TerceiroEE_Fisica_I_2007_1_ComGabarito

(1)

m

m_{. . O ﬁo}_{O ﬁo tem massa desprez}_{tem massa desprez´´ıvel e passa, sem deslizar, pela}_{ıvel e passa, sem deslizar, pela borda de}_{borda de uma polia.}_{uma polia. A polia}_{A polia consis}_{consiste de}_{te de um}_um

cilindro maci¸

cilindro maci¸co de raioco de raio RR e massae massa M M . . O atrO atrito do blito do bloco de maoco de massssaa mm com o plano e da polia com seucom o plano e da polia com seu eixo podem ser desprezados. Forne¸

eixo podem ser desprezados. Forne¸ca as respostas em termos dos dados do enunciado e da acelera¸ca as respostas em termos dos dados do enunciado e da acelera¸c˜c˜ao daao da gravidade,

gravidade, gg.. a) (

a) (1,0) Partindo 1,0) Partindo do repdo repouso, ouso, qual ´qual é a e a velocidade velocidade angularangular ωω adquirida pela polia apádquirida pela polia após o os o bloco de massabloco de massa m

m _{cair de uma altura}_{cair de uma altura h}_h??

b)

b) (1,5) (1,5) Qual Qual ´´e e a a acelera¸acelera¸c˜c˜ao da massaao da massa mm?? c) (1,0) Quais s˜

c) (1,0) Quais são os valores das tensão os valores das tensões nas cordas que puxam os blocos de massasoes nas cordas que puxam os blocos de massas mm ee mm_{, respecti-}_,

respecti-vamente? vamente?

m

m'

M M R R Figura 1: Figura 1: Qu

Quesest˜t˜ao ao 2:2: Uma barata, de massaUma barata, de massa mm, encontra-se sobre a borda de um disco uniforme, de massa 4, encontra-se sobre a borda de um disco uniforme, de massa 4mm,, que pode

que pode girgirar livremar livrementente e em torno do em torno do seu centseu centro, como um ro, como um carrcarrossossel. el. IniIniciacialmelmentente, , a a barabarata e ta e o o disdiscoco giram juntos, com uma velocidade angular de 0

giram juntos, com uma velocidade angular de 0,, 240 rad/240 rad/s. s. A barata camA barata caminhinha, entã, então, ao, atáté e a a metade metade dada distˆ

distˆancia ao centro do disco, parando neste ponto.ancia ao centro do disco, parando neste ponto. a)

a) (1,5) (1,5) Qual Qual ´´e, e, ent˜ent˜ao, a velocidade angular do sistema barata-disco?ao, a velocidade angular do sistema barata-disco? b)

b) (1,0) (1,0) Qual Qual ´é e a a raz˜razãoao K/K K/K 00 entre entre a a novnova a energia energia cinćinética etica do do sistema sistema e e a a sua sua energia energia cinćinética etica inicial?inicial?

c)

c) (0,5) (0,5) O O que que ´é e respresponsónsável avel pelpela a varia¸varia¸c˜cão ao na na energia energia cinćinética etica do do sistema?sistema? Qu

Quesest˜tão ao 3:3: A expressÃ expressãoao →−→−_{rr ((tt)}_{) =}_{= 44,, 00tt}22 _ˆˆıı −

− (6(6,, 00tt22 + 2+ 2,, 00tt33) ) ˆˆ  d´d´a a ppososi¸i¸c˜c˜ao ao de de uma uma partpart´´ıcula, ıcula, de de massamassa

igual a 2

igual a 2,, 0 kg, em rela¸0 kg, em rela¸c˜c˜ao a um sistema de coordenadasao a um sistema de coordenadas xyzxyz ((−−→→_{rr em metros e}_{em metros e tt em segundos).}_{em segundos).}

a)

a) (1,5) (1,5) Em Em nota¸nota¸c˜cão de vetores unitáo de vetores unitários e partindo da defini¸arios e partindo da defini¸c˜cão do torqueao do torque →−→−_τ_{τ resultan}_resultante,_{te, determi}_determine_ne

a express˜

a expressão para oao para o −−→→_τ_{τ ((tt)}_{) atuando}_{atuando sobre}_{sobre a}_{a part}_{part´´ıcula,}_{ıcula, em}_{em rela¸}_rela¸c˜_cão_{ao `à origem, e quantifique esta grandeza no}_{a origem, e quantifique esta grandeza no}

tempo

tempo tt = = 11,, 0 0 s.s. b) (1,0) Em nota¸

b) (1,0) Em nota¸c˜cão de vetores unitáo de vetores unitários e partindo da defini¸arios e partindo da defini¸c˜cão do momento angularao do momento angular −−→→LL , determine a, determine a express˜

expressão para oao para o −−→→LL ((tt) ) da da papart´rt´ıcıculaula, , em em rerelala¸¸c˜cão ao `à origem, e quantifique esta grandeza no tempoa origem, e quantifique esta grandeza no tempo tt = = 11,, 0 0 s.s. c) (1,0) Use a segunda lei de Newton, em sua forma angular, para demonstrar que os resultados obtidos c) (1,0) Use a segunda lei de Newton, em sua forma angular, para demonstrar que os resultados obtidos nos itens anteriores s˜

nos itens anteriores são coerentes entre si, para um tempo arbitráo coerentes entre si, para um tempo arbitrárioario tt. . H´Há possibilidade de o torque totala possibilidade de o torque total atuando sobre

(2)

(3)

GABARITO DO TERCEIRO EXERCÍCIO ESCOLAR - FÍSICA GERAL I

2007/1

Solução da Questão 1

a) Após cair de uma altura

a) Após cair de uma altura hh, a perda de energia potencial do bloco de massa, a perda de energia potencial do bloco de massa mm _éé

∆

∆U U == mm_gh_{gh ..}

Esta perda de energia potencial é igual ao ganho de energia cinética do sistema todo Esta perda de energia potencial é igual ao ganho de energia cinética do sistema todo

∆ ∆K K == mvmv 2 2 22 ++ m m_vv22 22 ++ IIωω22 22 ,, onde

onde vv é a velocidade dos blocos. Como o ﬁo não desliza, temosé a velocidade dos blocos. Como o ﬁo não desliza, temos vv == RωRω e portantoe portanto ∆ ∆K K ==



mRmR 2 2 22 ++ m m_R_R22 22 ++ I I 22



_ω_ω22 .. Da forma da polia, temos ainda que

Da forma da polia, temos ainda que I I == MMRR22

//22. Finalmente, por conservação de energia, segue que. Finalmente, por conservação de energia, segue que ∆ ∆U U = = ∆∆K K m m_gh_{gh =} =



mRmR 2 2 22 ++ m m_R_R22 22 ++ M M RR22 44



_ω_ω22 ω ω ==



mm _gh_gh mR mR22 2 2 ++ m m_R_R22 2 2 ++ M M RR22 4 4 ..

b) Aplicando a segunda lei de Newton para o movimento de translação dos blocos, temos b) Aplicando a segunda lei de Newton para o movimento de translação dos blocos, temos

P P  − −T T  == mmaa (1)(1) T T == mama (2)(2) onde

onde P P  _{ee T}_T _{são a força peso e a tensão da corda atuando no bloco de massa}_{são a força peso e a tensão da corda atuando no bloco de massa m}_m_{, , ee T}_{T é a tensão}_{é a tensão}

atuando no outro bloco. atuando no outro bloco.

Aplicando a segunda lei de Newton para o movimento de rotação da polia, temos Aplicando a segunda lei de Newton para o movimento de rotação da polia, temos

τ

τ resres == IIα α ,,

onde o torque resultante

onde o torque resultante τ τ resres é dado poré dado por

τ

τ resres == TT RR−−T T R R ..

Como

Como αα == −−a/Ra/R, segue que, segue que

T T −−T T  == −−IIaa R R22 == −− M Maa 22 .. (3)(3)

(4)

m m_{gg =}₌



_m_{m +}_{+ m}_m ₊₊ M M 22



_a_a a a == mm _gg m m ₊_{+ m}_{m +}₊ M M 2 2 .. c) A tensão na corda que puxa

c) A tensão na corda que puxa mm éé

T T == mama T T == mmmm _gg m m ₊_{+ m}_{m +}₊ M M 2 2 .. A tensão na corda que puxa a massa

A tensão na corda que puxa a massa mm _{é dada por}_{é dada por}

m m_gg − −T T  == mmaa T T ==



mm ++ M M 2 2



mm _gg m m ₊_{+ m}_{m +}₊ M M 2 2 ..

Solução da Questão 2

a) Sejam

a) Sejam RR o raio do disco eo raio do disco e M M a sua massa. O momento de inércia inicial do sistema é entãoa sua massa. O momento de inércia inicial do sistema é então I I ii == M MRR22 22 ++ mRmR 2 2 = = 22mRmR22 ++ mRmR22 = = 33mRmR22 .. Já seu momento de inércia ao ﬁnal do movimento da barata é

Já seu momento de inércia ao ﬁnal do movimento da barata é I I f f == M MRR22 22 ++ mR mR22 44 == 99 44mRmR 2 2 .. Segue que sua velocidade angular ﬁnal pode ser obtida por

Segue que sua velocidade angular ﬁnal pode ser obtida por L

Lii == LLf f

I

I iiωωii == I I f f ωωf f

33mRmR22 ω ωii == 99 44mRmR 2 2 ω ωf f ω ωf f == 44 33ωωii ω ωf f = = 00,, 320320 rarad/d/s s .. b) b) K K K K 00 = = 1 1 2 2 9 9 4 4mRmR 2 2



44 3 3ωωii



2 2 1 1 2 233mRmR 2 2_ω_ω22 ii K K 44

(5)

Solução da Questão 3

a) A trajetória da partícula é dada pela variação no tempo de seu vetor posição

a) A trajetória da partícula é dada pela variação no tempo de seu vetor posição rr((tt) = [4) = [4tt22

ˆˆıı−− (6 (6tt22 + 2 + 2tt33 )ˆ

)ˆ  ]], com, com rr dado em metros edado em metros e tt em segundos. Segue queem segundos. Segue que

τ τ ((tt) ) == rr((tt))××F F ((tt)   ) == mm rr((tt))××aa((tt)) .. (4)(4) Já a velocidade da partícula é Já a velocidade da partícula é vv((tt) ) == rr((tt)) dt dt = = [8[8ttˆˆıı−−(12(12tt + 6+ 6tt 2 2 )ˆ )ˆ  ]] mm//ss ((55)) e sua aceleração e sua aceleração aa((tt) ) == vv((tt)) dt dt = [8ˆ= [8ˆıı−−12(1 +12(1 + tt)ˆ)ˆ  ]] m/sm/s 2 2 .. (6)(6)

Substituindo (6) em (4), temos então Substituindo (6) em (4), temos então

τ τ ((tt) ) == mm rr((tt))××[8[8ˆˆıı−−12(1 +12(1 + tt)ˆ)ˆ  ]] = 8 = 8 [[44tt22ˆˆıı−−(6(6tt22 + 2+ 2tt33)ˆ)ˆ  ]]××[2[2ˆˆıı−−3(1 + tt)ˆ3(1 + )ˆ  ]] NN··mm = = 88 [[−−12(12(tt22 ++ tt33)ˆ)ˆıı××  ˆˆ−−(12(12tt22 + 4+ 4tt33)ˆ)ˆ  ××ˆˆıı]] NN··mm = = −−6464tt33ˆˆkk NN··mm ee τ τ ((tt = = 11ss) ) == −−6464ˆˆkk NN··m m .. b) b)   L L((tt) ) == rr((tt))×× p p((tt)   ) == mm rr((tt))××vv((tt))

Substituindo as expressões para

Substituindo as expressões para rr((tt)) ee vv((tt)), temos, temos   L L((tt) = 2) = 2 [[44tt22 ˆˆıı−−(6(6tt22 + 2+ 2tt33)ˆ)ˆ  ]]××[8[8ttˆˆıı−−(12(12tt + 6+ 6tt22)ˆ)ˆ ]] kg  kg··mm22/s/s = = −−1616tt44ˆˆkk kgkg··mm22/s/s ee LL((tt =   = 11ss) ) == −−1616ˆˆkk kgkg··mm22/s /s ..

c) A segunda lei de Newton, em sua forma rotacional, escreve-se c) A segunda lei de Newton, em sua forma rotacional, escreve-se

τ τ ((tt) ) == dd LL((tt)) dt dt == dd dt dt[[−−1616tt 4 4ˆˆkk]] kg kg··mm22/s/s = = −−6464tt44ˆˆkk NN··mm

que recupera o resultado do item a).

que recupera o resultado do item a). Como é fácil veriﬁComo é fácil veriﬁcar, o torque total atuando sobre o sistemacar, o torque total atuando sobre o sistema é nulo em