Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Francisco Beltrão Cálculo Diferencial Integral 1 Profª Sheila Regina Oro AULAS 2, 3, 4, 5

AULAS 2, 3, 4, 5

2.1 Plano Cartesiano

Os nomes Plano Cartesiano e Produto Cartesiano são homenagens ao seu criador René Descartes (1596-1650), filósofo e matemático francês. O nome de Descartes em Latim, era Cartesius, daí vem o nome cartesiano.

O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo Ox) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo Oy). Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os números reais, obtém-se o plano cartesiano ortogonal.

Cada ponto P = (a,b) do plano cartesiano é formado por um par ordenado de números, indicados entre parênteses, a abscissa e a ordenada, respectivamente. Este par ordenado representa as coordenadas de um ponto.

O primeiro número indica a medida do deslocamento a partir da origem para a direita (se positivo) ou para a esquerda (se negativo).

O segundo número indica o deslocamento a partir da origem para cima (se positivo) ou para baixo (se negativo). Observe no desenho que: (a,b) ≠ (b,a) se a ≠ b.

Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes sendo que tais eixos são retas concorrentes na origem do sistema formando um ângulo reto (90º). Os nomes dos quadrantes são indicados no sentido anti-horário.

y (ordenada)

(abscissa) x

Dados dois conjuntos A e B não vazios, definimos o produto cartesiano entre A e B, denotado por AxB, como o conjunto de todos os pares ordenados da forma (x,y) onde x pertence ao primeiro conjunto A e y pertence ao segundo conjunto B.

AxB = { (x,y): xA e yB }

Observe que AxB ≠ BxA, se A é não vazio ou B é não vazio. Se A=Ø ou B=Ø, por definição: AxØ=Ø=ØxB.

Se A possui m elementos e B possui n elementos, então AxB possui mxn elementos.

Exemplo: Dados A={a,b,c,d} e B={1,2,3}, o produto cartesiano AxB, terá 12

pares ordenados e será dado por:

AxB = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3),(d,1),(d,2),(d,3)} 2.2 Definição

Dados dois conjuntos, A e B, não vazios, uma relação f de A em B recebe o nome de função definida em A com imagens em B se e somente se, para todo elemento em A existe um único elemento em B.

Ou seja, função é uma lei que relaciona duas grandezas.

Exemplo: A lei que determina o valor a pagar na compra de x chocolates se

cada chocolate custa $ 1,50 é dada por f (x) = 1,50 x. Podemos representar funções através de diagramas.

Exemplo: y 2º Q (- , +) 1º Q (+, +) x 3º Q (- , -) 4º Q (+ , -)

ATIVIDADES

10) Verifique se cada um dos esquemas abaixo define ou não uma função de A={−1,0,1,2} em B={−2,−1,0,1,2,3} e justifique.

11) Dados os conjuntos A={−1,0,1,2} e B={−2,−1,0,1,2,3,5,8} , faça o diagrama de flechas e diga quais das relações são funções de A em B?

a) R=

{

x

}

{

c) R=

{

}

{

}

2.3 Domínio e Imagem

Domínio de uma função f é o conjunto dos elementos (conjunto de partida) para os quais existe uma correspondência com os elementos do outro conjunto (conjunto de chegada). Indicamos o domínio da função f por D (f ).

Exemplo: Num exemplo anterior relacionamos a quantia a ser paga pela

compra com o número de chocolates comprados, ou seja, o valor a ser pago “depende” da quantidade de chocolates adquirida, logo dizemos que a

quantidade de chocolates é a variável independente. O domínio é um conjunto bem definido, não é possível comprarmos -1 chocolates. Também não é possível comprar 1,5 chocolates, sendo assim, números negativos e números racionais não fazem parte do domínio deste exemplo. Um domínio para a função acima é formado por números inteiros positivos, iniciando do zero e finalizando no máximo de chocolates disponível para compra.

Imagem da função f é o conjunto dos elementos (conjunto de chegada) que receberam correspondência a partir dos elementos do domínio. Indicamos a imagem por Im( f ).

Exemplo: Voltando ao anterior, como o valor a ser pago “depende” da

quantidade de chocolates adquirida, dizemos que o valor a ser pago é a variável dependente da função, ou seja, a sua imagem. A imagem também é um conjunto bem definido, note que não é possível o comprador gastar uma quantidade negativa, mas o comprador pode gastar $ 1,50, sendo assim, números negativos não fazem parte da imagem, porém números racionais positivos sim.

2.4 Gráficos

O gráfico da função f é expresso pelo conjunto G_f={x,y ∣x ∈ D  f } _e

y ∈ Im  f  _{. No eixo cartesiano, a variável independente x é representada no} eixo das abscissas e a variável dependente y, no eixo das ordenadas.

A é a quilometragem rodada, e B é o valor a ser pago. A função que descreve tal relação é f(x)=0,65x + 2,60. Note que neste caso, tanto o domínio como a imagem são variáveis contínuas, visto que pode-se rodar 1,375 km.

O domínio e a imagem de uma função são conjuntos que podem ser: i) de pontos isolados, como no caso do exemplo dos chocolates em que temos D(f)={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}

e

Im(f )={0; 1,5; 3; 4,5; 6; 7,5; 9; 10,5; 12; ...}.

ii) de intervalos de valores reais, como no exemplo do táxi em que temos:

D  f ={x ∈R∣0≤ x} e Im  f ={y ∈R∣2,60≤ y} .

Podemos também utilizar notação de intervalo ao invés de notação de conjunto, que para este exemplo é dada por: D  f = [ 0,  ∞  _e

Im  f = 2,60 ;+ ∞  _.

Observação: Um método prático para verificar se um gráfico corresponde a

uma função, é fazer traços verticais paralelos ao eixo y. Usando a definição, sabemos que se eles cortarem uma só vez o gráfico, temos uma função. Se o gráfico for cortado mais de uma vez, não temos função, temos apenas uma relação matemática.

Exemplos:

Não é função É função

ATIVIDADES

12) O conjunto f = {(1,2), (4,5), (6,8), (3,9)} é uma função de A em B. Determine

o domínio e o conjunto imagem da função.

14) Considerando que os gráficos abaixo representam funções, estabeleça o

domínio e a imagem de cada uma:

15) Determine a imagem de cada uma das funções representadas pelos

2.5 Função Identidade

É uma função f : R  R _{que para cada x  R, associa f(x) = x.}

O gráfico da Identidade é uma reta que divide o primeiro quadrante e também o terceiro quadrante em duas partes iguais.

2.6 Função Polinomial

É a função f : R  R _{definida por}

f  x =a₀xn+a₁xn−1.. . +a_n−1x+a_n

onde os coeficientes ai são números reais não-nulos, n é inteiro não-negativo e indica o grau da função.

Temos, então:

ii) A função afim f(x) = ax + b é uma função polinomial do primeiro grau.

iii) A função quadrática f(x) = ax2 _{+ bx + c, com a ≠ 0, é uma função polinomial} do segundo grau.

E assim sucessivamente. 2.7 Função Constante

Uma função f : R  R _{é denominada constante quando a cada elemento x}  R associa sempre o mesmo elemento c  R.

f : R  R x  c

O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo x passando pelo ponto (0, c).

A imagem é o conjunto Im = {c}.

Exemplo: Construir o gráfico da função y = 3.

2.8 Função Afim

Chama-se função polinomial do primeiro grau, ou função afim, a qualquer função f : R  R _{dada por uma lei da forma} f  x  = ax+ b _{, onde} a _{e b são} números reais dados e a ≠ 0 _.

O gráfico de uma função do primeiro grau é sempre uma reta.

O número a _{é chamado de coeficiente angular da reta, visto que é o} valor da tangente do ângulo que a reta forma com o eixo x. O número b é chamado de coeficiente linear da reta. A reta sempre corta o eixo y no ponto b. Dizemos que a função é de primeiro grau, porque o maior expoente de x é 1, e o seu gráfico corta o eixo x em um só ponto, ou seja, a função tem uma só raiz.

Quando b = 0, a função do primeiro grau é denominada linear. O gráfico da função linear sempre passa pela origem das coordenadas O(0, 0).

Exemplos: x f(x)=x+1 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 3

O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3)}

O coeficiente angular da reta é a = 1, visto que o ângulo que a reta forma com o eixo x é 45º.

Função crescente ( a > 0)

y = x+1; onde a= 1

Para obter a raiz ou zero de f, fazemos f(x)=0, logo, f(x)=x+1=0, então x= - 1 é a raiz

O coeficiente linear da reta é b = 1 visto que a reta corta o eixo y no ponto 1 x y=f(x)= -x+1 -2 3 -1 2 0 1 1 0 2 -1

O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-2,3),(-1,2),(0,1),(1,0),(2,-1)}

O coeficiente angular da reta é a = -1, visto que o ângulo que a reta forma com o eixo x é 135º

Função decrescente ( a < 0) y = - x+1; onde a= -1

Para obter a raiz ou zero de f, fazemos f(x)=0, logo, f(x)= -x+1=0, então x= 1 é a raiz

O coeficiente linear da reta é b = 1 visto que a reta corta o eixo y no ponto 1

Fazer o estudo de sinal de uma função de primeiro grau é determinar os valores de x para os quais a função é negativa, zero e positiva. Como a função de primeiro grau é da forma f (x)=ax+b, a raiz da função dessa forma será x= -b/a , então:

f(x) < 0 se x<−_ab , Se a função for crescente (a > 0), então f(x) = 0 se x=−b

a ,

f(x) > 0 se x>−_ab .

f(x) < 0 se x>−_ab , Se a função for decrescente (a > 0), então f(x) = 0 se x=−b

a , f(x) > 0 se x<−_ab .

Exemplo: Para o gráfico da primeira função do exemplo 10 temos o seguinte

estudo de sinal:

f(x) < 0 se x < -1, f (x) = 0 se x = -1, f (x) > 0 se x > -1.

Para o gráfico da segunda função do exemplo 10 temos o seguinte estudo de sinal:

f(x) < 0 se x < 1, f(x) = 0 se x = 1, f(x) > 0 se x > 1.

Exemplo: Determine a expressão da função representada pelo gráfico abaixo: y = ax + b com a ≠ b

Quando x = 0, y = 2; portanto, o valor de b na expressão é igual a 2 Quando y = 0, x = -4 (raiz ou zero da função)

Substituindo os valores em y=ax+b: 0 = -4a + 2  a = 1/2

ATIVIDADES

16) Para as funções a seguir:

I) Faça o seu gráfico

II) Diga se a função é crescente ou decrescente III) Faça o estudo dos sinais

IV) Diga quais são os coeficientes linear e angular das retas

a) y= x − 2 _b) y= − x − 2 _c) f  x =− 4x  1 _d) f  x =− x

17) As figuras a seguir representam os gráficos de funções, de R em R,

determine as expressões que as definem:

a) b)

18) Suponha que um fabricante gastou R$ 900,00 em moldes para confecção

de frascos de vidro e que, além disso, o custo de produção de cada frasco seja de R$ 0,05. Diga qual a função matemática que define tal relação, determine imagem e domínio, faça o gráfico e o estudo de sinais. A função é crescente ou decrescente? Justifique.

19) Considere uma avaliação com 10 questões de nota máxima 10,0. Expresse

a nota da avaliação em função do número de erros, tendo em vista que as questões podem estar parcialmente corretas. Faça o gráfico da função, diga seu o domínio e imagem, diga sua raiz e faça o estudo de sinais. A função é crescente ou decrescente? Justifique.

2.9 Função Quadrática

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do segundo grau, qualquer função f : R  R _{dada por uma lei da forma:} f  x =ax2+bx+c , onde

a,b,c ∈ R _e a ≠ 0 _.

Dizemos que a função é de segundo grau, porque o maior expoente de x é 2. O seu gráfico corta o eixo x em dois pontos, ou seja, a função tem duas

raízes. As raízes, ou zeros, da função chamamos de x1 e x2 , e a expressão

que define a função de segundo grau pode ser recuperada fazendo:

y=  x− x₁x− x₂ _.

O gráfico de uma função quadrática é sempre uma parábola.

As raízes de uma função do segundo grau, quando existem, são obtidas pela fórmula de Bhaskara:

x=−b±



onde chamamos de delta: Δ=b2−4 ac .

Se Δ> 0 _{, a função tem duas raízes distintas.} Se Δ= 0 _{, as duas raízes são iguais.}

Se Δ< 0 _{, a função não tem raízes reais.}

Se a > 0, a parábola terá concavidade para cima.

Se a < 0, a parábola terá concavidade voltada para baixo. O vértice (x, y) da parábola é determinado por:



4a



Ponto de mínimo ocorre quando a parábola tem concavidade para cima, é o valor de x para o qual a função retorna o menor valor de y. Basta olhar o vértice.

Ponto de máximo ocorre quando a parábola tem concavidade para baixo, é o valor de x para o qual a função retorna o maior valor de y. Basta olhar o vértice.

Estudar o sinal da função é dizer os valores de x para os quais y < 0, y = 0, y > 0. No caso da parábola, este estudo está intimamente ligado com a concavidade da função.

a< 0 a> 0

Δ> 0 Δ> 0

Δ< 0 Δ< 0 Exemplo: x -2 3 -1 0 0 -1 1 0 2 3 a= 1,a> 0

a parábola tem concavidade para cima

x=−0±



2. 1 , logo x1=−1 e x2=1

Δ= 02−4 .1 .−1 Δ= 4 _, Δ> 0 temos duas raízes distintas:

-1 e 1

Fazendo x − x1. x − x2=x−−1 .  x−1 = x+ 1 .  x−1 =

x2−x+x− 1=x2−1 ,

voltamos na equação e confirmamos que as raízes encontradas estão corretas.



2 . 1, −4

4 . 1



Vértice

Como a função tem concavidade para cima, a parábola tem ponto de mínimo, o vértice mostra que o menor valor que y assume é -1, quando x = 0, então o ponto

de mínimo é (0, -1).

Estudo dos sinais: f (x) = y < 0 se x > -1 e x < 1 f (x) = y = 0 se x = -1 ou x = 1

f (x) = y > 0 se x < -1 ou x > 1 y=x2−1

Exemplo : x -2 -5 -1 0 1 4 3 0 4 -5 a= − 1, a< 0 a parábola tem concavidade

para baixo

x=−2±



2 .−1  , logo x1=−1 e x2=3

Δ= 22−4 . −1 . 3 Δ= 16 , Δ> 0

temos duas raízes distintas: -1 e 3

Fazendo x − x1. x − x2=x−−1 .  x−3 = x+ 1  . x−3 =

x2−3x +x−3 =x2−2x−3=− x22x3

mudando o sinal de todos os termos não alteramos a igualdade e voltamos na equação e confirmamos que as raízes encontradas estão corretas.



2 .−1, −16

4 .−1







Vértice

Como a função tem concavidade para baixo, a parábola tem ponto de máximo, o vértice mostra que o menor valor que y assume é 4, quando x =1,

então o ponto de máximo é (1, 4). Estudo dos sinais: f (x) = y < 0 se x < -1 ou x > 3

f (x) = y = 0 se x = -1 ou x = 3 f (x) = y > 0 se x > -1 e x < 3

ATIVIDADES

20) Para as funções quadráticas a seguir:

I) Diga qual a concavidade II) Obtenha as raízes

III) Obtenha as coordenadas do vértice IV) Faca o gráfico

V) Determine o domínio e a imagem

VI) Determine pontos de máximo e de mínimo VII) Faça o estudo dos sinais

a) y= 2x2−12 x+ 10 b) y=−x24x5

c) y=−x216 d) y= 3x2

21) Encontre a expressão definida pelo gráfico da função abaixo: y=−x22x3

22) Suponha que t horas após a meia noite, a temperatura em Pato Branco era C t =−1

6t

2_4t10

graus Celsius. a) Qual era a temperatura às 14 horas?

b) De quanto a temperatura aumentou ou diminuiu entre 18 e 21 horas?

23) Uma bola foi jogada do alto de um prédio. Sua altura (em pés) após t

segundos é dado pela função H  t =−16 t2256 . a) Que altitude estará a bola após 2 segundos?

b) Que distância viajará a bola durante o terceiro segundo? c) Que altura tem o prédio?

d) Quando a bola atingirá o solo?

24) Uma bala é atirada de um canhão e descreve uma parábola de equação

y=−3x260 x , onde x e y são medidos em metros. Determine a altura máxima

2.10 Função Modular

A função definida por y = |x| é denominada função modular.

Seu domínio é o conjunto D(f) = R e o conjunto imagem é Im(f) = [0, +).

ATIVIDADE

25) Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço de seu

gráfico:

(a) f(x) = |x – 2| (b) g(x) = |x| - 2 2.11 Função Racional

Se uma função puder ser expressa como o quociente de duas funções polinomiais, ela será chamada de função racional.

f  x =p  x  q  x 

Onde p(x) e q(x) são polinômios e q(x) ≠ 0.

O domínio da função racional é o conjunto dos reais excluindo aqueles x tais que q(x) = 0.

Exemplo: A função f  x =x −1_{x+ 1} é função racional de domínio D(f) = R – {-1}.

2.12 Funções Pares e Ímpares

Uma função é par se, para todo valor de x no domínio de f, f(-x) = f(x). Uma função é ímpar se, para todo valor de x no domínio de f, f(-x) = -f(x). Em ambos os casos, devemos entender que –x está no domínio de f sempre que x estiver lá.

Exemplo: (a) Seja f  x =3x4−2x27 . f(x) é par.

Verificação: f − x =3 − x 4−2 − x 27=3x4−2x27 =f  x  (b) Seja g x =3x5−4x3−9x . g(x) é ímpar.

Verificação:

g − x =3 − x 5−4 − x 3−9 − x =−3x54x39x =− 3x5−4x3−9x =−g  x 

(c) Seja h x = 2x47x3−x29 . h(x) não é nem par nem ímpar. Verifique!

y

x 0

ATIVIDADES

26) Determine o domínio e a imagem da função e esboce seu gráfico:

a) f  x =x 2 −4x3 x−1 b) g  x = 4x −1 2x 1

27) Verifique se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas opções:

a) f  x =2x3−3x b) g x =5x42x2−1 c) h  x = 3x5−2x3+x2−x

2.13 Funções exponenciais

Uma função da forma f  x =bx , onde b > 0 e b ≠ 1, é chamada de função exponencial de base b. Se b = 1, então a funçãof  x =bx é constante, e não exponencial, uma vez que f  x =bx = 1x = 1 e passamos a ter f (x) = 1 para todo x. Note que uma função exponencial tem uma base constante e um expoente variável. Assim uma função tal como f  x =x2 não é função exponencial, uma vez que a base é variável e o expoente é uma constante. Exemplos: x y= 2x -2 2−2=122 -1 2−1=121 0 20=1 1 21=2 2 22=4

Como a base é maior que 1, pois b = 2, então o gráfico da função é crescente.

O domínio da função são todos os reais e a imagem são os valores positivos diferentes de zero.

O gráfico da exponencial sempre corta o eixo y no ponto 1, visto que todo número elevado a zero é 1.

x y=12x -2 12−2=22 -1 12−1=21 0 120=1 1 121=12 2 122=122

Como a base é positiva, menor que 1, pois b =1/2, então o gráfico da função é decrescente.

O domínio da função são todos os reais e a imagem são os valores positivos diferentes de zero.

O gráfico da exponencial sempre corta o eixo y no ponto 1, visto que todo número elevado a zero é 1.

y=3−2x

Primeiro refletimos o gráfico de y = 2x _{em torno do eixo x}

para obter o gráfico de y = -2x_.

A seguir deslocamos o gráfico de y = -2x _{para cima 3}

unidades, para obter o gráfico de y=3−2x . O domínio é R e a imagem





Uma base muito utilizada na função exponencial é o número de Euler. Indicamos o número de Euler pela letra “e” e o seu valor aproximado é 2,718281...

A função f  x =ex é denominada função exponencial natural. Como o número “e” está entre 2 e 3, o gráfico de y=ex se encaixa entre os gráficos de

A constante “e” também aparece no contexto do gráfico da função

f  x =



x



x

, onde y=e _{é uma assíntota}1 _{horizontal desse gráfico. Assim, o}

valor de “e” pode ser aproximado com a precisão desejada calculando f(x) para x suficientemente grande em valor absoluto.

Aplicação: Estudo do crescimento bacteriano

Para se estudar o crescimento de uma bactéria é preciso cultivá-la, como cultura pura, em meios de cultura e condições ambientais que variam em condições químicas e físicas, tais como fontes de nutrientes, osmolaridade, pH, presença ou ausência de oxigênio e temperatura de incubação. Por exemplo, a bactéria E. coli crescendo em um meio de cultura rico e sob condições aeróbicas, atinge uma concentração final de 2 a 5 x 109 _{células por ml em}

cerca de 12 a 18 horas.

Uma das abordagens mais comuns no estudo do crescimento bacteriano é a obtenção de curvas de crescimento. Estas são representações gráficas do aumento do número de indivíduos em um determinado período de tempo. Uma linha de tendência passando pelos pontos do gráfico é uma curva exponencial e cada ponto por onde a curva passa indica o número teórico de bactérias, em um dado tempo.

Por exemplo, suponha que certa cultura de bactérias cresce com uma taxa proporcional ao seu tamanho. No instante t = 0 estão presentes aproximadamente 20 mil bactérias. Passadas 5 horas há cerca de 400 mil

1 _{Uma reta é uma assíntota de uma curva quando um ponto ao mover-se ao longo da parte}

extrema da curva se aproxima desta curva. Ou seja, a assíntota e a curva ficam arbitrariamente próximas à medida que se afastam da origem de coordenadas.

bactérias. A função que expressa o número aproximado de bactérias presentes na cultura como função do tempo, medido em horas é a seguinte:

y=13 , 06t20000

ATIVIDADES

28) Dado o gráfico da função exponencial f (x)=9x_.

Calcule os valores de f (1/2), f (2), f(3), f (4).

O que ocorre com os valores de y = f (x) quando x aumenta?

29) Considere a função exponencial f (x)=(1/4)x_.

a) Calcular os valores de f (1/2), f (2), f (3), f (5); b) Analisar o que ocorre com os valores de y = f (x) quando x aumenta.

30) Com relação ao crescimento de funções, identifique cada função

exponencial apresentada a seguir como crescente ou decrescente. Em seguida, informe o domínio e a imagem de cada função.

a) f1(x)=7x

b) f2(x)=7-x + 2

c) f3(x)=5-x

d) f4(x)=(1,01)x + 2

e) f5(x)=(3/4)x

31) Construa os gráficos das funções, diga se a função é crescente ou

decrescente e informe o domínio e a imagem: a) y=3x b) y=



3



c) y=e−x d) y= 2x1

32) Considere a função exponencial: f  x =ax .

Analise as afirmações a seguir e indique a classifique-as em verdadeiras ou falsas. Justifique apenas as afirmações falsas:

( ) Se o valor de a é negativo, a função é decrescente; ( ) A função não está definida para a = 1;

33) A expressão utilizada para calcular o crescimento da população de um

determinado tipo de bactérias é dada pela função do tempo t (em minutos):

f  t =1,25

10,25 e−0,4 t,t ≥ 0 Determine o número de bactérias após

a) 5 minutos: b) 1hora: c) 1 dia:

34) Suponha que uma colônia de moscas das frutas está crescendo de acordo

com a lei exponencial P(t) = P0ekt, e suponha que o tamanho da colônia dobra

a cada 9 dias.

a) Determine a constante de crescimento.

b) Supondo que o tamanho inicial da colônia é 100, determine o tamanho da colônia após 41 dias.

c) Após quantos dias a colônia terá 800 moscas? 2.14 Funções logarítmicas

O que é um logaritmo?

Sejam a _{e b números reais positivos e} a ≠ 1 _{. Chama-se logaritmo de b} na base a _{o expoente x tal que a}x_{=b . Simbolicamente temos}

log_ab=x ⇔ ax=b .

Sendo assim, a _{é a base do logaritmo, b é o logaritmando e x é o} logaritmo de b na base a.

Verifique que a ≠ 1 _{, pois 1 elevado a qualquer valor é sempre 1, assim,} x poderia assumir qualquer valor enquanto b teria que ser sempre 1.

Exemplos:

Propriedades Exemplos

log_a1=0 _{Qualquer número elevado a zero é 1} log_aa= 1 _{log33=x ⇔ 3}x_{=3 ⇔ 3}x₌₃1_⇔x=1

alogab=b

2log28=x , resolveremos log

28 =z

log₂8=z ⇔ 2z=8⇔ 2z=23⇔z= 3

então temos 2log28

=23_{=8 = b}

Se log_ab= log_ac _então b=c _.

log₂8= log₂c _{, como} log₂8=3 _então log₂c= 3 _{e não existe outro valor que c pode}

assumir além de 8. Logo b=c.

log_ab∗c =log_ab+ log_ac

log₂4∗8 =x ⇔ log₂32 =x ⇔ 2x=25⇔x= 5

Ou ainda, log₂4 =z ⇔ 2z=22⇔z= 2 e log₂8=y ⇔ 2y=23⇔y= 3 . Assim: log₂4 log₂8 =z+y= 23=5 = log₂4∗8 

log_abc=log_ab − log_ac log284=log22 =x ⇔ 2

x₌₂1_{⇔x= 1}

. Ou, log28 =y ⇔ y= 3 , e log24 =z ⇔ z= 2

log₂8 log₂4 = y − z= 3− 2= 1= log₂84

log_abr=r log_ab

log₂43=log₂64 =x ⇔ 2x=26⇔x= 6

Ou fazendo, r logab= 3log24= 3∗2 =6

Mudança de Base

log_ab=logcb

log_ca

log₄16 =x ⇔ 4x=42⇔x= 2 , ou ainda: log₄16=log216

log₂4 onde log₂16 =y ⇔ 2y=24⇔y= 4

e log₂4 =z ⇔ 2z=22⇔z= 2

Assim, log₄16=log216 log₂4 =

4 2=2

Uma base muito utilizada em logaritmos é a base 10. Neste caso, usamos a expressão logaritmo decimal e na representação simbólica escrevemos somente log b ao invés de log10b . Assim quando lermos log b =

x entendemos que 10x=b . Exemplos:

log 100 = 2 porque 102 _{= 100 log 1000 = 3 porque 10}3 _{= 1000}

recebe a notação especial de ln, e ao lermos ln b=x, entendemos que ex=b . O ln é chamado de logaritmo neperiano, em homenagem a John Napier que foi um matemático escocês do século XVI, inventor dos logaritmos. O ln também é conhecido como logaritmo natural, porque tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza.

Exemplos:

ln e = 1 porque e1 _{= e = 2,7183... ln 7 = log} e7

2.14.1 Função Logarítmica:

A partir dos logartimos podemos definir a função f : R_R _pela

expressão y= logax . Sabemos que y= logax ⇔ ay=x , então para a função logarítmica temos que ter a base a _{real, maior que zero e diferente de 1.} Temos que os valores de y são a imagem da função, visto que a base a _pode receber como expoente qualquer valor real, então a Im(f )= R. O domínio da função são os valores de x para os quais ay=x , e como o resultado de qualquer exponencial é sempre positivo e diferente de zero, temos que

D  f =R_{ . Para plotar a função logarítmica torna-se mais fácil partir dos}

valores de y para depois obter os de x, visto que y assume qualquer valor real.

Exemplos: y y= log₂x ⇔2y=x x -2 2−2 =









Note que a base a= 2 1 , então o gráfico da função é crescente.

y y= log1 2 x ⇔12y=x x -2 12−2=22=4 4 -1 12−1=21=2 2 0 20=1 1 1 121=12 12 2 122=14 14

Note que a basea= 12 , onde 0  12 1 , então o gráfico da função é decrescente.

Todos gráficos da função logarítmica cortam o eixo x no ponto (1,0) independente da base, pois a0=1 , para qualquer valor de a _.

As funções logarítmicas também podem ser interpretadas como inversas das funções exponenciais. Se b > 0 e b  1, então bx _{e log}

b x são funções inversas. Dessa forma, os gráficos de y=bx e y= log_bx _{são reflexões um do}

outro pela reta y=x _{, como ilustrado abaixo, para b = 10.}

O domínio da função exponencial é igual ao conjunto imagem da função logarítmica e o domínio da função logarítmica é igual ao conjunto imagem da função exponencial. Isto ocorre porque as funções são inversas entre si.

ATIVIDADES: 35) Calcule os logaritmos: a) log_a128=7 b) log28=x c) log4b= 3 d) log1 2 2=x e) log21/ 2=x f) log₄16 =x g) log31/ 9 =x h) lo g₂2 = x i) log1 4 8 =x j) 8log25=x k) 31  log34=x

l)log₅1 log₂₇9104log439log35=x

36) Qual é o valor de a _{se o logaritmo do número 16/25 na base} a _{é 2?} 37) Qual é o valor de y= ln e+ 2ln



38) Calcule o valor de:

a) eln2

39) Construa o gráfico, diga se a função é crescente ou decrescente e

determine o seu domínio e imagem. a) f(x)log3 x b) x x f 3 1 log ) (  c) f(x)log2 x2 d) f(x)log2(x 1) e) f(x)log2 x f) f(x)2log3 x g)

y ln



x

y log



x

40) Resolva para x sem usar calculadora:

a)

log(

1



x

)



3

ln(

x

)



4

log

(

3

)



7

log

x

²



log

x



30

log

log

5





x

x

log

(

5

)



8

41) A acidez de uma substância é medida pelo valor de seu pH, o qual é

definido pela fórmula

pH=− log [ H

] Onde o símbolo [H

] denota a concentração de íons de hidrogênio, medida em moles por litro. A água destilada tem um pH igual a 7; uma substância é chamada ácida se tiver pH < 7 e básica se tiver pH >7. Encontre o pH de cada uma das seguintes substâncias e estabeleça se é ácida ou básica.

SUBSTÂNCIA _[H

]

Sangue arterial _3,9×10−8_{mol/ L}

Tomates _6,3×10−5_{mol/ L}

Leite _4,0×10−7_{mol/ L}

42) Use a definição de pH do exercício anterior para encontrar a concentração

de íons de hidrogênio [H] da solução que tem pH igual a: a) 2,44

b) 8,06

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ANTON, H. Cálculo: Um Novo Horizonte. 8 reimp. Porto Alegre: Bookman, 2007.

STEWART, J. Cálculo. Volume 1, 6. ed. São Paulo: Pioneira, 2006.

Lista de Sites

Matemática Essencial: Disponível em

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/superior.htm (acesso em

março/2011).

e-Cálculo: Disponível em http://ecalculo.if.usp.br/ (acesso em março/2011).

Cálculo A. Disponível em