UNIVERSIDADE GAMA FILHO

(1)

UNIVERSIDADE GAMA FILHO

Pr´o-Reitoria de Ciˆencias Exatas e Tecnologia

C ´

ALCULO B ´

ASICO

Notas de Aula

(2)

Estas notas de aula têm por finalidade apresentar de forma clara e didática todo o conteúdo inerente à disciplina Cálculo Básico. Todo este material foi elaborado tendo como referência bibliográfica alguns dos principais livros clássicos de 1o e 2o graus encontrados na literatura. Finalmente, convém ressaltar que a maioria dos exerc´ıcios propostos aqui foi retirada dos principais concursos públicos.

(3)

Conte´

udo

1 Conjuntos num´ericos 7

1.1 Introdu¸c˜ao . . . 7

1.2 A reta num´erica (ou real) . . . 10

1.3 Intervalos . . . 11

1.4 Valor absoluto (ou m´odulo) . . . 13

2 Conceitos B´asicos de Geometria 17 2.1 Areas de superf´ıcies planas . . . 17´

2.1.1 Retângulo . . . 17 2.1.2 Quadrado . . . 17 2.1.3 Paralelogramo . . . 18 2.1.4 Triângulo . . . 18 2.1.5 Losango . . . 19 2.1.6 Trapézio . . . 19 2.1.7 C´ırculo . . . 20 2.1.8 Coroa Circular . . . 20 2.1.9 Exerc´ıcios . . . 21 2.1.10 Respostas . . . 25 2.2 Volume de Sólidos . . . 26 3

(4)

2.2.1 Paralelep´ıpedo retˆangulo . . . 26

2.2.2 Cubo . . . 26

2.2.3 Cilindro circular reto (ou de revolu¸c˜ao) . . . 27

2.2.4 Cone circular reto (ou de revolu¸c˜ao) . . . 27

2.2.5 Esfera . . . 27

2.2.6 Exerc´ıcios . . . 28

2.2.7 Respostas . . . 29

3 Expressões algébricas 31 3.1 Introdu¸cão . . . 31

3.2 Fun¸c˜ao polinomial (ou ”polinˆomio”) . . . 32

3.2.1 Deﬁni¸c˜ao . . . 32

3.2.2 Valor num´erico . . . 32

3.2.3 Opera¸c˜oes . . . 33

3.2.4 Exerc´ıcios . . . 33

3.3 Fatora¸c˜ao de express˜oes polinomiais . . . 36

3.3.1 Exerc´ıcio . . . 37

3.3.2 Exerc´ıcios . . . 38

3.4 Simplifica¸cão de expressões racionais . . . 40

3.4.1 Exerc´ıcios . . . 41

3.5 Divis˜ao de polinˆomios . . . 43

3.5.1 M´etodo da chave (algoritmo da divis˜ao) . . . 45

3.5.2 Dispositivo pr´atico de Briot-Ruﬃni . . . 46

3.5.3 Exerc´ıcios . . . 47

(5)

Simone D. Ramos 5

4.1 Introdu¸c˜ao . . . 51

4.2 Fun¸c˜ao Polinomial . . . 59

4.3 Fun¸c˜ao Constante . . . 59

4.4 Fun¸c˜ao Linear . . . 60

4.5 Fun¸c˜ao do 1o grau (ou Aﬁm) . . . 61

4.5.1 Exerc´ıcios . . . 63

4.6 Fun¸c˜ao do 2o grau (ou Quadr´atica) . . . 66

4.6.1 Exerc´ıcios . . . 70

4.6.2 Exerc´ıcios Complementares . . . 72

5 Fun¸c˜ao Exponencial 75 5.1 Fun¸c˜ao Logar´ıtmica . . . 78

6 Fun¸cões Trigonométricas 87 6.1 C´ırculo Trigonométrico . . . 87

6.2 Rela¸c˜oes Fundamentais . . . 88

6.3 Rela¸c˜oes Derivadas . . . 89

6.4 Sinais nos Quadrantes . . . 90

6.5 Gráficos . . . 90 6.6 Exerc´ıcios . . . 95 7 Limite 99 7.1 Introdu¸cão . . . 99 7.2 Limite . . . 100 7.3 Limites Infinitos . . . 107 7.4 Limites no infinito . . . 110

(6)

8 Continuidade 113

8.1 Introdu¸c˜ao . . . 113

8.2 Deﬁni¸c˜oes . . . 114

8.3 Teoremas . . . 116

(7)

Cap´ıtulo 1

Conjuntos num´

ericos

1.1 Introdu¸

c˜

ao

Os principais conjuntos num´ericos s˜ao: Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais, Reais e Complexos.

N´umeros Naturais: IN = {0, 1, 2, 3, 4, . . .}

N´umeros Naturais Positivos ou n˜ao-nulos: IN∗ = {1, 2, 3, 4, . . .} N´umeros Inteiros: ZZ = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}

N´umeros Inteiros n˜ao-nulos: ZZ∗ = {. . . , −3, −2, −1, 1, 2, 3, . . .} N´umeros Inteiros n˜ao-negativos: ZZ+ = {0, 1, 2, 3, . . .}

N´umeros Inteiros n˜ao-positivos: ZZ₋ = {. . . , −3, −2, −1, 0} N´umeros Inteiros positivos: ZZ₊∗ = {1, 2, 3, . . .}

N´umeros Inteiros negativos: ZZ₋∗ = {. . . , −3, −2, −1}

Números Racionais (Q): todos os números que podem ser escritos como uma fra¸cão, ou seja, que podem ser representados na forma p

q com p ∈ ZZ e q ∈ ZZ

∗_.

Números Irracionais (I): são aqueles que não são racionais. N´umeros Reais (IR): IR = Q ∪ I

N´umeros Complexos (IC): s˜ao aqueles escritos na forma a + bi, onde a, b ∈ IR e

(8)

o n´umero i ´e deﬁnido por i := √−1.

Exemplo(s) 1.1.1 : √2 + 3i ´e um n´umero complexo. Observa¸c˜ao 1.1.1 : IN ⊂ ZZ ⊂ Q ⊂ IR ⊂ IC e I ⊂ IR. Diagrama de Venn C R I Q Z N

Exec´ıcio(s) 1.1.1 : Classiﬁque cada uma das aﬁrmativas a seguir em Verdadeira (V) ou Falsa (F). 1) 3 ´e natural ( ); 2) 0 ´e natural ( ); 3) -4 ´e natural ( ); 4) -4 ´e inteiro ( ); 5) 7 ´e inteiro ( ); 6) 8/4 ´e inteiro ( ); 7) 1/3 ´e inteiro ( ); 8) 1/3 ´e racional ( );

(9)

Simone D. Ramos 9 9) 8/4 ´e racional ( ); 10) -5 ´e racional ( ); 11) 0,37 ´e racional ( ); 12) 0,555... ´e racional ( ); 13) 0,212121...´e racional ( ); 14) 1,2333... ´e racional ( ); 15) √2 = 1, 4142135 . . . ´e racional ( ); 16) π = 3, 1415926 . . . ´e irracional ( ); 17) e = 2, 7182818 . . . ´e irracional ( ); 18) √3 7 é irracional ( ); 19) √3 8 é irracional ( ); 20) √3 7 é real ( ); 21) 6 ´e real ( ); 22) -8 ´e real ( ); 23) 2/5 ´e real ( ); 24) 1,37 ´e real ( ); 25) 0,321321... ´e real ( ); 26) √−4 é real ( );

(10)

28) Todo inteiro ´e racional ( ); 29) 0, 333333333 . . . ´e racional ( ); 30) Todo racional ´e inteiro ( ); 31) Todo racional ´e real ( ); 32) Todo irracional ´e real ( );

33) Existe um inteiro que ´e irracional ( ); 34) Existe um natural que n˜ao ´e real ( ); 35) Existe um real que n˜ao ´e racional ( );

36) A uni˜ao dos racionais com os irracionais ´e o conjunto dos reais( ).

1.2 A reta num´

erica (ou real)

Observe a reta num´erica: Sobre essa reta, podemos representar n´umeros reais.

0 ₁_{, 4} ₂

−3 −1, 9 −0, 2

B E C D A

F

Por exemplo:

• o ponto A representa o número +2; • o ponto B representa o número −3; • o ponto C representa o número −0, 2;

(11)

Simone D. Ramos 11

• o ponto D representa o n´umero +1, 4; • o ponto E representa o n´umero −1, 9;

• o ponto F representa o n´umero √2 ≃ 1, 4142 . . .(devemos usar aproxima¸c˜oes). Observa¸c˜ao 1.2.1 : Em uma reta num´erica:

• a todo número real corresponde um e só um ponto da reta; • a todo ponto da reta podemos associar um e só um número real.

1.3 Intervalos

Sejam a, b ∈ IR, a < b. Podemos deﬁnir os seguintes tipos de intervalos: 1. (a, b) =]a, b[= {x ∈ IR/a < x < b} (intervalo aberto);

a b

2. [a, b] = {x ∈ IR/a ≤ x ≤ b} (intervalo fechado)

a b

3. [a, b) = {x ∈ IR/a ≤ x < b} (não é aberto e não é fechado);

(12)

4. (a, b] = {x ∈ IR/a < x ≤ b} (não é aberto e não é fechado);

a b

5. (−∞, a) = {x ∈ IR/x < a} (intervalo aberto);

a

6. (−∞, a] = {x ∈ IR/x ≤ a} (intervalo fechado);

a

7. (a, +∞) = {x ∈ IR/x > a} (intervalo aberto);

a

8. [a, +∞) = {x ∈ IR/x ≥ a} (intervalo fechado);

a

(13)

Nas deﬁni¸c˜oes acima, os n´umeros a e b s˜ao denominados extremos dos respectivos intervalos.

Exec´ıcio(s) 1.3.1 : Classiﬁque em verdadeira (V) ou falsa (F), cada uma das aﬁr-mativas a seguir: a) 3 ∈ IN; b) − 4 ∈ IN; c) − 4 ∈ Z; d)8 4 ∈ Z; e) 1 3 ∈ Z; f ) 1 3 ∈ Q; g) − 5 ∈ Q; h) 0, 37 ∈ Q; i) 1, 2333 . . . ∈ Q; j) π = 3, 1415926 . . . ∈ I; k) e = 2, 7182818 . . . ∈ I; l) 6 ∈ R; m) 1, 37 ∈ R; n)√−4 ∈ R.

Exec´ıcio(s) 1.3.2 : Descreva os seguintes intervalos na forma {x/p(x)}: a) (1, 2); b) (1, 2]; c) [1, 2]; d) [1, 2); e) (1, +∞);

f ) [−2, +∞); g) (−∞, 1]; h) (−∞, 0); i) (−∞, +∞). Exec´ıcio(s) 1.3.3 : Se A = [1, +∞[ e B = [0, 5[, obtenha:

(a) A∩B; (b) A∪B; (c) A− B.

1.4 Valor absoluto (ou m´

odulo)

Defini¸c˜ao 1.4.1 : Seja x ∈ IR. O módulo ou valor absoluto de x, representado por |x|, é definido do seguinte modo:

|x| =    x, se x ≥ 0 −x, se x < 0

Observa¸c˜ao 1.4.1 : O m´odulo de um número real é representado geometricamente como a distância desse ”número”à origem na reta numérica.

(14)

0 x a_{) x > 0} |x| = x 0 x |x| = −x b_{) x < 0}

Observa¸c˜ao 1.4.2 : Se x∈ IR, ent˜ao √x2 ₌ |x|.

De fato, se x > 0, √x2 _{= x =}|x| e se x < 0, √_x2 ₌ −x = |x|.

Exec´ıcio(s) 1.4.1 : Resolva, com aux´ılio da interpreta¸cão geométrica de módulo, as equa¸cões e inequa¸cões a seguir:

a) |x| < 2; h) |3x − 5| > −1; b) |x| ≥ 1; i) |3x − 1| < 2; c) |x| = 1; j) |5x + 7| = −1; d) |x| > 5; k) |x2 − 5x + 5| = 1; e) |x| < 1 l) |2x − 1| ≤ 3; f ) |x| ≥ 3; m) |3x − 1| = 2x + 1; g) 1≤ |x| ≤ 3; n) |x − 3| < 0; o) |2x − 1| = |4x + 3| Respostas: 1.1.1: Falsas (3), (7), (15), (19), (26), (30), (33) e (34). 1.3.1: Falsas: (b), (e) e (n). 1.3.2:                        (a){x ∈ IR \ 1 < x < 2} (f ){x ∈ IR \ x ≥ −2} (b){x ∈ IR \ 1 < x ≤ 2} (g){x ∈ IR \ x ≤ 1} (c){x ∈ IR \ 1 ≤ x ≤ 2} (h){x ∈ IR\ < 0} (d){x ∈ IR \ 1 ≤ x < 2} (i)IR ou {x \ x ∈ IR} (e){x ∈ IR \ 1 < x < 2}

(15)

Simone D. Ramos 15 1.4.1:                                          a) S ={x ∈ IR/ − 2 < x < 2} = (−2, 2); h) S = IR; b) S = (−∞, −1]∪[1, +∞); i) S = (−1 3, 1); c) S ={−1, 1} j) S =∅ = {}; d) S = (−∞, −5)∪(5, +∞); k) S = {1, 2, 3, 4}; e) S = (−1, 1); l) S = [−1, 2]; f ) S = (−∞, −3]∪[3, +∞); m) S = {0, 2}; g) S = [−3, −1]∪[1, 3]; n) S = ∅ = {}. o) S = {−2, −1 3}

(16)

(17)

Cap´ıtulo 2

Conceitos B´

asicos de Geometria

2.1 Areas de superf´ıcies planas

´

2.1.1 Retˆangulo

Na ﬁgura abaixo, considere as medidas da base e da altura do retˆangulo denotadas por b e h respectivamente.

b

h

A

(

´area)= b · h

2.1.2 Quadrado

Seja l a medida do lado do quadrado na ﬁgura abaixo.

(18)

l

A

(´area)= l

2

2.1.3 Paralelogramo

Na ﬁgura abaixo, sejam b e h as medidas da base e da altura do paralelogramo respectivamente.

b

h

A

(

´area)= b · h

2.1.4 Triˆangulo

Considere b e h as respectivas medidas da base e da altura do triˆangulo abaixo.

b

A _(´area)= b·h 2

(19)

Observa¸c˜ao 2.1.1 Triˆangulo equil´atero

Como h = l √ 3 2 , temos: l

A

_(´area)=

l

2

_√3

4

h l l l 2 2.1.5 Losango

Sejam D e d as respectivas medidas das diagonais maior e menor do losango abaixo. Como a área do losango é quatro vezes a área do triângulo retângulo de catetos D 2 e d 2, temos: D

A (´area)=

D · d

2

d d/2 D/2 2.1.6 Trap´ezio

Considere, no trap´ezio abaixo, as bases maior e menor denotadas por B e b respec-tivamente e a altura por h.

(20)

B h

b

Como a área do trapézio é igual à soma das áreas de dois triˆangulos, um de base B e altura h, e outro de base b e altura h, temos:

A(´area) = (B + b)h 2 2.1.7 C´ırculo

Considere abaixo a circunferˆencia γ de centro O e raio R.

O R

γ

A

_{(´area) = π · R}

2

2.1.8 Coroa Circular

Dadas duas circunferˆencias concˆentricas de raios r e R, com r < R, chama-se coroa circular ao conjunto dos pontos pertencentes ao c´ırculo de raio R e n˜ao-internos ao c´ırculo de raio r. R e r denotam as medidas dos raios externo e interno da coroa circular respectivamente.

(21)

Simone D. Ramos 21 O

A

_{(´area) = π · (R}

2

₋

r

2

₎

R r 2.1.9 Exerc´ıcios

1. Calcule a área de um retângulo cujas dimensões são 3m e 4m.

2. Calcule as dimensões de um retângulo, sabendo que a área ´e igual a 48 m2 e a base é igual ao triplo da altura.

3. Calcule a ´area do retˆangulo abaixo:

5 13

4. Um terreno retangular tem 8, 4 m por 5 m e est´a sendo gramado. Sabendo que um quilo de semente de grama ´e suficiente para gramar 3 m2 de terreno, quantos quilos de semente de grama são necessários para gramar o terreno todo?

5. Qual ´e a ´area de um quadrado que tem 2√3 m de lado?

6. Determine a ´area de um quadrado, cuja a diagonal mede 6√2 m. 7. A ´area de um quadrado mede 96 cm2. Quanto mede o seu lado?

8. Na ﬁgura abaixo ABCD ´e um quadrado cujo lado mede 4 cm. Calcule a ´area assinalada.

(22)

A B

C D

9. Determine o raio de um c´ırculo, cuja a ´area mede 25π m2.

10. Num triângulo retˆangulo, a hipotenusa mede 15 cm e um dos catetos mede 12 cm. Calcule a ´area desse triângulo retângulo.

11. Calcule a ´area de um triˆangulo equil´atero de lado 12 cm.

12. Qual ´e a ´area de um trap´ezio, cujas bases medem 12 m e 4 m e cuja altura mede 7 m?

13. No trapézio da figura, a área ´e 26 m2. Calcule a medida da base DC.

A B

D C

4 cm 5 cm

14. Calcule a área do trapézio da figura abaixo:

5 m 2 m

(23)

15. Calcule a ´area do losango abaixo:

A B C D 10 m 16 m

16. Calcule a ´area representada abaixo:

4 m

1 m

1,5 m 3 m

17. Calcule a ´area assinalada abaixo:

3 cm

(24)

19. Calcular a área de um c´ırculo cujo comprimento de sua circunferência é de 20π cm.

20. A ´area de um trap´ezio ´e 600 cm2 e a base maior mede 30 cm. Calcular a medida da base menor, sabendo que a altura mede 24 cm.

21. Calcular a área da figura sombreada no gráfico abaixo:

1 2

3 4 4

0

22. As dimensões de um terreno retangular estão na raz˜ao 5/8. Qual o valor da menor dimensão, sabendo-se que a área do terreno ´e de 1000 m2?

23. Calcule a ´area do quadrado MNPQ abaixo:

A M _B C D _P Q N 7 cm 1 cm 7 cm 7 cm 7 cm 1 cm 1 cm 1 cm

(25)

Simone D. Ramos 25 A _B C D _P Q N M 1 cm 1 cm 1 cm 1 cm

25. Calcule a ´area de uma coroa circular delimitada por circunferˆencias de raios 6 cm e 10 cm. 2.1.10 Respostas 1) 12m2 6) 36 m2 11) 36√3 cm2 16) 9 m2 21) 4, 5 u.m.a. 2) 4 m e 12 m 7) 4√6 cm 12) 56 m2 17) 9(1− π₄) cm2 22) 25 m e 40 m 3) 60 m2 8) (16− 4π) cm2 13) 8 cm 18) 9√3 cm2 23) 50 cm2 4) 14 kg 9) 5 cm 14) 12 m2 19) 100π cm2 24) (4− π) cm2 5) 12 m2 10) 54 cm2 15) 96 m2 20) 20 cm 25) 64π cm2

(26)

2.2 Volume de S´

olidos

2.2.1 Paralelep´ıpedo retˆangulo

Na figura abaixo,sejam a,b e c as dimens˜oes do paralelep´ıpedo retângulo (isto é, as medidas das arestas).

a

b

c V_{(volume) = a · b · c}

2.2.2 Cubo

Considere a medida da aresta do cubo ilustrado abaixo denotada por a.

a

a a

(27)

2.2.3 Cilindro circular reto (ou de revolu¸c˜ao)

Na ﬁgura abaixo, sejam r e h as medidas do raio da base e da altura respectivamente.

r

h O

V

_{(volume) = π · r}

2

_·

h

2.2.4 Cone circular reto (ou de revolu¸c˜ao)

Considere o cone circular reto ilustrado abaixo de raio r e altura h.

h r O

V

_{(volume) =}

1

3 πr

2

· h

2.2.5 Esfera

(28)

R R V_{(volume) =} 4 3 ·π ·R 3 O 2.2.6 Exerc´ıcios

1. Determine o volume de um paralelep´ıpedo retˆangulo de dimens˜oes 4 cm, 5 cm e 8 cm.

2. Determine o volume de um cubo de aresta 2 cm.

3. Determine o volume de um cubo, sabendo-se que a ´area de uma das faces ´e 16 m2.

4. Determine a aresta de um cubo, cujo volume mede 8 cm3.

5. Determine o volume de um cilindro circular reto cujo raio da base mede 3 cm e a altura 5 cm.

6. Determine o volume de um cone circular reto sabendo-se que o raio da base ´e de 4 cm e altura ´e de 6 cm.

7. Determine a altura de um cilindro circular reto sabendo-se que o raio da base ´

e o dobro da altura e o seu volume ´e igual a 32π m3. 8. Determine o volume de uma esfera de raio igual a 3 cm.

(29)

Simone D. Ramos 29 2.2.7 Respostas 1) 160 cm3 4) 2 cm 7) 2 m 2) 8 cm3 5) 45π cm3 8) 36π cm3 3) 64 m3 6) 32π cm3 9)√3 15 m

(30)

(31)

Cap´ıtulo 3

Express˜

oes alg´

ebricas

3.1 Introdu¸

c˜

ao

As expressões matemáticas que apresentam números e letras são chamadas expressões literais ou algébricas.

Exemplo(s) 3.1.1 : a) 2x + 7; b) a− 5b + 3z; c) 8x2 + 7 a − 6b 2_y3_; d) 5x3 − 7x2 + 5x 3 − ab 2 .

Observe que, no último exemplo acima, os termos algébricos são: • 5x3 _{com coeficiente (parte num´}_{erica) 5 e parte literal x}3_; • −7x2 _{com coeficiente -7 e parte literal x}2_;

• 5x 3 com coeﬁciente 5 3 e parte literal x; • −ab 2 com coeﬁciente − 1

2 e parte literal ab.

(32)

3.2 Fun¸

c˜

ao polinomial (ou ”polinˆ

omio”)

3.2.1 Deﬁni¸c˜ao

Uma fun¸cão polinomial é uma fun¸cão do tipo P : IR → IR

x 7→ P (x) = anxn+ an−1xn−1 +· · · + a1x + a0,

onde a0, a1,· · · , an ∈ IR com an ̸= 0 (coeﬁcientes) e n ∈ IN (grau do polinˆomio).

3.2.2 Valor num´erico

O valor num´erico de um polinˆomio P (x) para x = a ´e o n´umero real P (a). Quando P (a) = 0, dizemos que a ´e uma ra´ız de P (x).

Exemplo(s) 3.2.1 (a) P (x) = 2x3 − x2 + 3x + 1 ⇒    a3 = 2, a2 = −1, a1 = 3, a0 = 1 e n = 3 P (0) = 1 e P (−1) = −2 − 1 − 3 + 1 = −5 (b) P (x) = 3x− 2 ⇒    a1 = 3, a0 = −2 e n = 1 P (5) = 15− 2 = 13 e P (2/3) = 0. (c) P (x) = −5 + 10x5 + 5x10 ⇒                a10 = 5, a9 = a8 = a7 = a6 = 0, a5 = 10, a4 = a3 = a2 = a1 = 0, a0 = −5 e n = 10. P (0) = −5, P (1) = −5 + 10 + 5 = 10 e P (−1) = −5 − 10 + 5 = −10.

(33)

3.2.3 Opera¸c˜oes

• Adi¸cão (subtra¸cão) e multiplica¸cão

Exemplo(s) 3.2.2 : f (x) = −2x4 + 3x2 + x − 1, g(x) = 3x2 + x − 3 e h(x) = 2x3 − 3x2 − x + 3. Vamos calcular: (i) f (x) + g(x) (ii) h(x)− g(x) (iii) g(x)· f(x) (i) f (x) + g(x) = −2x4 + 3x2 + x− 1 + 3x2 + x− 3 = −2x4 + 3x2 + 3x2 + x + x− 1 − 3 = −2x4 + 6x2 + 2x− 4 (ii) h(x)− g(x) = 2x3 − 3x2 − x + 3 − (3x2 + x− 3) = 2x3 − 3x2 − x + 3 − 3x2 − x + 3 = 2x3 − 3x2 − 3x2 − x − x + 3 + 3 = 2x3 − 6x2 − 2x + 6 (iii) g(x)· f(x) = (3x2 + x− 3) · (−2x4 + 3x2 + x− 1) = −6x6 + 9x4 + 3x3 − 3x2 − 2x5 + 3x3 + x2 − x + 6x4 − 9x2 − 3x + 3 = −6x6 − 2x5 + 9x4 + 6x4 + 3x3 + 3x3 − 3x2 + x2 − 9x2 − x − 3x + 3 = −6x6 − 2x5 + 15x4 + 6x3 − 11x2 − 4x + 3 3.2.4 Exerc´ıcios

1. Dados os polinˆomios

A(x) = 2x3 − x + 2 B(x) = x2 + x + 1 e C(x) = 3x− 1

(34)

Calcule: a) A(x) + B(x); e) A(x)· B(x); b) A(x) + C(x)− B(x); f ) [A(x) + B(x)]· C(x); c) A(x)· C(x); g) [A(x)− 2x · B(x)] · [B(x) + C(x)]. d) B(x)· C(x); 2. Sendo P (x) = x3 + 2x− 1, calcule [P (x)]2. 3. Se A(x) = x2 − 3x, determine:

a) A(x + 1); b) A(2− x); c) [A(x− 1)]2. 4. Qual ´e o grau dos polinˆomios seguintes?

(a) f (x) = 5x3 + 2x (b) g(x) = 9x2 + 2− 3x5

(c) h(x) = 10x + 5 (d) i(x) = 52

(e) j(x) = 4x + 10x15

5. Dado o polinˆomio f (x) = 2x3+ 2x2− 2x + 2, calcule o seu valor num´erico para: (a) x = 0; (b) x = −1; (c) x = 2; (d) x = 1/2.

6. Determine o valor de k de modo que os polinˆomios abaixo tenham uma raiz igual a 1.

(a) f (x) = (k + 2)x2 + 5k; (b) h(x) = (2k + 1)− kx + (7 + k)x2.

7. Determine o valor de k de modo que 0 seja raiz do polinˆomio f (x) = 2k − x3 + x + kx2.

(35)

8. Determine um polinˆomio cujas ra´ızes s˜ao 2, -1 e 3.

9. Dados os polinˆomios f (x) = x2 + 1, g(x) = 2x + 3 e h(x) = −x2 + x, calcule: (a) f (x) + g(x) + h(x)

(b) f (x)− g(x) (c) h(x)− f(x)

(d) f (x)− g(x) + h(x)

10. Efetue os seguintes produtos: (a) (−x3 + 2x2 + 1)· (2x + 3) (b) (4x2 + 3x + 5)· (−x − 4) (c) (x3 + 7x)· (−x2 − 2x) Respostas: 1. a) 2x3 + x2 + 3; b) 2x3 − x2 + x; c) 6x4 − 2x3 − 3x2 + 7x− 2; d) 3x3 + 2x2 + 2x− 1; e) 2x5 + 2x4 + x3 + x2 + x + 2; f ) 6x4 + x3 − x2 + 9x− 3; g) −2x4 − 11x3 − 10x2 + 8x. 2. x6 + 4x4 − 2x3 + 4x2 − 4x + 1. 3. a) x2 − x − 2; b) x2 − x − 2;

(36)

c) x4 − 10x3 + 33x2 − 40x + 16. 4. (a) 3; (b) 5; (c) 1; (d) 0; (e) 15 5. (a) 2; (b) 4; (c) 22; (d) 7/4 6. (a) − 1/3 (b) − 4 7. k = 0 8. f (x) = x3 − 4x2 + x− 6 9. (a) 3x + 4; (b) x2 _{− 2x − 2; (c) − 2x}2 _{+ x}_{− 1; (d) − x − 2} 10. (a) −2x4 + x3 + 6x2 + 2x + 3 (b) −4x3 − 19x2 − 17x − 20 (c) −x5 − 2x4 − 7x3 − 14x2

3.3 Fatora¸

c˜

ao de express˜

oes polinomiais

Existem produtos de polinômios que aparecem freqüentemente nos cálculos com expressões algébricas. Tais produtos podem ser obtidos a partir de certas regras e são chamados produtos notáveis:

(i) Quadrado da soma de dois termos: (x + a)2 = x2 + 2ax + a2 (ii) Quadrado da diferen¸ca de dois termos: (x − a)2 = x2 − 2ax + a2 (iii) Produto da soma de dois termos pela sua diferen¸ca:

(x + a)(x− a) = x2 − a2

(iv) Cubo da soma de dois termos: (x + a)3 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3 (v) Cubo da diferen¸ca: (x − a)3 = x3 − 3x2a + 3xa2 − a3

(37)

3.3.1 Exerc´ıcio

Demonstre os produtos not´aveis dados acima.

Observa¸c˜ao 3.3.1 : Devemos notar que, em geral, (x± a)2 ̸= x2 ± a2

(x± a)3 ̸= x3 ± a3 = (x± a)(x2 ∓ ax + a2).

A seguir, definiremos, para expressões algébricas, o conceito de fatora¸cão análogo ao conceito conhecido para números.

Defini¸c˜ao 3.3.1 : Fatorar uma express˜ao algébrica é escrevê-la como um produto de expressões.

Principais casos de fatora¸c˜ao: Caso 1: Fator comum (em evidˆencia)

• 3x + 3y = 3(x + y)

• 9a2_x_{− 12a}2 _{= 3a}2_(3x_{− 4)}   

parte num´erica: M.D.C.(9, 12) = 3 parte literal: a2 Caso 2: Agrupamento • ax + ay| {z } +bx + by| {z } = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b) 1ogrupo 2ogrupo ↖↗ fator comum • 2x 2 _{− 4ax}

| {z } −3xy + 6ay| {z } = 2x(x− 2a) − 3y(x − 2a) = (x − 2a)(2x − 3y)

fator comum:2x fator comum:-3y

Caso 3: Trinˆomio quadrado perfeito • x2 _{+ 2ax + a}2 _{= (x + a)}2

(38)

• x2 − 2ax + a2 _{= (x}− a)2 Caso 4: Diferen¸ca de dois quadrados

• x2 _{− a}2 _{= (x + a)(x}_{− a)}

Caso 5: Soma ou diferen¸ca de dois cubos • x3 _{± a}3 _{= (x}_{± a)(x}2 _{∓ ax + a}2₎

Caso 6: Trinˆomio do 2o grau do tipo x2 + (m + n)x + mn • x2 _{+ (m + n)x + mn = (x + m)(x + n)}

Caso 7: Casos de fatora¸c˜ao simultˆaneos.

• 5x4 _{− 45x}2 _{= 5x}2_(x2 _{− 9) = 5x}2_{(x + 3)(x}_{− 3)}

• 4x4 _{− 16x}3_{y + 16x}2_y2 _{= 4x}2_(x2 _{− 4xy + 4y}2_{) = 4x}2_(x_{− 2y)}2

3.3.2 Exerc´ıcios

Fatore cada uma das express˜oes abaixo: a) 9xy + 12ab; b) 7x3y − 21x3z; c) 20a2b + 5ab; d) px + py; e) 3x(a + b)− 5y(a + b); f ) am + na + bm + bn; g) 10ax + 5ay + 6bx + 3by;

(39)

Simone D. Ramos 39 h) x4 + x3b + ax + ab; i) x2 − 2bx2 − 5a + 10ab; j) x2 − 3ax − 3ax + 9a2; k) 9a2 − 6a + 1; l) 25x2 − 10x + 1; m) 4a4 + 4a2x + x2; n) a2x4 − 2ab2x2y + b4y2; o) x2 + 6xy + 9y2; p) x2 + 9x + 14; q) y2+ 4y + 3; r) m2 − 8m + 7; s) y2 + 3y − 28; t) x2 + (a + b)x + ab; u) 9a2 − 16; v) 27x3 − 8; x) 125 + x3; z) x3 + 1.

(40)

Respostas:

a) 3(3xy + 4ab); h) (x3 + a)(x + b); b) 7x3(y − 3z); i) (1− 2b)(x2 − 5a); c) 5ab(4a + 1); j) (x− 3a)2; d) p(x + y); k) (3a− 1)2; e) (a + b)(3x− 5y); l) (5x− 1)2; f ) (m + n)(a + b); m) (2a2 + x)2; g) (2x + y)(5a + 3b); n) (ax2 − b2y)2; o) (x + 3y)2; t) (x + a)(x + b); p) (x + 7)(x + 2); u) (3a− 4)(3a + 4); q) (y + 3)(y + 1); v) (3x− 2)(9x2 + 6x + 4); r) (m− 7)(m − 1); x) (5 + x)(25− 5x + x2); s) (y + 7)(y − 4); z) (x + 1)(x2 − x + 1).

3.4 Simpliﬁca¸

c˜

ao de express˜

oes racionais

Fra¸cões algébricas ou expressões racionais são expressões algébricas que têm a forma de uma fra¸cão, em que o numerador e o denominador são polinômios, sendo que o denominador não é um termo independente de variáveis.

Exemplo(s) 3.4.1 : a) 1 2x b) x + 1 x− 3 c) x2 − y2 x + y Note que, a fra¸c˜ao x

2 _{− y}2

x + y pode ser simpliﬁcada do seguinte modo: x2 − y2

x + y =

(x− y)(x + y)

(x + y) = x− y. De modo geral:

(41)

Para simplificar fra¸cões algébricas:

• decompomos o numerador e o denominador em fatores; • cancelamos os fatores comuns.

Observa¸c˜ao 3.4.1 : Uma fra¸cão algébrica só tem sentido se o denominador não for nulo. Então, os fatores desse denominador também não são nulos e podem ser cancelados quando a fra¸cão for simplificável.

3.4.1 Exerc´ıcios

1. Simplifique as seguintes fra¸cões algébricas: a)ax + a− x − 1 x2 − 1 ; h) x3 + 3x2 − 10x x3 − x2 − 2x ; b) 15x 2 _{− 15y}2 6x2 _{+ 12xy + 6y}2; i) mx + m− x − 1 m2 − 1 ; c)5a 2 _{+ 10ab} 15ab ; j) x2 − 4xy + 4y2 x2 − 4y2 ; d)7x 2_y3 _{− 21x}3_y5 7x2_y3 ; k) ( x2 m2 − m2 x2 ) : (_x m + m x ) ; e)a 2 _{− 2a + 1} a2 − 1 ; l) x− 4 9− y2 x2 − 16 3− y ; f ) 4x 2 _{− 8xy} x2 − 4xy + 4y2; m) m + n x + 1 m2 − n2 2x + 2 ; g)(a + b) 2 − (a2 − b2₎ 3ax3 _{+ 3bx}3 ; n) 1− 1 1 + 1 x .

(42)

2. Efetue e simpliﬁque: a) x 2 _{− 16} x2 _{+ 2x + 1} · x + 1 x2 − 5x + 4; b) x3 − 1 x2 _{+ 1} x2 − 1 x4 _{+ 2x}2 _{+ 1} ; c) x− 5 x2 _{+ 5x} · x2 25− 5x; d) x 4 − a4 x− a · x + a x2 _{+ a}2; e) x 6 _{− y}6 x4−xy3 y4_+x3_y ;

(43)

Simone D. Ramos 43 Respostas: 1. a) a− 1 x− 1; h) x + 5 x + 1; b)5(x− y) 2(x + y); i) x + 1 m + 1; c)a + 2b 3b ; j) x− 2y x + 2y; d) 1− 3xy2; k)x 2 _{− m}2 mx ; e)a− 1 a + 1; l) 1 (3 + y)(x + 4); f ) 4x x− 2y; m) 2 m− n; g) 2b 3x3; n) 1 x + 1. 2. a) x + 4 (x + 1)(x− 1); d) (x + a) 2_; b)(x 2 _{+ x + 1)(x}2 _{+ 1)} x + 1 ; e) y(x3 + y3)2 x . c) − x 5(x + 5);

3.5 Divis˜

ao de polinˆ

omios

11 4

2 3

Obs. _:

(44)

D(x) d(x)(6= 0) R(x) Q(x) dividendo divisor resto quociente Observa¸c˜ao 3.5.1 :

(i) grau de D(x) ≥ grau de d(x) (ii) grau de R(x) < grau de d(x) (iii) D(x) = d(x)· Q(x) + R(x)

(iv) grau D(x) = grau de d(x) + grau de Q(x)

(45)

3.5.1 M´etodo da chave (algoritmo da divis˜ao)

Exemplo(s) 3.5.1 : (i) x3 + 2x2 − x − 3 x2 − 2x − 3 x+ 4 −x 3 + 2x2 + 3x 4x2 + 2x − 3 −4x 2 + 8x + 12 10x + 9 Q(x) = x + 4 R(x) = 10x + 9 Assim, (ii) x4 − 3x 2 + 5 x2 − 2x + 1 x2 + 2x −x 4 + 2x3 − x 2 2x3 − 4x 2 + 5 −2x 3 + 4x2 − 2x −2x + 5 Assim, Q(x) = x2 + 2x R_{(x) = −2x + 5}

Observa¸c˜ao 3.5.2 : Al´em do método acima, existe o Método de Descartes (ou método dos coeficientes a determinar) que se baseia na análise dos graus dos po-linômios e utiliza a resolu¸cão de sistemas lineares.

Teorema 3.5.1 (Teorema do resto):

d(x) = x− a ⇒ R(x) = D(a) Em geral, d(x) = ax− b ⇒ R(x) = D(b/a).

Exemplo(s) 3.5.2 : Calcule o resto da divis˜ao de P (x) = x2 − 3x + 1 por: (a) x − 1 ⇒ R = P (1) = 1 − 3 + 1 = −1

(46)

(b) x + 1 ⇒ R = P (−1) = 1 + 3 + 1 = 5 (c) 2x− 1 ⇒ R = P (1/2) = 1 4/1 − 3 2/2 + 1 1/4 = 1− 6 + 4 4 = − 1 4

Teorema 3.5.2 (Teorema de D´Alembert): D(x) tem um fator x−a se, e somente

se, D(a) = 0 (ou seja, a divis˜ao de D(x) por x − a ´e exata se, e somente se, D(a) = 0).

Exemplo(s) 3.5.3 : Podemos fatorar D(x) = 3x2 + 7x − 20 dividindo pelo fator x + 4, j´a que D(−4) = 0. Assim, 3x2 + 7x_{− 20} x+ 4 3x_{− 5} −3x2 − 12x −5x − 20 5x + 20 0 Logo, D(x) = 3x2 + 7x− 20 = (x + 4)(3x − 5)

3.5.2 Dispositivo pr´atico de Briot-Ruﬃni ´

E um esquema que simplifica os cálculos usados no método de Descartes para a obten¸cão do quociente Q(x) e o resto R da divisão de D(x) por x− a.

Exemplo(s) 3.5.4 : Dividir D(x) = 2x4 − 3x3 + x− 4 por d(x) = x + 2.

2 −3 0 1 −4 −2 2 −7 14 −27 50 coef. de D(x) resto raiz de d(x) coef. de Q(x)

(47)

Simone D. Ramos 47 De fato, 2× (−2) − 3 = −7 (2ocoef.) −7 × (−2) + 0 = 14 (3o coef.) 14× (−2) + 1 = −27 (4ocoef.) −27 × (−2) − 4 = 50 (resto.) logo, Q(x) = 2x3 − 7x2 + 14x− 27 e R = 50. Em geral: se D(x) = anxn + an−1xn−1+ · · · + a1x + a0 e d(x) = x− a, temos: a1 a0 a b_n−1 b_n−2 _{· · ·} b0 R resto coef. de Q(x) an a_n−1 · · · onde b_n−1 = an b_n−2 _{= a · b}_n−1+ a_n−1 · · · · b0 = a · b1 + a1 R _{= a · b}0 + a0 3.5.3 Exerc´ıcios

1. Efetue a divisão dos seguintes polinômios pelo método da chave: (a) x3 − 5x2 − 4x + 2 e x − 3

(b) x5 − 3x2 + 6x− 1 e x2 + x + 1 (c) x10+ x5 + 1 e x2 + x + 1

2. Efetue a divisão dos seguintes polinômios pelo dispositivo de Briot-Ruffini: (a) 3x2 − 7x + 3 e x − 2

(48)

(b) 9x2 − 33x + 37 e −x + 7 (c) 2x2 + 13x− 27 e x + 6

3. Determine, sem efetuar a divis˜ao, o resto da divis˜ao de: (a) x6 − x4 + x2 − 1 por x − 1/2

(b) x8 + 1 por 2x− 4 (c) x2 + x + 1 por x + 1

4. Determine k ∈ lR, de modo que:

(a) x3 + 5x2 + kx + 1 seja divis´ıvel por x− 1

(b) 2x3 + kx2 − (2k + 1)x − 13k + 3 seja divis´ıvel por x + 4 (c) x142 + k seja divis´ıvel por x + 1

5. Dividindo-se um polinˆomio P (x) por x−3, resulta um resto de -7 e um quociente de x− 4. Qual ´e P (x)?

6. Calcule a, de modo que dividindo-se f (x) = 4x3 + ax2 − 3x + 4 por x − 2 seja obtido resto 4.

7. Dividindo o polinômio P (x) = x3 + x2+ x + 1 pelo polinômio Q(x), obtemos o quociente S(x) = 1 + x e o resto R(x) = x + 1. O polinômio Q(x) satisfaz a:

(a) Q(2) = 0 (b) Q(3) = 0 (c) Q(0) ̸= 0 (d) Q(1) ̸= 0 (e) n.d.a.

(49)

8. O polinˆomio x3 + px + q ´e divis´ıvel por x2 + 2x + 5. Os valores de p e q s˜ao respectivamente: (a) 2 e 5 (b) 5 e 2 (c) 1 e 5 (d) 1 e -10 (e) 3 e 6

9. Um polinômio f, dividido por x− 1 e x + 3, dá restos -2 e 1, respectivamente. O resto da divisão de f por (x− 1)(x + 3) é:

(a) −3 4 x− 5 4 (b) −3 4 x + 5 4 (c) 3 4x− 5 4 (d) 3 2x + 5 2 (e) 3 2x− 5 2 Respostas: 1. (a) Q(x) = x2 − 2x − 10 e R(x) = −28 (b) Q(x) = x3 − x2 − 2 e R(x) = 8x + 1 (c) Q(x) = x8 − x7 + x5 − x4 + x3 − x + 1 e R(x) = 0 2. (a) Q(x) = 3x− 1 e R = 1 (b) Q(x) = −9x − 30 e R = 247 (c) Q(x) = 2x + 1 e R(x) = −33

(50)

3. (a) −51 64 ; (b) 257; (c) 1 4. (a) k = −7; (b) k = 11; (c) k = −1 5. P (x) = x2 − 7x + 5 6. a = −13 2 7. (d); 8. (d); 9. (a)

(51)

Cap´ıtulo 4

Fun¸

c˜

oes Reais de uma vari´

avel real

4.1 Introdu¸

c˜

ao

Defini¸c˜ao 4.1.1 : Sejam A e B conjuntos. Seja f uma rela¸c˜ao de A em B. Supo-nhamos que:

(i) Dom f(dom´ınio de f )= A; (ii) Im f(imagem de f )⊂ B;

(iii) Cada elemento x ∈ A est´a associado a um ´unico elemento y ∈ B.

Dizemos, então que f é uma fun¸cão de A em B e B é chamado o contradom´ınio da f.

Nota¸c˜ao: f : A −→ B

x 7−→ y = f(x)

Além disso, o gráfico da fun¸cão f é definido por:

Graf f := {(x, y) ∈ A × B/y = f(x)}.

Defini¸c˜ao 4.1.2 : Se A ⊂ IR e B ⊂ IR, então f é dita uma fun¸cão real de uma

vari´avel real.

(52)

Exec´ıcio(s) 4.1.1 :

1. Determine o dom´ınio e a imagem das seguintes fun¸c˜oes: a) f (x) = x2 f ) y = √x b) f (x) = 1 x2 g) F (x) = x x2 c) h(x) = √4− x2 _{h) M (x) =} x 2 _{+ 2x + 1} x + 1 d) k(x) = 1 x i) T (x) = 1 x + 1 e) y = √x− 1 j) G(x) = x− 1 x2 − 1

2. Esboce o gráfico e encontre o dom´ınio e a imagem das fun¸cões abaixo:

a) f (x) =          2; x ≤ −1 −2; −1 < x < 1 3; x ≥ 1 b) f (x) =    x + 5; x ̸= 2 1; x = 2

3. Dado o conjunto A = {1, 2, 5, 7, 8}, determine:

(a) o conjunto A2 = A× A e sua representa¸cão gráfica. (b) o subconjunto W = {(x, y) ∈ A2/x < y}.

(c) o subconjunto Z = {(x, y) ∈ A2/y = 2x + 3}. (d) o subconjunto T = {(x, y) ∈ A2/x− y = 4}. 4. Dada a fun¸c˜ao f (x) = 7x− 3, com D = lR, obtenha:

(a) f (2); (d) f (−1); (g) f ( −1 3 ) ; (b) f (6); (e) f (√2); (h) f (a + b). (c) f (0); (f ) f ( 1 2 ) ;

(53)

(a) f (3); (c) o valor de x tal que f (x) = 49; (b) f (−4); (d) o valor de x tal que f (x) = −10.

6. Dada a fun¸c˜ao f (x) = mx + 3, determine m sabendo-se que f (1) = 6.

7. Fa¸ca o gráfico da fun¸cão f (x) = 2x + 1, com dom´ınio D = {0, 1, 2, 3, 4}. Qual o conjunto imagem?

8. Fa¸ca o gráfico da fun¸cão f (x) = x2, sendo D = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}. Qual o conjunto imagem?

9. Qual o gráfico da fun¸cão f (x) = 3, sendo D = lR?

10. Esboce o gráfico da fun¸cão f, de dom´ınio D = lR, dada por:

f (x) =    1, se x ≥ 0 −1, se x < 0

(54)

Respostas: 1.

a) Dom f = IR e Im f = IR+; f ) Dom y = [0, +∞) e Im y = [0, +∞); b) Dom f = IR∗ e Im f = IR∗₊; g) Dom F = IR∗ e Im F = IR∗;

c) Dom h = [−2, 2] e Im h = [0, 2] h) Dom M = IR− {−1} e Im M = IR∗ d) Dom k = IR∗ e Im k = IR∗; i) Dom T = IR− {−1} e Im T = IR∗;

e) Dom y = [1, +∞]eIm y = [0, +∞); j) Dom G = IR − {−1, +1} e Im G = IR − {0, 1/2}. 2. a) Dom f = IR e Im f = {−2, 2, 3}; b) Dom f = IR e Im f = IR− {7}. 3. (a) {(1, 1), (1, 2), (1, 5), (1, 7), (1, 8), (2, 1), (2, 2), (2, 5), (2, 7), (2, 8), (5, 1), (5, 2), (5, 5), (5, 7), (5, 8), (7, 1), (7, 2), (7, 5), (7, 7), (7, 8), (8, 1), (8, 2), (8, 5), (8, 7), (8, 8)} (b) {(1, 2), (1, 5), (1, 7), (1, 8), (2, 5), (2, 7), (2, 8), (5, 7), (5, 8), (7, 8)} (c) {(1, 5), (2, 7)}; (d) {(5, 1)}. 4. (a) 11; (b) 39; (c) − 3; (d) − 10; (e) 7√2− 3; (f) 1/2; (g) − 16/3; h) 7(a + b) − 3. 5. (a) 3; (b) − 11; (c) 26; (d) − 7/2. 6. m = 3

(55)

Simone D. Ramos 55 7. x y 1 2 3 4 9 7 5 3 1 O Figura 4.1: Im(f ) ={1, 3, 5, 7, 9} 8. -3 -2 -1 0 1 2 3 1 4 9 x y Figura 4.2: Im(f ) ={0, 1, 4, 9}

(56)

9. x y O 3 10. y x 1 −1 0

Observa¸c˜ao 4.1.1 : Sabemos que um dos requisitos que uma rela¸cão deve satis-fazer para ser uma fun¸cão é que a cada elemento x, pertencente ao dom´ınio, deve corresponder um único y, pertencente a imagem. Esta propriedade, interpretada num gráfico, significa que qualquer reta vertical intercepta o gráfico de uma fun¸cão no máximo em um ponto. Observe os gráficos abaixo:

(57)

Simone D. Ramos 57 y x f 0 fe gr´´ af ico de f unc˜ao a) y x f b)

f não é gráf ico de f uncão 0 x0 y1 y2 y x 0 0 f c) fé gráf ico de f uncão

Defini¸c˜ao 4.1.3 : Duas fun¸cões f e g são iguais se, e somente se, as seguintes condi¸cões são satisfeitas:

(i) Dom f = Dom g; (ii) Im f = Im g;

(iii) Contradom f = Contradom g; (iv) ∀x ∈ Dom f, f(x) = g(x).

Exemplo(s) 4.1.1 : Note que, dentre as fun¸cões do exerc´ıcio 3.1.1, a igualdade é válida apenas para as fun¸cões k e F.

Exec´ıcio(s) 4.1.2 1. Sendo f (x) = (x− 3)3, calcule:

a) f (2); b) f (0); c) f (−2); d) − f(−1); e) f (2x + 1). 2. Dado f (x + 1) = x + 1

x− 1, determine o valor de f (3). 3. Considere a fun¸c˜ao f : lR −→ lR tal que

f (x) =    1, se x ´e racional −1, se x ´e irracional Determine: f (1/2), f (π), f (2, 1313 . . .) e f (√2).

(58)

4. Considere a fun¸c˜ao f : lR −→ lR deﬁnida por f (x) =          3x− 1, se x > 3 x2 − 2, se − 2 ≤ x ≤ 3 2x + 3, se x < −2 Determine:

i) f (2); ii) f (0); iii) f (−1); iv) f (−3).

5. Qual dos seguintes gráficos define uma fun¸cão:

6. Uma fun¸c˜ao f associa a cada n´umero natural n a raiz quadrada positiva do menor quadrado perfeito maior que n. Calcule f (10) + f (15) + f (25).

RESPOSTAS:

1) a) − 1; b) − 27; c) − 75; d) 64; e) (2x − 2)3.

2) 3; 3) f (1/2) = 1, f (π) = −1; f(2, 1313 . . .) = 1; f(√2) = −1. 4) i) 5; ii)− 2; iii) − 1; iv) − 3. 5) d; 6) 14

(59)

4.2 Fun¸

c˜

ao Polinomial

Defini¸c˜ao 4.2.1 : Seja n ∈ IN. Uma fun¸c˜ao real polinomial de grau n ´e uma

fun¸c˜ao f : IR → IR deﬁnida por

f (x) = anxn+ an−1xn−1 + . . . + a1x + a0, onde ai ∈ IR, ∀i = 0, . . . , n e an ̸= 0.

Exemplo(s) 4.2.1 : f (x) = 4x5 − x2 + 1 é uma fun¸cão polinomial de grau 5. Nas próximas se¸cões, estudaremos alguns tipos especiais de fun¸cões polinomiais.

4.3 Fun¸

c˜

ao Constante

Defini¸c˜ao 4.3.1 : Seja c ∈ IR. Chamamos de fun¸cão constante à fun¸cão dada por

f : IR → IR

x 7→ f(x) = c

Observa¸c˜ao 4.3.1 :

(i) Im f = {c};

(ii) O gr´afico de f é uma reta horizontal de ordenada c. Veja o gráfico abaixo para a seguinte fun¸cão:

f : IR → IR

(60)

y

x 3

0

4.4 Fun¸

c˜

ao Linear

Defini¸c˜ao 4.4.1 : Seja a ∈ IR. Chamamos de fun¸cão linear à fun¸cão dada por

f : IR → IR

x 7→ f(x) = ax

Observa¸c˜ao 4.4.1 : Se a ̸= 0, temos:

(i) Im f = IR;

(ii) O gr´afico de f é uma reta que passa pela origem (0, 0) do plano cartesiano. Veja, por exemplo, o gráfico abaixo:

y= 2x y

x

(iii) A fun¸cão linear f (x) = x é chamada fun¸cão identidade e contém as bissetrizes do 1o e do 3o quadrantes. Veja figura abaixo:

(61)

y = x y

x

4.5 Fun¸

c˜

ao do 1

o

grau (ou Aﬁm)

Defini¸c˜ao 4.5.1 : Sejam a, b ∈ IR, com a ̸= 0. Chamamos de fun¸c˜ao aﬁm ou do

1o grau `a fun¸c˜ao dada por:

f : IR → IR

x 7→ f(x) = ax + b

Observa¸c˜ao 4.5.1 :

(i) As fun¸cões lineares f (x) = ax são casos particulares de fun¸cões afins f (x) = ax + b, em que b = 0;

(ii) Im f = IR;

(iii) O gr´afico de f é uma reta no plano cartesiano, inclinada em rela¸cão aos eixos; (iv) O n´umero b é denominado coeficiente linear da reta e determina a ordenada

em que esta reta intercepta o eixo y (pois b = f (0));

(v) O n´umero a é denominado coeficiente angular ou inclina¸cão da reta(especifica a sua dire¸cão). Além disso, se

(62)

• a > 0, então f(x) = ax + b é crescente, isto é, x2 > x1 ⇒ f(x2) > f (x1) (isto significa que à medida que ”aumentam”os valores de x, ”aumentam”os valores correspondentes y = f (x));

• a < 0, então f(x) = ax + b é decrescente, isto é, x2 > x1 ⇒ f(x2) < f (x1) (isto significa que à medida que ”aumentam”os valores de x, ”diminuem”os valores correspondentes y = f (x)); x₁ x₂ x y f(x1) f(x2) (a > 0) 0 0 x₁ x₂ f(x1) f(x₂) y x (a < 0)

(vi) O estudo da varia¸c˜ao de sinal da fun¸c˜ao f (x) = ax + b pode ser dividido em dois casos:

10 caso: a > 0. Ent˜ao, temos: • x = −b a ⇒ f(x) = 0; • x > −b a ⇒ f(x) > 0; • x < −b a ⇒ f(x) < 0. 20 caso: a < 0. Ent˜ao, temos:

• x = −b

(63)

Simone D. Ramos 63 • x > −b a ⇒ f(x) < 0; • x < −b a ⇒ f(x) > 0. Exemplo(s) 4.5.1 : y = −2x + 2 y = x + 1 y x 2 1 -1 1 4.5.1 Exerc´ıcios

1. Determine a fun¸cão afim f tal que: f (3) = 0 e f (0) = −1. 2. Classifique as fun¸cões abaixo em crescentes ou decrescentes.

(a) f (x) = x− 3; (b) f (x) = −x 2 + 1; (c) f (x) = 2x + 1 3 − 3x + 5 4 .

(64)

3. Os gráficos abaixo representam fun¸cões f (x) = ax + b. Determine, em cada item, os sinais de a e b.

4. Determinar os zeros das seguintes fun¸c˜oes: (i) f (x) = 2x− 1

(ii) f (x) = 5x + 10;

5. Estudar o sinal das fun¸c˜oes abaixo: (i) f (x) = −x + 3;

(ii) f (x) = 5x + 10;

(iii) f (x) = (x + 3)2 − (x − 2)2. Respostas:

1. f (x) = 1₃x− 1

(65)

Simone D. Ramos 65 3. (i) a > 0 e b < 0; (ii) a = 0 e b > 0; (iii) a < 0 e b = 0; (iv) a > 0 e b > 0. 4. (i) x = 1/2; (ii) x = −2; 5. (i) f (x) > 0 se x < 3, f (x) < 0 se x > 3, f (x) = 0 se x = 3; (ii) f (x) > 0 se x > −2, f (x) < 0 se x < −2, f (x) = 0 se x =−2; (iii) f (x) > 0 se x > −1/2, f(x) < 0 se x < −1/2, f(x) = 0 se x = −1/2.

Exec´ıcio(s) 4.5.1 Nos exer´ıcios 1 `a 5, encontrar a equa¸c˜ao da reta que satisfa¸ca as condi¸c˜oes dadas.

1. Passa pelo ponto (−3, −4) e ´e paralela ao eixo dos x; 2. Passa pelo ponto (1,−7) e ´e paralela ao eixo dos y; 3. Passa pelos pontos (1, 3) e (2,−2);

4. Passa por (−2, −5) e tem inclina¸c˜ao √3;

5. Passa pela origem e divide ao meio o ˆangulo entre os eixos no segundo e no quarto quadrantes;

6. Dada a reta r com equa¸c˜ao 2x−5y = 10 e o ponto P (5, 1), encontrar a equa¸c˜ao da reta que passe por P e:

a) seja paralela `a reta r;

(66)

7. Determine o dom´ınio e a imagem e esboce o gráfico das seguintes fun¸cões: a) f (x) =          2, x ≤ −1 −2, −1 < x < 1 3, x ≥ 1 b) f (x) =    x + 5, x ̸= 2 1, x = 2 c) f (x) = x 2 _{− 9} x− 3 . Respostas: 1) y = −4; 2) x = 1; 3) y + 5x − 8 = 0; 4) y − √3(x + 2) + 5 = 0; 5) x + y = 0; 6) a) 5y − 2x + 5 = 0 b) 2y + 5x = 27 7) a) Dom f = lR e Im f = {−2, 2, 3}; b) Dom f = lR e Im f = lR − {7}; c) Dom f = lR − {3} e Im f = lR − {6}.

4.6 Fun¸

c˜

ao do 2

o

grau (ou Quadr´

atica)

Defini¸c˜ao 4.6.1 : Sejam a, b e c ∈ IR, com a ̸= 0. Chamamos de fun¸c˜ao quadr´atica

ou do 20 grau `a fun¸c˜ao dada por:

f : IR → IR

x 7→ ax2 + bx + c

Defini¸c˜ao 4.6.2 : Os valores de x reais para os quais f (x) = ax2 + bx + c = 0, chamam-se zeros ou ra´ızes da fun¸cão.Estes valores sao as abscissas dos pontos onde o gráfico intercepta o eixo x.

(67)

(i) O gr´afico de f é uma curva no plano cartesiano denominado parábola. Além disso, se

• a > 0, então a concavidade da parábola é voltada para cima; • a < 0, então a concavidade da parábola é voltada para baixo.

a > 0

a < 0

(ii) Para determinar os zeros da fun¸cão quadrática f (x) = ax2 + bx + c, deve-se resolver a equa¸cão do 20 grau:

ax2 + bx + c = 0.

Como sabemos, as ra´ızes dessa equa¸cão são calculadas pela fórmula: x = −b ±

√ △

2a , onde △ = b

2 _{− 4ac}

denomina-se discriminante da equa¸cão. Note que, a existência e o número de ra´ızes da fun¸cão quadrática dependem do sinal de △. Assim, podemos dividir o estudo do sinal da fun¸cão quadrática em três casos:

10 caso: △ > 0

Nesse caso, a fun¸c˜ao apresenta dois zeros reais distintos x1 = −b + √ △ 2a e x2 = −b − √△ 2a . 20 caso: △ = 0

Nesse caso, a fun¸c˜ao apresenta um zero real duplo: x1 = x2 = −b 2a.

(68)

a > 0 a < 0 x₁ x₁ x₂ x₂ a > 0 x₁= x₂ a < 0 x₁= x₂ 30 caso: △ < 0

Nesse caso, a fun¸c˜ao n˜ao apresenta zeros reais.

a > 0

(69)

(iii) A figura abaixo mostra uma par´abola, gráfico de f (x) = ax2 + bx + c, com três elementos importantes assinalados: O número c determina a ordenada em que

c

V

esta parábola intercepta o eixo y (pois c = f (0)). O ponto V é chamado vértice da parábola. A reta r, perpendicular ao eixo x e passando pelo vértice, é o eixo de simetria da parábola. O vértice V é dado por V (xv, yv) com

• xv = − b 2a; • yv = −△ 4a (j´a que yv = f (xv) = a(xv) 2 _{+ bx} v + c).

(iv) A imagem de f é obtida com aux´ılio do vértice da parábola, como se segue: 10 caso: a > 0(concavidade é voltada para cima)

Nesse caso, a fun¸cão apresenta um m´ınimo, igual à ordenada do vértice da parábola. (veja a figura abaixo).

c

V xv

(70)

Assim: • xv = −

b

2a ´e chamado ponto de m´ınimo de f; • yv = −△

4a ´e chamado valor m´ınimo de f; • Im f = {y ∈ IR/y ≥ −△

4a} = [− △

4a, +∞) 20 caso: a < 0(concavidade ´e voltada para baixo)

Nesse caso, a fun¸cão apresenta um máximo, igual à ordenada do vértice da parábola. V xv yv Assim: • xv = − b

2a ´e chamado ponto de m´aximo de f; • yv = −△

4a ´e chamado valor m´aximo de f; • Im f = {y ∈ IR/y ≤ −△

4a} = (−∞, − △ 4a] 4.6.1 Exerc´ıcios

1. Determinar os zeros reais das seguintes fun¸c˜oes quadr´aticas: (a) f (x) = x2 − 4;

(b) f (x) = −2x2 + 3x; (c) f (x) = x2 − 2x − 8;

(71)

(d) f (x) = x2 + 1.

2. Resolver as inequa¸c˜oes abaixo:

a) x2 − 9x + 14 ≤ 0; b) − x2 + x− 2 > 0; c) 4x2 − 4x + 1 > 0.

3. Calcular m para que a fun¸c˜ao f (x) = x2 + 6x + m seja maior que zero para todo x ∈ IR.

4. Para que valores de m a fun¸c˜ao f (x) = 3x2 + 2x + m tem dois zeros reais distintos.

5. Para que valores de m a fun¸c˜ao f (x) = (m + 8)x2− 6x + m possui um zero real duplo?

6. Determinar as imagens das fun¸c˜oes abaixo:

a) f (x) = x2 + 2x− 1; b) f (x) = −2x2 + 6x− 5.

7. Diga se cada uma das fun¸cões quadráticas abaixo admite máximo ou m´ınimo. Indique, em cada caso, o ponto de máximo ou de m´ınimo e o valor máximo ou m´ınimo.

i) f (x) = 3x2 + 6x− 11; ii) f (x) = 4− 2x2.

8. Calcular m de modo que o valor máximo de f (x) = −x2 + 4x + m seja 3. 9. Sabendo que a soma de dois números x e y é 10, calcule os valores de x e y de

modo que a soma x2 + y2 seja m´ınima. Respostas:

(72)

2. a) S = [2, 7]; b) S = ∅; c) S = IR − {1/2}. 3. m > 9

4. m < 1/3

5. m = 1 ou m = −9

6. a) Im f = [−2, +∞); b) Im f = (−∞, −1/2]

7. i) admite m´ınimo; ponto de m´ınimo é -1 e valor m´ınimo é -14; ii) admite máximo; ponto de máximo é 0 e o valor máximo é 4. 8. m = −1

9. x = y = 5

4.6.2 Exerc´ıcios Complementares 1. Estudar o sinal das fun¸c˜oes abaixo:

(a) f (x) = (x + 3)(2x− 1) (b) f (x) = −x + 1

x− 2

2. Resolva as seguintes inequa¸c˜oes: (a) (x− 2)(x + 1)(x − 4) < 0 (b) x− 1 x2 − 3x + 2 ≥ 0 (c) x 2 _{− x − 2} x2 − 1 ≤ 0 3. Resolver a inequa¸c˜ao (1− x)(1 + x) ≥ 0.

(73)

4. Determinar o dom´ınio da fun¸c˜ao deﬁnida por

(a) f (x) = √(2x− 1)(x + 3) (b) f (x) = √

1− 2x 2x− 3 5. Resolva as inequa¸c˜oes:

(i) x + 3 −3x + 2 ≤ 0 (ii) x− 5 2x− 4 ≥ 1 Respostas: 1. (a) f (x) > 0 se x < −3 ou x > 1/2; f(x) < 0 se − 3 < x < 1/2; f (x) = 0 se x = −3 ou x = 1/2. (b) f (x) > 0 se 1 < x < 2; f (x) < 0 se x < 1 ou x > 2;

f (x) = 0 se x = 1; f (x) não está definida para x = 2, isto é, @f(2). 2. (a) S = {x ∈ IR/x < −1 ou 2 < x < 4} (b) S = {x ∈ IR/x > 2}

(c) S = {x ∈ IR/1 < x ≤ 2}

3. S = {x ∈ IR/ − 1 ≤ x ≤ 1} = [−1, 1].

4. (a) Dom f = {x ∈ IR/x ≤ −3 ∨ x ≥ 1/2} = (−∞, −3] ∪ [1/2, +∞) (b) Dom f = {x ∈ IR/1/2 ≤ x < 3/2} = [1/2, 3/2)

5. (i) S = {x ∈ IR/x ≤ −3 ∨ x > 2/3} = (−∞, −3] ∪ (2/3, +∞) (ii) S = {x ∈ IR/ − 1 < x < 2} = (−1, 2)

(74)

(75)

Cap´ıtulo 5

Fun¸

c˜

ao Exponencial

Seja a ∈ IR∗₊− {1}. A fun¸cão exponencial de base a é definida por: f : IR → IR x 7→ ax Observa¸c˜ao 5.0.2 : 1o) Dom f: IR 2o) Im f: IR∗₊ = (0, +∞) 3o) Gráfico:

(i) a > 1. Exemplo (i): f (x) = 2x

x y 0 1 1 2 2 4 −1 1/2 −2 1/4 ... ... −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 ... ... ... −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... • y = 2x y x 75

(76)

• o gráfico contém o ponto (0, 1)

• x cresce ⇒ y cresce (fun¸c˜ao crescente) • base a = 2 > 1

(ii) 0 < a < 1. Exemplo (ii): f (x) = (1₂)x

x y 0 1 1 1/2 2 1/4 −1 2 −2 4 ... ... −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 ... ... ... −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y ..._... ... ..._... ... ..._... ..._... ... ..._... ..._... ..._... ..._... ..._... ..._... ... • • y = (1₂)x

• o gráfico contém o ponto (0, 1)

• x cresce ⇒ y decresce (fun¸c˜ao decrescente) • base a = 1/2 < 1

(77)

Simone D. Ramos 77 ... . ... . −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 ... ... ... −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . • y = ex

Exec´ıcio(s) 5.0.1 : Classiﬁque as fun¸c˜oes abaixo em crescentes ou decrescentes. (a) y = 3x (b) y = ( 1 3 )−x (c) y = (√3)x (d) y = ( 3 5 )x (e) y = ( 4 3 )−x

Respostas: Crescentes: (a), (b) e (c)

Exec´ıcio(s) 5.0.2 : Determine x:

(a) 3x = 9

(b) 25x−1 = 625 (c) 81−x = 243

(d) 32x − 10 · 3x+ 9 = 0

(78)

5.1 Fun¸

c˜

ao Logar´ıtmica

Seja a ∈ IR∗₊− {1}. O logaritmo de um número N ∈ IR∗₊ na base a é definido como sendo o número x tal que ax = N.

Nota¸c˜ao: log_aN = x ⇔ ax = N.

Observa¸c˜ao 5.1.1 : Condi¸c˜oes de existˆencia: • a ̸= 1, a > 0

• N > 0

Observa¸c˜ao 5.1.2 :

(i) N > 0, assim n´umeros negativos e zero n˜ao possuem logaritmo; (ii) Dom f : IR∗₊ e Im f : IR;

(iii) log_a1 = 0 pois a0 = 1∀a ∈ IR∗₊− {1}; (iv) log_aa = 1 pois a1 = a;

(v) log_aam = m pois am = am; (vi) alogab = b pois se log

ab = n ⇔ an = b, isto ´e, alogab = b;

(vii) log_ab = log_ac ⇒ b = c pois alogac (vi)= b ⇒ b = c. As bases mais usadas s˜ao:

• 10 (logaritmos decimais). Nota¸c˜ao: log10b ou log b;

• e (logaritmos neperianos ou naturais). Nota¸c˜ao: ln b ou logeb.

(79)

(a) log_a(b· c) = log_ab + log_ac;

(b) log_a(b_c) = log_ab− log_ac;

(c) log_abn = n log_ab (em particular: log_a√n b = log_ab1/n = 1_nlog_ab).

(d) log_aN = logbN log_ba.

Gr´afico: y = log_ax

(i) a > 1. Exemplo (i): y = log₂x

x y 1/8 −3 1/4 −2 1/2 −1 1 0 2 1 ... . ... . −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 ... ... ... −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... • • y = 2x y = log₂x y = x

• o gráfico contém o ponto (1,0).

• x cresce ⇒ y cresce (fun¸c˜ao decrescente)

• 0 < x < 1 ⇒ logax < 0