CURSO DE NIVELAMENTO PEQ/COPPE/UFRJ M.Sc EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS. Prof. Evaristo Chalbaud Biscaia Junior

PEQ/COPPE/UFRJ

M.Sc. – 2009

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

Prof. Evaristo Chalbaud Biscaia Junior

Friedrich Wilhelm Bessel

Born: 22 July 1784 in Minden, Westphalia (now Germany)

Died: 17 March 1846 in Königsberg, Prussia (now Kaliningrad, Russia)

Equações Diferenciais Ordinárias

1-) Equações Diferenciais de Primeira Ordem Linear São equações diferenciais ordinárias da forma:

( ) ( ) ( ) ( )

x y x f x dx x dy = ⋅ +α

Multiplicando-se membro a membro da equação acima por µ

( )

x , resulta:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x x y x x f x dx

x dy

x ⋅ +µ ⋅α ⋅ =µ ⋅

µ , considerando que a função µ

( )

x seja

escolhida de modo que:

( ) ( )

[

]

_{( ) ( )}

_{( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

x f x x y x x dx x dy x x y dx x d dx x dy x dx x y x d µ ⋅ _{=µ ⋅ +} µ _{⋅ =µ ⋅ +µ ⋅α ⋅ =µ ⋅}

assim, deve-se ter:

( )

( ) ( )

( )

( )

_⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ = ⇒ ⋅ =

∫

x a d x x x dx x d ξ ξ α µ µ α µ

exp , sendo a uma constante

arbitrária convenientemente escolhida.

A função µ

( )

x é chamada de fator de integração da equação original e possibilita,

após sua determinação, resolver a equação na forma:

( ) ( )

[

]

_{( ) ( )}

_{( ) ( )}

_{( ) ( )}

te C dx x f x x y x x f x dx x y x d ⋅ _{= ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ +}

∫

µ µ µ µ

Exemplo Ilustrativo: Resolver a equação diferencial:

( )

_{( )}

x x y x dx x dy ₋2_{⋅ =} Determinação de µ

( )

x :

( )

2 2 ln exp 2 exp ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ − =

∫

x a x a d x x a ξ ξ µ adotando a =1, resulta:

( )

1₂ x x =

µ , multiplicando membro a membro da equação por 1₂

x , resulta:

( )

( )

x dx x y d x y x dx x dy x 1 2 1 2 3 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⋅ − , assim:

( )

2 2 2 2 _x ln(x) C y x x ln(x) C x y x dx x y d ⎟= ⇒ = + ⇒ = ⋅ + ⋅ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

Equações Diferenciais Ordinárias

2-) Equações Diferenciais de Primeira Ordem Exatas

Seja uma função de x e y: ϕ

( )

x,y , assim, se ϕ

( )

x,y =Cte, tem-se:

( )

, = ∂

( )

, ⋅ +∂

( )

, ⋅dy=0 dy y x dx dx y x y x dϕ ϕ ϕ . Definindo-se:

( )

( )

dx y x y x M , = ∂ϕ , e

( )

( )

dy y x y x

N , = ∂ϕ , , sendo ϕ

( )

x,y uma função

contínua com as duas primeiras derivadas contínuas, tem-se:

( )

( )

( )

y x y x y y x x x y x y ∂ ∂ ∂ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ϕ , ϕ , 2ϕ , , mas:

( )

( )

y y x M x y x y ∂ ∂ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ϕ , , e

( )

( )

x y x N y y x x ∂ ∂ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ϕ , , logo:

( )

( )

x y x N y y x M ∂ ∂ = ∂ ∂ , , .

Permitindo concluir que a equação diferencial ordinária de primeira ordem da forma:

( )

x,y ⋅dx+N

( )

x,y ⋅dy=0 M se:

( )

( )

x y x N y y x M ∂ ∂ = ∂ ∂ , ,

, então sua solução é:

( )

_{( )}

_{( )}

_{( )}

te x a C d y M y x y x M x y x _{= ⇒ = ⋅ =} ∂ ∂

∫

ξ ξ ϕ ϕ , , , , Ou

( )

_{( )}

_{( )}

_{( )}

te y b C d x N y x y x N y y x = ⋅ = ⇒ = ∂ ∂

∫

η η ϕ ϕ , , , ,

As constantes a e b são arbitrárias!

Exemplo Ilustrativo: Resolver a equação diferencial:

(

x⋅y2 +1

)

⋅dx+

(

x2⋅y+2⋅y

)

⋅dy=0. Identificando:

( )

( )

x y y y x M y x y x M = ⋅ ⋅ ∂ ∂ ⇒ + ⋅ = 1 , 2 , 2 e

( )

( )

x y x y x N y y x y x N = ⋅ ⋅ ∂ ∂ ⇒ ⋅ + ⋅ = 2 , 2 , 2 _{. Assim como:}

( )

( )

x y x N y y x M ∂ ∂ = ∂ ∂ , , ,

Equações Diferenciais Ordinárias busca-se:

( )

_{x y}

( )

_{x y} x y _{x f}

( )

_{y C}te x y x = + + ⋅ = ⇒ + ⋅ = ∂ ∂ 2 , 1 , ₂ 2 2 ϕ ϕ e

( )

_{( )}

_{( )}

te C x g y y x y x y y x y y x = + + ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ = ∂ ∂ 2 2 2 2 2 , 2 , ϕ ϕ .

Confrontando as duas formas de ϕ(x,y), tem-se

( )

2

y y

f = e g

( )

x = .A solução da x

equação diferencial é então:

A y x y

x2⋅ 2+₂⋅ +₂⋅ 2 =

3-) Equações Diferenciais de Primeira Ordem Composta por Funções Homogêneas de Mesmo Grau

Definição: Uma função de x e y é dita homogênea de grau n se para uma constante real qualquer λ existe um valor de n tal que: f

(

λ⋅x,λ⋅y

)

=λn⋅ f

( )

x,y .

A equação diferencial ordinária de primeira ordem:

( )

x,y ⋅dx+Q

( )

x,y ⋅dy=0

P é dita homogênea se P(x,y) e Q(x,y) são ambas funções

homogêneas de mesmo grau.

Caso as funções P(x,y) e Q(x,y) forem ambas funções homogêneas de mesmo grau

então a equação diferencial P

( )

x,y ⋅dx+Q

( )

x,y ⋅dy=0pode se transformar em uma

equação de variáveis separáveis através da substituição: x y v= , ou seja: y=v⋅x e dv x dx v dy= ⋅ + ⋅ .

Alternativamente, pode-se adotar a substituição: y x u= , o que resulta em x=u⋅y e du y dy u dx= ⋅ + ⋅ .

Exemplo Ilustrativo: Resolver a equação diferencial:

dx dy y x dx dy x y2 + 2⋅ = ⋅ ⋅

Essa equação pode se rearranjada na forma: y2 ⋅dx +

(

x2 − x⋅y

)

⋅dy = 0, permitindo

Equações Diferenciais Ordinárias

(

x y

)

x x y Q

( )

x y

Q λ⋅ ,λ⋅ =λ2⋅ 2 −λ2⋅ ⋅ =λ2⋅ , são, ambas, funções homogêneas de segundo

grau, adota-se: (i) a variável x y v= no lugar de y, então:

(

1

) (

)

0

(

1

)

0 0 2 2 2 _⎟= ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ + ⇒ = ⋅ ⋅ − + ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ dv v dv x dx dv x v dx v dv x dx v v x dx x v

Integrando cada um dos membros da última equação, resulta:

( )

( )

te

( )

te v e A v x v C v x C v v x +ln − = ⇒ln ⋅ = + ⇒ ⋅ = ⋅

ln , voltando à variável original y:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ = x y A y exp (ii) a variável y x u= no lugar de x, então:

(

)

(

)

0 0 0 2 2 2 2 2_{⋅ ⋅ + ⋅ + − ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ + =} u du y dy dy u du y dy u u y du y dy u y

Integrando cada um dos membros da última equação, resulta:

( )

te

( )

te u e B y u C y C u y 1 ln 1 1

ln − = ⇒ = + ⇒ = ⋅ , voltando à variável original x:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ = x y B y exp

4-) Equações Diferenciais de Primeira Ordem com Coeficientes Lineares São equações diferenciais ordinárias da forma:

(

a⋅x+b⋅y+c

)

⋅dx+

(

α⋅x+β⋅y+γ

)

⋅dy=0 Adotando na equação as novas variáveis:

⎩ ⎨ ⎧ = → + = = → + = dv dy y v du dx x u δ ε , assim:

(

)

(

)

⎩ ⎨ ⎧ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅ γ δ β ε α β α γ β α δ ε v u y x c b a v b u a c y b x a

Selecionando ε e γ tais que: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ = ⇒ = + ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅ β α γ α δ β α γ β ε γ δ β ε α δ ε a b c a a b b c c b a 0 0 , chega-se a:

Equações Diferenciais Ordinárias

(

a⋅u+b⋅v

)

⋅du+

(

α⋅u+β⋅v

)

⋅dv=0

Que é uma equação diferencial de primeira ordem composta por funções homogêneas de primeiro grau, podendo ser resolvida pelo mesmo procedimento descrito no item 4. 5-) Equações Diferenciais de Primeira Ordem tipo Bernoulli

São equações diferenciais ordinárias da forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+P x ⋅y x =Q x ⋅

[ ]

y x com n≠1 dx

x

dy n

Dividindo membro a membro por yn resulta:

( )

[ ]

( ) ( )

[ ]

y

( )

x Q

( )

x x P dx x dy x y n + ⋅ n−1 = 1 1 , como:

( )

[ ]

(

)

[ ]

( )

dx

( )

x dy x y n x y dx d n n 1 1 1 1⎟⎟= − ⋅ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ,

adota-se a nova variável dependente:

( )

( )

[ ]

1 1 − = _n x y x v , resultando em:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n P x v x n Q x dx x dv _{+ − ⋅ ⋅ = − ⋅} 1 1

Que é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem!

Note que se n =1, a equação pode ser escrita na forma:

( )

+

[

P

( ) ( )

x −Q x

]

⋅y

( )

x =0

dx x dy

que já é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem e homogênea!

6-) Equações Diferenciais de Segunda Ordem Linear São equações diferenciais ordinárias da forma:

( )

( )

_{2 1}

( ) ( )

₀

( ) ( )

( )

com ₂

( )

0 2 2 ⋅ + ⋅ +a x ⋅y x = f x a x ≠ dx x dy x a dx x y d x a

6-1) Equações Diferenciais de Segunda Ordem Linear de Coeficientes Constantes

Se os coeficientes da equação [ao, a1 e a2] forem constantes, pode-se resolver a

equação homogênea correspondente [considerando f(x)=0] por operador D, segundo:

Sejam λ1 e λ2 as raízes (valores característicos) do polinômio de segundo grau (polinômio

característico): 2 0 2 1 2 1 2 1 0 1 2 2 0 e a a a a a D a D a ⋅ + ⋅ + = ⇒λ +λ =− λ ⋅λ = , então a solução de: ⋅

( )

+ ⋅

( )

+a ⋅y

( )

x = dx x dy a dx x y d a h h _h 0 1 2 2 2 0 é:

Equações Diferenciais Ordinárias

(i) se ∆=a₁2 −4⋅a₀⋅a₂ >0, dois valores característicos reais e distintos, dada por:

( )

x C

(

x

)

C

(

x

)

y_h = ₁⋅expλ₁⋅ + ₂⋅expλ₂⋅ ; (ii) se 4 0 2 0 2 1 − ⋅ ⋅ = =

∆ a a a , dois valores característicos reais e iguais:

2 1 2 1 2 a a ⋅ − = = =λ λ

λ ,dada por: y_h

( )

x =exp

(

λ⋅x

) (

⋅ C₁+C₂⋅x

)

;

(iii) se 4 0 2 0

2

1 − ⋅ ⋅ <

=

∆ a a a , dois valores característicos complexos e conjugados:

ω σ λ₁ = +i⋅ , λ₂ =σ −i⋅ω sendo 2 1 2 a a ⋅ − = σ e 2 2 1 2 0 2 4 a a a a ⋅ − ⋅ ⋅ = ω ,dada por:

( )

x =

(

σ ⋅x

)

⋅

[

C ⋅

(

ω⋅x

)

+C ⋅

(

ω⋅x

)

]

= A⋅

(

σ⋅x

)

⋅

(

ω⋅x+φ

)

y_h exp ₁ cos ₂ sen exp cos .

Para determinar a solução do problema não homogêneo adiciona-se à solução do problema

homogêneo, yh(x), a chamada solução particular que pode ser determinada por dois

procedimentos distintos:

(a) Método dos Coeficientes a Determinar: neste procedimento a forma da solução particular depende da forma da função f(x) e é apresentada na tabela a seguir:

f(x) yp(x)

∑

= ⋅ n i i i x 0 α

∑

= ⋅ n i i i x 0 β

(

x

)

A⋅expµ⋅ B⋅exp

(

µ⋅x

)

(

)

(

)

[

α₁⋅cosθ⋅x +α₂⋅senθ⋅x

]

⋅exp

(

µ⋅x

)

[

β₁⋅cos

(

θ⋅x

)

+β₂⋅sen

(

θ⋅x

)

]

⋅exp

(

µ⋅x

)

Os coeficientes de yp(x) são determinados substituindo a correspondente expressão na

equação diferencial, agrupando os termos e igualando os coeficientes dos termos iguais de ambos os membros.

É importante ressaltar que o procedimento só é válido se a função f(x) não for solução da forma homogênea da equação diferencial, quando:

( )

( )

_{( )}

0 0 1 2 2 2⋅ + ⋅ +a ⋅f x = dx x df a dx x f d

a , deve-se empregar o procedimento distinto

Equações Diferenciais Ordinárias

(i) caso a₀ =0 e f

( )

x =α₀ então :y_p

( )

x =β₁⋅x;

(ii) caso a₀ = a₁ =0 e f

( )

x =α₀+α₁⋅x então :y_p

( )

x =β₂⋅x2 +β₃⋅x3;

(iii) caso f

( )

x = A⋅exp

(

µ⋅x

)

sendo 1 0 0

2 2⋅ +a ⋅ +a = a µ µ e 4 0 2 0 2 1 − ⋅ ⋅ > = ∆ a a a então: yp

( )

x =B⋅x⋅exp

(

µ⋅x

)

(iv) caso f

( )

x =A⋅exp

(

µ⋅x

)

ou f

( )

x = A⋅x⋅exp

(

µ⋅x

)

sendo 0 0 1 2 2⋅ +a ⋅ +a = a µ µ e 4 0 2 0 2 1 − ⋅ ⋅ = = ∆ a a a então: y_p

( )

x = B⋅x2⋅exp

(

µ⋅x

)

(v) caso f

( )

x =

[

α₁⋅cos

(

θ⋅x

)

+α₂⋅sen

(

θ⋅x

)

]

⋅exp

(

µ⋅x

)

sendo 0 0 1 2 2⋅ +a ⋅ +a = a ξ ξ com ξ =µ+i⋅θentão:

( )

x

[

(

x

)

(

x

)

]

x

(

x

)

yp = β1⋅cosθ⋅ +β2⋅senθ⋅ ⋅ ⋅exp µ⋅

(b) Método de Variação de Parâmetros: neste procedimento a seguinte forma da solução particular é proposta: y_p

( )

x = z₁

( ) ( )

x ⋅y₁ x +z₂

( ) ( )

x ⋅y₂ x , sendo y1(x) e y2(x) as duas

funções que compõem a solução da equação homogênea correspondente. As funções z1(x) e z2(x) são determinadas substituindo a expressão de yp(x) na equação

diferencial e identificando os termos iguais dos dois membros. Note que:

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

dx x dz x y dx x dz x y dx x dy x z dx x dy x z dx x dy_{p 2} 2 1 1 2 2 1 1 ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = , considerando:

( )

( )

( )

2

( )

0 2 1 1 ⋅ + ⋅ = dx x dz x y dx x dz x y , resulta:

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

dx x dy x z dx x dy x z dx x dy_p 2 2 1 1 ⋅ + ⋅ = e

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

( )

( )

( )

( )

dx x dz dx x dy dx x dz dx x dy dx x y d x z dx x y d x z dx x y d p _{1 1 2 2} 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = , logo:

( )

( )

_{( )}

( )

( )

( )

( )

_{( )}

x f dx x dz dx x dy a dx x dz dx x dy a x y a dx x dy a dx x y d a p p p = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ 2 2 2 1 1 2 0 1 2 2 2 .

Equações Diferenciais Ordinárias

Resultando no sistema linear:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ 2 2 2 1 1 2 2 1 1 0 a x f dx x dz dx x dy dx x dz dx x dy dx x dz x y dx x dz x y , cuja solução é:

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ _{⋅ − ⋅} ⋅ ⋅ = ⇒ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ _{⋅ − ⋅} ⋅ ⋅ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ _{⋅ − ⋅} ⋅ ⋅ = ⇒ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ _{⋅ − ⋅} ⋅ ⋅ =

∫

∫

dx x dy x y dx x dy x y dx x y x f a x z dx x dy x y dx x dy x y a x y x f dx x dz dx x dy x y dx x dy x y dx x y x f a x z dx x dy x y dx x dy x y a x y x f dx x dz 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1

A grande vantagem deste procedimento é sua generalidade, podendo ser aplicado para qualquer forma da função f(x). Além disto, o procedimento pode ser também aplicado na resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes variáveis.

Exemplo Ilustrativo: Resolver a equação diferencial:

( )

( )

_{( )}

x e x x y dx x dy dx x y d _⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ − 4 2 2 6 16 8

Determinação dos valores característicos do problema: p

( )

λ =λ2 −8⋅λ+16,

identificando λ2 −8⋅λ+16=

(

λ−4

)

2 conclui-se que os dois valores característicos do

problema são iguais: λ₁ =λ₂ =λ =4, então a solução do problema homogêneo

correspondente é: y_h

( )

x =exp

( ) (

4⋅x ⋅ C₁+C₂⋅x

)

. A solução particular será:

(i) método dos coeficientes a determinar: como a função f

( )

x =6⋅x⋅e4⋅x é solução

do problema homogêneo correspondente, busca-se a solução particular da forma:

( )

x p x B x e y = ⋅ 2⋅ 4⋅ , chegando-se a :

( )

( )

_{( )}

_{x x} p p p e x e B x y dx x dy dx x y d _{⋅ ⋅} ⋅ ⋅ ≠ ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ − 4 4 2 2 6 2 16 8 , logo o valor de B é

indeterminado, Buscando agora uma solução particular da forma:

( )

x p x B x e y = ⋅ 3⋅ 4⋅ , chega-se a:

( )

( )

_{( )}

1 6 6 16 8 4 4 2 2 = ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ B e x e x B x y dx x dy dx x y d _{x x} p p p , logo:

Equações Diferenciais Ordinárias

( )

x

p x x e

y = 3⋅ 4⋅ e y

( )

x =exp

( )

4⋅x ⋅

(

C₁+C₂⋅x+x3

)

.

(ii) método da variação de parâmetros: identificando _y

( )

_x =_e4⋅x

1 e

( )

x e x x y₂ = ⋅ 4⋅ , tem-se

( )

( )

( )

( )

e z dx x dy x y dx x dy x y ⋅ − ⋅ 1 = 8⋅ 2 2 1 , logo:

( )

_{( )}

( )

_{( )}

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⋅ − = ⇒ ⋅ − = 2 2 2 3 1 2 1 3 6 2 6 x x z x dx x dz x x z x dx x dz

( )

x x x p x x e x x e x e y =− ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ 3 4 2 4 3 4 3 2 .

Resultado idêntico ao obtido no procedimento anterior!

6-2) Equações Diferenciais de Segunda Ordem Linear de Coeficientes Variáveis São equações diferenciais ordinárias da forma:

( )

( )

_{2 1}

( ) ( )

₀

( ) ( )

( )

com ₂

( )

0 2 2 ⋅ + ⋅ +a x ⋅y x = f x a x ≠ dx x dy x a dx x y d x a

Que pode também ser reescrita na forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 pois 2

( )

0 2 ≠ = ⋅ + ⋅ + Q x y x R x a x dx x dy x P dx x y d

Antes de se apresentar o procedimento geral de resolução do problema, solução em séries, apresentam-se a seguir alguns procedimentos que podem ser utilizados em alguns casos especiais.

(a) Mudança da variável dependente: seja y

( ) ( )

x = z x ⋅u(x), sendo z(x) uma função de x a

ser definida posteriormente, substituindo y(x) na equação diferencial, obtém-se:

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Q x z x u x R x dx x dz x P dx x z d dx x du x z x P dx x dz dx x u d x z _⎥⋅ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{⋅ + ⋅} + ⋅ 2 ₂ 2 2 ₂

1-)Primeira escolha de z(x): escolhe-se z(x) tal que 2⋅

( ) ( ) ( )

+P x ⋅z x =0

dz x dz , identificando o fator de integração:

( )

( )

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ _⋅ =

∫

P x dx x _{exp 2}1 µ , tem-se:

( )

( ) ( )

0 2 ⋅ = + P x z x dz x dz ou :

( )

( )

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ − ⋅ = A

∫

P x dx x

z _exp 1_{2 adotando A=1 :}

( )

( )

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ − =

∫

P x dx x z _{exp 2}1 _{, então:}

Equações Diferenciais Ordinárias

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

z x dx x dP x P x Q z x Q dx x dz x P dx x z d _⋅ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{− ⋅ − ⋅} = ⋅ + ⋅ + 12 2 4 1 2 2 e a equação diferencial original transforma-se em:

( )

_{( )}

_{( )}

_{( ) ( ) ( )}

x R x u dx x dP x P x Q dx x u d _{⋅ =} ∗ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{− ⋅ − ⋅} + 12 2 4 1 2 2 . sendo

( )

( )

( )

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ ⋅ =

∫

∗ dx x P x R x

R _{exp 2}1 _{. A equação diferencial transformada não contém o}

termo da derivada primeira da nova variável dependente podendo em alguns casos ser mais

facilmente resolvida, isto ocorre se o termo:

( )

( )

( )

dx x dP x P x Q − ⋅ −12⋅ 2 4 1 _{for constante ou} um múltiplo de 1/x2.

Exemplo Ilustrativo: Resolver a equação diferencial:

( )

( )

_{( )}

0 2 1 2 ₂ 2 2 = ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⋅ + y x x dx x dy dx x y d Identificando: P(x)=2 ,

( )

1 2₂ x x Q = − e R(x)=0 , tem-se: z

( )

x =e−x e

( )

( )

12

( )

₂ 2 4 1 2 x dx x dP x P x

Q − ⋅ − ⋅ =− , transformando-se a equação original em:

( )

_{( )}

( )

_{( )}

0 2 0 2 2 2 2 2 2 2 = ⋅ − ⋅ ⇒ = ⋅ − u x dx x u d x x u x dx x u d .

Esta última equação diferencial é a denominada Equação de Euler que apresenta a forma

geral:

∑

( )

( )

= = ⋅ ⋅ n i i i i i f x dx x y d x a 0

, tal equação pode ser transformada em uma equação

diferencial linear e de coeficientes constantes através da seguinte mudança da variável independente:

( )

x e x= ξ ⇔ξ =ln ,assim:

( )

( )

( )

dx d x d d dx x dy x dx x dy e d dy ⋅ ≡ ⇒ ⋅ = ⋅ = ξ ξ ξ ξ _;

( )

( )

( )

( )

( )

dx x dy x dx x y d x dx x dy x dx d x d dy d d d y d ⋅ + ⋅ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⋅ ⋅ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 2 ₂ 2 2 ξ ξ ξ ξ ξ ,

Equações Diferenciais Ordinárias

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

dx x dy x dx x y d x dx x y d x dx x dy x dx x y d x dx d x d y d d d d y d _{= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅} ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 2 ₂ 3 3 3 2 2 2 2 2 3 3 3 ξ ξ ξ ξ ξ ...

Permitindo assim expressar os termos

( )

i i i dx x y d x ⋅ na forma:

( )

∑

( )

= ⋅ = ⋅ i k k k k i i i d y d c dx x y d x 1 ξ ξ ,

transformando a equação em:

( )

( )

( )

ξ

ξ ξ _ξ ∗ = = = ⋅

∑

f e f d y d b n i i i i 0 . A solução do problema

homogêneo correspondente seria:

( )

∑

= ⋅ ⋅ = n j j h j e y 1 ξ λ α

ξ voltando à variável original x

tem-se:

( )

∑

= ⋅ = n j j h j x x y 1 λ

α , desta maneira os valores de λj poderiam ser obtidos diretamente da

equação original considerando: y_h

( )

x = A⋅xr, assim:

( )

r h

( )

r

₍

r

₎

h _{A r x r A x} dx x dy x x r A dx x dy ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = −1

( )

₍

₎

r h

( )

₍

₎

r

₍

₎

₍

r

₎

h _{A r r x r r A x} dx x y d x x r r A dx x y d ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ = − 1 1 1 ₂ 2 2 2 2 2

( )

₍

_{) (}

₎

r h

( )

₍

_{) (}

₎

r

₍

_{) (}

₎

₍

r

₎

h _{A r r r x r r r A x} dx x y d x x r r r A dx x y d ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ = − 2 1 2 1 2 1 ₃ 3 3 3 3 3 e assim sucessivamente. Permitindo concluir que:

( )

₍

_{) (}

₎

₍

₎

₍

r

₎

k h k k x A k r r r r dx x y d x ⋅ = ⋅ −1 ⋅ −2 ⋅"⋅ +1− ⋅ ⋅ para k=1, 2,...,n.

A substituição da última expressão na correspondente equação homogênea permite obter:

( )

₍

₎

∑

∑

= = = ⋅ ⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ = ⋅ ⋅ n i r n i i i i h i i i r A x dx x y d x a 0 0 0

β , então os valores de λj são as raízes do

polinômio:

( )

∑

= ⋅ = n i i i n r r p 0

β . No caso particular de n=2 tem-se:

( )

_{+ ⋅ ⋅}

( )

_{+ ⋅}

_{( )}

₌ ⋅ ⋅ a y x dx x dy x a dx x y d x a h h _h 0 1 2 2 2 2 0, assim: p2

( )

r =a2⋅r⋅

(

r−1

)

+a1⋅r+a0,

Equações Diferenciais Ordinárias

(i) se ∆=

(

a₁−a₂

)

2 −4⋅a₀⋅a₂ >0, dois valores característicos reais e distintos, a solução é

dada por:

( )

1 2 2 1 λ λ x C x C x y_h = ⋅ + ⋅ ;

(ii) se∆=

(

a₁−a₂

)

2 −4⋅a₀⋅a₂ =0, dois valores característicos reais e iguais:

2 1 2 2 1 2 a a a ⋅ − = = =λ λ λ ,dada por: y_h

( )

x =xλ ⋅

[

C₁+C₂⋅ln

( )

x

]

;

(iii) se∆=

(

a₁−a₂

)

2 −4⋅a₀⋅a₂ <0, dois valores característicos complexos e conjugados:

ω σ λ₁ = +i⋅ , λ₂ =σ −i⋅ω sendo 2 1 2 2 a a a ⋅ − = σ e

(

)

2 2 2 1 2 0 2 4 a a a a a ⋅ − − ⋅ ⋅ = ω ,dada por:

( )

₌ σ _⋅

{

_⋅

[

ω_⋅

( )

]

_{+ ⋅}

[

ω_⋅

( )

]

}

_{= ⋅}

(

σ _⋅

)

_⋅

[

ω_⋅

( )

₊φ

]

x x A x C x C x x

y_{h 1} cos ln ₂ sen ln exp cos ln .

Aplicando o procedimento à equação:

( )

₂ 2

( )

0

2 2⋅ − ⋅ = x u dx x u d

x , que é uma Equação de Euler

de segunda ordem e homogênea, tem-se:

( )

(

1

)

2 2 2

(

1

) (

2

)

2 r =r⋅ r− − =r −r− = r+ ⋅ r−

p

cujas raízes são: λ₁ =−1 e λ₂ =2, a solução da equação é então:

( )

1 c₂ x2

x c x

u = + ⋅ .

A solução do problema é então:

( )

c x e x

x c x y ⎟⋅ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ ⋅} = 2 2 1

2-)Segunda escolha de z(x): escolhe-se z(x) tal que

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

₂ 0

2 = ⋅ + ⋅ + Q x z x dx x dz x P dx x z d , isto é z(x) é solução da equação diferencial homogênea correspondente, assim:

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

R

( )

x dx x du x z x P dx x dz dx x u d x z ⋅ ₂ +_⎢⎣⎡2⋅ + ⋅ _⎥⎦⎤⋅ = 2 , ou:

( )

( )

( )

( )

( )

z

( )

( )

x x R dx x du x P dx x dz x z dx x u d _{⋅ =} ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ _{⋅ +} + 2 2 2

. Adotando como nova variável dependente:

( )

( )

dx x du x p = , definindo:

( ) ( )

( )

P

( )

x dx x dz x z x P∗ = 2 ⋅ + e

( )

( )

( )

x z x R x Q = , tem-se:

Equações Diferenciais Ordinárias

( )

_{( ) ( )}

_{( )}

x Q x p x P dx x dp ₊ ∗ _{⋅ =}

que é uma equação diferencial linear de primeira ordem, tal equação pode ser resolvida pelo procedimento usual e, após a determinação de p(x),

determina-se:

( )

( )

te x a C d p x u =

∫

ξ ⋅ ξ +

Exemplo Ilustrativo: Resolver a equação diferencial:

( )

( )

_y

_{( )}

_{x x e} x dx x dy dx x y d _{− ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅} 4⋅ 2 2 6 16 8

Por inspeção vê-se que a função e4.x solução da equação homogênea correspondente.

Adotando-se y

( )

x =e4⋅x ⋅u

( )

x _{, resulta em:}

( )

x dx x u d ⋅ = 6 2 2 , logo:

( )

x A dx x du + ⋅ = 2 3 e

( )

x x A x B

u = 3+ ⋅ + _{. Resultando na solução geral: y}

( )

_{x =e}4⋅x _⋅

(

_x3_{+ A⋅x+B}

)

Exemplo Ilustrativo: Resolver a equação diferencial:

( )

2

( )

_{( )}

1 2 2 + = ⋅ + ⋅ − m x x y x dx x dy x dx x y d

Por inspeção vê-se que a função x é solução da equação homogênea correspondente.

( )

( )

_{( )}

0 0 2 2 2 2 = ⋅ + − = ⋅ + ⋅ − x y x x x x dx x dy x dx x y d

, adotando-se y

( )

x = x⋅u

( )

x , resulta em:

( )

( )

m x dx x du x x dx x u d _{⋅ =} ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − + 2 2 2 2 , definindo:

( )

( )

dx x du x p = tem-se:

( )

_{( )}

m x x p x x dx x dp _{⋅ =} ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ −

+ 2 2 _{. Identificando o fator de integração:}

( )

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 3 exp 3 2 x x x µ resulta:

( )

x x x x x p

( )

x d A p x x dx d x m m ⋅ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⇒ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

∫

+ + 0 3 2 3 2 3 2 3 2 3 exp 3 exp 3 exp 3 exp ξ ξ ξ Ou seja:

( )

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛₋ ⋅ + ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ =

∫

3 exp 3 exp 3 2 0 3 3 2 x x A d x x x p x m ξ ξ ξ ξ , logo:

Equações Diferenciais Ordinárias

( )

( )

B d A d d B d p x u x x m x + ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛₋ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ = + ⋅ =

∫

∫ ∫

∫

0 3 2 0 0 3 3 2 0 3 exp 1 3 exp η η η η ξ η ξ η ξ ξ η η η

(b) Mudança da variável independente: em alguns casos a equação diferencial:

( )

_{( ) ( )}

_{( ) ( )}

_{( )}

2 2 x R x y x Q dx x dy x P dx x y d _{+ ⋅ + ⋅ =}

pode, em alguns casos, ser simplificada

trocando-se a variável independente x por z= z

( )

x , assim, pela regra da cadeia:

( )

( ) ( )

dz z dy dx x dz dx x dy _{= ⋅} e

( )

( )

( )

( )

( )

dz z dy dx x z d dz z y d dx x dz dx x y d _{⋅ + ⋅} ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = 2 ₂ 2 ₂ 2 2 2 , tem-se:

( )

( )

( )

_{( ) ( )}

( )

_{( ) ( )}

_{( )}

2 2 2 2 2 x R x y x Q dz z dy dx x dz x P dx x z d dz z y d dx x dz _{⋅ + ⋅ =} ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ + + ⋅ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ .

Selecionando z(x) tal que:

( )

( ) ( )

( )

( )

_⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ − = ⇒ = ⋅ +

∫

P x dx dx x dz dx x dz x P dx x z d exp 0 2 2 a equação

reescrita em termos de z não contém o termo

( )

dz z dy

e pode, em certas situações, ser de mais fácil resolução que a equação na forma original.

Exemplo Ilustrativo: Resolver a equação diferencial:

( )

( )

3

_{( )}

5 2 2 4 x y x x dx x dy dx x y d x⋅ − + ⋅ ⋅ = Assim:

( )

( )

( )

₂

( )

( )

2

( )

5 2 2 2 2 4 x y x x dz z dy dx x dz dx x z d x dz z y d dx x dz x _⎥⋅ + ⋅ ⋅ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⋅ + ⋅ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⋅ , selecionando z(x) tal que

( )

( )

0 1

( )

₂ 1₂

( )

1

( )

0 2 2 2 = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⇒ = − ⋅ dx x dz x dx d dx x dz x dx x z d x dx x dz dx x z d x , logo:

( )

( )

_{( )}

2 1 1 x2 x z x dx x dz dx x dz x⋅ = ⇒ = ⇒ = , então:

( )

3

_{( )}

5 2 2 3 4 x y x x dz z y d x ⋅ + ⋅ ⋅ = , ou seja:

( )

_{( )}

z z y dz z y d ⋅ = ⋅ +4 2 2 2

. A solução da forma homogênea da equação diferencial acima é:

( )

z C₁ cos(2 z) C₂ sen(2 z)

Equações Diferenciais Ordinárias então:

( )

( )

1'₂ 1 0 1 0 2 2 0 2 4 4 4⋅ = + ⋅ = ⋅ ⇒ = = + y z β β z z β β dz z y d p p . A solução completa da equação é:

( )

2 ) 2 ( sen ) 2 cos( ₂ 1 z z C z C z y = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + , voltando à variável x:

( )

4 ) ( sen ) cos( 2 2 2 2 1 x x C x C x y = ⋅ + ⋅ +

Exemplo Ilustrativo: Resolver a equação diferencial:

( )

( )

sen

( ) ( )

[

cos

( )

]

( )

0 cos ₂ 3 2 = ⋅ − ⋅ + ⋅ x y x dx x dy x dx x y d x Assim:

( )

( )

( )

cos

( )

( )

sen

( ) ( )

( )

[

cos

( )

]

( )

0

cos ₂ 3 2 2 2 2 = ⋅ − ⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ _{⋅ + ⋅} + ⋅ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⋅ x y x dz z dy dx x dz x dx x z d x dz z y d dx x dz x ,

selecionando z(x) tal que:

( )

( )

( ) ( )

_{( )}

( )

( )

( )

[

]

( )

( )

( )

0 cos 1 cos sen cos 1 0 sen cos _{2 2} 2 2 2 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ _⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ dx x dz x dx d dx x dz x x dx x z d x dx x dz x dx x z d x ou seja:

( )

( )

x z

( )

x

( )

x dx x dz sen cos ⇒ = = , resultando em:

( )

[

]

( )

[

( )

]

( )

( ) ( )

( )

z z e C e C z y z y dz z y d x y x dz z y d x ⋅ − ⋅ = ⇒ ₂ − = ⇒ = ₁⋅ − + ₂⋅ 2 3 2 2 3 0 0 cos cos , voltando à variável x:

( )

sen( ) 2 ) ( sen 1 x x e C e C x y = ⋅ − + ⋅

(c) Identificação de equações diferenciais exatas: há casos em que é possível identificar a

expressão:

( )

( )

( ) ( )

a

( ) ( )

x y x dx x dy x a dx x y d x a ⋅ ₂ + ₁ ⋅ + ₀ ⋅ 2

2 como a derivada exata de uma

equação diferencial de primeira ordem, isto é:

( )

⋅

( )

+

( ) ( )

⋅ +

( ) ( )

⋅ = _⎢⎣⎡

( ) ( )

⋅ +b

( ) ( )

x ⋅y x⎤_⎥⎦ dx x dy x b dx d x y x a dx x dy x a dx x y d x a _{2 1 0 1 0} 2 2 , porém como:

Equações Diferenciais Ordinárias

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

y x dx x db dx x dy x b dx x db dx x y d x b x y x b dx x dy x b dx d _{⋅ + ⋅} ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ + ⋅ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{⋅ + ⋅} 0 0 1 2 2 1 0 1

tal só ocorre se: b₁

( )

x =a₂

( )

x ;

( )

( )

( )

( )

( )

( )

dx x da x a x b x a x b dx x db ₂ 1 0 1 0 1 + = ⇒ = − _e

( )

_{( )}

x a dx x db 0

0 = _{. Então, para a equação ser exata, os coeficientes da equação diferencial}

original devem satisfazer a :

( )

( )

( )

( )

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₋ = = dx x da x a dx d dx x db x a 2 1 0 0 , ou seja:

( )

( )

_{( )}

0 0 1 2 2 2 = + − a x dx x da dx x a d

. Após verificada a condição tem-se:

( )

x a

( )

x b₁ = ₂ e

( )

( )

( )

dx x da x a x b 2 1 0 = − .

Exemplo Ilustrativo: Resolver a equação diferencial:

( )

( )

_{( )}

0 2 2 2 2 = ⋅ ⋅ − ⋅ − x y x dx x dy x dx x y d Identificando: a₂

( )

x =1; a1

( )

x =−x2 e a0

( )

x = 2− ⋅x, tem-se:

( )

( )

_{( )}

0 2 2 0 0 1 2 2 2 = ⋅ − ⋅ + = + − a x x x dx x da dx x a d

verificando-se a condição, então:

( )

₂

( )

1 1 x =a x = b ,

( )

( )

2

( )

2 1 0 x dx x da x a x b = − =− e

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

A x y x dx x dy x y x dx x dy dx d x y x dx x dy x dx x y d = ⋅ − ⇒ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{− ⋅} = ⋅ ⋅ − ⋅ − 2 2 2 2 2 0 2 .

O fator de integração da última equação é:

( )

_⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 3 exp 3 x x µ , logo:

( )

( )

∫

_⎟⎟⋅ + ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛₋ ⋅ = ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛₋ ⇒ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛₋ ⋅ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛₋ 2 3 1 3 3 1 3 3 exp 3 exp 3 exp 3 exp x y x C x x y x C x dx C dx d , explicitando y(x):

( )

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

∫

2 3 1 3 3 exp 3 exp x C x dx C x y .

Equações Diferenciais Ordinárias

Exemplo Ilustrativo: Resolver a equação diferencial:

( )

( )

_{( )}

2 2 2 2 2 e y x x dx x dy e dx x y d _{+ ⋅} x_{⋅ + ⋅} x_{⋅ =} Identificando: a₂

( )

x =1; a₁

( )

x = 2⋅ex e a₀

( )

x = 2⋅ex, tem-se:

( )

( )

_{( )}

0 2 2 0 0 1 2 2 2 = ⋅ + ⋅ − = + − x x e e x a dx x da dx x a d

verificando-se a condição, então:

( )

₂

( )

1 1 x =a x = b ,

( )

( )

( )

ex dx x da x a x b = − 2 =2⋅ 1 0 e

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

2 2 2 2 2 2 e y x x dx x dy dx d x y e dx x dy e dx x y d _{x x x} = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{+ ⋅ ⋅} = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + , logo:

( )

_{( )}

1 3 3 2 e y x x C dx x dy _{+ ⋅} x_{⋅ = +}

. O fator de integração da última equação é: µ

( )

x =exp

(

2⋅ex

)

,

logo:

[

(

_ex

)

_y

( )

_x

]

x

(

_ex

)

_C

(

_ex

)

dx d ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ exp2 exp2 3 2 exp ₁ 3 , ou seja:

(

)

( )

(

)

1

(

)

2 3 3 1 _{exp2 exp2} 2 exp ⋅ex ⋅y x = ⋅

∫

x ⋅ ⋅ex ⋅dx+C ⋅

∫

⋅ex ⋅dx+C Explicitando y(x):

( )

(

)

(

)

(

)

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ _{⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +} ⋅ ⋅ − =

∫

3 ₁

∫

₂ 3 1 _{exp2 exp2} 2 exp e x e dx C e dx C x y x x x .

Quando o operador diferencial

( )

( )

( ) ( )

a

( ) ( )

x y x

dx x dy x a dx x y d x a ⋅ ₂ + ₁ ⋅ + ₀ ⋅ 2

2 não for exato

pode ser que exista uma função µ

( )

x (fator de integração) que multiplicando o operador

torne-o exato, assim, para que o operador diferencial:

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x a x y x dx x dy x a x dx x y d x a x ⋅ ⋅ ₂ + ⋅ ₁ ⋅ + ⋅ ₀ ⋅ 2 2 µ µ

µ seja exato, deve-se ter:

( ) ( )

[

]

[

( ) ( )

]

_{( ) ( )}

0 0 1 2 2 2 = ⋅ + ⋅ − ⋅ x a x dx x a x d dx x a x d µ µ µ , isto é:

( )

( )

2

( )

( )

( )

( )

1

( )

₀

( ) ( )

0 2 2 2 1 2 2 2 2 ⎥⋅ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + ⋅ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{⋅ −} + ⋅ a x x dx x da dx x a d dx x d x a dx x da dx x d x a µ µ µ

Equações Diferenciais Ordinárias

A equação acima é chamada de equação adjunta e o fator de integração µ

( )

x é uma

integral particular dessa equação.

Exemplo Ilustrativo: Resolver a equação diferencial:

( )

( )

_{( )}

0 2 2 2 2 = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ m x y x dx x dy dx x y d x

Identificando: a₂

( )

x = x; a₁

( )

x =2 e a₀

( )

x =m2⋅x, a equação adjunta é:

( )

_{( )}

( )

_{( )}

_{( )}

_{( )}

_{( )}

mx C mx C x x m dx x d x x m dx x d x 0 2 0 ₁ cos ₂ sen 2 2 2 2 2 ⋅ + ⋅ = ⇒ = ⋅ + ⇒ = ⋅ ⋅ + µ µ µ µ µ ,

adotando: µ

( )

x =sen

( )

mx a equação original assume a forma:

( )

( )

2 sen

( ) ( )

mx sen

( )

( )

0 sen ₂ 2 2 = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ m mx x y x dx x dy dx x y d mx x , assim:

( )

x x

( )

mx b₁ = ⋅sen ,

( )

( )

[

( )

]

( )

mx mx

( )

mx dx mx x d mx x

b₀ =2⋅sen − ⋅sen =sen − ⋅cos e a equação

assume a forma: sen

( ) ( )

[

sen

( )

cos

( )

]

( )

=0

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ _{⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅} x y mx mx mx dx x dy mx x dx d , logo:

( ) ( )

[

sen

( )

cos

( )

]

( )

1 sen mx mx mx y x C dx x dy mx x⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ = , ou:

( )

( )

( )

( )

x

( )

mx C x y mx mx m x dx x dy sen sen cos 1 ₁ ⋅ = ⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ₋ ⋅

+ . O fator de integração da última equação é:

( )

_{( )}

mx x x sen = µ , logo:

( )

( )

( )

[

( )

( )

]

( )

[

( )

]

2 1 2 sen sen cos sen 1 sen mx C x y mx mx x m mx dx x dy mx x _{⋅ =} ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ₋ ⋅ ⋅ + ⋅ , ou seja:

( ) ( )

[

( )

]

( ) ( )

( )

( )

2 1 2 1 sen cos sen sen sen mx C mx m C x y mx x mx C x y mx x dx d _{= ⇒ ⋅ =− ⋅ +} ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ _⋅ Explicitando y(x):

( )

( )

( )

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡_{− ⋅ + ⋅} = mx C mx m C x x

y 1 1 cos ₂ sen _{, ou em forma mais simplificada:}

( )

( )

( )

x mx B mx A x y = ⋅cos + ⋅sen

Equações Diferenciais Ordinárias

6-3) Resolução em Séries de Potências de Equações Diferenciais de Segunda Ordem Linear de Coeficientes Variáveis Homogêneas

6-3-1) Em Torno de Pontos Ordinários – Método de Fuchs Equações diferenciais ordinárias da forma:

( )

( )

_{2 1}

( ) ( )

₀

( ) ( )

0 2 2 ⋅ + ⋅ +a x ⋅y x = dx x dy x a dx x y d x a Se

( )

( )

( )

x a x a x p 2 1 = e

( )

( )

( )

x a x a x q 2 0

= são ambas funções analíticas em x0, então a solução geral

da equação é: y

( )

x c

(

x x

)

c y

( )

x c y

( )

x i i i 1 2 0 1 0 0 = ⋅ + ⋅ − ⋅ =

∑

∞ = , sendo c0 e c1 constantes

arbitrárias, e y₁

( )

x e y₂

( )

x são duas soluções em séries linearmente independentes,

analíticas em x0. Além disso, o raio de convergências de y1

( )

x e y2

( )

x são pelo menos

iguais ao menor dos raios de convergência de p(x) e q(x).

Exemplo Ilustrativo: Resolver a equação diferencial (Equação de Airy):

( )

_{( )}

0 2 2 = ⋅ −x y x dx x y d

Identificando: p

( )

x =0 e q

( )

x =−x que são ambas analíticas em x0=0 com raio de

convergência infinito, busca-se então:

( )

∑

∞ = ⋅ = 0 i i i x c x y , logo:

( )

∑

∑

∞ = − ∞ = + _{= ⋅} ⋅ = ⋅ 1 1 0 1 i i i i i i x c x c x y x ,

( )

_∑

_∑

_∑

∞

_{( )}

= + ∞ = − ∞ = − _{= ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅} ⋅ ⋅ = 0 1 1 1 0 1 ₁ i i i i i i i i i i x c i x c i x c dx x dy e

( )

_∑

_{( )}

_∑

_{( )}

_∑

∞

₍

_{) ( )}

= + ∞ = − + ∞ = − + ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = 0 2 1 1 1 0 1 1 2 2 1 2 1 1 i i i i i i i i i i i x c i i x c i i x c dx x y d . Então:

( )

( )

2

[

(

2

) ( )

1

]

0 1 1 2 2 2 2 = ⋅ − + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ −

∑

∞ = − + i i i i i i c x c c x y x dx x y d ,

Equações Diferenciais Ordinárias

dando origem à equação de recorrência:

(

2

) ( )

1 1 2 = _{+ ⋅ +} − + i i c c i i para i = 1, 2, ... com c2 =0. Assim: com 3 2 1 ₃ 0 ⋅ = → = c c i ; com 4 3 2 1 4 = _⋅ → = c c i ; com 0 5 4 3 2 5 = _⋅ = → = c c i ; com 6 5 3 2 6 5 4 3 0 6 = _⋅ = _{⋅ ⋅ ⋅} → = c c c i ; com 7 6 4 3 7 6 5 4 1 7 = _⋅ = _{⋅ ⋅ ⋅} → = c c c i ; com 0 8 7 6 5 8 = _⋅ = → = c c i ; com 9 8 6 5 3 2 9 8 7 6 0 9 = _⋅ = _{⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅} → = c c c i ; com 10 9 7 6 4 3 10 9 8 7 1 10 = _⋅ = _{⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅} → = c c c i ; com 0 11 10 9 8 11 = _⋅ = → = c c i . Permitindo obter: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ = " " 13 12 10 9 7 6 4 3 10 9 7 6 4 3 7 6 4 3 4 3 12 11 9 8 6 5 3 2 9 8 6 5 3 2 6 5 3 2 3 2 1 ) ( 13 10 7 4 1 12 9 6 3 0 x x x x x c x x x x c x y Identificando-se: +" ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + = 12 11 9 8 6 5 3 2 9 8 6 5 3 2 6 5 3 2 3 2 1 ) ( 12 9 6 3 1 x x x x x y e " + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + = 13 12 10 9 7 6 4 3 10 9 7 6 4 3 7 6 4 3 4 3 ) ( 13 10 7 4 2 x x x x x x y .

Neste caso não foi possível identificar uma lei de formação dos coeficientes das duas expansões, entretanto, é possível verificar a representar essas duas séries utilizando a equação de recorrência:

(

2

) ( )

1 1 2 = _{+ ⋅ +} − + i i c c i

i para i = 1, 2, ... com c2 =0. Para se obter a

representação gráfica de y₁

( )

x e y₂

( )

x consideram-se as duas situações:

Representação de y₁

( )

x :

(

2

) ( )

1 1 2 = _{+ ⋅ +} − + i i c c i i para i = 1, 2, ... com c0 =1 ; c1 =0 e c2 =0,

após a determinação dos coeficientes, adota-se:

( )

∑

= ⋅ + = N i i i x c x y 3 1 1 .