estrutura é chamada hiperestática e o equilíbrio é estável.

São três as equações de equilíbrio e a viga acima possui cinco reações de apoio, então, a viga é duas vezes hiperestática.

As três equações de equilíbrio da estática não são suficientes para calcularem-se as reações de apoio das estruturas hiperestáticas. Além das três equações de equilíbrio são necessárias outras equações que são obtidas conhecendo-se como a estrutura se deforma (para impor condições de deslocamento e/ou de rotação).

Observação: Casos particulares:

A viga acima possui três reações, mas o equilíbrio é instável; a viga abaixo possui quatro reações e o equilíbrio também é instável.

1.8 – Sistema de Unidades

Unidades básicas do Sistema Internacional m (metro): para comprimento

quilograma (kg): para massa segundo (s): para tempo

Unidades de força no SI (unidade derivada) 1 N = 1 kg.m/s2 Sistema inglês 1 polegada = 1 in = || 1 = 2,54 cm 1 pé (foot) = 1 ft = | 1 = 12 in = 30,48 cm 1 libra = 453,59 gramas

1.9 – Esforços externos: São os esforços aplicados nas estruturas e podem ser: a) Concentrados

b) Distribuídos

Observação: a carga distribuída uniforme q (N/m) é calculada multiplicando-se o peso específico (γ) pela área da seção transversal (A).

c) Estático: quando aplicado lentamente (sem impacto) e o seu valor não varia com o tempo. Ex.: peso próprio de vigas.

d) Dinâmico: quando aplicado com impacto e o seu valor varia com o tempo. Ex.: efeito do vento em edifícios altos, efeito das ondas do mar em uma plataforma, pontes.

1.10- Esforços internos: Os esforços externos produzem esforços internos que são em número de quatro.

• Força normal (N) • Força cortante (V) • Momento fletor (M)

• Momento de torção ou torque (T)

• Força normal (N) → é a força normal (perpendicular) a uma área. A força normal pode ser de tração ou compressão.

Fazendo-se um corte imaginário na barra tracionada, tem-se:

Por considerações de equilíbrio das partes recortadas: N = N| N = esfoço externo e N| _{= esforço interno}

• Momento fletor (M) → é o momento de uma força que produz flexão em uma barra.

Fazendo-se um corte imaginário na barra solicitada por um momento fletor positivo:

Por considerações de equilíbrio das partes recortadas: M = M| M = esfoço externo e M| _{= esforço interno}

Observação: Força vertical com o sentido para cima produz momento fletor positivo (traciona em baixo). Força vertical com o sentido para baixo produz momento fletor negativo (traciona em cima).

• Momento de torção ou torque (T) → é o momento de uma força que produz torção em uma barra.

Não existe convenção de sinais para o momento de torção. 1.11 – Exemplos de estruturas

a) Treliças: As treliças ideais são formadas por barras, as extremidades são rotuladas e o carregamento atua nas rótulas (chamadas nós). As barras das treliças ideais estão solicitadas apenas por forças normais (tração ou compressão).

OBS.: O contraventamento permite que a treliça resista aos esforços horizontais como, por exemplo, a ação do vento.

Tirante: elemento estrutural que trabalha à tração. Escora: elemento estrutural que trabalha à compressão.

b) Vigas: As vigas estão solicitadas, geralmente, por momento fletor e força cortante.

Qualquer parte ou ponto de uma estrutura em equilíbrio também está em equilíbrio. Fazendo-se um corte imaginário na viga acima, os esforços que eram internos tornam-se externos e devem equilibrar a parte recortada.

c) Pórticos (ou quadros) planos carregados no próprio plano: Estas estruturas estão solicitadas por força normal, força cortante e momento fletor (torção é igual a zero).

No pórtico (a) têm-se cinco (5) reações de apoio, portanto, este pórtico é duas vezes hiperestático. O pórtico (b) também tem cinco reações de apoio, mas possui uma rótula a

mais. Impondo-se que o momento fletor nesta rótula é nulo, obtém-se mais uma equação. Desta forma, o pórtico (b) é uma vez hiperestático. As rótulas transmitem força, mas não transmitem momento fletor.

c) Grelhas: O carregamento nas grelhas é perpendicular ao seu plano. As grelhas

estão solicitadas por momento fletor, força cortante e torção (força normal é igual a zero).

1.13 – Relação entre momento fletor e força cortante de onde: V dx dM 0 Vdx dM+ = → = − q dx dV 0 ) dV V ( qdx V 0 F_Y = → − − + = → = − ⊕ ↑

_∑

Derivando-se a relação entre M e V em relação a x, tem-se:

q dx M d dx dV dx M d 2 2 2 2 − = → =

13 Capítulo 2 – Tensão e deformação

2.1 – Tensão normal (σ): Por definição:

σ

A F = (2.1) onde:

σ

: tensão normal dada em N/m

2 (no Sistema Internacional)

F : Força normal axial

A : área da seção transversal da barra

Por convenção: σ de tração é positiva e σ de compressão é negativa.

Fazendo ensaios de tração Galileu demonstrou que a resistência à tração de uma barra é proporcional à área da seção transversal e independe do comprimento longitudinal.

A tensão normal no Sistema Internacional é dada em Pascais. Por definição 1 Pa = 1 N/m2. Então: 1 MegaPascal = 106 N/m2. Uma vez que 1 m = 1.000 mm ⇒ (1 m)2 = (1.000 mm)2 ⇒ 1 m2 = 106 mm2. Portanto: 6 2 2 mm / N 1 m / N 10 MPa 1 = = • Tensão admissível ( __ adm ou σ

σ ): É a tensão que está dentro dos limites de segurança.

S C R adm σ = σ onde: σR = Tensão de ruptura

14 • Definição matemática de tensão normal: A definição de tensão normal dada pela

equação (2.1) somente pode ser usada se ocorre distribuição uniforme das tensões normais na seção transversal. Uma vez que esta condição nem sempre é satisfeita deve-se usar a definição matemática de tensão normal:

A F 0 A ∆ ∆ = σ → ∆ dA dF = σ → (2.2) 2.2 – Deformação linear específica (ε):

Por definição: L L ∆ = ε (2.3)

ε é adimensional e também conhecida como deformação específica normal, deformação específica ou deformação normal.

• Fluência: deformação lenta de um corpo submetido a uma tensão constante.

2.3 – Coeficiente de Poisson (ν): Quando uma barra é tracionada o alongamento longitudinal é acompanhado de contrações laterais, isto é, o comprimento da barra aumenta e a seção transversal diminui. A relação entre a deformação lateral e a deformação longitudinal é chamada coeficiente de Poisson (ν):

al longitudin deformação lateral deformação = ν x y ε ε − = ν

O coeficiente de Poisson é adimensional e sempre positivo. O sinal negativo na expressão acima é necessário porque se a deformação εx for positiva εy será negativa, e

15 Material isotrópico: é um material que apresenta as mesmas propriedades físicas em todas as direções. Em um material isotrópico:

x ' z x z x y ε ε − = ε ε − = ε ε − = ν 2.4 – Diagrama tensão - deformação

2.4.1 – Aço doce (aço usado na construção civil com baixo teor de carbono)

Em um ensaio de tração sendo a força aplicada gradualmente (sem impacto) os diversos pares F - ∆L são anotados e podem ser colocados em um gráfico.

O diagrama tensão – deformação permite obter dados sobre o material sem considerar as suas dimensões (área da seção transversal (A) e comprimento longitudinal (L)).

P

σ → _{Tensão de proporcionalidade (ou limite de proporcionalidade): É a maior tensão que} pode ser aplicada à barra sem que haja perda da proporcionalidade entre a tensão e a deformação (ponto a).

Y

σ → _{Tensão de escoamento (limite de escoamento): Neste ponto, a deformação aumenta} sem que haja acréscimo de tensão (ponto c).

Encruamento: endurecimento, enrijecimento (ponto d). U

σ → _{Tensão última: É a maior tensão que a barra suporta. Esta tensão também é conhecida} como resistência do material (ponto e).

R

σ → _{Tensão de ruptura: (ponto f).}

Fase elástica: Nesta fase a deformação desaparece com a retirada da tensão, não há deformação permanente. Esta fase vai do início do carregamento até o ponto b.

Fase plástica: Descarregando-se a barra ela não retorna às suas dimensões iniciais, isto é, surgem deformações permanentes (ou deformações plásticas). Esta fase vai do ponto b até à proximidade da ruptura.

16 Resiliência: É a energia armazenada por unidade de volume quando uma barra se deforma até atingir o limite de proporcionalidade (σ_P) . A resiliência faz com que a barra retorne às suas dimensões iniciais quando descarregada. O aço usado na fabricação de molas é um material com alta resiliência.

Estricção: Durante o alongamento ocorre contração lateral (estricção), portanto, a área da seção transversal diminui. A estricção somente ocorre nos materiais dúcteis.

Obs.: O diagrama tensão × deformação convencional não leva em consideração que a área da seção transversal diminui durante o alongamento da barra.

2.4.2 - Alumínio

No diagrama tensão × deformação do alumínio, não existe o ponto de escoamento definido como no diagrama do aço doce. Neste caso, a tensão de escoamento σY é obtida

tomando-se no eixo das deformações o valor ε = 0,2% e por este ponto traça-se uma reta paralela ao trecho linear do diagrama. Onde esta reta cortar a curva σ x ε tem-se a tensão de escoamento σY.

17 2.4.4 – Material elástico-plástico idealizado

2.5 - Lei de Hooke

Em 1678, Robert Hooke enunciou a lei “Ut tensio sic vis” (o estiramento é proporcional à força ou F = Kx). Hooke aplicou esta lei na invenção da balança de mola e do relógio sem pêndulo.

Thomas Young, em 1807, sugeriu que a aplicação da Lei de Hooke nos sólidos deve estabelecer a dependência linear entre tensão e deformação: “A tensão é proporcional à deformação”, ou seja:

ε Ε =

σ .

onde: σ→ _{tensão normal}

ε→ _{deformação linear específica}

Ε → _{constante de proporcionalidade e é chamado de módulo de elasticidade ou} módulo de Young e tem a mesma dimensão de tensão: N/m2

No SI o módulo de elasticidade é dado em GigaPascal: 9 2 3 2

mm / N 10 m / N 10 GPa 1 = =

Exemplos: Εaço = 200 GPa; Εliga de titânio = 120 GPa; Εliga de alumínio = 70 GPa.

Nota: A Lei de Hooke é válida até a tensão de proporcionalidade.

tg α ₌

ε

18 Capítulo 3 - Tração e Compressão

3.1 – Alongamento de barras carregadas axialmente

A variação do comprimento (∆L) de uma barra prismática solicitada por uma força axial constante pode ser calculada usando-se a lei de Hooke:

σ ₌ Ε _× ε Lembrando que: A F = σ e que: L L ∆ = ε , tem-se: L L E A F_{= ⋅}∆ de onde: EA FL L= ∆

A expressão acima somente pode ser aplicada no regime de validade da Lei de Hooke, ou seja, para tensões menores ou iguais que σP.

Para se calcular o alongamento de barras não prismáticas e/ou solicitadas por força axial variável tem-se que usar o conceito de integral:

) x ( EA dx ) x ( F dx= ∆ →

∫

∆ =

∫

L 0 _EA(x) dx ) x ( F dx → ∆ =

∫

L 0 _EA(x) dx ) x ( F L

19 Considere-se, agora, uma barra prismática, suspensa por uma extremidade. Deseja-se determinar a expressão do alongamento (∆_{L) da barra produzido pela ação de seu peso} próprio. ∆ = → ∆ =

∫

L 0 EA(x) dx ) x ( F L ) x ( A E dx ) x ( F dx

Considerando-se o equilíbrio de forças verticais da parte recortada, tem-se:

F(x)= γ.A.x Então:

∫

= γ

∫

⋅ = γ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ γ = ∆ L 0 L 0 2 L 0 2 x E dx x E A E dx x A L Portanto: E 2 L L 2 γ = ∆

20 3.2- Princípio da superposição dos efeitos

Se em uma estrutura estão aplicadas várias forças podem-se calcular os deslocamentos referentes a cada força, como se atuasse separadamente, e somar os resultados correspondentes obtendo-se, assim, o resultado da ação de todas as forças.

∑

= = ∆ n 1 i i i i i A E L F L

3.3 – Sistemas estaticamente indeterminados

Para as estruturas hiperestáticas as três equações de equilíbrio não são suficientes para calcularem-se as reações de apoio. Além das três equações de equilíbrio são necessárias outras equações obtidas com as condições de deslocamentos da estrutura.

3.4 – Efeitos da variação da temperatura

A variação da temperatura pode provocar tensão normal nas estruturas. A tensão normal somente ocorrerá se o deslocamento (movimentação) devido à variação da temperatura estiver impedido. t L L_t=α ∆ ∆ (fórmula empírica) onde t L

∆ : variação do comprimento da barra devida à variação da temperatura (m) α : coeficiente de dilatação térmica (1/ 0C)

L : comprimento inicial (m)

t

∆ : variação da temperatura ( 0C)

Observação: nos problemas envolvendo variação da temperatura usam-se as fórmulas:

t L L_t=α ∆ ∆ ; EA FL L= ∆ ; A F = σ

21

Capítulo 4 – Cisalhamento Puro

4.1 – Força cortante (V)

A força cortante está contida no plano da área e provoca deslizamento. A força cortante produz tensão cisalhante, representada pela letra grega τ (tau), que tem o mesmo sentido da força.

4.2 – Cisalhamento Puro

Se em uma área atua apenas força cortante, ela fica solicitada por cisalhamento puro.

4.3 – Teorema de Cauchy

Em um ponto, as tensões de cisalhamento são iguais nos planos perpendiculares entre si.

22 A F A F _{→ =τ×} = τ ∑M₀ =0→τ_y×1×dy×dx−τ_x×1×dx×dy=0 Portanto:

τ

_x

=

τ

_y

4.4 – Lei de Hooke no cisalhamento

Solicitando-se um material ao cisalhamento puro, pode-se estabelecer a relação entre a tensão e a deformação de cisalhamento.

γ

τ

=

α

tg

→

τ

=

( )

tg

α

×

γ

Chamando de G= tgα, tem-se a lei de Hooke no cisalhamento:

τ = G⋅γ

onde: τ_→ tensão de cisalhamento em N/m2

G → é conhecido como módulo de elasticidade transversal ou módulo de elasticidade ao cisalhamento ou módulo de cisalhamento (em N/m2).

γ

→ distorção (deformação por cisalhamento) em radianos

Relação entre E, G e

ν

Na Resistência dos Materiais 2 demonstra-se que:

(

+ν

)

= 1 2 E G +

23

4.5 – Ligações parafusadas

Por hipótese, a tensão de cisalhamento é uniformemente distribuída na seção transversal do parafuso.

Na ligação acima tem-se um parafuso que transmite a força de uma chapa para a outra. A tensão de cisalhamento média no parafuso é dada por:

A

F

méd

=

τ

onde A é a área da seção transversal do parafuso.

Para uma ligação com "n" parafusos deve-se dividir a força F por n e pelo número de áreas de corte (nA). Geralmente, nA é igual a 1 (uma área de corte) ou igual a 2 (duas

áreas de corte).

É interessante observar que a força F produz tensão normal (σ) nas chapas e tensão cisalhante (τ) no parafuso.

4.6 – Ligações parafusadas solicitadas por força excêntrica

Nestas ligações os parafusos devem resistir à força vertical P e ao momento fletor M = P.e. A força vertical produz força cortante (F1) nos parafusos dada por F1 = P/n, onde n é

o número de parafusos. O momento fletor provoca em cada parafuso a força cortante F2

que é perpendicular à reta que une o centro geométrico dos parafusos (ponto c) ao centro do parafuso e varia linearmente com a distância ao ponto c.

24

Exercícios: 1) Calcule a tensão de cisalhamento máxima que ocorre nos parafusos da ligação abaixo. Todos os parafusos têm diâmetro igual a 18 mm.

18750

15

,

0

F

2

21

,

0

F

4

0

M

_C

=

→

₂

⋅

+

₂*

⋅

=

∑

As forças F2 são diretamente proporcionais à distância ao ponto c, então tem-se a relação:

* 2 2 2 * 2

F

4

,

1

F

21

,

0

F

15

,

0

F

₌

_→

₌

N

3

,

12703

F

18750

15

,

0

F

2

21

,

0

)

F

4

,

1

(

4

₂*

⋅

+

₂*

⋅

=

→

₂*

=

Então:

F

₂

=

1

,

4

F

₂*

=

17784

,

6

N

A força cortante resultante é dada pela expressão:

α

+

+

=

F

F

2

F

F

cos

R

₁2 ₂2 _{1 2}

Nos dois parafusos extremos do lado direito F1 = 2500 N, F2 = 17784,6 N e α = 45º,

então a força cortante resultante é:

N

1

,

19632

R

45

cos

6

,

17784

2500

2

6

,

17784

2500

R

=

2

+

2

+

⋅

⋅

⋅

o

→

=

No parafuso central do lado direito da ligação as forças F1 e F2* têm o mesmo sentido, a

força cortante resultante neste parafuso é dada por: R = 2500 + 12703,3 = 15203,3 N. Portanto, a maior força cortante na ligação ocorre nos dois parafusos extremos do lado direito e a tensão de cisalhamento máxima é dada por:

2 2 máx

77

,

15

N

/

mm

mm

47

,

254

N

1

,

19632

₌

=

τ

25

2) Calcule a tensão de cisalhamento máxima que ocorre nos parafusos da ligação abaixo. Todos os parafusos têm diâmetro igual a 25,4 mm.

N

6250

4

25000

4

P

F

₁

=

=

=

45000

14

,

0

F

4

0

M

_C

=

→

₂

⋅

=

∑

de onde:

F

₂

=

80357

,

1

N

Nos dois parafusos do lado direito a força cortante resultante é dada por:

N

6

,

84891

R

45

cos

1

,

80357

6250

2

1

,

80357

6250

R

=

2

+

2

+

⋅

⋅

⋅

o

→

=

A tensão de cisalhamento máxima na ligação é:

2 2 máx

167

,

53

N

/

mm

mm

71

,

506

N

6

,

84891

₌

=

τ

ou:

MPa

53

,

167

máx

=

τ

5 - Torção

5.1. Introdução - A torção ocorre:

• Na ação do vento em edifícios altos • Nos eixos de transmissão

• Nos chassis de ônibus, caminhão, avião.

5.2 - Momento de inércia à torção (J) para barras com seção circular vazada

α dα r dr di de Por definição: J r dA A 2

∫

= onde: dr d r dA= α

∫

∫

πα = 2 0 r r 3 d dr r J e i π α = 2 0 r r 4 . 4 r J e i

(

2 - 0

)

. r r 4 1 J _e4 _i4 π      ₋ =

(

4

)

i 4 e r r 2 J = π −

Ou em função dos diâmetros externo e interno:

(

d_e4 d_i4

)

32

J= π −

Particularizando para seções cheias:

(

d_i =0

)

:

( )

d4 32 J= π

5.3 – Hipóteses:

• As deformações são pequenas;

• É válida a Lei de Hooke no cisalhamento (τ=Gγ);

• O momento de torção provoca apenas tensão de cisalhamento (τ);

• As tensões de cisalhamento são perpendiculares e variam linearmente com o raio (esta hipótese é válida somente para eixos de seção transversal circular).

Observações: 1) A tensão cisalhante tem o mesmo sentido do momento de torção 2) A tensão cisalhante máxima ocorre na superfície do eixo.

5.4 - Tensão e deformação nos eixos de seção circular solicitados por momento de torção T T γ θ R B B’ L T B B’ R θ

Onde: θ : ângulo de torção (giro relativo entre duas seções transversais) γ: distorção (deformação por cisalhamento) na superfície do eixo

Da figura acima, têm-se as expressões:

L B B tgγ ≅γ = ′ e R B B tgθ≅θ= ′ Portanto: γ = L R θ dA dF=τ⋅ e dT=τdA⋅r

∫

τ = A dA r T ou: =

∫

τ A 2 dA r r T Onde r

τ _{é uma constante (por hipótese a tensão cisalhante varia linearmente com o raio),} então: dA r r T A 2

∫

τ = Por definição: J r dA A 2

∫

= , então: J r T= τ

De onde se tem a tensão de cisalhamento produzida por momento de torção em barras de seção transversal circular: J r T = τ

A maior tensão de cisalhamento ocorre na superfície do eixo:

J TR máx = τ

Aplicando-se a Lei de Hooke no cisalhamento (τ=Gγ) na superfície do eixo, tem-se: L R G J TR θ =

de onde tem-se o giro relativo

( )

θ entre duas seções transversais:

GJ TL = θ

5.5 – Eixos hiperestáticos solicitados por momento de torção

5.6 – Torção de barras com seção vazada de parede fina com espessura t constante

Linha do esqueleto: linha média da espessura da seção transversal t: espessura

Sendo a espessura t constante (não varia ao longo da linha do esqueleto e também invariável ao longo do comprimento longitudinal), pode-se demonstrar que a tensão de cisalhamento média τmédé dada por:

At 2

T

méd = τ e o ângulo de torção (θ) é dado por:

t G A 4 TLP 2 = θ onde: A: área limitada pela linha do esqueleto

P: perímetro da linha do esqueleto L: comprimento longitudinal

Para o caso particular de uma barra, com seção transversal mostrada na figura acima solicitada por um momento de torção Τ têm-se as expressões de τmáxe do ângulo de torção:

b a min

min

máx , onde t éomenor valorentre t e t

At 2 T = τ b a 2 2 t t t b t a b a 2 J : onde , J G TL + = = θ

5.8 – Torção de barras com seção transversal retangular

onde: a é o maior lado da seção transversal e b é o menor lado da seção transversal L: comprimento longitudinal

Usando a “analogia da membrana” Timoshenko & Goodier (1980) demonstram que a tensão cisalhante máxima ocorre na linha central da face maior e seu valor é dado por:

2 1 máx ab c T = τ e o ângulo de torção θ é dado por:

G ab c L T 3 2 = θ

Os valores de c1 e c2 são obtidos na tabela abaixo.

a/b c1 c2 1,0 0,208 0,141 2,0 0,246 0,229 3,0 0,267 0,263 4,0 0,282 0,281 5,0 0,291 0,291 10,0 0,312 0,312 ∞ 0,333 0,333

5.9 – Torção de barras com seção transversal aberta de parede fina com t constante

Os casos acima, com espessura t constante, podem ser entendidos da seguinte forma: ∞ = = t a b a → máx ₂ t a 333 , 0 T = τ e G t a 333 , 0 L T 3 = θ

5.10 – Torção de barras com seção transversal aberta composta por retângulos de paredes finas

Para estes casos τmáx e θ são dados pelas equações:

(

∑

)

⋅ = τ ₃ i i máx máx t a 333 , 0 t T e

(

∑

)

= θ ₃ i it a G 333 , 0 L T

31

6 – FLEXÃO

6.1 - Introdução

Flexão é o ato de dobrar, curvar. Quando uma estrutura fica solicitada por momento fletor ela fica curvada. Neste caso, dizemos que a estrutura está flexionada. O objetivo deste capítulo é obter as tensões e deformações que surgem nas estruturas quando estão solicitadas por momento fletor. A flexão de uma estrutura pode ser pura, simples, oblíqua ou composta.

6.2 - Flexão pura

A flexão pura ocorre quando uma estrutura ou parte de uma estrutura fica solicitada apenas por momento fletor. Este é o caso do trecho CD da viga abaixo. Neste trecho, a força cortante é nula e o momento fletor é constante, como mostram os diagramas de esforços internos. É interessante observar que para não ocorrer força cortante no trecho CD, as forças P são simétricas e desprezamos o peso próprio da estrutura na presença das forças P.

Todas as estruturas que vamos abordar neste item e no próximo (flexão simples), possuem, pelo menos, um plano de simetria longitudinal.

(a) Viga e carregamento

(b) Diagrama de momento fletor

(c) Diagrama de esforço cortante

32 y z x P P

Figura 6.2 – Viga em perspectiva

Hipóteses:

1- O carregamento atua em um plano de simetria longitudinal. Uma vez que queremos obter as tensões que surgem na flexão pura, deve atuar apenas momento fletor, e se o carregamento atuar fora do plano de simetria, a viga ficará solicitada também por momento de torção.

2- O carregamento é perpendicular ao eixo da viga. Se as forças P forem inclinadas teremos componentes horizontais que são forças normais.

3- Seções planas permanecem planas depois de aplicado o carregamento. Esta hipótese, formulada pelo cientista francês Navier em 1826, é chamada fundamental e deve-se ao fato que no trecho CD: T=V=0.Estes dois esforços provocam a deformação distorção (γ). Uma vez que no trecho CD estes dois esforços são nulos, as seções transversais permanecem planas e perpendiculares à superfície neutra depois de aplicado o carregamento.

4- A maior tensão que surge na viga é a tensão de proporcionalidade. Portanto, podemos usar a lei de Hooke.

5- O material da viga é homogêneo e os módulos de elasticidade à tração e à compressão são

iguais.

6- O carregamento é aplicado sem impacto.

Vamos analisar o trecho L - 2a, onde atua apenas momento fletor. A ação do momento fletor faz com que este trecho da viga se curve (Figura 6.4). O momento fletor é constante neste trecho, sendo assim, a curvatura é também constante.

A Figura 6.4 mostra que a parte inferior da viga aumentou de comprimento, enquanto a parte superior diminuiu. Havendo variação de comprimento ∆L, tem-se deformação linear específica ε. Portanto, pode-se afirmar que o momento fletor produz tensão normal σ. Esta tensão provoca variação de comprimento. Uma vez que uma parte aumentou e outra diminuiu de comprimento existe uma superfície que separa as duas regiões e não tem o seu comprimento alterado. Esta superfície é chamada superfície neutra e está indicada na Figura 6.4 pelo arco CD.

O arco CD é dado por:

33 a a L - 2a

P

P

y x y C E D F Figura 6.3 y r E C F D θ O M M Figura 6.4

O arco EF, que está y abaixo do arco CD, é dado por:

(

)

EF= + ⋅θr y

É interessante observar que esta variação linear de EF só é possível se a seção transversal permanecer plana.

Por definição: L L ∆ = ε

Então, a deformação linear específica ε de EF é:

εEF EF CD CD = − Ou

(

)

ε θ θ θ EF r y r r = + ⋅ − ⋅ ⋅

Simplificando-se a expressão anterior, tem-se:

r y EF = ε O → centro da curvatura da superfície neutra.

r → raio de curvatura da superfície neutra.

34 Utilizando-se a lei de Hooke, σ= ⋅E ε, pode-se obter a tensão normal que provocou o alongamento de EF: r y E EF = ⋅ σ (6.1)

A Figura 6.5 mostra um corte imaginário na viga da Figura 6.2. A linha neutra divide, na seção transversal, as regiões tracionada e comprimida.

y z P N L Figura 6.5 Vamos impor a condição que:

σ ⋅ =

∫

dA

A 0

Esta condição deve-se ao fato de não existir força normal atuando na seção transversal. Uma vez que σ ⋅dA=dF, a soma de todas as forças elementares dF é igual a zero. Colocando-se a equação (6.1) na equação acima, tem-se:

E y r dA

A ⋅ ⋅ =

∫

0

Por hipótese, o módulo de elasticidadeE é o mesmo à tração e à compressão, portanto, não varia na área. Sendo assim, a expressão acima pode ser colocada da seguinte forma:

E

r ⋅

∫

Ay dA⋅ =0

Como o módulo de elasticidade E não pode ser igual a zero e o raio r não pode ser infinito (neste caso não haveria flexão), tem-se que:

y dA

A ⋅ =

∫

0

A integral acima é, por definição, o momento estático da área da seção transversal em relação à linha neutra. O momento estático de uma área em relação a qualquer eixo que passa pelo centróide é igual a zero. Portanto, a linha neutra passa pelo centróide da área da seção transversal.

A outra condição a ser imposta é que:

σ ⋅ ⋅ =

∫

y dA M

A

Linha neutra → Intersecção da superfície neutra com a seção transversal

35 Esta condição deve-se ao fato que σ ⋅ ⋅y dA=dM e somando-se o momento de todas as forças elementares tem-se o momento fletor aplicado. Ou, em outras palavras, a toda ação corresponde uma reação em sentido contrário. A reação ao momento fletor aplicado é produzida pela soma de todos os momentos das forças elementares. Colocando-se a equação (6.1) na equação acima, tem-se:

E y r y dA M A ⋅ ⋅ ⋅ =

∫

Ou E r ⋅

∫

Ay ⋅dA =M 2 (6.2) Por definição: y dA Iz A 2⋅ =

∫

O eixo y tem origem na linha neutra da área da seção transversal, sendo assim, o momento de inércia Iz , calculado pela expressão acima, é o momento de inércia da área da

seção transversal em relação ao eixo horizontal do centróide.

Colocando-se a expressão acima em (6.2), o momento fletor assume a forma:

M E r Iz

= ⋅

Isolando-se o raio da curvatura r, tem-se:

r E I M

z

= ⋅

Substituindo-se a expressão de r na expressão (6.1), tem-se:

σ = E y_⋅⋅ E I M z Ou: z

I

y

M

⋅

=

σ

(6.3) Portanto, a tensão normal referente ao momento fletor varia linearmente em uma seção transversal.

6.3 – Flexão simples

A flexão simples ocorre quando uma estrutura ou parte de uma estrutura fica solicitada por momento fletor e força cortante. Este é o caso dos trechos AC e DB da estrutura da apresentada na Figura 6.1. Vamos admitir, a priori, que a tensão normal nos trechos AC e DB, da mesma forma que no trecho CD, varie linearmente.

36

P

P

y x C D dx g f g f A B g f dx g f M + dM M Figura 6.6

O momento fletor varia ao longo do comprimento dx. A tensão normal nas seções transversais f-f e g-g são, respectivamente, dadas pelas expressões:

σ = M y⋅

I_z e

(

)

σ = M+dM ⋅y

I_z

A força normal resultante na seção transversal é nula, conforme já visto. Entretanto, tem-se força resultante em uma área genérica A|. A força resultante F (Figura 6.7) é dada pela expressão:

∫

σ⋅ =

∫

⋅ = _{| |} A A z dA I y M dA F

e a força resultante F+dF dada por:

(

)

∫

+ ⋅ = + _A| Z dA I y dM M dF F N L dx | A dx | A . F F + dF (a) (b) Figura 6.7

Nas três faces externas do elemento da Figura 6.7(b) não ocorre nenhuma ação. Portanto, no plano de corte e no sentido da força F existem tensões cisalhantes τ que mantêm o equilíbrio de forças (Figura 6.8).

37 dx F F + dF τ dx F + dF F Figura 6.8

O equilíbrio de forças na direção da força F fornece a expressão:

(

F dF

)

0 dx

b

F+τ⋅ ⋅ − + =

onde brepresenta a largura da seção transversal.

Colocando-se as expressões de F e de F+dF na equação acima, tem-se:

(

)

_{dA 0} I y dM M dx b dA I y M | | _A z A z = + − τ +

_∫

∫

Simplificando a expressão anterior, tem-se:

0 dA I y dM dx b _| A z = − τ

_∫

O momento fletor e o momento de inércia não variam na área, isto é, dependem apenas da coordenada x. Sendo assim, a expressão acima pode ser colocada da seguinte forma:

∫

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = τ _A| z dA y dx dM I b 1

A integral acima é, por definição, o momento estático da área A| em relação ao eixo z. A derivada do momento fletor em relação à coordenada x fornece a força cortante, então:

τ = ⋅ ⋅ V Q b Iz z (6.4) Uma vez que as tensões cisalhantes são iguais nos planos perpendiculares entre si (Teorema de Cauchy), a seção transversal também está solicitada por τ (Figura 6.9). Estas tensões τ produzem a deformação distorção (γ) fazendo com que as seções transversais inicialmente planas não permaneçam planas depois de aplicado o carregamento.

dx b

Figura 6.9

Entretanto, em alguns casos, a força cortante desempenha um papel secundário. Sejam, por exemplo, as duas vigas da Figura 6.10. As duas vigas têm a mesma altura h e estão solicitadas pela mesma força cortante (P). Na viga da Fig. 6.10(a), onde L >> h, o momento fletor é predominante, desta forma as seções planas permanecem praticamente planas depois de aplicado o carregamento.

38

(a) (b) Figura 6.10

Ensaios em laboratórios mostram que as expressões (6.3) e (6.4) podem ser usadas nas estruturas em que:

L h ≥5

Nas estruturas em que a relação acima é verificada são chamadas vigas.

OBS.: No cisalhamento puro (Fig. 6.10(b)), conforme já visto, a tensão de cisalhamento é dada por: τ= F/A. Na flexão simples (M+V) a tensão cisalhante é dada pela equação (6.4).

6.4 – Distribuição das tensões de cisalhamento

A força cortante V, o momento de inércia I_z e a largura b, no caso geral variam segundo a coordenada x. Sendo assim, em uma seção transversal qualquer a tensão de cisalhamento varia apenas em função do momento estático.

6.4.1- Seção transversal retangular

Figura 6.11 O momento estático da área hachurada é dado por:

Q=A y|⋅ _ Onde:

( )

_y 2 y 2 h y _ + − = Ou:

(

y 2

) (

h 4

)

y _ + =

39 A área A| é dada por:

b y 2 h A| ⋅      − = Então: Q=h−y b y h   _⋅ ⋅_ + _ 2 2 4 Resultando em: Q= ⋅b h −y      2 4 2 2

Portanto, a tensão cisalhante varia segundo uma equação do segundo grau. Nos pontos com coordenadas y = h/2 e y = −h/2 a tensão cisalhante é nula. O valor máximo da tensão cisalhante é obtido nos pontos com coordenada y = 0, isto é, a tensão cisalhante é máxima na linha neutra e seu valor é calculado da seguinte forma:

A

2

V

3

4

h

2

b

12

bh

b

V

0

4

h

2

b

bI

V

máx 2 3 2 2 z máx



→

τ

=











⋅

⋅

=













−

⋅

=

τ

Figura 6.12 – Gráfico referente à distribuição das tensões σ e τ 6.4.2 – Seção transversal em forma de "T" e "I"

c

_τ

máx

τ

σ

c

τ

τ

máx

σ

Figura 6.13 – Gráfico referente à distribuição das tensões σ e τ 6.5 - Deformações

40

Figura - 6.14 - Deformação referente ao momento fletor

dx L L δ = ε → ∆ = ε

Lei de Hooke: σ=ε.Ε, onde:

I y . M = σ Então: Ε θ = → Ε δ = dx yd I M.y dx I y . M de onde: I dx . M d Ε = θ 6.5.2 - Força cortante

Figura 6.15 - Deformação referente a força cortante

Lei de Hooke no cisalhamento: τ = G. γ , onde τna flexão simples (M + V) é dado por:

I b Q . V = τ

A tensão cisalhante τ pode ser colocada na forma:

A V f

=

τ , onde f, chamado fator de forma, resulta da distribuição não uniforme das tensões de cisalhamento e seu valor depende da forma da seção transversal. Então:

dx GA V f dh dx G dh= τ → =

41 6.6 – Módulo elástico de resistência à flexão (W)

Em uma viga solicitada por momento fletor a maior tensão normal é dada por:

d

I

M

I

d

M

_{máx máx} máx

=

⋅

=

σ

onde I é o momento de inércia da seção transversal e d é a distância da linha neutra até um ponto localizado na superfície da viga. Por definição:

d I W= Então:

W

M

_máx máx

=

σ

Se a seção transversal não tiver eixo de simetria horizontal é evidente que:

W

_s

≠

W

_i. Dimensão do módulo elástico de resistência à flexão (W ):

[ ]

L

3

Para vigas com seção transversal retangular, tem-se:

2

h

12

bh

W

W

3 i s

=

=

→

6

bh

W

W

2 i s

=

=

Para vigas com seção transversal circular, tem-se:

2

D

64

D

W

W

4 i s

π

=

=

→

32

D

W

W

3 i s

π

=

=

Para uma viga com seção transversal em forma de “T”, com as dimensões mostradas na figura abaixo, o momento de inércia em relação ao eixo z é igual a 6,15 x 10 − 3 m4. Então:

217

,

0

10

x

15

,

6

W

3 s −

=

2 3 s

2

,

83

x

10

m

W

=

−

→

383

,

0

10

x

15

,

6

W

3 i −

=

2 3 i

1

,

61

x

10

m

W

=

−

→

42 6.7 – Flexão oblíqua (flexão assimétrica)

Na flexão oblíqua a linha neutra não é perpendicular (portanto, é oblíqua) ao plano que contém o carregamento e o centróide.

Nos estudos precedentes demonstrou-se a expressão da tensão normal (σ) produzida por momento fletor atuando em vigas que possuem, pelo menos, um plano de simetria. Impôs-se também que o carregamento atuava no plano de simetria.

Considerem-se, agora, vigas nas quais os carregamentos que provocam flexão atuam em planos que não são planos de simetria e vigas que não possuem planos de simetria (vigas assimétricas). Para analisar estas situações impõe-se que a linha neutra coincida com o vetor momento e determina-se em quais situações isto é possível.

∫

σ = → = σ A x z z x.dA.y dM .y.dA M onde: z z x I y . M = σ

∫

σ = → = σ A x y x.dA.z dM .z.dA 0

∫

= →

∫

= →

∫

= A _z A A z z z _{yzdA 0 yzdA 0} I M 0 dA . z I y . M (1)

A integral (1) é, por definição, o produto de inércia (ΙZY) da área A em relação aos eixos Y

e Z, e será igual a zero se estes eixos forem os eixos principais de inércia. Portanto, a linha neutra vai coincidir com o vetor momento se, e somente se, o vetor momento for dirigido segundo um dos eixos principais de inércia da área.

Se os eixos y e z são eixos principais de inércia, tem-se a expressão para calcular a tensão normal nas estruturas solicitadas por Mz e My:

=

σ

x z z I y . M y y I z . M +

6.8 – Flexão de vigas constituídas de dois materiais

Impondo-se que os dois materiais estão unidos as seções transversais, inicialmente planas, permanecerão planas depois de aplicado o carregamento. Para esta demonstração supõe-se que:

Ε2 > Ε1.

Uma vez que seções planas permanecem planas o diagrama de deformação é linear, como mostra o diagrama das deformações. O gráfico das tensões tem a variação brusca na interface entre os dois materiais (ponto d) porque, para se ter a mesma deformação neste ponto, a tensão normal no material 2 é maior do que a tensão normal no material 1 (lembrando que Ε2 > Ε1). Usando-se a lei de

Hooke pode-se determinar as tensões nos pontos a, d e f:

a 1 a =Ε .ε σ d 1 1 d =Ε .ε σ d 2 2 d =Ε .ε σ f 2 f =Ε .ε σ

A Equação (6.1) pode ser usada para vigas feitas de dois materiais:

r y E1 1= σ e r y E2 2 = σ

Onde r é o raio de curvatura da superfície neutra.

No estudo da flexão pura foi imposta a condição que: .dA 0

Aσ =

∫

. Para vigas constituídas por dois materiais a condição a ser imposta é que:

+ σ

∫

_A1 1.dA .dA 0 2 A 2 = σ

∫

Colocando-se as expressão de σ_{1 e} σ_{2, tem-se:} + Ε

∫

_A1 1 dA . r y 0 dA . r y 2 A 2 = Ε

∫

Uma vez que os módulos de elasticidades e o raio de curvatura não variam na área, pode-se fazer: + Ε

∫

_A1 1 dA . y r r A2 y.dA 0 2 = Ε

∫

(a) Ou simplificando-se a raio de curvatura r e dividindo-se por Ε1:

∫

+ 1 A y.dA A2 y.dA 0 1 2 = Ε Ε

∫

Chamando de 1 2 n Ε Ε = , tem-se:

∫

+ 1 A y.dA n

∫

A2 y.dA =0

Então, cada elemento de área dA da área A2 é multiplicado por n conservando-se a distância y

destes elementos.

A seção homogeneizada acima é constituída apenas pelo material da área 1, com módulo de elasticidade Ε1 (método da seção equivalente).

A seção homogeneizada pode ter como referência o material 2. Neste caso, a expressão (a) deve ser dividida pelo módulo de elasticidade do material 2 (Ε2):

+ Ε

∫

_A1 2 1 dA . y E

∫

A2 y.dA =0 → _n

∫

_A1y.dA + 1 0 dA . y 2 A =

∫

Os elementos de área dA da área A1 são divididos por nconservando-se a distância y destes

6.9 – Flexão de vigas de concreto armado

Nas vigas de concreto armado despreza-se a resistência à tração do concreto. Assim sendo, na seção homogeneizada aparece apenas a parte de concreto acima da linha neutra (quando a viga está solicitada por momento fletor positivo). Por definição:

c s

E E n=

onde: E_s é o módulo de elasticidade do aço e E_cé o módulo de elasticidade do concreto.

• Cálculo da posição da linha neutra (colocando-se o sistema de referência na face superior):

d nA 2 y b y nA y b nA y b d nA 2 y y b y _s 2 __ __ s 2 __ s _ s _ _ _ + = + → + + =

de onde se tem a equação do segundo grau que fornece a posição da linha neutra:

0 d nA y nA 2 y b s __ s 2 __ = − +

A raiz positiva da equação acima é dada por:

        − + = 1 nA bd 2 1 b nA y s s _

• Cálculo do momento de inércia em relação à linha neutra:

2 __ s B 4 2 __ __ 3 __ ) y d ( nA n n 64 D 2 y y b 12 y b I + π + −           + = O termo n n 64 D B 4 π

, onde n_B é o número de barras de aço, pode ser desprezado por ser muito menor que os outros dois termos. Então, o momento de inércia em relação à linha neutra é dado por:

2 __ s 3 __ ) y d ( nA 12 y b 4 I= + −

46

7 – Solicitações compostas

7.1 – Introdução: Nos estudos precedentes foram obtidas as expressões das tensões (σ e τ) provocadas pelos quatro esforços internos N,V, T e M:

Força normal (N): A N = σ Força cortante (V): A V = τ (cisalhamento puro) ou bI VQ = τ (flexão simples: M + V) Momento de torção (T): J Tr = τ onde

(

4

)

i 4 e D D 32

J= π − (Observação: fórmula válida para barras que têm seção transversal circular)

Momento fletor (M) : I y M = σ

• Flexão pura: quando uma estrutura fica solicitada somente por momento fletor (M) • Flexão simples: quando uma estrutura fica solicitada por M + V

• Flexão composta: quando uma estrutura fica solicitada por momento fletor + força normal ou momento fletor + momento de torção

Flexo-tração: momento fletor + força normal de tração

Flexo-compressão: momento fletor + força normal de compressão Flexo-torção: momento fletor + torção

A flexão composta pode ser normal ou oblíqua:

• Flexão composta normal: quando a linha neutra é perpendicular ao plano que contém o carregamento e o centróide. A flexão composta normal ocorre quando o carregamento atua em um dos eixos principais de inércia.

• Flexão composta oblíqua: quando a linha neutra é oblíqua ao plano que contém o carregamento e o centróide. A flexão composta oblíqua ocorre quando o carregamento atua em um eixo que não é eixo principal de inércia.

• Equação geral da flexão composta para vigas solicitadas por momento fletor e força normal:

+

=

σ

A

N

x z z

I

y

.

M

y y

I

z

.

M

+

47

7.2 – Núcleo central

Núcleo central é a região de uma seção transversal onde ao aplicar-se uma força normal de compressão (tração) a seção transversal ficará solicitada apenas por tensão normal de compressão (tração).

• Núcleo central de uma seção transversal retangular

Seja um pilar solicitado por uma força de compressão P com excentricidade d em relação ao eixo y e excentricidade a em relação ao eixo z. A tensão normal é dada por:

− − = σ A P 12 bh y . a P 3 12 hb z . d P 3 −

Para determinar o núcleo central impõe-se que não existe tensão normal de tração, então a linha neutra tangencia a seção transversal no ponto de coordenadas y = − h/2 e z = − b/2: − − = bh P 0 12 bh ) 2 / h .( a P 3 − 12 hb ) 2 / b .( d P 3 − − ou: = 1 h a . 6 b d . 6 +

48

• Núcleo central de uma seção transversal circular

Seja uma área com seção transversal circular solicitada por uma força de compressão com excentricidade a em relação ao eixo z. A tensão normal é dada por:

− π − = σ 4 D P 2 64 D y . a P 4 π

Impondo-se que a linha neutra tangencia a seção transversal no ponto de coordenada y = − D/2, tem-se: − π − = ₂ D 4 P 0 ₄ D 64 ) 2 / D .( a P π − Ou: = a 8 D

49

8 - Deformações na flexão

8.1 - Linha elástica: Por definição, linha elástica é a curva na qual se transforma o eixo da viga depois de aplicado o carregamento.

P x v vd d d’ o linha elástica Onde: d

v : deflexão (flecha) do ponto d (componente vertical do deslocamento do ponto d). A deflexão é uma função da coordenada x.

8.2 - Métodos de cálculo:

Método da integração direta Método da energia

Métodos numéricos Outros.

8.3 - Hipóteses

• Despreza-se a contribuição da força cortante no cálculo das deflexões; • As deflexões são pequenas quando comparadas com as dimensões da

viga (base, altura e comprimento); • É válida a Lei de Hooke.

8.4 - Método da integração direta

Em coordenadas cartesianas a expressão da curvatura de uma curva em um ponto Q(x, y) é dada por:

2 3 2 2 2 dx dy 1 dx y d r 1               + =

50

A inclinação da tangente à linha elástica é muito menor que 1,0. Então, para uma curva no plano xOv, pode-se fazer:

2 2

dx

)

x

(

v

d

r

1

₌

Da flexão pura, tem-se o raio de curvatura da superfície neutra:

) x ( M EI r= → EI ) x ( M r 1 = Igualando-se as duas últimas expressões, tem-se:

EI ) x ( M dx ) x ( v d 2 2 =

Para ΕΙ constante e analisando-se o sinal da segunda derivada (considerando-se o (considerando-sentido do eixo das deflexões (v) positivo para baixo), tem-se:

)

x

(

M

)

x

(

v

I

E

||

=

−

Condições de contorno (ou condições de extremidades):

Nos apoios do 1o e do 2o gênero:

v

=

0

Nos engastes:

v

=

v

|

=

0

Observação: EI v|||(x)=−V(x)

EI vIV(x)= q(x)

51

O deslizamento relativo dh, provocado pela força cortante, entre duas seções transversais distantes dx está demonstrado no item 6.5.2:

dx GA ) x ( V f dh=

Somando-se todos os deslocamentos relativos dh tem-se a contribuição da força cortante (

v

_S) para a deflexão:

∫

∫

→ = = dx GA ) x ( V f v dh v_{S S}

Exercício: Determine a deflexão no meio da viga considerando-se a contribuição do momento fletor e da força cortante. A viga tem seção transversal retangular (f= 1,2) e ΕΙ = constante.

A deflexão total (vT) é dada pela contribuição do momento fletor (vB) e pela

contribuição da força cortante (vS) :

s B T v v v = +

∫

=

dh

v

_S

qx

)

dx

2

qL

(

GA

f

v

2 / L 0 S

=

−

→

∫

















−

=

→













−

=

8

L

4

L

GA

q

f

v

2

x

x

2

L

GA

q

f

v

2 2 S 2 / L 0 2 S de onde:

8

L

GA

q

f

v

2 S

=

⋅

Considerando-se a contribuição do momento fletor e da força cortante a deflexão no meio da viga é dada por:

GA

8

L

q

f

EI

384

L

q

5

v

2 4 T

=

+

52

8.6 – Vigas hiperestáticas: Método da superposição dos efeitos

As três equações de equilíbrio da estática não são suficientes para calcularem-se as reações de apoio de vigas hiperestáticas, ou calcularem-seja, são vigas estaticamente indeterminadas. Além das três equações de equilíbrio são necessárias outras equações que são obtidas impondo-se condições de deslocamentos da estrutura. Neste item, o método da superposição dos efeitos é empregado para calcularem-se as reações de vigas hiperestáticas.

A deflexão de uma estrutura solicitada por várias cargas pode ser calculada somando-se a contribuição de cada carga como se atuasse separadamente. Esta constatação permite calcularem-se as reações de apoio de vigas hiperestáticas com o seguinte procedimento:

1. Retira-se um vínculo da estrutura deixando-a isostática;

2. Calcula-se o deslocamento (ou a rotação) que o vinculo retirando estava impedindo;

3. Coloca-se a ação (força ou momento) do vínculo retirado sobre a estrutura. Determina-se o deslocamento (ou a rotação) do ponto de aplicação desta ação como se fosse o único carregamento que atua na estrutura;

4. Impõe-se uma condição de deslocamento (geralmente, deslocamento nulo) obtendo-se a reação de apoio do vínculo retirado. As outras reações serão obtidas com as equações de equilíbrio da estática.

8.7 – Contra-flecha

Durante a construção de uma viga recomenda-se provocar deslocamentos em sentido contrário aos deslocamentos que ocorrerão quando for aplicado o carregamento. Este procedimento é chamado de contra-flecha.

53

9 - FLAMBAGEM

9.1 - Introdução

Barras esbeltas solicitadas à compressão rompem por flexão quando a força atinge um valor crítico (Pcr) .

Barra esbelta: quando o comprimento longitudinal é muito maior que as dimensões da seção transversal.

Para estudar-se o fenômeno da flambagem tem-se que usar a “teoria de 2a _ordem”.

Teoria de 1a _{ordem: para calcularem-se os esforços internos esta teoria permite confundir}

a forma inicial da estrutura com sua forma deslocada pelas cargas.

Teoria de 2a _{ordem: tem-se que levar em consideração a posição deslocada da estrutura}

para calcularem-se os esforços internos.

9.2 – Carga crítica de barras bi-articuladas solicitadas por força axial (caso fundamental)

v (x) v x P P L

Então:

EIv

||

(

x

)

=

−

P

.

v

(

x

)

ou:

EIv

||

(

x

)

P

.

v

(

x

)

0

=

+

Dividido-se a expressão acima por

E

I

tem-se:

0

)

x

(

v

EI

P

)

x

(

v

||

+

=

Chamando-se de

EI

P

c

2

=

tem-se:

0

)

x

(

v

c

)

x

(

v

||

+

2

=

→ Equação diferencial de segunda ordem homogênea Solução:

v

(

x

)

=

α

.

e

βx onde

α

é uma constante e

β

=

i

c

ou:

v

(x)

=

A

sen

cx

+

B

cos

cx

E I v | | (x) = − M (x)

54 A equação da linha elástica

v

(x)

=

A

sen

cx

+

B

cos

cx

tem que satisfazer as condições de extremidade:

1ª) para x = 0 → v (0) = 0 = A sen c.0 + B cos c.0; 0 = A.0 + B.1 → B = 0 2ª) para x = L → v (L) = 0 = A sen c.L;

Se A = 0 → solução trivial → não existe elástica → não existe flambagem. Então: sen c.L = 0 A solução é: n = 1, 2, 3 ,4... Lembrando que: = → EI P c2 π = → EI P L n 2 2 2 2 2 2 L I E n P= π

A figura abaixo mostra os três primeiros modos de flambagem, que podem ser verificados colocando-se n = 1, 2 e 3 na expressão de v(x):

x

L

n

sen

A

cx

sen

A

v(x)

=

=

π

cL = n

π

n = {...,-4,-3,-2,-1,0, 1, 2, 3 ,4,...}

55

Utilizamos o menor valor de P, isto é, n = 1:

2 2 cr

L

I

E

P

=

π

cr

P

→ é conhecido como carga crítica de Euler. A flambagem é um problema de equilíbrio. Formas de equilíbrio: estável, instável, indiferente.

9.3 – Tensão crítica (σcr) A L EI A P 2 2 cr π = A L EI 2 2 cr π = σ

Por definição, o raio de giração i é dado por: i2 =I A [i = m, cm, mm]

Então: 2 2 2 cr L Ei π = σ Chamando de: i L =

λ , onde λ é conhecido como índice de esbeltez e é adimensional, tem-se:

2 2 cr E λ π = σ

Obs.: No cálculo do raio de giração usa-se o menor momento de inércia. Se ocorrer flambagem, ela acontecerá na direção perpendicular ao eixo de menor momento de inércia (condição mais desfavorável):

A I i_min = _min

9.4 – Fórmula de Euler para outros casos de vinculação

A fórmula de Euler torna-se geral se considerarmos o comprimento de flambagem

L

K

L

_fl

=

: 2 fl min 2 r c L EI P = π e 2 2 r c E λ π = σ onde min fl i L = λ

56

K=1,0

L

K=2,0 K=0,7 K=0,5

9.5 – Validade da fórmula de Euler

O maior valor que a tensão crítica pode assumir é a tensão de proporcionalidade:

p cr ≤ σ

σ

Por exemplo: Aço CA - 25 com σ_p= 210 x 106 _N/m2 _e Aço Ε = 200 x 109 _N/m2 2 2 cr E λ π = σ → 2 9 2 6 .200.10 10 . 210 λ π = → 6 9 2 10 . 210 10 . 200 . π = λ → λ=96,95

ANEXO

ΙΙΙΙ – Propriedades de áreas planas

ΙΙΙΙ.1 – Momento estático (Q): Seja a área A situada no plano YOZ. Sendo y e z as coordenadas de um

elemento de área dA, o momento estático da área A, por definição, é dado por:

• _{Dimensão de Q: [ L ]} 3

• O momento estático de uma área, dependendo da posição do sistema de referência, pode ser positivo, negativo ou nulo.

ΙΙΙΙ.2 – Centróide: Por definição as coordenadas do centróide (z_ ;y_) de uma área são dadas por:

• Observação: o momento estático de uma área finita em relação a um eixo que passa pelo centróide é nulo.

• _{O momento de inércia de uma área é sempre positivo. Dimensão de Ι : [ L ]}4

Teorema dos eixos paralelos (ou teorema de Steiner): O momento de inércia de uma área em relação a um eixo de seu plano é igual ao momento de inércia em relação a um eixo paralelo que passa pelo seu centróide acrescido ao produto da área pelo quadrado da distância entre os dois eixos.

ΙΙΙΙ.4 – Produto de inércia (ΙΙΙΙZY): Por definição:

O produto de inércia de uma área em relação a um par de eixos ortogonais é nulo quando um dos eixos é um eixo de simetria.