ESCOLHA SOB INCERTEZA

(1)

MICROECONOMIA I

ESCOLHA SOB INCERTEZA

Rafael V. X. Ferreira

rafaelferreira@usp.br

Março e Abril de 2017

Universidade de São Paulo (USP)

Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade (FEA) Departamento de Economia

(2)

Escolha sob Incerteza

# Para alguns problemas, incerteza não é determinante. # Para outros, é fundamental para a análise.

# Iremos incorporar incerteza ao arcabouço que já estudamos em teoria do consumidor.

# Vimos que X é o conjunto das escolhas possíveis: definição é geral o suficiente para acomodar incerteza.

# Escolhas sob incerteza possuem características específicas, que permitem fazer previsões mais fortes, ao impor restrições adicionais às preferências de indivíduos racionais.

(3)

Alternativas arriscadas

# Indivíduo precisa escolher uma dentre várias alternativas arriscadas.

# Cada alternativa pode resultar em um dentre vários resultados possíveis.

# O resultado que irá efetivamente ocorrer é incerto. # Mas indivíduo conhece as probabilidades objetivas de

ocorrência de cada resultado.

# C {c1, c2, . . . , cN} denota os resultados possíveis. Por exemplo: 1. Cestas de consumo

(4)

Loterias simples

# Uma loteria simples é uma distribuição de probabilidade sobre esses resultados:

Definição

Uma loteria simples é uma lista L (p1, p2, . . . , pN), com pn ≥ 0,∀n 1, . . . , N, eÍN_n1pn 1, onde pnpode ser interpretado como a probabilidade de ocorrência do n-ésimo evento.

(5)

Loterias simples

# Por exemplo, se C (0, 500, 1000), duas loterias simples podem ser: 1. L1 (0, 1, 0) 2. L2 1 2, 1 4, 1 4

# Uma loteria simples pode ser representada como um ponto do simplex de dimensão (N − 1):

(6)

Loterias Compostas

# Uma versão mais geral de loterias, que permite que os resultados possíveis sejam, eles próprios, loterias.

Definição

Considere K loterias simples Lk _(pk

1, pk2, . . . , pNk), k 1, . . . , K e probabilidades αk ≥ 0, com ÍK_k1αk 1. A opção arriscada que resulta na loteria Lk com probabilidadeαk, para k 1, . . . , K é cha-mada de loteria composta e representada por:

(7)

Loterias Compostas

# Por exemplo, se C (0, 500, 1000) e temos as duas loterias simples: 1. L1 (0, 1, 0) 2. L2 1 2, 1 4, 1 4

# A loteria composta que resulta na loteria L1com probabilidade1₂ e na loteria L2com probabilidade1₂ pode ser escrita como:

L1, L2;1 2, 1 2

(8)

Loterias Reduzidas

# Dada uma loteria composta (L1, L2, . . . , LK;α1, α2, . . . , αK), a

loteria reduzidacorrespondente é a loteria simples (q1, q2, . . . , qN) que gera a mesma distribuição sobre os resultados possíveis.        q1 ... qN        α1        p₁1 ... p1 N        + α2        p₁2 ... p2 N        + · · · + αK        p₁K ... pK N        # qn K Í k1αkp k n # Note que: N Õ n1 qn N Õ n1 K Õ k1 αkpnk ! K Õ k1 αk N Õ n1 pkn K Õ k1 αk 1

(9)

Preferências sobre loterias: hipóteses

1. O indivíduo é “consequencialista”: para qualquer escolha envolvendo risco, apenas as loterias reduzidas são relevantes.

◦ _{Logo, o indivíduo deve ser indiferente entre duas loterias}

compostas com a mesma loteria reduzida.

2. Racionalidade: preferências completas e transitivas sobre L, o conjunto de todas as loterias simples sobre o conjunto de resultados possíveis C.

3. Continuidade: pequenas mudanças nas probabilidades não alteram o ordenamento de preferências entre duas loterias quaisquer.

◦ _{Garante a existência de uma função utilidade U : L →}_R

representando%.

4. Axioma da Independência: permite-nos representar%por um tipo de função de utilidade particularmente útil.

(10)

Preferências sobre loterias: hipóteses

Definição

Uma relação de preferências % sobre L é dita contínua se, para quaisquer L, L0_{, L}00

∈ L, os dois conjuntos abaixo forem fechados: {α ∈ [0, 1] : αL + (1 − α)L0_%_L00} ⊂ [0, 1]

{α ∈ [0, 1] : L00_%αL + (1 − α)L0} ⊂ [0, 1]

Definição

Uma relação de preferências%sobre L satisfaz o axioma da

inde-pendênciase, para todo L, L0L00∈ L eα ∈ (0, 1), tivermos: L%L0⇔αL + (1 − α)L00_%αL0+ (1 − α)L00

(11)

Axioma da Independência

# Note que o AI não é necessariamente razoável no contexto da teoria do consumidor tradicional.

# Por exemplo: suponha que o consumidor prefere

{2 chocolates, 0 bananas} a {0 chocolates, 2 bananas} # Não há porque o consumidor preferir

{2 chocolates, 1 bananas} a {1 chocolates, 2 bananas} mesmo que ambos sejam uma combinação entre as cestas anteriores e a cesta {2 chocolates, 2 bananas}.

(12)

Utilidade esperada

# Veremos a seguir que o axioma da independência nos permite representar as preferências na forma de utilidade esperada.

Definição

A função de utilidade U : L →Rtem a forma de utilidade esperada se existe uma designação de números (u1, u2, . . . , uN) para os N resultados possíveis, de modo que para cada loteria simples L (p1, p2, . . . , pN) ∈ L, temos:

U(L) p1u1+ p2u2+ · · · + pnuN

A função de utilidade U : L →Rna forma de utilidade esperada é chamada de utilidade de von Neumann-Morgenstern.

(13)

Linearidade da utilidade esperada

# Note: U(L)Í

n pnun é linear nas probabilidades. Segue que:

Proposição

A função de utilidade U : L →Rtem a forma de utilidade esperada se, e somente se satisfaz a propriedade:

U K Õ k1 αkLk ! K Õ k1 αkU(Lk)

para quaisquer probabilidades (α1, α2, . . . , αK) ≥ 0 K e loterias Lk ∈ L, k 1, . . . , K e

K Í

(14)

Linearidade da utilidade esperada

Demonstração(⇐)

1. Suponhamos que U(·) satisfaz:

U K Õ k1 αkLk ! K Õ k1 αkU(Lk) 2. Sejam (L1_{, . . . , L}N_{) loterias degeneradas.} 3. Podemos escrever LÍN_n1pnLn. Temos então:

U(L) U N Õ n1 pnLn ! N Õ n1 pnU(Ln) N Õ n1 pnun

(15)

Linearidade da utilidade esperada

Demonstração(⇒)

1. Suponhamos que U(·) tem a forma de utilidade esperada. 2. Considere qualquer loteria composta:

(L1, L2, . . . , LK;α1, α2, . . . , αK) em que Lk (p₁k, . . . , pk_N). 3. A loteria é reduzida é L0Í kαhLk. 4. Temos, então: U K Õ k1 αkLk ! N Õ n1 un K Õ k1 αkpkn ! K Õ k1 αk N Õ n1 unpkn ! K Õ k1 αkU(Lk)

(16)

Cardinalidade da Utilidade Esperada

# Diferentemente da Teoria do Consumidor que vimos até agora,

apenas transformações afins crescentes preservam ordenamento de preferências representado por utilidade esperada.

Proposição

Suponha U : L −→ Ré uma utilidade esperada de v.N-M. para a relação de preferências%sobre L. Então ˜U : L −→ Ré outra utilidade esperada de v.N-M. para a relação de preferências%se, e somente se, existemα, β > 0 tais que ˜U(L) βU(L) + α.

(17)

Teorema da Utilidade Esperada

# Se preferências sobre loterias são contínuas e satisfazem o Axioma da Independência, então são representáveis por uma função de utilidade com a forma de utilidade esperada.

Proposição

Suponha a relação de preferências% racionais sobre o espaço de loterias L satisfaz continuidade e o axioma da independência. En-tão%admite uma representação de utilidade na forma de utilidade esperada. Isto é, podemos designar um número un para cada rea-lização n 1, . . . , N de tal modo que para quaisquer duas loterias L (p1, p2, . . . , pN) e L0 (p 0 1, p 0 2, . . . , p 0 N), temos: L%L0⇔ N Õ n1 unpn ≥ N Õ n1 unp 0 n

(18)

Teorema da Utilidade Esperada

Demonstração

# Demonstração se dará em 5 passos:

1. Se L L0eα ∈ (0, 1), então L αL + (1 − α)L0.

2. Sejamα, β ∈ [0, 1]. Então β ¯L + (1 − β)L α ¯L + (1 − α)L se, e somente se,β > α.

3. ∀L ∈ L, existe umα(L) tal que [1 − α(L)]L + α(L) ¯L ∼ L, e esteα(L) é único.

4. A função U : L −→Rque designa U(L) αLpara todo L ∈ Lrepresenta a relação de preferências%.

5. A função utilidade U : L −→Rque designa U(L) αL para todo L ∈ L é linear e, portanto, tem a forma de utilidade esperada.

(19)

Teorema da Utilidade Esperada

1. Se L L0eα ∈ (0, 1), então L αL + (1 − α)L0.

Demonstração:

# O resultado segue do Axioma da Independência. # Como L L0, temos:

(20)

Teorema da Utilidade Esperada

2. Sejamα, β ∈ [0, 1]. Então β ¯L + (1 − β)L α ¯L + (1 − α)L se, e somente se,β > α.

Demonstração:

# Sejaβ > α, sem perda de generalidade. Podemos escrever: β ¯L + (1 − β)L β − α 1 −α |¨¨¨{z¨¨¨} γ ¯L + " 1 −β − α 1 −α |{z} γ # α ¯L + (1 − α)L

# Do passo anterior, sabemos que ¯L α ¯L + (1 − α)L. Aplicando o mesmo passo novamente:

γ ¯L + (1 − γ)[α ¯L + (1 − α)L] α ¯L + (1 − α)L # Segue, pois, queβ ¯L + (1 − β)L α ¯L + (1 − α)L.

(21)

Teorema da Utilidade Esperada

3. ∀L ∈ L, existe umα(L) tal que [1 − α(L)]L + α(L) ¯L ∼ L, e este α(L) é único.

Demonstração:

# Segue da hipótese de continuidade das preferências, e da escolha de ¯L e de L.

(22)

Teorema da Utilidade Esperada

4. A função U : L −→Rque designa U(L) αLpara todo L ∈ L representa a relação de preferências%.

Demonstração:

# Partindo do passo anterior, para quaisquer duas loterias L, L0

∈ L, temos:

L%L0 ⇔ α_L¯L + (1 − α_L_)L_%α_L0¯L + (1 − α

L0)L

(23)

Teorema da Utilidade Esperada

5. A função utilidade U : L −→R, que designa U(L) αLpara todo L ∈ L, é linear e, portanto, tem a forma de utilidade esperada.

Demonstração:

# Queremos mostrar que,∀L, L0∈ L eβ ∈ [0, 1], temos U(βL + (1 − β)L0₎

βU(L) + (1 − β)U(L0 ). # Por construção temos:

L ∼ U(L) ¯L+ [1 − U(L)]L e L0∼ U(L0)¯L + [1 − U(L0_)]L # Aplicando o AI, temos:

βL + (1 − β)L0 _∼

β[U(L) ¯L + [1 − U(L)]L] + (1 − β)L0

(24)

Teorema da Utilidade Esperada

5. A função utilidade U : L −→R, que designa U(L) αLpara todo L ∈ L, é linear e, portanto, tem a forma de utilidade esperada.

Demonstração (cont. 1):

# Note que essa última loteria é equivalente a:

[βU(L) + (1 − β)U(L0)]¯L + (1 − βU(L) − (1 − β)U(L0_)]L

# As duas loterias compostas abaixo resultam na mesma loteria reduzida:

U(L) ¯L+ (1 − U(L))L com Pr β U(L0)¯L + (1 − U(L0_{))L com Pr} (1 − β)

¯L com Pr βU(L) + (1 − β)U(L0₎ L com Pr [1 − βU(L) − (1 − β)U(L0_)]

(25)

Teorema da Utilidade Esperada

5. A função utilidade U : L −→R, que designa U(L) αLpara todo L ∈ L, é linear e, portanto, tem a forma de utilidade esperada. Demonstração (cont. 1): # Logo: βL + (1 − β)L0_{∼ [} βU(L) + (1 − β)U(L0_)] ¯L + (1 − βU(L) − (1 − β)U(L0 )]L # Segue que U(βL + (1 − β)L0) βU(L) + (1 − β)U(L0_{), como}

(26)

Paradoxo de Allais

# Suponha que há três payoffs monetários:

(1) R$ 2.500.000 (2) R$ 500.000 (3) R$ 0 # Considere dois conjuntos de escolha, L e L0:

L: e L1 [ 0.00 1.00 0.00 ] L0₁ [ 0.10 0.89 0.01 ] L0: e L2 [ 0.00 0.11 0.89 ] L0₂ [ 0.10 0.00 0.90 ] # Que escolha você faria?

# Frequentemente as pessoas preferem L1a L0₁e L0₂a L2. Essas

(27)

Loterias Monetárias e Aversão ao Risco

# Formalização da noção de aversão ao risco, no contexto de alternativas arriscadas cujos resultados possíveis são valores expressos em unidades monetárias (loterias monetárias). # Tratamos o valor monetário como uma variável contínua. # Representação via utilidade esperada pode ser extendida para o

(28)

Loterias Monetárias e Utilidade Esperada

# Seja X variável aleatória contínua denotando um valor monetário.

Definição

Uma loteria monetária é uma função de distribuição acumulada F:R−→ [0, 1].

◦ _{Dado x, F(x) mede a probabilidade de a realização do}

payoff X ser menor ou igual a x.

◦ _{Se F(·) tem uma função de densidade f (·), então:}

F(x) ∫ x

−∞ f (s)ds

(29)

Loterias Monetárias e Utilidade Esperada

# Funções de distribuição preservam a estrutura linear das loterias: # Dada uma loteria composta (L1, L2, . . . , LK;α1, α2, . . . , αK). # Denotemos por FK(·) a distribuição de payoffs sob a loteria k. # A distribuição do payoff associado à loteria reduzida é dada

por: F(x) K Õ k1 αkFk(x)

# Assim, para estudar loterias sobre valores monetários, definimos o espaço de loterias L como o conjunto de todas as distribuições de probabilidade possíveis, com domínio não-negativo [a, ∞).

(30)

Loterias Monetárias e Utilidade Esperada

# Aplicação do Teorema da Utilidade Esperada: existe uma designação de valores u(x) tais que F(·) pode ser avaliada como:

U(F) ∫

u(x)dF(x)

Note: U(F), que tem L como domínio, é a utilidade esperada de v.N-M.; u(x), que tem como domínio o conjunto de realizações monetárias possíveis, é a utilidade de Bernoulli.

# ∫ u(x)dF(x)é a esperança matemática de u(x).

1. A função u(x) substitui os valores (u1, u2, . . . , uN). 2. Se F(x) tem função densidade f (x), então

U(F)∫ u(x) f (x)dx.

3. Essa formulação inclui os casos em que um número finito de realizações tem massa positiva.

(31)

Aversão ao Risco

Atenção

O teorema de utilidade esperada não impõe restrições sobre a função de Bernoulli, u(x).

# A especificação de u(x) é responsável por capturar atributos comportamentais da escolha individual.

# hipóteses básicas: u(·) é contínua, estritamente crescente e limitada (acima e abaixo).

(32)

Aversão ao Risco

Definição

Um tomador de decisão é dito:

# avesso ao riscose, para qualquer loteria F(·), a loteria

degenerada que resulta num payoff certo∫ xdF(x)é ao menos tão boa quanto a loteria F(·).

# neutro ao riscose, para qualquer loteria F(·), ele é indiferente entre a loteria degenerada que resulta num payoff certo∫ xdF(x) e a loteria F(·).

# estritamente avesso ao riscose indiferença ocorre apenas quando as duas loterias são iguais (i.e., quando F(·) é degenerada).

(33)

Aversão ao Risco e Concavidade de u(·)

# Da definição de aversão ao risco, segue que um indivíduo é avesso ao risco se, e somente se:

∫ u(x)dF(x) ≤ u ∫ xdF(x) , para todo F(·)

# Essa desigualdade se chama Desigualdade de Jensen, e define a concavidade de uma função.

# Logo, aversão ao risco (estrita) é equivalente a concavidade (estrita) de u(·):

1. utilidade marginal de um dólar adicional é (estritamente) decrescente;

2. o risco de ganhar ou perder um dólar com probabilidades iguais não compensa.

(34)

Equivalente Certeza

Definição

Dada uma função de utilidade de Bernoulli u(·), o equivalente

cer-tezade F(·), denotado por c(F, u), é o valor monetário para o qual

o indivíduo é indiferente entre a loteria F(·) e um valor sem risco c(F, u).

u(c(F, u)) ∫

u(x)dF(x)

# Para um indivíduo avesso ao risco, c(F, u) é menor que o valor esperado de X: trade-off entre o retorno esperado e um risco

mais baixo.

c(F, u) ≤ ∫

xdF(x)

(35)

Prêmio de Risco

Definição

Dada uma função de utilidade de Bernoulli u(·), um valor monetário fixo x e um número positivo, o prêmio de probabilidade (ou prêmio de risco), denotado porπ(x, , u), é o excesso de probabilidade de sucesso (em relação a probabilidades iguais de sucesso e fracasso) que deixa o indivíduo indiferente entre o resultado sem risco x e a loteria entre dois resultados x+ e x − .

u(x) 1 2 + π(x, , u) u(x+ ) + 1 2 −π(x, , u) u(x −)

# Geometricamente, é fácil mostrar que aversão ao risco é equivalente a termosπ(x, , u) ≥ 0, para todo x e todo > 0.

(36)

Aversão ao Risco: caracterização

Proposição

Suponha que o indivíduo é maximizador de uma utilidade esperada, com função de utilidade de Bernoulli u(·) sobre valores monetários. Então, as seguintes propriedades são equivalentes:

1. O indivíduo é avesso ao risco 2. u(·) é côncava

3. c(F, u) ≤∫

xdF(x), para todo F(·) 4. π(x, , u) ≥ 0, para todo x, > 0

(37)

Aversão ao Risco Absoluta

Definição

Dada uma função de utilidade de Bernoulli u(·) sobre valores mo-netários, duas vezes continuamente diferenciável, o coeficiente de

aversão absoluta ao risco de Arrow-Prattem x é definido como: rA(x) −u

00 (x) u0_(x)

# É uma medida da curvatura de u(·).

# Para um indivíduo avesso ao risco, rA(x) ≥ 0.

# Exemplo: u(x) −e−ax_{, para a}_{> 0, é chamada de função de} utilidade CARA (Constant Absolute Risk Aversion).

(38)

Aversão ao risco entre indivíduos

Definição

Dadas funções de utilidade de Bernoulli u1(·) e u2(·), dizemos que u2(·) é mais avesso ao risco que u1(·) se:

1. rA(x, u2) ≥ rA(x, u1), para todo x.

2. Existe uma função crescente e côncavaφ(·) tal que

u2(x) φ(u1(x)) para todo x, i.e., u2(·) é uma transformação côncava de u1(·)

(39)

Aversão ao risco entre indivíduos (cont.)

Definição (cont.)

Dadas funções de utilidade de Bernoulli u1(·) e u2(·), dizemos que u2(·) é mais avesso ao risco que u1(·) se:

4. π(x, , u2) ≥π(x, , u1), para quaisquer x e.

5. Sempre que u2(·) achar uma loteria F(·) ao menos tão boa quanto um resultado livre de risco ¯x, então u1(·) também acha F(·) ao menos tão boa quanto ¯x. Ou seja, qualquer risco que u2(·) aceitar partindo de uma posição sem risco ¯x também será aceita por u1(·). Equivalentemente:

∫

u2(x)dF(x) ≥ u2(¯x) implica ∫

(40)

Aversão ao risco entre indivíduos

Proposição

(41)

Aversão ao risco entre níveis de renda

# É possível analisar também como relação com o risco varia com níveis de renda.

# A função de utilidade de Bernoulli u(·) exibe aversão absoluta

ao risco decrescentese rA(x, u) é uma função decrescente de x. # Comparar aversão ao risco em diferentes níveis de renda é

similar a compará-la para indivíduos diferentes: 1. Dois níveis de renda iniciais, x1 > x2. 2. Seja z a mudança na renda.

3. O indivíduo avalia risco comparando u1(z) ≡ u(x1+ z) a u2(z) ≡ u(x2+ z).

4. rA(x2, u) ≥ rA(x1, u), para x1 > x2se, e somente se rA(z, u2) ≥ rA(z, u1), para todo z.

(42)

Aversão ao risco entre níveis de renda

Proposição

As seguintes propriedades são equivalentes: 1. u(·) exibe aversão absoluta ao risco decrescente.

2. Sempre que x2< x1, u2(z) ≡ u(x2+ z) é uma transformação côncava de u1(z) u(x1+ z).

3. Para qualquer risco F(z), o equivalente certeza cx da loteria formada ao adicionar risco z ao nível de renda x, dado por u(cx)

∫

u(x+ z)dF(z), é tal que (x − cx) é decrescente em x. Isto é, quanto maior for x, menos o indivíduo estará disposto a pagar para se livrar do risco.

4. O prêmio de riscoπ(x, , u) é decrescente em x.

5. Para qualquer F(z), se∫ u(x2+ z)dF(z) ≥ u(x2) e x2 < x1, então ∫

(43)

Aversão relativa ao risco

# O conceito de aversão relativa ao risco nos permite avaliar alternativas arriscadas cujos resultados são ganhos ou perdas

percentuaisda riqueza atual.

# Seja t > 0 o acréscimo ou decréscimo percentual da riqueza. # Um indivíduo com utilidade de Bernoulli u(·) e riqueza inicial w

avalia o risco percentual aleatório t usando ˜u(t) u(tx). # Um pequeno risco em torno da posição inicial t 1 pode ser

avaliado usando: −˜u 00 (1) ˜u0₍₁₎ − wu00(w) u0_(w)

(44)

Aversão relativa ao risco

Definição

Dada uma utilidade de Bernoulli u(·), o coeficiente de aversão

rela-tiva ao riscoem w é

rR(w, u) −wu 00

(w) u0_(w)

# Como rR(w, u) varia com a renda?

# Se rR(w, u) é decrescente em w, então indivíduos mais ricos são menos avessos ao risco com respeito a loterias sobre percentuais de sua riqueza.

# Atenção: aversão relativa ao risco decrescente⇒ aversão absoluta ao risco decrescente.

(45)

Aversão relativa ao risco

Teorema

As seguintes condições sobre uma utilidade de Bernoulli u(·) são equivalentes:

1. rR(w, u) é decrescente em w

2. Sempre que w2 < w1, ˜u2(t) u(tw2) é uma transformação côncava de ˜u(t).

3. Dado qualquer risco F(t) para t > 0, o equivalente certeza ¯cw definido por u( ¯cw)

∫

u(tx)dF(t)é tal que w/ ¯cwé decrescente em w.

(46)

Comparando distribuições de payoffs

# Até agora, fixamos uma loteria e comparamos diferentes indivíduos (funções utilidade) em termos de suas aversões ao risco.

# Agora, compararemos loterias (distribuições de payoff) em termos de risco e retorno.

# Quando podemos dizer que uma distribuição F(·) 1. Tem retornos maiores que outra distribuição G(·)?

(Domonância estocástica de primeira ordem) 2. É menos arriscada que outra distribuição G(·)?

(Dominância estocástica de segunda ordem) # Observação: Restringiremo-nos às distribuições F(·) que

(47)

Dominância estocástica de primeira ordem

# Quando podemos dizer que a distribuição F(·) tem retornos maiores que outra distribuição G(·)?

# Dois critérios equivalentes:

1. Se todo agente maximizador de utilidade esperada que prefere mais a menos preferir F(·) a G(·).

2. Se para qualquer valor monetário x, a probabilidade de receber ao menos x é maior sob a loteria F(·) que sob G(·).

(48)

Dominância estocástica de primeira ordem

Definição

Dizemos que a distribuição F(·) domina estocasticamente em

pri-meira ordema distribuição G(·) se, para qualquer função não-decrescente u:R−→_R_{, tivermos:}

∫

u(x)dF(x) ≥ ∫

(49)

Dominância estocástica de primeira ordem

Proposição

A distribuição de payoffs monetários F(·) domina estocasticamente em primeira ordem a distribuição G(·) se, e somente se, F(x) ≤ G(x), ∀x.

(50)

Dominância estocástica de segunda ordem

# Agora, comparamos distribuições em termos de quão arriscada são (dispersão de payoffs).

# Restringiremo-nos a comparar distribuições com a mesma média.

Definição

Para duas distribuições F(·) e G(·) com a mesma média, dizemos que F(·) domina estocasticamente em segunda ordem(é menos arris-cada que) G(·) se, para qualquer função não-decrescente e côncava u:R−→_R_{, tivermos:}

∫

u(x)dF(x) ≥ ∫

(51)

Dominância estocástica de segunda ordem

# Dominância estocástica de segunda ordem está intimamente relacionada ao conceito de mean-preserving spreads. # Um mean-preserving spread de uma distribuição F(·) é

construído da seguinte forma:

1. Considere uma loteria composta.

2. O promeiro estágio é a loteria F(·), com realização x. 3. O segundo estágio toma x como dado, e adiciona

aleatorização com um payoff de x+ z, em que z é distribuído de acordo com Hx(z), com média zero, i.e., ∫

zdHx(z) 0

4. A loteria reduzida, denotada por G(·), é chamada de mean-preserving spread.

(52)

Dominância estocástica de segunda ordem

Exemplo

Suponha que F(·) designa iguais probabilidades a 2 e 3 reais, x ∈ {2, 3}. Em seguida, se x 2, suponha que com igual probabilidade, o payoff final é 1 ou 3. Se x 3, então com probabilidades iguais o payoff final é 2 ou 4. Então G(·) designa probabilidade 1/4 aos quatro possíveis resultados 1,2,3,4.

# De forma geral, se G(·) é um mean-preserving spread de F(·), então F(·) domina estocasticamente em segunda ordem G(·). A volta também vale. Logo, os dois conceitos são equivalentes.

(53)

Dominância estocástica de segunda ordem

Teorema

Considere duas distribuições F(·) e G(·) com a mesma média. Então as seguintes afirmações são equivalentes:

1. F(·) domina estocasticamente G(·) em segunda ordem. 2. G(·) é um mean-preserving spread de F(·)

(54)

Incerteza via estados da natureza

# Até agora, os consumidores apenas se importavam com as distribuições dos payoffs, e não com as causas que podem originá-las.

# Estados da natureza:

1. S é o conjunto finito de possíveis estados. 2. s ∈ S é um estado.

3. π(s) ou πsé a probabilidade (objetiva) de que s ∈ S ocorra. # Neste arcabouço, uma possibilidade incerta com retornos

monetários (não-negativos) é capturada por uma variável aleatória.

(55)

Incerteza via estados da natureza

Definição

Uma variável aleatória é uma função g : S −→ R₊ que mapeia estados em ocorrências monetárias.

# Uma variável aleatória g gera uma loteria monetária F(·) tal que: F(x) Õ

s:g(s)≥x

π(s) ∀x

Note que F(·) não monitora qual estado da natureza resulta em um dado payoff monetário (perda de informação).

# Uma variável aleatória também pode ser representada por um vetor (x1, . . . , xS), em que xsé o payoff no estado s.

# O conjunto de todas as variáveis aleatórias não-negativas é, então, dado porRS₊.

(56)

Preferências e utilidades contingentes

# Considere uma relação de preferências racional%sobreRS₊. # Argumento análogo à teoria do consumidor: L S.

# Mais uma vez, sempre qe possível, gostaríamos de representar% por uma função de utilidade que tem a forma de função de utilidade esperada estendida.

Definição

A relação de preferências%tem a representação de utilidade

esten-didase, para cada s ∈ S, existe uma função us :R+→Rtal que para cada (x1, . . . , xS) ∈R+S, (x1, . . . , xS)%(˜x1, . . . , ˜xS) ⇔ Õ s π(s)us(xs) ≥ Õ s π(s)us(˜xs)