Espacos Vectoriais

(1)

Álgebra Linear

g

e

Geometria Analítica

(2)

ESPAÇOS VECTORIAIS

(3)

O que é preciso para ter um

q

p

espaço vectorial?

p ç

→

Um conjunto não vazio V

→

Uma operação de adição definida

nesse conjunto

→

Um produto de um número real por

p

um elemento desse conjunto

→

A “b

”

i d d

d t

→

As “boas” propriedades destas

operações

(4)

O

ã

“b

”

i d d ?

O que são as “boas” propriedades?

→

Fechado para a soma

∀u, v∈V, u + v ∈ V

→

Fechado para o produto por um

p

escalar

∀

_ℝ

∀

_V

∀

α∈

_ℝ,

∀

_u

∈

_{V, αu ∈ V}

(5)

O que são as “boas” propriedades?

q

p p

Propriedades da soma

→

Comutativa: ∀ V ∀u, v∈V, u + v = v + u

→

Associativa: ∀u, v, w∈V, (u + v) + w = u + (v + w)

→

Elemento Neutro:

→

Elemento Neutro: ∀u∈V, u + 0 = u

→

Simétricos: ∀u∈V u + (‐u) = 0 ∀u∈V, u + (‐u) = 0

(6)

O que são as “boas” propriedades?

P

i d d

d

d t

Propriedades da soma e do produto

por um escalar:

→

Distributiva:

→

Distributiva: ∀u, v∈V, ∀

α

∈ℜ,

α

(u + v )=

α

u +

α

v

→

Di ib i

→

Distributiva: ∀u∈V, ∀,

α

, ,

β

∈ℜ,(,(

α

+

β

) u = )

α

u +

β

u

→

“Associativa” ∀ V ∀

β

ℜ (

β

) (

β

) ∀u∈V, ∀

α

,

β

∈ℜ,(

α β

) u =

α

(

β

u)

→

Elemento neutro

(7)

Exemplos

→

Vectores no plano com as operações soma e produto por um número real

(8)

Exemplos

→

Conjunto das matrizes m

×

n com as operações soma e produto por um número real real.

→

Conjunto das matrizes linha com as ú operações soma e produto por um número real real

→

Conjunto das matrizes coluna com as õ d t ú operações soma e produto por um número real

(9)

Exemplos

(

)

{

x x x x j n

}

n 1 : L L ∈ℜ = = ℜ =

{

(

x₁, x₂ , , x_n

)

: x _j ∈ℜ, j = 1, , n

}

ℜ

(

) (

)

(

x

₁

,

x

₂

,

L

,

x

_n

) (

+

y

₁

,

y

₂

,

L

,

y

_n

)

=

(

x

₁

+

y

₁

,

x

₂

+

y

₂

,

L

,

x

_n

+

y

_n

)

(

x

_n

) (

α

x

α

x

α

x

_n

)

α

₁

,

₂

,

L

,

=

₁

,

₂

,

L

,

(10)

Casos particulares importantes:

( )

{

∈ℜ

}

= ℜ2 =

{

( )

x y : x y ∈ℜ

}

ℜ x, y : x, y

( ) ( ) (

x

y

+

t

w

=

x

+

t

y

+

w

)

( ) ( ) (

x

,

y

+

t

,

w

=

x

+

t

,

y

+

w

)

( ) (

x

y

α

x

α

y

)

α

,

=

,

(11)

Casos particulares importantes:

(

)

{

∈ℜ

}

= ℜ3 =

{

(

x y z

)

: x y z ∈ℜ

}

ℜ x, y, z : x, y, z

(

x

y

z

) (

+

t

w

v

) (

=

x

+

t

y

+

w

z

+

v

)

(

x

,

y

,

z

) (

+

t

,

w

,

v

) (

=

x

+

t

,

y

+

w

,

z

+

v

)

(

x

y

z

) (

α

x

α

y

α

z

)

α

,

=

,

(12)

Propriedades dos espaços vectoriais

→

O vector nulo é único

→

O simétrico de cada vector de V é único

→

Qualquer número real multiplicado

→

Qualquer número real multiplicado pelo vector nulo dá o vector nulo

→

l l l

→

Zero multiplicado por qualquer vector dá o vector nulo dá o vector nulo

→

Se o produto de um número real por t dá t l tã um vector dá o vector nulo então ou o número real é nulo ou o vector é nulo.

(13)

Combinações Lineares:

k

∈

ℜ

α

₁

,

₂

,

_L

,

V

u

₁

,

₂

,

L

,

_k

∈

u

_k _k k

=

+

α

₁₁ ₁₁ ₂₂ ₂₂

_L

_k _k

u diz se combinação linear de

u diz‐se combinação linear de

(14)

Exemplo:

(

1 0 0

) (

3 0 1 0

) ( )(

5 0 0 1

) (

2 3 5

)

2

(

1,0,0

) (

+ 3 0,1,0

) ( )(

+ 5 0,0,1

) (

2,3, 5

)

2 + + − = −

(2 3 ‐5) é combinação linear de

(2,3, 5) é combinação linear de

{(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)}

com coeficientes 2, 3 e ‐5

respectivamente

(15)

Exemplo:

(2,3,‐5) será combinação linear

( ,3, 5) se á co b ação

ea

de {(1,1,1), (1,1,0),(1,0,1)}?

(16)

Exemplo:

(2,3,‐5) será combinação linear

( ,3, 5) se á co b ação

ea

de {(1,1,1), (1,1,0),(1,0,1)}?

(2,3,‐5) = α(1,1,1) + β(1,1,0) + γ(1,0,1)

(17)

Exemplo:

(2,3,‐5) será combinação linear

( ,3, 5) se á co b ação

ea

de {(1,1,1), (1,1,0),(1,0,1)}?

(2,3,‐5) = α(1,1,1) + β(1,1,0) + γ(1,0,1)

⎪ ⎧α + β + γ = 2 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ + = + 5 3 β α ⎪ ⎩α + γ = −5

(18)

Exemplo:

(2,3,‐5) será combinação linear

( ,3, 5) se á co b ação

ea

de {(1,1,1), (1,1,0),(1,0,1)}?

(2,3,‐5) = α(1,1,1) + β(1,1,0) + γ(1,0,1) ⎪ ⎧α + β + γ = 2 ⎥ ⎤ ⎢ ⎡1 1 1 2 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ + = + 5 3 β α ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 5 3 1 0 1 0 1 1 ⎪ ⎩α + γ = −5 ⎢⎣₁ ₀ ₁ − 5⎥⎦

(19)

⎤ ⎡1 1 1 2 ⎡₁ ₁ ₁ ₂⎤ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ 3 2 0 1 1 1 1 1 ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − 1 2 1 0 0 1 1 1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣1 0 1 − 5 ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣0 −1 0 − 7 ⎤ ⎡1 1 1 2 ⎡₁ ₁ ₁ ₂ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ − − 7 2 0 1 0 1 1 1 ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ 7 2 0 1 0 1 1 1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣0 0 −1 1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣0 0 1 − 1

(20)

⎤ ⎡1 1 1 2 ⎡1 1 0 3⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 7 2 0 1 0 1 1 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 7 3 0 1 0 0 1 1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣0 0 1 − 1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣0 0 1 − 1 ⎤ ⎡1 0 0 − 4 ⎧α = 4− ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 7 4 0 1 0 0 0 1 ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = 7 4 β α ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣0 0 1 − 1 ⎪_⎩γ = 1−

(21)

⎧α = 4− ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = 7 4 β α ⎪ ⎩γ = 1−

(2,3,‐5) = α(1,1,1) + β(1,1,0) + γ(1,0,1)

(2 3 ‐5) = ‐4(1 1 1) + 7(1 1 0) ‐ (1 0 1)

(2,3, 5) = 4(1,1,1) + 7(1,1,0) (1,0,1)

(22)

Exemplo:

(2,3,‐5) será combinação linear

( ,3, 5) se á co b ação

ea

de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?

(2,3,‐5) = α(1,1,1) + β(1,1,2) + γ(0,0,3)

(23)

Exemplo:

(2,3,‐5) será combinação linear

( ,3, 5) se á co b ação

ea

de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?

(2,3,‐5) = α(1,1,1) + β(1,1,2) + γ(0,0,3)

⎪ ⎧α + β = 2 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ + = + 5 3 3 β β α ⎪ ⎩α + β − 3γ = −5

(24)

Exemplo:

(2,3,‐5) será combinação linear

( ,3, 5) se á co b ação

ea

de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?

(2,3,‐5) = α(1,1,1) + β(1,1,2) + γ(0,0,3)

⎪ ⎧α + β = 2 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ + + = + 5 3 2 3 β β α

_{Sistema impossível}

⎪ ⎩α + 2β + 3γ = −5

(25)

Exemplo:

Então (2,3,‐5) não pode ser

tão ( ,3, 5) ão pode se

combinação linear de

(26)

Exemplo:

Quais serão os vectores (x, y, z)

Qua s se ão os ecto es ( , y, )

que podem ser combinação

linear de

{(1 1 1) (1 1 2) (0 0 3)}?

{(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?

(27)

Exemplo:

(x, y, z) =

( , y, )

(28)

Exemplo:

(x, y, z) =

( , y, )

α(1,1,1) + β(1,1,2) + γ(0,0,3)

⎧

β

⎪

⎧

α

+

β

=

x

⎪

⎨

α

+

β

=

y

⎪

⎩

α

+

2 β

+

3 γ

=

z

⎩

(29)

⎧

α

+

β

=

x

⎪

⎨

⎧

+

=

x

β

α

⎪

⎨

α

+

β

=

y

⎪

⎩

α

+

2 β

+

3 γ

=

z

⎤

⎡

1

0 x

⎥

⎤

⎢

⎡

x

0

1

0

1

1 ⎥

⎥

⎦

⎢

⎣

y

3

2

1

0

1

1 ⎥⎦

⎢⎣

1

2

3 z

(30)

⎪ ⎧α + β = x ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ + + = + z y γ β α β α 3 2 ⎤ ⎡ ⎡1 1 0 ⎤ ⎪ ⎩α + 2 β + 3γ = z ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ y x 0 1 1 0 1 1 ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − x y x 0 0 0 0 1 1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ z y 3 2 1 0 1 1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ z − x x y 3 1 0 0 0 0 ⎦ ⎣ ⎣ ⎦ ⎥ ⎤ ⎢ ⎡1 1 0 x ⎥ ⎤ ⎢ ⎡1 0 − 3 2x − z ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ _{− x} z 3 1 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ _{− x} z 3 1 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 y − x ⎢⎣0 0 0 y − x ⎥⎦

(31)

Quais serão os vectores (x, y, z)

Qua s se ão os ecto es ( , y, )

que podem ser combinação

linear de

{(1 1 1) (1 1 2) (0 0 3)}?

{(1,1,1), (1,1,2), (0,0,3)}?

Resposta:

p

vectores da forma

(x, x, z)

(32)

Questão:

(0, 0, 0) pode ser combinação

(0, 0, 0) pode se co b ação

linear de

{(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?

SIM

(0, 0, 0) =

0(1,1,1) + 0(1,1,2) + 0(0,0,3)

(33)

Propriedade:

O vector nulo de qualquer

O ecto

u o de qua que

espaço vectorial pode ser

escrito como combinação linear

d

l

j

t d

de qualquer conjunto de

vectores

vectores.

(O sistema homogéneo tem

(

g

sempre solução)

(34)

Questão:

(0, 0, 0) pode ser combinação linear

(0, 0, 0) pode se co b ação

ea

de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)} sem que

os coeficientes sejam todos nulos?

SIM

(0, 0, 0) = 3(1,1,1) ‐ 3(1,1,2) + 1(0,0,3)

(35)

Vectores linearmente independentes

Definição:

U

j

t d

t

d V

Um conjunto de vectores de V

{v v

v }

{v

₁

, v

₂

, … , v

_k

}

diz‐se linearmente independente se

diz se linearmente independente se

a única combinação linear nula

(36)

Vectores linearmente independentes

Um conjunto de vectores de V

{

}

{v

₁

, v

₂

, … , v

_k

}

é linearmente independente se

0

2 2 1 1

v

+

α

v

+

α

k

v

k

=

⇒

α

_L

0

2 1

=

α

=

α

k

=

α

_L

(37)

Vectores linearmente dependentes

Definição: Um conjunto de vectores de V {v v v } {v₁, v₂, … , v_k} diz‐se linearmente dependente se não é p independente, isto é, se é possível obter o vector nulo com uma combinação

o vector nulo com uma combinação

linear que não tem os coeficientes todos nulos.

(38)

Vectores linearmente dependentes

Um conjunto de vectores de V

{

}

{v

₁

, v

₂

, … , v

_k

}

diz se linearmente dependente se

diz‐se linearmente dependente se

0 :

0

2 2 1 1

v

+

α

v

+

α

k

v

k

=

∧

∃

j

α

j

≠

α

₁

v

₁

+

α

₂

v

₂

+

_L

+

α

_k

v

_k

0 ∧

∃

j

:

α

_j

≠

0 α

(39)

Vectores linearmente independentes

Para que o conjunto de vectores de V {v v v } {v₁, v₂, … , v_k} seja linearmente independente é j p necessário que o sistema

0

j d i d i é

0

2 2 1 1

v

+

α

v

+

α

k

v

k

=

α

_L

seja determinado, isto é, que a característica da matriz do sistema seja k.j

(40)

Um conjunto de vectores não pode ser

independente se:

• _{Contiver o vector nulo;}

• _{Tiver dois vectores iguais;}_g _;

• _{Tiver um vector múltiplo de outro;}_{Tiver um vector múltiplo de outro;} • _{Se um dos vectores for combinação}_{Se um dos vectores for combinação}

(41)

EXEMPLO:

Será {(1,2,3,4), (2,‐1,3,5), (4,7,‐3,‐7), (1,‐8,‐3,‐2)} linearmente independente? linearmente independente? ⎪ ⎪ ⎨ ⎧a+2b+4c+d =0 a(1,2,3,4)+ b(2,‐1,3,5)+ c(4,7,‐3,‐7)+ d(1,‐8,‐3,‐2) ⎪ ⎪ ⎩ ⎨ = (0,0,0,0)

(42)

EXEMPLO:

Será {(1,2,3,4), (2,‐1,3,5), (4,7,‐3,‐7), (1,‐8,‐3,‐2)} linearmente independente? linearmente independente? a(1,2,3,4)+ b(2,‐1,3,5)+ c(4,7,‐3,‐7)+ d(1,‐8,‐3,‐2) (0 0 0 0) = (0,0,0,0) ⎧ + 2b + 4 + d 0 ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − + − = + + + 0 8 7 2 0 4 2 d c b a d c b a ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ₊ ₋ ₋ ₌ 0 2 7 5 4 0 3 3 3 3 d b d c b a ⎪⎩4a + 5b − 7c − 2d = 0

(43)

⎪ ⎧a + 2b + 4c + d = 0 ⎥ ⎤ ⎢ ⎡1 2 4 1 ⎪ ⎪ ⎨ − + − = 0 3 3 3 3 0 8 7 2 d b d c b a ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ₋ ₋ = 3 3 3 3 8 7 1 2 A ⎪ ⎪ ⎩ ⎨ = − − + = − − + 0 2 7 5 4 0 3 3 3 3 d c b a d c b a _⎥⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ − − − − 2 7 5 4 3 3 3 3 ⎩

car(A) = 3

sistema indeterminado

car(A) = 3 sistema indeterminado

j

t d

d

t

(44)

Subespaço Vectorial

Seja V um espaço vectorial. Um subconjunto não vazio F de V é um subespaço vectorial de p ç V se e só se

F

∀

F

v

u

F

v

u

∀

ℜ

∀

∈

+

∈

∀

,

j F é f h d

F

u

F

u

∈

∀

ℜ

∈

∀

α

,

α

ou seja: F é fechado para a soma e para o produto por um escalar.

(45)

Exemplo de subespaço vectorial

(

)

{

x

y

z

x

y

e

x

z

}

(46)

Exemplo de subespaço vectorial

(

)

{

x

y

z

x

y

e

x

z

}

F

=

{

(

,

y

,

)

∈

ℜ

3

:

=

y

2 =

}

⎧ 0 F é o conjunto das soluções do sistema _⎩⎨ ⎧ = − = − 0 2 0 z x y x ⎩2x z 0

(47)

Exemplo de subespaço vectorial

(

)

{

x

y

z

x

y

e

x

z

}

F

=

{

(

,

y

,

)

∈

ℜ

3

:

=

y

2 =

}

⎧ 0 F é o conjunto das soluções do sistema _⎩⎨ ⎧ = − = − 0 2 0 z x y x ⎩2x z 0 ⎤ ⎡1 1 0 F é o núcleo da matriz ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − 1 0 2 0 1 1 ⎦ ⎣

(48)

Expansão linear e geradores

Considere‐se W o conjunto de todas as combinações lineares de {v₁ v₂ v_k} combinações lineares de {v₁, v₂, … , v_k} vectores de um espaço vectorial V 1 W é b i l 1. W é um subespaço vectorial

2 W é o menor subespaço vectorial de V 2. W é o menor subespaço vectorial de V

(49)

Expansão linear e geradores

p

g

{

+

∈

ℜ

}

=

v

_k

v

_k _j

W

α

₁ ₁

α

₂ ₂

L

α

,

α

W é a expansão linear de {v

₁

, v

₂

, … , v

_k

}

{

v

+

v

+

_k

v

_k _j

∈

ℜ

}

W

α

₁ ₁

α

₂ ₂

α

,

α

W é a expansão linear de {v

₁

, v

₂

, … , v

_k

}

ou subespaço vectorial gerado pelos

vectores

{v v

v }

{v

₁

, v

₂

, … , v

_k

}

W = <v

₁₁

, v

,

₂₂

, … , v

,

_k_k

>

{v₁, v₂, … , v_k} é um conjunto de geradores de W

(50)

Exemplos

(

) (

)

3

(

) (

)

1 ,

0 ,

1 ,

0 ,

1

3

=

ℜ

(51)

Exemplos

(

) (

)

3

(

) (

)

1 ,

0 ,

1 ,

0 ,

1

3

=

ℜ

(

0 0 1 0

) (

0 0 0 1

)

{

α

(

0 0 1 0

)

+ α

(

0 0 0 1

)

:α α ∈ℜ

}

(

) (

)

{

(

)

(

)

}

(

)

{

0,0, , : ,

} (

{

, , ,

)

: 0

}

, : 1 , 0 , 0 , 0 0 , 1 , 0 , 0 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 2 1 4 4 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 = = ℜ ∈ = ℜ ∈ = ℜ ∈ + = x x x x x x α α α α α α α α

(

)

{

, , ₁, ₂ ₁, ₂

} (

{

₁, ₂, ₃, ₄

)

₁ ₂

}

(52)

Bases e dimensão

• _{A um conjunto de geradores de um espaço} que seja linearmente independente chama‐se q j p base desse espaço.

• _{Um espaço tem várias bases} • _{Um espaço tem várias bases}

• Todas as bases têm o mesmo número de elementos

• _{A esse número de elementos chama‐se} • _{A esse número de elementos chama‐se}

(53)

Bases e dimensão

l d • Se um espaço vectorial tem dimensão n não pode haver conjuntos de vectores p j independentes com mais do que n elementos elementos • Se um espaço vectorial tem dimensão n não pode haver conjuntos de vectores geradores do espaço com menos do que g p ç q n elementos

(54)

Exemplo:

(

)

{

x

y

z

x

y

e

x

z

}

F

=

{

,

∈

ℜ

3

:

=

2 =

}

(

)

{

∈

ℜ

}

=

x

F

=

{

(

x

2 x

)

:

x

∈

ℜ

}

F

,

2 :

(

1 ,

2 )

=

F

(

)

(55)

Exemplo:

(

)

{

x

y

z

x

y

e

x

z

}

F

=

{

,

∈

ℜ

3

:

=

2 =

}

(

)

{

∈

ℜ

}

=

x

F

=

{

(

x

2 x

)

:

x

∈

ℜ

}

F

,

2 :

(

1 ,

2 )

=

F

ou

F

=

(

5 ,

10 )

ou

L

dimF = 1

(56)

Como saber se um vector pertence a

um subespaço?

1. Encontra‐se uma base para o subespaço

2. Verifica‐se se o vector pode ser combinação linear dos elementos da base.

(57)

Exemplo:

(

1

2

3

4 ) (

5

6

7

8 )

F

=

(

1 ,

2 ,

3 ,

4 ) (

,

5 ,

6 ,

7 ,

8 )

F

Será que (3, ‐2, ‐7, ‐12) é um elemento de F?

Será que (3 2 7 12) é uma combinação Será que (3, ‐2, ‐7, ‐12) é uma combinação linear de (1,2,3,4) e (5,6,7,8)?

(3 ‐2 ‐7 ‐12)= a(1 2 3 4) + b(5 6 7 8) (3, 2, 7, 12)= a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8)

(58)

(3 2 7 12)= a(1 2 3 4) + b(5 6 7 8) (3, ‐2, ‐7, ‐12)= a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8)

(59)

(3 2 7 12)= a(1 2 3 4) + b(5 6 7 8) (3, ‐2, ‐7, ‐12)= a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8)

(60)

(3 2 7 12)= a(1 2 3 4) + b(5 6 7 8) (3, ‐2, ‐7, ‐12)= a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8)

⎪

⎧

a

+

5b

=

3 ⎪

⎪

⎨

2 a

+

6 b

=

−

2 ⎪

⎨

₊

₌

₋

7

3 a

b

⎪

⎩

4 a

+

8 b

=

−

12

(61)

(3 2 7 12)= a(1 2 3 4) + b(5 6 7 8) (3, ‐2, ‐7, 12)= a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8)

⎪

⎧

a

+

5b

=

3

⎥ ⎤ ⎢ ⎡1 5 3

⎪

⎨

2 a

+

6 b

=

−

2

⎥⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ₋ 7 2 7 3 6 2

⎪

⎨

₊

₌

₋

7

3 a

b

_⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − 12 7 8 4 7 3

⎪

⎩

4 a

+

8 b

=

−

12

⎦ ⎣

(62)

⎥ ⎤ ⎢ ⎡1 5 3 ⎥ ⎤ ⎢ ⎡1 5 3 ⎥ ⎤ ⎢ ⎡1 5 3 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ₋ 7 2 7 3 6 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ₋ ₋ 16 8 8 0 4 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ 0 2 0 0 1 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − 12 7 8 4 7 3 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − − − 24 16 12 0 8 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎤ ⎢ ⎡1 0 − 7 ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 0 2 0 0 1 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 0 0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣

(63)

⎥ ⎤ ⎢ ⎡1 5 3 ⎥ ⎤ ⎢ ⎡1 5 3 ⎥ ⎤ ⎢ ⎡1 5 3 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ₋ 7 2 7 3 6 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ₋ ₋ 16 8 8 0 4 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ 0 2 0 0 1 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − 12 7 8 4 7 3 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − − − 24 16 12 0 8 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎤ ⎢ ⎡1 0 − 7

⎧

7

⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 0 2 0 0 1 0

⎩

⎨

⎧

=

−

2

7 b

a

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 0 0 0 0

⎩

⎨ =

_b

₂

⎥⎦ ⎢⎣

(64)

O mesmo exemplo outra abordagem:

O mesmo exemplo, outra abordagem:

(

1

2

3

4 ) (

5

6

7

8 )

F

=

(

1 ,

2 ,

3 ,

4 ) (

,

5 ,

6 ,

7 ,

8 )

F

Será que (3, ‐2, ‐7, ‐12) é um elemento de F? Isto é, será que (3, ‐2, ‐7, ‐12) é uma combinação linear de (1 2 3 4) e (5 6 7 8)? combinação linear de (1,2,3,4) e (5,6,7,8)?

(65)

O mesmo exemplo outra abordagem:

O mesmo exemplo, outra abordagem:

(

1

2

3

4 ) (

5

6

7

8 )

F

=

(

1 ,

2 ,

3 ,

4 ) (

,

5 ,

6 ,

7 ,

8 )

F

Será que (3, ‐2, ‐7, ‐12) é um elemento de F? Isto é, será que (3, ‐2, ‐7, ‐12) é uma combinação linear de (1 2 3 4) e (5 6 7 8)? combinação linear de (1,2,3,4) e (5,6,7,8)? Se tal se verificar a característica da matriz 3×4 que tem estes vectores nas suas linhas terá que ser 2

(66)

O mesmo exemplo outra abordagem:

O mesmo exemplo, outra abordagem:

⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ 8 7 6 5 4 3 2 1 ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − − − 4 8 12 0 4 3 2 1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣3 − 2 − 7 −12 8 7 6 5 ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣0 −8 −16 − 24 12 8 4 0

(67)

O mesmo exemplo outra abordagem:

O mesmo exemplo, outra abordagem:

⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ 8 7 6 5 4 3 2 1 ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − − − 4 8 12 0 4 3 2 1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣3 − 2 − 7 −12 8 7 6 5 ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣0 −8 −16 − 24 12 8 4 0 4 3 2 1 ⎤ ⎡ 2 ) ( 12 8 4 0 4 3 2 1 = ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − − − car A 0 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣

(68)

Como saber qual o espaço gerado por

um conjunto de vectores?

(

1

2

3

4 ) (

5

6

7

8 )

=

F

=

(

1 ,

2 ,

3 ,

4 ) (

,

5 ,

6 ,

7 ,

8 )

F

(69)

Como saber qual o espaço gerado por

um conjunto de vectores?

⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ 8 7 6 5 4 3 2 1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣x y z w 8 7 6 5 Agora determinar condições sobre x, y, z e w últi li h d t i d para que a última linha da matriz em escada seja nulaj

(70)

Como saber qual o espaço gerado por

um conjunto de vectores?

⎤

⎡

1

2

3

4 ⎥

⎥

⎤

⎢

⎡

8

7

6

5

4

3

2

1 ⎥

⎥

⎦

⎢

⎣

x

y

z

w

8

7

6

5 ⎥⎦

⎢⎣

x

y

z

w

⎤

⎡

1

2

3

4 ⎥

⎤

⎢

⎡

12

8

4

0

4

3

2

1 ⎥

⎥

⎦

⎢

⎣

+

−

w

y

x

z

y

x

2

3

0

12

8

4

0 ⎥⎦

⎢⎣

0

0 x

−

2 y

+

z

2 x

−

3 y

+

w

(71)

Como saber qual o espaço gerado por

um conjunto de vectores?

⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ 8 7 6 5 4 3 2 1 ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − − − 4 8 12 0 4 3 2 1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣x y z w 8 7 6 5 ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ − + − + − − − w y x z y x 2 2 3 0 0 12 8 4 0 ⎦ ⎣

⎧

⎨

⎧

x

−

2 y

+

z

=

0 ⎨

⎧

z

=

−

x

+

2 y

⎩

⎨

₋

₊

₌

0

3

2 x

y

w

⎩

⎨

w

=

−

2 x

+

3 y

(72)

Como a última linha ficou nula pode se

Como a última linha ficou nula pode‐se

concluir que é combinação linear das

q

ç

anteriores.

((Só não se sabe quais são os

coeficientes da combinação linear para

coeficientes da combinação linear, para

o saber é preciso resolver o sistema

(73)

Os coeficientes da combinação linear de

t

l ã

b

um vector em relação a uma base

chamam‐se coordenadas do vector

chamam se coordenadas do vector

(74)

Como saber qual o espaço gerado por

um conjunto de vectores?

(

1 ,

2 ,

3 ,

4 ) (

,

5 ,

6 ,

7 ,

8 )

=

F

(

,

) (

,

)

(x y z w) = a(1 2 3 4) + b(5 6 7 8)

(x, y, z, w) = a(1, 2, 3, 4) + b(5, 6, 7, 8)

⎧ x = a + 5 b ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + = + = b a y b a x 6 2 5 ⎪ ⎪ ⎩ ⎨ + + = b b a z 8 4 7 3 ⎪⎩ w = 4 a + 8 b

(75)

Encontrar condições para o sistema ser

possível:

⎧ ⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎧ + = + = b a y b a x 6 2 5 ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ y x 6 2 5 1 ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ x 2 4 0 5 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ₌= ₊+ b a z b a y 7 3 6 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ z y 7 3 6 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ − + − − y x z x y 2 2 0 0 4 0 ⎪⎩ w = 4 a + 8 b ⎢⎢_⎣₄ ₈ _w⎥_⎦⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣0 0 w+ 2x −3y ⎧ z + x − 2 y = 0 ⎩ ⎨ ⎧ = − + = − + 0 3 2 0 2 y x w y x z ⎩ y