Equipa de formadores da Escola Profissional de Capelas 1
Nível B3
PROPORCIONALIDADE INVERSA
Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas x e y são inversamente proporcionais se o produto dos valores correspondentes é constante e diferentes de zero.
Essa constante chama-se constante de proporcionalidade e representa-se por K.
Simbolicamente, x × y = K ⇔ y =
x K
Exemplos:
1. A tabela seguinte traduz a relação entre o tempo gasto e a velocidade num percurso de automóvel.
Justificar que as grandezas sºao inversamente proporcionais e escrever a expressão que as relaciona.
Resolução:
As duas grandezas são inversamente proporcionais porque o produto dos valores correspondentes é constante:
4 x 60 = 240 ; 3 x 80 = 240 e 2 x 120 = 240
A constante se proporcionalidade é 240. Logo, a expressão que relaciona T e V é V x T = 240.
2. Determina a e b sabendo que as grandezas A e B são inversamente proporcionais. Tempo (horas) 4 3 2 Velocidade (Km/h) 60 80 120 A 3 a 6 B 16 12 b
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Resolução:
Se as grandezas são inversamente proporcionais, o produto dos valores correspondentes é constante. Em particular, 3 x 16 = 48. Logo, a x 12 = 48 e 6 x b = 48. Então, a = 12 48 ⇔ a = 4 e b = 6 48 ⇔ b = 8
3. Uma torneira que debita 300 litros de água por hora enche uma piscina em 4 horas. Quanto deveria a torneira debitar por hora para encher a piscina em 3 horas?
Resolução:
Quanto maior for o caudal © da torneira, menos tempo (T) demora a encher a piscina. As grandezas são inversamente proporcionais, sendo 300 x 4 = 1200 a constante de proporcionalidade. Como C x T = 1200, então C x 3 = 1200, isto é, C =
3 1200
, ou seja, C = 400. O caudal da torneira deveria de ser 400 litros por hora.
4. Considerando todos os rectângulos de área 24 cm2, determinar a altura, se a base medir 6 cm, e a se a altura medir 3 cm.
Altura
Base
Resolução:
Como a área é de 24 cm2, b x a = 24, ou seja, a =
b 24 . Sendo b = 6, a = 6 24 = 4. A altura mede 4 cm.
Da mesma maneira b x a = 24. Sendo a = 3, b =
3 24
Equipa de formadores da Escola Profissional de Capelas 3 5. Para visitar Londres, o Rui foi ao banco trocar euros por libras e
comprou 900 libras a 1,55 euros cada. No dia seguinte, o preço da libra baixou 5 cêntimos. Com a mesma quantia, quantas libras poderia o Rui comprar?
Resolução:
Quanto mais baixo é o preço da moeda a comprar, mais quantidade se recebe.
O Rui gastou 900 x 1,55 = 1395 € na compra de libras.
No dia seguinte, o preço baixou para 1,50 € por libra. Então, o Rui compraria 50 , 1 1395 = 930 libras. Representação gráfica
Representação gráfica de uma proporcionalidade inversa
Duas grandezas x e y são inversamente proporcionais se xy = K, ou seja, y =
x K
.
Exemplos:
1. Representa graficamente a função y =
x
6
.
Resolução:
Para representar graficamente a função y =
x
6
deve elaborar-se uma tabela auxiliar.
x -3 -2 2 3 y -2 -3 3 2
O gráfico correspondente chama-se hipérbole.
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Como te lembras, os pontos que pertencem ao gráfico de uma proporcionalidade directa estão alinhados e a recta que os contém passa pela origem do referencial.
2. Representa graficamente a tabela de proporcionalidade directa:
e indica a constante de proporcionalidade.
Resolução:
Marcando num sistema de eixos os pontos da tabela obtém-se o gráfico. Relembra que a constante de proporcionalidade é a ordenada do ponto de abcissa 1. De facto, 2 1 − − = 1 2 = 2 4
= 2; logo 2 é a constante de proporcionalidade.
Outro tipo de gráficos
Analisar e interpretar convenientemente gráficos para compreender situações da vida real.
Um automobilista sai da cidade A, durante 3 horas à velocidade de 60 Km/h e pára durante 1 hora na cidade B. Em seguida, desloca-se para a cidade C, que está a 70 Km de B, e demora 1 hora a lá chegar. Finalmente, regressa à cidade A a uma velocidade de 125 Km/h.
Esta situação pode ser traduzida através do gráfico:
x -1 1 2 y -2 2 4
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APLICA O QUE APRENDESTE
1. Duas grandezas x e y são inversamente proporcionais, sendo x = 5 quando y = 20. A relação entre x e y é:
a) y = x 20 b) y x = 4 c) y x = 4 1 d) xy = 100
2. A grandeza y é directamente proporcional à grandeza x sendo 7 a constante de proporcionalidade: Se y = 6,3 então x tem o valor:
a) 0,9 b) 13,3
c) 44,1 d) 0,7
Equipa de formadores da Escola Profissional de Capelas 6 a) f(x) = x 5 3 ; g(x) = x; h(x) = x 3 5 ; j(x) = x 16 − b) f(x) = x 3 5 ; g(x) = -x; h(x) = x 5 3 ; j(x) = 4x c) f(x) = x 3 5 ; g(x) = x; h(x) = x 5 3 ; j(x) = x 16 − d) f(x) = x 5 3 ; g(x) = -x; h(x) = x 3 5 ; j(x) = 16 x
4. O Sr. João precisa de embalar a sua produção de maçã. Se utilizar caixas de 12 unidades, necessita de 125 caixas.
4.1. Completa a tabela.
4.2. Indica o valor da constante de proporcionalidade e indica o seu significado no âmbito do problema.
5. Um agricultor vai envasilhar a sua produção de azeite em 1000 vasilhas de 1,5 l cada.
5.1. Se utilizar vasilhas de 750 ml, quantas são necessárias? 5.2. Qual a quantidade total de azeite produzido?
6. O Manuel recebeu dinheiro para gastar na compra de livros. O gráfico seguinte traduz a relação entre o número de livros que pode comprar e o preço de cada um.
Número de caixas
125 50 Número de
maçãs por caixa
Equipa de formadores da Escola Profissional de Capelas 7 6.1. qual a quantia de que o Manuel dispunha?
6.2. Se cada livro custar 25 €, quantos pode comprar?
6.3. O gráfico traduz uma situação de proporcionalidade. Indica o tipo e a
constante de proporcionalidade.
7. Um grupo de alunos efectuou uma visita de estudo às pinturas rupestres de Foz Côa e elaborou o seguinte gráfico.
7.1. Indica uma possível explicação para o aspecto do gráfico entre as 10 e
as 11 horas.
7.2. Qual o número total de quilómetros percorridos pelos alunos? 7.3. Qual a velocidade média do percurso de regresso?
