Introdução aos Métodos Numéricos

Introdução aos Métodos

Numéricos

Instituto de Computação UFF

Departamento de Ciência da Computação

Conteúdo

● Erros e Aproximações Numéricas

● Sistemas de Equações Lineares. Métodos diretos

● Interpolação

● Ajuste de Curvas

● Zeros de Função

● Sistemas de Equações Lineares. Métodos Iterativos

● Integração Numérica

Conteúdo

Sistemas de equações

lineares

“Pronto, fiz os cálculos e achei ! ...Mas como sei se é a solução?“

Sistemas de equações

lineares

Exemplo de Wilson

Substitua o vetor solução por

(

10 7 8 7 7 5 6 5 8 6 10 9 7 5 9 10

)

⃗x=

(

32 23 33 31

)

⃗xT=(9,2;−12,6 ; 4,5 ;−1,1)

Sistemas de equações

lineares

Exemplo de Wilson

Substitua o vetor solução por

Resultado:

(

10 7 8 7 7 5 6 5 8 6 10 9 7 5 9 10

)

⃗x=

(

32 23 33 31

)

⃗xT=(9,2;−12,6 ; 4,5 ;−1,1) ⃗bT =(32,1 ;22,9;33,1 ;30,9)

Sistemas de equações

lineares

Exemplo de Wilson

Parece que estamos perto da solução...

A

(

9,2 −12,6 4,5 −1,1

)

=

(

32,1 22,9 33,1 30,9

)

;⃗b=

(

32 23 33 31

)

Sistemas de equações

lineares

Exemplo de Wilson

Substitua o vetor solução por

(

10 7 8 7 7 5 6 5 8 6 10 9 7 5 9 10

)

⃗x=

(

32 23 33 31

)

⃗xT=(1,82;−0,36 ;1,35 ;0,79)

Sistemas de equações

lineares

Exemplo de Wilson

Substitua o vetor solução por

Resultado:

(

10 7 8 7 7 5 6 5 8 6 10 9 7 5 9 10

)

⃗x=

(

32 23 33 31

)

⃗xT=(1,82;−0,36 ;1,35 ;0,79) ⃗bT =(32,01 ;22,99;33,01;30,99)

Sistemas de equações

lineares

Exemplo de Wilson

Realmente parecia que estávamos perto da

solução?

A

(

1,82 −0,36 1,35 0,79

)

=

(

32,01 22,99 33,01 30,99

)

;⃗b=

(

32 23 33 31

)

Sistemas de equações

lineares

Exemplo de Wilson

Repare...

A

(

1,82 −0,36 1,35 0,79

)

=

(

32,01 22,99 33,01 30,99

)

; A

(

9,2 −12,6 4,5 −1,1

)

=

(

32,1 22,9 33,1 30,9

)

;⃗b=

(

32 23 33 31

)

Sistemas de equações

lineares

Exemplo de Wilson

Solução:

(

10 7 8 7 7 5 6 5 8 6 10 9 7 5 9 10

)

⃗x=

(

32 23 33 31

)

⃗xT=(1;1;1 ;1)

Sistemas de equações

lineares

●

A técnica de substituir na equação pode nos

Sistemas de equações

lineares

●

A técnica de substituir na equação pode nos

enganar

Sistemas de equações

lineares

Este sistema é mal-condicionado, portanto:

●

Pequenas variações nos parâmetros do problema

(neste caso o vetor constante) gera uma mudança

muito maior na solução

Sistemas de equações

lineares

Este sistema é mal-condicionado, portanto:

●

Pequenas variações nos parâmetros do problema

(neste caso o vetor constante) gera uma mudança

muito maior na solução

●

Cada vetor dado é a solução exata para o vetor

Sistemas de equações

lineares

O exemplo de Wilson é ilustrativo da sensibilidade

que sistemas de equações podem ter quanto à

precisão de suas componentes. Pequenas

variações daquelas podem gerar grandes

variações no vetor solução.

Sistemas de equações

lineares

Mas há casos patológicos!

Matrizes de Hilbert

h_ij= 1

Sistemas de equações

lineares

Matrizes de Hilbert

H =

(

1 1/2 1/2 1/3

)

H =

(

1 1/2 1/3 1/2 1/3 1/ 4 1/3 1/4 1/5

)

H =

(

1 1/2 1/3 1/ 4 1/2 1/3 1/ 4 1/5 1/3 1/ 4 1/5 1/6 1/4 1/5 1/6 1/7

)

Sistemas de equações

lineares

Seja um sistema da forma

H matriz de Hilbert.

As componentes da solução são sempre inteiros.

H ⃗x=

(

1 1 1 ⋮ 1

)

Sistemas de equações

lineares

Seja um sistema da forma

H matriz de Hilbert.

As componentes da solução são sempre inteiros. Isto pode ser demonstrado pela regra de Cramer!

H ⃗x=

(

1 1 1 ⋮ 1

)

Sistemas de equações

lineares

Um pouquinho de matemática...

Normas

Norma é uma “ampliação“ do conceito de módulo

É uma maneira de medir propriedades de objetos

matemáticos complexos como vetores, matrizes e

funções.

Normas

Norma (módulo) de um vetor

É uma maneira de medir o “comprimento“ de um

vetor

Normas

Norma (módulo) de um vetor

É uma maneira de medir o “comprimento“ de um

vetor

Normas

Norma de um vetor

Nos interessa da norma três propriedades:

Normas

Norma de um vetor

Nos interessa da norma três propriedades:

●

É sempre positiva

Normas

Norma de um vetor

Nos interessa da norma três propriedades:

●

É sempre positiva

●

Só é nula se o vetor for nulo

●

Se o vetor for multiplicado por um valor, a norma

será a norma do vetor multiplicado pelo valor em

módulo

Normas

vetor de dimensão n

Esta é a Norma Euclidiana

‖v‖₂=

√

v₁v₁+v₂v₂+v₃v₃+⋯+v_nv_n=

√

∑

i=1 n

v_i v_i

Normas

vetor de dimensão n

Esta é a Norma 1 ou Norma Manhattan

‖⃗v‖₁=

|

v₁

|

+

|

v₂

|

+

|

v₃

|

+⋯+

|

v_n

|

=

∑

i=1 n

|

v_i

_|

Normas

vetor de dimensão n

Esta é a Norma do Máximo

‖⃗v‖_max=max_i

[

|

v₁

|

,

|

v₂

|

,

|

v₃

|

,⋯,

|

v_n

|

]

;i=1,⋯, n ⃗v

Normas

Um exemplo:

⃗vT=(−2,3,1) ‖v‖₂=

√

(−2)×(−2)+3×3+1×1=

√

14≈3,741657 ‖⃗v‖₁=|−2|+|3|+|1|=6 ‖⃗v‖_max=max_i

[

|−2|,|3|,|1|

]

=3

Normas

Um exemplo:

São todas medidas do vetor mas não dão a

mesma medida. São maneiras diferentes de

⃗vT=(−2,3,1)

‖v‖₂=

√

(−2)×(−2)+3×3+1×1=

√

14≈3,741657

‖⃗v‖₁=|−2|+|3|+|1|=6

Normas

A matriz n x n

São a Norma de Fröbenius, a Norma 1 e a Norma

do Máximo para matrizes

‖A‖₂=

√

(

∑

i=1 n

∑

j=1 n a_ij2

)

_{‖A‖1=max1≤ j≤n}

_∑

i=1 n

|

a_ij

_|

‖A‖max=max1≤i≤n

∑

j=1 n

Sistemas de equações

lineares

Sistemas de equações

lineares

O número de condicionamento de uma matriz A é

dado por

É fácil de ver que o número de condição da matriz

identidade é 1.

Sistemas de equações

lineares

O número de condicionamento de uma matriz A é

dado por

É fácil de ver que o número de condição da matriz

identidade é 1.

Não é difícil de demonstrar que o número de

condição é sempre maior ou igual a 1

Sistemas de equações

lineares

Uma matriz é tão mais bem condicionada

quanto o seu número de condição for mais

próximo de 1.

Sistemas de equações

lineares

Sistemas de equações

lineares

Vimos que o número de condição para o exemplo

de Wilson é 4488 e para os casos de matrizes de

Hilbert 3x3 é 748 e a 4x4 maior que 28375.

Sistemas de equações

lineares

Vimos que o número de condição para o exemplo

de Wilson é 4488 e para os casos de matrizes de

Hilbert 3x3 é 748 e a 4x4 maior que 28375.

As matrizes de Hilbert com aproximação de três

casas decimais já apresentam soluções distantes

da solução com números racionais

Sistemas de equações

lineares

Vimos que o número de condição para o exemplo

de Wilson é 4488 e para os casos de matrizes de

Hilbert 3x3 é 748 e a 4x4 maior que 28375.

As matrizes de Hilbert com aproximação de três

casas decimais já apresentam soluções distantes

da solução com números racionais

Na grande maioria das vezes não calculamos

diretamente o número de condição

Sistemas de equações

lineares

Observemos o método de Eliminação gaussiana:

● Se um pivô for bem menor que o(s) elemento(s)

eliminado(s), teremos ruído numérico afetando todos os cálculos subsequentes.

Sistemas de equações

lineares

Observemos o método de Eliminação gaussiana:

● Se um pivô for bem menor que o(s) elemento(s)

eliminado(s), teremos ruído numérico afetando todos os cálculos subsequentes.

● E assim, o vetor obtido pelo algoritmo poderá estar

Sistemas de equações

lineares

Observemos o método de Eliminação gaussiana:

● Se um pivô for bem menor que o(s) elemento(s)

eliminado(s), teremos ruído numérico afetando todos os cálculos subsequentes.

● E assim, o vetor obtido pelo algoritmo poderá estar

distante do vetor solução

Sistemas de equações

lineares

Primeiro passo:

Como verificar se o vetor obtido é próximo da solução do sistema?

Sistemas de equações

lineares

Método dos Resíduos Seja o sistema

do qual obtemos uma solução aproximada devido à instabilidade numérica da eliminação gaussiana

A ⃗x=⃗b

⃗

Sistemas de equações

lineares

Método dos Resíduos

Então podemos escrever

que substituída na equação original resulta em

A

₍

x⃗₁+ ⃗z₁

₎

=⃗b ⇒ A ⃗x₁+A ⃗z₁=⃗b ⇒ A ⃗z₁=⃗b− A ⃗x₁ ⃗x= ⃗x₁+ ⃗z₁

Sistemas de equações

lineares

Método dos Resíduos

Observe que podemos calcular . Definindo teremos

Definindo o resíduo como ficaremos com

A ⃗z₁=⃗b− ⃗b₁ ⃗ b₁= A ⃗x₁ ⃗b− A ⃗x₁ ⃗ r₁=⃗b− ⃗b₁ A ⃗z₁= ⃗r₁

Sistemas de equações

lineares

Sistemas de equações

lineares

Parece que nossos problemas foram resolvidos...

Só que não...

Sistemas de equações

lineares

Parece que nossos problemas foram resolvidos...

Só que não...

Pelos mesmos motivos que não conseguimos a

solução exata, não conseguiremos o valor de

mas uma aproximação que chamaremos de

O que nos resta?

⃗

z₁

Sistemas de equações

lineares

Parece que nossos problemas foram resolvidos...

Só que não...

Pelos mesmos motivos que não conseguimos a

solução exata, não conseguiremos o valor de

mas uma aproximação que chamaremos de

O que nos resta?

Começar tudo de novo...

⃗

z₁

Sistemas de equações

lineares

Podemos escrever

que substituída na equação original resulta em

onde é o segundo resíduo. Teremos o sistema

A

₍

x⃗₂+ ⃗z₂

₎

=⃗b⇒ A ⃗x₂+ A ⃗z₂=⃗b ⇒ A ⃗z₂=⃗b− A ⃗x₂= ⃗r₂ ⃗

x₂= ⃗x₁+ ⃗˚z₁ e ⃗x= ⃗x₂+ ⃗z₂

⃗

Sistemas de equações

lineares

O qual, de novo, não me dá o resultado correto mas uma aproximação …⃗˚z2

Sistemas de equações

lineares

O qual, de novo, não me dá o resultado correto mas uma aproximação …

Espero que esteja ficando claro que obteremos, de fato, as sequências

Esperamos que, se tudo estiver bem, teremos a cada passo valores melhores da solução e valores menores para a norma de

⃗˚z₂

{

x⃗_1, x⃗_2, x⃗_3,⋯, ⃗x_i

}

e

{

⃗˚z₁, ⃗˚z₂, ⃗˚z₃,⋯, ⃗˚z_i

}

Sistemas de equações

lineares

Se os valores em módulo do vetor de correção

diminuirem consistentemente, podemos dizer que o sistema é bem-condicionado e que a solução obtida é confiável

Sistemas de equações

lineares

Se os valores em módulo do vetor de correção

diminuirem consistentemente, podemos dizer que o sistema é bem-condicionado e que a solução obtida é confiável

Obs: No mundo real sempre haverá uma situação de mal-condicionamento a medida que chegamos perto do limite de precisão da máquina

Sistemas de equações

lineares

Observe que o método dos resíduos tem um problema: Temos que resolver uma sequência de SEL

Aparentemente o custo é alto...

Sistemas de equações

lineares

Observe que o método dos resíduos tem um problema: Temos que resolver uma sequência de SEL

Aparentemente o custo é alto... Só que não...

Sistemas de equações

lineares

Apresentaremos um outro assunto mas retornaremos ao Método dos Resíduos em breve...

Sistemas de equações

lineares

Fatoração LU

Aqui abordaremos resolver um sistema

supondo ser possível fazer a seguinte fatoração onde L e U são

A ⃗x=⃗b

Sistemas de equações

lineares

Matrizes L e U

podemos demonstrar que se A tem det(A) ≠ 0 então tal fatoração sempre é possível, embora permutações de linhas possam ser necessárias

L=

(

1 0 0 0 ⋯ 0 0 l₂₁ 1 0 0 ⋯ 0 0 l₃₁ l₃₂ 1 0 ⋯ 0 0 l₄₁ l₄₂ l₄₃ 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ l_n−1,1 l_n−1,2 l_n−1,3 l_n−1,4 ⋯ 1 0 l_{n ,1} l_{n ,2} l_{n ,3} l_{n ,4} ⋯ l_{n ,n−1} 1

)

U =

(

u₁₁ u₁₂ u₁₃ u₁₄ ⋯ u_{1, n−1} u_{1, n} 0 u₂₂ u₂₃ u₂₄ ⋯ u_{2, n−1} u_{2, n} 0 0 u₃₃ u₃₄ ⋯ u_{3, n−1} u_{3, n} 0 0 0 u₄₄ ⋯ u_{4, n−1} u_{4, n} ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ u_{n−1, n−1} u_n−1,n 0 0 0 0 ⋯ 0 u_{n , n}

)

Sistemas de equações

lineares

Um dos que primeiro estudaram a fatoração LU foi Alan Turing, considerado um dos pais da computação. Ele

apresenta a fatoração LU num artigo onde são

analizados os erros gerados no processo de eliminação gaussiana.

Sistemas de equações

lineares

Fatoração

Você consegue achar a fatoração aplicando o que você sabe sobre multiplicação de matrizes.

(

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄ ⋯ a_{1,n −1} a_nn a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄ ⋯ a_{2,n −1} a_2,n a31 a32 a33 a34 ⋯ a3,n −1 a3,n a₄₁ a₄₂ a₄₃ a₄₄ ⋯ a_{4, n−1} a_{4, n} ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ a_{n −1,1} a_n−1,2 a_{n −1,3} a_n−1,4 ⋯ a_n−1,n−1 a_{n −1,n} a_{n ,1} a_{n ,2} a_{n ,3} a_{n ,4} ⋯ a_{n ,n−1} a_{n ,n}

)

=

(

1 0 0 0 ⋯ 0 0 l₂₁ 1 0 0 ⋯ 0 0 l₃₁ l₃₂ 1 0 ⋯ 0 0 l₄₁ l₄₂ l₄₃ 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ l_n−1,1 l_{n −1,2} l_n−1,3 l_n−1,4 ⋯ 1 0 ln ,1 ln ,2 ln ,3 ln ,4 ⋯ ln ,n−1 1

)

(

u₁₁ u₁₂ u₁₃ u₁₄ ⋯ u_1,n−1 u_{1, n} 0 u₂₂ u₂₃ u₂₄ ⋯ u_2,n−1 u_{2, n} 0 0 u33 u34 ⋯ u3,n−1 u3, n 0 0 0 u₄₄ ⋯ u_{4,n −1} u_{4, n} ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ u_{n−1, n−1} u_n−1,n 0 0 0 0 ⋯ 0 u_{n ,n}

)

Sistemas de equações

lineares

Fatoração

Se você multiplicar a primeira linha de L por cada coluna de U você obterá

(

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄ ⋯ a_{1,n −1} a_nn a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄ ⋯ a_{2,n −1} a_2,n a31 a32 a33 a34 ⋯ a3,n −1 a3,n a₄₁ a₄₂ a₄₃ a₄₄ ⋯ a_{4, n−1} a_{4, n} ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ a_{n −1,1} a_n−1,2 a_{n −1,3} a_n−1,4 ⋯ a_n−1,n−1 a_{n −1,n} a_{n ,1} a_{n ,2} a_{n ,3} a_{n ,4} ⋯ a_{n ,n−1} a_{n ,n}

)

=

(

1 0 0 0 ⋯ 0 0 l₂₁ 1 0 0 ⋯ 0 0 l₃₁ l₃₂ 1 0 ⋯ 0 0 l₄₁ l₄₂ l₄₃ 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ l_n−1,1 l_{n −1,2} l_n−1,3 l_n−1,4 ⋯ 1 0 ln ,1 ln ,2 ln ,3 ln ,4 ⋯ ln ,n−1 1

)

(

u₁₁ u₁₂ u₁₃ u₁₄ ⋯ u_1,n−1 u_{1, n} 0 u₂₂ u₂₃ u₂₄ ⋯ u_2,n−1 u_{2, n} 0 0 u33 u34 ⋯ u3,n−1 u3, n 0 0 0 u₄₄ ⋯ u_{4,n −1} u_{4, n} ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ u_{n−1, n−1} u_n−1,n 0 0 0 0 ⋯ 0 u_{n ,n}

)

Sistemas de equações

lineares

Fatoração

Se agora, sabendo a primeira linha de U, multiplicar as linhas de L pela primeira coluna de U você obterá

(

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄ ⋯ a_{1,n −1} a_nn a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄ ⋯ a_{2,n −1} a_2,n a31 a32 a33 a34 ⋯ a3,n −1 a3,n a₄₁ a₄₂ a₄₃ a₄₄ ⋯ a_{4, n−1} a_{4, n} ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ a_{n −1,1} a_n−1,2 a_{n −1,3} a_n−1,4 ⋯ a_n−1,n−1 a_{n −1,n} a_{n ,1} a_{n ,2} a_{n ,3} a_{n ,4} ⋯ a_{n ,n−1} a_{n ,n}

)

=

(

1 0 0 0 ⋯ 0 0 l₂₁ 1 0 0 ⋯ 0 0 l₃₁ l₃₂ 1 0 ⋯ 0 0 l₄₁ l₄₂ l₄₃ 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ l_n−1,1 l_{n −1,2} l_n−1,3 l_n−1,4 ⋯ 1 0 ln ,1 ln ,2 ln ,3 ln ,4 ⋯ ln ,n−1 1

)

(

u₁₁ u₁₂ u₁₃ u₁₄ ⋯ u_1,n−1 u_{1, n} 0 u₂₂ u₂₃ u₂₄ ⋯ u_2,n−1 u_{2, n} 0 0 u33 u34 ⋯ u3,n−1 u3, n 0 0 0 u₄₄ ⋯ u_{4,n −1} u_{4, n} ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ u_{n−1, n−1} u_n−1,n 0 0 0 0 ⋯ 0 u_{n ,n}

)

Sistemas de equações

lineares

Obtemos

u_{1 j}=a_{1 j}; j=1, n e l_i1= ai 1

Sistemas de equações

lineares

Fatoração

Multipliquemos a segunda linha de L pelas colunas de U

(

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄ ⋯ a_{1,n −1} a_nn a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄ ⋯ a_{2,n −1} a_2,n a31 a32 a33 a34 ⋯ a3,n −1 a3,n a₄₁ a₄₂ a₄₃ a₄₄ ⋯ a_{4, n−1} a_{4, n} ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ a_{n −1,1} a_n−1,2 a_{n −1,3} a_n−1,4 ⋯ a_n−1,n−1 a_{n −1,n} a_{n ,1} a_{n ,2} a_{n ,3} a_{n ,4} ⋯ a_{n ,n−1} a_{n ,n}

)

=

(

1 0 0 0 ⋯ 0 0 l₂₁ 1 0 0 ⋯ 0 0 l₃₁ l₃₂ 1 0 ⋯ 0 0 l₄₁ l₄₂ l₄₃ 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ l_n−1,1 l_{n −1,2} l_n−1,3 l_n−1,4 ⋯ 1 0 ln ,1 ln ,2 ln ,3 ln ,4 ⋯ ln ,n−1 1

)

(

u₁₁ u₁₂ u₁₃ u₁₄ ⋯ u_1,n−1 u_{1, n} 0 u₂₂ u₂₃ u₂₄ ⋯ u_2,n−1 u_{2, n} 0 0 u33 u34 ⋯ u3,n−1 u3, n 0 0 0 u₄₄ ⋯ u_{4,n −1} u_{4, n} ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ u_{n−1, n−1} u_n−1,n 0 0 0 0 ⋯ 0 u_{n ,n}

)

Sistemas de equações

lineares

Obtemos

Sistemas de equações

lineares

Obtemos

Observe que neste cálculo não usamos os valores da

primeira linha de A. É como se eles não mais existissem.

Sistemas de equações

lineares

Fatoração

Multipliquemos linhas de L pela segunda coluna de U

(

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄ ⋯ a_{1,n −1} a_nn a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄ ⋯ a_{2,n −1} a_2,n a31 a32 a33 a34 ⋯ a3,n −1 a3,n a₄₁ a₄₂ a₄₃ a₄₄ ⋯ a_{4, n−1} a_{4, n} ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ a_{n −1,1} a_n−1,2 a_{n −1,3} a_n−1,4 ⋯ a_n−1,n−1 a_{n −1,n} a_{n ,1} a_{n ,2} a_{n ,3} a_{n ,4} ⋯ a_{n ,n−1} a_{n ,n}

)

=

(

1 0 0 0 ⋯ 0 0 l₂₁ 1 0 0 ⋯ 0 0 l₃₁ l₃₂ 1 0 ⋯ 0 0 l₄₁ l₄₂ l₄₃ 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ l_n−1,1 l_{n −1,2} l_n−1,3 l_n−1,4 ⋯ 1 0 ln ,1 ln ,2 ln ,3 ln ,4 ⋯ ln ,n−1 1

)

(

u₁₁ u₁₂ u₁₃ u₁₄ ⋯ u_1,n−1 u_{1, n} 0 u₂₂ u₂₃ u₂₄ ⋯ u_2,n−1 u_{2, n} 0 0 u33 u34 ⋯ u3,n−1 u3, n 0 0 0 u₄₄ ⋯ u_{4,n −1} u_{4, n} ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ u_{n−1, n−1} u_n−1,n 0 0 0 0 ⋯ 0 u_{n ,n}

)

a =l u +l u ; a =l u +l u ;⋯; a =l u +l u

Sistemas de equações

lineares

Obtemos

l_i2=ai 2−li 1u12

Sistemas de equações

lineares

Obtemos

Aqui não usamos os valores da primeira linha de A nem da primeira coluna de A. Eles não são mais necessários.

l_i2=ai 2−li 1u12

Sistemas de equações

lineares

Fatoração

Multipliquemos a terceira linha de L pelas colunas de U

(

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄ ⋯ a_{1,n −1} a_nn a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄ ⋯ a_{2,n −1} a_2,n a31 a32 a33 a34 ⋯ a3,n −1 a3,n a₄₁ a₄₂ a₄₃ a₄₄ ⋯ a_{4, n−1} a_{4, n} ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ a_{n −1,1} a_n−1,2 a_{n −1,3} a_n−1,4 ⋯ a_n−1,n−1 a_{n −1,n} a_{n ,1} a_{n ,2} a_{n ,3} a_{n ,4} ⋯ a_{n ,n−1} a_{n ,n}

)

=

(

1 0 0 0 ⋯ 0 0 l₂₁ 1 0 0 ⋯ 0 0 l₃₁ l₃₂ 1 0 ⋯ 0 0 l₄₁ l₄₂ l₄₃ 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ l_n−1,1 l_{n −1,2} l_n−1,3 l_n−1,4 ⋯ 1 0 ln ,1 ln ,2 ln ,3 ln ,4 ⋯ ln ,n−1 1

)

(

u₁₁ u₁₂ u₁₃ u₁₄ ⋯ u_1,n−1 u_{1, n} 0 u₂₂ u₂₃ u₂₄ ⋯ u_2,n−1 u_{2, n} 0 0 u33 u34 ⋯ u3,n−1 u3, n 0 0 0 u₄₄ ⋯ u_{4,n −1} u_{4, n} ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ u_{n−1, n−1} u_n−1,n 0 0 0 0 ⋯ 0 u_{n ,n}

)

a =l u +l u +u ;a =l u +l u +u ;⋯; a =l u +l u +u

Sistemas de equações

lineares

Obtemos u_{3 j}=a_{3 j}−l₃₁u_{1 j}−l₃₂u_{2 j}=a_{3 j}−

∑

k =1 2 l_{3 k}u_kj; j=3, n

Sistemas de equações

lineares

Obtemos

E aqui não necessitamos das duas primeiras linhas de A nem das duas primeiras colunas.

u_{3 j}=a_{3 j}−l₃₁u_{1 j}−l₃₂u_{2 j}=a_{3 j}−

∑

k =1

2

Sistemas de equações

lineares

Fatoração

Multipliquemos linhas de L pela terceira coluna de U

(

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄ ⋯ a_{1,n −1} a_nn a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄ ⋯ a_{2,n −1} a_2,n a31 a32 a33 a34 ⋯ a3,n −1 a3,n a₄₁ a₄₂ a₄₃ a₄₄ ⋯ a_{4, n−1} a_{4, n} ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ a_{n −1,1} a_n−1,2 a_{n −1,3} a_n−1,4 ⋯ a_n−1,n−1 a_{n −1,n} a_{n ,1} a_{n ,2} a_{n ,3} a_{n ,4} ⋯ a_{n ,n−1} a_{n ,n}

)

=

(

1 0 0 0 ⋯ 0 0 l₂₁ 1 0 0 ⋯ 0 0 l₃₁ l₃₂ 1 0 ⋯ 0 0 l₄₁ l₄₂ l₄₃ 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ l_n−1,1 l_{n −1,2} l_n−1,3 l_n−1,4 ⋯ 1 0 ln ,1 ln ,2 ln ,3 ln ,4 ⋯ ln ,n−1 1

)

(

u₁₁ u₁₂ u₁₃ u₁₄ ⋯ u_1,n−1 u_{1, n} 0 u₂₂ u₂₃ u₂₄ ⋯ u_2,n−1 u_{2, n} 0 0 u33 u34 ⋯ u3,n−1 u3, n 0 0 0 u₄₄ ⋯ u_{4,n −1} u_{4, n} ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ u_{n−1, n−1} u_n−1,n 0 0 0 0 ⋯ 0 u_{n ,n}

)

a₄₃=l₄₁u₁₃+l₄₂u₂₃+l₄₃u₃₃;⋯; a_{n 3}=l_{n 1}u₁₃+l_{n 2}u₂₃+l_{n 3}u₃₃

Sistemas de equações

lineares

Obtemos

Novamente não faremos referência as duas primeiras linhas de A e às duas primeiras colunas.

l_i3=ai3−li 1u13−li 2u23 u₃₃ = 1 u₃₃

[

ai 3−

∑

_{k =1} 2 l_ik u_{k 3}

]

;i=4, n

Sistemas de equações

lineares

Sistemas de equações

lineares

O algoritmo está começando a ficar nítido...

e para i=2 até n

u_{1 j}=a_{1 j}; j=1, n u =a −

∑

i−1 l u ; j>1 l = 1

[

a −

∑

j−1 l u

]

;i> j

Pensando como

computeiro...

Pense bem...

Nós humanos necessitamos de organizar um pouco o mundo. Mas os computadores já nascem ordenados.

Pensando como

computeiro...

Pense bem...

Nós humanos necessitamos de organizar um pouco o mundo. Mas os computadores já nascem ordenados. Eles não necessitam organizar a fatoração em duas matrizes separadas pois o algoritmo não invade os dados de forma errada, a não ser que o programador falhe.

Pensando como

computeiro

Observe que não necessitamos de guardar no no computador

computador a fatoração em duas matrizes separadas a fatoração em duas matrizes separadas

O algoritmo que se segue aproveita o espaço que não armazena mais valores necessários à fatoração

(

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄ ⋯ a_{1,n −1} a_nn a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄ ⋯ a_{2,n −1} a_2,n a31 a32 a33 a34 ⋯ a3,n −1 a3,n a₄₁ a₄₂ a₄₃ a₄₄ ⋯ a_{4, n−1} a_{4, n} ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ a_{n −1,1} a_n−1,2 a_{n −1,3} a_n−1,4 ⋯ a_n−1,n−1 a_{n −1,n} a_{n ,1} a_{n ,2} a_{n ,3} a_{n ,4} ⋯ a_{n ,n−1} a_{n ,n}

)

=

(

1 0 0 0 ⋯ 0 0 l₂₁ 1 0 0 ⋯ 0 0 l₃₁ l₃₂ 1 0 ⋯ 0 0 l₄₁ l₄₂ l₄₃ 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ l_n−1,1 l_{n −1,2} l_n−1,3 l_n−1,4 ⋯ 1 0 l_{n ,1} l_{n ,2} l_{n ,3} l_{n ,4} ⋯ l_{n ,n−1} 1

)

(

u₁₁ u₁₂ u₁₃ u₁₄ ⋯ u_1,n−1 u_{1, n} 0 u₂₂ u₂₃ u₂₄ ⋯ u_2,n−1 u_{2, n} 0 0 u33 u34 ⋯ u3,n−1 u3, n 0 0 0 u₄₄ ⋯ u_{4,n −1} u_{4, n} ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ u_{n−1, n−1} u_n−1,n 0 0 0 0 ⋯ 0 u_{n ,n}

)

Sistemas de equações

lineares

Algoritmo:

Também é uma algoritmo ingênuo

Para i=1 até n

Para j←1 até i−1 s←a_ij Para k=1, j−1 s← s−a_ik a_kj a_ij←s/a_jj Para j←1 até n s←a_ij

Para k=1 até i−1 s← s−a_ik a_kj a_ij←s

Sistemas de equações

lineares

Mas e a resolução do sistema? Observe que

o que nos deixa com dois SEL

A ⃗x=⃗b ⇒(LU )⃗x=⃗b ⇒ L ⃗y=⃗b onde U ⃗x=⃗y

L ⃗y=⃗b U ⃗x=⃗y

Sistemas de equações

lineares

Mas os sistemas são triangulares e de custo baixo O(n2)

Sistemas de equações

lineares

Mas os sistemas são triangulares e de custo baixo O(n2)

Sistemas de equações

lineares

Mas os sistemas são triangulares e de custo baixo O(n2)

E quanto custa a fatoração? O(n3)!

O custo computacional total da resolução do SEL é o mesmo que a eliminação gaussiana

Sistemas de equações

lineares

Mas os sistemas são triangulares e de custo baixo O(n2)

E quanto custa a fatoração? O(n3)!

O custo computacional total da resolução do SEL é o mesmo que a eliminação gaussiana

Sistemas de equações

lineares

Sistemas de equações

lineares

Seja o sistema

(

2 4 −1 1 −4 1 6 2 6 3 3 1 2 6 2 4

)

⃗x=

(

4 9 −1 12

)

Sistemas de equações

lineares

Seja o sistema

que é conhecido nosso...

(

2 4 −1 1 −4 1 6 2 6 3 3 1 2 6 2 4

)

⃗x=

(

4 9 −1 12

)

Sistemas de equações

lineares

Fatoremos a matriz

multiplicando os valores das matrizes. Primeira linha de L pelas colunas de U

(

2 4 −1 1 −4 1 6 2 6 3 3 1 2 6 2 4

)

=

(

1 0 0 0 l₂₁ 1 0 0 l₃₁ l₃₂ 1 0 l₄₁ l₄₂ l₄₃ 1

)

(

u₁₁ u₁₂ u₁₃ u₁₄ 0 u₂₂ u₂₃ u₂₄ 0 0 u₃₃ u₃₄ 0 0 0 u₄₄

)

Sistemas de equações

lineares

Multiplicando as linhas de L pela primeira coluna de U. Os valores da segunda coluna da matriz L serão

(

2 4 −1 1 −4 1 6 2 6 3 3 1 2 6 2 4

)

=

(

1 0 0 0 l₂₁ 1 0 0 l₃₁ l₃₂ 1 0 l₄₁ l₄₂ l₄₃ 1

)(

2 4 −1 1 0 u₂₂ u₂₃ u₂₄ 0 0 u₃₃ u₃₄ 0 0 0 u₄₄

)

Sistemas de equações

lineares

Multiplicando a segunda linha de L pelas colunas de U. Os valores da segunda linha da matriz U serão

(

2 4 −1 1 −4 1 6 2 6 3 3 1 2 6 2 4

)

=

(

1 0 0 0 −2 1 0 0 3 l₃₂ 1 0 1 l₄₂ l₄₃ 1

)

(

2 4 −1 1 0 u₂₂ u₂₃ u₂₄ 0 0 u₃₃ u₃₄ 0 0 0 u₄₄

)

Sistemas de equações

lineares

Multiplicando as linhas de L pela segunda coluna de U. Os valores da segunda coluna da matriz L serão

(

2 4 −1 1 −4 1 6 2 6 3 3 1 2 6 2 4

)

=

(

1 0 0 0 −2 1 0 0 3 l₃₂ 1 0 1 l₄₂ l₄₃ 1

)(

2 4 −1 1 0 9 4 4 0 0 u₃₃ u₃₄ 0 0 0 u₄₄

)

Sistemas de equações

lineares

Multiplicando a terceira linha de L pelas colunas de U. Os valores da terceira linha da matriz U serão

(

2 4 −1 1 −4 1 6 2 6 3 3 1 2 6 2 4

)

=

(

1 0 0 0 −2 1 0 0 3 −1 1 0 1 2/9 l₄₃ 1

)

(

2 4 −1 1 0 9 4 4 0 0 u₃₃ u₃₄ 0 0 0 u₄₄

)

Sistemas de equações

lineares

Multiplicando as linhas de L pela terceira coluna de U. Os valores da terceira coluna da matriz L serão

(

2 4 −1 1 −4 1 6 2 6 3 3 1 2 6 2 4

)

=

(

1 0 0 0 −2 1 0 0 3 −1 1 0 1 2/9 l₄₃ 1

)(

2 4 −1 1 0 9 4 4 0 0 10 2 0 0 0 u₄₄

)

Sistemas de equações

lineares

Multiplicando a quarta linha de L pelas colunas de U. Os valores da quarta linha da matriz U serão

(

2 4 −1 1 −4 1 6 2 6 3 3 1 2 6 2 4

)

=

(

1 0 0 0 −2 1 0 0 3 −1 1 0 1 2/9 19/90 1

)

(

2 4 −1 1 0 9 4 4 0 0 10 2 0 0 0 u₄₄

)

Sistemas de equações

lineares

Matriz fatorada

Observe a matriz final da eliminação gaussiana. Ela é idêntica à matriz U obtida. Se você olhar os valores dos m's da eliminação gaussiana, irá encontrá-los com os sinais trocados na matriz L.

(

2 4 −1 1 −4 1 6 2 6 3 3 1 2 6 2 4

)

=

(

1 0 0 0 −2 1 0 0 3 −1 1 0 1 2/9 19/90 1

)(

2 4 −1 1 0 9 4 4 0 0 10 2 0 0 0 76/75

)

Sistemas de equações

lineares

Matriz fatorada

Observe a matriz final da eliminação gaussiana. Ela é idêntica à matriz U obtida. Se você olhar os valores dos m's da eliminação gaussiana, irá encontrá-los com os sinais trocados na matriz L. Não é coincidência...

(

2 4 −1 1 −4 1 6 2 6 3 3 1 2 6 2 4

)

=

(

1 0 0 0 −2 1 0 0 3 −1 1 0 1 2/9 19/90 1

)(

2 4 −1 1 0 9 4 4 0 0 10 2 0 0 0 76/75

)

Sistemas de equações

lineares

Resolvendo o sistema

(

2 4 −1 1 −4 1 6 2 6 3 3 1 2 6 2 4

)

⃗x=

(

4 9 −1 12

)

Sistemas de equações

lineares

Resolvendo o sistema

(

2 4 −1 1 −4 1 6 2 6 3 3 1 2 6 2 4

)

=

(

1 0 0 0 −2 1 0 0 3 −1 1 0 1 2/9 19/90 1

)(

2 4 −1 1 0 9 4 4 0 0 10 2 0 0 0 76/75

)

Sistemas de equações

lineares

Na fatoração LU o sistema original é transformado em dois sistemas

ou seja, resolveremos primeiro

A ⃗x=⃗b ⇒ LU ⃗x=⃗b ⇒ L ⃗y=⃗b e U ⃗x=⃗y

(

1 0 0 0 −2 1 0 0 3 −1 1 0 1 2/9 19/90 1

)

⃗y=

(

4 9 −1 12

)

Sistemas de equações

lineares

Calculemos cada valor do vetor y como abaixo

(

1 0 0 0 −2 1 0 0 3 −1 1 0 1 2/9 19/90 1

)

⃗y=

(

4 9 −1 12

)

y₁=4 ;−2 y₁+ y₂=9⇒−2×4+ y₂=9 ⇒ y₂=17 3 y₁− y₂+ y₃=−1⇒ 3×4−17+ y₃=−1⇒ y₃=4

Sistemas de equações

lineares

O vetor solução da primeira equação será

que é o vetor constante no final da eliminação gaussiana. ⃗y=

(

4 17 4 152/45

)

Sistemas de equações

lineares

O segundo sistema será

que é equivalente a fazer a retrosubstituição na eliminação gaussiana. Ou seja

(

2 4 −1 1 0 9 4 4 0 0 10 2 0 0 0 76/45

)

⃗x=

(

4 17 4 152/ 45

)

U ⃗x=⃗y

Sistemas de equações

lineares

O segundo sistema será

(

2 4 −1 1 0 9 4 4 0 0 10 2 0 0 0 76/45

)

⃗x=

(

4 17 4 152/ 45

)

x₄= 76 45 156 45 =2 10 x3+2 x4=4 ⇒ 10 x3+2×2=4 ⇒ x3= 4−4 10 =0 9 x₂+4 x₃+4 x₄=17⇒ 9 x₂=17−4×0−4×2⇒ x₂=9 9 =1 U ⃗x=⃗y

Sistemas de equações

lineares

O vetor solução do problema será

⃗x=

(

−1

1 0 2

)

Sistemas de equações

lineares

Vimos que há uma equivalência entre a resolução por fatoração LU e eliminação gaussiana.

Sistemas de equações

lineares

Vimos que há uma equivalência entre a resolução por fatoração LU e eliminação gaussiana.

No entanto, a fatoração LU é um pouco menos sensível à instabilidade numérica em relação à eliminação

Sistemas de equações

lineares

Vimos que há uma equivalência entre a resolução por fatoração LU e eliminação gaussiana.

No entanto, a fatoração LU é um pouco menos sensível à instabilidade numérica em relação à eliminação

gaussiana.

Além disso, a fatoração LU diminui o custo computacional de alguns problemas.

Sistemas de equações

lineares

Sistemas de equações

lineares

N

o método dos resíduos temos que resolver uma sequência de SEL

Se fizermos eliminação gaussiana em todos os sistemas o custo será alto. No caso, aproximadamente n3 vezes

k.

Sistemas de equações

lineares

No entanto, se fizermos por fatoração LU, o

primeiro sistema terá custo O(n

3

) mas os demais

sistemas o custo será de aproximadamente n

2

vezes k.

Sistemas de equações

lineares

Um outro problema: Inversão de matrizes Se det(A) é não nulo, então se

diremos que B é a matriz inversa de A.

Sistemas de equações

lineares

Um outro problema: Inversão de matrizes Se det(A) é não nulo, então se

diremos que B é a matriz inversa de A.

Observe que este é um sistema de equações cuja a incógnita não é um vetor mas uma matriz

Sistemas de equações

lineares

Vamos ao velho truque:

Resolveremos este problema por multiplicação de matrizes...

Sistemas de equações

lineares

O sistema abaixo

pode ser escrito como

AB=I

(

a11 a12 a13 a14 ⋯ a1,n −1 ann a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄ ⋯ a_{2,n −1} a_2,n a31 a32 a33 a34 ⋯ a3,n −1 a3,n a₄₁ a₄₂ a₄₃ a₄₄ ⋯ a_{4, n−1} a_{4, n} ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ a_{n −1,1} a_n−1,2 a_{n −1,3} a_n−1,4 ⋯ a_n−1,n−1 a_{n −1,n} a_{n ,1} a_{n ,2} a_{n ,3} a_{n ,4} ⋯ a_{n ,n−1} a_{n ,n}

)(

b11 b12 b13 b14 ⋯ b1, n−1 b1 n b₂₁ b₂₂ b₂₃ b₂₄ ⋯ b_2,n−1 b_{2 n} b31 b32 b33 b34 ⋯ b3,n−1 b3 n b₄₁ b₄₂ b₄₃ b₄₄ ⋯ b_4,n−1 b_{4, n} ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ b_{n −1,1} b_n−1,2 b_n−1,3 b_n−1,4 ⋯ b_{n−1,n −1} b_n−1,n b_{n ,1} b_{n ,2} b_{n ,3} b_{n ,4} ⋯ b_{n ,n −1} l_nn

)

=

(

1 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 1 0 0 0 0 0 ⋯ 0 1

)

Sistemas de equações

lineares

Mas este sistema pode ser entendido como a matriz A multiplicada por cada coluna de B resultando em cada coluna de I

(

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄ ⋯ a_{1,n −1} a_nn a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄ ⋯ a_{2,n −1} a_2,n a31 a32 a33 a34 ⋯ a3,n −1 a3,n a₄₁ a₄₂ a₄₃ a₄₄ ⋯ a_{4, n−1} a_{4, n} ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ a_{n −1,1} a_n−1,2 a_{n −1,3} a_n−1,4 ⋯ a_n−1,n−1 a_{n −1,n} a_{n ,1} a_{n ,2} a_{n ,3} a_{n ,4} ⋯ a_{n ,n−1} a_{n ,n}

)(

b₁₁ b₁₂ b₁₃ b₁₄ ⋯ b_{1, n−1} b_{1 n} b₂₁ b₂₂ b₂₃ b₂₄ ⋯ b_2,n−1 b_{2 n} b31 b32 b33 b34 ⋯ b3,n−1 b3 n b₄₁ b₄₂ b₄₃ b₄₄ ⋯ b_4,n−1 b_{4, n} ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ b_{n −1,1} b_n−1,2 b_n−1,3 b_n−1,4 ⋯ b_{n−1,n −1} b_n−1,n b_{n ,1} b_{n ,2} b_{n ,3} b_{n ,4} ⋯ b_{n ,n −1} l_nn

)

=

(

1 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 1 0 0 0 0 0 ⋯ 0 1

)

Sistemas de equações

lineares

Ou seja,

onde são as k-ésimas colunas de B e I.

A ⃗b₁= ⃗I₁ A ⃗b₂= ⃗I₂ A ⃗b₃= ⃗I₃ ⋮ A ⃗b_n= ⃗I_n b_k e I_k

Sistemas de equações

lineares

● Inverter uma matriz corresponde a resolvermos n

Sistemas de equações

lineares

● Inverter uma matriz corresponde a resolvermos n

sistemas de equações lineares

● O números de operações necessárias para inverter uma

matriz usando fatoração LU é de aproximadamente 4n3 /3, quatro vezes mais que a eliminação gaussiana

Sistemas de equações

lineares

● Inverter uma matriz corresponde a resolvermos n

sistemas de equações lineares

● O números de operações necessárias para inverter uma

matriz usando fatoração LU é de aproximadamente 4n3 /3, quatro vezes mais que a eliminação gaussiana

ou a fatoração LU.

● O algoritmo de Gauss-Jordan para inversão de matrizes

Sistemas de equações

lineares

Ou seja, em geral não é uma boa ideia resolver um

sistema invertendo a matriz associada ao sistema pois o custo e quatro vezes maior que por eliminação ou

Sistemas de equações

lineares

Ou seja, em geral não é uma boa ideia resolver um

sistema invertendo a matriz associada ao sistema pois o custo e quatro vezes maior que por eliminação ou

fatoração LU.

O maior número de operações também gerará mais ruído numérico.

Sistemas de equações

lineares

Ou seja, em geral não é uma boa ideia resolver um

sistema invertendo a matriz associada ao sistema pois o custo e quatro vezes maior que por eliminação ou

fatoração LU.

O maior número de operações também gerará mais ruído numérico.

Sistemas de equações

lineares

Mas continuamos com a instabilidade numérica da eliminação gaussiana e da fatoração LU

Sistemas de equações

lineares

Mas continuamos com a instabilidade numérica da eliminação gaussiana e da fatoração LU

Sistemas de equações

lineares

Mas continuamos com a instabilidade numérica da eliminação gaussiana e da fatoração LU

Há como evitar? Não...

Sistemas de equações

lineares

Pivotamento parcial e total

São procedimentos que podem diminuir o ruído numérico nos métodos vistos

Sistemas de equações

lineares

Pivotamento parcial e total

São procedimentos que podem diminuir o ruído numérico nos métodos vistos

Sistemas de equações

lineares

Pivotamento parcial

● Começando pela primeira coluna, ache o maior

elemento em módulo desta coluna

● Troque a linha na qual está este valor como a primeira

linha

Sistemas de equações

lineares

Pivotamento parcial

● Ache o maior elemento em módulo da segunda coluna

abaixo da primeira linha

● Troque a linha na qual está este valor como a segunda

linha

Sistemas de equações

lineares

Pivotamento parcial

● Ache o maior elemento em módulo da terceira coluna

abaixo da segunda linha

● Troque a linha na qual está este valor como a terceira

linha

Sistemas de equações

lineares

Pivotamento parcial

Sistemas de equações

lineares

Pivotamento parcial

Faça o equivalente para as demais colunas Qual é a ideia por trás disto?

Sistemas de equações

lineares

Pivotamento parcial

A maior fonte de ruído numérico é a divisão pelo pivô pois se o pivô for menor que o termo a ser eliminado teremos potencialmente um elevado ruído numérico

Sistemas de equações

lineares

Pivotamento parcial

A maior fonte de ruído numérico é a divisão pelo pivô pois se o pivô for menor que o termo a ser eliminado teremos potencialmente um elevado ruído numérico

Ao escolhermos o maior maior em módulo da coluna a ser eliminada, reduzimos o ruído numérico

Sistemas de equações

lineares

Pivotamento parcial

A maior fonte de ruído numérico é a divisão pelo pivô pois se o pivô for menor que o termo a ser eliminado teremos potencialmente um elevado ruído numérico

Ao escolhermos o maior maior em módulo da coluna a ser eliminada, reduzimos o ruído numérico

Sistemas de equações

lineares

Pivotamento parcial

O custo computacional é basicamente o custo da busca do maior elemento em módulo.

Sistemas de equações

lineares

Seja o vetor de n elementos

● Afirmarmos que o primeiro elemento é o maior em módulo e o

guardamos numa variável M, valor provisoriamente de máximo e em IM a linha deste máximo provisório.

Sistemas de equações

lineares

Seja o vetor de n elementos

● Afirmarmos que o primeiro elemento é o maior em módulo e o

guardamos numa variável M, valor provisoriamente de máximo e em IM a linha deste máximo provisório.

● Se M < |v

2| , façamos M=|v2| e IM = 2. Caso não, avançamos para o

próximo elemento

Sistemas de equações

lineares

Seja o vetor de n elementos

● Afirmarmos que o primeiro elemento é o maior em módulo e o

guardamos numa variável M, valor provisoriamente de máximo e em IM a linha deste máximo provisório.

● Se M < |v

2| , façamos M=|v2| e IM = 2. Caso não, avançamos para o

próximo elemento

● Se M < |v

3|, faremos M=|v3|e IM = 3. Caso não, avançamos para o

próximo elemento.

Sistemas de equações

lineares

Seja o vetor de n elementos

● Afirmarmos que o primeiro elemento é o maior em módulo e o

guardamos numa variável M, valor provisoriamente de máximo e em IM a linha deste máximo provisório.

● Se M < |v

2| , façamos M=|v2| e IM = 2. Caso não, avançamos para o

próximo elemento

● Se M < |v

3|, faremos M=|v3|e IM = 3. Caso não, avançamos para o

próximo elemento.

● Faremos isto até o último elemento

Sistemas de equações

lineares

Façamos um exemplo para esclarecer a questão de acharmos o maior elemento de um vetor.

Dado o vetor ⃗v=

(

1 3 −4 2 8

)

Sistemas de equações

lineares

● M = 1, IM = 1 ● M <|3|, portanto M = 3, IM = 2 ● M < |-4|, portanto M = 4, IM = 3 ● M > |2| ● M < |8|, portanto M = 8, IM = 5 ⃗v=

(

1 3 −4 2 8

)

Sistemas de equações

lineares

● M = 1, IM = 1 ● M <|3|, portanto M = 3, IM = 2 ● M < |-4|, portanto M = 4, IM = 3 ● M > |2|

● M < |8|, portanto M = 8, IM = 5. Obtivemos a posição do valor

⃗v=

(

1 3 −4 2 8

)

Sistemas de equações

lineares

O exemplo que será apresentado é ilustrativo da técnica mas é, claramente, desnecessário (sob o ponto de vista numérico) fazer pivotamento deste sistema.

Sistemas de equações

lineares

Comecemos com o sistema

Observe que o maior valor em módulo da primeira coluna está na segunda linha. Troquemos

(

4 1 −2 1 6 2 1 2 3 −1 9 −1 1 4 2 −3

)

⃗x=

(

49/12 47/6 21/4 35/12

)

Sistemas de equações

lineares

Primeiro pivotamento Façamos a eliminação

(

6 2 1 2 4 1 −2 1 3 −1 9 −1 1 4 2 −3

)

⃗x=

(

47/6 49/12 21/4 35/12

)

Sistemas de equações

lineares

Primeiro pivotamento que resulta em

(

6 2 1 2 4 1 −2 1 3 −1 9 −1 1 4 2 −3

)

⃗x=

(

47/6 49/12 21/4 35/12

)

m₂₁=−a₂₁/a₁₁=−4 /6=−2/3 m₃₁=−a₃₁/a₁₁=−3/6=−1/2 m₄₁=−a₄₁/a₁₁=−1/6

Sistemas de equações

lineares

Primeiro pivotamento

O maior valor em módulo da segunda coluna abaixo da primeira linha está na quarta linha

(

6 2 1 2 0 −1/3 −8/3 −1/3 0 −2 17/2 −2 0 11/3 11/6 −10/3

)

⃗x=

(

47/6 −41/36 4 /3 29/18

)

Sistemas de equações

lineares

Segundo pivotamento Façamos a eliminação

(

6 2 1 2 0 11/3 11/6 −10/3 0 −2 17/2 −2 0 −1/3 −8/3 −1/3

)

⃗x=

(

47/6 29/18 4 /3 −41/36

)

Sistemas de equações

lineares

Segundo pivotamento que resulta em

(

6 2 1 2 0 11/3 11/6 −10/3 0 −2 17/2 −2 0 −1/3 −8/3 −1/3

)

⃗x=

(

47/6 29/18 4 /3 −41/36

)

m₃₂=− −2 11/3=6/11 m₄₂=−−1/3 11/3 =1/11

Sistemas de equações

lineares

Segundo pivotamento

Observe que o maior valor em módulo da terceira

coluna abaixo da segunda linha está na posição correta.

(

6 2 1 2 0 11/3 11/6 −10/3 0 0 19/2 −42/11 0 0 −5/2 −7/11

)

⃗x=

(

47/6 29/18 73/33 −131/132

)