Termo-Estatística – Licenciatura:
14ª Aula
(19/04/2013)
Prof. Alvaro Vannucci
RELEMBRANDO
► A função densidade de probabilidade envolvendo as moléculas de um gás ideal, em termos de energia:
1/ 2 3/ 2 2 ( ) E kT f E E e kT ► Onde consideramos, nesta expressão, a energia E como sendo dada por E = EC + Epot ≡ energia total do sistema, sendo que:
2 2 2 2
2
2
2
2
y x z cp
p
p
p
E
m
m
m
m
► Seguindo o mesmo procedimento adotado por Maxwell-Boltzmann, a distribuição de probabilidade de se encontrar uma partícula em um volume infinitesimal (d ) do espaço de fase, definido pelas componentes do momento e posição das partículas:
( ) ( ) ( ) (
) (
) (
)
( , , ,
,
,
)
y x y z x y z E kT x zf x f y f z f p
f p
f p
dx dy dz dp dp dp
f x y x p p
p d
C e
d
► Sendo que cada componente
i deste espaço de fase tem a forma:( )
i E kT i if
C e
► Na obtenção da chamada “Lei das Atmosferas”, supondo uma temperatura T constante, e que g da gravidade não varia com a altura, a função distribuição de densidade de probabilidade correspondente será dada por:
2 2 2 ² 2 2 2 2
(
,
,
, )
y x p z p p mgz p mgz mkT mkT mkT kT mkT kT x y zf p p
p z
C e
e
e
e
C e
e
► E como a integral desta função em todo o espaço tem que ser igual a um: 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0
(
,
,
, )
1
y x p z p p mgz mkT mkT mkT kT x y z x y z espaço todof p p
p z
C e
dp
e
dp
e
dp
e
dz
--- ► Lembrando agora que integrais do tipo:2 0 i p i
e
dp
(integrando trata-se de função par) =2
1
2
1
2
2
i p ie
dp
(uma constante!) ► Temos que: * 0(
,
,
, )
1
mgz kT x y z espaço todof p p
p z d
C
e
d
z
►Fazendo: ² 2 mg kT z dz d
(os limites de integração não mudam)
► Então:
►Usando novamente que:
d
e
²
e
²
2
d
²
²
1
2
e
d
d e
► Temos então:
* * * ² ² * 0 02
[0 1]
1
2
C
C
C
kT
d e
e
C
mg
*mg
C
kT
e( )
mgz kTmg
f z
e
kT
≡ função distribuição das moléculas emfunção da altura z (Lei das Atmosferas)
* * ² 0 0
2
1
mgz kTC
e
dz
C
e
d
► Note que a distribuição depende da massa das partículas do gás, dada uma temperatura, e que a quantidade de partícula decresce exponencialmente com a altura.
► Note também que para
z
0
f z
(
0)
f
(0)
mg kT
/
► Portanto: , que é a forma mais conhecida da
Lei das Atmosferas.
►Exercício 10 – Lista 3: N 2( 0) 0, 21 O f z N N 2( 0) 0, 78 N f z N e
► Supondo que a composição de outros gases se mantém a 10km:
2 2 4 4 (10 ) (10 ) 0, 01 1 N O f m f m (*) ► Então, a 104 m: N 4 2 2 2 10 4 (10 ) (0) O g m kT O O f f e N N 4 2 2 2 10 4 (10 ) (0) N g m kT N N f f e N , sendo que
9,8
232,5 10
25(1,38 10
)(283)
g
x
kT
x
m -1 .
2 2 4 4 25 26 (2,5 10 )(5,3 4,6)10 0,175(10 )
0, 21
0, 21
0, 78
(10 )
0, 78
0, 23
O N xf
f
e
e
2 2 4 4(10 )
0, 23
(10 )
O Nf
f
0
( )
( )
mgz kTf z
f
e
2 2 2 2 27 26 26 283 1 . . . 1, 66 10 ; 32 . . . e 28 . . . 5,3 10 e 4, 6 10 N O N O T K u m a x kg M u m a M u m a M x kg M x kg ► Então, usando (*): 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4
(10 ) 0, 23
(10 ) 1 0, 01
1, 23
(10 )
0,99
(10 )
0,805 ou 80,5% ; e
(10 )
0,99 0,805
0,185 ou 18,5%
N N N N Of
f
f
f
f
► Exercício 4 – Lista 3: 2 10 6 26 2 2310 moléculas/cm³ 10 moléculas/m³
500
/
30
32 /
5, 3 10
6 10
/
ON
v
m s
g mol
O
m
x
kg
x
part mol
(
)
( )
2 cos
f ip p
i
p i
p
1
F
p
P
A
A
t
;2 cos
parede TOTALp
p
p
Mv
Nmv
1 2 cos
p
P
A
t
► Mas:
S
t
v
e( cos )( )
cos
V
V
S
A
A
S
S
P
cos
2
Nmv
cos
V
S
2
² cos ²
N
P
mv
v
v
► Ou seja:
16
26
4moléculas/m³
² / ²
(2) 10
5,3 10
500²
( 3 / 2)²
2 10
kg
m
s
P
x
P
x
Pa
► Exercício 1 – Lista 3:► Oscilador Harmônico:
x
A
cos(
wt
)
,
variável aleatória (constante de fase)Sendo que
dx
Ase wt
n(
)
d
a) Para um dado instante t, t = 0, por exemplo,
x t
(
0)
A
cos
; de onde vemos que a posição está vinculada com a fase (inicial)►Como ϕ pode ter valor aleatório entre 0 e 2π, então a probabilidade deverá ser a mesma para qualquer valor possível. Podemos então supor f( )
C, de forma que: 2 01
( )
1
( )(2 ) 1
2
f
d
C
C
► Mas, no intervalo entre 0 e 2π há sempre dois valores de ϕ que geram o mesmo valor de x (o mesmo cosseno).
► Então, em termos de probabilidade:
( )
2 ( )
( )
2 ( )
P x
P
f x dx
f
d
( )
n(
)
2 ( )
f x
Ase
wt
d
f
d
= C = 1/2π Ou seja,
2 2 2 2 2 2( )1
( )1
( )
n(
)
1 cos (
)
1
1
( )
( )
cos (
)
f x
Ase
wt
A
wt
f x
f x
A
A
wt
A
x
b)► Observe que a probabilidade é maior de se encontrar o oscilador nos pontos em que a velocidade é menor.
► Exercício 3 – Lista 3:
► Tempo para que ocorram duas colisões sucessivas contra a parede A:
2
xL
t
v
a taxa de colisão de cada molécula contra a parede A será: 2 x L
v
► Para N moléculas:
1 2
12
1
1
...
2
N i N x x x i xL
v
v
v
L
N
N
v
=v
x► Para o cálculo exato de
precisamos obter a função distribuição da compo-nente x da velocidade:f v
( )
x , e calcular( )
x x x xv
v f v dv
510
295
³
P
Pa
T
K
V
L
► Isto pode ser feito supondo (das aulas anteriores):
2
( )
Bvxx
f v
Ae
► Normalizando a função e lembrando que 1 ² 3
2mv 2kT e que 2 2 2 2
²
x y z3
xv
v
v
v
v
, podemos calcularv
x2v f v dv
x2( )
x x
.► Vamos obter as duas constantes:
2
m
A
kT
e2
m
B
kT
de forma que: 2 1/2 2( )
2
x mv kT xm
f v
e
kT
► Mas como o exercício pede apenas uma “estimativa”, podemos fazer a
aproximação
v
x
v
x2 ²
2
3
2
3
qmv
N
v
N
L
L
;3
qmP
v
► Dado:
ar
1, 2 /
g m
³
e lembrando queN
PV
kT
:3
³
2
3
PV
P
L
LkT
2 L
3
kT
³
3
P
4 5 23 310
(10 )³
(2)(1,38 10
x
)(295) 1, 2 10
x
251,1 10
x
colisões s
/
► Exercício 10 – Lista 2:► Potência média dissipada:
2 2 2 2 21
n
n
V
v
P
v
R
R
R
queremos ► Mas:
2
n
2
n
2
Npq
2 2 2 2n
N
pq
n
N (1
p
p
)
N
p
► Substituindo: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2N
1
1
(N
N
N
)
1
N
N
N
1
1
N
v
p v
P
p
p
p
R
R
p
p v
p
P
R
p
► Note que para p = 1 (todas as células boas):
