Grandezas proporcionais e escala
Teoria
Razões e proporções
Razão é a fração determinada por duas grandezas, que visa a obter a relação que se estabelece entre as quantidades de cada uma delas em uma determinada situação. Assim, uma razão entre as grandezas a e b é dada por 𝑎
𝑏
.
Quando duas razões têm o mesmo resultado, ou seja, se elas são iguais, determinam uma proporção. Desse modo, a proporção dada por quatro números a, b, c e d é representada pela seguinte igualdade de razões:
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
= 𝑘
em que k é a constante de proporcionalidade.
Grandezas Diretamente Proporcionais
Duas grandezas a e b são diretamente proporcionais quando a razão entre elas é constante, ou seja:
𝑎
𝑏
= 𝑘
Assim, ao variar uma grandeza, a outra também varia na mesma razão.
Exemplo: Um pai deixou para seus filhos André, Bruno e Cristiano uma herança de R$ 70.000,00 a ser
distribuída em quantias diretamente proporcionais a 1,2 e 4, respectivamente. Quanto cada um dos três filhos recebeu?
Chamemos por A, B e C as quantias recebidas por André, Bruno e Cristiano, respectivamente. A seguinte proporção pode ser montada:
𝐴 1= 𝐵 2 = 𝐶 4= 𝑘
Igualando-se cada razão à constante k de proporcionalidade, podem-se criar as seguintes equações: 𝐴 = 𝑘, 𝐵 = 2𝑘 𝑒 𝐶 = 4𝑘
Dessa maneira, sabemos que a soma das quantias recebidas por cada um é o valor total da herança, R$ 70.000,00:
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 70000 𝑘 + 2𝑘 + 4𝑘 = 70000
𝑘 = 70000 7 𝑘 = 10000
Assim, André recebeu R$ 10 000,00, Bruno recebeu R$ 20 000,00 e Cristiano, R$ 40 000,00.
Grandezas Inversamente proporcionais
Duas grandezas a e b são inversamente proporcionais quando o produto entre elas é constante, ou seja:
𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑘
Assim, ao variar uma grandeza, a outra também varia na razão inversa.
Exemplo: Um pai deixou para seus filhos André, Bruno e Cristiano uma herança de R$ 70.000,00 a ser
distribuída em quantias inversamente proporcionais a 1, 2 e 4, respectivamente. Quanto cada um dos três filhos recebeu?
Chamemos por A, B e C as quantias recebidas por André, Bruno e Cristiano, respectivamente. A seguinte proporção pode ser montada:
𝐴 = 2𝐵 = 4𝐶 = 𝑘
Igualando-se cada razão à constante k de proporcionalidade, podem-se criar as seguintes equações:
𝐴 = 𝑘, 𝐵 =
𝑘
2
𝑒 𝐶 =
𝑘
4
Dessa maneira, sabemos que a soma das quantias recebidas por cada um é o valor total da herança, R$ 70.000,00: 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 70000 𝑘 +𝑘 2+ 𝑘 4= 70000 4𝑘 + 2𝑘 + 𝑘 4 = 70000 7𝑘 4 = 70000 7𝑘 = 70000 ∙ 4 𝑘 = 280000 7 𝑘 = 40000
Escala
Escalas de mapas e miniaturas são exemplos de razões entre grandezas de mesma natureza (neste caso, comprimento). Uma escala (E) é a razão entre o comprimento do desenho ou da miniatura (d) e o comprimento real (r).
𝐸 =
medida do desenho
medida real
=
𝑑
𝑟
Exercícios
1. Os números x, y e 32 são diretamente proporcionais aos números 40 72 e 128. Determine x e y
2. Um mapa de escala 1:300.000 apresenta uma distância de 15cm entre os pontos A e B. Qual é a distância entre A e B na realidade?
3. Um pesquisador, ao explorar uma floresta, fotografou uma caneta de 16,8 cm de comprimento ao lado de uma pegada. O comprimento da caneta (c), a largura (L) e o comprimento (C) da pegada, na fotografia, estão indicados no esquema.
A largura e o comprimento reais da pegada, em centímetros, são, respectivamente, iguais a
4. A mensagem digitada no celular, enquanto você dirige, tira a sua atenção e, por isso, deve ser evitada. Pesquisas mostram que um motorista que dirige um carro a uma velocidade constante percorre “às cegas” (isto é, sem ter visão da pista) uma distância proporcional ao tempo gasto ao olhar para o celular durante a digitação da mensagem. Considere que isso de fato aconteça. Suponha que dois motoristas (X e Y) dirigem com a mesma velocidade constante e digitam a mesma mensagem em seus celulares. Suponha, ainda, que o tempo gasto pelo motorista X olhando para seu celular enquanto digita a mensagem corresponde a 25% do tempo gasto pelo motorista Y para executar a mesma tarefa.
(Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 21 jul. 2012 (adaptado).)
A razão entre as distâncias percorridas às cegas por X e Y, nessa ordem, é igual a:
a) 5 4 b) 1 4 c) 4 3 d) 4 1 e) 3 4
5. O resultado de uma pesquisa eleitoral, sobre a preferência dos eleitores em relação a dois candidatos, foi representado por meio do Gráfico 1.
Apesar de os valores apresentados estarem corretos e a largura das colunas ser a mesma, muitos leitores criticaram o formato do Gráfico 2 impresso no jornal, alegando que houve prejuízo visual para o candidato B. A diferença entre as razões da altura da coluna B pela coluna A nos gráficos 1 e 2 é:
a) 0 b) 12 c) 15 d) 2 15 e) 358
6. Para contratar três máquinas que farão o reparo de vias rurais de um município, a prefeitura elaborou um edital que, entre outras cláusulas, previa:
• Cada empresa interessada só pode cadastrar uma única máquina para concorrer ao edital; • O total de recursos destinados para contratar o conjunto das três máquinas é de R$ 31 000,00; • O valor a ser pago a cada empresa será inversamente proporcional à idade de uso da máquina
cadastrada pela empresa para o presente edital.
As três empresas vencedoras do edital cadastraram máquinas com 2, 3 e 5 anos de idade de uso. Quanto receberá a empresa que cadastrou a máquina com maior idade de uso?
a) R$ 3 100,00 b) R$ 6 000,00 c) R$ 6 200,00 d) R$ 15 000,00 e) R$ 15 500,00
7. Para uma temporada das corridas de Fórmula 1, a capacidade do tanque de combustível de cada carro passou a ser de 100 kg de gasolina. Uma equipe optou por utilizar uma gasolina com densidade de 750 gramas por litro, iniciando a corrida com o tanque cheio. Na primeira parada de reabastecimento, um carro dessa equipe apresentou um registro em seu computador de bordo acusando o consumo de quatro décimos da gasolina originalmente existente no tanque. Para minimizar o peso desse carro e garantir o término da corrida, a equipe de apoio reabasteceu o carro com a terça parte do que restou no tanque na chegada ao reabastecimento.
(Disponível em: www.superdanilof1page.com.br. Acesso em: 6 jul. 2015 (adaptado).)
A quantidade de gasolina utilizada, em litro, no reabastecimento, foi:
8. Comum em lançamentos de empreendimentos imobiliários, as maquetes de condomínios funcionam como uma ótima ferramenta de marketing para as construtoras, pois, além de encantar clientes, auxiliam de maneira significativa os corretores na negociação e venda de imóveis.
Um condomínio está sendo lançado em um novo bairro de uma cidade. Na maquete projetada pela construtora, em escala de 1: 200, existe um reservatório de água com capacidade de 45 cm³.
Quando todas as famílias estiverem residindo no condomínio, a estimativa é que, por dia, sejam consumidos 30 000 litros de água.
Em uma eventual falta de água, o reservatório cheio será suficiente para abastecer o condomínio por quantos dias? a) 30 b) 15 c) 12 d) 6 e) 3
9. Em uma cantina, o sucesso de venda no verão são sucos preparados à base de polpa de frutas. Um dos sucos mais vendidos é o de morango com acerola, que é preparado com 2/3 de polpa de morango e 1/3 de polpa de acerola.
Para o comerciante, as polpas são vendidas em embalagens de igual volume. Atualmente, a embalagem da polpa de morango custa R$ 18,00 e a de acerola, R$ 14,70. Porém, está prevista uma alta no preço da embalagem da polpa de acerola no próximo mês, passando a custar R$ 15,30.
Para não aumentar o preço do suco, o comerciante negociou com o fornecedor uma redução no preço da embalagem da polpa de morango.
A redução, em real, no preço da embalagem da polpa de morango deverá ser de:
10. Em um jogo on-line, cada jogador procura subir de nível e aumentar sua experiência, que são dois parâmetros importantes no jogo, dos quais dependem as forças de defesa e de ataque do participante. A força de defesa de cada jogador é diretamente proporcional ao seu nível e ao quadrado de sua experiência, enquanto sua força de ataque é diretamente proporcional à sua experiência e ao quadrado do seu nível. Nenhum jogador sabe o nível ou a experiência dos demais. Os jogadores iniciam o jogo no nível 1 com experiência 1 e possuem força de ataque 2 e de defesa 1. Nesse jogo, cada participante se movimenta em uma cidade em busca de tesouros para aumentar sua experiência. Quando dois deles se encontram, um deles pode desafiar o outro para um confronto, sendo o desafiante considerado o atacante. Compara-se então a força de ataque do desafiante com a força de defesa do desafiado e vence o confronto aquele cuja força for maior. O vencedor do desafio aumenta seu nível em uma unidade. Caso haja empate no confronto, ambos os jogadores aumentam seus níveis em uma unidade. Durante um jogo, o jogador J1, de nível 4 e experiência 5, irá atacar o jogador J2, de nível 2 e experiência
6.
O jogador J1 venceu esse confronto porque a diferença entre sua força de ataque e a força de defesa
de seu oponente era
a) 112. b) 88. c) 60. d) 28. e) 24.
11. A figura apresenta dois mapas, em que o estado do Rio de Janeiro é visto em diferentes escalas.
Há interesse em estimar o número de vezes que foi ampliada a área correspondente a esse estado no mapa do Brasil. Esse número é
a) Menor que 10.
12. A resistência mecânica S de uma viga de madeira, em forma de um paralelepípedo retângulo, é diretamente proporcional à sua largura (b) e ao quadrado de sua altura (d) e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os suportes da viga, que coincide com o seu comprimento (x), conforme ilustra a figura. A constante de proporcionalidade k é chamada de resistência da viga.
A expressão que traduz a resistência S dessa viga de madeira é
a) 𝑆 = 𝑘∙𝑏∙𝑑² 𝑥² b) 𝑆 = 𝑘∙𝑏∙𝑑𝑥² c) 𝑆 = 𝑘∙𝑏∙𝑑² 𝑥 d) 𝑆 = 𝑘∙𝑏²∙𝑑 𝑥² e) 𝑆 = 𝑘∙𝑏∙2𝑑2𝑥
Gabarito
1. Se x, y e 32 são diretamente proporcionais aos números 40, 72 e 128, temos que a razão entre qualquer
desses números e seu correspondente será igual. Podemos expressar da seguinte forma:
𝒙 𝟒𝟎 = 𝒚 𝟕𝟐 = 𝟑𝟐 𝟏𝟐𝟖
Dessa expressão, podemos retirar duas equações: 40𝑥 = 32 128 𝑒 𝑦 72 = 32 128 Temos: 𝑥 40 = 32 128 𝑥 40 = 1 4 4x = 40 x = 404 x = 10 𝒚 𝟕𝟐 = 𝟑𝟐 𝟏𝟐𝟖 𝒚 𝟕𝟐 = 𝟏 𝟒 4y = 72 𝑦 = 72 4 y = 18 Portanto, x = 10 e y = 18.
2. A escala informa que cada 1𝑐𝑚 no mapa temos 300.000𝑐𝑚 na distância real.
Para convertermos 𝑐𝑚 para 𝑘𝑚, devemos cortar 5 zeros, logo: 300.000𝑐𝑚 = 3𝑘𝑚. Agora que sabemos que cada 1𝑐𝑚 do mapa temos 3𝑘𝑚, sendo assim temos 15𝑐𝑚 ou seja, 15 𝑥 3 = 45 𝑘𝑚.
3. D
Sejam L’ e C’, respectivamente, a largura e o comprimento reais da pegada. Tem-se que 𝟒𝟎𝒙 = 𝟑𝟐 𝟏𝟐𝟖 2,2 𝐿′ = 3,4 𝐶′ = 1,4 16,8
Simplificando a fração 16,81,4 por 1,4 em cima e em baixo, temos que: 2,2 𝐿′ = 3,4 𝐶′ = 1 12
Então podemos dizer que: 2,2 𝐿′ = 1 12 𝐿′= 2,2 ∙ 12 𝐿′= 26, 40 𝑐𝑚 e 3,4 𝐶′ = 1 12 𝐶′= 3,4 ∙ 12 𝐶′= 40, 8 𝑐𝑚 4. B Calculando: { 𝑉𝑥 = 𝑉𝑦 ∆𝑡𝑥= 0,25∆𝑡𝑦= ∆𝑡𝑦 4 ∆𝑑𝑥 ∆𝑡𝑥 = ∆𝑑𝑦 ∆𝑡𝑦 → ∆𝑑𝑥 ∆𝑑𝑦= ∆𝑡𝑥 ∆𝑡𝑦= ∆𝑡𝑦 4 ∆𝑡𝑦 = 1 4 5. E
Analisando no gráfico 1, podemos perceber que a razão B sobre A será: 𝑅1=30
70= 3 7
6. B
Sejam x, y e z, respectivamente, os valores recebidos pelos contratos das máquinas com 2, 3 e 5 anos de idade de uso. Logo, temos 2𝑥 = 3𝑦 = 5𝑧 = 𝑘, com k sendo a constante de proporcionalidade. Em consequência, vem 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 31000 ⇔ 𝑘 2+ 𝑘 3+ 𝑘 5 = 31000 ⇔ 𝑘 = 30000 A resposta é 𝑧 =𝑘 5= 30000 5 = 𝑅$ 6.000,00 7. B Calculando: Início: 100 kg 1ª 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑑𝑎 {𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 → 4 10∙ 100 = 40 𝑘𝑔 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 → 100 − 40 = 60 𝑘𝑔 𝑅𝑒𝑎𝑏𝑎𝑠𝑡𝑒𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 →60 3 = 20 𝑘𝑔 → 𝑒𝑚 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 → 20 ∙ 1000 750 = 20 0,75 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 8. C
Primeiro iremos transformar 45 cm³ em dm³, então 45 cm³ = 0,045 dm³. Sendo C a capacidade em medida real do reservatório, temos:
0,045 𝐶 = ( 1 200) 3 ↔ 𝐶 = 360000 𝑑𝑚³
Observação: Como estamos tratando sobre capacidade/volume, temos que elevar a escala ao cubo para
assim podermos fazer a conta. Como 1 dm³ = 1L, temos que C = 360000 L.
Logo, o reservatório cheio será suficiente para abastecer o condomínio por, no máximo, 360000
30000 = 12 𝑑𝑖𝑎𝑠
9. E
Iremos primeiro calcular o custo para fazer o suco antes do valor da embalagem da polpa de acerola aumentar
𝐶 = 18 ∙2
3+ 14,70 ∙ 1
3= 16,90
Como ele não quer aumentar o valor do suco, ele pediu para que houvesse uma redução no preço da embalagem da polpa de morango, e para o custo ser o mesmo, então essa redução será:
16,90 − 5,10 = 2 3∙ 𝑥 11,8 = 2 3∙ 𝑥 11,8 ∙ 3 = 2 ∙ 𝑥 2 ∙ 𝑥 = 35,4 𝑥 =35,4 2 𝑥 = 17,70
Então a redução do morango foi de 18-17,70 = 0,30.
10. B
Sejam d e a, respectivamente, a força de defesa e a força de ataque. Logo, sendo n o nível e l a experiência, temos 𝑑 = 𝛼 ∙ 𝑛 ∙ 𝑙² 𝑒 𝑎 = 𝛽 ∙ 𝑛² ∙ 𝑙.
Desse modo, segue que 1 = 𝛼 ∙ 1 ∙ 1² ⇔ = 1 𝑒 2 = 𝛽 ∙ 1² ∙ 1 ⇔ 𝛽 = 2
Portanto, sabendo que J1 ataca J2, podemos concluir que a resposta é dada por 2 ∙ 4² ∙ 5 – 2 ∙ 6² =
160 – 72 = 88
11. D
A escala apresenta a relação entre duas medidas, a do desenho e a real. No mapa do brasil, 1 unidade do desenho equivale a 25 000 000 do real. Já no mapa do Rio de Janeiro, 1 unidade equivale a 4 000 000 do real. Logo a escala é
25000000 4000000 =
25 4
Como a escala é de área então seu valor é (25
4) 2
=625
16 = 39,06
Então, o número de vezes que foi ampliada a área é um número maior que 30 e menor que 40.
12. A
Como S é diretamente proporcional a b e d², isso quer dizer que: 𝑆 = 𝑘 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑²
Lembrando que k já está incluso na fórmula.
Como S é inversamente proporcional a x², então podemos dizer que: 𝑆 =𝑘 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑²
