Departamento de Matemática - ICEx - UFMG Marcelo Terra Cunha. Integrais Triplas

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C´

alculo III

Departamento de Matem´atica - ICEx - UFMG Marcelo Terra Cunha

Integrais Triplas

Nas primeiras aulas discutimos integrais duplas em vária regiões. Seja motivado pelas aplica¸cões, seja apenas pelo gosto matemático de procurar generaliza¸cões, você deve estar se perguntando: existem integrais triplas?

4.1 Origem e No¸

c˜

ao Intuitiva

Sim, se temos uma fun¸cão (bem comportada, como todas as fun¸cões do c´_{alculo) f : R → R, onde R é uma região do R}3 _{(ou seja, f ´}_{e uma fun¸c˜}_{ao de}

três variáveis), podemos calcular a integral tripla de f na região R.

Novamente, a idéia é particionar R em “pedacinhos”, que agora serão pequenos volumes ∆VI, onde I indexa os vários pedacinhos. Tendo uma

parti¸c˜ao, podemos definir somas de Riemann de f subordinada a essa parti¸c˜ao (da mesma forma que para integrais definidas e para integrais duplas)

S (f, R) =X

I

f (pI) ∆VI,

onde pI ´e um ponto no “pedacinho” correspondente da parti¸c˜ao. Novamente

podemos falar de somas inferiores, somas superiores e as mesmas condi¸cões de “bom comportamento” da f que permitiam definir a integral dupla são suficientes para mostrar o resultado análogo para integral tripla: a integral tripla de f na região R, denotada

Z Z Z

R

f dV, ´

e o limite das somas de Riemann correspondentes, quando as parti¸c˜oes s˜ao tomadas arbitrariamente finas.

Para as aplica¸cões do tipo cálculo de valor médio de fun¸cões, a inter-preta¸cão segue exatamente a mesma das integrais duplas: estamos olhando o valor da fun¸cão em um região pequena (se a fun¸cão for cont´ınua e a região

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realmente pequena, este valor depende muito pouco do ponto espec´ıfico es-colhido), multiplicando pelo volume do pedacinho (antes era a área, mas que diferen¸ca faz?) e somando todas estas contribui¸cões. Se queremos calcular uma média, precisamos depois dividir pela soma dos pequenos volumes, que dá o volume total da região.

Este último ponto lembra outra aplica¸cão simples da integral tripla: do mesmo modo que ao integrar a fun¸cão constante igual a 1 em uma região do plano estamos de fato calculando a área desta região (ou seja, a integral dupla também serve para calcular áreas), a integral tripla da fun¸cão constante igual a 1 em uma região do espa¸co calcula o volume desta região:

Z Z Z

R

dV = V (R) .

Por fim, a mesma dificuldade que temos em pensar em um gráfico de uma fun¸cão de três variáveis é o que torna pouco usual nos referirmos à integral tripla de uma fun¸cão f não-negativa como um “hiper-volume” da região acima de R no espa¸co tridimensional e abaixo do gráfico de f . Se você puder visualizar um gráfico de uma fun¸cão de três variáveis desta forma, a descri¸cão anterior fará sentido da mesma forma que a integral dupla de uma f não-negativa pode ser vista como uma volume e a integral definida de uma f de uma variável como uma área.

E claro, uma vez que se entenda que a passagem de duas para três variáveis só traz novidades técnicas (que ainda discutiremos), além de uma necessidade maior de abstra¸cão, você já estará pronto para definir por conta própria o conceito de integral múltipla, para uma fun¸cão de n variáveis, e de pensar em poss´ıveis aplica¸cões e interpreta¸cões para ela.

4.2 Como Calcular

Um primeiro caso simples de se calcular é quando a região de integra¸cão é um paralelep´ıpedo: P = [a, b] × [c, d] × [p, q] e a fun¸cão escrita em coordenadas cartesianas se mostra de fácil integra¸cão.

Neste caso, assim como para as integrais duplas, resolvemos a integral tripla fazendo integrais iteradas. Por exemplo:

Z Z Z P f (x, y, z) dV = Z q p Z d c Z b a f (x, y, z) dx dy dz.

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Naturalmente, a escolha da ordem de integra¸cão cabe a quem vai resolver a integral. E a escolha natural é aquela que torna a integral mais fácil de resolver.

Se para integrais duplas também havia outras regiões bem adaptadas a coordenadas cartesianas (como aquelas entre dois gráficos de fun¸cões de uma variável, as chamas regiões tipo I e tipo II), para integral tripla a situa¸cão não seria outra. Não vamos ficar aqui enumerando ou descrevendo regras de como proceder em cada caso (pois realmente achamos isso contraprodu-cente). A melhor estratégia é: busque uma descri¸cão da região de integra¸cão em nota¸cão de conjuntos e ali reconhe¸ca como esta descri¸cão se adequa a uma ordem adequada de integra¸cões iteradas. Por exemplo, considere que quere-mos fazer uma integral no interior de uma esfera de raio a, e que, por razões de simetria, basta integrarmos no primeiro octante. Uma maneira de descrever esta região é: R = {(x, y, z) : x2_{+ y}2_{+ z}2 _{≤ a}2_{, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}. Mas}

essa forma n˜ao ´e adequada para escrevermos integrais iteradas cartesianas. Mas se notarmos que

R =n(x, y, z) : 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤√a2_{− x}2_{, 0 ≤ z ≤}p_a2 _{− x}2 _{− y}2o_,

a´ı sim poderemos escrever Z Z Z R f (x, y, z) dV = Z a 0 Z √ a2_−x2 0 Z √ a2_−x2_−y2 0 f (x, y, z) dz dy dx. Onde, é claro, se a fun¸cão f for mais bem adaptada a outra ordem de inte-gra¸cão, devemos usar outra descri¸cão desta mesma região (já que ela permite) e adotar aquela que tornar a integral mais simples.

Nas pr´oximas aulas trataremos de outros sistemas de coordenadas, da mesma forma que utilizamos coordenadas polares para integrais duplas.

4.3 Aplica¸

c˜

oes

As aplica¸cões das integrais múltiplas são várias, mas entre elas se destacam aquelas relacionadas a obten¸cão de médias. Casos particulares destas médias são obten¸cões de centros de massa. Vamos nos concentrar agora no seguinte problema: seja T o tetraedro com vértices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1); considerando T um sólido homogêneo, obtenha seu centro de massa.

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Este problema já é dado em coordenadas cartesianas, e os eixos já foram escolhidos de maneira muito bem adaptada. Não há necessidade buscar qual-quer outro sistema de coordenadas1.

Há uma clara e importante simetria no problema: o papel das coorde-nadas x, y e z são os mesmos. Assim, se em princ´ıpio precisamos calcular as três coordenadas do centro de massa, na prática basta calcularmos uma vez, pois teremos xcm = ycm = zcm. Geometricamente, isso corresponde a dizer

que o centro de massa estar´a no segmento que une a origem ao baricentro da face oposta.

Como j´a sabemos das integrais duplas, a coordenada xcm ser´a dada pelo

valor médio da fun¸cão x na região T , assim, queremos resolver xcm = R R R T xρ dV R R R T ρ dV ,

onde ρ é a densidade do sólido. Como ρ é constante (o sólido é homogêneo), e aparece nas duas integrais, podemos eliminá-lo e o problema passa a ser calcular duas integrais:

Z Z Z T x dV e Z Z Z T dV,

que reconhecermos ser o volume do tetraedro. Este volume deve ser calculado geometricamente (1₃Abh) e resulta 1₆. Resta ent˜ao calcularmos

Z Z Z T x dV = Z 1 0 Z 1−x 0 Z 1−x−y 0 x dz dy dx = Z 1 0 Z 1−x 0 1 − x − y2 2 dy dx = Z 1 0 Z 1−x 0 ξ2 2 dξ dx = Z 1 0 1 − x3 6 dx = 1 24, de onde conclu´ımos que xcm = 1₄ = ycm = zcm.

1_{Embora possamos oferecer uma outra solu¸}_c˜_{ao que, implicitamente, faz uso de outro} sistema de coordenadas.

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Com um pouco mais de geometria, poder´ıamos resolver esse exerc´ıcio apenas com as t´ecnicas do c´alculo I. Mas isso fica como um desafio para quem estiver interessado.